Aplicaciones Geometría del Espacio
-
Upload
gunnady-caro -
Category
Documents
-
view
13 -
download
3
description
Transcript of Aplicaciones Geometría del Espacio
Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C.
MAT102-ICUATF.blogspot.com
1. Halla la ecuación del plano paralelo al vector (3,-1,2) y que además contiene a la recta de intersección
de los planos x+y=3 ; 2y+3z=4.
Solución:
Recta de intersección:
{𝑥 + 𝑦 = 32𝑦 + 3𝑧 = 4
de la 2da ecuación:
𝑦 = 2 −3
2𝑧
sea: 𝑧 = 𝑡
⇒ 𝑦 = 2 −3
2𝑡
reemplazando z e y en la 1ra ecuación:
𝑥 + (2 −3
2𝑡) = 3
𝑥 = 1 +3
2𝑡
la recta de intersección de los planos es la recta con ecuación:
{
𝑥 = 1 +
3
2𝑡
𝑦 = 2 −3
2𝑡
𝑧 = 𝑡
cuyo vector dirección es: ⟨3
2, −
3
2, 1⟩
el vector normal del plano será el producto vectorial entre el vector paralelo al plano y el
vector dirección de la recta contenida en el plano:
𝑛 = |
𝑖 𝑗 𝑘3 −1 23
2−3
21 | = 2𝑖 − 3𝑘
un punto por el que pasa el plano se presenta cuando t = 0, en la ecuación de la recta:
{
𝑥 = 1 +3
2𝑡
𝑦 = 2 −3
2𝑡
𝑧 = 𝑡
con 𝑡 = 0 → 𝑃(1, 2, 0)
finalmente la ecuación del plano es:
2(𝑥 − 1) + 0(𝑦 − 2) − 3(𝑧 − 0) = 0
𝟐𝒙 − 𝟑𝒛 = 𝟐
Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C.
MAT102-ICUATF.blogspot.com
2. Determinar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x+y+z=6 ; y+3z=5
y es perpendicular al plano x-2y+3z=12.
Solución:
Recta de intersección:
{𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6𝑦 + 3𝑧 = 5
de la 2da ecuación:
𝑦 = 5 − 3𝑧
sea: 𝑧 = 𝑡
⇒ 𝑦 = 5 − 3𝑡
reemplazando z e y en la 1ra ecuación:
𝑥 + (5 − 3𝑡) + 𝑡 = 6
𝑥 = 1 + 2𝑡
la recta de intersección de los planos es la recta con ecuación:
{𝑥 = 1 + 2𝑡𝑦 = 5 − 3𝑡𝑧 = 𝑡
cuyo vector dirección es: ⟨2, −3,1⟩
el vector normal del plano será el producto vectorial entre el vector normal del plano
x-2y+3z=12 y el vector dirección de la recta contenida en el plano:
𝑛1 = ⟨1,−2, 3⟩
𝑛 = | 𝑖 𝑗 𝑘1 −2 32 −3 1
| = 7𝑖 + 5𝑗 + 𝑘
un punto por el que pasa el plano se presenta cuando t = 0, en la ecuación de la recta:
{𝑥 = 1 + 2𝑡𝑦 = 5 − 3𝑡𝑧 = 𝑡
con 𝑡 = 0 → 𝑃(1, 5, 0)
finalmente la ecuación del plano es:
7(𝑥 − 1) + 5(𝑦 − 5) + 1(𝑧 − 0) = 0
𝟕𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟐