Aplicaciones de La Derivada Parte 01a4

ANÁLISIS MATEMÁTICO – ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS 1

APLICACIONES DE LA DERIVADA


Introducción: El objetivo de este capítulo será justificar el tiempo que se ha invertido (dado en los dos últimos capítulos) aprendiendo a hallar la derivada de una función. Ahora vamos a exponer múltiples aplicaciones. En la práctica la derivada no sólo proporciona pendiente de rectas tangentes, sino mide razones de cambio, así también nos proporciona una buena cantidad de información sobre la forma i el comportamiento de una función.

Otro de los objetivos de este libro, como se ha manifestado antes, entre otros fines, es aumentar el interés por la aplicación de la matemática en situaciones cotidianas. En este sentido, el sistema educativo, en el nivel secundario i superior debe proveer elementos para que el individuo desarrolle sus potencialidades, propiciándole capacidad para pensar crítica e independientemente. Tampoco queremos que el alumno, en pocos años de experiencia, descubra lo que la humanidad, incluso a través de sus mejores inteligencias descubrió a lo largo de miles de años.

La matemática no sólo contribuye sobremanera para el ejercicio intelectual, sino que también es el lenguaje de la ciencia. La enseñanza debe estar enfocada en los intereses i necesidades prácticas de la comunidad, i que el alumno desarrolle precozmente la capacidad para leer e interpretar el mundo de la matemática. En este sentido tratamos de alcanzar en alguna medida con la exposición de varias aplicaciones del cálculo diferencial en los dos capítulos siguientes, a estudiantes de las carreras profesionales de todas las ingenierías, economía, administración de empresas, biología, medicina, ciencias físico-matemáticas, ciencias sociales, contaduría, etc. Un ingeniero, cuando calcula un diseño, necesita conocer la rapidez con que varía una de sus variables. En otros campos, para predecir la magnitud futura de una población, la demanda futura de energía eléctrica, etc. Por esta razón, los métodos del cálculo nos proporciona una poderosa herramienta para resolver estos problemas.

16.1 La derivada como razón de cambio

En esta sección se analizará la derivada como una razón de cambio (denominada a veces también como tasa de cambio). Vistas de este modo, las derivadas pueden representar cantidades como la razón a la cual, por ejemplo, crece la población, la velocidad de un cuerpo en movimiento, el costo marginal para un fabricante, la tasa de inflación, i la razón a la cual se agotan los recursos.

A. Incremento i tasas

Sea y = f(x) una función tal que x1 es un primer valor i x2 un segundo valor de la variable x, entonces el cambio en la variable x es x2 – x1, que se denomina incremento de x

2

Lic. José L. Estrada P. - UNAJMA

i denotada por: x = x2 – x1

En consecuencia, y adquiere un valor de y1 cuando x = x1; esto es, y1 = f(x1)Análogamente y2 = f(x2). Así el incremento de y es

y = y2 – y1

Ejemplo 1. El volumen de ventas de gasolina en cierto “grifo” depende del precio. Si p es el precio por galón, se determina que el volumen de ventas q (en galones por día) está dado por g(p) = 80 (20 – p). Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de 10.00 soles a 10.80 soles.

Solución: Aquí en lugar de y = f(x) tenemos q = g(p), donde p es el precio i q el volumen de ventas. Luego p1 = 10.00 i p2 = 10.80 de modo que el incremento en el precio es p = p2 – p1 = 0.80. Los valores correspondientes de q son los siguientes q1 = g (p1) = 80 (20 –p1)= 800, q2 = g (p2) = 80 (20 – p2) = 736. Por tanto, el incremento de q es q = 736 – 800 = –64. El signo menos indica que el volumen de ventas disminuye en 64 galones por día cuando el precio se incrementa 0.80 de sol.

Nosotros estamos interesados en el cociente de incrementos xencambioyencambio

xy .

Resolviendo la ecuación x = x2 –x1 x2 = x1 + x, tenemos y = f(x2) – f(x1) = f(x1+ x) – f(x1). Como x1 es cualquier valor de x, podemos suprimir el subíndice i escribir:

y = f(x + x) – f(x). Dado que y = f(x), expresamos como:

y + y = f(x + x)

Por tanto, el cociente xy se convierte en

x)x(f)xx(f

xy

Note que cuando )x('fxy

lim0x

; Vea la sección 1del capítulo 14.

Nos interesa los “términos relativos”, como en el ejemplo anterior. Las ventas de gasolina bajan en 64 galones en un día cuando el precio sube de 10.00 a 10.80 soles; esto

es, se pierde 8080.064

pq galones diarios / sol.

Definición 16.1

(a) La razón de cambio promedio (o tasa de cambio promedio) de y = f(x) se define



mediante: x

)x(f)xx(fxy

(b) La razón de cambio instantáneo (o tasa de cambio instantánea) de y con respecto a x

se define por: dxdy

)x('fx

)x(f)xx(flim

xy

lim0x0x

.

En consecuencia, la derivada f’(x) denota tanto la pendiente de la gráfica de f en x, como la razón de cambio instantánea de y con respecto a x.

Ejemplo 2. (Administración de empresas) El siguiente cuadro indica las ventas anuales de una compañía durante un determinado periodo.

Año 2001 2002 2003 2004 Ventas anuales S/. 200000 S/. 225000 S/. 248000 S/. 282000

¿Cuál es la rapidez de incrementos promedio de ventas anuales?

(a) ¿Entre 2001 i 2004? (b) ¿Entre 2001 i 2002? (c) ¿Entre 2002 i 2003? (d) ¿Entre 2002 i 2004?

Solución: Sea x = f(t) una función, donde x representa la cantidad en soles i t el tiempo en años. Cuando t se incrementa en t, entonces x se incrementa en x, tal que x + x =

f (t + t) x = f (t + t) – f (t), luego el cociente de incrementos t

)t(f)tt(ftx es

la razón de cambio promedio de las ventas anuales. (a) Entre los años 2001 i 2004 para los cuales t1 = 1 i t2 = 4 respectivamente, las ventas

se han incrementado de 200000 soles a 282000 soles, entonces t = 4 – 1 = 3,

x = 282000 – 200000 = 82000. Por lo tanto, 3

82000tx = 27333.3 soles / año, es la

rapidez en promedio de las ventas anuales durante 3 años.

En forma similar obtenemos para los demás casos:

(b)12200000225000

tx = 25000 soles / año

(c)23225000248000

tx = 23000 soles / año

(d)14225000282000

tx = 28500 soles / año.

B. Razón de cambio

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Queremos resaltar la diferencia entre lo que es continuo i discreto. La mayor parte de los problemas en ciencias sociales son propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aún, la computadora digital es una herramienta exacta i rígida para manejar cantidades discretas. Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos primero con curvas continuas?. Por esta razón muchos colegas, ofrecen ahora cursos de matemáticas discretas. Sin embargo, debido a su belleza i poder, el cálculo continúa gozando de popularidad como una herramienta para analizar los problemas, tanto de las ciencias sociales como las de ingeniería, i las de físico matemáticas. (Esta es la situación que ocurre en el ejemplo 1, planteado anteriormente).

Los siguientes ejemplos expresan problemas en la cual la derivada se comporta efectivamente como una razón de cambio instantánea . Note que, siendo f ’(x) =

x)x(f)xx(flim

0x, entonces f ’(x) es aproximadamente igual a

x)x(f)xx(f ; es

decir, f ’(x) xy = Razón de cambio promedio.

Ejemplo 5. (Eficiencia de los trabajadores) Un estudio de productividad de turno matinal en cierta fábrica revela que un obrero “promedio” que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado f(x) = –x3 + 6x2 + 15x radios x horas más tarde: (a) A las 9:00 a.m. a qué razón ensambla radios el trabajador, (b) ¿Cuánto radios ensamblará el trabajador realmente entre las 9:00 a.m. i las 10:00 a.m.; entre las 10:00 a.m. i las 12:00 m.

Solución: (a) Desde que nos solicitan la razón, necesitamos la derivada: f ’(x) = –3x2 + 12x + 15. Para x = 0 se tiene 8:00 a.m., para x = 1 las 9:00 a.m., para x = 2 las 10:00 a.m., para x = 4 se tiene las 12 horas. Luego f ’(1) = 24; es decir, el obrero ensambla exactamente a las 9.00, 24 radios / hora.

(b) Deseamos hallar f(2) – f(1) = 46 – 20 = 26; esto es, el obrero ha ensamblado 26 radios

entre las 9:00 i 10:00 de la mañana. En promedio 26126

xy radios / hora, es lo que

ensambla en una hora. Similarmente f(4) – f(2) = 92 – 46 = 46, expresa el número de radios que ensambla entre las 10:00 i las 12.00; es decir, en dos horas. En promedio

23246

xy radios / hora, es lo que ensambla en cada hora. Note que la eficiencia del

trabajador está disminuyendo.

Ejemplo 6. Encontrar el promedio de la razón de cambio del volumen V de una esfera, cuando el radio r cambia:

(a) de r0 = 2 a r1 = 2.3 (b) de r0 = 2 a r1 = 2.2 (c) de r0 = 2 a r1 = 2.1



(d) Además hallar la razón de cambio instantánea de V en el instante r0 = 2.

Solución: La fórmula para hallar el volumen de una esfera de radio r está dado por: V(r) = (4/3) r3, entonces:

(a)01

01rr

)r(V)r(V = 15.5823.2

)2()3/4()3.2()3/4( 33

(b) 01

01rr

)r(V)r(V = 43.5522.2

)2()3/4()2.2()3/4( 33

(c ) 01

01rr

)r(V)r(V = 79.5221.2

)2()3/4()1.2()3/4( 33

(d) 0

0

0rr rr)r(V)r(V

lim = V’(r0) = 4 ro2 . En r0 = 2 se tiene: V’(2) = 4 (2)2 = 50.2656 u3.

Ejemplo 7. Se calcula que dentro de t años la población de la cierta comunidad, del departamento del Cusco, será de 20 – 6 / (t + 1) miles de habitantes.(a) Deduzca una fórmula que exprese la razón al cual está cambiando la población con

respecto al tiempo. (b) ¿Con qué rapidez estará creciendo la población de la comunidad al final de 9 años? (c ) ¿En qué cantidad aumentará la población en realidad durante el 10mo año?. (d) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo plazo?.

Solución: Supongamos que f(t) = 20 – 6/(t + 1) expresa el número de habitantes (en miles) en función del tiempo t:

(a) La fórmula que representa la razón de cambio (instantánea) de la población con respecto al tiempo (en años) está dada por f ’(t) = 6 / (t + 1)2.

(b) Al final de 9 años, se tiene t = 9; luego la población estará creciendo a razón de f ’(9) = 3/50 miles de habitantes por año; es decir, f ’(9) = 60 habitantes por año.

(c ) Puesto que f ’(t) = 6 / (t + 1)2 varía con el tiempo, el cambio real de la población en el lapso del 10mo año, viene dado por:

553

1)10/620()11/620(

910)9(f)10(f miles de habitantes; es decir,

aproximadamente 55 personas.

(d) La razón de crecimiento a largo plazo está determinada cuando t + ,tlim f ’(t) =

tlim [6 / (t + 1)2 ] = 0, lo que quiere decir que la población tiende a permanecer constante.

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Ejemplo 8. (Medicina) La Dirección de Salud indica que t semanas después del brote de

cierta clase de gripe, aproximadamente t2.1e76480)t(Q miles de personas habían

contraído la enfermedad. (a) ¿A qué ritmo se propagaba la enfermedad al final de la segunda semana?, (b) ¿Cuántas personas se contagiaron al final de la segunda semana?

Solución: (a) Desde que nos solicitan el ritmo en que se propaga la enfermedad, requerimos la derivada Q’(t). Derivando como un cociente:

2t2.1

t2.1

2t2.1

t2.1

)e764(e7296

)e764(]e)2.1(76[80)t('Q .Después de 2 semanas, 2)8945.10(

)0907.0()7296()2('Q

= 5.575; luego al final de las segunda semana la enfermedad crece a la rapidez de 5575 personas / semana.

(b) Al final de la semana 2, se contagian de la gripe ;3431.78946.1080)2(Q esto es, 343

personas.

D. Razón de cambio porcentual

En muchas situaciones prácticas la razón de cambio de una cantidad no es tan significativa como su razón de cambio porcentual. Por ejemplo, una razón de cambio anual de 600 personas en la población, en una ciudad de 9 millones de habitantes, sería insignificante, mientras que la misma razón de cambio tendría un efecto importante en un pueblo de 2400 habitantes.

La razón de cambio porcentual (RCP) se define por:

cantidadladetamañocantidadladecambioderazón100RCP ; es decir,

)x(f)x('f100RCP

o RCP = y

dxdy

100 , donde y = f(x). Por tanto, una razón de cambio de 600 personas / año

en una ciudad de 9 millones, resulta RCP = 100 9000000

600 = 0.006 % de la población al

año. En cambio, para aquella razón de cambio de 600 personas / año en una ciudad de 2400

habitantes resulta: RCP = 252400600100 %.

Ejemplo 9. (Economía) El producto nacional bruto (PNB) de cierto país crece a una razón constante. En el año 2000 el PNB era 125000 millones de dólares i en el año 2002, 155000 millones de dólares. ¿A qué razón porcentual aumentó el PNB en el año 2006?.



Solución: Como la razón es constante, entonces el PNB es una función lineal de la forma N(t) = at + b tal que N’(t) = a es constante, donde a es la pendiente de la recta i b la intersección con el eje vertical. Sea t = 0 para el año 2000, t = 2 para el año 2002, t = 6 para el año 2006.

Optamos en vez de 125 x 109 dólares para t = 0, sólo 125; análogamente para

t = 2, N = 155, luego 152

125155a , b = 125, entonces N(t) = 15t + 125, de donde

N’(t) = 15 i N’(6) = 15. La RCP es igual a 100)t(N)t('N para t = 6, RCP =

)6(N)6('N100 100

21515 = 6.98 %.

Ejemplo 10. (Negocios) Un importador de café brasileño estima que los consumidores

locales comprarán aproximadamente 2p4374)p(D kilos de café a la semana cuando el

precio sea p soles / kilo. Se estima que dentro de t semanas el precio del café brasileño será p(t) = 0.02 t2 + 0.1t + 6 soles por semana. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de café con respecto al tiempo dentro de 10 semanas; aumentará o disminuirá la demanda?

Solución: Necesitamos obtener dtdD . Como la demanda D está en función de p i p está en

función del tiempo, entonces empleando la regla de la cadena dtdp

dpdD

dtdD se obtiene:

Cuando t = 10 549

4374)p(D

96)10(1.0)100(02.0)10(p

2

Por una parte, 3p)4374()2(

dpdD i cuando p = 9, 12

dpdD kilos de café / sol. Por otra parte,

1.0t04.0dtdp i cuando t = 10, 5.0

dtdp soles / semana. Luego

dtdp

dpdD

dtdD

)5.0()12(dpdD = – 6 kilos / semana. Está disminuyendo.

Sensibilidad al cambio Cuando un pequeño cambio de x produce un cambio grande en el valor de una función y = f(x), decimos que la función es relativamente sensible a los cambios de x. La derivada f’(x) es una medida de la sensibilidad al cambio en x. Por ejemplo: El monge austriaco Gregor Johann Mendel (1822–1884), que trabajaba con chícharos (arvejas) de

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jardín i otras plantas, dio la primera explicación científica de la hibridización. Sus cuidadosos registros mostraron que si p (un número entre 0 i 1) es la frecuencia del gen de la cáscara lisa en los chícharos (dominante) i (1– p) es la frecuencia del gen de la cáscara arrugada, entonces la proporción de chícharos de cáscara en la población total es y = 2p(1–p) + p2 = 2p – p2. La gráfica de y = f(p) = 2p – p2 es una parábola donde el valor de y es más sensible a un cambio de p cuando p es pequeña, que cuando p es grande. En efecto, esto es evidente en la gráfica de y = f’(p) que es una recta, donde se muestra dy/dp es cercana a 2 cuando p se aproxima a 0, i cercana a 0 cuando p se aproxima a 1.

E J E R C I C I O S

2. (Costo, Ingreso, Utilidades) Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20000+ 40x soles i el ingreso obtenido por la venta de x toneladas esta dado por R(x) = 100x – 0.01 x2. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, ingreso i utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras.

3. (Crecimiento del PNB) Durante el periodo de 1980 al 2000, el PNB de cierto país se encontraba por la fórmula I = 5 + 0.1x + 0.01x2 en miles de millones de dolares. Determine el crecimiento promedio del PNB por año entre 1985 i 1990?.

4. (Crecimiento del PNB) En el ejercicio anterior, calcule las tasas de crecimiento instantáneas del PNB en : (a) 1980, (b) 1990, (c) 2000.

5. (PNB) El producto nacional bruto de cierto país era N(t) = t2 + 5t + 106 miles de millones de dólares t años después de 1998. (a) ¿A qué razón cambia el PNB con respecto al tiempo en el año 2006? (b) ¿A qué razón porcentual cambia el PNB con respecto al tiempo en el año 2006?.

6. (Ganancias anuales) Las ganancias anuales de cierta compañía fueron G(t) = 0.1t2 + 10t + 20 miles de soles t años después de su formación en el año 2001.

1

2

p

y’

y’ = 2 – 2p

1

1

p

y

y = 2p – p2



(a) ¿A qué razón crecieron la ganancias anuales brutas de la compañía con respecto al tiempo en el año 2005?.

(b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas, con respecto al tiempo en el año 2005?.

7. (Administración forestal) En el cuadro siguiente aparecen la demanda i el incremento en los diferentes años, para la comercialización de madera en la ciudad de Madre de Dios (Perú) La demanda se mide en millones de pies cúbicos, i está aumentando aunque no a una velocidad constante. Determine la razón de cambio promedio en la demanda: (a) entre 2000 i 2005, (b) entre 2000 i 2003, (c) entre 2003 i 2005.

Año Demanda Incremento de la demanda 2000 2001 2002 2003 2004 2005

12.0 12.4 13.3 14.8 16.0 17.5

0.4 0.9 1.5 1.2 1.5

8. (Recaudación de fondos) La contribución total C, recolectada con fines de caridad es función de la duración de la campaña nacional de recolección de fondos. La función es

)e1(1000000)t(fC t04.0 , donde C se da en soles i t en días.(a) ¿Cuánto se espera recaudar si la campaña dura 20 días?. (b) ¿Con qué rapidez se recauda en 20 días?.

9. (Impuesto sobre la propiedad) Los registros indican que x años después del año 2001, el impuesto medio sobre la propiedad de una casa de 3 habitaciones en cierta comunidad era T(x) = 20x2 + 40x + 600 soles.(a) ¿A qué razón aumentó el impuesto sobre la propiedad con respecto al tiempo en el

año 2007?. (b) ¿A qué razón porcentual creció el impuesto sobre la propiedad con respecto al

tiempo en el año 2007?.

10. (Ingreso per cápita) El producto nacional bruto de cierto país crece con el tiempo t de acuerdo con la fórmula I = I0 + at, en donde I0 i a son constantes. La población al tiempo t es P = P0 + bt, P0 i b son constantes. Calcule la tasa de cambio del ingreso per cápita en el instante t (El ingreso per cápita es igual al PNB dividido entre el tamaño de la población).

11. (Tasa de cambio del PNB) El ingreso per cápita en cierto país al tiempo t es igual a W = 6000 + 500t + 10t2 (W está en dólares i t en años). El tamaño de la población en el

10


instante t (en millones) es P = 10 + 0.2t + 0.01t2. Calcule la tasa de cambio del PNB en el instante t.

12. (Crecimiento de una población) El tamaño de la población P de un país es t05.0e50)t(fP , donde P se mide en millones i t en años (t = 0 corresponde al 2000)

(a) ¿Cuál fue la población en 1995?. (b) ¿Cuál fue la tasa promedio de crecimiento del 2000 al 2005?. (c) ¿Cuál se espera que sea la tasa instantánea de crecimiento para el año 2020?.

13. (Producción de una fábrica) Sea y el número de trabajadores en la fuerza laboral de una fábrica necesaria para producir x unidades de cierto artículo i supongamos que x = 4y2. Si la producción del artículo en el presente año es de 250000 unidades i la producción está creciendo a razón de 18000 unidades por año. ¿Cuál es la razón a la cual debe ser aumentada la fuerza laboral?.

14. (Producción) La ecuación de provisión de cierta clase de lápices es x = 3p2 + 2p, donde p soles es el precio de cada lápiz cuando 1000x lápices son provistos. Encontrar la razón de cambio instantánea del abastecimiento por cambio de un sol en el precio, cuando el precio es de 10 soles.

15. (Publicidad i ventas) Para vender x unidades de su producto semanalmente, una

compañía debe gastar A soles en publicidad donde x500

400ln200A . Los objetos se

venden a S/. 5 cada uno. La utilidad neta es entonces R = 5x – A. Calcule la razón de cambio de R respecto a A.

16. (Negocios) Los ingresos de un almacén de ventas al menudeo son 100y soles cuando x soles son gastados diariamente en publicidad i y = 2500 + 26x – 0.2x2. Usar la derivada para determinar si sería ventajoso que el presupuesto diario de publicidad fuera aumentado, si el presupuesto actual de publicidad es S/. 60; es S/. 100.

17. (Ventas al menudeo) Cuando una compañía inicia una nueva campaña de ventas, el número de ventas por día aumenta. Sin embargo, el número de ventas diarias extras por día disminuye a medida que la campaña termina. Para una campaña específica la compañía ha determinado que si S es el número de ventas diarias extras como resultado de la campaña i x es el número de días que han pasado desde que la campaña terminó, entonces: S = (100)(3)– x / 2. Encontrar la razón a la cual las ventas diarias extras están decreciendo cuando: (a) x = 4; (b) x = 10.

18. (Costos) Supongamos que el costo total en soles de la fabricación de x unidades de cierto artículo es C(x) = 3x2 + 5x +10

(a) ¿Cuál es la razón de cambio del costo con respecto a x cuando se han producido cincuenta unidades?.



(b) ¿Cuál es el costo efectivo de la fabricación de la unidad número 51?.

56. (Música) En la escala igualmente templada con la que se afinan los instrumentos de teclado desde la época de J. S. Bach (1685-1750), las frecuencias de las notas sucesivas DO, DO#, RE, RE#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI, DO , forman una progresión geométrica en la que DO tiene el doble de frecuencia que DO. ¿Cuál es la razón r entre las frecuencias de notas sucesivas? Si la frecuencia de LA es 440, encuentre la frecuencia de DO .

57. (Producción) Suponga que la producción en determinada fábrica es Q = 2x3 + x2y + y3 unidades, donde x es la cantidad de horas de mano de obra calificada que se utiliza i y la cantidad de horas de mano de obra no calificada. La fuerza laboral actual incluye 30 horas de mano de obra calificada i 20 horas de mano de obra no calificada. Estime el cambio que debería realizarse en la mano de obra calificada i para compensar un incremento de una hora en la mano de obra calificada x, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual.

58. (Utilidades) Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 236tt10 2

mil soles, t años después de su formación en enero de 2001. (a) ¿A qué razón estarán aumentando las ganancias brutas en enero de 2005?. (b) ¿A qué razón porcentual estarán aumentando las ganancias brutas en enero de

2005?.

60. (Producción diaria) En cierta fábrica, el costo total de fabricación de n artículos durante el trabajo de producción diario es de 0.2 n2 + n + 900 soles. Según la experiencia se ha determinado que durante las primeras t horas de trabajo de producción diario se fabrican aproximadamente t2 + 100t artículos. (a) Deduzca una fórmula para la razón de cambio del costo total con respecto al

tiempo. (b) ¿Cuál es la razón de cambio una hora después de que comience la producción?.

61. (Eficiencia de un trabajador) Un estudio de eficiencia de turno matinal en cierta fábrica revela que un obrero medio que llega a las 8:00 a.m. al trabajo habrá producido Q(t) = – t3 + 6t2 + 24t unidades t horas más tarde. (a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 11:00 a.m. (b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a

las 11:00 a.m.? (c) Estime el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 11:00 a.m. i las

11:10 a.m. (d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre 11:00 a.m. i

11.10 a.m.

12


62. (Seguridad ciudadana) En cierto momento, la población de una ciudad está aumentando a una razón de 2000 habitantes por año i ha llegado a una magnitud en la cual se cometen aproximadamente 2 robos diarios por cada 5000 habitantes. ¿A qué razón está aumentando el número de robos por día con respecto al tiempo?.

63. (Salud ambiental) Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será de 0.5p + 1 partes por millón cuando la población sea de p mil personas. Se calcula que dentro de t años la población de la comunidad será de 10 + t2/10 mil personas. ¿A qué razón estará aumentando el nivel diario de monóxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 4 años?.

64. (Fabricación) En cierta fábrica la producción Q está relacionada con los insumos x i y mediante la ecuación Q = 2x3 + 3x2y2 + (1+y)3. Si los niveles actuales de insumo son x =30 i y =20, utilice el cálculo para estimar el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una disminución de 0.8 unidades en el insumo x, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual.

65. (Producción) En cierta fábrica, el costo total de fabricación de q unidades durante el trabajo de producción diario es de 0.2q3 - 0.1q2 + 0.5q + 600 soles. Después de t horas en un día de trabajo típico, se han producido 4tt10 2 unidades. Calcule la razón de cambio del costo total con respecto al tiempo 3 horas después de que comience la producción.

66. (Negocios) Cuando se venden batidoras eléctricas a p soles cada una, los clientes locales comprarán un total de 8000/p batidoras al mes. Se calcula que dentro de t meses el precio de las batidoras será de 0.04t3/2 + 15 soles. Calcular la razón a la cual estará cambiando la demanda mensual de batidoras con respecto al tiempo dentro de 25 meses.

67. (Ganancias) Un fabricante ha estado aumentando la producción total de su fábrica en cinco unidades cada semana. La utilidad semanal es de –x2/10 + 72x – 140 soles cuando se producen x unidades durante la semana. (a) Si t denota el número de semanas durante las cuales ha estado vigente el aumento

de producción, halle una fórmula para la razón a la cual está cambiando la utilidad del fabricante con respecto a t si x = 200 cuando t = 0.

(b) ¿A qué razón estará cambiando la utilidad con respecto al tiempo 8 semanas después del comienzo del aumento de producción? ¿La utilidad en ese momento será creciente o decreciente?

(c) ¿Cuándo será igual a cero la razón de cambio de utilidad? ¿Cuál es el significado económico del nivel de producción en ese momento?



68. (Ingreso per cápita) Si el PNB de una nación es I = 10 + 0.4t + 0.01t2 (en miles de millones de dólares) i el tamaño de la población (en millones) es P = 4 + 0.1t + 0.01t2,determine la tasa de cambio del ingreso per cápita.

69. (Acidez) El pH de una solución está definido como pH = –log10[H], donde [H] es la concentración de iones de hidrógeno. Es una medida de acidez, con pH = 7 la solución

es neutral. Calcule los valores de ]H[d

pHd cuando [H] = 10–4, 10–7, 10–10.

70. (Medicina) Después de una inyección, la concentración de cierta droga en la sangre de un paciente, cambia de acuerdo a la fórmula c = p t2 e– k t, donde p i k son constantes. Calcule la razón de crecimiento de la concentración en el tiempo t.

71. (Crecimiento de la población) Suponga que una proyección a 5 años de las tendencias de la población indica que dentro de t años la población de determinada comunidad será P(t) = –t3 + 9t2 + 48t + 200 miles. (a) ¿A qué tasa crecerá la población dentro de 3 años? (b) ¿A qué razón cambiará la tasa de crecimiento de la población con respecto al

tiempo dentro de 3 años? (c) Estime el cambio en la tasa de crecimiento de la población durante el primer mes

del cuarto año. (d) Calcule el cambio real en la tasa de crecimiento de la población durante el primer

mes del cuarto año.

72. (Crecimiento de la población) Cierta población crece de acuerdo con la fórmula 3tk

m Ce1yy , donde ym, C i k son constantes. Calcule la tasa de crecimiento en

el instante t i pruebe que es de la forma )B(ky3dtdy 3/2 . Halle el valor de B.

E. Razones afines.

Si la variable y depende del tiempo, entonces dtdy se llama razón de cambio con

respecto al tiempo. Por supuesto, si y mide la distancia, esta razón se llama velocidad.Estamos interesados en una amplia variedad de razones con respecto al tiempo.

Cuando en la función y = f(x), las variables x i y dependen de una tercera variable t, donde t denota el tiempo, entonces la razón de cambio de y, que es

dtdy ; i la razón de

cambio de x, que es dtdx , están relacionadas por medio de la regla de la cadena:

dtdx

dxdy

dtdy .

Estas razones de cambio, así relacionadas se llaman razones afines. Otras veces se

14


denomina tasas relacionadas. Dicho de otra manera, si y = f(x) i x = g(t), entonces sabemos que y = h(t), donde h = f o g; luego en virtud de la regla de la cadena se tiene (f o g)’(t) = f ’( g(t) ) g’(t) o

dtdx

dxdy

dtdy

Puesto que la cantidad y depende de la cantidad t, cuando y aumenta a medida que t aumenta se tendrá 0

dtdy , i cuando y disminuye a medida que t aumenta se tendrá 0

dtdy , i

cuando y no varía cuando t aumenta se obtendrá 0dtdy .

Ejemplo 11. (Velocidad) Un punto se mueve sobre la curva x3 + y3 = 1 de tal modo que su abscisa x disminuye a una velocidad de –1 cm/seg. Calcular la velocidad a la que varía la ordenada de este punto cuando x = 1/3. Solución: Las dos coordenadas x i y de este punto que se desplaza a lo largo de la curva x3

+ y3 = 1 están en función del tiempo t. Se pide determinar dtdy cuando

dtdx = –1 i x =

31 .

Pasamos a derivar implícitamente con respecto a t:

x3 + y3 = 1 0dtdyy3

dtdxx3 22

dtdx

y

xdtdy

2

2. Para

31x obtenemos

33 3 2631x1y . Reemplazando en

dtdy :

23

2

2631

)3/1(dtdy (–1)= 3 676

1 0.1139

Ejemplo 18. (Tasa de cambio del ingreso) La ecuación de demanda del producto de una compañía es 2p + x = 300, en donde x unidades pueden venderse a un precio de S/. p cada una. Si la demanda cambia a una tasa de 2 unidades por año cuando la demanda alcanza 40 unidades, ¿a qué tasa está cambiando el ingreso si la compañía ajusta su precio a la demanda cambiante?. Solución: De la ecuación de demanda 2p + x = 300 se tiene p = )x300(

21 . Nos solicitan

dtdR cuando x = 40 i 2

dtdx , donde el ingreso R viene dada por R = xp. Ahora

R = )x300(2x . Para determinar

dtdR empleamos la regla de la cadena:

dtdx

dxdR

dtdR . En

efecto, 150xdxdR , cuando x = 40, 110

dtdR . Reemplazando: 220)2()110(

dtdR soles/año.

Ejemplo 20. (Función de supervivencia) El porcentaje de abejas que mueren durante el invierno de cierto grupo de colmenas es una función de la temperatura promedio.

Supongamos que T1.0e1.0e100p donde T es la temperatura (en grados Celsius) i p es el



porcentaje de abejas muertas. Si T decrece a razón de 2° C por semana, calcule la razón en la cual cambia p cuando T = –10° C.

Solución: Nos piden calcular dtdp cuando T = –10 i 2

dtdT . Pero

dtdT

dTdp

dtdp . Ahora

)1.0()e1.0()e(100dTdp T1.0e1.0 T1.0

; es decir, T1.0e1.0T1.0 ee

dTdp i cuando T = –10

obtenemos )e()e(dTdp 1e1.01 . Empleando una calculadora de bolsillo se tiene:

354591823.0)9638851.0()367879441.0(dTdp . Reemplazando en la regla de la cadena

709183646.0)2()354591823.0(dtdp . Por tanto, la abejas mueren (están aumentando) en

70.9 % o 71 % cuando T = –10°C.

Rendimiento cardiaco

A fines de la década de 1860, Adolf Fick, profesor de biología de la Facultad de medicina de Würtzberg, Alemania, desarrolló uno de los métodos usados actualmente para medir la cantidad de sangre que bombea el corazón en un minuto. El rendimiento cardiaco de usted, mientras lee estas líneas, es probablemente de unos 7 litros/minuto. En reposo, probablemente esté apenas debajo de 6 litros/minuto. Un atleta entrenado que está corriendo una maratón puede tener un rendimiento cardiaco tan alto como 30 litros/minuto.

El rendimiento cardiaco se puede calcular con la fórmula DQy , donde: Q es la

cantidad en mililitros de CO2 (Bioxido de carbono) que exhala en un minuto, D es la diferencia entre la concentración de CO2 (ml/L) en la sangre bombeada a los pulmones i la concentración de CO2 en la sangre que regresa a los pulmones. Por ejemplo, si Q =

233ml/min., D = 97 – 56 = 41 ml/L, se tiene y = L/ml41min/ml233 =5.68 litros/minuto. (Datos

por cortesía de Quin Collage of Medicine, East Tennessee State University)

Ejemplo 21. Supongamos que Q = 233, D = 41 también se sabe que D decrece a razón de 2 unidades por minuto, pero que Q es constante, ¿qué pasa con el rendimiento cardiaco?.

Solución: Desde que DQy i Q es constante,

dtdD

DQ

dtdy

2 , donde t denota el tiempo en

minutos. Reemplazando )2()41(

233dtdy

2 = 0.27 L/min; esto es, el rendimiento cardiaco es

0.27 litros de sangre que bombea el corazón en un minuto.

16


P R O B L E M A S

1. (Velocidad) Un punto se mueve sobre la curva xexy de tal modo que la ordenada aumenta a una velocidad de 2 unidades/seg. Calcular la velocidad de su abscisa cuando x = 2.

2. (Velocidad) Un punto en el plano se mueve sobre la rama de la astroide x2/3 + y2/3 = 2 (en donde x i y se miden en metros) que se encuentra en el primer cuadrante, de tal manera que su abscisa crece a una velocidad constante de 10 cm/min. Determine la velocidad a la que está variando la ordenada cuando el punto pasa por (1,1).

3. (Velocidad) Un punto se mueve sobre la curva x = y ln (1+y2) de tal modo que su abscisa decrece 2cm/seg. Halle la velocidad a la que está variando la ordenada cuando y = 2.

4. (Rapidez) La diagonal de un cuadrado está aumentando a una razón de 4cm/min. Calcule la razón a la que está aumentando el área del cuadrado en el momento en que la diagonal es de 5cm.

5. (Rapidez) Un cono circular recto tiene una altura de 15cm; mientras que el radio de su base está aumentando a razón de 1cm/min. Calcule la rapidez a la que está aumentando el volumen del cono cuando el radio de su base sea de 3 cm.

6. (Costos) Una empresa tiene la función de costo 2x201x225)x(C , en donde x es el

nivel de producción. Si éste es igual a 5 actualmente i está creciendo a una tasa de 0.7 por año, calcule la tasa en que los costos de producción se están elevando.

16.3 Análisis marginal

La siguiente aplicación está dedicada a todos los estudiantes que cursan una carrera profesional. Algunos autores lo consideran sólo para aquellos que van a proseguir estudios de economía, administración de empresas, contaduría, etc. Cuando se vive en un mundo de libre competencia, donde por ejemplo, la oferta i la demanda compiten libremente, entonces es imperativo que cualquier futuro profesional debe conocer aspectos básicos de economía. Un ingeniero, por ejemplo, mediante la matemática requerirá en su empresa manejar estos conceptos tomando decisiones adecuadamente. Después de todo, a todos nos interesa la economía; i por esta razón, no debe ser exclusivo sólo para estudiantes de las ciencias económico-administrativas.

Cada disciplina tiene su propio lenguaje. Esto por cierto, es verdad en economía que ha desarrollado un vocabulario especializado. Una vez que se aprende este vocabulario,



se descubre muchos de los problemas económicos no son más que problemas de cálculo ordinario vestido con nuevo ropaje (como dicen en mi terruño: es la misma “chola” con diferente “pollera”).

La economía tiende a ser el estudio de fenómenos discretos i el uso de la derivada para aproximar el cambio producido en una función por un cambio de 1 unidad en su variable se denomina análisis marginal.

A. Costo marginal

El costo total C de producir x artículos, si es una función lineal, viene dado por C(x) = ax + b, donde el término “ax” es el costo variable i “b” el costo fijo. Véase la sección 7.1, parte A. Ahora consideraremos funciones en general C = C(x), no siempre lineales.

Por ejemplo, supongamos que un fabricante de cierto artículo determina que a fin de producir x de estos artículos el costo total está dado por C(x) = 0.05x2 + 300.

Si se produce 100 artículos cada mes, el costo total es C(100) = 800 S/. Si se produce 130 artículos cada mes, (decide aumentar su producción en 30 artículos) el costo es C(130) = 1145 S/., luego el aumento en el costo es C = 1145 – 800 = 345 S/. cuando el incremento en la producción es x = 130 – 100 = 30 unidades. Luego

30345

xC 11.5 S/. es el costo promedio de producir 30 artículos adicionales

por cada uno.Si la producción es 120 artículos mensuales, el costo es C(120) = 1020 S/. luego el aumento en el costo es C = 1020 – 800 = 220 S/. cuando el incremento en la

producción es x = 120 – 100 = 20 unidades. Por tanto 20

220xC 11 S/. es el

costo promedio de producir 20 artículos adicionales por cada uno.Si la producción es 110 artículos cada mes, el costo será de C(110) = 905 S/. luego el incremento es C = 905 – 800 = 105 S/. cuando el incremento en los artículos es x

= 110 – 100 = 10 unidades. De aquí que 10105

xC 10.5 S/. es el costo promedio

de producir 10 artículos adicionales por cada uno.

El incremento en el costo C viene dado por C = C(x + x) – C(x), i el costo

promedio de producir x artículos adicionales por cada uno será: x

)x(C)xx(CxC .

En consecuencia ahora podemos definir el costo marginal de C = C(x) como el valor

18


límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra

tiende a cero; es decir, xClim

0xcosto marginal; que no es sino:

dxdCmarginalCosto

En otras palabras, el costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida.

NOTA: Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio.

El costo promedio por artículo se define por x

)x(C)x(C . Por ejemplo:

(a) Costo promedio por artículo al producir 130 artículos es 81.81301145

130)130(C

)x(C

(b) Costo promedio por artículo al producir 120 artículos es 50.81201020

120)120(C

)x(C

(c) Costo promedio por artículo al producir 110 artículos es 23.8110905

110)110(C

)x(C

(d) Costo promedio por artículo al producir 100 artículos es 00.8100800

100)100(C

)x(C

En resumen: Si la producción se incrementa en 1 unidad, entonces x = 1 i la diferencia

C = C(x+1) – C(x) estará muy cerca de dxdC . Por esta razón, escribimos:

C = C(x+ x) –C(x) C’(x) x (es aproximadamente igual). Cuando x = 1 entonces: C = C(x+1) – C(x) C’(x). Por tanto:

Costo marginal = C’(x) C(x+1) – C(x) : Costo de producir (x+1) unidad

B. Ingreso marginal.

El ingreso total de una empresa proviene de la venta de x unidades. Si p es el precio unitario i x el número de unidades, el ingreso total R(x) viene dado por R(x) = xp. Considerando análogamente al costo marginal se obtiene;

Ingreso marginal = R’(x) R(x+1) – R(x) : Ingreso obtenido de la venta (x+1) unidad



La utilidad U(x) de una empresa, como ya sabemos, viene dada por U(x) = R(x) – C(x), donde R(x) i C(x) son el ingreso total i el costo total respectivamente. Luego:

Utilidad marginal = U’(x) U(x+1) – U(x) : Utilidad obtenida de (x+1) unidad

El precio p de un artículo está en función de la cantidad x, donde p = p(x). Luego:

Precio marginal = p’(x) p(x+1) – p(x) : Precio obtenido de la (x+1) unidad

Ejemplo 1. El costo total de producir i vender x unidades de cierta mercancía por mes es de C(x) = 1200 + 3.25x – 0.0002x2. Si el nivel de producción es de 1800 unidades por mes, encuentre el costo promedio de cada unidad i el costo marginal.

Solución Costo promedio: x

x0002.0x25.31200x

)x(C)x(C2

x0002.025.3x

1200)x(C . Cuando x = 1800, 56.3)1800(C . Esto significa que

cuesta 3.56 soles por unidad al producir 1800 unidades. Costo marginal: C’(x) = 3.25 – 0.0004x. Cuando x = 1800, C’(1800) = 2.53. Esto significa que cuesta 2.53 soles una mercancía adicional después de 1800.

Ejemplo 2. El costo total de un fabricante para producir x unidades es C(x) =

57x4x51 2 i el precio es )36x(

41)x(p .

(a) Determine el costo i el ingreso marginales. (b) Mediante el costo marginal, calcule el costo de producir la 4ta. unidad. (c) Encuentre el costo real de producir la 4ta. unidad. (d) Mediante el ingreso marginal, calcule el ingreso obtenido de la venta de la 4ta. unidad. (e) Determine el ingreso real obtenido de la venta de la 4ta. unidad.

Solución:

(a) El costo total 57x4x51)x(C 2 4x

52)x('C es el costo marginal. Además

el ingreso total viene a ser R(x) = x p(x), luego )36x(4x)x(R 9

2x)x('R

es el ingreso marginal.

(b) Para hallar el costo de producir la 4ta. unidad, el nivel de producción es x = 3, luego

4)3(52)3('C C’(3) = 5.2 S/.

20


(c) El costo real para producir la 4ta. unidad es C(4) – C(3) = 76.2 – 70.8 = 5.4 S/.

(d) Como 92x)x('R R’(3) = 7.5 S/.

(e) El ingreso real para la unidad 4 es R(4) – R(3) = 32 – 99/4 = 7.25 S/.

E J E R C I C I O S

1. Suponga que C(x) = 8300 + 3.25x + 40 3 x soles. Encontrar el costo promedio i el costo marginal, i evalúelos cuando x = 1000.

2. Si la ecuación de demanda es x + 4p = 100, calcule el ingreso marginal. 3. Si la ecuación de demanda es 1000p50x 2/1 , calcule el ingreso marginal cuando

p = 16. 4. Si en el ejercicio 2, la función de costo es C(x) = 5x + 100, calcule la utilidad marginal. 5. Si en el ejercicio 3, la función de costo es C(x) = 50 + 2/3x , calcule la utilidad

marginal cuando: (a) p = 16, (b) x = 25. 6. En el ejercicio 4, encuentre el valor de x tal que U’(x) = 0 i calcule la utilidad

correspondiente. Esta representa la utilidad máxima que puede obtenerse por la venta del articulo en cuestión. Determine el precio p que da esta utilidad máxima.

7. Para cada una de las funciones de costo total, encontrar el costo promedio, el costo marginal, el costo promedio marginal i graficar estas funciones. (a) C(x) = 1000x –180x2 + 3x3 (b) C(x) = 220 + 55x –2x3 + x4

(a) C(x) = 25x , 10x0 (d) C(x) = 9x + 5x x2e

8. Cuando un peluquero fija una cuota de S/. 4 por corte de cabello, advierte que el número de clientes en una semana es de 100, en promedio. Al elevar la tarifa a S/. 5, el número de clientes por semana baja a 80. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio i el número de clientes, determine la función de ingreso marginal. Encuentre entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero.

9. Demuestre que si la función de costo es de la forma C(x) = ax2 + bx + c, entonces en el valor de x para el cual el costo marginal es igual al costo promedio )x(C , la derivada

0)x(Cdxd .

10. La función de consumo de cierta nación está dada por C(I) = 4 + 0.36 I + 0.48 4/3I .Encuentre la tendencias marginales por consumir i por ahorrar si el ingreso marginal es I = 16 mil millones.

11. El gasto extra de un fabricante de juguetes para niños es de 400 soles por semana i otros gastos ascienden a S/. 3 por cada juguete producido. Encontrar:



(a) La función de costo total. (b) La función de costo promedio. (c) La función de costo marginal.

12. Si la función de demanda está dada por p = f(x), entonces dxdp

se denomina función de

precio marginal. La ecuación de demanda de cierto producto es p = 2024 –2x – x2.Determine el precio marginal a un nivel de demanda de 30 unidades.

13. Si la relación de demanda está dada por x = f(p), dpdx se denomina demanda

marginal. Si la ecuación de demanda de cierto producto es p2 + x = 20, encuentre la demanda marginal a un nivel de precio de p = 2. Interprete su resultado.

14. Calcule el ingreso marginal en el caso de las relaciones de demandas siguientes: (a) p = 5 – x1.0e , (b) x = 1000 (2 – pe )

15. Calcule el costo marginal i el costo promedio marginal para la función de costo C(x) = 100 + x + x5.0e .

16. Suponga que el costo total de fabricación de x artículos está dado por la función C(x) = 3x2 + x + 48. (a) ¿Cuál es el costo total de fabricación de 20 artículos?. (b) ¿Cuál es el costo de fabricación del vigésimo artículo?. (c) ¿Cuál es el costo promedio por artículo de la fabricación de 20 artículos?.

17. Calcule el costo marginal i la tasa de cambio del costo marginal con respecto al volumen de producción en la función de costo C(x) = 500 + 30x –0.1x2 + 0.002x3.

18. Si )x(C es la función de costo promedio, demuestre que:

32 x)x(C2

x)x('C2

x)x(''C

)x(''C .

19. Si x unidades pueden venderse a un precio de p soles cada una en donde x + ln (p+1) = 50, ( 50x0 ), calcule el precio marginal.

20. La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p2 + x2 = 2500, en donde x unidades pueden venderse a un precio de p soles cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 soles. Interprete su resultado.

21. Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de determinado artículo, el

costo total será 98x3x81)x(C 2 soles, i que )x75(

31)x(p soles por unidad es

el precio al cual se venderán las x unidades.

22


(a) Halle el costo i el ingreso marginales. (b) Mediante el costo marginal calcule el costo de producir la novena unidad. (c) ¿Cuál es el costo real de producir la novena unidad?. (d) Mediante el ingreso marginal calcule el ingreso obtenido de la venta de la novena

unidad. (e) ¿Cuál es el ingreso real obtenido de la venta de la novena unidad?.

22. La ecuación de demanda de cierto producto es p = 300 20x

e en donde x unidades se venden al precio de p soles cada una. Si el fabricante tiene costos fijos de 500 soles i un costo variable de 20 soles por unidad, calcule el ingreso marginal i la función de utilidad marginal.

23. Supóngase que un líquido se produce por cierto proceso químico i que la función del costo total C está dada por C(x) = 6 + 4 x , donde C(x) soles es el costo total de la producción de x galones de líquido. Encontrar: (a) El costo marginal cuando se producen 16 galones. (b) El número de galones producidos, si el costo marginal es de S/. 0.40 por galón.

24. El costo total para un fabricante es C(q) = 0.1q3 – 0.5q2 + 500q + 200 soles, donde q es la cantidad de unidades producidas. (a) Utilice el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la 4ta. unidad. (b) Calcule el costo real de fabricación de la cuarta unidad.

25. El número de soles del costo total de la producción de x unidades de cierta mercancía es C(x) = 40 + 3x + 9 x2 . Encontrar: (a) El costo marginal cuando se producen 50 unidades. (b) El número de unidades producidas cuando el costo marginal es de 4.50 soles.

16. 4 Diferenciales

A. Aproximaciones.

Sea y = f(x) una función diferenciable. Hasta ahora, hemos usado dxdy

a fin de

encontrar la derivada de y con respecto a x i se empleó dxdy

como un símbolo, no como una

razón de dy i dx. Ahora definiremos el nuevo concepto de diferencial de manera que dx i dy tengan significado separados.

En algunos problemas es útil interpretar a dx i dy separadamente. Llamaremos dx = diferencial de x i dy = diferencial de y. Esto ocurre en el cálculo integral i en la estimación de errores pequeños que se presentan en el cálculo de una función, los cuales



provienen de la falta de precisión en la medición de la variable independiente o de otras causas.

Dada la función y = f(x), sabemos que x

)x(f)xx(flim)x('f

0x si el límite

existe, donde en general el cociente x

)x(f)xx(f )x('f (es aproximadamente igual).

Sea )x('fx

)x(f)xx(f)x,x(g una función de dos variables independientes

g: R2 R (Vea la sección 6.1). Tómese el límite:

)x('flimx

)x(f)xx(flim)x('fx

)x(f)xx(flim)x,x(glim0x0x0x0x

)x,x(glim0x

= f ’(x) – f ’(x) = 0. Por otro lado, de )x('fx

)x(f)xx(f)x,x(g

f’(x) x = f(x+ x) –f(x)– x g (x, x) con 0)x,x(glim0x

, luego podemos establecer:

Definición: Si y = f(x) es una función real, entonces: (a) La diferencial de x se define como

dx = x(b) La diferencial de y se define como

dy = f ’(x) dx.

En otras ocasiones, se dice la diferencial de y como la diferencial de f, i denotada por df = dy. Observe que los incrementos x de la variable x, i y de la variable y están relacionados por y = f(x+ x) –f(x), luego escribiremos f’(x) x = y – x g(x, x) con

0)x,x(glim0x

, o f ’(x)dx = y – x g(x, x), de donde dy y , ya que

g(x, x) 0 cuando x 0. Para interpretar geométricamente la diferencial de f, veamos la figura 28, donde P=(x,y), Q=(x+ x, y+ y) son dos puntos de la gráfica de y = f(x).

La pendiente de la recta que pasa por P i R es dx

MRMPMRm . Pero m = f ’(x)

=dxdy

, entonces dxdy

=dx

MR dy = MR. Cuando x es muy pequeño, el punto Q se

aproxima al punto P, consecuentemente y se aproxima a dy; es decir, y dy, son

ydy

x x + x

y

y + y

x = dx P

Q

RM

x

y Fig. 28

24


aproximadamente iguales cuando x = dx es pequeño. Por tanto, es claro que en general, x i y son los incrementos en x i y en la gráfica de y = f(x), mientras que dx i dy son

incrementos a lo largo de la recta tangente de esa gráfica.

En resumen: desde que dy = f ’(x)dx o y f ’(x)dx, entonces “el cambio en la función f es aproximadamente igual a la derivada de la función por el cambio en su variable”; esto es:

(Cambio en y) (Razón de cambio de y con respecto a x) (Cambio en x)

dxdxdyy

Fórmulas de diferenciales

Puesto que dy = f ’(x)dx es la diferencial de la función y = f(x), se sigue que las fórmulas para las diferenciales son enteramente semejantes a las fórmulas para derivadas; de aquí que, para hallar diferenciales se determina la derivada i el resultado se multiplica por dx. Estas fórmulas están expresadas en la columna de la derecha, a la izquierda aparecen las derivadas correspondientes, cuando u i v son funciones de x.

Derivadas Diferenciales

1. 0)c(dxd ; (c = constante) d (c) = 0

2. 1)x(dxd d (x) = dx

3. 1nn xn)x(dxd d (x n ) = nx n–1dx

4. dxdv

dxdu)vu(

dxd d ( u + v ) = du + dv

5. dxduv

dxdvu)uv(

dxd d ( uv ) = u dv + v du

6. 2v

dxdvu

dxduv

vu

dxd 2v

udvvduvud

Si y = f(u) i u = g(x) tales que dxdui

dudy

existen, entonces:



7. dxdu

dudy

dxdy

dxdxdu

dudydy

8. dxduun)u(

dxd 1nn dunu)u(d 1nn

9.

dxdy1

dydx dy

dxdy1dx

10. dxdualna)a(

dxd uu dualna)a(d uu

11. dxdue)e(

dxd uu due)e(d uu

12. dxdu

alnu1)u(log

dxd

a alnu

du)u(logd a

13. dxdu

u1)u(ln

dxd

udu)u(lnd

14. dxdvulnu

dxduuv)u(

dxd v1vv udvlnuduuv)u(d v1vv

15. dxduucos)usen(

dxd duucos)usen(d

16. dxduusen)u(cos

dxd d (cos u) = – sen u du

17. dxduusec)u(tan

dxd 2 duusec)u(tand 2

18. dxduucsc)uctg(

dxd 2 d (ctg u) = – csc2u du

19. dxduutanusec)u(sec

dxd d (sec u) = sec u tan u du

20. dxduuctgucsc)u(csc

dxd d (csc u) = – csc u ctg u du

21. dxdu

u1

1)usenarc(dxd

2

2u1

du)usenarc(d

26


22. dxdu

u1

1)ucosarc(dxd

2

2u1

du)ucosarc(d

23. dxdu

u11)utanarc(

dxd

2 2u1

du)utanarc(d

24. dxdu

u11)uctgarc(

dxd

2 2u1

du)uctgarc(d

25. dxdu

1uu

1)usecarc(dxd

2

1uu

du)usecarc(d2

26. dxdu

1uu

1)ucscarc(dxd

2

1uu

du)ucscarc(d2

27. dxdu

uuu

dud du

uu)u(d

B. Aproximación del cambio porcentual.

El cambio porcentual de una cantidad (C.P. de y) expresa el cambio en esa cantidad como un porcentaje de su tamaño antes del cambio; i se define por:

Cambio porcentual de f = 100 cantidadladetamañocantidadlaencambio

En forma abreviada: C.P. de f = 100 ff ó C.P. de f 100

)x(fdx)x('f

Por último, como y dy = f ’(x)dx i y =f(x+ x) – f(x) entonces:

f(x+ x) f(x) + f ’(x) x

esta aproximación es de utilidad por que a menudo es más sencillo calcular el lado derechoque evaluar f(x+ x). La razón de esto es que el lado derecho es una función lineal de x,mientras que el lado izquierdo en general es una complicada función de x.

Cambiemos un poco la notación en la fórmula anterior. Sea x0 un valor fijo, entonces f(x0+ x) f(x0) + f ’(x0) x; si x0 + x = x de donde x = x – x0

f(x) f(x0) + f ’(x0) (x – x0); es decir, f(x) f ’(x0)x + [f(x0) – x0f ’(x0)] que es de la forma



y mx + b, con m = f ’(x0), b = f(x0) – x0f ’(x0). De esta manera hemos establecido un resultado muy importante, que con frecuencia se emplea para construir modelosmatemáticos lineales de fenómenos complejos. Modelos lineales de esta clase se utilizan a menudo en la economía i en otras partes como punto de partida en el análisis de situaciones difíciles.

C. Errores

También las diferenciales se utilizan en la estimación de errores en las mediciones de cantidades. Sea y = f(x), donde x es el valor exacto de la variable independiente, i x+ xes el valor medido, entonces x es el error en la variable x. El valor exacto de la variable dependiente es y i f(x + x) será el valor “medido”, luego y = f(x + x) – f(x) es el error en la variable y.

La expresión x

dx se llama error relativo en x, i la expresión y

dy se denomina

error relativo en y; las aproximaciones de los cambios porcentuales de las cantidades:

C.P. de x = 100x

dx i C.P. de y = 100y

dy , reciben el nombre, otras veces, de errores

porcentuales.

Ejemplo 1. (Cambio Porcentual) Estime que le sucederá al volumen de una esfera si el radio se incrementa 1%.

Solución: El volumen de una esfera de radio r viene dado por V(r) = 3r34 . Como r se

incrementa el 1%, entonces el C.P. de r = 100rr =1. Deseamos hallar el:

C.P. de V = 100VV , o lo que es más fácil, C.P. de V 100

VdV . Como dV = 4 r2 dr,

reemplazando: C.P. de V 100 %3r

dr1003r

34

drr43

2. En consecuencia, cuando el

radio aumenta (o disminuye) en 1%, el volumen de la esfera aumenta (o disminuye) en 3%.

Ejemplo 2. En la función f(x) = x2 + 1, determinar y i dy cuando: (a) x = 5 i x = 0.3 (b) x = 5 i x = 0.2 (c) x = 5 i x = 0.1

Solución: y = f(x + x) – f(x) = (x + x)2 + 1 – x2 – 1 = 2x x + ( x)2. Además dy = f ’(x)dx = 2xdx

(a) Si x = 5 i x = 0.3, se obtiene y = 2(5)(0.3) + (0.3)2 = 3.09 i dy = 2(5)(0.3) = 3

28


(b) Si x = 5 i x = 0.2, se tiene y = 2(5)(0.2) + (0.2)2 = 2.04 i dy = 2(5)(0.2) = 2 (c) Si x = 5 i x = 0.1, resulta y = 2(5)(0.1) + (0.1)2 = 1.01 i dy = 2(5)(0.1) =1

Resumiendo en un cuadro obtenemos:

x x y dy5 0.3 3.09 3 5 0.2 2.04 2 5 0.1 1.01 1

Nótese que cuando x = dx es más pequeño, y se aproxima más a dy.

Ejemplo 3. (Administración de empresas) Un gerente de ventas estima que las ventas en una empresa serán de 400 unidades por semana con un error porcentual posible del 5%. Si la función de ingreso es R(x) = 10x – 0.01x2, encuentre el máximo error porcentual en el ingreso estimado.

Solución: Como el C.P. de x es 100 5xx , necesitamos el C.P. de R 100

RdR , donde el

ingreso R para x = 400 es R(400) = 10 (400) – 0.01(400)2 = 2400. De 100 5xx

x = 20100

)400(5100

x5 , i dR = R’ (x)dx dR = (10 – 0.02x)dx,

dR = [10 – (0.02)(400)](20) dR = 40. Luego C.P.de R 100R

dR = 100240040 =1.67%

Ejemplo 4. (Aproximación por diferenciales) Calcular el valor aproximado de 4 82 ,usando diferenciales. Solución: Aproximando al modelo lineal f(x+ x) f(x) + f ’(x) x, definimos f(x) = 4 x ,

donde f ’(x) = 4 3x4

1 , de tal manera que f(81)= 4 81 = 3, f ’(81) = 108

1

814

14 3

, x=1.

Necesitamos hallar f(81 + 1) f (81) + f ’(81)(1) 4 82 3 + )1(108

1 = 3.009

Ejemplo 5. (Medicina) La velocidad de circulación de la sangre a lo largo del eje central de cierta arteria es v(r) = 1.8 105 r2 cm/seg., donde r es el radio de la arteria. Un investigador médico determina el radio de la arteria (i halla que) tiene 1.2 10–2 cm., pero comete un error de 5 10 –4 cm. Estime la cantidad en la cual el valor calculado de la velocidad de la sangre diferirá de la verdadera velocidad si se utiliza el valor incorrecto del radio en la fórmula.



Solución: La fórmula de aproximación se utiliza también para estudiar el error máximo.Se desea hallar v = v(r + r) – v(r) dv = v ’(r )dr con r = 1.2 10–2, r = 5 10–4 , donde 5 10–4 es el error máximo en la medición de la arteria (puede establecerse la medición a favor o en contra, por ello se coloca los signos “más” i “menos”). El error máximo en la velocidad de la sangre es: v v’(1.2 10–2) ( 5 10–4). Pero: v’(r ) = 3.6 105 r i se sigue que v’(1.2 10–2) = 4320 i v (4320) ( 5 10–4) = 2.16 Esto indica que en el peor de los casos la velocidad de la sangre por la arteria es inexacto aproximadamente en 2.16 cm/seg.

E J E R C I C I O S

1. Hallar la diferencial de: (a) y=axaxln

a21 ; (b)

42xtanln

21

xcos2xseny2

2. Encuentre y, dy, y – dy; si: (a) y = 3x2 + x – 2, x = 1, x = 0.01 (b) y = x3 – 1, x = 1, x = – 0.5 (c) y = 3 x , x = 64, x = 1

3. Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de: (a) 3 120 (b) 5/133 (c) 2/1)96.0(

4. Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de: (a) e2.1 , (e2 = 7.39) (b) ln 10.2 , (ln 10 = 2.303) (c) sen 62° , (sen 60°=0.8603)

5. Si A es el área de un cuadrado de lado x, hallar dA i A. Construir una figura que muestre el cuadrado, dA i A

6. (Cálculo porcentual) Calcule el cambio porcentual en la función f(x) = x2 + 2x – 9 a medida que x aumenta de 4 a 4.3.

7. (Fabricación) El costo total para un fabricante es C(x) = 0.1x3 – 0.5x2 + 500x + 200 soles cuando el nivel de producción es x unidades. El nivel de producción actual es 4 unidades i el fabricante planea incrementarlo a 4.1 unidades. Calcule el cambio del costo total debido a este incremento.

8. (Precio aproximado) La ecuación de demanda de cierto producto es p =100x

100 .

Mediante diferenciales encuentre el precio aproximado en que se demandan 2500 unidades.

9. (Producción) En determinada fábrica, la producción diaria es Q(K) = 600 K1/2

unidades, donde K representa la inversión de capital medida en unidades de S/. 1000.

30


La inversión actual de capital es S/. 900000. Calcule el efecto que tendrá sobre la producción diaria una inversión de capital adicional de S/. 800.

10. (Análisis marginal) En determinada fábrica, la producción diaria es Q= 3000 K1/2L1/3

unidades, donde K representa la inversión de capital de la empresa medida en unidades de S/. 1000 i L representa el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión actual de capital es S/. 400000 i que se utilizan 1331 horas-trabajador todos los días. Emplee el análisis marginal para estimar el efecto que, sobre la producción diaria tendrá una inversión de capital adicional de S/. 1000, si el volumen de la fuerza laboral permanece igual.

11. (Impuestos sobre la propiedad) Los registros indican que x años después del año 2002, el impuesto medio sobre la propiedad de una casa de 3 habitaciones en cierta comunidad era T(x) = 60x3/2 + 40x + 1200 soles. Calcule el porcentaje en el cual se incrementó el impuesto sobre la propiedad durante la primera mitad del año 2006.

12. (Producción) En determinada fábrica, la producción es Q(K) = 400 K1/2 unidades, donde K representa la inversión de capital de la empresa. Estime qué incremento porcentual se generará en la producción a partir de un aumento del 1% en la inversión de capital.

13. (Producción) En determinada fábrica la producción es Q = 600 K1/2L1/3 unidades, donde K representa la inversión de capital i L el tamaño de la fuerza laboral. Calcule el incremento porcentual que se generará en la producción a partir de un aumento del 2% en el tamaño de la fuerza laboral, si la inversión de capital no cambia.

14. (Consumo) Suponga que C(x) = 5 + 0.6 x + 0.2 x , en donde C representa el consumo total (en millones de soles) i x el ingreso total disponible (en millones de soles). Si x = 25 con un error de 0.3, determine el error máximo aproximado en el consumo.

15. (Aumento en el costo) El costo de fabricación de x unidades del producto K22 está

definido por C(x)=2 + 2x41

2x . Aproximar el cambio en porcentaje en el costo C

cuando x aumenta de 20 a 22 unidades.

16. (Cambio porcentual) Una compañía encuentra que la oferta de x unidades de su producto está determinada por la función del precio y = (8 + x2 ) soles. Si x cambia de 10 a 11 unidades, encontrar el cambio en porcentaje correspondiente en el precio.

17. (Cambio en la utilidad) Utilizar diferenciales para encontrar el cambio aproximado en la ganancia G, si G(x)= x2 – 20x soles i x cambia de 30 a 33 unidades de producción.

Aplicaciones de La Derivada Parte 01a4

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