INTRODUCCIONEl presente trabajo trata sobre uno de los mtodos para calcular desplazamientos y giros en un punto cualquiera de una viga determinada, como es el mtodo del rea de momentos.En este trabajo daremos a conocer la definicin de este mtodo, as tambin en que tipos de estructura se utiliza, los teoremas que comprende y sus respectivas demostraciones, las condiciones que requiere, qu es una desviacin tangencial y una variacin de la pendiente, la convencin de signos correspondientes y por ltimo la aplicacin de todo esto para la solucin de problemas dados. Dentro de la definicin conoceremos a que se debe el nombre de rea de momentos, para qu sirve y qu nos permite conocer. En lo que respecta al tipo de estructura, conoceremos en qu tipo de viga son aplicables sus teoremas.De los teoremas, conocidos como los teoremas de Mohr, a travs de sus respectivas demostraciones obtendremos los factores que lo conforman y conoceremos la aplicacin de cada uno de ellos. As tambin, por la deduccin de estos teoremas, conoceremos a que se refiere una desviacin tangencial y una variacin de pendiente en cualquier punto de una viga dada.La convencin de signos, con lo que respecta a una desviacin tangencial positiva o negativa, o a una variacin de pendiente positiva o negativa se explicar de una manera muy prctica, mediante grficos con sus respectivas deducciones.Por ltimo, despus de haber conocido todos estos conceptos bsicos para poder resolver de ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teora para llevarlos a la prctica.

01I.-OBJETIVOS:- Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de una viga determinada, utilizando para ello el mtodo del rea de momentos con los teoremas de Mohr.- Graficar correctamente el diagrama de momentos de una viga determinada con una carga cualquiera.- Graficar correctamente la elstica de una viga determinada con una carga cualquiera.II. LIMITACIONES DEL TRABAJO: * Desarrollar ejercicios con ms grado de dificultad.* Aplicar la teora en ejercicios como vigas de varios tramos y de diferentes cargas. Justificacin del trabajo: * Manejar correctamente la teora del mtodo del rea de momentos para el mejor entendimiento en la resolucin de ejercicios.* Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, mtodos del rea de momentos, conociendo an ms la teora.

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GLOSARIO:- , ngulo que hace con el eje de abscisas la tangente geomtrica al eje de la estructura (eje an no deformado). - Momentos reducidos.- , ngulo que forman entre s las tangentes geomtricas trazadas en los puntos B y A del eje deformado. - tAB, Distancia del punto B del eje deformado a la tangente trazada en el punto A del mismo eje, distancia medida perpendicularmente al eje de abscisas considerado. - A, rea encerrada por el diagrama de momentos reducidos, entre los extremos correspondientes a B y A. - X, abscisa del centro de gravedad del rea A medida desde el extremo B.

03III.- MTODO DEL REA DEL DIAGRAMA DE MOMENTOSTEOREMAS DE MOHRUn mtodo muy til y sencillo para determinar la pendiente y deflexin en las vigas es el mtodo del rea de momentos, en el que intervienen el rea del diagrama de momentos y el momento de dicha rea. Se comienza, en primer lugar, por los dos teoremas bsicos de este mtodo; luego, una vez calculadas las reas y los momentos de estas reas del diagrama de momentos, se aplica el mtodo a varios tipos de problemas. El mtodo est especialmente indicado en la determinacin de la pendiente o de la deflexin en puntos determinados ms que para hallar la ecuacin general de la elstica. Como en su utilizacin se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geomtricas en la elstica, no se pierde el significado fsico de lo que se est calculando.El mtodo del rea de momentos est sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integracin. Sin embargo, para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente independiente, se repite una pequea parte de lo dicho en la seccin anterior. La figura (a), representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La elstica, como interseccin de la superficie neutra con el pleno vertical que pasa por el centroide de las secciones, se representa en la figura (b), aunque sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el representado en la figura (c).

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1.- Teoremas de Mohr: Los teoremas de Mohr, describen la relacin entre el momento flector y las deformaciones que ste produce sobre una estructura. Los teoremas de Mohr permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son mtodos de clculo vlidos para estructuras isostticas e hiperestticas regidas por un comportamiento elstico del material.Usualmente estos teoremas conocen como Teoremas de Mohr, sin embargo fueron presentados por el matemtico britnico Green en 1873 Teoremas: a) Teorema I:El ngulo comprendido entre las tangentes de dos puntos cualesquiera A y B de la lnea elstica es igual al rea total del trozo correspondiente del diagrama de momentos, dividida por E.I.

Como

El teorema de Mohr dice que el giro de un punto de una elstica (la deformada) respecto de otro punto de la elstica, se puede obtener mediante el rea de momentos flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexin "EI".05

b) Teorema II: La ordenada B respecto a la tangente en A es igual al momento esttico, con respecto a B, del rea del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y B, dividida por E.I

Si existe un punto de inflexin en la lnea elstica entre A y B:El momento esttico recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el rea total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia a su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectngulos, tringulos, parbolas, etc., el momento esttico total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.

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La longitud tA/B se llama desviacin de B respecto de una tangente trazada por A o bien desviacin tangencial de B respecto de A. El subndice indica que se mide desde B hasta la tangente trazada en A. la figura adjunta aclara la diferencia que existe entre la desviacin tangencial tA/B de b respecto a A y la desviacin tB/A de A respecto de B. Por lo general ambas desviaciones son distintas.

Notas: El producto EI se llama rigidez de la flexin. Obsrvese que se ha supuesto tcitamente que E e I permanecan constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy comn. Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo de la integral, y hay que conocerla en funcin de x. Tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta misma manera un diagrama de M/EI al que se aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M.En los dos teoremas, (rea) AB representa el rea del diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes entre los puntos A y B, XB es el brazo de momento de esta rea con respecto a B. Cuando el rea del diagrama de momentos se compone de varias partes, positivas y negativas, la expresin (rea)AB . XB representa el momento del rea de todas estas partes.El momento del rea se tom siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviacin se quiere obtener, por lo que conviene ponerle a X el sub ndice correspondiente, por ejemplo B, lo que indica que el brazo de momentos se toma hasta este punto. Obsrvese que este subndice B es el mismo del numerador del subndice de t, B/A.

072.-Convencin de Signos: La desviacin tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto que por encima de la tangente trazada con respecto a la cual se toma esta desviacin, y negativa si queda por debajo de dicha tangente.

Otro convencionalismo de signos es el que se refiere a las pendientes y se indica en la figura. La variacin de la pendiente es positiva cuando indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj, la tangente trazada en el punto ms a la izquierda, A; es decir, que para pasar de la tangente en A, a la tangente B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores negativos.

3.- Mtodo de Bresse:

Por convencin los signos son positivos

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Concavidad y Convexidad: Si el diagrama de momentos es positivo en el tramo analizado, entonces la deformada es cncava. Si el diagrama de momentos es negativo en el tramo analizado, entonces la deformada es convexa.Algunas reas del diagrama de momentos:

Aplicacin De Los Teoremas De Mohr Para La Resolucin De Vigas Hiperestticas.

Incgnitas: Ecuaciones:En A: RA F = 0En B: RB y MB M = 0Resolucin del sistema hiperesttico: Por el segundo teorema de Mohr: 09

Para x = 1: M = 0: Como :

Q= 0:

104.- APLICACIN:Una observacin muy importante en cuanto a la aplicacin de los teoremas anteriores es que cuando la elstica tiene un punto de inflexin el diagrama de momentos reducidos cambia de signo, en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo.Los teoremas de Mohr son relativos, es decir, siempre se calcula la flecha o el giro respecto al de otro punto. Su aplicacin prctica slo es til cuando uno de los puntos tiene un giro o flecha conocido, especialmente si por sus condiciones de contorno alguno de estos valores es cero.Ejemplos: Calcular la flecha el giro en B y en C, si E=2.1x106 e I=8x103.

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III.- ANEXOS:

Sabemos que el puente que se muestra en la figura es una estructura isosttica, una viga que tiene un apoyo fijo en un extremo y un apoyo mvil en el otro. Ahora, supongamos que a este puente le sometemos a una carga distribuida constante:

Si queremos calcular su deflexin y giros de esta estructura, es necesario aplicar todo lo aprendido en la teora desarrollada en el presente trabajo, para as poder dar la solucin a los clculos requeridos.Por lo que su diagrama de momentos reducidos ser:

Y con los teoremas aprendidos de pendiente y de desviacin tangencial obtener la solucin:

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IV.- BIBLIOGRAFA.Mecnica de Materiales FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.Pgs. 528 537 2 EdicinResistencia de Materiales I II A. ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C. Pgs. 137 152 3 Edicin.Anlisis Estructural GENARO DELGADO CONTRERAS Pgs. 21 37 1 Edicin.

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANASFACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURAEscuela Profesional de Ingeniera Civil

ESTTICA

SISTEMAS APLICADOS A LA INGENIERA CIVIL USANDO LA ESTTICA

Profesor de Curso: Lic. CASTILLO JARA, Marco A.Presentado por : -BUENDIA ALEJO ANTONIO

Ayacucho Per2014

INDICEINTRODUCCION01OBJETIVOS02GLOSARIO.03DIAGRAMA DE MOMENTOS..04TEOREMA DE MOHR05CONVENCION DE SIGNOS Y METODO DE BRESSE.08CONCAVIDAD Y CONVECCIDAD..09APLICACIN11ANEXO..13BIBLIOGRAFIA14INDICE...15

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