Aplicacion Integrales Dobles
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Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES Villalobos, Paula
[email protected] Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Resumen: en este documento se mostrará a través de un ejercicio la aplicación de integrales dobles. Índice de términos: densidad, masa, coordenadas.
I. INTRODUCCIÓN La aplicación de las integrales dobles tiene como tiene un objetivo geométrico principalmente, calcular volúmenes bajo superficies, áreas de superficies y aplicaciones físicas. El problema que a continuación se planteará tiene una aplicación de conceptos físicos tales como densidad y masa.
II. FORMULACIÓN
La frontera de una lámina está formada por los semicírculos 21y x= − y
24y x= − junto con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de
masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen.
Gráfica 1. Lámina formada por los semicírculos 21y x= − y 2
4y x= −
Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales
III. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Las coordenadas ( ),x y del centro de masa de la lámina que ocupa una región
D y con una función de densidad ( ),x yρ son:1
( )1
,D
Myx x x y dA
m mρ= = ∫∫ ( )
1,
D
Mxy y x y dA
m mρ= = ∫∫
Donde la masa m está dada por:
( ),D
m x y dAρ= ∫∫
Se coloca la lámina como la mitad superior del círculo 22 2
yx a+ = .Como la
densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen, entonces la distancia de un punto ( ),x y al centro del círculo (el origen) es
2 2x y+ , por lo tanto la función de la densidad es:
2 2
( , )x y K x yρ = +
Donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lámina permiten que se convierta a coordenadas polares. Entonces
2 2x y r+ = y la región está dada por 0 2,0r θ π≤ ≤ ≤ ≤
- Convertimos a coordenadas polares:
2 2( , )x y K x yρ = + ⇒ ( , )r Krρ θ =
- Hallamos m:
2
2 2
0 1
( , ) ( )D D
m x y dA K x y dA Kr rdrd
π
ρ θ= = + =∫∫ ∫∫ ∫ ∫
22 3
2
0 1 0 0 01
7 7 7
3 3 3 3
rm K r drd K K d K
ππ π ππ
θ θ θ= = = = =∫ ∫ ∫ ∫
Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales
Gráfica 2. Relación del � θ con respecto a r y y
- Hallamos y partiendo de la Gráfica 2., donde tomamos el ángulo θ ,
entonces:
ySen
rθ =
y rSenθ= - Hallamos y :
1( , )
D
y y x y dAm
ρ= ∫∫
2
3
0 1 0
3 3( )
7 7y rSen Kr rdrd Sen Kdrd
K Kr
π π
θ θ θ θπ π
= =∫ ∫ ∫
( )
24
0 0 01 0
3 3 1 3 15 45 454 0.5115
7 4 7 4 7 4 28 28y Sen Sen d Sen d Cosr
ππ π π
θ θ θ θ θ θπ π π π π
= = − = = = =
∫ ∫ ∫
Observando la Gráfica 2. encontramos que 0x = , luego el centro de masa de la lámina es ( )0,0.5115
Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales
REFERENCIAS
1 Stewart J. Calculo de varias variables 6ª Edición