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CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 1

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1. Monotonía: Crecimiento y decrecimiento de una función 2. Determinación de extremos relativos 3. Optimización de funciones 4. Curvatura: Concavidad o curvatura de una función 5. Puntos de inflexión 6. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites

1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Si f(x) es derivable,

f(x) es estrictamente creciente en (a, b) si su derivada es positiva (f’(x) > 0) f(x) es estrictamente decreciente en (a, b) si su derivada es negativa (f’(x) < 0)

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

1. Derivar la función: f '(x) = 3x2 −3 2. Obtener los ceros de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

11033 22 xxx

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la

derivada primera. Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, f'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, f'(0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, f'(2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Creciente en: (−∞, −1) (1, ∞) Decreciente en: (−1,1)


EJERCICIO RESUELTO:

121)( 2

3

2

3

xxx

xxxf , 1)( xDomf

1. Derivo la función:

22

234

22

34234

22

322

)12(34

)12(22363

)12(22)12(3)('

xx

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxf

2. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde

cambia de signo el cociente:

CEROS DEL NUMERADOR:

31

034

00034034 2

2

22234

xx

xx

xxxxxxxx

CEROS DEL DENOMINADOR: 10122 xxx

3. Divido la recta en intervalos: - ∞ 0 1 3 ∞ 4. Estudio el signo de la derivada en cada intervalo:

5. Expreso los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Creciente ,31,00, Decreciente en (1, 3)


2. EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES. Máximos locales (la función cambia de creciente a decreciente) Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0

Mínimos locales (la función cambia de decreciente a creciente) Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

1. Hallo la derivada primera y calculamos sus ceros:

11033)(' 22 xxxxf

2. Realizo la 2ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso 1:

máximofx

mínimofxxxf

06)1(''106)1(''1

6)(''

3. Sustituyo en la función f(x) = x3 − 3x + 2 (sin derivar) para obtener la segunda

coordenada de los puntos:

Si x = 1: f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Mínimo(1, 0)

Si x = -1: f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 Máximo(−1, 4) EJERCICIO RESUELTO:

121)( 2

3

2

3

xxx

xxxf , 1)( xDomf

1. Derivo la función e igualo a cero:

0)12(

34)12(

22363)12(

)22)12(3)('

22

234

22

34234

22

322

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxf


El denominador pasa a la derecha multiplicando a cero y desaparece:

31

034

00034034 2

2

22234

xx

xx

xxxxxxxx

2. Realizo la 2ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso 1, o bien

me fijo en el crecimiento de la función para averiguar si son máximos o mínimos:

Teniendo en cuenta la tabla:

En x = 0 no hay extremo local (no cambia la monotonía) En x = 1 hay una asíntota (es un cero del denominador de la función) En x = 3 hay un mínimo (cambia de decreciente a creciente)

3. Sustituyo en la función 121

)( 2

3

2

3

xxx

xxxf para obtener la segunda

coordenada de los puntos:

En x = 1

01

111)( 2

3

xf no hay función

En x = 3

427,3

427

133)3( 2

3

f es un mínimo


3. OPTIMIZACIÓN

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar. 2. Se plantea una ecuación que relacione las dos variables del problema, y se

despeja una de ellas 3. Se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales. 5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar si el resultado obtenido es un máximo

o un mínimo, o se estudia la monotonía Ejemplo

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome

área máxima.

1. Se plantea la función que hay que maximizar en función de las variables

2hbS

2222

22222 222

yxyyxy

Syxhyhxh

yb

22 yxyS

2. Relacionamos las variables , utilizando el valor del perímetro:

yxyx 61222 3. Sustituimos en la función:

yyyyyyyyyyxyS 123612366 222222

Podemos introducir la y que multiplica a la raíz para que la derivada sea más sencilla:

322 12361236 yyyyS


4. Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

0

12361836

1236236723672

123621'

32

2

32

22

32 yyyy

yyyyyy

yyS

El denominador desaparece al pasarlo a la derecha multiplicando a cero y queda la

ecuación:

20

1836 2

yy

yy

5. Comprobamos si es un máximo o un mínimo. Para ello realizamos la 2ª derivada

y sustituimos por x = 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

Sustituyo:

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo. La otra variable es: x = 6 – y = 4 La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilátero.


4. CURVATURA: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. Si f’(x) es derivable,

f(x) es convexa en (a, b) si su segunda derivada es positiva (f’’(x) > 0) f(x) es cóncava en (a, b) si su segunda derivada es negativa (f’’(x) < 0)

Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. f '(x) = 3x2 −3 f''(x) = 6x = 0 x = 0

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la segunda derivada y los puntos de discontinuidad (ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente)

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, f''(−1) = 6(−1) < 0 Cóncava. Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

3. Escribimos los intervalos:

Concavidad: (−∞, 0)

Convexidad: (0, ∞) EJERCICIOS RESUELTOS

121)( 2

3

2

3

xxx

xxxf , 1)( xDomf

1. Derivo la función dos veces:

DERIVADA PRIMERA

22

234

22

34234

22

322

)12(34

)12(22363

)12(22)12(3)('

xx

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxf

22

234

22

34234

22

322

)12(34

)12(22363

)12(22)12(3)('

xx

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxf


DERIVADA SEGUNDA

42

22342223

122212234126124)(''

xxxxxxxxxxxxxxf

En el numerador se puede sacar factor común ( 122 xx ) y simplificarlo con un factor del denominador:

2232

2

32

23

32

23344523234345

32

234223

126

12126

126126

1212121616446126122412484

124434126124)(''

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxf

2. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde

cambia de signo el cociente:

CEROS DEL NUMERADOR: 006 xx CEROS DEL DENOMINADOR: 10122 xxx

3. Divido la recta en intervalos: - ∞ 0 1 ∞ 4. Estudio el signo de la derivada segunda en cada intervalo:

5. Expreso los intervalos de curvatura:

Convexa en ,11,0 Cóncava en 0,


5. PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN. Son los puntos de la función en los que cambia de curvatura Si f y f' son derivables en a, a es un PUNTO DE INFLEXIÓN si se cumple:

1. f’'(a) = 0 2. f’''(a) ≠ 0

Estudio de los puntos de inflexión EJEMPLO: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus ceros:

f '(x) = 3x2 −3 f''(x) = 6x = 0 x = 0

3. Realizamos la derivada tercera, y sustituimos en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión. f'''(x) = 6, por tanto x = 0 será un punto de inflexión.

4. Calculamos la imagen (en la función f(x) = x3 − 3x + 2) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2 Punto de inflexión: (0, 2) 6. TEOREMA DE L’HÒPITAL

1. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x = a, y sea 0)(lim)(lim

xgxfaxax

.

Si existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

axaxax

2. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x = a, y sea

)(lim)(lim xgxfaxax

. Si existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

axaxax

3. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, y sea 0)(lim)(lim

xgxfxx

. Si

existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

xxx

4. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, y sea

)(lim)(lim xgxf

xx. Si

existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

xxx


Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma )()(lim

xgxf

ax, donde a

puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

EJEMPLOS

1.

00

)1(12lnlim

2

1

xtgx

x

4

014

0114

)1(112

4

lim)1(12lnlim 22

2

1

2

1

tgxtgx

x

xtgx

xx

2. 00lim 30

xsenxx

x

61

6lim

3cos1limlim

02030

x

senxx

xxsenxx

xxx

3. 00

ln)1cos(1lim 21

x

xx

21

210

112

0cos10112

)1cos()1(1lim

ln2)1(limln2

)1(limln

)1cos(1lim

1

1121

sen

x

xxxsen

xxsenx

xx

xsenxx

x

xxx

4. 001coslim 2

2

0

x

xx

12

)10(22

cos)cos(2lim2

cos2lim1coslim002

2

0

xsenxsenxx

senxxx

xxxx


INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen común

denominador y se transforma en 00 o

EJEMPLO

1.

xgx

x

1cotlim0

020

coscoscoslim

'cos

limcos

coscoslim

'coslim1coslim

0

00

00

senxxxxxxsenx

HLxxsenx

senxxxxsenx

xsenxxx

HLsenxx

senxxxxsenx

x

x

xx

xx

INDETERMINACIÓN CERO POR INFINITO La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

B

ABAaxax 1

lim)(lim

EJEMPLO

0lnlim0

xxx

0)(limlim1

1

lim

'1lnlimlnlim

0

2

0

2

0

00

xxx

x

x

HL

x

xxx

xxx

xx

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