Aplicación de la derivada
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Aplicación de la derivada Ejemplo resuelto Quethzel Díaz Zárate En las siguientes páginas se expone un ejercicio resuelto paso a paso de la aplicación del cálculo diferencial. Al final del documento encontrara un pequeño ejemplo “real” de su aplicación y la bibliografía de la cual se obtuvo el ejercicio y su solución. Los pasos descritos en este ejemplo se pueden aplicar a otros problemas similares, sobre la aplicación de la derivada para obtener áreas, o volúmenes principalmente.
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Ejercicio de aplicación de la derivada resuelto paso a paso
Transcript of Aplicación de la derivada
Aplicación de la derivada Ejemplo resuelto
Quethzel Díaz Zárate
En las siguientes páginas se expone un ejercicio resuelto paso a
paso de la aplicación del cálculo diferencial. Al final del documento
encontrara un pequeño ejemplo “real” de su aplicación y la
bibliografía de la cual se obtuvo el ejercicio y su solución. Los pasos
descritos en este ejemplo se pueden aplicar a otros problemas
similares, sobre la aplicación de la derivada para obtener áreas, o
volúmenes principalmente.
Aplicación de la derivada 1
Hallar las dimensiones del mayor rectángulo que pueda inscribirse
en la elipse:
Sol. √ √
1.- Obtener la fórmula del área del rectángulo.
“formula del área del rectangulo”
.
Dónde:
Aplicación de la derivada 2
2.- Despejamos una incógnita de la ecuación.
“Despejamos y en la ecuación de la elipse”
“ecuación original de la elipse”
=
√ (
)
“Se extrae la raíz de y se busca el común denominador”
√
√ “ecuación de y”
3.- Sustituir el valor de la incógnita despejada (ecuación de y) en la fórmula del
área del rectángulo y proceder a derivar.
“formula del área del rectángulo”
(
√ )
“Para este caso derivamos con la fórmula”
Aplicación de la derivada 3
√
(
√ ) √ (
)
“Se busca común denominador”
(
√ )
√
(
)
“Simplificamos y multiplicamos términos”
(√ )(√ )
√
√
√
( )
√
√
“Agrupamos términos semejantes”
√ “función del área del rectángulo”
“Ahora ya tenemos la función del área del rectángulo que se desea inscribir dentro de la
elipse”
4.- Igualar a 0 la función obtenida y despejar la incógnita.
√ “se iguala a 0 y despejamos x”
( √ )
Aplicación de la derivada 4
√
√ “valor de x”
5.- Sustituir el valor de la incógnita encontrada, en la ecuación de la otra
incógnita.
“Sustitución de x en la ecuación de y”
√ “ecuación de y obtenida anteriormente”
√ (
√ )
√
Aplicación de la derivada 5
(√
)
√
(
√ )
√ “se obtiene el valor de y”
6.- Sustitución de los valores x, y en la fórmula del área del rectángulo.
(
√ ) (
√ )
“expresando el número 2 de la siguiente forma √ √ obtenemos”
√ √ (
√ )√ √ (
√ ) “simplificando”
√ √
√ √ “solución: el mayor rectángulo que puede
inscribirse dentro de una elipse se obtiene sustituyendo el semieje mayor a y
el semieje menor b de la elipse en la formula √ √ Cabe
aclarar que esta solución funciona para cualquier rectángulo dentro de
cualquier elipse.”
Aplicación de la derivada 6
Ejemplo de aplicación
Se desea imprimir un cartel rectangular de la mayor área en la parte trasera de una pipa. Los valores de la elipse de la
parte trasera del camión
son:
Solución:
1.- Obtenemos los semiejes a y b
2.- Sustituimos los valores de los semiejes a, b en la formula obtenida y
procedemos a realizar las operaciones.
√ √
√ √
Las medidas del cartel deberán ser de 56.56cm x 28.28cm y el área máxima
del cartel es de 1.6 metros.
Aplicación de la derivada 7
Bibliografía:
GRANVILLE William Anthony: cálculo diferencial e integral, 8 ª ed.
México, D.F. grupo Noriega Editores, Limusa, 2008, 686 p.
CAPITULO V
APLICACIÓNES DE LA DERIVADA
Problema 29 página 76
Hallar las dimensiones del mayor rectángulo que pueda inscribirse en la elipse
Sol. √ √
