Sthefany Marquina

APLICACIONES REALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Control de Procesos•¿

Qué es un sistema de control ?• En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que

necesitan cumplirse.•E

n el ámbito doméstico• Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios

•En transportación• Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro

en forma segura y exacta•E

n la industria• Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de

manufactura

Control de Procesos•E

n años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.

•Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:• tales como control de calidad de los productos

manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros

Ejemplos de procesos automatizados•U

n moderno avión comercial

Ejemplos de procesos automatizados•S

atélites

Ejemplos de procesos automatizados•C

ontrol de la concentración de un producto en un reactor químico

Ejemplos de procesos automatizados•C

ontrol en automóvil

¿ Por que es necesario controlar un proceso ?•I

ncremento de la productividad•A

lto costo de mano de obra•S

eguridad•A

lto costo de materiales•M

ejorar la calidad •R

educción de tiempo de manufactura•R

educción de inventario en proceso•C

ertificación (mercados internacionales)•P

rotección del medio ambiente (desarrollo sustentable)

Control de Procesos•E

l campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.•Y

una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

¿Por qué Transformada de Laplace?•E

n el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.

•Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

¿Por qué Transformada de Laplace?•E

l comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

•La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

¿Por qué Transformada de Laplace?•D

e hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

•Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

El proceso de diseño del sistema de control

•Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere• Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la

ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.

• A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.• Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

Conociendo el proceso …•M

ODELACIÓN MATEMÁTICA

Suspensión de un automóvil

2

2 )()()()(

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

maF

=−−

=∑f(t)

z(t)

kb

m

Fuerza de entrada

Desplazamiento, salida del sistema

El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil

[ ]kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

++=

++=

=−−

=−−

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera

términocada a Laplace de ada transformla Aplicando

)()()()(

Función de transferencia

Conociendo el proceso…•M

ODELACIÓN MATEMÁTICA

Nivel en un tanque

dt

tdhAth

Rtq

tq

thR

dt

tdhAtqtq

i

o

oi

)()(

1)(

)(

)(

)()()(

=−

=

=−

qo(t)

Flujo de salida

R

(resistencia de la válvula)

h(t)

qi(t)

Flujo de entrada

Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento

A

(área del tanque)

El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Nivel en un tanque

111

)(

)(

)1

)(()(

)()(1

)(

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(

1)(

+=

+=

+=

=−

=−

ARs

R

RAssQ

sHR

AssHsQi

sAsHsHR

sQi

dt

tdhAth

Rtq

i

i

Función de transferencia

Conociendo el proceso…•M

ODELACIÓN MATEMÁTICA

Circuito eléctrico

)()(1

)(1

)()(

)(

tedttiC

dttiC

tRidt

tdiLte

o

i

=

++=

∫∫

El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Circuito eléctrico

[ ] [ ] [ ]

[ ]1

1

)(

)(

1)()(E

)(1

)()()(E

I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando

)()(1

)(1

)()()(E

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(1

)(1

)()(

)(

2

2i

i

i

++=

++=

++=

=++=

=++= ∫∫

RCsLCssE

sE

RCsLCssEs

sCsECs

sCsERsCsELss

sEsICs

sICs

sRIsLsIs

tedttiC

dttiC

tRidt

tdiLte

i

o

o

ooo

o

oi

Función de transferencia

La función de transferencia•R

epresenta el comportamiento dinámico del proceso•N

os indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

•Diagrama de bloques

forzanteFunción

proceso del Respuesta

)(

)(

proceso del entrada laen Cambio

proceso del salida laen Cambio

)(

)(

=

=

sX

sY

sX

sY

Proceso Entrada del proceso

(función forzante o

estímulo)

Salida del proceso

(respuesta al

estímulo)

La función de transferenciaD

iagrama de bloques•S

uspensión de un automóvilkbsms ++2

1

Entrada

(Bache)

Salida

(Desplazamiento del coche)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

La función de transferenciaD

iagrama de bloques•N

ivel en un tanque1+ARs

R

Qi(s)

(Aumento del flujo de entrada repentinamente)

H(s)

(Altura del nivel en el tanque

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

25

La función de transferenciaD

iagrama de bloques•C

ircuito eléctrico1

12 ++ RCsLCs

Ei(s)

(Voltaje de entrada)

Eo(s)

(Voltaje de salida)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control

•TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN

(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo)

•TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL

(Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)

Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control

•TEOREMA DE VALOR FINAL

(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)

•TEOREMA DE VALOR INICIAL

(Nos indica las condiciones iniciales)

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

• Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.

• En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

• a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F.

• b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

• c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

• Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor

Intercambiador de calor•E

cuación diferencial

•Donde:

•Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior

•(BTU/h °F ft2)

•ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)

•Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)

•tv : Temperatura del vapor (°F)

•te : Temperatura del agua a la entrada (°F)

•ts : Temperatura del agua a la salida (°F)

•(te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)

•tref : Temperatura de referencia (°F)

•w : Flujo de agua (lb/h)

•m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)

• : Valores en condiciones estables

•Tv , Ts , W Variables de desviación

twtstv ,,

Intercambiador de calor•L

inealizando1

2•E

valuando en condiciones iniciales estables3

•Restando (2) de (3)

Intercambiador de calor•U

tilizando variables de desviación

•Aplicando la transformada con Laplace

Intercambiador de calor•S

implificando

•Datos físicos• Largo del intercambiador = 9 ft• Diámetro de coraza = 17 ¼’’• Flujo = 224 gal/min • Temperatura de entrada =80°F• Temperatura de salida = 185°F• Presión de vapor =150psia.• Número de tubos= 112 • Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre

tubos de 0.63’’.• Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, • Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU• Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F

Intercambiador de calor•C

alculando

las

constantes

Intercambiador de calor•F

unción de transferencia

•Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

0 0

Intercambiador de calor

Flujo de agua entrada

Salida deAgua °T

Temp deVapor entrada

Salida devapor

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

224

234

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

220

240

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

185

188.85

La respuesta del proceso en el tiempoT

ransformada Inversa De Laplace

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) s

b

s

b

s

a

s

a

sssssT

ssssss

x

sssT

ss

K

ss

KsT

ssW

ssTsW

s

KsT

s

KsT

s

s

s

vvs

2121

42

2

1

1

2

2

1

1

583772.0583772.0583772.0

213928.2

583772.0

458658.4)(

parciales fraccionesen Expansión

1712995.1

792464.3

1712995.1

63766.725.5007

1712995.1

10573947.720

1712995.1

381883.0)(

25.5007

1

20

1)(

25.5007)(

20)()(

1)(

1)(

−+

−++

=+

−+

=

+−

+=

+−+

+=

=

++

+=

==+

++

=

−

ττ

ττ

La respuesta del proceso en el tiempo

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) TsseetT

emperaturTsseetT

sssssT

sssb

sssb

sssa

sssa

tts

tts

s

s

s

s

s

+−−−=

=+−++−=

−+

+++

−=

−=−=

+

=

=−

−=

+

+=

==

+

=

−=−

=

+

+=

−−

−−

=

−=

=

−=

583772.0583772.0

583772.0583772.0

02

583772.01

02

583772.01

1792453.31637670.7)(

salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(

792453.3

583772.0

792453.3637670.7

583772.0

637670.7)(

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2583772.0

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4583772.0

Transformada Inversa De Laplace

El sistema de control automáticoT

emperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin control)

Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control) 1713.1

3819.0

+s

Tv(s)

(Aumento de la temperatura de vapor a la

entrada )

Ts(s)

(Aumento en la temperatura de agua

a la salida)

11

1

+sK

τ

Controlador+

-

Valor deseado Acción

de control

Variable controlada

La ecuación del controlador•E

CUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID

Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido

++=

++=

++=

++= ∫

sssE

sM

ssEsEssE

sM

ssEsEs

dt

tdedtteteKctm

di

di

di

di

ττ

ττ

ττ

ττ

11Kc

)(

)(

)()(1

E(s)Kc)(

)(

)()(1

E(s)KcM(s)

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(

1)()(

El sistema de control automáticoTemperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con

control)

(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)

1713.1

3819.0

+s

+

-

Valor deseado Acción

de control

Variable controlada

++ sKc dsiττ

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

X: 0.683Y: 4.91

-1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

X: 0.683Y: 4.91

X: 6.873Y: 4.91

La respuesta del sistema de controlde nivel

•Comparación del sistema en lazo abierto (sin control) y en lazo cerrado (con control)

Con control Sin

control