Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...
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Aplicación de la Transformada de Laplace para la resolución de circuitos RLC. Richard O. Nuñez Estudiante de Ingeniería Electricista Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina [email protected] Agosto 2012 Resumen: En este informe demostraremos una de las aplicaciones más utilizadas de la Transformada de Laplace, en este caso para analizar y resolver circuitos eléctricos RLC. Palabras clave: Transformada de Laplace, circuitos RLC, mallas I. INTRODUCCION La Transformada de Laplace es muy utilizada en la rama de la ingeniería sobre todo para la resolución de ecuaciones diferenciales y circuitos eléctricos, ya que dichos circuitos y la Transformada de Laplace se nutren de condiciones iniciales para ser resueltos o para reducir la complejidad de sus ecuaciones. La Transformada de Laplace toma una función ƒ(t), que utiliza como variable al tiempo t, para transformarla en una F(s). A continuación definiremos la Transformada de Laplace como: œ f{ ƒ(t) } = F(s) = ƒ e –st . ƒ(t) dt 0 El símbolo f denota el operador Transformada de Laplace, donde s es una variable compleja y e –st es llamado el núcleo de la transformación. II. CIRCUITOS ELECTRICOS RLC Los circuitos RLC están constituidos por un resistor R (medida en ohm W), un capacitor C (medido en faradios F) y un inductor L (medida en Henry H). Otras variable asociadas a los circuitos RLC son la corriente i(t),medida en ampere, la tensión v(t) medida en volts y el flujo de corriente esta relacionado con la carga q (medida en Coulombs) mediante la relación: dq i(t) = dt Los tres elementos tienen un variable en comun que es la corriente. Cada uno de estos elementos se puede relacionar mediante las Leyes de Kirchhoff que enunciaremos a continuacion : A. 1ªLEY: La suma de todas las corrientes que entran en un nodo, en un circuito, es
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Aplicacin de la Transformada de Laplace para la resolucin de circuitos RLC.Richard O. Nuez
Estudiante de Ingeniera ElectricistaUniversidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Baha Blanca, Argentina [email protected]
Agosto 2012
Resumen: En este informe demostraremos una de las aplicaciones ms utilizadas de la Transformada de Laplace, en este caso para analizar y resolver circuitos elctricos RLC.
Palabras clave: Transformada de Laplace, circuitos RLC, mallas
I. INTRODUCCIONLa Transformada de Laplace es muy utilizada en la rama de la ingeniera sobre todo para la resolucin de ecuaciones diferenciales y circuitos elctricos, ya que dichos circuitos y la Transformada de Laplace se nutren de condiciones iniciales para ser resueltos o para reducir la complejidad de sus ecuaciones.La Transformada de Laplace toma una funcin (t), que utiliza como variable al tiempo t, paratransformarla en una F(s). A continuacin definiremos la Transformada de Laplace como:f{ (t) } = F(s) = est . (t) dt0El smbolo f denota el operador Transformada de Laplace, donde s es una variable compleja y est esllamado el ncleo de la transformacin.
II. CIRCUITOS ELECTRICOS RLCLos circuitos RLC estn constituidos por un resistor R (medida en ohm W), un capacitor C (medido en faradios F) y un inductor L (medida en Henry H). Otras variable asociadas a los circuitos RLC son lacorriente i(t),medida en ampere, la tensin v(t) medida en volts y el flujo de corriente esta relacionado con la carga q (medida en Coulombs) mediante la relacin:dqi(t) =dtLos tres elementos tienen un variable en comun que es la corriente.Cada uno de estos elementos se puede relacionar mediante las Leyes de Kirchhoff que enunciaremos a continuacion :
A. 1LEY:La suma de todas las corrientes que entran en un nodo, en un circuito, es cero.
Figura 1 : Representacion grafica de los elementos del circuito RLC
B. 2LEY:La suma de las caidas de tension de cada elemento en un lazo cerrado, en un circuito, es cero. Las caidas de tension en cada elemento son: En el resistor v(t)= iR.1
En el capacitor v(t) =
i(t)dtdi
En el inductor v(t) = LdtUtilizando estas leyes, principalmente la segunda ley de Kirchhoff, la Transformada de Laplace, laantitransformada y teniendo en cuenta las condiciones iniciales del circuito se puede proceder a resolver o simplemente analizar un circuito RLC.
III. EJEMPLOEl circuito RLC de la Figura 2 esta formado por un resistor R, un capasitor C y un inductor L conectado en serie a una fuente de voltage e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, tanto la carga en el capacitor como la corriente resultante en el circuito son cero. Determine la carga q(t) en el capacitor y lacorriente resultante i(t) en el circuito en el tiempo t sabiendo que R=160W, L=1H, C=104F y e(t)= 20vAplicando la 2 ley de Kirchhoff tenemosiR + L di + 1 i(t)dt = e(t)(1)
Utilizando
Nos queda
dtci(t) = dqdt
(2)
Sustituyendo los valores de R,C,L y e(t)
d2qdq
+LRdt2dt
+ 1q = e(t)(3)
d2q
dq4
dt2 + 160dt + 10 q = 20(4)
Aplicando la Transformada de Laplace en los dos miembros(s2+ 160s + 104)Q(s) = [sq(0) + dq(0)] + 160q(0) + 20
(5)
Figura 2: circuito RLCdts
Q(s) es la transformada de q(t), estamos suponiendo que q(0) = 0 y Esto reduce la ecuacin a
dq(0) = 0 y i(0) = 0dt
Despejando
(s2+ 160s + 104)Q(s) = 20s
(6)
Q(s) =
20s(s2+ 160s + 104)
(7)
Aplicando fracciones simples
Q(s) =
1 [1 500 s
(s+80) 4(60)
+3(s+80)2+(60)2
](8)
Ahora le aplicamos la transformada inversaq(t) = 1 (1- e80t cos 60t 4 e80tsin 60t)(9)5003Entonces la corriente resultante en el circuito elctricoi(t) = dq = 1 e80t sin 60t(10)dt3IV. CONCLUSIONLa aplicacin de la Transformada de Laplace en los circuitos RLC es una de las formas ms sencillas de resolverlos, sta es muy utilizada en la ingeniera elctrica lo cual se debe tener siempre en cuenta.
REFERENCIAS[1] G. Calandrini, Gua de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variable Compleja pag 56-59.[2] G. James, "Matemticas avanzadas para ingeniera", Pearson Educacin, segunda edicin 2002, pags.97-100, 130-132.
