Aplicaciones de las Derivadas en Ingeniería

Ingeniería Civil

1. Una “ventana normanda” consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 10 m.

2. Se necesita ubicar un punto P en alguna parte sobre la recta AD, de modo que se minimice la longitud total L de los cables que enlazan P con los puntos A, B y C (véase la figura). Exprese L como función de la distancia entre A y P y use las gráficas de L y dL/dx para estimar el valor mínimo.

3. Dos pueblos están en el lado sur de un río. Se debe ubicar una estación

de bombeo para abastecer de agua los dos pueblos. Una tubería será conectada desde la estación de bombeo a cada pueblo a lo largo de una línea que conecte el pueblo con la estación de bombeo. Ubique la estación de bombeo de manera que se minimice la cantidad de tubería que debe construirse

4. La sección transversal de una viga rectangular de madera cortada de un tronco circular de diámetro d tiene longitud x y anchura y. La resistencia de la viga varía en proporción directa al producto de la longitud y al cuadrado de la anchura. Calcule las dimensiones de la sección transversal de la viga de mayor resistencia.

5. Se va a fabricar un canal, de forma que su sección transversal sea

un trapecio isósceles con las dimensiones indicadas en la figura. Determine el valor de θ de manera que el volumen sea máximo.

6. Se quiere construir un silo (sin incluir la base) en forma de cilindro rematado por una semiesfera. El costo de construcción por unidad cuadrada del área superficial es dos veces mayor para la semiesfera que para la pared cilíndrica. Determine las dimensiones que se deben usar si el volumen es fijo y el costo de construcción debe mantenerse al mínimo. Desprecie el espesor del silo y los desperdicios en la construcción.

Ingeniería Eléctrica / Electrónica 1. Una pila eléctrica con fuerza electromotriz (fem) E y resistencia interna

constante r está conectada en serie con un resistor de resistencia R. Entonces la corriente en el circuito es I = E/(r + R). Encuentre el valor de R para el cual es máxima la potencia P =RI2 disipada en la carga en la carga externa. Dicho valor se llama impedancia de acoplamiento.

2. La fórmula para la salida de potencia P de una batería es P = VI – RI2, donde V es la fuerza electromotriz en volts. R es la resistencia e I es la corriente. Determinar la corriente (medida en amperes) que corresponde a un valor máximo de P en una batería para la cual V = 12 volts y R = 0.5 ohms. Suponer que un fusible de 15 amperes enlaza la salida en el intervalo 0 ≤ I ≤ 15. ¿Podría aumentarse la salida de potencia sustituyendo el fusible de 15 amperes por uno de 20 amperes? Explicar.

Ingeniería Mecánica

1. Un cuerpo de peso W es arrastrado por un plano horizontal aplicándole una fuerza P cuya recta de acción forma un ángulo θ con el plano. La intensidad de la fuerza viene dada por la ecuación

Donde μ es el coeficiente de rozamiento. ¿Cuál es el valor de θ que minimiza la fuerza?

2. Se dispone de una chapa metálica de forma rectangular de 1,20m x 3m. Se

desea construir con ella un bebedero para animales procediendo a doblar la chapa como indica la figura , para formar la superficie lateral y el fondo.

Las bases se confeccionan de madera dura. a) Determina el ángulo θ para que el volumen del bebedero sea máximo. b) Calcula dicho volumen en litros.

3. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio R, al recortar un sector y unir los bordes CA y CB. Encuentre la capacidad máxima del cono

Ingeniería Industrial

1. En una fábrica se elaboran dos productos, A y B. Si C es el costo total de producción de una jornada de 8 horas, entonces C = 3x2 + 42y, donde x es el número de máquinas utilizadas en la elaboración del producto A, y y es el número de máquinas empleadas en la elaboración del producto B, y durante una jornada de 8 horas trabajan 15 máquinas. Determine analíticamente cuántas de estas máquinas deben utilizarse para elaborar el producto A y cuántas para elaborar el producto B de modo que el costo total sea mínimo.

2. Una inmobiliaria es dueña de 150 apartamentos que se ocupan en su totalidad si el alquiler es 300 dólares. Se sabe que al aumentar el alquiler el número de apartamentos alquilados disminuye linealmente a razón de 5 aptos. por cada 30 dólares de aumento. a) Exprese la ganancia G en función del número x de apartamentos alquilados y grafica la función. b) ¿Cuál es el número de apartamentos a alquilar y cuál su alquiler mensual para que la inmobiliaria obtenga máxima ganancia? c) ¿Cuánto perdería la empresa si alquilara todos los apartamentos?

3. Un fabricante de cierto repuesto para equipos de audio los produce a un costo de $150 cada uno. Ha determinado que si el precio de venta es p$ / unidad , la demanda q está expresada por: q (p) = 1000 .e-0.004 p a) ¿A qué precio cree que deberá venderlos para tener máxima utilidad? b) ¿Cuántas unidades venderá mensualmente y cuáles serán sus utilidades?

4. Una fábrica de artículos de plástico recibe un pedido de 8000 unidades

de cierto juguete para ser comercializado en Navidad y Día de Reyes. La fábrica posee 15 máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 juguetes por hora. El costo de poner en funcionamiento las máquinas es de U$S 20 por máquina. Una vez puestas en funcionamiento la operación está completamente automatizada de forma que sólo necesita de un supervisor de producción cuyo salario es de 4.80 U$S por hora. a) ¿Cuántas máquinas deberán ponerse en funcionamiento para que el costo de producción sea mínimo? b) ¿Cuántas horas trabajarán las máquinas para cumplir con el pedido y cuánto ganará el supervisor? c) ¿Cuál es el costo de puesta en funcionamiento del número óptimo de máquinas?

Ingeniería Química

1. La masa m de agua que a 0°C ocupa un volumen de 1 litro, ocupará a T °C un volumen V en litros dado por la expresión:

V(T) = 10-5 ( -6,8.10-3 T3 + 8,5. 10-1 T2 – 6,4.T + 105 ) si 0≤T≤ 10

Encuentre la temperatura T para la cual la densidad ρ del agua es máxima.

Ingeniería de Petróleos

1. Se desean fabricar envases cilíndricos de hojalata para lubricante de volumen V dado. No se desperdicia material al cortar la hoja que constituye la pared cilíndrica, pero las bases se recortan de trozos cuadrados como indica la figura , desperdiciándose los recortes.

a) Halle la relación entre la altura y el diámetro de la base para que el gasto de material incluido el desperdicio, sea mínimo. b) Aplique los resultados para el caso V = 1 lt. c) ¿Cuál es el porcentaje de material desperdiciado respecto al total usado?

2. Un ingeniero de petróleos está planeando aislar un contenedor. Actualmente el costo anual de calefacción es $3000 pero si se añaden x pulgadas de aislante el costo se reducirá a 3000e-0.1x dólares. Por cada

pulgada de aislante, el contratista debe pedir $1000 al banco a una tasa de interés de 10%. ¿Cuántas pulgadas debe añadir para minimizar el total del costo de calefacción más el interés?

3. Una compañía de petróleo requiere un oleoducto de una torre de perforación situada mar adentro a una refinería que se construye en la costa cercana. La distancia de la torre de perforación al punto más cercano P sobre la costa es de 20 kilómetros y la distancia a lo largo de la costa de P a la refinería es de 50 kilómetros. A partir de la refinería, el oleoducto recorrerá una distancia x a lo largo de la costa, después seguirá una línea recta hasta la torre de perforación. El costo por kilómetro de oleoducto bajo el agua es de tres veces el correspondiente a la sección sobre tierra. Encuentre el valor de x que minimiza el costo total del oleoducto.