Aplicaciones de la derivada · PDF filepara resolver una serie de problemas en los que...

4Aplicaciones de

la derivada

Capítulo 4

Presentación

En el capítulo anterior se presentaron todas las herramientas básicas como mediopara resolver una serie de problemas en los que interviene la derivada, que son degran importancia práctica y que de otra forma no podrían ser resueltos.

En este capítulo se exponen las aplicaciones más elementales e interesantes de laderivación a problemas del análisis matemático (estudio de la variación de las fun-ciones, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y, en general, el trazadocompleto de curvas), de la geometría (rectas tangentes y normales), de la física(movimiento variado) y en problemas de la vida diaria en los cuales se precisaminimizar costos, obtener beneficios máximos, etc., y para ellos la teoría de la deri-vación proporciona información suficiente.

Contenido breve

Módulo 20Interpretaciones geométrica y físicade la derivada

Módulo 21Valores extremos de una función devariable real

Módulo 22Teorema del valor medio (TVM)para derivadas

Módulo 23Criterio de la primera derivada

Módulo 24Criterio de la segunda derivada

Módulo 25Análisis y trazado de curvas

Módulo 26Problemas de máximos y mínimos

Módulo 27La derivada como razón de cambio

Módulo 28La diferencial

EjerciciosCapítulo 4, módulos 20 al 28

En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permitedemostrar que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera.

Introducción

El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y seremonta a la época del gran matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.). El proble-ma de la velocidad instantánea es más reciente. Creció con los intentos de Keppler(1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velo-cidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geométrico y elotro físico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo, conducen almismo límite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.

Objetivos del módulo

1. Interpretar la derivada de una función en un punto como la pendiente de la rectatangente a la curva que representa la función en dicho punto.

2. Interpretar físicamente la derivada s´(t) como la velocidad de una partícula quese mueve sobre una línea recta mediante la función s(t), que permite calcularpara cada t el espacio recorrido s.

3. Interpretar s´´(t) como la aceleración de la partícula.

Preguntas básicas

1. Determine las ecuaciones de la recta tangente LT

y de la recta normal (recta

perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación 2( ) 8,y f x x= = − en el

punto P (3, 1).2. Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una al-

tura S0 (pies), con una velocidad inicial v

0 (pies/s), y si s es la altura sobre el piso

después de t segundos, puede demostrarse que la posición S como función del

tiempo viene dada por 20 0( ) 16 .S f t t v t S= = − + ⋅ +

3. Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edi-ficio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s.a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima?b. ¿Cuál es la altura máxima?c. ¿Cuándo llega al piso?d. ¿Con qué velocidad llega al piso?e. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s?

Contenidos del módulo

20.1 Interpretación geométrica de la derivada20.2 Interpretación física de la derivada

Interpretaciones geométrica y física de laderivada

20

Si un clavadista se lanza desde una plataforma situada a S0

pies de altura con una velocidad v0 (hacia arriba), ¿cuándo

llegará al agua y con qué velocidad? El modelo clásicopresentado al final del módulo da la respuesta.

196 U de @ - Educación no presencial

197Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

20.1 Interpretación geométrica de la derivada

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muyantiguo: data del gran científico griego Arquímedes (287-212 a.C.), se llama proble-ma de las tangentes y se describe a continuación.

Se da una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x)(figura 20.1).

Figura 20.1

Sea P un punto fijo de la curva y Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La rectaque pasa por P y Q se denomina recta secante.

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posicionessucesivas Q

1, Q

2, Q

3, ..., Q

n, ..., entonces la posición límite (si existe) de la secante se

denomina recta tangente a la curva en P.

Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son, respectivamente, ( ), ( ) ,P c f c

( ), ( )Q c h f c h+ + (figura 20.2), entonces la pendiente de la recta secante PQ

denotada por sec PQm viene dada por

sec

( ) ( )tan .

PQ

f c h f cm

hα + −

= =

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical) es la recta cuyapendiente m

T viene dada por

sec 0

( ) ( )lim lim ( ).T PQP Q h

f c h f cm m f c

h→ →

+ − ′= = =

Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada


Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 20.2

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en ( ), ( )P c f c es

( ) ( )( )y f c f c x c′− = − (forma punto-pendiente de la recta) (sección 2.4, apén-

dice II).

Ejemplo 20.1

Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendi-

cular a la tangente) LN a la curva de ecuación 2( ) 8y f x x= = − en el punto P (3, 1).

Solución

Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (figura 20.3).

Figura 20.3

Vea el módulo 20 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.


La pendiente de LT viene dada por

(3,1)

(3).TP

dym f

dx⎛ ⎞ ′= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Pero 2 1 2

2

1( ) (2 )( 8) .

2 8

xf x x x

x

−′ = − =−

Así que (3) 3.Tm f ′= =

Usando ahora la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta (sección 2.4,

apéndice II) se tiene entonces que para LT, 1 3( 3) 3 8 0y x x y− = − ⇔ − − = es la

ecuación de la recta tangente.

Ahora, como 1,T Nm m⋅ = − se deduce que 1

.3Nm = −

Usando nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta se tiene

que, para LN,

11 ( 3) 3 6 0

3y x x y− = − − ⇔ + − = es la ecuación de la recta normal.

Ejemplo 20.2

Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 3( ) 1,y f x x= = +

que es paralela a la recta de ecuación 12 6 0.x y+ − =

Solución

En la figura 20.4 aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.


Figura 20.4


Si se denota por LN la recta normal, como L

N es paralela a 12 6 0x y+ − = se tiene

que 1

.12Nm = −

Para determinar la ecuación de LN hace falta conocer el punto P(x

1, y

1) de tangencia.

Para ello, se usa el hecho de que 12Tm = (mT: pendiente de la tangente).

De otro lado, 21 1( ) 3 .Tm f x x′= = Así que 2

1 13 12 2.x x= ∴ = ±

Este último resultado indica que existen dos puntos de tangencia, a saber: P1 (2, 9)

y P2 ( − 2, − 7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las con-

diciones iniciales del problema. Una de ellas pasa por P1 (2, 9) y tiene pendiente

1.

12Nm = − Su ecuación viene dada por 1

9 ( 2) 12 110 0.12

y x x y− = − − ⇔ + − =

La otra pasa por P2 ( − 2, − 7) y tiene pendiente

1.

12Nm = − Su ecuación viene dada

por 1

( 7) ( ( 2)) 12 86 0.12

y x x y− − = − − − ⇔ + + =

Ejemplo 20.3

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 2 2 2 2 28( ) 100( )x y x y+ = − en

el punto (3, 1).

Solución

En primer lugar note que 2 2 2 2 28(3 1 ) 100(3 1 ),+ = − lo cual indica que el punto (3, 1)

pertenece a la curva.

Ahora, (3,1)

.T

dym

dx⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Para determinar dy

dx se usa derivación implícita en la ecuación 2 2 2 2 28( ) 100( )x y x y+ = − .

Esto es,

( ) ( ) ( )2 216 2 2 100 2 2 .x y x y y x yy′ ′+ ⋅ + ⋅ = −

3 2 2 332 32 32 32 200 200 .x x yy xy y y x yy′ ′ ′+ + + = −

( )2 3 3 232 32 200 200 32 32 .y x y y y x x xy′ + + = − −

de donde 3 2

2 3

200 32 32.

32 32 200

dy x x xyy

dx x y y y

− −′ = =+ +



Por tanto,

3 2

2 3(3,1)

200 3 32 3 32 3 1 600 864 96 360.

288 32 200 52032 3 32 1 200 1T

dym

dx

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −⎛ ⎞= = = = −⎜ ⎟ + +⋅ + ⋅ + ⋅⎝ ⎠

Es decir, 9

.13Tm = −

Así que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) viene dada por

91 ( 3) 9 13 40 0.

13y x x y− = − − ⇔ + − =


Velocidad promedio y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre sí 100 km, enun tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km/h. Esto es, la velocidadpromedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.Pero, durante el viaje, el velocímetro marcó con frecuencia lecturas diferentes de 50km/h. Inicialmente marcó 0, a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿qué es lo que en realidad marca el velocíme-tro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea.

Considere un ejemplo más preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimen-tos demuestran que si un objeto parte del reposo en caída libre, la posición S delobjeto, como función del tiempo, viene dada por

21 6S t= (S en pies, t en segundos).

Así, en el primer segundo cae 16 pies y en el siguiente segundo cae 16 (2)2 = 64 pies.Por tanto, en el intervalo de t = 1 s a t = 2 s, P cae (64 – 16) pies, de manera que suvelocidad promedio será:

64 16 pies48 .

2 1 spromV−

= =−

En el intervalo de t = 1 s a t = 1.5 s, P cae (16 (1.5)2 – 16) pies. En consecuencia, suvelocidad promedio será:

216(1.5) 16 20 pies40 .

1.5 1 0.5 spromV−

= = =−

En forma similar, en los intervalos de tiempo de t = 1 s a t = 1.1 s, y de t = 1 s a t = 1.01s, P caerá, respectivamente, (16 (1.1)2 – 16) pies y (16 (1.01)2 – 16) pies, y susvelocidades promedio serán, respectivamente:

20.2 Interpretación física de la derivada


216(1.1) 16 3.36 pies33.6 ,

1.1 1 0.1 spromV−

= = =−

216(1.01) 16 0.3216 pies32.16 .

1.01 1 0.01 spromV−

= = =−

Lo que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre los intervalosde tiempo cada vez más cortos pero próximos a 1 s. Cuanto más nos aproximamos a t= 1 s, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 s.

Los números 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedio, hacen «sospechar»que la velocidad instantánea es de 32 pies/s.

El ejemplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptos develocidad promedio y de velocidad instantánea.

Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma quesu posición S en cada instante t es una función S = f (t).

En el instante t = c, el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto estáen f (c + h) (figura 20.5). Por tanto, la velocidad promedio durante este intervalo es:

( ) ( ).prom

f c h f cV

h

+ −=

Y se define la velocidad instantánea V en el instante t = c así:

0 0

( ) ( )lim lim ( ).promh h

f c h f cV V f c

h→ →

+ − ′= = =

Figura 20.5



Observación

Existe una distinción técnica entre las palabras velocidad y rapidez. La velocidadtiene un signo asociada a ella, es decir, puede ser positiva o negativa. La rapidez sedefine como el valor absoluto de la velocidad.

Así por ejemplo, si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo quesu posición en cualquier instante t satisface la ecuación

2( ) 2 12 8,S f t t t= = − +

entonces

( ) 4 12.dS

v t tdt

= = −

Así, (2) 4 cm s,v = −

(3) 0,v =

(4) 4 cm s.v =

De esta forma, la rapidez en t = 2 s es 4 4cm s.− =

El medidor de la mayoría de los automóviles es un «rapidómetro» (celerómetro) ysiempre da valores no negativos.

Ahora se quiere dar una interpretación física de la segunda derivada 2

2,

d S

dtque

mide la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir,

2

2

d S d dS dv

dt st dtdt⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

y que se llama aceleración. Si la denotamos por la letra a,

entonces:

2

2.

d S d dS dva

dt st dtdt⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

En el ejemplo anterior:

2( ) 2 12 8,S f t t t= = − +

4 12,dS

v tdt

= = −

24cm/s .dv

adt

= =

Esto significa que la velocidad aumenta a razón constante de 4 cm/s cada segundoy escribimos 4 cm/s2.



Problemas de caída de los cuerpos

Si un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una alturaS

0 (pies), con una velocidad inicial v

0 (pies/s), y si S (pies) es la altura sobre el piso

después de t segundos, entonces puede demostrarse que la posición S como fun-ción del tiempo viene dada por

20 0( ) 16 .S f t t v t S= = − + +

Esto presupone que el experimento tiene lugar cerca del nivel del mar y que sedesprecia la resistencia del aire. La figura 20.6 ilustra la situación.

Figura 20.6

Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificiode 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s.

a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima?b. ¿Cuál es la altura máxima?c. ¿Con qué velocidad llega al piso?d. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s?

Solución

Como S0 =160 y v

0 = 64, la ecuación de movimiento viene dada por

2( ) 16 64 160S f t t t= = − + + (S: pies y t: s). (1)

Así, 32 64,dS

v tdt

= = − + (2)

32.dv

adt

= = − (3)



a. El objeto alcanza la altura máxima en el instante en el cual la velocidad escero. Así que,

32 64 0 2 s.t t− + = ⇒ =

Al sustituir en (1), se tiene que

b. 216(2) 64(2) 160 224 pies (altura máxima).S = − + + =

c. El objeto golpea el piso cuando S = 0.

Esto es, 2 216 64 160 0 4 10 0,t t t t− + + = ⇔ − − =

de donde, 4 16 40

2 14.2

t± +

= = ±

El objeto llega al piso a los 2 14 s.t = +

Al sustituir este valor de t en (2) se obtiene

32(2 14 ) 64 119.73 pies s.v = − + + ≈ −

El objeto llega al piso con una rapidez de 119.73 pies/s.

d. De acuerdo a (3), la aceleración permanece constante e igual a 32 pies/s2.Esta es la aceleración de la gravedad cerca del nivel del mar.



Introducción

Se ha visto en el módulo 20 que la existencia de la derivada de una función en unpunto c significa geométricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente enel punto (c, f (c)) y además m

T = f ´(c). Este hecho permite determinar, entre otros,

aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo laecuación f’(x) = 0.

Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva loselementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes:

f (c1) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene

a c1. Se dice entonces que f (c

1) es un máximo relativo de f (x). Nótese, además,

que en el punto P1(c

1, f (c

1)) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto

es, 1'( ) 0.f c =

Igualmente, f (c3) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que

contiene a c3. Así que f (c

3) es otro máximo relativo de f (x).

Valores extremos de una función devariable real

21

Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange nació el 25 junio de 1736 en Turín yfalleció el 10 de abril de 1813 en París.


Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaSin embargo, en el punto la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cualindica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamente debeanularse la derivada.

f (c2) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c

2.

Se dice, entonces, que f (c2) es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que

en el caso anterior en el punto P2(c

2, f (c

2)),ocurre que f’(c

2) = 0.

Si se comparan ahora todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b],se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c

3) es el mayor valor. A

f (a) y f (c3) se les llama, respectivamente, el mínimo absoluto y el máximo absoluto

de f (x) en [a, b].

Los conceptos antes mencionados serán presentados aquí en forma rigurosa, asícomo las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relati-vos. Al final se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar losextremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.


1. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo concerniente a la determinaciónde los extremos de una función.

2. Notar la diferencia entre un extremo relativo y un extremo absoluto.

Preguntas básicas

1. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un ríorecto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si elcosto por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo sedebe tender el cable para que el costo total sea mínimo?


21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real21.2 Extremos relativos21.3 Extremos absolutos


21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real

Definiciones

Sea f una función de variable real y sea fc D∈ (dominio de f). Entonces:

i. f (c) es un valor máximo relativo de f si existe un intervalo abierto I que con-

tiene a c tal que ( ) ( ),f c f x≥ para todo .x I∈

ii. f (c) es un valor mínimo relativo de f si existe un intervalo abierto I que con-

contiene a c tal que ( ) ( ),f c f x≤ para todo .x I∈

iii. f (c) es un valor máximo absoluto de f, en un intervalo I, si ( ) ( ),f c f x≥ para

todo .x I∈

iv. f(c) es un valor mínimo absoluto de f, en un intervalo I, si ( ) ( ),f c f x≤ para

todo .x I∈

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama extremosrelativos.

A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama extremosabsolutos.

Observaciones

Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo, comosucede por ejemplo con f (c

3) en la función cuya gráfica aparece en la figura de la

página 207.

El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final del módulo garantizala existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalocerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlosen diferentes puntos del intervalo.

21.2 Extremos relativos

El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tengaun extremo relativo en un punto en el cual f es derivable.

Teorema 1: Condición necesaria para extremos relativos

(f tiene un extremo relativo en ( ) 0)x c f c′= ⇒ =

Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f ´(c) existe.Entonces, f ́ (c) = 0.

Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real

Joseph Louis Lagrange

Astrónomo y matemático franco-italiano, Lagrange era deascendencia francesa, aunque nació y se crió en Italia. Deniño, en el colegio, se encontró con un ensayo de EdmundHalley sobre análisis matemático y al momento decidiódedicarse a esta ciencia. La habilidad matemática deLagrange fue reconocida por Leonhard Euler a partir deun memorando que recibió de aquél sobre el cálculo devariaciones, sobre el que el propio Euler ya habíatrabajado. Tan impresionado quedó Euler por esta obra,que permitió que fuera publicada antes que la suya.Lagrange aplicó su facilidad matemática a unasistematización de la mecánica, que ya había comenzadocon Galileo. Utilizando el análisis de las variaciones, dedujounas ecuaciones muy generales con las que se podíanresolver todos los problemas de la mecánica. Tambiéndedujo la forma de aplicar las matemáticas a losmovimientos de sistemas que influían en más de dos cuerpos,tales como el sistema Tierra-Luna-Sol y el de Júpiter con suscuatro lunas. La revolución francesa también le dio unaoportunidad de prestar un servicio a la ciencia, al recibir elencargo de dirigir una comisión que estudiara un nuevosistema de pesos y medidas. Como resultado apareció elsistema métrico decimal, el más lógico de los sistemas demedidas que jamás se han inventado.


Demostración

Caso 1

Si f es la función constante, el teorema es evidente.

Caso 2

Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c.Como f ́ (c) existe, entonces, de acuerdo a la observación hecha a la definición (2) del

módulo 9, ( ) ( )

( ) limx c

f x f cf c

x c→

−′ =−

existe, y además,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim ( ).x c x c x c

f x f c f x f c f x f cf c

x c x c x c+ −→ → →

− − − ′= = =− − −

(1)

Siendo f (c) un máximo relativo, existe un intervalo I = (x1, x

2) que contiene al punto

c y tal que

( ) ( ), para todo ( ) ( ) 0, para todo .f c f x x I f x f c x I≥ ∈ ⇔ − ≤ ∈

Si ,x c+→ entonces 0.x c− >

Así que ( ) ( ) ( ) ( )

0 lim 0x c

f x f c f x f c

x c x c+→

− −≤ ⇒ ≤

− − (ejercicio propuesto 5, capítulo 1),

( ) 0.f c′⇒ ≤ (2)

Igualmente, si ,x c−→ entonces 0x c− < .

Así que ( ) ( ) ( ) ( )

0 lim 0x c

f x f c f x f c

x c x c−→

− −≥ ⇒ ≥

− − (ejercicio propuesto 5, capítulo 1),

( ) 0.f c′⇒ ≥ (3)

De (2) y (3) se concluye que ( ) 0.f c′ =

Caso 3

Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. Lademostración es similar a la del caso 2 y se deja por tanto como ejercicio para ellector.

Observaciones

El teorema anterior significa geométricamente que si una función f tiene un extremorelativo en c, y f ́ (c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c))es horizontal (figura 21.1a).




Figura 21.1

El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplirque f ´(c) = 0 para algún punto c de su dominio, y sin embargo f no presenta extremosrelativos en c, como sucede por ejemplo con la función f (x) = x3 (figura 21.1b).



Note que 2( ) 3 , (0) 0,f x x f′ ′= = pero la función no presenta ni máximos ni mínimos

relativos en el origen puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derechaf es positiva.

Mas aun, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser

derivable allí, como sucede por ejemplo con la función ( )f x x= (figura 21.1c) que

tiene un mínimo relativo en x = 0, pero f ́ (0) no existe (observación a de la sección10.1).

Definición

Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c I∈ se llama valorcrítico de f si f ́ (c) = 0 o f ́ (c) no existe.

Así por ejemplo, para la función 1 33( ) (3 2) (3 2)y f x x x x x= = − ⋅ = − ⋅ se tiene que:

1 3 2 31( ) 3 (3 2) ,

3y f x x x x−′ ′= = ⋅ + − ⋅

1 3

2 3 2 3

3 2 12 23 .

3 3

x xx

x x

− −= + =

Los valores críticos de f son, por tanto, x = 0 y x = 1/6 (¿por qué?).

21.3 Extremos absolutos

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en lateoría de extremos de una función. Aunque tiene una fácil interpretación geométrica,exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están más allá delalcance de este texto.

Teorema 2: Teorema de los valores extremos

Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimoabsoluto y máximo absoluto).

El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica deuna función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b].Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teoremasiempre se cumple.

Observación

El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función conti-nua en un intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. Sin embargo, esevidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo setiene que presentar en los extremos a o b del intervalo.

Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de unafunción continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:



1. Se determinan los valores críticos c1, c

2, c

3, ...,c

n de f (resolviendo ( ) 0,f x′ =

o donde f ́ (x) no existe).2. Se calcula f (a) y f (b).

3. Máximo absoluto de f = { }1 2max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) .nf a f b f c f c f c

Mínimo absoluto de f = { }1 2min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) .nf a f b f c f c f c

Ejemplo 22.1

Determine, si existen, los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función4 2( ) 8 16f x x x= − + en el intervalo [–3, 2].

Solución

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absolutoestá garantizada por el teorema 2. Para determinarlos se aplica la regla práctica dadaen la observación del mismo teorema.

Considere los valores críticos por medio de la derivada

3( ) 4 16 0 4 ( 2)( 2) 0f x x x x x x′ = − = ⇔ − + =

0, 2, 2x x x⇒ = = = − son los únicos valores críticos.

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

( 3), (2), (0) ( 2),f f f y f− −4 2( 3) ( 3) 8( 3) 16 81 72 16 25,f − = − − − + = − + =

4 2(2) 2 8 2 16 16 32 16 0,f = − ⋅ + = − + =4 2(0) 0 8 0 16 16,f = − ⋅ + =

4 2( 2) ( 2) 8( 2) 16 16 32 16 0.f − = − − − + = − + =

Máximo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 3) = 25.

Mínimo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 2) = f (2) = 0.

Ejemplo 21.2

Determine, si existen, los extremos absolutos de la función 2 3( ) 1 ( 3)f x x= − − en

el intervalo [–5, 4].

Solución

La continuidad de f en el intervalo [–5, 4] garantiza la existencia de extremos abso-lutos de f en dicho intervalo.

Se deben determinar primero los valores críticos por medio de la derivada


Escuche el audio Lagrange, un genio amable ensu multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


1 3

2( ) .

3( 3)f x

x

−′ =−

El único valor crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe (note que f ´(x) = 0carece de solución).Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

( 5), (4) y (3),f f f−2 3 2 3( 5) 1 ( 5 3) 1 ( 8) 3,f − = − − − = − − = −

2 3(4) 1 (4 3) 1 1 0,f = − − = − =2 3(3) 1 (3 3) 1 0 1.f = − − = − =

Máximo absoluto de f en [–5, 4] es f (3) = 1.

Mínimo absoluto de f en [–5, 4] es f (–5) = –3.

Ejemplo 21.3

Considere la función f definida por

2

3 4 si 3 1( )

2 si 1 3

x xf x

x x

− − ≤ <⎧= ⎨

− ≤ ≤⎩

Determine los extremos absolutos de f (si existen ) en el intervalo [–3,3].

Solución

La función es continua en todos los puntos del intervalo [–3,3] (verifique). Por elteorema 2, f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Paradeterminarlos se consideran primero los valores críticos de f. La función derivadaf ́ (x) viene dada por:

3 si 3 1'( )

2 si 1 3

xf x

x x

− ≤ <⎧= ⎨ ≤ ≤⎩

Puesto que (1) 3f−′ = y (1) 2,f+′ = la derivada no existe en x = 1 y por tanto corres-

ponde a un valor crítico de f.

De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuen-cia, el único valor crítico de f es x = 1.

Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:

(1), ( 3) y (3),f f f−2(1) 1 2 1,f = − = −

( 3) 3( 3) 4 13,f − = − − = −2(3) 3 2 7.f = − =

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaCuidado con los valores extremos

El deseado máximo o mínimo ocurre siempre en elnúmero crítico. Tal vez esté pensando que cuando sólo hayun número crítico es inútil comparar el valor con él losvalores extremos del intervalo. Por desgracia, eso no essiempre cierto.

En 1945, dos prestigiosos ingenieros aeronáuticosdedujeron una función como modelo del alcance de unavión. Su intención era usarla para maximizar el alcance.Encontraron un número crítico (correspondiente a repartirtodo el peso del avión en las alas) y argumentaron quedebía dar el máximo alcance. El resultado fue el famosoavión «Flying wing». Años más tarde se vio que ese númerocrítico correspondía a un mínimo de la función alcance. Endefensa de los ingenieros hay que decir que no disponían delas técnicas de cálculo actuales. Curiosamente, ese diseñorecuerda mucho al bombardero B-2 Stealth.

Esta historia salió a la luz con motivo de la construcción delB-2. La moraleja es evidente: compruebe los valores de lafunción en los números críticos y en los extremos delintervalo. No acepte, por supuesto, aun cuando haya un solonúmero crítico, que el número crítico proporciona el máximoo el mínimo que está buscando.


Máximo absoluto de f en [–3, 3] es f (3) = 7.

Mínimo absoluto de f en [–3,3] es f (–3) = –13.

Ejemplo 21.4

Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un ríorecto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costopor metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debetender el cable, para que el costo total sea mínimo?


Figura 21.2

Solución

Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramode cable bajo el agua.

Se pueden definir ahora las constantes y variables del problema:

x: distancia de B a Q; 0 600.x≤ ≤ y: distancia de A a Q (longitud de cable bajo el agua).600 – x: distancia de Q a D (longitud de cable por tierra).k (constante): costo por metro de cable por tierra.

5

4k (constante): costo por metro de cable bajo el agua.

P : costo total (función a minimizar).

De acuerdo al teorema de Pitágoras, 2 2300 .y x= + (1)

Ahora, la función costo total viene dada por

5(600 ).

4C k y k x

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos sola-mente de la variable x, así:

2 25( ) 300 (600 ),

4C x k x k x= + + − con 0 600x≤ ≤ (dominio de C (x)),


2 2 1 25( ) ( 300 ) (600 ).

4C x k x k x= + + − (3)

Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valormáximo y un valor mínimo en [0, 600].

Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos de C (x):

( ) 1 22 25 1( ) (2 ) 300 0,

4 2C x k x x k

−′ = ⋅ + − =

( )1 22 2

51 0,

4 300

xk

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⇒ − =⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )1 22 2

51 0 (puesto que 0),

4 300

xk

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⇒ − = ≠⎢ ⎥+⎣ ⎦

2 25 4 300 0,x x⇒ − + =

2 24 300 5 .x x⇒ + =

De donde x = 400.

De modo que x = 400 es el único valor crítico de C (x), y de acuerdo al criterio de lasegunda derivada (teorema 2, sección 24.3) corresponde a un mínimo relativo (veri-fíquelo). En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entre los siguientesvalores: C (0), C (400) y C (600).

25(0) 300 600 975 .

4C k k k= + =

Esto significa, geométricamente, que si el cable se tira desde A hasta B bajo el aguay desde B hasta D por tierra, demanda un gasto de 975k pesos (figura 21.3a).



Figura 21.3

2 25(600) 600 300 375 5 838.5 .

4C k k k= + = ⋅ ≈

Esto indica, geométricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso elcable se tiende directamente desde A hasta D bajo el agua, demandando un gasto

total de 375 5 · 838.5k k≈ pesos (figura 21.3b).

2 25(400) 400 300 200 825 .

4C k k k= + + =

Esto significa que si el punto Q está a 400 m de B y se tiende el cable bajo el aguadesde A hasta Q y por tierra desde Q hasta D, demandaría un gasto de 825k pesos,menor, para la compañía, que los dos anteriores (figura 21.3c).



Introducción

Los dos teoremas básicos que constituyen este módulo tienen más importanciateórica que práctica. En lo sucesivo, frecuentemente se usa la frase «…de acuerdoal teorema del valor medio…». En nuestro caso particular, el TVM será usado enlos dos próximos módulos para demostrar los teoremas básicos concernientes alestudio de la variación de las funciones, máximos y mínimos, concavidad y puntosde inflexión.


1. Conocer los dos teoremas básicos para la demostración de los criterios de laprimera y la segunda derivadas.

2. Relacionar el teorema del valor medio con la interpretación física de la derivada.

Preguntas básicas

1. Frecuentemente en nuestras carreteras encontramos el siguiente aviso: «Veloci-dad máxima: 60 km/h». Un conductor de un vehículo recorre 130 km en doshoras. Al ser detenido por un guardia de tránsito, el conductor afirmó que nuncaexcedió la velocidad permitida. ¿Cree usted que el conductor dijo la verdad?

2. En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto yterminan empatados.a. ¿Fueron sus velocidades iguales en algún instante de la carrera?b. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma veloci-

dad, ¿fueron sus aceleraciones iguales en algún instante de la carrera?


22.1 Teorema de Rolle22.2 Teorema del valor medio para derivadas22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio

Teorema del valor medio (TVM) paraderivadas

22

Michel Rolle

Michel Rolle nació en Ambert, Basse-Auvergne (Francia),el 21 de abril de 1652 y murió en París el 8 de noviembrede 1719.



22.1 Teorema de Rolle

En la figura 22.1 se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el

intervalo cerrado [ , ]a b , ( ) ( ) 0f a f b= = y además ( )f x′ existe (no tiene picos) en

todos los puntos del intervalo (a, b).

Figura 22.1

Intuitivamente puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva deabscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela aleje x). Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado teorema deRolle, que se enuncia sin demostración.

Teorema de Rolle

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

c. ( ) ( ).f a f b=

Entonces, existe por lo menos un punto ( , )c a b∈ tal que ( ) 0.f c′ =

El siguiente teorema, que se enuncia y se demuestra a continuación, es una genera-lización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor mediopara derivadas.

22.2 Teorema del valor medio para derivadas

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Por tanto, existe por lo menos un punto ( , )c a b∈ tal que ( ) ( )

( )f b f a

f cb a

−′ =−

.



Antes de ver la demostración del teorema, analicemos su significado geométrico.

En la figura 22.2 se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis delteorema del valor medio (TVM).

Figura 22.2

El término ( ) ( )f b f a

b a

−−

es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por

los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teoremaasí: existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b), tal que la recta tangentea la curva en P cuya pendiente es f ´(c) es paralela a la recta secante AB.

Demostración

Usando la forma dos-puntos de la ecuación de la recta (sección 2.4, apéndice II), sededuce para la recta secante la ecuación:

( ) ( )( ) ( ),

f b f ay f a x a

b a

−− = −

−

de donde ( ) ( )

( ) ( ).f b f a

y f a x ab a

−= + −

−

Defínase ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto

( , ( ))x f x sobre la curva y el correspondiente ( , )x y sobre la secante AB (segmen-

to d de la figura 22.2).

Así que:

( ) ( ) ,F x f x y= −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .f b f a

f x f a x ab a

−⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥−⎣ ⎦

Módulo 22: Teorema del valor medio (TVM) para derivadas

Michel Rolle

De formación autodidacta, Michel Rolle publicó un Tratadode álgebra (1690) en que expuso un método de resoluciónde determinados tipos de ecuaciones. Mantuvo una vivapolémica con diversos matemáticos sobre los principios delcálculo diferencial. Es conocido por un teorema que lleva sunombre: «Teorema de Rolle».


Esto es, ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).f b f a

F x f x f a x ab a

−= − − −

−(1)

La función F (x) así definida satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el in-tervalo [a, b].

En efecto:

a. ( )F x es continua en el intervalo cerrado [a, b] (¿por qué?).

b. ( )F x es derivable en el intervalo abierto (a, b) (¿por qué?).

Además, ( ) ( )

( ) ( ) .f b f a

F x f xb a

−′ ′= −−

(2)

c. Finalmente, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,

f b f aF a f a f a a a

b a

−= − − − =

−

[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0.

f b f aF b f b f a b a

b a

−= − − − =

−

En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle existe por lo menos un pun-

to ( , )c a b∈ tal que ( ) 0.F c′ =

Pero, de acuerdo a (2), ( ) ( )

( ) ( ) .f b f a

F c f cb a

−′ ′= −−

Por tanto, ( ) ( )

( ) 0,f b f a

f cb a

−′ − =−

lo cual implica que ( ) ( )

( ) ,f b f a

f cb a

−′ =−

que era lo que se quería demostrar.

Estos dos teoremas son de gran importancia teórica y práctica, como lo ilustran losejemplos siguientes y las demostraciones de los teoremas del módulo 23.

22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio

Ejemplo 22.1

Analice si 3 2( ) 5 3f x x x x= − − satisface las hipótesis del TVM para derivadas en

el intervalo [1, 3] y, en caso afirmativo, determine el valor(es) de c que satisface la

conclusión.



Solución

a. 3 2( ) 5 3f x x x x= − − es continua en [1, 3] (¿por qué?).

b. 2( ) 3 10 3f x x x f′ = − − ⇒ es derivable en (1, 3) (¿por qué?).

Como f cumple la hipótesis del TVM, entonces existe por lo menos un c ∈ (1, 3) tal que

(3) (1)( ) .

3 1

f ff c

−′ =−

Pero 2 3 2( ) 3 10 3; (3) 3 5 3 3 3 27; (1) 1 5 3 7.f c c c f f′ = − − = − ⋅ − ⋅ = − = − − = −

Así que 2 27 ( 7)3 10 3 10.

3 1c c

− − −− − = = −

−

Por tanto, 23 10 7 0 (3 7)( 1) 0,c c c c− + = ⇔ − − =

de donde 7 3, 1.c c= =

De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1, 3) es 7 3,c = que es

la única solución buscada.

Ejemplo 22.2

Para la función 2 3( )f x x= estudie las condiciones del TVM para derivadas en el

intervalo [–2, 2].

Solución

a. Claramente la función es continua en [–2, 2].

b. 1 31 3

2 2( )

3 3f x x

x−′ = = no existe en el punto x = 0.

Por consiguiente, no se cumple la condición b del teorema, y, en consecuencia,no puede garantizarse la existencia del punto c.

Ahora, 1 3 1 3( ) ( ) 4 4

0,4

f b f a

b a

− −= =

−y como

1 3

2( ) ,

3f x

x′ = no se anula para

ningún valor real de x. Entonces, la igualdad

( ) ( )( )

f b f af c

b a

−′ =−

no se cumplirá en ningún c en (–2, 2).



Ejemplo 22.3

a. Demuestre que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entoncesla función es constante en dicho intervalo.

b. Use la parte a para demostrar que f (x) = sec2 x – tan2 x es constante. Hálleseel valor de dicha constante.

Solución

a. Note en primer lugar que f satisface las hipótesis del TVM (¿por qué?).

Ahora, sean 1 2,x x dos puntos cualesquiera del intervalo [a, b] y sea f la fun-

ción.

Para probar la parte a es suficiente probar que 1 2( ) ( ),f x f x= lo cual obliga

a deducir que la función sea constante.

Según el TVM, existe un número c entre 1x y 2x tal que

2 1

2 1

( ) ( )( ) ,

f x f xf c

x x

−′ =−

y como ( ) 0,f c′ = se concluye que

2 1( ) ( )f x f x= .

Una consecuencia inmediata de la parte a es la siguiente:

Si ( ) ( )f x g x′ ′= para todo [ ], ,x a b∈ entonces ( ) ( ) .f x g x C= +

Lo anterior se expresa en palabras diciendo que si las derivadas de dos funcio-nes coinciden, entonces las funciones difieren en una constante.

b. 2( ) 2sec (sec tan ) 2 tan (sec ),f x x x x x x′ = ⋅ ⋅ −2 2( ) 2sec tan 2sec tan 0.f x x x x x′ = ⋅ − ⋅ =

Como ( ) 0,f x′ = se sigue de la parte a que f (x) es una función constante.

Para hallar el valor de la constante basta evaluar la función en algún número

específico, el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo 3.x π=

Se tiene entonces que ( )22 2 2( 3) (sec 3) (tan 3) 2 3 1.f π π π= − = − = En

consecuencia, 2 2sec tan 1x x− = para todo x (x en el dominio común de la se-cante y la tangente).

Este resultado no debe sorprender puesto que 2 21 tan secx x+ = es una

identidad trigonométrica conocida.



Ejemplo 22.4

En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminanempatados.

a. Demuestre que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera.b. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma ve-

locidad, demuestre que sus aceleraciones fueron iguales en algún instantede la carrera.

Solución

a. Sea s (t) la diferencia de las distancias entre el auto A y el auto B en cualquiertiempo t durante la carrera.

Entonces, ( )s t′ es la diferencia en las velocidades.

Ahora, si 0t y 1t son los tiempos en los cuales comienza y termina la carrera,

se tiene que, de acuerdo al enunciado del problema,

0 1( ) ( ) 0.s t s t= = (1)

Por el TVM, 1 0

1 0

( ) ( )( )

s t s ts c

t t

− ′=−

para algún 0 1( , ).c t t∈ (2)

De (1) y ( 2 ) se deduce que ( ) 0s c′ = (la diferencia de las velocidades es cero

en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las velocidades fue-ron iguales en algún instante de la carrera.

b. En forma similar, si v(t) denota la diferencia de las velocidades entre el auto Ay el auto B en cualquier tiempo t durante la carrera, entonces v´(t) denota ladiferencia entre sus aceleraciones.

Ahora, si t1 es el tiempo en el cual los autos tienen la misma velocidad, y t

2

el tiempo en el cual finaliza la carrera, se tiene que

2 1( ) ( ) 0.v t v t= = (1)

Por el TVM, 2 1

2 1

( ) ( )( )

v t v tv c

t t

− ′=−

para algún 2 1( , ).c t t∈ (2)

De (1) y ( 2 ) se deduce que ( ) ( ) 0a t v c′= = (la diferencia de las aceleraciones

es cero en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las aceleracio-nes fueron iguales en algún instante de la carrera.



Introducción

La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar losextremos relativos, sino también para determinar los intervalos donde crece y de-crece la curva.

Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica apareceen la figura anterior, se puede notar que:

1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, o ensentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que lafunción es creciente en el intervalo [a, b]; y entre b y c la curva es descendente,en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c].

2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separanlos tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o, lo que es equivalente,la recta tangente es horizontal.

3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de larecta tangente a la curva es positiva y por tanto su derivada es positiva. Encambio, en el punto Q, que pertenece a un tramo decreciente de la curva, lapendiente, y por tanto la primera derivada, es negativa.

Estas ideas que se acaban de comentar serán justificadas por medio de las defini-ciones dadas y del teorema del valor medio presentado anteriormente.

23Criterio de la primera derivada

Una foto estroboscópica nos muestra cómo las distanciasrecorridas en intervalos de tiempo iguales varían según laaltura a que se halla la bola. Esta variación de la velocidad–propiamente la velocidad de la velocidad– es,matemáticamente, una derivada: se llama aceleración.




1. Establecer, usando la primera derivada, los intervalos de monotonía (crecimien-to y decrecimiento) de una curva.

2. Usar la primera derivada para determinar dónde ocurren y cuáles son los extre-mos relativos de una función.

Preguntas básicas

1. El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégra-fo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades

p y (1 – p), se define como ( ) ln (1 ) ln(1 ),H p p p p p= − ⋅ − − − donde 0 1.p< <

Pruebe que H(p) tiene un máximo en

p =

(El significado práctico de este he-

cho es que, para lograr el máximo flujo de información por unidad de tiempo, losdos valores deben aparecer, como promedio, en igual proporción.)


23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimiento y decrecimiento23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremos relativos


Módulo 23: Criterio de la primera derivada

23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimientoy decrecimiento

Como aplicación inmediata del TVM se prueba un primer teorema que permite deter-minar los intervalos en los que crece y decrece una curva conociendo el signo de suprimera derivada.

Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b).

a. Si

( ) 0f x′ >

para todo ( , ),x a b∈ entonces f es creciente en [a, b].

b. Si ( ) 0f x′ < para todo ( , ),x a b∈ entonces f es decreciente en [a, b].

Demostración

a. Sean 1 2,x x dos puntos de [a, b] tales que x1 < x

2. Basta demostrar que

f (x2) > f (x

1).

Evidentemente, f es continua en [x1, x

2] y f es derivable en (x

1, x

2). En conse-

cuencia, por el TVM existe por lo menos un punto 1 2( , )c x x∈ tal que

2 1

2 1

( ) ( )( ) .

f x f xf c

x x

−′ =− (1)

De x1 < x

2 se deduce que x

2 − x1 >

0, y como por hipótesis f ́ (c) > 0, se deduce

de (1) que

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0.f x f x f c x x′− = ⋅ − >

Por tanto, 2 1( ) ( )f x f x> y f es creciente en [a, b].

b. Se demuestra de manera similar.

Observación

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primeraderivada, así:

donde ( ) 0f x′ > (derivada positiva), f (x) es creciente;

donde ( ) 0f x′ < (derivada negativa), f (x) es decreciente.

El siguiente teorema permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos)de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.


23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremosrelativos

Sea f una función continua en un intervalo I, y sean a, b, c puntos de I, tales que

a < c < b y c un valor crítico de ( ( ) 0, o ( ) no existe).f f c f c′ ′=

Entonces:

a. Si ( ) 0f x′ > para todo x en (a, c) y ( ) 0f x′ < para todo x en (c, b), f (c) es

un máximo relativo (figura 23.1a, figura 23.1b).

b. Si ( ) 0f x′ < para todo x en (a, c) y ( ) 0f x′ > para todo x en (c, b), f (c) es

un mínimo relativo (figura 23.1c, figura 23.1e).

c. Si ( ) 0f x′ > para todo x en (a, c) y '( ) 0f x > para todo x en (c, b), f (c) no

es un extremo relativo (figura 23.1d).

d. Si ( ) 0f x′ < para todo x en (a, c) y ( ) 0f x′ < para todo x en (c, b), f (c) no

es un extremo relativo (figura 23.1f).




Figura 23.1

Demostración

a. Si ( ) 0f x′ > en (a, c), se tiene por el teorema 1 que f es creciente; en conse-

cuencia, para todo x tal que a < x < c se tiene que

f (x) < f (c). (1)

Ahora, como ( ) 0f x′ < en (c, b), entonces f es decreciente (teorema 1) y, de

esta forma, para todo x tal que c < x < b se cumple que

f (c) > f (x). (2)

De (1) y (2) se concluye que f (c) > f (x) para todo x en (a, b) y esto significaque f (c) es un máximo relativo.

b. Esta demostración es similar a la parte a.



c. Si ( ) 0f x′ > en (a, c) y ( ) 0f x′ > en (c, b), entonces por el teorema 1 se tiene

que f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b), de locual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo.

d. Esta demostración es similar a la parte c.

Observación

En el lenguaje corriente, las partes a y b del teorema 2 se expresan, respectivamente,en la siguiente forma:

Si la derivada pasa de positiva a negativa, el valor crítico corresponde a un máximorelativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el valor crítico corresponde aun mínimo relativo.

En los ejemplos resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para lagráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, asícomo también los extremos relativos. Para ello se explica el método gráfico que esmucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicaciónde los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la preguntabásica en el inicio del módulo.

Ejemplo 23.1

El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégra-fo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades p y

(1 ),p− se define como:

( ) · ln (1 ) ·ln (1 ),H p p p p p= − − − − donde 0 < p < 1.

Pruebe que H (p) tiene un máximo en 1

.2

p =

Solución

1 1 1( ) 1 · ln · ln(1 ) (1 ) · ln .

1

pH p p p p p

p p p

⎛ ⎞− −′ = − − − − − + − =⎜ ⎟−⎝ ⎠

De esta manera,

01 1 1( ) ln 0 1

2

p pH p e p

p p

− −′ = = ⇔ = = ⇔ = es el único valor crítico.

Para analizar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta el signo de 1

,p

p

−

dependiendo de que 1 1

0 , o 1.2 2

p p< < < <

Si 1

0 ,2

p< < entonces



11 2 1 1 1,

pp p p p p

p

−> ⇔ > + ⇔ − > ⇔ >

y, en consecuencia, 1

( ) ln 0,p

H pp

−′ = > lo que indica, de acuerdo al teorema 1, que

la función H (p) es creciente en dicho intervalo. Si 1

1,2

p< < entonces

11 2 1 1 1,

pp p p p p

p

−< ⇔ < + ⇔ − < ⇔ <

y, en consecuencia, 1

( ) ln 0,p

H pp

−′ = < 1 lo que indica, de acuerdo al teorema 1,

que la función H (p) es decreciente en dicho intervalo.

Como la derivada pasa de positiva a negativa en 1 2,p = el teorema 2 garantiza que

en 1 2p = la función H (p) tiene un máximo relativo.



Introducción

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por serpuntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, losllamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen) se caracterizan pordeterminar un cambio en la concavidad de la curva.

Como vimos en el módulo 23, la monotonía de una curva coincide con el signo de laprimera derivada; igualmente, como veremos ahora, la concavidad coincide con elsigno de la segunda derivada. Completaremos de esta forma todos los elementosteóricos necesarios para el trazado de una curva con todos sus elementos, lo cualserá el objetivo principal del módulo 25.


1. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extre-mos relativos de una función.

2. Usar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad de unacurva y dónde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexión.

3. Completar los elementos teóricos necesarios para el trazado de curvas.

Preguntas básicas

1. Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supon-gamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulanen el mismo intervalo.

Sean ( ) ln ( ), y ( ) ln ( ).F x f x G x g x= =

a. Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente?b. Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente?c. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f + g) lo es?d. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f · g) lo es?e. Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln ( f · g) lo es?

Analice sus respuestas.


24.1 Concavidad y puntos de inflexión24.2 Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

24Criterio de la segunda derivada

Un avión comienza a descender desde una milla de altura ysituado a cuatro millas de la pista. Es posible determinaruna función polinómica p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d quedescribe la trayectoria suave del aterrizaje.


Módulo 24: Criterio de la segunda derivada

24.1 Concavidad y puntos de inflexión

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observa-ciones de tipo intuitivo.

Considere la función f cuya gráfica aparece en la figura 24.1. Note que la curva quef representa tiene tangente en todos sus puntos.

Figura 24.1

Se observa que en los puntos «cercanos» a x1, pero diferentes de x

1, la curva se

encuentra por «debajo» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva escóncava hacia abajo en el punto x

1.

Igualmente se observa que en los puntos «cercanos» a x2, pero diferentes de x

2, la

curva se encuentra por «encima» de la recta tangente. Se dice en este caso que lacurva es cóncava hacia arriba en el punto x

2.

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad «cambia» se conoce con elnombre de punto de inflexión de la curva.

A pesar de que las ideas que se acaban de presentar son más de carácter visual queanalítico, éstas pueden demostrarse analíticamente utilizando el teorema del valor mediopara derivadas y el criterio de monotonía (vea el ejemplo 1 de este mismo módulo).

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definiciones

Sea f una función derivable en un punto c.

i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervaloabierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), ,x c≠ se cum-ple que

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0c t

y y

Z x f x f c x c f c′= − − − > (figura 24.2a).


Figura 24.2

yc: y de la curva; y

t : y de la tangente.

ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c si existe un intervaloabierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), ,x c≠ se cumpleque

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0Z x f x f c x c f c′= − − − < (figura 24.2b).

iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I.

iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión si existe un intervaloabierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad enlos subintervalos (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo ∪ para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cónca-va positiva. Igualmente, se empleará el símbolo ∩ para denotar que una curva escóncava hacia abajo o cóncava negativa.




Módulo 24: Criterio de la segunda derivadaEl siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, establece una condiciónsuficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

24.2 Teorema1: Criterio de la segunda derivada para concavidad

Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abiertoI. Entonces:

i. Si ( ) 0f x′′ > para todo ,x I∈ f es cóncava hacia arriba en I.

ii. Si ( ) 0f x′′ < para todo ,x I∈ f es cóncava hacia abajo en I.

Observaciones

1. En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el signode la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada.

2. En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de lacurva sin existir punto de inflexión; en este caso, simplemente se dice que«hay inflexión» sin existir punto de inflexión. La gráfica de la figura 24.3 indi-ca esta posibilidad. Allí se muestran inicialmente los intervalos de concavi-dad para una curva dada.

Figura 24.3

Note que los puntos A (c1, f (c

1)), B (c

2, f (c

2)), C (c

3, f (c

3)) son puntos de inflexión.

En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión.

Como es de suponer, los puntos para los cuales ( ) 0 o ( )f x f x′′ ′′= no existe, son

«candidatos» viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un

valor de c del dominio de una función se cumpla que ( ) 0,f c′′ = y sin embargo el

punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión.

Considere, por ejemplo, la función definida por f (x) = x4, cuya gráfica aparece en lafigura 24.4.

Escuche el audio Un problema para detectivesen su multimedia de Elementos Básicos deCálculo Diferencial.



Figura 24.4

Como 4 3 2( ) , ( ) 4 , ( ) 12 .f x x f x x f x x′ ′′= = =

Para c = 0, 2(0) 12 · (0) 0.f ′′ = = Sin embargo, el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corres-

ponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores

a x = 0, (0) 0,f ′′ > y no cambia la concavidad de la curva.

A continuación se enuncia, sin demostración, un teorema conocido como el criteriode la segunda derivada para extremos relativos, el cual permite, en algunos casos,determinar de una manera más fácil si un valor crítico dado corresponde a un máximoo a un mínimo relativo.

24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremosrelativos

Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, y sea c un punto de

I, tal que ( ) 0.f c′ = Entonces:

i. Si ( ) 0,f c′′ < entonces f presenta un máximo relativo en c.

ii. Si ( ) 0,f c′′ > entonces f presenta un mínimo relativo en c.

Observación

Si ( ) 0,f c′′ = entonces la naturaleza del valor crítico c no queda determinada, como

lo ilustran los siguientes casos:

La función f (x) = x4 satisface (0) 0 y (0) 0.f f′ ′′= = Sin embargo, f (x) presenta un

mínimo relativo en x = 0 (figura 24.5a).



Igualmente, la función g (x) = − x4 satisface (0) 0 y (0) 0.g g′ ′′= = Sin embargo,

g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (figura 24.5b).

También la función h (x) = x3 satisface (0) 0 y (0) 0,h h′ ′′= = pero h (x) es creciente

en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (figura 24.5c).

Figura 24.5

El teorema 2 tiene mayor utilidad en los problemas de optimización en los cuales,para un valor crítico dado, se analiza si corresponde a un máximo o mínimo relativo,sin determinar los cambios de signo de la primera derivada.


En los ejercicios resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para lagráfica de una función dada los intervalos de concavidad, así como también losposibles puntos de inflexión. Para ello se explica el método gráfico que es muchomás expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de losdos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica enel inicio del módulo.

Ejemplo 24.1

Utilice el TVM para probar que la gráfica de una función f cóncava hacia arribasiempre está por encima de su recta tangente, es decir, demostrar que:

( ) ( ) ( )( ),f x f c f c x c′> + − siempre que .x c≠

Solución

Caso 1: Supongamos que .x c>

Por el TVM, ( ) ( )

( ),f x f c

f ax c

− ′=−

para algún ( , ).a c x∈

De aquí, ( ) ( ) ( )( ),f x f c f a x c′− = − para algún ( , ).a c x∈ (1)

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, 0 ( ) 0,f f′′ ′ ′> ⇔ >y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ́ es creciente en el intervalo

( , ).c x Es decir,

( ) ( ).c a x f a f c′ ′< < ⇒ > (2 )

De (1) y (2) se deduce entonces que ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).f x f c f a x c f c x c′ ′− = − > −

Por tanto, ( ) ( ) ( )( ),f x f c f c x c′> + − para .x c>

Caso 2: Supongamos que .x c<

Por el TVM, ( ) ( )

( ),f c f x

f ac x

− ′=−

para algún ( , ).a x c∈

De aquí, ( ) ( ) ( )( ),f c f x f a c x′− = − para algún ( , ).a x c∈ (1)

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, 0 ( ) 0,f f′′ ′ ′> ⇔ >y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ́ es creciente en el intervalo

( , ).x c Es decir,

( ) ( ).x a c f c f a′ ′< < ⇒ > (2 )



De (1) y (2) se deduce que ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).f c f x f a c x f c c x′ ′− = − < −

Es decir, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ).f x f c f c c x f x f c f c x c′ ′− < − + − ⇔ > + −

Por tanto, ( ) ( ) ( )( )f x f c f c x c′> + − para .x c<

En consecuencia, ( ) ( ) ( )( ),f x f c f c x c′> + − siempre que .x c≠

Ejemplo 24.2

Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Suponga-mos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en elmismo intervalo.

Sean ( ) ln ( )F x f x= y ( ) ln ( ).G x g x=

a. Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente?b. Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente?c. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f + g) lo es?d. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f ⋅ g) lo es?e. Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln (f ⋅ g) lo es?

Solución

a. La pregunta puede formularse de la siguiente manera:

¿Si ( ) 0,F x′′ > entonces ( ) 0?f x′′ >

En primer lugar, si ( ) ln ( ),F x f x= entonces ( )

( ) ,( )

f xF x

f x

′′ = y

2

2

( ) ( ) ( ( ))( ) .

( )

f x f x f xF x

f x

′′ ′−′′ =

2

2

( ) ( ) ( ( ))( ) 0 0,

( )

f x f x f xF x

f x

′′ ′−′′ > ⇔ >

2( ) 0f f f′′ ′⇒ ⋅ − > (puesto que el denominador siempre es

positivo),

´2( )

0f

ff

′′′⇒ > > (puesto que 2( ) 0f ′ > y f > 0),

⇒ f es cóncava hacia arriba.



b. No necesariamente.

Considere por ejemplo la función 2( )f x x= definida en el intervalo (1, 2).

( ) 0,f x > para todo (1,2).x∈

Como 2( ) ln ,F x x= entonces 2

( )F xx

′ = y 2

2( ) 0,F x

x

−′′ = < lo que indica que

F es cóncava hacia abajo.

c. Como f es cóncava hacia arriba, entonces ( ) 0.f x′′ >

Como g es cóncava hacia arriba, entonces ( ) 0.g x′′ >

De otro lado, ( ) 0,f g f g′′ ′′ ′′+ = + > lo que indica que (f + g) es cóncava

hacia arriba.

d. No necesariamente.

Considere por ejemplo las funciones 2( )f x x= y g (x) = (1 − x)2, definidas en

el intervalo (0, 1), ( ) 2 , ( ) 2 0,f x x f x′ ′′= = > lo que indica que f es cóncava

hacia arriba en el intervalo (0, 1).

También, ( ) 2(1 ), ( ) 2 0,g x x g x′ ′′= − − = > lo que indica que g es cóncava

hacia arriba en el intervalo (0 , 1).

De otro lado, si 2 2 2 3 4( ) ( )( ) (1 ) 2 ,H x f g x x x x x x= ⋅ = − = − +

2 3( ) 2 6 4 ,H x x x x′ = − +

2( ) 2 12 12 ,H x x x′′ = − +

12 6 3 1 0,

2H

⎛ ⎞′′ = − + = − <⎜ ⎟⎝ ⎠

lo que indica que es cóncava negativa en las cercanías de 1

.2

x =

e. Sea ( ) ln ( )( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( ).H x f g x f x g x F x G x= ⋅ = + = +

Por tanto, ( ) ( ) ( ),H x F x G x′′ ′′ ′′= + y como por hipótesis ( )F x′′ > 0, ( )G x′′ > 0,

se sigue que ( ) 0,H x′′ > lo que indica que ( ) ( ) ( )H x F x G x= + es cóncava

hacia arriba.



Análisis y trazado de curvas

25

La reputación histórica de Maria Agnesi fue distorsionadapor el hecho de que en sus Instituzioni analitiche trabajaracon la «cúbica de Agnesi» o curva sinusoidal versa (versieraen italiano), que se tradujo al inglés, por un error del traductor,Colson, como la «bruja de Agnesi» (Colson tradujo el términoversiera por witch, la palabra inglesa que significa «bruja»).

Introducción

El tratamiento que se ha dado a la graficación de funciones ha sido casi elemental.En la mayoría de los casos, las gráficas indicadas corresponden a funciones cono-cidas: polinómicas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, etc., cuyo trazose ha hecho marcando un número suficiente de puntos que las caracterizan. Sinembargo, si la ecuación que se quiere graficar es complicada o se quiere de la mismauna gráfica más precisa, esa técnica sería inadecuada. Por esta razón, los elementosdel cálculo vistos hasta ahora (límite, continuidad y derivada) se convierten en unapoderosa herramienta para trazar una curva con todos sus elementos. El objetivobásico de este módulo es incluir todas estas ideas en el proceso de graficación.


1. Incluir los temas vistos hasta ahora del cálculo en el proceso de graficación.2. Trazar la gráfica de una curva con todos sus elementos: dominio, interseccio-

nes, asíntotas, extremos relativos, monotonía, concavidad y puntos de inflexión.

Preguntas básicas

1. Sea f una función continua en todo el eje real. La figura adjunta es el gráfico de f´´(x) (gráfico de la función derivada, no de la función).


Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaResponda las siguientes preguntas acerca de f(x) (no de f’ ):

a. ¿Dónde f es creciente y dónde es decreciente?b. ¿Dónde f es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo?c. ¿Cuáles son sus valores críticos y dónde ocurren sus extremos relativos?d. ¿Dónde están los puntos de inflexión para f ?e. Suponiendo que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones

expuestas.


25.1 Análisis y trazado de curvas25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas


25.1 Análisis y trazado de curvas

El objetivo principal de los módulos anteriores era el de proporcionar los elementosteóricos necesarios para el análisis y el trazado de la curva asociada a una función.Esto se reduce generalmente a la determinación de los siguientes elementos:

Dominio natural de definición de la función ( ).y f x=

Posibles puntos de discontinuidad.

Interceptos de la curva con los ejes coordenados:

a. Interceptos con el eje x: se hace en la ecuación y = 0 y se resuelve laecuación resultante para x.

b. Interceptos con el eje y: se hace en la ecuación x = 0 y se resuelve laecuación resultante para y.

Asíntotas de la curva: verticales, horizontales y oblicuas.

Intervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f, analizando

el signo de ( ).f x′

Intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexión analizando el signo

de ( ).f x′′

Este análisis permite construir la gráfica de la función (a veces resulta convenienteir trazando los elementos de la gráfica simultáneamente con el análisis).

Observaciones

Si la curva que se desea analizar y trazar corresponde a una función par, es decir,

( ) ( ),f x f x= − la curva es simétrica con respecto al eje y. En consecuencia, sólo

es suficiente analizar la función y construir su gráfica únicamente para valorespositivos de la variable x, pertenecientes al dominio de la función.

Si la curva corresponde a una función impar, es decir, ( ) ( ),f x f x− = − será sufi-

ciente analizar la función para los valores positivos de la variable x. La gráfica deuna función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

En los ejemplos 25.1, 25.2, 25.3 y 25.4 de la sección 25.2 se analiza y se traza la gráficade algunas funciones con todos los elementos mencionados anteriormente.

25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas

Ejemplo 25.1

Trace la curva correspondiente a la función

2 2

2

3 3( ) .

( 2)( 2)4

x xy f x

x xx

+ += = =

− +− (1)

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas

Escuche el audio Traducttore tradictore en sumultimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


Solución

Determinemos los elementos fundamentales de la curva, como son:

1. Dominio natural de f (x)

Los únicos valores de x para los cuales no existe la función son x = 2 y x = –2

(valores de x que anulan el denominador). De esta forma, { }2, 2 .fD =ℜ− −

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 2

22

30 3 0

4

xx

x

+= ⇔ + =

−. Esta últi-

ma ecuación no tiene solución real, lo que indica que la curva no cortaal eje x.

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): 2

2

0 3 3.

40 4y

+= = −

− Por tanto, la curva

corta al eje y en el punto (0, 3 4).P −

3. Asíntotas

i. Verticales: como la función es racional, son aquellos valores de x queanulan el denominador de (1). En este caso las rectas verticales x = 2y x = –2 son asíntotas verticales de la curva.

Además, 2

22 2

3lim ( ) lim ,

4x x

xf x

x+ +→ →

+= = +∞

−

2

22 2

3lim ( ) lim ,

4x x

xf x

x− −→ →

+= = −∞

−

2

22 2

3lim ( ) lim ,

4x x

xf x

x+ +→− →−

+= = −∞

−

2

22 2

3lim ( ) lim .

4x x

xf x

x− −→− →−

+= = +∞

−

ii. Horizontales: como 2

2

3lim ( ) lim 1,

4x x

xf x

x→∞ →∞

+= =

−se deduce que y = 1

es una asíntota horizontal de la curva. De otro lado, como

2

2 2

3 7( ) 1 ,

4 4

xf x

x x

+= = +

− −

se deduce que los valores de la función para valores grandes de x envalor absoluto son mayores que 1, lo cual indica que la curva siempreestá por encima de la asíntota.




Módulo 25: Análisis y trazado de curvasEn la figura 25.1 se indica el intercepto de la curva con el eje y, y elcomportamiento de la curva cerca de las asíntotas.

Figura 25.1

iii. Oblicuas: no tiene (¿por qué?).

4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos

Para ello, se hace el análisis de la primera derivada.

2 2

2 2 2 2

2 ( 4) 2 ( 3) 14( ) .

( 4) ( 4)

x x x x xf x

x x

− − + −′ = =− −

Como (x2 – 4)2 > 0 (positivo), el signo de la derivada sólo depende del signodel factor (–14 x). Así:

Signo de (–14 x) o signo de ( )f x′ +++++++++++++|– – – – – – – – – – –

0

El diagrama indica que ( )f x es creciente en ( ,0]−∞ , y que ( )f x es decre-

ciente en [0, ).+∞

En consecuencia, x = 0 corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo.

(0, (0)) (0, 3 4).m mP f P⇔ −

5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión

Para ello, se utiliza la segunda derivada.


Si 2

2 2 3 3

14 42 56( ) ( ) .

( 4) ( 2) ( 2)

x xf x f x

x x x

− +′ ′′= ⇒ =− − ⋅ +

Como 42x2 + 56 > 0 (positivo), el signo de la segunda derivada depende delsigno de los factores del denominador.

Signo de 3( 2)x − – – – – – – – – – –| ++++++++++++++

2

Signo de 3( 2)x + – – – – – –|++++++++++++++++++++

–2

Signo de ( )f x′′ +++++++++|– – – – |+++++++++++++++

–2 2

El signo de la segunda derivada indica que:

( )f x es cóncava hacia arriba (+) en ( , 2) (2, ),−∞ − ∪ +∞

( )f x es cóncava hacia abajo (–) en ( 2,2).−

En los puntos x = –2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, lo cual indica que hay«inflexión», pero no existe punto de inflexión (¿por qué?).

La figura 25.2 recoge toda la información obtenida y proporciona una aproximaciónmuy buena a la gráfica de la función dada.

Figura 25.2



Ejemplo 25.2

Trace la curva correspondiente a la función

3 3 2

2 2

( 1) 3 3 1( ) .

( 1) 2 1

x x x xy f x

x x x

+ + + += = =

− − + (1)

Solución

1. Dominio natural de f (x)

El único valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el de-nominador).

Así que { }1 ( ,1) (1, ).fD =ℜ− = −∞ ∪ +∞

La función es continua para todo 1,x ≠ por ser el cociente de dos polinomios.

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 3

2

( 1)0 1.

( 1)

xx

x

+= ⇒ = −

− Luego el

punto ( 1,0)P − es el intercepto de la curva con el eje x.

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): 3

2

(0 1)1.

(0 1)y

+= =

− Luego el punto

(0,1)Q es el intercepto de la curva con el eje y.

3. Asíntotas

i. Verticales: el único valor de x que anula el denominador es x = 1 yésta es la única asíntota vertical de la curva.

De otro lado:

3

21 1

tiendea 8(+)( 1)lim ( ) lim ,

tiendea 0(+)( 1)x x

xf x

x+ +→ →

→+= → +∞

→−

3

21 1

tiende a 8(+)( 1)lim ( ) lim .

tiende a 0(+)( 1)x x

xf x

x− −→ →

→+= → +∞

→−

ii. Horizontales: no tiene (¿por qué?).

iii. Oblicuas: como el grado del numerador es 3, una unidad más que elgrado del denominador que es 2, la curva tiene una asíntota oblicuade la forma y = mx + b. Para determinarla, se efectúa la división entreel numerador y el denominador y se obtiene

3 2

2 2

3 3 1 12 4( 5) .

2 1 2 1

x x x xx

x x x x

+ + + −= + +

− + − +



Por tanto, 5Ay x= + es la asíntota oblicua de la curva.

Para estudiar el comportamiento de la curva «cerca» de la asíntota se estu-

dia la diferencia ,C Ay y− para un mismo valor de x, en donde yC es la orde-

nada de la curva y yA es la ordenada de la asíntota. Esto es,

3 2

2 2

3 3 1 12 4( 5) .

2 1 2 1C A

x x x xy y x

x x x x

+ + + −− = − + =

− + − +

Si 0,x > entonces 0,C Ay y− > lo que indica que para valores grandes de

x (positivos), la curva está por encima de la asíntota.

Si 0,x < entonces 0,C Ay y− < lo cual indica que para valores grandes dex (negativos) la curva está por debajo de la asíntota.

En la figura 25.3 se ilustran los interceptos de la curva con los ejes coordena-dos, así como también el comportamiento de la curva «cerca» de las asíntotas.

Figura 25.3


Para ello se hace el análisis del signo de la primera derivada.

2 2 3 2

4 3

3( 1) ( 1) 2( 1)( 1) ( 1) ( 5)( ) .

( 1) ( 1)

x x x x x xf x

x x

+ − − − + + ⋅ −′ = =− −

El signo de ( )f x′ depende de los signos que poseen los factores ( 5)x − y

(x – 1)3, puesto que 2( 1)x + es siempre positivo.



Signo de (x –5) – – – – – – – – – – – – – – | +++++++++++ 5

Signo de (x − 1)3– – – – – – |+++++++++++++++++++++++ 1

Signo de ( )f x′ +++++++ |– – – – – – – – |++++++++++++

1 5

El signo de ( )f x′ indica que:

f crece en los intervalos (–∞ ,1) y [5, +∞) y f decrece en el intervalo(1, 5].

En x = 1, ( )f x′ no existe, pero como el punto no pertenece al dominio

de f, la curva en él solamente cambia de monotonía conservando sucomportamiento asintótico.

x = 5 corresponde a un mínimo relativo. (5, (5)) (5,13.5).m mP f P=

5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada ( )f x′′ .

4

24( 1)( ) .

( 1)

xf x

x

+′′ =−

El signo de ( )f x′′ sólo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y

4( 1)x − son siempre positivos.

Signo de (x + 1) – – – – –| ++++++++ +++++++++ –1

El signo de ( )f x′′ indica que:

( )f x es cóncava hacia abajo ( )∩ en (–∞, –1],

( )f x es cóncava hacia arriba ( )∪ en [ 1, )− +∞ .

El punto PI (–1, f (–1)) corresponde a un punto de inflexión, es decir, en P

I(–1, 0) la

curva cambia de concavidad.

En la figura 25.4 se traza la curva con todos los elementos así obtenidos.



Figura 25.4Ejemplo 25.3

Trace la gráfica de la función

( ) 2sen cos 2 ,y f x x x= = + para x en [0,2 ].π (1)

Solución

Como sólo interesa la parte de la gráfica correspondiente al intervalo [0,2 ],π única-

mente se tienen en cuenta para su análisis los siguientes elementos:

1. Continuidad

La función es continua en el intervalo [0,2 ]π por ser suma de funciones

continuas.

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): se resuelve para x.

22sen cos 2 0 2sen 1 2sen 0,x x x x+ = ⇔ + − =

22sen 2sen 1 0.x x⇔ − − =

Al resolver la última ecuación reducible a cuadrática se obtiene por lafórmula general:

2 4 8 1 3sen .

4 2x

± + ±= =



La ecuación 1 3

sen2

x+

= carece de solución (¿por qué?).

Si 1 3

sen ,2

x−

= entonces 0.37 y 2 0.37.x xπ π≈ + = −

Por tanto, los interceptos de la curva con el eje x son los puntos

1( 0.37,0)P +π y 2 (2 0.37,0).P −π

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). Así, 2sen 0 cos0 1.y = + =


Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o ( ).f x′

'( ) 2cos 2sen 2 2cos 4sen cos ,f x x x x x x= − = − ⋅

'( ) 2cos (1 2sen ).f x x x= ⋅ −

El signo de la derivada depende del signo de los factores cos x y (1 – 2sen x)

en el intervalo [0,2 ].π

Ahora,

cos x es positivo si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir,

cos x > 0 si (0, 2) (3 2, 2 );x π π π∈ ∪ cos x es negativo si x pertenece al se-

gundo o al tercer cuadrante, es decir, cos 0x < si 3

,2 2

xπ π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

. Ahora, como

sen 1 2x > siempre que 5

,6 6

xπ π< < se deduce que 2sen 1x > si

5, 1 2sen 0

6 6x x

π π⎛ ⎞∈ ⇔ − <⎜ ⎟⎝ ⎠

si 5

, .6 6

xπ π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

También, sen 1 2x < siempre que 06

xπ

< < o5

2 ;6

xπ π< < por tanto,

1 2sen 0x− > si

50, ,2 .

6 6x

π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Al llevar esta información al diagrama adjunto se puede escribir:



Signo de 2cos x en [0,2 ]π

++++++++++++++++|– – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++

0 2π 3 2π 2π

Signo de (1 2sen )x− en [0,2 ]π

++++++|– – – – – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++++++++

0 6π 5 6π 2π

Signo de ( )f x′ en [0,2 ]π

++++++|– – – – – – –| +++++++++++++ |– – – –|++++++++++++

0 6π 2π 5 6π 3 2π 2π

El signo de '( )f x indica que f (x) es creciente en los intervalos 0, ,6

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

π 5,

2 6⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

π π

3y , 2 .

2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

π π

( )f x es decreciente en los intervalos 5 3

, y , .6 2 6 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

π π π π

Del diagrama anterior se puede concluir también que:

6x

π= corresponde a un máximo relativo, es decir,

3,

6 2P

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es un

punto máximo de la curva.

5

6x

π= corresponde a un máximo relativo, es decir,

5 3,

6 2Q

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es

un punto máximo de la curva.

2x

π= corresponde a un mínimo relativo, es decir, ,1

2R

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es un

punto mínimo de la curva.

Finalmente,

3

2x

π= corresponde a un mínimo relativo, es decir,

3, 3

2T

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

es

un punto mínimo de la curva.



4. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexión

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada ''( ).f x

( ) 2sen 4cos 2 ,f x x x′′ = − −

22sen 4(1 2sen ),x x= − − −

22(4sen sen 2).x x= − − (2)

Para hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación

( ) 0f x′′ = . Es decir, 22(4sen sen 2) 0.x x− − =

Resolviendo esta última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene

1 330.84

8sen1 33

0.598

x

⎧ +≈⎪⎪= ⎨

−⎪ ≈ −⎪⎩

(3)

Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonométricas, se pue-den obtener los siguientes valores aproximados de x:

1; 1; 0.63x x xπ π≈ ≈ − ≈ + y 2 0.63.x π≈ −

Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de in-flexión, se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada

2( ) 2(4sen sen 2).f x x x′′ = − −

Los valores dados en (1) permiten escribir ( )f'' x así:

2 1 33 1 33

( ) 2(4sen sen 2) 2 sen sen .8 8

f'' x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −

= − − = − ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Mediante consideraciones similares a la hechas para ( ),f x′ se puede obtener

la información que aparece en el diagrama siguiente:




Signo de 1 33

sen8

x⎡ ⎤+

−⎢ ⎥⎣ ⎦

– – – – – – –|+++++| – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

0 1 ( 1)π − 2π

Signo de 1 33

sen8

x⎡ ⎤−

−⎢ ⎥⎣ ⎦

+++++++++++++++++++++|– – – – – – – – – – |+++++++

0 ( 0.63)π + (2 0.63)π − 2π

Signo de ''( )f x

– – – – – – –|+++++|– – – – –|+++++++++++++| – – – – –

0 1 ( 1)π − ( 0.63)π + (2 0.63)π − 2π

El signo de ( )f x′′ indica que:

( )f x es cóncava negativa ( )∩ en [0,1] [ 1, 0.63] [2 0.63, 2 ],∪ − + ∪ −π π π π

( )f x es cóncava positiva ( )∪ en [1, 1] [ 0.63, 2 0.63].− ∪ + −π π π

Además, se obtienen los siguientes puntos de inflexión:

(1, 1.27); ( 1, 1.49); ( 0.63, 0.7)− + −π π y (2 0.63, 0.87).− −π

Con la información dada en los cuatro puntos anteriores se puede trazar unabuena aproximación a la curva correspondiente, como aparece en la figura 25.5.

Figura 25.5


Ejemplo 25.4

Analice y grafique la función ( ) senh .2

x xe ey f x x

−−= = = (1)

Solución

1. Dominio

El conjuntoℜ de los números reales, dominio común de las funciones

y .x xe e−

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)):

senh 0x = 2 1

0,2

x

x

e

e

−⇔ =

2 1 0,xe⇔ − =

2 1 0.xe x⇔ = ⇔ =

De esta manera, la curva pasa por el origen.

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)):

senh 0 0.y = =

3. Continuidad

La función y = senh x es continua en todo el eje real por ser combinación defunciones continuas.

4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Puesto que Dx (senh x) = cosh x, del ejemplo 14.1i de la sección 14.3 se tiene

que Dx (senh x) > 0 y esto indica que la función es creciente en el intervalo

( , ).−∞ +∞

La función no posee valores críticos, ya que la derivada existe y es diferentede cero en todo el eje real.

5. Análisis de la concavidad

Puesto que Dx (D

x (senh x)) = D

x (cosh x) = senh x, del ejemplo 14.1ii de la sec-

ción 14.3 se deduce que Dx (D

x (senh x)) < 0, siempre que x < 0, y por tanto

la curva es cóncava hacia abajo en el intervalo ( ,0).−∞



Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaIgualmente, del mismo ejemplo, se deduce que D

x (D

x (senh x)) > 0, siempre

que x > 0, lo cual indica que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo

(0, ).+∞

El punto P (0, 0) es un punto de inflexión de la curva, puesto que allí cambiala concavidad.

6. Límites en el infinito

Puesto que lim ,x

xe

→+∞= +∞ y lim 0,x

xe−

→+∞= se deduce que

lim senh .x

x→+∞

= +∞

Igualmente, puesto que lim 0,x

xe

→−∞= y lim ,x

xe−

→−∞= +∞ se deduce que

lim senh .x

x→−∞

= −∞

Con la información anterior podemos trazar la gráfica de la función y = f (x) = senh x,como se muestra en la figura 25.6.

Figura 25.6

Haciendo un análisis similar se pueden trazar las gráficas de las demás funcioneshiperbólicas, como aparecen en la figura 25.7.



Figura 25.7


Introducción

La teoría de máximos y mínimos que se ha expuesto en los módulos anteriores nosolamente es útil para el trazado de curvas, sino que hay múltiples e interesantesaplicaciones a los problemas de las ciencias, la ingeniería y la economía. En lo quesigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absoluto deuna función definida en un intervalo cerrado. Para ello se usa el teorema 2 delmódulo 21 (teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de unvalor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua enun intervalo cerrado. También, en muchos problemas que surgen en la práctica, losintervalos no son cerrados, pero la teoría expuesta anteriormente da solucionessatisfactorias. Al final del capítulo se propondrán numerosos ejercicios, que alresolverlos el lector, afianzarán su razonamiento matemático.


1. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en problemas de máximos y mínimos(problemas de optimización) que son de relevancia en diferentes áreas de laingeniería.

Preguntas básicas

1. Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener unvolumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura y radio de lastapas) que minimizan el área total?


26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo

Problemas de máximos y mínimos

26

La construcción de cajas y envases implica, entre otras cosas,minimizar la cantidad de material empleado. Por ejemplo,de todas las cajas cilíndricas con un mismo volumen, la quetiene una altura igual al diámetro de la base es la de menorárea (ejemplo 26.3).


26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos ymínimos

Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problemade esta naturaleza.

1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo en el que se indiquen las variables queintervienen en el problema.

2. Determinar la función que se debe maximizar o minimizar, así como el intervalo enel cual está definida.

3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso2, en términos de una sola variable.

4. Utilizar la regla práctica dada en la observación al teorema 2 de la sección21.3 para encontrar extremos absolutos.

5. Determinar la naturaleza del valor crítico mediante el teorema 2 del módulo 24,conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, enalgunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dadocorresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto

Ejemplo 26.1

Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes formando con una de ellasun círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

Solución

Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. Si x es lalongitud de la circunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado (figura 26.1).

Figura 26.1




Por tanto, el radio de la circunferencia es 2

x

π y el lado del cuadrado es

100.

4

x−

Si A (x) es la función que representa la suma de ambas áreas, se tiene que:

2 21 1( ) (100 ) ; 0 100.

4 16A x x x x

π= + − ≤ ≤ (1)

Puesto que A (x) es una función continua en el intervalo [0, 100], entonces existe unvalor máximo y un valor mínimo de A (x) en [0, 100].

Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos. En efecto:

1 1( ) . 2 . 2( 1) (100 ),

4 16A x x x′ = + − −

π

100 100

0 ,2 8 4

x xx

ππ π

−= − = ⇒ =

+

es el único valor crítico y pertenece al intervalo [0, 100] (¿por qué?). Además, porel criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mínimo relativo.

Ahora, los valores máximo y mínimo de A (x) está entre los valores A (0), A (100) y

100.

4A

ππ

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦

Pero,

22 21 1 100

(0) . 0 (100 0) ,4 16 16

Aπ

= + − =

22 21 1 100

(100) . 100 (100 100) ,4 16 4

Aπ π

= + − =

2 2 2100 1 100 1 100 100100 .

4 4 4 16 4 16 4A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π ππ π π π π

Como 4 16 16 4 ,π π< < + entonces 1 1 1

,16 4 16 4π π

< <+

y de esta última desigual-

dad se deduce que

2 2 2100 100 100 100(0) (100).

16 4 16 4 4A A A

ππ π π

⎛ ⎞< < ⇔ < <⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

De esta manera, la última desigualdad indica que el área máxima se obtienepara x = 100, o sea, no partiendo el alambre y formando con él una circunferencia,

mientras que el área mínima se obtiene partiendo el alambre a una distancia 100

4

ππ+

Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos


de uno de sus extremos, y formando con esta primera parte una circunferencia y con

la parte restante 400

4 π+ un cuadrado.

Ejemplo 26.2

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin taparecortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe serla longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja seamáximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?

Solución

Sea x la longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas

(figura 26.2 a), donde 0 .2

ax≤ ≤

Figura 26.2

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en lafigura 26.2b.

Ahora, volumen de la caja = área de la base × altura. Esto es,

2 3 2 2( ) ( 2 ) · 4 4 ; 0 .2

aV x a x x x ax a x x= − = − + ≤ ≤ (1)

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo



0, ,2

a⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo.

Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero se obtienen los valores críticos. En efecto:

2 2( ) 12 8 (2 ) (6 ) 0.V x x ax a x a x a′ = − + = − − =

2 02 valores críticos

6 06

ax a x

ax a x

− = ⇒ =⇒

− = ⇒ =

Para analizar la naturaleza de los valores críticos, se utiliza el criterio de la segundaderivada, así:

( ) 24 8 ,V x x a′′ = −

24 8 4 0,2 2

a aV a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ = − = >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

lo cual indica que2

ax = corresponde a un mínimo relativo (interprete geométrica-

mente el resultado).

'' 24 8 4 0,6 6

a aV a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

lo cual indica que 6

ax = corresponde a un máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado 6a y de esta forma se obtiene una caja cuyo volumen

viene dado por

232

2 · · .6 6 6 27

a a aV a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo

Ejemplo 26.3

Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener unvolumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura del cilindro y radiode las tapas) que minimizan el área total?

Solución

En la figura 26.3 aparece el cilindro y las dimensiones por determinar.



Figura 26.3

Si se denota por V (constante) el volumen del cilindro, se tiene, de acuerdo a lafórmula conocida de la geometría,

2 ,V x yπ=

y de aquí, 2

.V

yxπ

= ( 1)

La función a minimizar es el área total, esto es,

22 2 .TA x xy= +π π ( 2)

Sustituyendo (1) en (2) se puede escribir la función a minimizar en términos de unasola variable, así:

2 1( ) 2 2 ,TA x x Vxπ −= + con ( )0, .x∈ +∞

De esta forma,

32

2 3

4 2 4( ) 4 2 , ( ) 4 .T T

x V VA x x Vx A x

x x

ππ π− −′ ′′= − = = +

El único valor crítico de ( )TA x se obtiene resolviendo la ecuación 34 2 0,x Vπ − = o

sea que el único valor crítico de ( )TA x corresponde a 3 .2

Vx

π=

Ahora, de acuerdo al criterio de la segunda derivada,

33

3

44 12 0,

2

2

T

V VA

V

⎛ ⎞′′ = + = >⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

π ππ

π

lo que indica que 3

2

Vx

π= corresponde a un mínimo relativo.



De otro lado, sustituyendo en (1) este valor de x, se obtiene 32

3

2 .2

2

V Vy

V ππ

π

= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Por tanto, el recipiente más económico se consigue eligiendo la altura del cilindroigual al diámetro de la base.

Ejemplo 26.4

Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho están unidos en ángulo recto (figura 26.4). En-cuentre la longitud de la barra recta más larga que puede pasarse horizontalmentede un pasillo a otro por una esquina.

Solución

Supóngase que la barra puede pasar horizontalmente, cuando esté en la posiciónen que aparece en la figura 26.4.

Figura 26.4

Si θ (radianes) denota el ángulo que forma la barra con el pasillo menor, entonces

2

π θ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

será el ángulo que forma con el pasillo mayor.

La longitud deseada es la longitud L mínima de la barra:

.L AC AB BC= = + (1)

En el triángulo APB se tiene que sec 9sec .9

ABABθ θ= ∴ = (2)

En el triángulo BQC se tiene que csc 6csc .6

BCBCθ θ= ∴ = (3)



Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene la función a optimizar:

( ) 9sec 6csc ;L θ θ θ= + 0 2.θ π< < (4)

Note que L → +∞ cuando 0θ +→ o ( )2θ π −→ (¿por qué?).

Por tanto, ( ) 9sec tan 6csc cotL′ = ⋅ − ⋅θ θ θ θ θ (RD15 y RD16),

9 sen 6 cos( ) ,

cos cos sen senL′ = ⋅ − ⋅

θ θθθ θ θ θ

3 3

2 2 2 2

9sen 6cos 9sen 6cos,

cos sen sen cos

θ θ θ θθ θ θ θ

−= − =

3 3

2 2

3cos (3tan 2),

sen cos

θ θθ θ

−=

3

2

3cos (3tan 2).

sen

θ θθ

−= (5)

Así que 13 32 2

( ) 0 tan tan ;3 3

L − ⎛ ⎞′ = ⇔ = ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠θ θ θ 0.718 (rad).θ ≈

Ahora, el signo de ( )L′ θ sólo depende del signo del factor 3(3tan 2).θ −

Para ello, considere la gráfica de la función tangente (figura 26.5a) y en la cual se haseñalado el valor de tanθ para 0.718.θ ≈



Figura 26.5

A la izquierda de 0.718,≈θ 32

tan3

θ < , con lo cual

3 32tan 3tan 2 0 ( ) 0.

3L′< ⇔ − < ⇔ <θ θ θ

A la derecha de 0.718,≈θ 32

tan3

θ > , con lo cual

3 32tan 3tan 2 0 ( ) 0.

3L′> ⇔ − > ⇔ >θ θ θ

Del análisis anterior se deduce que 0.718≈θ (rad) corresponde a un mínimo relati-

vo de L ( ),θ cuya gráfica se parece a la de la figura 26.5b.

Esto significa que el valor mínimo absoluto de L (y, por tanto, la longitud máxima dela varilla en cuestión) es:

(0.718) 9 · sec (0.718) 6csc (0.718).L = +

Un procedimiento algebraico para obtener el valor exacto de L es el siguiente:

como

2 / 3 2 / 3 2 / 32

1/ 3

2 3 2sec 1 tan 1 , y

3 3θ θ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 / 3 2 / 3 2 / 32

1/ 3

3 2 3csc 1 cot 1 ,

2 2θ θ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠



se tiene que:

9sec 6 csc ,L θ θ= +

( ) ( )1/ 2 1/ 22 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 31/ 3 1/ 3

9 63 2 3 2

3 2= + + +

( )1/ 22 / 3 2 / 31/ 3 1/ 3

3 23 3 2

3 2⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(factor común)

( )1/ 22 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 33 3 2 3 2⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

( )3/ 22/ 3 2/ 33 3 2 ,= +

es la longitud de la barra que cumple las condiciones del problema.



La derivada como razón de cambio

27

George Pólya

George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest,Hungría, y murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto,Estados Unidos.

Introducción

Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones se aplican tambiéna funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entonces

dy dt se llama razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una

distancia, se llama velocidad.

Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio conrespecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con lacual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles después depasar por un punto específico P, etc.

Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luegoel valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayoría de los casos lavariable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos surazón de cambio.


1. Usar la derivada como razón de cambio en problemas de variables ligadas, las cuales presentan variación con respecto al tiempo.

Preguntas básicas

1. Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y auna altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por elcentro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismoinstante, una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si lacarretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se estánseparando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P?


27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas


27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines

Los problemas en que intervienen derivadas de variables relacionadas entre sí sellaman problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razonesafines, y es típico en ellos que:

i. Ciertas variables están relacionadas en una forma determinada para todos losvalores de t que se consideran en el problema.

ii. Se conozcan los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadaspara un instante dado.

iii. Se pida hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante.

Las variables que intervienen en un problema dado pueden considerarse comofunciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan,las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están relacionadas lasderivadas de estas variables.

De acuerdo con lo anterior, se pueden señalar en la solución de este tipo de proble-mas los siguientes pasos:

1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situación propuesta. La figura quese traza debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamente en elinstante particular.

2. Determinar cuáles son las variables que intervienen en el problema y represen-tarlas por medio de letras como x, y, z, h, etc.

3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre sí la diferentes variables queintervienen en el problema.

4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantáneasde cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3.

5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problemay despejar las variables o derivadas que interesan.

Todo lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos.

27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas

Ejemplo 27.1

A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m de radio y16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3/s.

a. ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua cuando éste se encuentra a 4 m de altura?




b. ¿A qué velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?

Solución

En la figura 27.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción delvolumen en cualquier instante t.

Figura 27.1

Desígnese por:

V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s). x: radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t. y: altura del agua (en cm) en el instante t .

Datos:

3

50 .dV cm

dt s

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

El volumen del agua en el instante t viene dado por

21.

3V x yπ= ⋅ (1)

De la semejanza de los triángulos ODE y OBC se deduce que

4 (2)16

4 (3)4

y xy

yx x

=⎧⎪= ⇔ ⎨

=⎪⎩

a. Puede formularse la pregunta así:

?,dy

dt= cuando y = 4 m = 400 cm.

Módulo 27: La derivada como razón de cambio

George Pólya

El primer trabajo de George Pólya fue como profesorparticular. En un principio no se sintió especialmente atraídopor las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Suprofesor de filosofía le sugirió que siguiera cursos de físicay de matemáticas para mejorar su formación filosófica.Este consejo marcó para siempre su carrera. Las magníficaslecciones de física de Lorán Eötvös, y las no menos excelentesde matemáticas de Lipót Fejér, influyeron decisivamenteen su vida y obra. En 1940, huyendo de Hitler, Pólya y suesposa suiza (Stella Weber) se trasladaron a Estados Unidos.Pólya hablaba (según él, bastante mal), además del húngaro,su idioma natal, alemán, francés e inglés y podía leer yentender algunos más.

Fue uno de los hombres míticos en la historia de lasmatemáticas modernas y su enseñanza a través deproblemas. Sus principales obras son: Cómo plantear yresolver problemas, Matemáticas y razonamiento plausible,La découverte des mathématiques y Análisis matemático.

Cuando se le preguntaba cómo había llegado a sermatemático, solía decir, medio en broma, medio en serio:«No era lo suficientemente inteligente para ser físico, ydemasiado para ser filósofo, así que elegí matemáticas quees una cosa intermedia». Fue un viajero impenitente (aunquenunca condujo automóviles) que curiosamente descubrió alos 75 años de edad las comodidades de los viajes en avión,cruzando el Atlántico y el continente varias veces.


Una manera simple de calcular dy

dt consiste en expresar V en (1) en términos

únicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con res-pecto a t.

Así,

22 31 1

·3 3 4 48

yV x y y y

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ππ π

223

48 16

dV dy y dyy

dt dt dt= ⋅ ⋅ = ⋅π π

2

16.

dVdy dtdt y

⋅=

π

De donde, de acuerdo a las condiciones del problema,

3

2

cm16 50 1 cms ,

200 s(400 cm)

dy

dt

⋅⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ππ

(5)

lo cual indica que la altura crece a esa velocidad.

b. Puede formularse la pregunta así:

?,dx

dt= cuando y = 4 m = 400 cm ⇔ x = 100 cm.

Una manera sencilla de encontrar la solución consiste en derivar ambos miem-bros de (3) con respecto a t. Así,

1 1 1 cm 1 cm,

4 4 200 s 800 s

dx dy

dt dt π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6)

lo cual indica que el radio crece a esta velocidad.

Otra manera de obtener la solución consiste en expresar V en (1) en términosúnicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respec-to a t. (¡Verifique!)

Ejemplo 27.2

Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura observa unbote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/s. ¿Con qué rapidezcambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando éste se encuen-tra a 300 pies de la base del faro?



Solución

En la figura 27.2a aparecen las variables que intervienen en el problema.

x: distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t. :θ ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.

Nótese que cuando «B se acerca a P» pies

20s

dx

dt⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, entonces es de esperar

que θ también decrece.

Figura 27.2

De la figura 27.2a se tiene

tan 250 tan .250

xxθ θ= ⇒ = ⋅ (1)

Derivando ambos miembros de (1) con respecto a t, se tiene

2250 sec ,dx d

dt dt

θθ= ⋅ ⋅

de donde

2.

250 sec

dxd dtdt

θθ

=⋅

(2)

En el caso particular que interesa, x = 300.

Así que 300 6

tan250 5

θ = = (figura 27.2b).



Usando la identidad trigonométrica 2 21 tan sec ,θ θ+ ≡ se puede escribir en este

caso:2

2 6 25 36 61sec 1 .

5 25 25θ +⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠(3)

De otro lado, pies

20 .s

dx

dt= − (4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2), se tiene finalmente que

20 2 rad,

61 61 s25025

d

dt

− ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎝ ⎠⋅

θ

lo cual indica que el ánguloθ decrece (como era de esperar) a una velocidad deaproximadamente 0.0327 rad/s.

Ejemplo 27.3

Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a unaaltura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centroC del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante unalancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto Psituado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera conti-núa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lanchay el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P?

Solución

El problema se plantea desde el momento en el cual la lancha pasa exactamente porel punto P debajo del puente. En ese instante han trascurrido 5 s y por tanto el autose encuentra en el punto M de la figura.

En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo.

x: distancia que recorre la lancha después de pasar por el punto P. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que la lancha pasa por el punto P. w: distancia de C a R. z: distancia de R a T (distancia que separa la lancha del auto).

Como los triángulos CRT y CPR son rectángulos en C y P, respectivamente, setiene, de acuerdo a la relación pitagórica,

2 2 2(60 ) .z w y= + + (1)

También, 2 2 25 .w x= + (2)


Escuche el audio Los diez mandamientos del profesor segúnPólya en su multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.



Figura 27.3

De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 s el autoestá en el punto T y la lancha en el punto R. Así que, en ese instante, x = 160 m ey = 96 m. La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma:

160 m y 96 m?, cuando m m

20 ; 12s s

x ydz

dx dydt

dt dt

= =⎧⎪= ⎨

= =⎪⎩

Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados conrespecto al tiempo. Esto es:

2 2 225 (60 ) ,z x y= + + +

2 2 2(60 ) .dz dx dy

z x ydt dt dt

= + +

De aquí,

(60 ).

dx dyx ydz dt dt

dt z

+ +=

Vea la animación «Problema del puente» ensu multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:

2 2 2

m m(160 m) 20 (154 m) 12 5.048 m ms s 22.72 ,

s s49.3415 160 154 m

dz

dt

⋅ + ⋅= = ≈

+ +

lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una velocidad de aproxi-madamente 22.72 m/s.

Ejemplo 27.4

Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura 27.4, tiene agua hasta 4pies de profundidad en el extremo más hondo.

a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena?

b. Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3/min, ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?

Figura 27.4

Solución

a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Éste correspondeal volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas:base mayor, 9 pies; base menor, 4 pies; espesor, 20 pies.

Por tanto, Vp = (área de la base) · (espesor).

3(9 4)40· 20 5.200pies .

2Vp

+= =

Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del sólido

que aparece indicado en la figura 27.5.

Vll = área de la base (espesor).

34 ·· 20 40 pies .

2ll

LV L= =


Vea la animación «Vaciado y llenado detanques» en su multimedia de ElementosBásicos de Cálculo Diferencial.


Figura 27.5

Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente pro-porción:

5 4032 pies.

4L

L= ⇒ =

Así que 340 · 32 1.280 piesllV = = . Usando una regla de tres simple se esta-

blece:

Si 35.200 piesVp = corresponde al 100%.

31.280 piesllV = corresponde a 1.280 · 100%

24.61%5.200

x = ≈

b. Supóngase que en un instante t determinado el volumen de piscina llenacorresponde al volumen del sólido que aparece en la figura 27.6, en el cual y(nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo.

Figura 27.6

Se tiene entonces que ·· 20 10 · .

2

y xV x y= = (1)

Pero 8 .4 32

y xx y= ⇒ = (2)



Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir

V = 80 y2. (3)

Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tiene

160 . .dV dy

ydt dt

=

De donde .160

dVdy dtdt y

=

3Como 10 pies min y 4 pies,se tiene finalmentedV

ydt

= =

10 1 pies.

160 4 64 min

dy

dt= =

×

Ésta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Puedeverificarse fácilmente (¡verifique!) que el nivel horizontal x también está cre-

ciendo en ese mismo instante a una razón de 1 8 pies/min.



Introducción

En el siguiente módulo se usa la derivada para estimar el cambio de una función y,por tanto, el valor resultante de la función. El razonamiento que se hará será geomé-trico, apoyado en la interpretación de la derivada como la pendiente de la rectatangente. Es decir, una pequeña porción del gráfico de una función derivable entorno a un punto P parece casi recto y se asemeja a un pequeño segmento de larecta tangente en P. Esto sugiere utilizar la tangente para estimar la variación delvalor de la función causada por una pequeña variación en x.


1. Dar significado a la notación de Leibniz dy

dx para la derivada, no como símbolo

completo, sino como símbolos separados dy y dx.2. Deducir las fórmulas diferenciales a partir de las reglas de derivación y usarlas

en la solución de problemas de aproximaciones y en la estimación de errores enalgunos problemas característicos en las ciencias.

Preguntas básicas

1. Usando diferenciales demuestre que 3 8 212

hh+ ≈ + para h pequeños.

2. ¿Cuál es el porcentaje de error cuando h = 1? ¿Y cuando 1h = − ?


28.1 La diferencial28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales28.3 Aproximaciones y estimación de errores

La diferencial

28

A finales de 1830, el fisiólogo francés Jean Poiseuille descubrióla fórmula que se usa hoy en día para predecir cuánto hayque expandir el radio de una arteria parcialmente obstruidapara restaurar el flujo normal.


28.1 La diferencial

Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x la

notación de Leibniz dy

dx como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy

(diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representarla derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de unafunción alrededor de un punto. La definición está motivada por el siguiente razona-miento geométrico:

Sea P(x0 , y

0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (figura 28.1a).

Figura 28.1




Tomando el punto P (x0 , y

0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coorde-

nadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por elorigen y, en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber, dy = mdx,donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma

que la del antiguo, esto es ( ),m f x′= se tiene entonce que ( ) .dy f x dx′=

Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales.

Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, alincremento ,xΔ esto es, dx = .xΔ

Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada

por dy, se define como ( ) ,dy f x x′= Δ o también, ( ) .dy f x dx′=

28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulasdiferenciales

Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ se tiene que ,RQ m x= Δ en

donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (figura 28.1b), y por

tanto 0( ).m f x′=

Así que0( ) .RQ f x x dy′= Δ = (1)

Además, 0 0( ) ( ).y f x x f xΔ = +Δ − (2)

Se puede observar entonces que:

yΔ es el incremento en y medido sobre la curva;

dy es el incremento en y medido sobre la recta tangente.

Observaciones

a. Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces dy y= Δpara cualquier x del dominio.

b. Puesto que ( ) ,dy f x dx′= si 0,dx ≠ entonces al dividir ambos miembros de

la última igualdad por dx se tiene ( )dy

f xdx

′= y se puede de esta forma inter-

pretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.

c. De acuerdo a la observación b todas las reglas de diferenciales se deducende las reglas de derivación (RD1 - RD10, del módulo 19), multiplicando am-bos miembros de estas últimas por dx. En la tabla 28.1 aparecen las principa-les reglas de diferenciales (Rd) deducidas de las correspondientes reglas dederivación (RD).

Módulo 28: La diferencial

Fórmula de Jean Poiseuille

La fórmula que descubrió Poiseuille para predecir cuántohay que expandir el radio de una arteria parcialmenteobstruida para restaurar el flujo normal es V = kr 4, dondeV es el volumen del fluido que pasa a través de un pequeñotubo en la unidad de tiempo a una presión fija, k es unaconstante y r es el radio del tubo. ¿Cómo afectará a V unincremento del 10% en r?


Tabla 28.1. Principales reglas de diferencialesCapítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Así por ejemplo, si ( )1/ 25 4 5 44 2 5 4 2 5 ,y x x x x= + − = + − entonces la de-

rivada dy

dx viene dada por

( ) ( )4 3

1/ 24 3 5 4

5 4

1 10 420 8 4 2 5 .

2 4 2 5

dy x xx x x x

dx x x

− += + + − =

+ −

Es decir, 3

5 4

2 (5 2).

4 2 5

dy x x

dx x x

+=

+ −

Multiplicando ambos miembros de la última igualdad por ( 0),dx dx ≠ se ob-

tiene finalmente

3

5 4

2 (5 2).

4 2 5

x xdy dx

x x

+=

+ −

d. Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en forma de diferencialse expresa así:

. .dy dx

dy dtdx dt⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

· ·RD7

du dvv ud u dx dx

dx v v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1R.d.10 n nd u nu du−=

( ) ( )d d

cu c udx dx

=

1RD9 ( )n ndx nx

dx−=

RD3 y 4 ( )d du dv

u vdx dx dx

± = ± Rd3 y 4 ( )d u v du dv± = ±

RD5 ( · )d dv du

u v u vdx dx dx

= + Rd 5 ( · ) · ·d u v u dv v du= +

( )d cu cdu=

1Rd9 n ndx nx dx−=

Regla de la derivada Regla de la diferencial

RD1 ( ) 0d

cdx

= Rd1 0dc =

2Rd7

u vdu u dvd

v v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1RD10 n nd duu nu

dx dx−=



28.3 Aproximaciones y estimación de errores

Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello,supóngase que la gráfica de y = f (x) corresponde a la de la figura 28.2.

Figura 28.2

Cuando se da a x un incremento ,xΔ la variable y recibe un incremento ,yΔ que

puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por tanto, el valor aproxima-

do de ( )f x x+ Δ es

( ) ( ) ( ) ( ) .f x x f x dy f x f x x′+ Δ ≈ + = + Δ (1)

Así por ejemplo, supóngase que se quiere calcular (usando diferenciales) un valor

aproximado de 3 122. En primer lugar, nótese que 3 122 puede escribirse como

3 125 3,− y puesto que 3 125 5,= se puede pensar en la función 3( )f x x= y

hallar dy con 125 3.x y x= Δ = −

Esto es, (125) ( 3),dy f ′= − pero 2 / 3

3 2

1 1( ) ,

3 3f x x

x

−′ = =

3 2

1 1(125) ,

753 125f ′ = = con lo cual

1 1'(125) ( 3) .

75 25dy f x

−= Δ = ⋅ − =

En consecuencia, usando (1) se puede escribir:

( )

3

125 ( 3) (125) ,

1(122) 5 ,

251 124

122 5 4.96.25 25

f f dy

f

+ − ≈ +

≈ −

≈ − = =


Estimación de errores

Un problema característico en ciencias es el siguiente. Un investigador mide cierta

variable x para obtener un valor x0 con un posible error de magnitud .x± El valor x

0

se usa después para calcular un valor y0 de la variable y que depende de x. El valor

de y0 queda supeditado al error de x, pero ¿con qué magnitud? El procedimiento

regular consiste en estimar el error por medio de diferenciales.

Por ejemplo, un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 m y una altura de 10 m. Se deseapintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 m de espesor.

Halle:

a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita.b. La cantidad exacta VΔ de pintura que se necesita.

c. El error: .V dVΔ −

Solución

Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (figura 28.3).

Figura 28.3

El volumen viene dado por la función 2( ) 10 .V x xπ=

La diferencial de V en x = 5 será el valor aproximado

31(5) 20 (5) . m .

1000 10dV V x′= Δ = =

ππ

VΔ será el valor exacto, es decir,

( ) ( ),V V x x V xΔ = +Δ −

( )2 2 210 ( ) 10 10 2 · ( ) ,V x x x x x xΔ = + Δ − = Δ + Δπ π π



( )210 2 5·(0.001) (0.001) 10 0.01 0.000001 ,V ⎡ ⎤Δ = ⋅ + = +⎣ ⎦π π

0.10001 · ,VΔ = π5(0.10001 0.1) 0.00001 10 .V dV −Δ − = − = =π π π

Aproximaciones lineales

Considere la gráfica de la función f (x) que aparece en la figura 28.4.

.

Figura 28.4

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto ( , ( ))a f a viene dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).y f a f a x a y f a f a x a′ ′− = − ⇔ = + −

La aproximación ( ) ( ) ( )( )f x f a f a x a′≈ + − se llama aproximación lineal de f en

a, y la función ( ) ( ) ( ) ( )L x f a f a x a′= + − se llama linealización de f en a. La aproxi-

mación lineal ( ) ( )f x L x≈ es una buena aproximación, cuando x está cerca de a.

Así por ejemplo, si se quiere hallar la linealización de la función 3( )f x x= en a = 125

y usar dicho resultado para obtener una aproximación del número 3 122, se procedede la forma siguiente:

23

3 2

1 1( ) .

3 3f x x

x

−′ = =

Por tanto,

3(125) 125 5,f = = y también 3 2

1 1(125) .

753 125f ′ = =



Por consiguiente,

1 10( ) 5 ( 125) .

75 3 75

xL x x= + − = +

De esta forma,

3 10.

3 75

xx ≈ +

En particular,

3 10 122 372122 4.96.

3 75 75≈ + = =

Nótese que dicho valor coincide con el obtenido usando diferenciales.



1. En los ejercicios siguientes encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada y en elpunto de abscisa dado.

2a. 5 ; 1.y x x= − = 2b. 7 ; 0.y x x x= − − = c. 1; 3.y x x= + =

d. ; 4.y x x x= + = 3 3e. 10; 1.x y y x x+ = =

2. Encuentre la ecuación de la normal a la curva 2 2 2 2 28( ) 100( )x y x y+ = − en el punto (3, 1).

3. Demuestre que las hipérbolas 2 21 y 1xy x y= − = se intersecan en ángulo recto.

4. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 22 3y x= + que es paralela a la recta 4 1 0.x y− − =

5. Encuentre una recta que pase por (2, –3) y sea tangente a la curva 22 1.y x= −

6. En los ejercicios siguientes una partícula se mueve sobre un eje horizontal, según la ecuación de movimiento dada.Halle la velocidad instantánea para los valores particulares de t indicados. Determine además, si es posible, losinstantes en los cuales la partícula se encuentra en reposo.

2a. ( ) 2 1; 2.s t t t= + =1

b. ( ) ; 1/ 5.s t tt

= =

c. ( ) 1; 3.s t t t= + = 2d. ( ) 4 ; 4.s t t t= − =

7. Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 20 m/s en dirección vertical hacia arriba. Encuentre:

a. La velocidad instantánea cuando t = 5 s.b. La altura máxima a la que llega el objeto.c. La rapidez en el instante t = 2 s.d. El tiempo que tarda en regresar al punto de partida.

Nota: use la fórmula 21.

2os v t gt= −

8. Un objeto arrojado directamente hacia arriba alcanza una altura s = − 16t2 + 48t + 256 pies después de t segundos.

a. ¿Cuál es su velocidad inicial?b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?c. ¿Cuál es su altura máxima?d. ¿Cuándo alcanza el piso?e. ¿Con qué velocidad llega al piso?

Ejercicios propuestos

Ejercicios del capítulo 4 (módulos 20 al 28)


9. Para las funciones dadas a continuación, encuentre si existen los máximos y mínimos relativos, los intervalos decrecimiento y de decrecimiento de la curva.

2a. ( ) 4 1.f x x x= − − 4b. ( ) 4 .f x x x= + 2c. ( ) 9 .f x x x= −

1d. ( ) .f x x

x= − 2

3e. ( ) 2 4( 4) .f x x= − −2f . ( ) 2 1.f x x x= − +

2 1 si 4g. ( )

13 si 4

x xf x

x x

+ ≤⎧⎨ − >⎩

( )( )

2

2

4 5 si 4h. ( )

12 1 si 4

x xf x

x x

⎧ − + < −⎪= ⎨− + ≥ −⎪⎩

10. Determine el valor de las constantes a y b para que la función definida por f (x) = x3 + ax2 + b tenga un extremo relativoen (2, 3).

11. Para cada una de las funciones dadas a continuación determine los extremos absolutos de f en el intervalo dado.

a. ( ) 4 28 16f x x x= − + en [ ]3, 2 .− b. ( ) ( )2

31 3f x x= − − en [ ]5, 4 .−

c. ( )2

xf x

x=

+ en [ ]1, 2 .− d. ( ) ( )23 1f x x= + en [ ]2, 1 .−

e. ( ) 2

3 4 si 3 1

2 si 1 3

x xf x

x x

− − ≤ <⎧= ⎨

− ≤ ≤⎩ en [ ]3, 3 .−

f. ( )( )( )

2

2

4 5 si 6 4

12 1 si 4 0

x xf x

x x

⎧ − + − ≤ ≤−⎪= ⎨− + − < ≤⎪⎩

en [ ]6, 0 .−

12. Para las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema de Rolle yencuentre el valor de c que satisface la conclusión del teorema.

a. ( ) 4 24 8f x x x= − + en [ ]1, 3 . b. ( ) 3 16f x x x= − en [ ]4, 0 .−

c. ( ) 2g t t t= − en [ ]1, 0 .− d. ( ) 4 3h z z z= − en [ ]0, 1 .

e. ( ) 23 1f x x= − en [ ]8, 8 .− f. 26

( ) 4sen ,f t x xπ

= − en 0, .6

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

13. Para las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema del valor medio(TVM) y encuentre el valor de c que satisface la conclusión.

a. ( ) 3 2f x x x x= + − en [ ]2, 1 .− b. ( ) 11

1g t t

t= − +

− en [ ]1.5, 3 .

c. ( ) 233f x x= en [ ]0, 1 . d. ( ) 225h z z= − en [ ]3, 3 .−

e. ( ) 2f x x= + en [ ]4, 6 . f. ( )2 4

7

t tg t

t

+=

− en [ ]2, 6 .



14. Sea ( ) 2 1

2 4

xf x

x

−=

− . Demuestre que no existe ningún punto c en (1, 2) que satisfaga la conclusión del TVM. Dibuje

la gráfica de la función y señale la parte de la hipótesis que falla en este caso.

15. Sea f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x. Demuestre, usando el teorema de Rolle, que la ecuación f (x) = 4x3 − 6x2 + 4x − 1 = 0 tieneal menos una raíz real en el intervalo (0,1).

16. Sea f (x) una función continua en [a, b] y tal que f ́ (x) = 1 para todo x en [a, b]. Pruebe que f (x) = x − a + f (a) paratodo x en [a, b].

17. Juan viajó 125 km en 2 horas y aseguró que en su recorrido nunca excedió el límite de 60 km por hora. Use el teoremadel valor medio para demostrar que mintió. (Ayuda: sea S = f (t) la distancia recorrida en el tiempo t.)

18. Sean F (x) y G (x) dos funciones que satisfacen la condición ( ) ( )F x G x′ ′= para todo x de [a, b]. Demuestre que existe

una constante C tal que F (x) = G (x) + C para todo x de [a, b].

19. Demuestre que si ( ) 0F x′ = para todo x de [a, b], entonces existe una constante C tal que F (x) = C para todo x de[a, b].

(Ayuda: sea G (x) = 0 y aplique el ejercicio 18.)

20. Supóngase que lo único que se sabe acerca de las funciones sen x y cos x es lo siguiente: cos (0) = 1, sen (0) = 0,D

x (sen x) = cos x y D

x (cos x) = − sen x. Demuestre que sen2 x + cos2 x = 1. (Ayuda: sea F (x) = cos2 x + sen2 x y use

el problema 19.)

21. Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones, indicando: dominio, interceptos, asíntotas, crecimiento,decrecimiento, máximo-mínimo, intervalos de concavidad, posibles puntos de inflexión.

a. ( ) 2.

1

xf x

x=

−b. ( )

2 2 4.

2

x xf x

x

− +=

− c. 2

4( ) .

2

xf x

x=

+

d. 2( 2)

( ) .x

g xx

+= e. ( ) 2 3.g x x x= ⋅ + f.

2

2

1( ) .

1

xy f x

x

+= =

−

g. Complete las gráficas de las curvas del ejercicio 13 (ejercicios propuestos, módulos 9 al 19).

22. Dibuje la gráfica de una posible función f que satisfaga las siguientes condiciones:

a. f es continua en todo el eje real.

b. ( 2) 3, (2) 1.f f− = = −

c. ( ) 0f x′ = para 2.x >

d. ( ) 0f x′′ < para 2.x <

23. Dibuje la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedades:

a. g es continua en todo el eje real.

b. ( 1) 6, (3) 2.g g− = = −

c. ( ) 0g x′ < para 1; ( 1) (3) 2; (7) 0.x g g g′ ′ ′< − − = = − =

Ejercicios de los módulos 20 al 28


d. ( ) 0g x′′ < para 1; ( ) 0x g x′′< − = para 1 3; ( ) 0x g x′′− < < > para 3.x >

24. Sea f una función continua en todo el eje real y derivable en todo x ≠ 0. La figura 1 adjunta es el gráfico de la función

derivada ( )f x′ (no de f (x)).

Figura 1

Responda las siguientes preguntas acerca de f (x) (no de ( )f x′ ):

a. ¿Dónde es f (x) creciente? ¿Y decreciente? ¿Dónde es f (x) cóncava hacia arriba? ¿Y hacia abajo? ¿Cuáles son sus puntos críticos? ¿Dónde ocurren los extremos relativos?b. En el supuesto de que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones expuestas.

25. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados igua-les en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que elvolumen de la caja sea máximo?

26. Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeñoscuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en formade cruz se doblan y se sueldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar doscubos pequeños. ¿De qué lado deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las cincocajas?

27. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para untriángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo?¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas?

28. Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 km del punto B más cercano de la línea de la costaque es recta. En la costa y a 4 km de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 km/h y caminar a 5 km/h,¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?

29. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posi-ble de material.



30. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera deradio a.

31. Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

32. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de ecuación 2 2

1.25 16

x y+ =

33. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que seencuentra a 10 km de distancia por el bosque y también a 2 km de la carretera (figura 2). Puede caminar a 8 km/h porla carretera y a 3 km/h por el bosque. Así, decide caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carre-tera y finalmente por el bosque hacia la cabaña.

a. ¿Qué ángulo θ minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña?b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

Figura 2

34. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2. También quiere utilizar algo de cercapara construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total decerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

35. Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2. También desea utilizar algo de cerca paraconstuir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es lalongitud mínima total de cerca que requiere para este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

36. Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área. También desea usar una cerca adicional paraconstruir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas secciones exterioresdel borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuestaes el mínimo absoluto.

37. Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3. La parte cilíndrica del recipiente sefabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces más caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones mini-mizan el costo total del recipiente?

38. Una escalera de 2 m de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera está resbalando a razón de0.3 m/s, ¿a qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual la distancia dela escalera a la pared es de 1.5 m?

39. La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/s, mientras que su altura decrece a razón de 3 cm/s.

a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿Y la altura 12 cm?b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante?



40. Un abrevadero que está lleno de agua tiene 2 m de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros in-vertidos de 60 cm de lado. Si el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/s, ¿con quévelocidad está bajando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm?

41. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de altura. El tanque está llenode agua, pero en el instante t = 0 s se abre un pequeño orificio en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la alturadel agua en el tanque ha descendido 3 pies, el agua fluye a 2 pies3/s.

a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento?b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento?

42. Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1.000 m/min se acerca a un cruce con otra carretera. Cuando elautomóvil está a 100 m del cruce, pasa por éste un camión que va a 600 m/min. Si las dos carreteras se cruzan enángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto después de que el camiónpasó por el cruce?

43. Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/s desde un punto P. Cinco minutos más tarde, una mujer comienzaa caminar hacia el sur a 5 pies/s desde un punto a 500 pies al este de P. ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer15 minutos después de que la mujer comienza a caminar?

44. El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 100 cm, aumenta a

razón de 0.1 rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del vértice mide 6π rad?

(Ayuda: 1

sen .2

A ab γ= )

45. Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 12 pies de altura, de tal manera que su ex-tremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre el piso alejándolo de la pared a razón de2 pies/s.

a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600 con el piso.b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.

46. La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. Al medirla se encontró que la altura es de 1 m conun error de 0.005 m. Encuentre el error aproximado en el volumen del cono.

47. Si al medir la arista de un cubo se comete un posible error de 0.01 cm, encuentre el error aproximado en el volumen yen la superficie total del cubo si la arista medida es de 5 m.

48. Encuentre el volumen aproximado de una concha esférica cuyo radio interior es de 50 cm y cuyo espesor es 1/10 cm.

49. Usando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidades:

a. 37.5 b. 4 82 c. 3 0.00098 d. 3

1

120

50. Si 2 23 4 5, 2 5 8y x x x s s= + − = + + y s = 3t − 7, halle dy en t0 = 1 y dt = − 0.2.

51. Halle dy si ( )33

2

2 8.

5 7

x xy

x

+ +=

+



52. En los ejercicios siguientes halle dy y .dy

dt

a. 2 23 4 5; 2 1.y x x x t t= + − = − + b. 4 3

; 3 5.5

x xy x t

x

+= = +

+

c. 5; 2 8.y z z t2= + = +

53. Dibuje una figura semejante a la de la figura 28.1b tal que la gráfica sea cóncava hacia abajo. Indique los segmentos

de recta cuyas longitudes sean , , , .x y dx dyΔ Δ

«El hombre más feliz del mundo es aquel que separeconocer los méritos de los demás y pueda alegrar-se del bien ajeno como si fuera propio».

Johann W. Goethe


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