Aplicaciones de La Derivada2
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8/16/2019 Aplicaciones de La Derivada2
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PROBLEMA 1: Construir la gráfca determinando los puntos críticos, puntosde discontinuidad, los etremos relati!os, los inter!alos de crecimiento "decrecimiento, los puntos de in#ei$n " la direcci$n de su conca!idadgráfca de:
3 2
(x) 3 f x x= −
%oluci$n:
Calculando: los !alores críticos
0dy
dx=
, es decir:
23 6 0 0, 2dy
x x x xdx
= − = ⇒ = =
&alores críticos'
Para el !alor critico0 x =
0 , 0dy
xdx
+< >
Entonces∃
máimo relati!o en () donde se tiene el puntomáimo *),)+
0 2 , 0dy
xdx
−< < <
Para el punto crítico (
0 2 , 0dy
xdx
−< < <
Entonces∃
mínimo relati!o en ( donde se tiene elpunto mínimo *,-.+
2 , 0dy
xdx
+< < +∞ >
La cur!a
3 23 y x x= −
es creciente so/re los inter!alos
, 0 y 2,< −∞ > < +∞ >
"
es decreciente en el inter!alo0,2< >
'
A0ora calculamos lo puntos de in#ei$n, es decir:
2
26 6 0 1 2
d y x x y
dx= − = ⇒ = ⇒ = −
Luego *1,-+ es el punto de in#ei$n'
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Pro/lema :
3 46(x)
9
x x f
−=
%oluci$n:
Primero 0allaremos los puntos críticos:
3212 4'(x) 0 4 (3 ) 0 0, 3
9
x x f x x x x
−= = ⇒ − = ⇒ = = ±
Luego
{ }3,0, 3− son los !alores críticos'
4 ( 3 )( 3 )
dy
x x xdx = − +
A0ora !eremos en 4u5 puntos críticos se tienen máimos " mínimos'
Para el punto critico3 x = −
3, 0dy
xdx
−< − >
máx relativo en 3,( 3,1) x⇒ ∃ = − −
3 0, 0dy xdx
− < < <
Para el punto crítico ()
3 0, 0dy
xdx
− < < <
min relativo en 0,(0,0) x⇒ ∃ =
0 3 0dy
xdx
< < >
Para el punto critico3 x =
0 3, 0dy
xdx
+< < >
máx relativo en 3,( 3,1) x⇒ ∃ =
3 , 0dy
xdx
−< < +∞
-
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La 6unci$n 6*+ es creciente so/re los inter!alos, 3 , 0, 3< −∞ − > < >
" es
decreciente so/re3,0 , 3,< − > < +∞ >
a0ora calcularemos los puntos dein#ein, es decir:
212 12 5 5''(x) 0 1 (1, ), ( 1, )
9 9 9
x f x
−= = ⇒ = ± ⇒ −
%on los puntos de in#ei$n' A0ora calcularemos los inter!alos de conca!idad
12''(x) (1 )(1 )
9 f x x= − +
Para
1, ''( ) 0 ( ) es concava hacia abajo sobre el intervalo ! ,!1" x f x f x< − < ⇒ ∞
Para
1 1, ''( ) 0 ( ) es concava hacia arriba sobre el intervalo !1,1" x f x f x− < < > ⇒
Para1, ''( ) 0 ( ) es concava hacia abajo sobre el intervalo 1, " x f x f x> < ⇒ +∞
'( ) f x Conclusiones
, 3< −∞ − > 2 Creciente
3, 0< − > - 3ecreciente
0, 3< > 2 Creciente
3,< +∞ > - 3ecreciente
''( ) f x Conclusiones
, 1< −∞ − >
- C$nca!a a/ao1,1< − > 2 C$nca!a arri/a
1,< +∞ > - C$nca!a a/ao
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Pro/lema 7
8na caa rectangular tiene una /ase cuadrada " no tiene tapa' El áreacom/inada de los lados " el 6ondo es de .9 pies cuadrados' allar las
dimensiones de la caa de máimo !olumen 4ue cumpla estosre4uerimientos'
%oluci$n:
Condiciones del pro/lema:
2 4 4# A x xy= + =
3e donde
224# a$emás
4
x y V x y
x
−= =
2 32 4# 4#( ) ( )4 4
x x xV x x x
− −= =
34#
'( ) 0 4 %&ntos criticos4
x xV x x
−= = ⇒ = ±
3''( ) ''(4) 6 0 máximo en 4
2V x x V x= − ⇒ = − < ⇒ ∃ =
Como
24#y y24
x
x
−⇒
Luego las dimensiones de la caa de/en ser (., "('
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PROBLEMA .
3ada una 0oa cuadrada de lado a, se desea construir con ella una caa sintapa, cortando en sus es4uinas cuadradas iguales " do/landocon!enientemente la parte restante' 3eterminar el lado de los cuadrados4ue de/en ser cortados de modo 4ue el !olumen de la caa sea el ma"orposi/le'
%oluci$n:
El lado del cuadrado cortado ( entonces el !olumen de la caa es:
2( ) ( 2 ) , 02
aV x x a x x= − < <
2'( ) ( 2 ) !4 ( 2 )V x a x x a x= − −
'( ) ( 2 )( 6 ) 0 x , x2 6
a aV x a x a x= − − ⇒
''( ) # 24 ''( ) # 4 4 06
aV x a x V a a a= − + ⇒ = − + = − <
máximo en6
a x⇒ ∃ =
Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para o/tener !olumen máimo es
6
a x =
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PROBLEMA ;
8na estatua de
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PROBLEMA
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PROBLEMA @
nscri/ir en una elipse dada, un rectángulo de la ma"or área posi/le, 4uetenga los lados paralelos a los ees de la propia elipse:
%oluci$n:
La ecuaci$n de la elipse es:
2 2
2 2 1
x y
a b+ =
En donde:
2 2b y a x
a= −
Condicion del pro/lema:
2 2 2 2 ( )bx bx
A xy a x A x a xa a
= = − ⇒ = −
deri!ando
22 2
2 2 ! 0 x
2
dA b bx aa x
dx a a a x= − = ⇒
−
como
2 2 y
2
b b y a x
a= − ⇒
Luego las dimensiones del rectángulo son:
2 22 2 , 2 2
2 2
a b x a y b= = = =
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PROBLEMA 9
8na !entana tiene la 6orma rectangular con su parte superior en mediacircun6erencia' Cuáles serán sus dimensiones para 4ue penetre el máimode lu= para un perímetro dado'
%oluci$n:
3e los datos del pro/lema se tiene:
12 , ( )
2 2 2
x x P y x perimetro y P x
π π = + + = = − −
La cantidad total de lu= corresponde a la ma"or superfcie es:
2
( ) ( )# 2 2
x x x A x P x
π π = + − −
2 2 2 2 2
( )# 2 2 4 2 2 #
x Px x x Px x x A x
π π π = + − − = − −
2'( ) 0
2 4 4
P x P A x x x
π
π = − − = ⇒ =
+
2''( ) 1 0 máximo en
4 4
P A x x
π
π = − − < ⇒ ∃ =
+
Como
1 1 2 2( ) ( ( ))
2 2 2 4 2 4 4
x P P P y P x P
π π
π π π = − − = − − =
+ + +
Por lo tanto las dimensiones son:
2 y
4 4
P P x y
π π = =
+ +