DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA - SEÑALES Y SISTEMAS - LABORATORIO 3. 1

Laboratorio de Sistemas y Señales: Aplicaciones deFourier

(Mayo 2008)Luis Felipe De La Hoz Cubas, María Ilse Dovale Pérez y Michael Forero Naizir

Abstract�En el presente trabajo se busca aterrizar los concep-tos vistos en clase de las temáticas de las aplicaciones que tiene latransformada de Fourier, como los �ltros, los cuales se modelan acontinuación; además de esto se tiene como objetivo corroborarde una manera grá�ca, por medio del software MatLab R lasaplicaciones del tema mencionado anteriormente.

I. INTRODUCCION

ALo largo de esta actividad es importante que se tenganclaros los conceptos del tema de �ltros y todas las clases

de estos de acuerdo a sus aplicaciones, esto se necesita parapoder modelar un programa en el Software MatLab haciendouso de comandos que son importantes a la hora de gra�car los�ltros que se estudiaron previamente, como es convencionalse utilizó el menú ayuda, el cual es una de las herramientasmás completas y poderosas del programa usado para llevar acabo el objetivo principal mencionado anteriormente.

Antes de comenzar la descrición del programa de las apli-caciones al análisis de Fourier cabe señalar que el programaconsta de dos incisos, en las cuales se desarrollan los objetivospropuestos. El primer inciso es Diseñar un �ltro con la funciónFir1 y el segundo es el Diseño de un Filtro Elíptico, paraescoger estos, solo basta con hacer clic en la opcion deseadacomo se muestra a continuación, más adelante veamos comofunciona cada programa por separado.

Fig1. Ventana principal donde se escoge el programadeseado.

II. OBSERVACIÓN Y RECONOCIMIENTO DEPARÁMETROS

Inicialmente se realizó un �ltro a través del comando Fir1,para esto se escogió el �ltro pasa bajas con la función "low".En este programa se de�nió a criterio los siguientes parámetrostal como se pedía:ORDEN DE FILTRO: El orden del �ltro permite que el

�ltro sea más e�caz, ya que permite pasar la señal de unaforma mas selectiva, veamos a continuación que sucede condiversos orden de �ltro y como cambia la grá�ca:Con una orden de �ltro de 10 la señal no se ve tan selectiva

y puede dejar pasar partes de la señal que no nos interesan,cabe resaltar que la frecuencia de corte se mantuvo en 0.5y la ventana utilizada fue la número1, la cual veremos másadelante.

Fig2: Orden de �ltro = 10

Con una orden de �ltro de 100 la señal se vuelve un pocomás e�caz, pero aun su pendiente no es in�nita, y esto permiteque partes de la señal que no nos interesan se intruduzcan.

Fig3: Orden de �ltro = 100

Finalmente con una orden de �ltro igual a 1000 la pendiente

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se hace in�nita lo cual hace al �ltro muy e�caz seleccionandola parte de la señal que nos interesa de una forma muy segura:

Fig4: Orden de �ltro = 1000

FRECUENCIA DE CORTE: Es el segundo parámetro atener en cuenta para la creación de un �ltro muy e�caz, lafrecuencia de corte indica en que parte la señal se va a cortarpara seleccionar lo que interesa; teniendo una orden de �ltrode 1000 que como vimos es muy e�caz, y siguiendo en laventana 1 veamos diferentes frecuencias de corte (FC):Primero con una FC=0.1

Fig5: Frecuecia de corte de 0.1

Podemos ver una FC = 0.5 en la �gura número 4 (Fig4).Ahora veamos la grá�ca con una FC = 0.9

Fig6: Frecuencia de corte de 0.9

VENTANA: Tal como se especi�caba se podian usar difer-entes comandos para la ventana, esto es para ver la señalde diferentes formas, en este caso se usó 4 ventanas, conlos siguientes comandos, veamos cada una y explicando cadacomando, teniendo en cuenta que el orden de �ltro se mantieneen 1000 y la frencuencia de corte en 0.5En la Ventana 1 se usó la función "hamming" la cual

devuelve un punto n-simétrico, n debe ser un entero positivo.Los coe�cientes de una ventana de Hamming se calculan dela siguiente ecuación: w[k + 1] = 0:54 � 0:46 cos(2� k

n�1 );donde k = 0; 1; 2; :::; n� 1:Esta grá�ca se puede observar en la �gura número 4 (Fig4).En la Ventana 2 se usó la función "rectwin" su nombre

se debe a "Rectangular window", esta función devuelve unaventana rectangular de longitud n en la columna vector w. Estafunción está prevista la exhaustividad; una ventana rectangularno es equivalente a ninguna ventana.El algoritmo utilizado por esta función es "w = ones(n,1)".La �gura a continuación muestra la grá�ca con la función

"rectwin".

Fig7: Ventana con función "rectwin"

En la Ventana 3 se usó la función "bartlett" la cual es muysimilar a una ventana triangular, tal y como lo devuelve por lafunción "triang". La ventana de Bartlett siempre termina conceros a las muestras 1 y n, sin embargo, mientras la ventanatriangular es nonzero a esos puntos. Para n impar, el centron-2 puntos de Bartlett (n) son equivalentes a triang (n-2)La �gura a continuación muestra la grá�ca con la función

"bartlett".

Fig8: Ventana con función "bartlett"

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En la Ventana 4 se usó la función "blackman" la cualdevuelve el n-simétrico punto Blackman en el vector columnaw, donde n es un entero positivo, las ventanas blackmantienen la parte central ligeramente más ancha y menos lóbuloslaterales, además las fugas de longitud son equivalentes aHamming, Hann y otras ventanas. La ecuación utilizada porMatlab para calcular los coe�cientes de la ventana blackmanes: w[k + 1] = 0:42� 0:5 cos(2� k

n�1 ) + 0:08 cos(4�k

n�1 )La �gura a continuación muestra la grá�ca con la función

"blackman" .

Fig9: Ventana con función "blackman"

Finalmente cabe señalar que todas las funciones fuerongra�cadas con la función "fvtool" de matlab.

III. DISEÑO DE UN FILTRO ELIPTICO

Un �ltro eliptico o Filtro de Cauer es un tipo de �ltroeléctrico. Están diseñados de manera que consiguen estrecharla zona de transición entre bandas y, además, acotando elrizado en esas bandas. Estos �ltros suelen ser más e�cientesdebido a que al minimizar la zona de transición, ante unasmismas restricciones consiguen un menor orden. Por contrason los que presentan una fase menos lineal.Para el diseño de un �ltro elíptico paso banda, de orden 12

se necesita el comando "ellip", cuya respuesta en frecuenciasatisface los siguientes requerimientos:Banda de paso entre frecuencias de 0.3 y 0.4Ganancia de banda de paso entre= 0.99 1.01.Ganancia de la banda de rechazo= 0.01. La banda de

rechazo, por ser un �ltro paso banda debe estar comprendidapor dos regiones:1. w � 0:29�2. 0:41� � w � �La función "ellip" diseña �ltros elipticos digitales utilizando

las especi�caciones en el diseño de un �ltro de objeto.El algoritmo utilizado para este diseño fue:

function pushbutton5_Callback(hObject, eventdata, handles)

% Diseñar un Filtro Eliptico con la funcion ellip

N = 12; % Orden

Fpass1 = 0.3; % Primera Frecuencia de corte

Fpass2 = 0.4; % Segunda Frecuencia de Corte

Apass = 1;%Ganacia de la banda de rechazo (dB) Entre0.99 y 1.01

Astop = 100;%Atenuación Banda de paso (dB) (1/Gana-cia de Banda de paso)

% Construir �ltro eliptico con ELLIP .

h = fdesign.bandpass('N,Fp1,Fp2,Ast1,Ap,Ast2', N, Fpass1,Fpass2, Astop, Apass, Astop);Hd = design(h, 'ellip');fvtool(Hd)

La imagen del diseño es la siguiente:

Fig10: Filtro elíptico con parámetros indicados.

IV. CONCLUSIONESAl realizar el �ltro paso bajo con una frecuencia de corte

de 0.5 Hz, de orden 1000 y con diversas ventanas(hamming,rectwin, bartlett y blackman), se presentó una ganancia enla banda de paso de 1, esta ganancia tiende a mantenerseconstante, a excepciones cuando el orden del �ltro es muybajo como en la Fig2.Cabe resaltar que las funciones mencionadas anteriormente

se denominan funciones "ventana", las cuales se usan paraobtener un tramo especí�co de señal en la transformada deFourier en "tiempo corto" (STFT). Se trata de una trans-formada de Fourier que se calcula por tramo de señal, demanera que hace posible conocer la variación de su contenidofrecuencial en función del tiempo. Cada ventana tiene suspropiedades, ventajas y desventajas.Mientras el orden del �ltro se mantuvo pequeño la banda de

transicion ocupaba más espacio, lo cual hace al �ltro menose�caz, por ejemplo en la Fig2, la frecuencia de corte era de 0.5,más sin embargo la banda de transición se encontraba desde

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0.3 hasta 0.87 aproximadamente lo cual no es muy buenosi se desea captar una señal de forma exacta, para mejoraresto se aumenta el orden de �ltro hasta por ejemplo 1000como muestra la �gura 4 (Fig4), allí vemos como la bandade transición es muy selectiva y exacta lo cual es muy buenopara el objetivo que se desea.Ahora tomando como referencia la �gura 4, vemos que

el ancho de la banda de �ltro es desde 0 hasta 0.5 lo cuales bastante bueno porque la frecuencia de corte elegida es0.5, esto hace al �ltro muy efectivo ya que proporciona losvalores pedidos inicialmente, pero si vemos en caso contrariode nuevo la �gura 2 vemos que la banda de �ltro o banda depaso comienza desde 0 pero termina en 0.3 donde comienzaa descender lo cual se puede considerar ya como bandade transición, entonces este �ltro no es tan bueno como elmencionado anteriormente.Por último podemos ver diferentes rizados en la banda de

atenuación que llevan parte de la señal, pero cabe recordarque el 90% - 95% aprox, de la señal se encuentra en labanda de paso, esto sucede casi en todos los casos, exceptocuando se utilizo la función bartlett, la cual se mantuvo conun comportamiento bastante uniforme en su diseño.

V. BIBLIOGRAFIA[1]. OPPENHEIM & WILSKY, Señales y Sistemas, II

Edición.[2]. GARCIA, De Jalon, Javier & RODRIGUEZ, Jose

Ignacio; "Aprenda MatLab como si estuviera en primero".[3]. FORMATO IEEE, LaTex. (Scienti�c Work Place)