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Recta tg y normal L’Hopital Formula de Taylor Analisis de funciones Graficas Aplicaciones economicas
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN UNAVARIABLE REAL
Matematicas para la Economıa: Calculo(Economıa)
Matematicas II (ADE)Facultad de Ciencias Economicas y Empresariales
Jose Jaime Noguera Noguera
15 de noviembre de 2020
Recta tg y normal L’Hopital Formula de Taylor Analisis de funciones Graficas Aplicaciones economicas
Contenidos
1 Recta tg y normal
2 L’Hopital
3 Formula de Taylor
4 Analisis de funciones
5 Graficas
6 Aplicaciones economicas
Recta tg y normal L’Hopital Formula de Taylor Analisis de funciones Graficas Aplicaciones economicas
Recta tangente y normal
Figura: Fuente: www.calculo.cc
Recta tg y normal L’Hopital Formula de Taylor Analisis de funciones Graficas Aplicaciones economicas
Recta tangente y normal
Recta tangenteSi f (x) es derivable en x0, la ecuacion de la recta tangente a lagrafica de y = f (x) en x0 es:
y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).
Recta normalSi f (x) es derivable en x0, la ecuacion de la recta normal a lagrafica de y = f (x) en x0 es:
y = f (x0)− 1f ′(x0)(x − x0).
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Recta tangente y normalEjemplo: halla las ecuaciones de la recta tangente normal a lafuncion f (x) = 5x4 − 3x en x0 = −2.
f (x0) = f (−2) = 5 · (−2)4 − 3 · (−2) = 86f ′(x) = 20x3 − 3→ f ′(x0) = f ′(−2) = 20 · (−2)3 − 3 = −163
Recta tangente y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)y = 86− 163(x − (−2))
y = 86− 163x − 326y = −240− 163x
Recta normal y = f (x0)− 1f ′(x0) (x − x0)
y = 86− 1−163(x − (−2))
y = 86 + 1163x + 2
163y = 14020
163 + 163x
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Regla de l’Hopital
Teorema (Regla de l’Hopital)
Si lımx→a
f (x)g(x) (donde a puede ser un numero o +∞ o −∞) es una
indeterminacion del tipo(
00
)o(±∞±∞
)entonces:
lımx→a
f (x)g(x) = lım
x→af ′(x)g ′(x)
Nota1 El teorema puede aplicarse repetidamente, es decir
lımx→a
f (x)g(x) = lım
x→af ′(x)g ′(x) = lım
x→af ′′(x)g ′′(x) = . . .
2 En algunos casos de lımites tipo ∞−∞ o (1)∞ el teoremapuede tambien aplicarse transformando previamente loslımites a tipo
(00
)o(±∞±∞
)
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Ejemplos
Caso directo. lımx→0
ex−e−x
sin x = 00 = lım
x→0ex +e−x
cos x = 21 = 2
Caso 0 · ∞.lımx→2
(x − 2) ln(x − 2) = 0(−∞) = lımx→2
ln(x−2)1
x−2= −∞±∞
= lımx→2
1x−2
0·(x−2)−1·1(x−2)2
= lımx→2
(x−2)2
(−1)(x−2) = lımx→2−(x−2) = 0
Caso ∞−∞. lımx→0
(1x −
1sin x
)=∞−∞ = lım
x→0sin x−xx sin x = 0
0
= lımx→0
cos x−11·sin x+x cos x = 0
0 = lımx→0
− sin xcos x+1·cos x+x(− sin x)
= 02 = 0
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Ejemplos
Cuando tenemos indeterminaciones del tipo 1∞, ∞0 o 00 se tomanlogaritmos y se aplican las propiedades.
Caso 1∞.lımx→0
(sin x + cos x) 1x = 1∞ → L = lım
x→0(sin x + cos x) 1
x →
ln L = ln(
lımx→0
(sin x + cos x) 1x
)= lım
x→0
(ln(sin x + cos x) 1
x)
lımx→0
(1x ln(sin x + cos x)
)=∞ · 0 = lım
x→0ln(sin x+cos x)
x = 00
L′Hopital−−−−−−→= lımx→0
1sin x+cos x (cos x−sin x)
1 = 1
Por tanto ln L = 1⇒ L = e1 = e.
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Ejemplos
Caso 00. lımx→0
x sin x = 00 → L = lımx→0
x sin x →
ln L = ln(
lımx→0
x sin x)
= lımx→0
(ln x sin x) =
lımx→0
(sin x · ln x) = 0 · (−∞) = lımx→0
ln x1
sin x= −∞∞
L′Hopital−−−−−−→= lımx→0
1x
0·sin x−1·cos xsin2 x
= lımx→0
sin2 x−x cos x = 0
0
L′Hopital−−−−−−→= lımx→0
2 sin x ·cos x−1·cos x+(−x)(− sin x) =
= lımx→0
2 sin x ·cos x− cos x+x sin x = 0
−1 = 0
Por tanto ln L = 0⇒ L = e0 = 1.
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Ejemplos
Caso ∞0
lımx→+∞
(x3 − 1) 1x =∞0 → L = lım
x→+∞(x3 − 1) 1
x
→ ln L = ln(
lımx→+∞
(x3 − 1) 1x
)= lım
x→+∞
(ln(x3 − 1) 1
x)
= lımx→+∞
1x ln(x3 − 1) = 0 · ∞ = lım
x→+∞ln(x3−1)
x = ∞∞
L′Hopital−−−−−−→ lımx→+∞
1x3−1
·(3x2)1 = lım
x→+∞3x2
x3−1 = 0
Por tanto ln L = 0⇒ L = e0 = 1.
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Formula de Taylor
Teorema (de Taylor)Dada una funcion f continua y derivable n + 1 veces en el intervalo[a, x ], se cumple que:
f (x) = f (a) + f ′(a) (x − a)1! + f ′′(a) (x − a)2
2! + · · ·+ f (n)(a) (x − a)n
n! + Tn(x)
Lo anterior se conoce como la formula de Taylor de f en el puntoa. Tn(x) es el resto de la formula de Taylor. Puede adoptar variasexpresiones, la mas utilizada es la forma de Lagrange:
Tn(x) = f (n+1)(ξ)(x − a)n−1
(n + 1)! ,
para algun numero ξ ∈ (a, x).
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Polinomio de TaylorSe llama polinomio de Taylor de grado n para f (x) en a, a la expre-sion:
Pn(x) = f (a)+f ′(a)(x − a)1! +f ′′(a)(x − a)2
2! +· · ·+f (n)(a)(x − a)n
n! .
Tenemos pues que:
f (x) = Pn(x) + Tn(x).
Dado que ξ es desconocido, no podemos calcular Tn(x) pero sı sepuede acotar, es decir que |Tn(x)| ≤ cota.Si lo que queremos es obtener una aproximacion polinomica a f (x)sin pasarnos de un cierto error, es decir una cierta cota, se calcula n0para que |Tn0(x)| ≤ cota y de esta manera calculamos el polinomiode Taylor de grado n0. Ası:
|f (x)− Pn0(x)| = |Tn0 | ≤ cota
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Formula de McLaurin
Si la formula de Taylor se calcula en el punto a = 0 entonces sedenomina formula o desarrollo de McLaurin:
f (x) = f (0)+f ′(0)(x − 0)1! +f ′′(0)(x − a)2
2! +· · ·+f (n)(0)xn
n! +Tn(x),
conTn(x) = f (n+1)(ξ) xn−1
(n + 1)! ,
para algun numero ξ ∈ (0, x).
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Ejemplo
Halla el polinomio de Taylor de grado 3 en un entorno de x = 1para la funcion f (x) = ln(x) + xex [septiembre 2018, Economıa].
Calculamos las derivadas sucesivas:1 f ′(x) = 1
x + ex + xex
2 f ′′(x) = − 1x2 + ex + ex + xex = − 1
x2 + 2ex + xex
3 f ′′′(x) = 2x3 + 2e2 + ex + xex = 2
x3 + 3ex + xex
Sustituimos la funcion y las derivadas en x = 1:1 f (1) = ln(1) + 1e1 = e2 f ′(1) = 1
1 + e1 + 1e1 = 1 + 2e3 f ′′(1) = − 1
12 + 2e1 + 1e1 = −1 + 3e4 f ′′′(1) = 2
13 + 3e1 + 1e1 = 2 + 4e
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EjemploPor tanto:
P3(x) = e + (1 + 2e)(x − 1) + −1 + 3e2 (x − 1)2 + 2 + 4e
6 (x − 1)3.
Si queremos dar una expresion del error, es decir, T3(x), debemoscalcular una derivada mas:
f iv)(x) = − 6x4 + 3ex + ex + xex = − 6
ξ4 + 4ex + xex .
Con lo que:
T3(x) =− 6
ξ4 + 4eξ + xeξ
4! (x − 1)4.
La solucion al ejercicio sera:
f (x) = e + (1 + 2e)(x − 1) + −1+3e2 (x − 1)2 +
+ 1+2e3 (x − 1)3 +
− 6ξ4 +4eξ+ξexi
24 (x − 1)4.
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Crecimiento-decrecimiento
DefinicionSe dice que f es creciente en x0 si existe un entorno del punto x0,(x0 − a, x0 + a), tal que:
Si x0 − a < x < x0 ⇒ f (x) < f (x0)Si x0 < x < x0 + a ⇒ f (x0) < f (x)
DefinicionSe dice que f es decreciente en x0 si existe un entorno del puntox0, (x0 − a, x0 + a), tal que:
Si x0 − a < x < x0 ⇒ f (x) > f (x0)Si x0 < x < x0 + a ⇒ f (x0) > f (x)
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Crecimiento-decrecimiento
PropiedadSe cumple:
Si f (x) derivable y creciente en x0 ⇒ f ′(x) ≥ 0.Si f (x) derivable y decreciente en x0 ⇒ f ′(x) ≤ 0.
Teorema (CRITERIO CRECIMIENTO-DECRECIMIENTO).
f ′(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0.f ′(x0) < 0 ⇒ f es decreciente en x0.
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Crecimiendo-decrecimineto
Figura: Crecimiento-decrecimiento segun el signo de la derivada.
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Crecimiendo-decrecimineto
Ası pues si nos piden estudiar el crecimiento-decrecimiento de unafuncion (que es lo mismo que nos pidan estudiar la monotonıa)debemos hacer:
1 Hallar los puntos en los que la derivada de la funcion se anula.Esto se hace resolviendo la equacion f ′(x) = 0. Las solucionesde esa ecuacion seran x0, x1, x2, . . .
2 Si hay discontinuidades, anadimos dichos puntos a losanteriores.
3 Para el primer intervalo, tomar un punto interior, por ejemploun a tal que −∞ < a < x0 y lo sustituimos en la derivada dela funcion:
Si f ′(a) > 0⇒ la funcion f (x) es creciente en (−∞, x0).Si f ′(a) < 0⇒ la funcion f (x) es decreciente en (−∞, x0).
4 Repetir el paso anterior para el resto de intervalos.
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Maximos y mınimos
Figura: Maximo y mınimo.
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Maximos-mınimos
DefinicionSe dice que la funcion f tiene un maximo relativo en x0 si existe unnumero ε, tal que si x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), entonces f (x) < f (x0).
DefinicionSe dice que la funcion f tiene un mınimo relativo en x0 si existe unnumero ε, tal que si x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), entonces f (x) > f (x0).
Teorema (Condicion necesaria de maximo o mınimo relativo)Si f (x) es derivable en x0 y tiene un maximo o mınimo relativo enx0, entonces f ′(x0) = 0.
IMPORTANTE: el recıproco del teorema NO ES CIERTO.
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Maximos y mınimos
DefinicionDecimos que f tiene un maximo absoluto en [a, b] si f (x0) > f (x)para todo x ∈ [a, b].
DefinicionDecimos que f tiene un mınimo absoluto en [a, b] si f (x0) < f (x)para todo x ∈ [a, b].
IMPORTANTE: Si nos piden hallar los maximos o mınimos abso-lutos de una funcion en un intervalo debemos hallar los maximos omınimos relativos y debemos incluir los extremos del intervalo comoposibles maximos o mınimos absolutos. El maximo o mınimo absolu-to se hallara comparando los valores de la funcion en dichos puntos(los maximos o mınimos relativos mas los extremos del intervalo).Esto hay que aplicarlo en problemas de optimizacion.
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Maximo y mınimos
Figura: Maximos y mınimos relativos y absolutos.
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Concavidad-convexidad
DefinicionDenotemos y = t(x) a la recta tangente a la curva y = f (x) en x0.Entonces:
Si en las cercanıas de x0, f (x) > t(x) entonces la curva esCONCAVA en x0.Si en las cercanıas de x0, f (x) < t(x) entonces la curva esCONVEXA en x0.En otro caso (la curva no esta siempre a un lado de latangente) x0 es un PUNTO DE INFLEXION.
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Concavidad-convexidad
Figura: Concavidad-convexidad.
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Concavidad-convexidad
Teorema (Curvatura y segunda derivada)Si f tiene segunda derivada en x0, se cumple que:
f es concava en x0 ⇒ f ′ es creciente en x0 ⇒ f ′′(x0) ≥ 0.f es convexa en x0 ⇒ f ′ es decreciente en x0 ⇒ f ′′(x0) ≤ 0.f tiene un punto de inflexion en x0 ⇒ f ′′(x0) = 0 o f ′′ noexiste en x0 (LO CONTRARIO NO SIEMPRE ES CIERTO)
REGLA PRACTICA PARA HALLAR LA CURVATURA1 Resolvemos la ecuacion f ′′(x) = 0, obteniendo x0, x1, x2, . . .2 Anadimos los posibles puntos de discontinuidad.3 Tomamos un punto del primer intervalo que obtenemos, es
decir un a ∈ (−∞, x0):Si f ′′(a) > 0 ⇒ f es concava en (−∞, x0).Si f ′′(a) < 0 ⇒ f es convexa en (−∞, x0).
4 Repetimos el paso anterior para los siguientes intervalos.
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Concavidad-convexidad
REGLA PRACTICA PARA HALLAR LOS PUNTOS DE IN-FLEXIONHay dos posibilidades:
x0 sera un punto de inflexion si f ′′(x0) = 0 y la funcion pasade concava a convexa o viceversa.x0 sera un punto de inflexion si f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) 6= 0
En el caso que f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) = 0 se deberıa recurrir alcriterio de las primeras r − 1 derivadas nulas. Se va derivandohasta que f (r)(x0) 6= 0:
r par y f (r)(x0) < 0→ Hay un maximo local.r par y f (r)(x0) > 0→ Hay un mınimo local.r impar → Hay un punto de inflexion.
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Maximos-mınimos
APLICACION DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA HALLARMAXIMOS Y MINIMOSTenemos otra opcion para hallar maximos y mınimos. Si f ′(x0) = 0y existe f ′′(x0) y no es nula, entonces:
f ′′(x0) > 0 ⇒ f tiene un mınimo relativo en x0.f ′′(x0) < 0 ⇒ f tiene un maximo relativo en x0.
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Representacion grafica
Debemos estudiar los puntos:1 Dominio.2 Puntos de corte con los ejes coordenados.3 Simetrıa.4 Periodicidad.5 Asıntotas.6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonıa).
Maximos y mınimos.7 Concavidad, convexidad y puntos de inflexion.8 Grafica.
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Ejemplo
Lo veremos con un ejemplo, f (x) = x2
x−1
1 Dominio: x − 1 = 0⇒ x = 1→ Domf (x) = R\{1}2 Corte con los ejes:
Eje Y: si x = 0→ y = 0Eje X: si y = 0→ 0 = x2
x−1 → x = 03 Simetrıa. Se calcula f (−x):
Si f (−x) = f (x) es simetrica respecto al eje OY (o la funciones par).Si f (−x) = −f (x) es simetrica respecto al Origen (o lafuncion es impar).
En nuestro caso f (−x) = (−x)2
−x−1 = x2
−x−1Como f (x) 6= f (−x) y −f (x) 6= f (−x) entonces la funcion nopresenta simetrıas.
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Ejemplo
4 Periodicidad. No presenta periodicidad. (Solo se estudia en lastrigonometricas).
5 AsıntotasA.H. lım
x→+∞x2
x−1 = +∞→ No hay A.H.
A.V. lımx→1
x2
x−1 = 10 = ±∞→ x = 1 es A.V. Ademas
lımx→1+
x2
x−1 = +∞[
(1,1)2
1,1−1 = (+)]
lımx→1−
x2
x−1 = −∞[
(0,9)2
0,9−1 = (−)]
A.O. m = lımx→+∞
f (x)x = lım
x→+∞
x2x−1x = lım
x→+∞x2
x2−x = 1
n = lımx→+∞
(f (x)−mx) = lımx→+∞
(x2
x−1 − x)
=
lımx→+∞
x2−x2+xx−1 = lım
x→+∞x
x−1 = 1Por tanto y = x + 1 es A.O.
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Ejemplo
6 Crecimiento-decrecimiento Calculamos los puntos tales quef ′(x) = 0:f ′(x) = 2x(x−1)−x2·1
(x−1)2 = 2x2−2x−x2
(x−1)2 = x2−2x(x−1)2
x2−2x(x−1)2 = 0→ x2 − 2x = 0→ x(x − 2) = 0.Luego los posibles maximos y mınimos son x = 0 y x = 2.
Como x = −1 hay una discontinuidad, tambien lo incluimos ennuestro estudio:
INTERVALO (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2,+∞)Signo f (x) + − − +
↗ ↘ ↘ ↗
Si x = −1→ f ′(−1) = 34 > 0
Si x = 0,5→ f ′(0, 5) = −3 < 0Si x = 1,5→ f ′(1,5) = −3 < 0Si x = 3→ f ′(3) = 3
4 > 0
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Ejemplo
6 Por tantoIntervalos de crecimiento (−∞, 0) ∪ (2,+∞).Intervalos de decrecimiento (0, 1) ∪ (1, 2).En x = 0 hay un maximo relativo de valor f (0) = 0.En x = 2 hay un mınimo relativo de valor f (2) = 4.
7 Concavidad-convexidad. Debemos resolver la ecuacionf ′′(x) = 0 para hallar los posibles puntos de inflexion.f ′′(x) = (2x−2)(x−1)2−(x2−2x)·2(x−1)
(x−1)4 = (2x−2)(x−1)−(x2−2x)·2(x−1)3
= 2x2−2x−2x+2−2x2+4x(x−1)3 = 2
(x−1)3
La ecuacion 2(x−1)3 = 0 no tiene solucion. Por tanto no hay
puntos de inflexion.
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Ejemplo
En cualquier caso debemos estudiar la concavidad-convexidad antesy despues de x = 1:
INTERVALO (−∞, 1) (1,+∞)Signo f ′′(x) - +
∩ ∪
Si x = 0→ f ′′(0) = 2−1 < 0
Si x = 2→ f ′′(2) = 21 > 0
Por tanto la funcion es convexa en (−∞, 1) y concava en (1,+∞)
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Ejemplo
8 Grafica. Representamos las asıntotas x = 1, y = x + 1 , y lospuntos maximo (0, 0) y mınimo (2, 4):
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Ejemplo
8 Grafica. Sabemos que lımx→1+
x2
x−1 = +∞ y lımx→1−
x2
x−1 = −∞,que pasa por (0, 0) y tambien:
INTERVALO (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2,+∞)Signo f (x) + − − +
↗ ↘ ↘ ↗
INTERVALO (−∞, 1) (1,+∞)Signo f ′′(x) - +
∩ ∪
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Ejemplo
8 Grafica
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Aplicaciones economicas
Coste marginal. Si C(x) es la funcion de coste, C ′(x) es elcoste marginal.Ingreso marginal. Si I(x) es la funcion de beneficio, I ′(x) esel ingreso marginal.Beneficio marginal. Ingreso marginal. Si B(x) es la funcionde beneficio, B′(x) es el ingreso marginal.Elasticidad. Representa la variacion porcentual de f (x)cuando x varıa un 1 %:
(Economıa) Ex f = xf (x) · f
′(x)(ADE) Ex
Ep = pf (p) · f
′(p), siendo p el precio por unidad y x lademanda (numero de unidades que se adquieren durante unperıodo de tiempo a precio p, x = f (p)). Si η =
∣∣∣ExEp
∣∣∣:η = 0. Demanda perfectamente inelastica.0 < η < 1. Demanda inelastica.η = 1. Demanda unitaria.η > 1. Demanda elastica.η =∞. Demanda perfectamente elastica.
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EjemploSea −100x + 30p = 80 la funcion de demanda y C(x) = 200 + 5x2
la funcion de coste, determina:1 El coste marginal para x = 50.
C ′(x) = 10x → C ′(50) = 500.2 El ingreso marginal cuando x = 150.
La funcion ingreso esI(x) = x · p = x · 80+100x
30 = 83 x − 10
3 x2 → I ′(x) = 83 + 20x
3 .I ′(150) = 80
3 + 30003 = 3080
3 .3 El beneficio marginal para x = 10.
B(x) = I(x)− C(x) = 83 + 20x
3 − (200 + 5x2).B′(x) = 20
3 − 10x → B′(10) = −2803 .
4 La elasticidad para p = 7.ExEp = p
f (p) f ′(p) = p80−30p−100
· 310 = −3p
8−3p .
η =∣∣∣Ex
Ep (7)∣∣∣ =
∣∣∣−21−13
∣∣∣ = 1, 61 > 1→ La demanda es elastica,es decir, varıa en una proporcion mayor que el precio.