Aplicación de la teoria de grafos 28 08 2011 - SABI · Para ello se aplica la teoría de grafos,...

Aplicación de la Teoría de Grafos al Análisis de la Actividad Eléctrica del Cerebro

J H Soletta1, F D Farfán1, G Ruiz1 1 Laboratorio de Medios e Interfases, Departamento de Bioingeniería, Universidad Nacional de Tucumán

[email protected], [email protected], [email protected]

Resumen. El cerebro humano es considerado uno de los objetos más complejos que existen. El entendimiento de su funcionamiento podría ser muy beneficioso en muchos campos como la medicina y la bioingeniería. Saber como relaciona la actividad eléctrica de las neuronas corticales y las funciones cerebrales superiores como las emociones, la memoria, etc. ha llevado a desarrollar diferentes técnicas para su estudio. En este artículo se analiza la actividad eléctrica del cerebro con el propósito de distinguir entre distintos estados mentales. Para ello se aplica la teoría de grafos, la cual consiste en el análisis matemático de diversas representaciones gráficas de redes. La señal que se analizó es el registro de un electroencefalograma (EEG) obtenido de una base de datos. Durante el registro la persona trata de controlar el movimiento vertical de un cursor que se desplaza sobre la pantalla de una computadora. Se observó que el valor medio del coeficiente de agrupamiento del grafo tiene menor variabilidad, al igual que el desvío estándar, con el entrenamiento.

1. Introducción En el estudio del funcionamiento del cerebro se han aplicado diversos métodos, tanto químicos (ej: en el área de la genética) como físicos (estudio de la actividad eléctrica). En años recientes se ha considerado al cerebro como un sistema complejo, lo que ha llevado a aplicar diversas teorías matemáticas y físicas existentes para ayudar a entenderlo. Algunas de estas teorías son: dinámica no lineal, física estadística y teoría moderna de redes, la cual deriva de la teoría de grafos [1].

La teoría de grafos es un conjunto de conceptos matemáticos destinados a analizar graficas de sistemas complejos o grafos. Un grafo es una representación grafica de una red. El mismo está compuesto por conjuntos de vértices y ramas, la presencia de una rama entre dos vértices indica la existencia de una relación entre dichos vértices. El análisis de las señales de EEG mediante la teoría de grafos permite establecer una relación anatómica y funcional entre los distintos grupos de neuronas representados por los vértices.

Existen diversos antecedentes de la aplicación de la teoría de grafos a señales de EEG en humanos Stam [2], estudió el patrón de descargas neuronales en personas con Alzheimer y en sujetos sanos. Micheloyannis et al [3,4] y Bassett et al [5] estudiaron los cambios producidos en la estructuras de grafos, obtenidos mediante EEG, como resultado de tareas cognitivas y motoras.

En este trabajo utilizamos la teoría de grafos para analizar cambios en el patrón de activación neuronal en diferentes áreas del cerebro evocados por diferentes estrategias de autorregulación de los

XVIII Congreso Argentino de Bioingeniería SABI 2011 - VII Jornadas de Ingeniería Clínica Mar del Plata, 28 al 30 de septiembre de 2011

ritmos mu y beta. Señales de EEG provenientes de una base de datos reconocida [6], fueron analizadas utilizando teoría de grafos. Durante el registro de la señal las personas tratan de controlar el movimiento vertical de un objeto que se desplaza sobre la pantalla de una computadora. Se calculó el coeficiente de agrupamiento C del grafo para distintas áreas corticales y se observó que el valor medio de dicho coeficiente tiende a estabilizarse con el entrenamiento de la persona. Por su parte, su correspondiente desvío estándar tiende a disminuir con el entrenamiento. La aplicación de esta teoría permitió reconocer 2 áreas cerebrales que poseen diferentes comportamientos durante los registros.

2. Materiales y Métodos

2.1. Adquisición de las señales de EEG Las señales utilizadas para realizar este análisis fueron las proporcionadas por Albany a la base de datos "BCI Competition 2003"[6]. Las señales corresponden a registros de la actividad electroencefalográfica de tres personas durante diez días, en sesiones diarias de 30 minutos de duración. Cada sesión consistió de 6 registros, separados por 1 minuto de descanso, y cada registro de 32 trials. El paradigma utilizado es la modulación del ritmo μ (mu) y/o el ritmo β (beta).

Para el registro de la señal la persona se reclina en una silla de frente a una pantalla y se le pide que no se mueva. Sobre el cuero cabelludo se le colocan 64 electrodos, cada uno conectado a un canal de registro y con la configuración propuesta por Sharbrough en 1991 (Figura 1) [7]. La referencia se coloca en el lóbulo de la oreja derecha. Cada canal presenta una amplificación de 20.000 y un filtro analógico pasa banda de 0.1-60 Hz. La señal luego se digitaliza con una frecuencia de muestreo de 160Hz y es almacenada digitalmente.

Figura 1. Ubicación de los electrodos propuesta por Sharbrough.

2.2. Estímulo visual Los registros de EEG se adquirieron durante sesiones de entrenamiento, que consistieron en controlar mediante señales de EEG el movimiento vertical de un objeto que se desplaza sobre una pantalla. El protocolo de registro fue el siguiente: (1) Durante un segundo la pantalla se mantuvo en blanco. (2) Un segundo más tarde aparece uno de cuatro posibles objetivos en el borde derecho de la pantalla. Los objetivos se ubican en posiciones fijas y equidistantes sobre la pantalla, como se muestra en la (Figura 2). (3) Un segundo más tarde el cursor aparece en la mitad del lado izquierdo de la pantalla y comienza a desplazarse hacia el lado derecho a velocidad constante. El periodo de tiempo durante el cual la persona ejerce control sobre el cursor es de 3 segundos (Figura 3).

La persona tiene como meta controlar el movimiento vertical del cursor con el objeto de llegar al objetivo. Para ello se almacenaron los últimos 200 ms de los canales 1, 2 y 3 que se ubican sobre la


porción del cráneo correspondiente a la corteza sensoriomotora del cerebro. Estos canales tienen como referencia una derivación Laplaciana. A los mismos se les aplicó un algoritmo auto-regresivo para determinar la amplitud de la señal en la banda Beta de frecuencia.

De los registros obtenidos de la base de datos sólo se analizaron los correspondientes a los objetivos 1 y 2 pertenecientes a una sola persona.

Figura 2. El círculo de color blanco representa el cursor cuando empieza su desplazamiento hacia la derecha de la pantalla. En el lado derecho se representa mediante números las posibles posiciones de los objetivos.

Figura 3. Secuencia temporal para cada trials experimental.

2.3. Teoría de Grafos Un grafo es una representación grafica de una red. El mismo está compuesto por un conjunto de vértices o nodos y un conjunto de ramas, la presencia de una rama entre dos vértices indica la existencia de una relación entre dichos vértices. En este trabajo se consideraron grafos no dirigidos, es decir que la información entre dos vértices (una rama) no tiene una dirección establecida. Los coeficientes que se calcularon a partir de la obtención de un grafo son:

Grado de Vértice: es el número total de ramas k que se conectan a un vértice i. Por lo tanto un nodo i con grado k está conectado con otros k vértices.

Coeficiente de agrupamiento: dado un nodo i con un grado k, se llama coeficiente de grupo del nodo i a Ci que se define como la relación entre la cantidad de ramas que existen entre los vecinos de i y el número máximo de posibles ramas entre sus vecinos [8].

(1) Usualmente se realiza un promedio de todos los Ci de un grafo obteniendo un índice C (coeficiente

de agrupamiento) del grafo.

, ,

,,

,

( 1)2

i j m i

j mj ma a

ii

i

a

C k k=

−

∑


1

1 N

ii

C CN =

= ∑ (2)

Donde N indica el número total de nodos en el grafo.

2.4. Procesamiento de las señales de EEG e implementación El procesamiento de la señales de EEG y la obtención de un grafo se realizaron con el software MatLab (www.mathworks.com). A la señal digitalizada y almacenada se le aplicó un filtro digital pasa-banda Butter de 10 términos cuya banda de paso corresponde a 14-30Hz (frecuencias de onda beta). Luego se procedió a segmentar el registro en las partes pertenecientes a cada objetivo bajo análisis. A su vez, a los registros correspondientes a cada movimiento se los volvió a segmentar en intervalos de 60 muestras cada uno (375 mseg) sin solapamiento.

Para efectos de implementar la teoría fue necesario construir un grafo a partir de las señales de EEG. Para ello se dividió al registro en intervalos ordenados de 60 muestras cada uno sin solapamiento, luego para cada intervalo se construyó una matriz de correlación entre los registros obtenidos por los distintos canales de adquisición. Cada se canal se corresponde con un vértice del grafo y si la correlación entre los registros de dos canales supera el valor de referencia se coloca una rama entre ellos [9] [10]. En este trabajo se utilizó un valor de referencia de 0.85, de modo que la matriz de correlación puede interpretarse como una matriz de adyacencia vértice-vértice.

Luego se procedió a segmentar la matriz de adyacencia en 5 para obtener 5 sub-grafos. En esta segmentación se tuvo en cuenta un criterio topológico del cráneo, ya que se lo dividió en 5 áreas con solapamiento entre sí (Figura 4).

A cada sub-matriz de adyacencia, correspondiente a cada sub-grafo, se le aplicaron distintos algoritmos diseñados para calcular el grado de los vértices y el coeficiente de agrupamiento.

Figura 4. Áreas del cráneo utilizadas para segmentar la matriz de adyacencia. En cada área se colocó un número para identificarla. El diámetro de cada área es aproximadamente la mitad del diámetro de la cabeza.

3. Resultados En la Figura 5 se ha graficado el valor medio de C y su desvío estándar para el movimiento 1 correspondientes a cada área bajo análisis y a cada día de registro. Se observa que en las áreas 1, 2 y 5, el valor medio de C y su desvío estándar tienden a disminuir su variabilidad con el transcurso de los días.


En la Figura 6 se ha graficado para el movimiento 2 el valor medio de C y su desvío estándar para cada área y para cada día de registro. También se puede observar que para las áreas 1, 2 y 5 las desviaciones estándar tienden a disminuir con el transcurso de los días de entrenamiento.

375 mseg 375 mseg 375 mseg 375 mseg

Áreas

1

2

3

4

5

Figura 5. Valor del coeficiente de agrupamiento en función del tiempo. El objetivo durante este registro fue el objetivo 1. La línea de color azul representa el valor medio del coeficiente C calculado a partir de 48 registros por día. Las líneas en color negro representan el desvío estándar. En la parte superior de cada columna se indica el día correspondiente al registro. Los números en la parte izquierda indican el área de la cabeza en la cual se realizó el cálculo de C.

4. Discusión En la Figura 5 se graficó para el movimiento 1 el valor medio de C y su correspondiente desvío estándar para cada área en función de los días de entrenamiento de la persona. Se nota que para las áreas 1, 2 y 5 las graficas tienden a estabilizarse en un valor durante el registro cuando las personas están más entrenadas.

En la Figura 6 se graficó lo mismo que en la Figura 5 pero para el movimiento 2. En ella se puede observar nuevamente que para las áreas 1, 2 y 5 los desvíos estándar del valor de C tienden a disminuir acercándose al valor medio de C.

Para ambos movimientos esto podría sugerir dos cosas: a) Que los grupos de neuronas corticales pertenecientes a las áreas 1, 2 y 5 están involucradas

en el control del movimiento del cursor y que con mayor entrenamiento las descargas neuronales se hacen más eficiente para el manejo del cursor. Esto último se reflejaría con la tendencia de C a estabilizarse y disminuir su dispersión en función de los días.

b) Que las áreas 1, 2 y 5 no están involucradas en el control del cursor por lo que con mayor entrenamiento la variación de C disminuye en esas áreas dando lugar a que el control del cursor se realice con las áreas 3 y 4.

Una de estas hipótesis es probablemente cierta y la otra no. Una estrategia para dilucidar esta cuestión podría ser la correlación entre nuestros resultados y los obtenidos con mapas funcionales del cerebro obtenidos por neuroimagen. La neuroimagen es una técnica que permite explorar el cerebro


humano intacto, y al mismo tiempo, analizar las variaciones de la actividad funcional de las neuronas en los procesos mentales específicos del ser humano. Los métodos más utilizados son los hemodinámicos, es decir aquellos que detectan cambios en el flujo sanguíneo o en el metabolismo cerebral que acompañan a la actividad neuronal, y entre estos últimos, la técnica de resonancia magnética funcional (RMF) y la tomografía de emisión por positrones (PET, del inglés positron emission tomography) son las más empleadas.

375 mseg 375 mseg 375 mseg 375 mseg

Áreas

1

2

3

4

5

Figura 6. Ídem a la Figura 5 pero para el movimiento 2.

5. Conclusiones La aplicación de la teoría de grafos al análisis de la señal de EEG permitió reconocer 2 áreas

corticales que poseen distintos comportamientos durante el registro de la señal. Un área compuesta por las sub-áreas 1, 2 y 5 (antes definidas), en donde los valores medios de C y sus desviaciones estándar tienden a estabilizarse y disminuir su variación en función de los días de entrenamiento. Una segunda área compuesta por las sub-áreas 3 y 4, donde los valores de C permanece invariante con los días de entrenamiento. La tarea pendiente redunda en analizar más específicamente el comportamiento de los grupos neuronales en estas dos áreas cuando el individuo trata de controlar el movimiento vertical de un cursor que se desplaza sobre la pantalla de una computadora.

6. Referencias [1] Amaral LAN, Ottino JM 2004 Complex networks. Augmenting the framework for the study of

complex systems Eur Phys J B 38:147-162. [2] Stam CJ, Jones BF, Nolte G, Breakspear M, Scheltens Ph 2007 Small-world networks and

functional connectivity in Alzheimer's disease. Cereb Cortex 17:92-99 [3] Micheloyannis S, Pachou E, Stam CJ, Vourkas M, Erimaki S, Tsirka V 2006 Using graph

theoretical analysis of multi channel EEG to evaluate the neural efficiency hypothesis. Neurosci Lett 402:273-277

[4] Micheloyannis S, Pachou E, Stam CJ, Breakspear M, Bitsios P, Vourkas M, Erimaki S, Zervakis M 2006 Small-world networks and disturbed functional connectivity in schizophrenia.


Schizophr Res 87:60-66 [5] Bassett DS, Meyer-Linderberg A, Achard S, Duke Th, Bullmore E 2006 Adaptive reconfiguration

of fractal small-world human brain functional networks PNAS 103:19518-19523. [6] http://bbci.de/competition/ii/albany_desc/albany_desc_i.html [7] Sharbrough, F., Chatrian, G.E., Lesser, R.P., Luders, H., Nuwer, M. and Picton, T.W. 1991

American Electroencephalographic Society guidelines for standard electrode position nomenclature. J. Clin. Neurophysiol. 8: 200-202.

[8] Newman M. E. J. The structure and function of complex networks. [9] Stam Cornelis J and Jaap C Reijneveld. 2007 Graph theoretical analysis of complex networks in

the brain. Nonlinear Biomedical Physics [10] Willem de Haan, Yolande AL Pijnenburg, Rob LM Strijers, Yolande van der Made, Wiesje M

van der Flier, Philip Scheltens and Cornelis J Stam. 2009 Functional neural network analysis in frontotemporal dementia and Alzheimer's disease using EEG and graph theory. BMC Neuroscience


Aplicación de la teoria de grafos 28 08 2011 - SABI · Para ello se aplica la teoría de grafos,...

Documents

Transcript of Aplicación de la teoria de grafos 28 08 2011 - SABI · Para ello se aplica la teoría de grafos,...