Aplicacin de la Integral en la Administracin y la EconomaAPLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIN Y LA ECONOMA

Excedente del Consumidor

Consideremos:- la funcin de demanda p= f(q) de un determinado artculo,- p= precio- q= cantidad.

La grfica de esta funcin es la curva de demanda. Por la ley de la demanda:

a mayor precio menor demanda y a menor precio mayor demanda

La funcin de demanda es decreciente. Si el precio en el mercado del artculo en mencin es P0 y la correspondiente demanda es q0, entonces los consumidores que estuviesen en condiciones de pagar por el artculo un precio mayor que Po ganan, por el simple hecho de que el precio es menor.Bajo ciertas hiptesis econmicas la ganancia total del consumidor se representa por el rea de la regin comprendida entre los ejes de coordenadas, la curva de demanda y la recta p= p0 a esta rea de le denomina excedente del consumidor (EC). Luego.

Y se cumple que:

Excedente del Productor

Consideramos:- la funcin de oferta p= f (g) de un determinado artculo.- p= precio.- q = cantidad.La grfica de esta funcin es la curva de oferta. Por la ley de la oferta.

a mayor precio mayor demanda y a menor precio menor demanda

La funcin de oferta es creciente si el precio en el mercado de artculo en mencin es po y la correspondiente demanda es qo, entonces los productores que estuviesen en condiciones de vender el artculo a un precio menor, ganan, por el simple hechos de que el precio es mayor.Bajo ciertas hiptesis econmicas la ganancia total del productor se representa por el rea de la regin comprendida entre los ejes de coordenadas, la curva oferta y la recta p = p0 (fig. 4.74). a esta rea se le denomina excedente del productor (EP). Luego,

Ejercicios

1. Si la funcin de demanda es p= 9 q2 y q2 y p0 = 5. Hallar el excedente del consumidor.

Solucin:

2. Si la funcin de oferta es p= 4 + 3q2 y q0 = 2. Calcular el excedente del productor.

Solucin:

APLICACIONES A LA FSICA DE LA INTEGRALAPLICACIONES A LA FSICA DE LA INTEGRAL

Muchas leyes fsicas se descubrieron durante el mismo perodo histrico en el que estaba siendo desarrollado el clculo. Durante los siglos XVII y XVIII exista poca diferencia entre ser un fsico o un matemtico debido a la naturaleza de los clculos que se realizaban. Debido a esto, hoy podemos decir que la fsica y la matemtica van de la mano; es decir, son ciencias inseparables, un ejemplo de esto es la aplicacin de la integral en la fsica.

ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILNEO

Para un objeto con movimiento rectilneo la funcin posicin, s(t), y la funcin velocidad, v(t), se relacionan por:s(t) =

De este hecho y del teorema fundamental del clculo se obtiene:

== s(t2) - s(t1)

La posicin del objeto en el instante t1 est expresada por s(t1) y s(t2) es la posicin en el instante t2, la diferencia s(t2) - s(t1) es el cambio de posicin o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].

Un desplazamiento positivo significa que el objeto est ms hacia la derecha en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto est ms hacia la izquierda.

En el caso en que v(t) en todo el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la direccin positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) - s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la direccin negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrs y el desplazamiento es la distancia recorrida en la direccin positiva menos la distancia recorrida en la direccin negativa.

Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la direccin positiva ms la distancia recorrida en la direccin negativa) debe integrarse el valor absoluto de la funcin velocidad, es decir:

Distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2] =

TRABAJOEl concepto de trabajo es importante para los cientficos e ingenieros cuando necesitan determinar la energa necesaria para realizar diferentes tareas fsicas. Es til conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una gua eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camin transporta una carga por una carretera.

En el lenguaje cotidiano, el trmino trabajo se usa para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En fsica tiene un significado tcnico que est en relacin con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de l. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definicin siguiente de trabajo.

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Si un objeto se mueve una distancia d en la direccin de una fuerza constante F aplicada sobre l, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define como:w = F . dExisten muchos tipos de fuerzas: centrfuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto. Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el clculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza vara segn el objeto.

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta desde x = a hasta x = b debido a una fuerza que vara continuamente F(x).

Consideramos una particin que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por:a = x0 x1 x2 x3 ......... xn-1 xn = bDonde:

D xi indica la amplitud o longitud del i-simo subintervalo, es decir:D xi = xi - xi-1

Para cada i escogemos ci tal que:xi-1 ci xi.

En ci la fuerza est dada por F(ci). Dado que F es continua y suponiendo que n es grande, D xi es pequeo.

Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [xi-1, xi] y podemos concluir que el trabajo realizado wi al mover el objeto por el subintervalo i-simo (desde xi-1 hasta xi) es aproximadamente el valor F(ci). D xi

Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por:W ==

Esta aproximacin mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el lmite de esta suma cuando n resulta:W ==

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la accin de una fuerza que vara continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x = a hasta x = b est dado por:W =Como se observa en este trabajo slo se enuncian algunas de las muchas aplicaciones a la fsica de la integral definida, con lo cual pretendo motivar a los estudiantes de Matemtica-Fsica para que realicen una indagacin e investigacin ms profunda.