Aproximaciones sucesivas
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Cibernética, Industrial y Civil Métodos numéricos Escuela de Ingeniería Ing. Rafael Durán Campoamor Universidad La Salle Cuernavaca 5/10/2011 Página 1 Método de aproximaciones sucesivas EL método consiste en encontrar una raíz de una ecuación algebraica o trascendente mediante la modificación de la misma y realizando un determinado número de iteraciones que indiquen que el sistema tiende a converger: F(x)=0, donde Cnx n +Cnx n-1 +…..+CnX 0 =0 f(x)= x+F(x)=0+x Se supondrá una raíz Xi con la cual iniciará el proceso de búsqueda f(xi)= Cn*(xi n )+Cn(xi n-1 )+…..+Cn Por cada resultado de una iteración, éste tomará el nuevo valor de X dentro del polinomio. El número de iteraciones puede variar según veamos si este converge a un determinado valor este será el valor de la raíz del polinomio. Por ejemplo: Se desea encontrar x= Ejemplo: Obtener por el método de aproximaciones sucesivas realizando el número de iteraciones necesarias hasta que el proceso converja. (Utilice 5 cifras significativas) Solución: 1. Se deja la función de la forma F(X)=0. 2. Se le suma X a cada miembro de la ecuación f(x)= 3. Para saber desde que valor de raíz debemos suponer para iniciar el proceso graficamos el polinomio F(x) y y=x o se puede deducir del polinomio. Suponemos 0.9 debido a que (0.9) 2 = 0.81 y es cercano a valor deseado. 4. Para saber si el valor elegido cumple derivamos el polinomio f(x) y sustituimos . f’( )=2.788854382
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Cibernética, Industrial y Civil Métodos numéricos Escuela de Ingeniería Ing. Rafael Durán Campoamor
Universidad La Salle Cuernavaca 5/10/2011 Página 1
Método de aproximaciones sucesivas
EL método consiste en encontrar una raíz de una ecuación algebraica o trascendente mediante
la modificación de la misma y realizando un determinado número de iteraciones que indiquen
que el sistema tiende a converger:
F(x)=0, donde Cnxn+Cnxn-1+…..+CnX0=0
f(x)= x+F(x)=0+x
Se supondrá una raíz Xi con la cual iniciará el proceso de búsqueda
f(xi)= Cn*(xin)+Cn(xi
n-1)+…..+Cn
Por cada resultado de una iteración, éste tomará el nuevo valor de X dentro del
polinomio.
El número de iteraciones puede variar según veamos si este converge a un determinado
valor este será el valor de la raíz del polinomio.
Por ejemplo: Se desea encontrar x= Ejemplo: Obtener por el método de
aproximaciones sucesivas realizando el número de iteraciones necesarias hasta que el proceso
converja. (Utilice 5 cifras significativas)
Solución:
1. Se deja la función de la forma F(X)=0.
2. Se le suma X a cada miembro de la ecuación
f(x)=
3. Para saber desde que valor de raíz debemos suponer para iniciar el proceso graficamos
el polinomio F(x) y y=x o se puede deducir del polinomio. Suponemos 0.9 debido a que
(0.9)2 = 0.81 y es cercano a valor deseado.
4. Para saber si el valor elegido cumple derivamos el polinomio f(x) y sustituimos
.
f’( )=2.788854382
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Como el valor encontrado de 1 se dice que nuestro sistema diverge, es decir, no
tendrá estabilidad en valor final.
Lo que hacemos ahora es sustituir su valor negativo,
Como el resultado de 1, entonces el sistema converge y será constante o estable.
Lo anterior indica que tomaremos el valor de x0=-0.9 como valor inicial.
f(-0.9)= 00
x = Columns 1 through 5 -0.9000 -0.8900 -0.8979 -0.8917 -0.8966 Columns 6 through 10 -0.8927 -0.8958 -0.8934 -0.8953 -0.8938 Columns 11 through 15 -0.8949 -0.8940 -0.8948 -0.8942 -0.8946 Columns 16 through 20 -0.8943 -0.8946 -0.8943 -0.8945 -0.8944 Columns 21 through 25 -0.8945 -0.8944 -0.8945 -0.8944 -0.8944 ans = -0.8944
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En la grafica se observa que el sistema converge, lo cual quiere decir que el valor estable es una de las raíces de la función.
clf clear k=1; %valor inicial del arreglo
x(k)=-0.9; %x0=0.9 es el primer valor del arreglo de datos
for k=1:0.2:24 %número de iteraciones
x(k+1)=power(x(k),2)+x(k)-0.8 %cada resultado se almacena en el arreglo
plot(k,x(k),'ro') %y se utiliza en la siguiente iteración
hold on grid on end x(end) El programa utilizado nos ayudo a encontrar que en la iteración 25 se encontró la raíz negativa del polinomio.
Este método es preciso pero muy largo en procesos por lo que existe un método modificado que reduce el número de iteraciones y es igual de preciso pero para encontrar la raíz del polinomio.
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El método modificado de aproximaciones sucesivas consiste en hacer que el valor de la raíz dependa de:
Donde g(xi+1) es la raíz del polinomio.
; y Por lo que obtenemos
Simplificando nos queda
Para la raíz negativa x = -0.9000 -0.8944 -0.8944 -0.8944 ans = -0.8944 Para la raíz positiva x = 0.9000 0.8944 0.8944 0.8944 ans = 0.8944
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Los gráficos de ambas raíces y solo tomo 4 iteraciones
Gráfico de raíz positiva
Gráfico de raíz negativa
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Fe de erratas En clase cometí el error de sustituir en el método modificado la función F(x) +x por F(x), así como su derivada de F’(x).
En lugar de
Es
En el primer método nos arrojaba que el valor de la raíz se encontraba entre -3 y 1, por lo que utilizando el método modificado de aproximaciones sucesivas nos arroja los siguientes valores x = -3.0000 -2.3333 -2.2381 -2.2361 x = 3.0000 2.3333 2.2381 2.2361
