Aproximación al area de una región plana
-
Upload
edwin-salazar -
Category
Documents
-
view
2.588 -
download
3
Transcript of Aproximación al area de una región plana
![Page 1: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/1.jpg)
APROXIMACIÓN AL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
LIC. EDWIN SALAZAR
![Page 2: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/2.jpg)
EL AREA BAJO UNA CURVAOtra de las interpretaciones de la integración de funciones corresponde al cálculo del área bajo una curva descrita por una función.
![Page 3: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/3.jpg)
NOTACIÓN SIGMALa suma de “n” términos se escribe:
donde i es el índice de la suma, ai es el i-ésimo término dela suma y los límites inferior y superior de la suma son 1y n.
1 2 ..... na a a+ + +
1
n
ii
a=
∑
![Page 4: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/4.jpg)
EJEMPLOSUso de sigma:
7
1
6
3
43 3 3 3 3
1
1 21
1 2 3 4 5 6 7
( 1) 4 5 6 7
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ... ( )
i
i
i
n
i ni
i
i
i
f x x f x x f x x f x x
=
=
=
=
= + + + + + +
+ = + + +
= + + +
∆ = ∆ + ∆ + + ∆
∑
∑
∑
∑
![Page 5: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/5.jpg)
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
![Page 6: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/6.jpg)
ALGUNAS FORMULAS ÚTILES
1
( 1 )
21
( 1 ) ( 2 1 )261
2 2( 1 )341
nk k n
in n n
ii
n n n ni
i
n n ni
i
= ×∑=
+=∑
=
+ +=∑
=
+=∑
=
![Page 7: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/7.jpg)
EVALUACIÓN DE UNA SUMA
![Page 8: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/8.jpg)
CÁLCULO APROXIMADO DE ÁREAS
1/4
2( ) 1f x x= +
f(2)
![Page 9: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/9.jpg)
SOLUCIÓN
Usando los rectángulos de la figura anterior podemoshallar una buen aproximación a la región que seencuentra entre la grafica y el eje “x”.
De esta manera podemos ver que el ancho de cadaintervalo es de 0.25 y que la altura la podemos calcularse evaluamos cada valor extremo derecho delrectángulo en la función. Por ejemplo el área del últimorectángulo:
8 (0.25) (2)A base altura f= × = ×
![Page 10: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/10.jpg)
SUMA DE LAS AREAS DE LOS RECTANGULOS
Usando la notación de la sumatoria (sigma) tenemos:
28 811( ) 1
44 4 41 1
8 81 1 1 8 9 172 1 8 25.54 16 64 61 1
i if
i i
ii i
∑ ∑× = + = = =
× ×∑× + = × × =∑= =
![Page 11: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/11.jpg)
ANÁLISIS
Como la región cubierta por rectángulos (enel intervalo (0,2)…) es menor al área queabarcan estos, podemos afirmar que el áreaque deseamos calcular es menor, es decirhemos calculado el área por exceso.
![Page 12: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/12.jpg)
ÁREA EXACTA BAJO LA CURVA
Supongamos que construimos “n” rectangulossobre la superficie la cual deseamos calcular elárea, entonces, podemos concluir que entre mayorsea el número de estos, el c{alculo será masexacto, por lo cual el área de la región S que seencuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de losrectángulos de aproximación:
( ) ( ) ( )* * *1 2
1
1 1 1lim lim ...
n
i nn n
i
A A f x f x f xn n n→∞ →∞
=
= = + + +
∑
![Page 13: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/13.jpg)
LIMITE DE S(n) CUANDO “n” TIENDE A INFINITO
Ejemplo: Calcular
3 2
3
3 2
3 3 3
2
4lim ( ) (2 3 ) Aplicamos la propiedad distribitiva
3
2 3lim ( ) Simplificamos las expresiones
3 3 3
2 1 1lim ( ) Calculamos el Limite
3 3
2lim ( )
3
n
n
n
n
s n n n nn
n n ns n
n n n
s nn n
s n
→∞
→∞
→∞
→∞
= + +
= + +
= + +
=
![Page 14: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/14.jpg)
USO DE LIMITES PARA EL CÁLCULO DEL ÁREA
Calculemos el área bajo la curva de la función en el intervalo [0,1]3( ) 2f x x x= −
![Page 15: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/15.jpg)
ESCRIBIENDO LA SUMATORIA
Si partimos en “n” intervalos el intervalo cuya longitud esde 1, entonces la base de cada rectángulo será de 1/n;la altura en cada caso estará dada por la expresiónf(i/n), para i=1, 2, 3…n, por tanto tendremos quecalcular:
1
3
1
1( ) ( ) Aplicamos la definición de la función
1( ) 2
n
i
n
i
is n f
n n
i is n
n n n
=
=
=
= −
∑
∑
![Page 16: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/16.jpg)
CALCULANDO LA SUMATORIA
3
1
3
31
3
2 41
1( ) 2 Resolvemos la potencia y reescribimos
1 2 1( ) Resolvemos la potencia y reescribimos
2 1( ) Aplicamos la propieda
n
i
n
i
n
i
i is n
n n n
s n i in n n
s n i in n
=
=
=
= −
= −
= −
∑
∑
∑2 4 3 2
2 4
d distributiva
2 1 2 Remplazamos por las formulas de suma
2 4
n n n n n
n n
+ + +−
![Page 17: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/17.jpg)
CÁLCULO DEL LIMITE
2 4 3 22 1 2lim
2 42 4
R em plazam os por las form ulas de sum a
2 4 3 22 2 2lim2 2 4 4 42 2 4 4 4
n n n n n
n n n
n n n n n
n n n n n n
+ + + − → ∞
+ − − −→ ∞
![Page 18: Aproximación al area de una región plana](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052619/556d6143d8b42a6b4d8b51ed/html5/thumbnails/18.jpg)
Aplicamos la Propiedad distributiva
1 1 1 1lim 1
24 2 4
Simplificamos, calculamos el limite
1 3=1 :Respuesta
4 4
n nn n+ − − −
→∞
− =