1

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ecucación de la recta tangente

Ejercicio nº 1.-

Halla las rectas tangentes a la circunferencia:

x2 + y2 + 2x + 2y − 6 = 0 en x0 = 1

Ejercicio nº 2.-

abscisa x0 = −1.

Ejercicio nº 3.-

Ejercicio nº 4.-

Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva:

Ejercicio nº 5.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva x2 + y2 − 2x − 4y = 0 en el punto (0, 4).

Monotonía y curvatura

Ejercicio nº 6.-

Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión:

Ejercicio nº 7.-

Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

( ) de punto el en tangente recta su de ecuación la escribe , función la Dada 12 2−= xexxf

( ) .2 en 212 curva la a tangente recta la de ecuación la Halla 0 =

+

+= x

xxxy

1 en 1

2402 =

+−

= xxxxy

)(

( ) 1912

234

+−−= xxxxf

( ) xexxxf 12 ++

=

2

Ejercicio nº 8.-

Dada la función:

f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Ejercicio nº 9.-

Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

Ejercicio nº 10.-

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x − 2)3 (x + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Optimización de funciones

Ejercicio nº 11.-

El lado de un cuadrado tiene una longitud de 4 metros. Entre todos los cuadrados inscritos en el cuadrado dado, halla el de área mínima:

Ejercicio nº 12.-

Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

Ejercicio nº 13.-

Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?

Ejercicio nº 14.-

Un transportista va de una ciudad A a otra B a una velocidad constante de x km/h por una carretera en la que debe cumplirse que 35 ≤ x ≤ 55. El precio del carburante es de 0,6 euros el litro y el consumo es de 10 + x2/120 litros por hora. El conductor cobra 8 euros por hora y la distancia entre A y B es de 300 km. Halla la velocidad a la que debe ir para que el viaje resulte lo más económico posible.

( )1

222

−+−

=x

xxxf

3

Ejercicio nº 15.-

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga volumen máximo.

Regla de L´Hôpital

Ejercicio nº 16.-

Calcula, utilizando la regla de L'Hôpital:

Ejercicio nº 17.-

Halla los siguientes límites:

Ejercicio nº 18.-

Calcula los siguientes límites:

Ejercicio nº 19.-

Calcula los límites:

Ejercicio nº 20.-

Obtén el valor de los siguientes límites:

( )xxx

xlímx

xsenxlím1

2

04

22

01b)a) +

−→→

( ) 23

02

2

02b)1a) x

xxxcoslím

xxcoslím

→→

−

xxx

xlímx

xsenxcosxlím −→→

− 11

130b)a)

32

2

0b)a)

xxlnlím

xsenxxsenxlím

xx +∞→→ −+

xxx

xlímxtg

xcoslím1

0b)1a)

+∞→→

−

4

Teorema de Rolle y del valor medio

Ejercicio nº 21.-

Calcula m y n para que la función:

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis?

Ejercicio nº 22.-

Dada la función:

Comprueba que satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis?

Ejercicio nº 23.-

Comprueba que y = x − x3 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [−2, 1]. ¿Dónde cumple la tesis?

Ejercicio nº 24.-

Calcula a, b y c para que la función:

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. ¿Qué asegura el teorema en este caso?

Ejercicio nº 25.-

el intervalo [0, 4]. En caso afirmativo, averigua dónde cumple la tesis.

( )

>++−

≤+=

1si32

1si12 xnxx

xmxxf

( )

>

≤−

=

1six1

1si2

3 2

x

xx

xf

( )

≥+<−

=2si2si2 2

xcbxxaxxxf

( ) ( ) en Rolle de teorema del hipótesis las cumple 2 función la si Comprueba 3 2−= xxf

5

Problemas de funciones derivables y continuas

Ejercicio nº 26.-

Justifica los pasos de la siguiente demostración: Vamos a probar que "si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b); y f' (x) = 0 en todos los puntos de (a, b), entonces f es constante en [a, b]". 1) Tomamos dos puntos cualesquiera x1 < x2 de [a, b]; entonces se cumple que:

2) Por tanto, f (x2) − f (x1) = 0. 3) Y así deducimos que f es constante.

Ejercicio nº 27.-

Demuestra que la función:

no cumple la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b], cualquiera que sea el valor de b > 1.

Ejercicio nº 28.-

Demuestra que la ecuación:

ex − x − 1 = 0 solo tiene la aíz x = 0. Para ello, supón que tuviera otra raíz (digamos x = a), aplica el teorema de Rolle a la función f (x) = ex − x − 1 en [0, a] (o en [a, 0] si a < 0) y llegarás a una contradicción.

Ejercicio nº 29.-

Demuestra que, entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado es el de perímetro mínimo. (Llama k al área del rectángulo y ten en cuenta que es constante).

Ejercicio nº 30.-

Demuestra que, entre todos los rectángulos que pueden inscribirse en un círculo de radio R, el cuadrado tiene el área máxima.

( ) 012

12 ==−− cf

xxxfxf ')()(

( )

>−

≤+−=

1si121si43

xxxx

xf

6

SOLUCIONES APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ecucación de la recta tangente

Ejercicio nº 1.-

Halla las rectas tangentes a la circunferencia:

x2 + y2 + 2x + 2y − 6 = 0 en x0 = 1 Solución:

• Ordenadas en x0 = 1:

1 + y2 + 2 + 2y − 6 = 0 → y2 + 2y − 3 = 0

• Pendiente de las rectas tangentes:

Derivamos: 2x + 2y y' + 2 + 2y' = 0

Despejamos y':

• Ecuaciones de las rectas tangentes: En el punto (1, 1) → y = 1 − (x − 1) → y = −x + 2 En el punto (1, −3) → y = −3 + (x − 1) → y = x − 4

Ejercicio nº 2.-

abscisa x0 = −1. Solución:

• Ordenada en el punto: f (−1) = 1

• Pendiente de la recta:

( )( )

−→−=

→=±−=

±−=

+±−=

3,1 Punto3

1,1 Punto1

242

2162

21242

y

yy

( )11

2222'2222'

+−−

=+−−

=→−−=+yx

yxyxyy

( ) 122

11111,1' −=

−=

+−−

=y

( ) 122

13113,1' =

−−

=+−−−

=−y

( ) de punto el en tangente recta su de ecuación la escribe , función la Dada 12 2−= xexxf

7

f ' (−1) = −4

• Ecuación de la recta tangente: y = 1 − 4 (x + 1) → y = −4x − 3

Ejercicio nº 3.-

Solución:

• Ordenada en el punto: y (2) = 5

• Pendiente de la recta:

Derivamos:

• Ecuación de la recta tangente:

Ejercicio nº 4.-

Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva:

Solución:

• Ordenada en el punto: y (1) = 1

• Pendiente de la recta:

( ) ( ) 13121 222222···2' −−− +=+= xxx exxxexexxf

( ) .2 en 212 curva la a tangente recta la de ecuación la Halla 0 =

+

+= x

xxxy

( )2

2212 2

++

=++

=x

xxxxxy

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

=+

+−++=

++

+−++=

3

22

22

22282

221·2214

'x

xxxxx

xxxxx

y

( ) ( )32

3

22

22

4176

22

242168

+

++=

+

−−+++=

x

xx

x

xxxxx

( )8312' =y

( )411

8312

8315 −=→−+= xyxy

1 en 1

2402 =

+−

= xxxxy

)(

8

Derivamos:

y' (1) = 0

• Ecuación de la recta tangente:

y = 1

Ejercicio nº 5.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva x2 + y2 − 2x − 4y = 0 en el punto (0, 4). Solución:

• Comprobamos que la curva pasa por (0, 4):

02 + 42 − 2 · 0 − 4 · 4 = 16 − 16 = 0

• Derivamos para obtener la pendiente de la recta:

2x + 2y · y' − 2 − 4y' = 0

Despejamos y':

Por tanto:

• Ecuación de la tangente:

Monotonía y curvatura

Ejercicio nº 6.-

Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión:

xxx

xxxy

+−

=+−

= 32

24)1(

24

=+

++−−+=

++−−+

= 23

233

23

23

)(2641244

)()13(·)24()(4'

xxxxxxx

xxxxxxy

23

23

)(268

xxxx

+++−

=

( )42

22'2242'−

−=→−=−

yxyxyy

( )21

42

482

44·20·224,0' ==

−=

−−

=y

xy214 +=

( ) 1912

234

+−−= xxxxf

9

Solución:

• Derivada:

• Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene un

• Segunda derivada:

• Signo de f '' (x):

f (x) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞); es convexa en (−1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión:

(−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99)

Ejercicio nº 7.-

Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

Solución:

• Dominio = ; pues ex > 0 para todo x.

• Derivada:

( ) xxxxf 233

'23

−−=

( ) ( )

+±=→=−−

=

=−−

=−−

→=

2241106

0

03

63

60'2

223

xxx

xxxxxxxxf

=

=

3

0

x

x

( )7 17mínimo en 2, y otro en 3, . Tiene un máximo en 0, 1 .9 4− − −

( ) 23

2'' 2 −−=xxxf

( )

≈−≈±

=+±

=→=−−→=79,1

12,16

7626

724206230'' 2

xx

xxxxf

( ) xexxxf 12 ++

=

( ) ( ) ( ) ( )xx

x

x

xx

exx

exxxe

eexxexxf +−

=−−−+

=++−+

=2

2

2

2

2

)(112

)(112'

10

• Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, 0) ∪ (1, +∞); es creciente en (0, 1). Tiene un mínimo en (0, 1)

Ejercicio nº 8.-

Dada la función:

f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión. Solución:

a) f ' (x) = 12x3 + 24x2 − 12x − 24

f ' (x) = 0 → 12 (x3 + 2x2 − x − 2) = 0

• Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (−1, 1); es creciente en (−2, −1) ∪ (1, +∞). Tiene un mínimo en (−2, 8), otro en (1, −19) y un máximo en (−1, 13).

b) f '' (x) = 36x2 + 48x − 12

f '' (x) = 0 → 12 (3x2 + 4x − 1) = 0

• Signo de f '' (x):

f (x) es cóncava en (−∞; −1,55) ∪ (0,22; +∞); es convexa en (−1,55; 0,22). Tiene dos puntos de inflexión, (−1,55; 10,31) y (0,22; −5,48).

( ) ( )

==

=+−→=+−→=10

0100' 2

xx

xxxxxf

3y un máximo en 1, .e

( ) ( ) ( )

−=−=

==++−

21

1021112

xxx

xxx

−≈≈±−

=+±−

=55,1

22,06

2846

12164xx

x

11

Ejercicio nº 9.-

Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

Solución:

• Dominio = − {1}

• Derivada:

• Signo de f ' (x).

f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, −2) y un mínimo en (2, 2).

Ejercicio nº 10.-

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x − 2)3 (x + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa. Solución:

• Derivada:

f ' (x) = 3(x − 2)2 (x + 1) + (x − 2)3 = (x − 2)2 (3x + 3 + x − 2) = (x − 2)2 (4x +1)

• Signo de f ' (x).

( )1

222

−+−

=x

xxxf

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

2

2

22

2

2

12

1222222

122122'

−

−=

−

−+−+−−=

−

+−−−−=

xxx

xxxxxx

xxxxxxf

( ) ( )

==

=−→=−→=20

02020' 2

xx

xxxxxf

( ) ( ) ( )

−=

=

=+−→=

41

2

01420' 2

x

x

xxxf

( ) en mínimo un Tiene .,41 en creciente es y

41, en edecrecient es

∞+−

−∞−xf

( ) inflexión. de punto unhay 0,2 En .54,8;41

−−

12

• Segunda derivada:

f '' (x) = 2(x − 2) (4x + 1) + (x − 2)2 · 4 = (x − 2) (8x + 2 + 4x − 8) = (x − 2) (12x − 6)

• Signo de f '' (x).

Optimización de funciones

Ejercicio nº 11.-

El lado de un cuadrado tiene una longitud de 4 metros. Entre todos los cuadrados inscritos en el cuadrado dado, halla el de área mínima: Solución:

Si llamamos x a la distancia de uno de los vértices del cuadrado inscrito, al vértice más próximo del cuadrado original (como indica la figura), tenemos que el área del cuadrado inscrito será:

Área = l 2 = x2 + (4 − x)2; 0 ≤ x ≤ 4

Buscamos x para que el área sea mínima: A (x) = x2 + (4 − x)2 A' (x) = 2x + 2(4 − x) · (−1) = 2x − 8 + 2x = 4x − 8 A' (x) = 0 → 4x − 8 = 0 → x = 2

Comprobamos que es el mínimo:

( ) ( ) ( )

=

=

=−−→=

21

2

012260''x

x

xxxf

( ) ( ) puntos dos Tiene .2,21 en convexa es ;,2

21, en cóncava es

∞+∪

∞−xf

( ).0,2 y 1681,

21 :inflexión de

−

13

A'' (x) = 4, A'' (2) = 4 > 0 → en x = 2 hay mínimo A (0) = A (4) = 16

Por tanto, el mínimo se alcanza en x = 2, que corresponde al cuadrado de lado:

cuya área es de 8 m2

Ejercicio nº 12.-

Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? Solución:

Llamamos x al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es:

La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:

Buscamos x para que A sea mínima:

A' = 0 → −16 000 + 2x3 = 0 → 2x3 = 16 000 →

Veamos que es un mínimo:

Por tanto, el lado de la base debe medir x = 20 dm y la altura, y = 10 dm.

metros, 83,222844 ≈==+=l

232 0004dm 0004

xyyxV =→==

0;000160004·44 222

2 >+=+=+= xxx

xx

xxxyA

2

3

2

200016200016'x

xxx

A +−=+

−=

dm2000080008200016 33 ==→==→ xx

( ) mínimohay 20 en020'',200032'' 3 =→>+= xAx

A

14

Ejercicio nº 13.-

Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción? Solución:

Llamamos x al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería:

f (x) = (24 + x) (600 − 15x) = −15x2 + 240x +14 400

Buscamos x para que f (x) sea máxima:

f ' (x) = −30x + 240

Veamos que es un máximo:

f '' (x) = −30 ; f '' (8) = −30 < 0 → en x = 8 hay máximo. (Como f (x) corresponde a una parabola invertida, en x = 8 está el máximo absoluto).

Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24 + 8 = 32 árboles, que producirán 15 360 frutos.

Ejercicio nº 14.-

Un transportista va de una ciudad A a otra B a una velocidad constante de x km/h por una carretera en la que debe cumplirse que 35 ≤ x ≤ 55. El precio del carburante es de 0,6 euros el litro y el consumo es de 10 + x2/120 litros por hora. El conductor cobra 8 euros por hora y la distancia entre A y B es de 300 km. Halla la velocidad a la que debe ir para que el viaje resulte lo más económico posible. Solución:

La velocidad es x km/h y la distancia es de 300 km; por tanto, como x es constante,

Además, ha de ser 35 ≤ x ≤ 55.

Buscamos x para que C (x) sea mínimo:

Veamos que es un mínimo:

( ) 88302400240300' =→==→=+−→= xxxxf

:será coste el Así,llegar. en horas 300 tardaráx

( ) =

+=

++=

++=

20014300

20068300300·6,0

12010300·8

222 xx

xxx

xx

xC

0,2

32004>+= xx

x

( ) 2

2

2 234008

232004'

xx

xxC +−

=+−

=

( ) →==→=+−→= 8002340080340080' 22 xxxC

vale) no negativa raíz (la92,52≈→ x

15

C''(52,92) > 0 → en x = 52,92 hay un mínimo C (35) = 172,5 euros; C (52,92) = 158,75 euros; C (55)= 158,86 Por tanto, deberá ir a 52,92 km/h (el coste en este caso será de 158,75 euros).

Ejercicio nº 15.-

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga volumen máximo. Solución:

Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que:

x2 + y2 = 1 → y2 = 1 − x2

El volumen del cono es:

Buscamos x para que el volumen sea máximo:

Veamos que es un máximo:

Por tanto, el máximo se alcanza cuando los catetos miden:

( ) 3

4008''x

xC =

( ) ( ) 10;3

133

322 ≤≤−π

=−π

=π

= xxxxxxyV

( )2313

' xV −π

=

vale) no negativa raíz (la31

310310' 22 =→=→=−→= xxxV

( ) ( ) ( )( )010 máximo unhay 31 en0

31'',6

3'' ===→<

−

π= VVxVxV

cono) del altura la será que (el dm58,033

31

≈==x

dm 82,036

32

≈==y

16

Regla de L´Hôpital

Ejercicio nº 16.-

Calcula, utilizando la regla de L'Hôpital:

Solución:

Por tanto:

Ejercicio nº 17.-

Halla los siguientes límites:

Solución:

( )xxx

xlímx

xsenxlím1

2

04

22

01b)a) +

−→→

=

=

−=

−=

=

−→→→ 0

04

224

2200a) 30304

22

0 xxsenxlím

xxcosxsenxlím

xxsenxlím

xxx

31

248

2428

00

2424

00

12222

0020===

==

=

−=

→→→

xcoslímx

xsenlímx

xcoslímxxx

( ) ( ) :logaritmos Tomamos .11b)1

2

0

∞

→=+ x

xxlím

( ) ( ) 01

12

0011

2

0

2

0

12

0=+=

=

+=+

→→→

xx

límx

xlnlímxlnlímxx

xx

( ) 11 01

2

0==+

→exlím x

x

( ) 23

02

2

02b)1a) x

xxxcoslím

xxcoslím

→→

−

( )=

=

−=

−=

=

−→→→ 0

02

22

2001a)

002

2

0 xxsenlím

xxsenxcoslím

xxcoslím

xxx

( ) 122

222

0−=

−=

−=

→

xosclímx

( ) ( ) :logaritmos Tomamos .12b) 23

0

+∞

→=x

xxcoslím

( ) ( )=

=

−=

−

=

==

→→→→ 0023

22

22·3

00232

000

3

0

2

xxtglím

xxcos

xens

límx

xcoslnlímxcoslnlímxx2x

xx

( ) 61

2·213 2

0−=

+−=

→

xtglímx

17

Por tanto:

Ejercicio nº 18.-

Calcula los siguientes límites:

Solución:

Por tanto:

Ejercicio nº 19.-

Calcula los límites:

Solución:

( ) 66

3

0

12 2

eexcoslím x

x== −

→

xxx

xlímx

xsenxcosxlím −→→

− 11

130b)a)

=

=

−=

−−=

=

−→→→ 0

0330

0a)02030 x

xsenlímx

xcosxsenxxcoslímx

xsenxcosxlímxxx

31

30

−=

−=

→

xosclímx

( ) :logaritmos Tomamos .1b) 11

0

∞−→

=xx

xlím

11

1

00

1 111

1

1−=

−=

=

−=

→→

−→

xlímxxlnlímxlnlím

xxx

x

eexlím x

x

1111

1== −−

→

32

2

0b)a)

xxlnlím

xsenxxsenxlím

xx +∞→→ −+

11

1cos2

200a)

02

2

0−=

−=

−+

=

=

−+

→→ xxxcosxlím

xsenxxsenxlím

xx

0333

3

1

1

b)3

313

2

32

3====

=

∞+∞+

=+∞→

−

+∞→+∞→+∞→+∞→ xlímxlím

xxlím

x

xlímxxlnlím

xxxxx

18

Ejercicio nº 20.-

Obtén el valor de los siguientes límites:

Solución:

Por tanto:

Teorema de Rolle y del valor medio

Ejercicio nº 21.-

Calcula m y n para que la función:

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución:

• Continuidad en [0, 3]:

Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

Para que sea continua, ha de ser m + 1 = n + 1 → m = n

• Derivabilidad en (0, 3):

Si x ≠ 1, es derivable, y su derivada es:

xxx

xlímxtg

xcoslím1

0b)1a)

+∞→→

−

010

1001a) 200

==+

=

=

−→→ xtg

xsenlímxtg

xcoslímxx

( ) :logaritmos Tomamos .b) 01

∞+=+∞→

xx

xlím

01

11

==

∞+∞+

==+∞→+∞→+∞→

xlímxxlnlímxlnlím

xxx

x

101

==+∞→

exlím xx

( )

>++−

≤+=

1si32

1si12 xnxx

xmxxf

( ) ( )

( ) ( )( )

1 1

2

1 1

1 1

En 1 , 2 3 1

1 1

x x

x x

lím f x lím mx m

x lím f x lím x x n n

mf

− −

+ +

→ →

→ →

= + = += = − + + = +

+ =

19

Para que sea derivable en x = 1, han de ser iguales:

• Por tanto, f (x) cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 3] si m = n = −1. En este caso, quedaría:

• Veamos dónde cumple la tesis:

Ejercicio nº 22.-

Dada la función:

Comprueba que satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución:

• Continuidad en [0, 2]:

Si x ≠ 1, la función es contínua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas.

Por tanto, f (x) es continua en [0, 2].

• Derivabilidad en (0, 2):

( )

>+−

<=

1si34

1si'

xx

xmxf

( )( )

111'

1'−=→

−=

=

+

−

mf

mf

( )

>−+−

≤+−=

1xsi132

1si12 xx

xxxf

( ) ( ) ( )311

3110

0303' −

=−−

=−−

=ffcf

( )( )

>+−=

≤−=

1si34'

1si1'

xccf

xcf

( )3,035

31134 ∈=→−

=+− cc

( )

>

≤−

=

1six1

1si2

3 2

x

xx

xf

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

2

1 11

1 1

3 12 1

1En 1 , 1 es continua en 1

1 1

x xx

x x

xlím f x límlím f x f

x lím f x límx

f x x

f

− −

+ +

→ →→

→ →

−= = =

= = = =

=

20

Si x ≠ 1, es derivable, y su derivada es:

En x = 1, como f ' (1−) = f ' (1+) = −1, también es derivable, y f ' (1) = −1. Por tanto, f (x) es derivable en (0, 2). Se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio; es decir, existe c ∈ (0, 2) tal que:

Veamos dónde se cumple la tesis:

Ejercicio nº 23.-

Comprueba que y = x − x3 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [−2, 1]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución:

• La función y = x − x3 es continua y derivable en ; por tanto, será continua en [−2, 1] y derivable en (−2, 1).

Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.

• Entonces, existe c ∈ (−2, 1) tal que:

Veamos cual es el valor de c en el que se cumple la tesis: f ' (x) = 1 − 3x2 → f ' (c) = 1 − 3c2 = −2 −3c2 = −3 → c2 = 1 → c = ±1

La tesis se cumple en c = −1 (pues −1 ∈ (−2, 1), pero 1 ∉ (−2, 1)).

( )

>−

<−

=

1si1

1si

'

2 xx

xx

xf

( ) ( ) ( )21

223

21

0202' −

=−

=−−

=ffcf

)1 (si21

21

>=→−

=− xxx

)1 (si22211 2

2 >=→=→−

=− xxxx

2 y 21 :valores doshay tanto, Por 21 == cc

( ) ( ) ( )( ) 2

36

2160

2121' −=

−=

+−

=−−−−

=ffcf

21

Ejercicio nº 24.-

Calcula a, b y c para que la función:

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. ¿Qué asegura el teorema en este caso? Solución:

• Continuidad en [0, 4]:

Si x ≠ 2, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

Para que sea continua en x = 2, ha de ser:

8 − 2a = 2b + c

• Derivabilidad en (0, 4):

Si x ≠ 2, la función es derivable, y su derivada es:

• Además, debe ser f (0) = f (4) ; es decir:

0 = 4b + c

• Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que:

• En este caso, el teorema de Rolle asegura que existe c ∈ (0, 4) tal que f ' (c) = 0.

Ejercicio nº 25.-

el intervalo [0, 4]. En caso afirmativo, averigua dónde cumple la tesis.

( )

≥+<−

=2si2si2 2

xcbxxaxxxf

( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

2 8 2

En 2: 2

2 2

x x

x x

lím f x lím x ax a

x lím f x lím bx c b c

b cf

− −

+ +

→ →

→ →

= − = −= = + = +

+ =

( )

><−

=2si2si4

'xbxax

xf

( )( )

' 2 8En 2, ha de ser 8

' 2

f ax a b

f b

−

+

= − = − = =

826

408

228

−===

+==−

+=−

cba

cbba

cba

( ) ( ) en Rolle de teorema del hipótesis las cumple 2 función la si Comprueba 3 2−= xxf

22

Solución:

[0, 4].

• Pero veamos que no es derivable en (0, 4) (pues no lo es en x = 2 ∈ (0, 4)).

La derivada es:

• Por tanto, no se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle.

Problemas de funciones derivables y continuas

Ejercicio nº 26.-

Justifica los pasos de la siguiente demostración: Vamos a probar que "si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b); y f' (x) = 0 en todos los puntos de (a, b), entonces f es constante en [a, b]". 1) Tomamos dos puntos cualesquiera x1 < x2 de [a, b]; entonces se cumple que:

2) Por tanto, f (x2) − f (x1) = 0. 3) Y así deducimos que f es constante. Solución:

1) Tomamos dos puntos cualesquiera x1 < x2 de [a, b]; como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b),

aplicando el teorema del valor medio, existe c ∈ (a, b) tal que

Como f ' (x) = 0 en todos los puntos de (a, b), en particular f ' (c) = 0; es decir:

2) Por tanto, f (x2) − f (x1) = 0.

3) Así, hemos llegado a que f (x2) = f (x1) cualesquiera que sean x1 < x2 de [a, b]. Esto significa que f (x) es constante en [a, b].

( ) ( )23La función 2 es continua en ; por tanto, también lo es en el intervalof x x• = −

( ) ( ) 3Además, 0 4 4.f f• = =

( )( )

2 en derivada la existe No23

2'3

=→−

= xx

xf

( ) 012

12 ==−− cf

xxxfxf ')()(

( ).')()(

12

12 cfxx

xfxf=

−−

0)()(

12

12 =−−

xxxfxf

23

Ejercicio nº 27.-

Demuestra que la función:

no cumple la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b], cualquiera que sea el valor de b > 1. Solución:

• Continuidad en [0, b], con b > 1:

Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

Por tanto, f (x) es continua en [0, b].

• Derivabilidad en (0, b), con b > 1:

Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es:

Como f ' (1−) = − 3 ≠ f ' (1+) = 2, f (x) no es derivable en x = 1.

Por tanto, f (x) no es derivable en (0, b), con b > 1. Así, no cumple las hipótesis del teorema de Rolle en este intervalo.

Ejercicio nº 28.-

Demuestra que la ecuación:

ex − x − 1 = 0 solo tiene la aíz x = 0. Para ello, supón que tuviera otra raíz (digamos x = a), aplica el teorema de Rolle a la función f (x) = ex − x − 1 en [0, a] (o en [a, 0] si a < 0) y llegarás a una contradicción. Solución:

• Supongamos que tuviera otra raíz positiva, x = a.

Como f (x) = ex − x − 1 es continua y derivable en , también será continua en [0, a] y derivable en (0, a).

Además, sería f (0) = f (a) = 0.

Por el teorema de Rolle, existiría c ∈ (0, a) tal que f ' (c) = 0. Pero:

f ' (x) = ex − 1 = 0 → ex = 1 → x = 0 ∉ (0, a)

Llegamos a una contradicción, luego no existe ninguna otra raíz positiva.

( )

>−

≤+−=

1si121si43

xxxx

xf

( ) ( )( ) ( )

( )

( )1 1

1 1

3 4 1

En 1 , 2 1 1 es continua en 1.

1 1

x x

x x

lím f x lím x

x lím f x lím x f x x

f

− −

+ +

→ →

→ →

= − + = = = − = = =

( )

>

<−=

1si2

1si3'

x

xxf

24

• Análogamente, si suponemos que existe otra raíz negativa, x = a, aplicando el teorema de Rolle con [a, 0], llegaríamos a una contradicción.

• Por tanto, solo tiene la raíz x = 0, como queríamos demostrar.

Ejercicio nº 29.-

Demuestra que, entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado es el de perímetro mínimo. (Llama k al área del rectángulo y ten en cuenta que es constante). Solución:

Consideramos los rectángulos de área k, con k constante. Llamamos x a su base e y a su altura. El área será:

El perímetro del rectángulo es:

Buscamos x para que el perímetro sea mínimo:

Veamos que es mínimo:

Ejercicio nº 30.-

Demuestra que, entre todos los rectángulos que pueden inscribirse en un círculo de radio R, el cuadrado tiene el área máxima.

xkykyxA =→== ·

0,22·2222 >+=+=+= xxkx

xkxyxP

2

2

2

2222'x

kxxkP −=−=

vale) no negativa raíz (la0220' 22 kxkxkxP =→=→=−→=

( ) mínimo. unhay en)0 (pues0'',4'' 3 kxkkPxkP =→>>=

Por tanto, el rectángulo buscado es el que tiene de lados , , es decir, elx k y k= =

cuadrado de lado , como queríamos demostrar.k

25

Solución:

Llamamos x a la base del rectángulo e y a su altura. Tenemos que: x2 + y2 = (2R) 2 → x2 + y2 = 4R2

El área del rectángulo es:

Buscamos x para que el área se máxima:

(la raíz negativa no vale, pues x > 0).

máximo).

A (0) = A (2R) = 0

como queríamos demostrar.

RxxRy 20,4 22 <<−=

RxxxRxRxyxA 20,44· 42222 <<−=−==

( )22

22

22

22

422

32

422

32

4

24

4

24

4

24

42

48'xR

xR

xRx

xRx

xxR

xxR

xxR

xxRA−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

22420240' 222222 RxRxRxxRA =→=→=→=−→=

( ' 0 a la izquierda de 2 y ' 0 a su derecha; por tanto, en 2 hay unA x R A x R> = < =

Por tanto, el máximo se alcanza para 2 ; es decir, para el cuadrado de lado 2,x y R R= =