Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño. Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido. 

Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya lanzado). Si graficamos la distancia en el eje x y la altura en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor de x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática, ointersecciones en   x , de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática — ya sea factorizando, completando el cuadrado, o aplicando la fórmula cuadrática. Consideremos el tiro hecho por un lanzador de peso. Nota que x = 0 cuando el lanzador tiene el tiro (una bola de metal pesada= en su mano — el tiro aún no ha salido. El lanzador usualmente comienza con el tiro en su hombro, entonces y (la altura) no es 0 cuando x = 0:

Un lanzador de peso puede ser modelado

usando la ecuación  , donde x es la distancia recorrida (en pies) y yes la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro? 

 

      El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0.

   

 

  Esta ecuación es difícil de factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando la fórmula cuadrática, 

 

 

  Simplificar

 

 o 

  Encontrar ambas raíces

      

x ≈ 46.4 o -4.9

  ¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva. Una solución,  -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento

Solución

 Aproximadamente 46.4 pies

   

A pesar de que el césped sintético del campo de un estadio es aparentemente plano, su superficie tiene la forma de una parábola. Esto es para que la lluvia resbale hacia los lados. Si tomamos la sección transversal del campo, la superficie puede ser

modelada por  , donde x es la distancia desde la izquierda del campo y yes la altura del campo. ¿Cuál es el ancho del campo? 

 A) 80 piesB) 1.5 piesC) 234 piesD) 160 piesMostrar/Ocultar la RespuestaA) Incorrecto. El ancho del campo es la distancia entre las raíces de la ecuación. Debes igualar la ecuación a 0:  –0.000234(x – 80)2 + 1.5 = 0. Restar 1.5 de ambos lados y luego dividir ambos lados entre -0.000234 lo que resulta en (x – 80)2 = 6410 (aproximadamente). Sacar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener x – 80 = ±80, entonces las raíces sonx = 0 y x = 160. La respuesta correcta es 160 pies. B) Incorrecto. El ancho del campo es la distancia entre las raíces de la ecuación. Debes igualar la ecuación a 0:  –0.000234(x – 80)2 + 1.5 = 0. Restar 1.5 de ambos lados y luego dividir ambos lados entre -0.000234 lo que resulta en (x – 80)2 = 6410 (aproximadamente). Sacar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener x – 80 = ±80, entonces las raíces sonx = 0 y x = 160. La respuesta correcta es 160 pies. C) Incorrecto. El ancho del campo es la distancia entre las raíces de la ecuación. Debes igualar la ecuación a 0:  –0.000234(x – 80)2 + 1.5 = 0. Restar 1.5 de ambos lados y luego dividir ambos lados entre -0.000234 lo que resulta en (x – 80)2 = 6410 (aproximadamente). Sacar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener x – 80 = ±80, entonces las raíces sonx = 0 y x = 160. La respuesta correcta es 160 pies. D) Correcto. El ancho del campo es la distancia entre las raíces de la ecuación. Debes igualar la ecuación a 0:  –0.000234(x – 80)2 + 1.5 = 0. Restar 1.5 de ambos lados y luego dividir ambos lados entre -0.000234 lo que resulta en (x – 80)2 = 6410 (aproximadamente). Sacar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener x – 80 = ±80, entonces las raíces sonx = 0 y x = 160. La respuesta correcta es 160 pies.

Encontrando el Máximo y el Mínimo

Otro uso común de las ecuaciones cuadráticas en aplicaciones del mundo real es encontrar el valor máximo (el mayor o más alto) o el mínimo (el menor o más bajo) de algo. Recuerda que el vértice es el punto donde una parábola da la vuelta. Para una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto, lo que ocurre al máximo valor posible de y. Para una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto más bajo de la parábola, y ocurre al mínimo valor de y. Para encontrar el máximo o el mínimo con una ecuación cuadrática, usualmente queremos poner la ecuación cuadrática en su forma vértice de una ecuación

cuadrática,  . Esto nos permite rápidamente identificar las coordenadas del vértice (h, k). Veamos cómo funciona esto con un problema de movimiento. La

ecuación   es comúnmente usada para modelar un objeto que ha sido lanzado o aventado. La variable h representa la altura en pies, y t representa el tiempo en segundos. Los otros dos valores son números generalmente dados: h0 es la altura inicial en pies y v0 es la velocidad inicial en pies/segundo. Cuando trabajamos con esta ecuación, asumimos que el objeto está en "caída libre", lo que significa que se mueve sólo bajo la influencia de la gravedad. No hay resistencia contra el aire u otra interferencia de ningún tipo (no tan parecido al mundo real, pero de todos modos, estas ecuaciones son útiles). 

Ejemplo

Problema Una pelota es lanzada hacia arriba a 48 pies/s desde una plataforma que está a 100

pies de altura. Encontrar la altura máxima que alcanza la pelota y qué tanto tiempo le

tomará llegar ahí.   

 

 

  

  Empezar con la ecuación que modela un objeto siendo lanzado

    Sustituir la velocidad inicial v0 = 48y la altura h0 = 100.

    Como queremos encontrar la forma vértice de la ecuación, a(x – h)2, factorizar -16 de los primeros dos términos. El valor de a es -16 y usaremos t para x. De esta manera completamos el cuadrado en t2 – 3t para obtener la ecuación en su forma vértice

  

  Recuerda que cuando completamos el cuadrado, sumamos un valor a la expresión. Como el término t2 tiene un coeficiente, esto puede ser un poco confuso, entonces nos vamos a preparar para completar el cuadrado

para t2 – 3t añadiendo c a t2 – 3t, dentro del paréntesis Cuando sumamos una cantidad a un lado de la ecuación, debemos también sumarla al otro lado. Como la cantidad añadida, c, está dentro del paréntesis en la derecha, en realidad vamos a sumar -16c. Esto significa que cuando sumamos la cantidad en el lado derecho debemos sumar -16c.

    Para completar el cuadrado

en x2 + bx, sumamos  ,

entonces  . Sustituir este valor por c en ambos lados de la ecuación

    Simplificar, escribiendo el cuadrado de un binomio del lado derecho y

 del izquierdo.

    Sumar 36 a ambos lados. Ahora tenemos la forma vértice, y podemos

identificar el vértice como  . La coordenada x es t en esta ecuación, que es el tiempo. La coordenada y representa la altura

Solución  La altura máxima es 136 pies y le tomará

1.5 segundos alcanzarla

   

Pudimos haber encontrado el vértice usando otros métodos, por ejemplo

graficando o usando la fórmula   para encontrar la coordenada x del vértice, y luego sustituir ese valor de x en la fórmula original para encontrar el valor y del vértice.

Una granjera tiene 1000 pies de cerca y un campo muy grande. Pone una cerca formando un área rectangular con dimensiones x pies y 500 – x pies. ¿Cuál es el área del rectángulo más grande que puede ella crear? A) 62,500 pies2

B) 250,000 pies2

C) 1,000 pies2

D) 500 pies2

A) Correcto. El área y es y = x(500 – x), o y = -x2 + 500x (en pies2). Completando el cuadrado para encontrar la forma vértice de esta ecuación nos da y = -(x – 250)2 + 62,500. El vértice de la parábola será (250, 62,500). El área máxima posible es la coordenada y del vértice, o 62,500 pies2. B) Incorrecto. El área y es y = x(500 – x), o y = -x2 + 500x (en pies2). Cuando completamos el cuadrado para encontrar la forma vértice de la ecuación, el binomio a elevar al cuadrado es x – 250, no x – 500. Probablemente olvidaste que el número

es  , no b. La forma vértice es y = -(x – 250)2 + 62,500 y el vértice de la parábola será (250, 62,500). El área máxima posible es la coordenada y del vértice, o 62,500 pies2. C) Incorrecto. El perímetro del área rectangular será de 1,000 pies, porque esa es la cantidad de cerca que se tiene. El área y es y = x(500 – x), o y = -x2 + 500x (en pies2). Completando el cuadrado para encontrar la forma vértice de esta ecuación nos da y = -(x– 250)2 + 62,500. El vértice de la parábola será (250, 62,500). El área máxima posible es la coordenada y del vértice, o 62,500 pies2. D) Incorrecto. El área y es y = x(500 – x), o y = -x2 + 500x (en pies2). Puedes leer el área máxima usando la forma vértice de la ecuación, pero esta no es la forma vértice. La forma vértice de una ecuación cuadrática es y = a(x – h)2 + k. Completando el cuadrado para encontrar la forma vértice de esta ecuación nos da y = -(x – 250)2 + 62,500. El vértice de la parábola será (250, 62,500). El área máxima posible es la coordenada y del vértice, o 62,500 pies2.

Modelando una Situación Las ecuaciones cuadráticas a veces se usan para modelar situaciones o relaciones en los negocios, en la ciencia y en la medicina. Un uso común en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la diferencia entre los ingresos (dinero que entra) y los costos de producción (dinero gastado). La relación entre el costo de un artículo y la cantidad vendida es normalmente linear. En otras palabras, por cada $1 de incremento en el precio hay un decremento correspondiente en la cantidad vendida. (Piénsalo: si el precio de algo sube, ¿compras más o menos? ¡Esperemos que menos!) Una vez que determinamos la relación entre el precio de venta de un artículo y la cantidad vendida, podemos pensar en cómo generar la máxima ganancia. ¿A qué precio de venta haríamos más dinero? La cantidad de ganancia se encontrará tomando el total de ingresos (la cantidad vendida multiplicada por el precio de venta) y restando el costo de producir todos los artículos: Ganancia = Ingreso Total – Costos de Producción. Podemos integrar la

relación lineal del precio de venta a la cantidad y la fórmula de la Ganancia y crear una ecuación cuadrática, que entonces podemos maximizar. Veamos un ejemplo: Aquí hay una muestra de datos: 

Precio de venta $ (s)

Cantidad Vendida en 1 año (q)

10 1000

15 900

20 800

25 700

  Para calcular la ganancia, también necesitamos saber cuánto cuesta producir cada artículo. Para este ejemplo, el costo de producir cada artículo es de $10. 

Ejemplo

Problema

Usando los datos anteriores, determinar el precio de venta s, que produce la ganancia anual

máxima.

 

 

 q = -20s + 1200

 q = cantidad vendida

s = precio de venta del artículo  

  Graficar s en el eje horizontal y qen el eje vertical. Usar dos puntos cualesquiera en la línea recta de la gráfica para encontrar la pendiente de la recta que es -20.  Leer la intersección en ycomo 1200. Poner estos valores en la forma pendiente-intersección (y = mx + b):q = -20s + 1200 

    

P = sq – 10q 

  La fórmula de la ganancia es P = Ingresos Totales – Costos de Producción Ingresos Totales = precio • cantidad vendida 

Costos de Producción = costo por artículo • cantidad vendida Entonces P = sq – 10q

   P = s(-20s + 1200) – 10(-20s + 1200)

  Sustituir -20s + 1200 por q en la fórmula de la ganancia

   P = -20s2 + 1200s + 200s – 12000

 P = -20s2 + 1400s – 12000

  Multiplicar las expresiones y combinar los términos comunes. Ahora tenemos una ecuación cuadrática. Encontrando el vértice de la parábola, encontraremos el precio de venta que generará la ganancia máxima. El eje xrepresenta el precio de venta, por lo que el valor de la coordenada x en el vértice, representa el mejor precio. El valor de y en el vértice nos dará la cantidad de ganancias hechas

    

  Encontrar la coordenada x del vértice aplicando la

fórmula  . En este caso, la variable es s en lugar de x. Los otros valores son a = -20, el coeficiente en el término s2, y 1400, el coeficiente en el términos

Solución  El precio de venta que genera la

máxima ganancia es $35

   

 Aquí está la gráfica de la función de la ganancia mostrando el vértice:  

  El siguiente es un problema en palabras que no pensarías que es una ecuación cuadrática. El problema de área siguiente no incluye una fórmula cuadrática de ningún tipo y el problema parece algo que ya has resuelto muchas veces simplemente multiplicando. Pero para resolverlo, necesitarás usar una ecuación cuadrática  

Ejemplo

Problema  Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies.  Él tiene 10 pies cuadrados de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.) 

    Hacer un esquema del problema. Como no conocemos el ancho del borde, le daremos la variable x.

    Como cada lado del edredón de 4 x 5 original tiene un borde de ancho xañadido, la longitud del edredón con el borde será de 5 + 2x, y el borde será de 4 + 2x. (Es aquí donde podrías empezar a pensar "Aja, esto podría ser una ecuación cuadrática después de todo. Tenemos ambas dimensiones escritas con la misma variable, y las vamos a multiplicar para obtener un área!")

Área del borde = Área del rectángulo azul menos el área del rectángulo rojo

 Área del borde = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)

 

  Sólo estamos interesados en el área de las tiras del borde. Hay que escribir una expresión para el área del borde

 10 = (4 + 2x)(5 + 2x) – 20

  Tenemos 10 pies cuadrados de tela para el borde, entonces igualamos el área del borde a 10

     Multiplicar (4 + 2x)(5 + 2x).

     Simplificar

    Restar 10 de ambos lados para obtener una ecuación cuadrática igualada a 0 y pode aplicar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación.

    Usar la fórmula cuadrática. En este caso, a = 4, b = 18, y c = -10.

   Simplificar

 o

  Encontrar las soluciones, asegurándonos que el ± es evaluado para ambos valores  

  Ignorar la solución x = -5, porque el ancho no puede ser negativo 

Solución  El ancho del borde debe ser de 0.5

pies.

   

  

Se te da la siguiente información de precio y cantidad. Escribe una ecuación que represente la ganancia anual P para un precio s. El costo de producción por artículo es de $30.

 Precio

de Ventas

Cantidad vendida

q100 7000200 6000500 3000600 2000800 0

 A) P = -10s + 8000B) P = sq – 30q

C) P =

D) P = 

Mostrar/Ocultar la RespuestaA) Incorrecto. q = -10s + 8000, es una parte importante para encontrar la ganancia, pero no es suficiente. El ingreso (dinero que entra) es sq, y el costo es 30q, entonces la ganancia es P = sq – 30q. Usando la ecuación de q que encontraste, P = s(-10s + 8000) – 30(-10s + 8000). Multiplicando y simplificando obtienes P = -10s2 +8300s – 240,000. B) Incorrecto. Si bien es cierto que P = sq – 30q, esta ecuación representa la ganancia anual por vender a un precio s una cantidad vendida q. Pero no es suficiente. La gráfica que muestra la relación entre q y s es una recta con pendiente -10 e intersección en y8000, por lo que q = -10s + 8000. Esto significa que P = s(-10s + 8000) – 30(-10s + 8000). Multiplicando y simplificando obtienes P = -10s2 +8300s – 240,000. C) Correcto. El ingreso (dinero que entra) es sq, y el costo es 30q, por lo que la ganancia es P = sq – 30q. La gráfica que muestra la relación entre q y s es una recta con pendiente -10 e intersección en y 8000, por lo que q = -10s + 8000. Esto significa que P = s(-10s + 8000) – 30(-10s + 8000). Multiplicando y simplificando obtienes P = -10s2 +8300s – 240,000. D) Incorrecto. Usaste algunas cantidades importantes en este problema, pero incorrectamente. El ingreso (dinero que entra) es sq, y el costo es 30q, por lo que la ganancia es P = sq – 30q. La gráfica que muestra la relación entre q y s es una recta con pendiente -10 e intersección en y 8000, por lo que q = -10s + 8000. Esto significa

que P =s(-10s + 8000) – 30(-10s + 8000). Multiplicando y simplificando obtienes P = -10s2 +8300s– 240,000.