Aproximação

Ana quer comprar bolo e guaraná para sua festa de aniversário. Sua

mãe lhe deu R$100,00 e pediu para que ela fosse ao mercado “Mais Barato”

para fazer suas compras. Vejamos o que aconteceu quando ela chegou lá:

Já que o vendedor não soube responder à pergunta, como Ana pode ter

uma ideia do preço final de sua compra, para saber se seu dinheiro será

suficiente?

Se arredondarmos o preço do bolo para a dezena mais próxima e o

preço do guaraná para a dezena mais próxima talvez fique mais fácil.

Preço do quilo do bolo (em reais) 28 para 30

Preço da garrafa de guaraná (em reais) 8 para 10

Podemos agora somar os valores encontrados para determinar se Ana

tem dinheiro suficiente:

30 + 10 = 40

Como Ana tem uma nota de R$100,00 podemos concluir que ela tem

dinheiro suficiente para comprar o que deseja.

Note que: O valor exato que Ana gastará é de R$36,00. Ou seja, podemos

considerar nossa estimativa boa.

Vimos como a aproximação pode facilitar algumas contas. Vamos agora

entender melhor como podemos fazê-las.

Observe as retas numéricas:

Note que o número 34 está mais próximo de 30 do que de 40. Quando

queremos arredondar o 34 para a dezena mais próxima arredondamos para 30.

Agora se formos arredondar 816 para a centena mais próxima

arredondamos para 800, porque 816 está mais próximo de 800 do que de 900.

Se quisermos arredondar 2750 para a unidade de milhar mais próxima,

arredondamos 2750 para 3000. Isso acontece porque 2750 está mais perto de

3000 do que de 2000.

Fazemos esse processo quando queremos obter uma estimativa para

determinado valor.

Note que:

O número 550 está no meio de 500 e 600.

Quando um número está precisamente no meio, entre dois números,

geralmente arredondamos para a centena maior. Nesse caso para 600.

Exercícios Resolvidos

EXERCÍCIO 1: Realize a aproximação que se pede em cada caso:

a) 19 para a dezena mais próxima

b) 176 para a centena mais próxima

c) 6467 para a unidade de milhar mais próxima

Resolução:

Para encontrar a solução pedida nos itens acima, basta aproximarmos como se

pede. Dessa forma, temos:

a) O número 19 está mais próximo de 20 do que de 10, então, a melhor

aproximação para dezena é 20.

b) O número 176 está mais próximo de 200 do que de 100, logo, podemos

a centena melhor para a aproximação é 200.

c) O número 6467 está mais próximo de 6000 do que de 7000. Portanto, a

melhor estimativa para unidade de milhar é 6000.

EXERCÍCIO 2: Em uma atividade realizada em sala de aula, o professor

Gabriel pediu aos alunos que levassem uma calculadora. Infelizmente, a

calculadora de Érika estava com defeito e só funcionavam as teclas 1, 0,

adição, subtração, multiplicação, divisão, e a tecla do sinal de igual. Para a

expressão a seguir, ajude Érika a obter uma resposta próxima da exata.

Expressão:

90 + 9999 + 999 - 80

Resolução:

Encontremos primeiro o resultado da expressão:

90 + 9999 + 999 - 80 = 11008

Para encontrar um valor próximo, Érika pode arredondar os valores da

expressão e, assim, teria:

100 + 10000 + 1000 – 100 = 11000

Assim, a estimativa mais próxima que Érika pode dar como resposta é 11000.

Discuta com seus colegas: Érika poderia dar uma resposta exata usando sua

calculadora?

Agora é sua vez!

1 – Observe as vendas de uma padaria de Sorocaba-SP durante os cinco dias

de uma semana.

Dias da semana Valor

Segunda-feira R$ 1.051,00

Terça-feira R$ 1.558,00

Quarta-feira R$ 2.421,00

Quinta-feira R$ 1.733,00

Sexta-feira R$ 2.766,00

Aproxime os dados da tabela para a centena mais próxima e, em seguida, para

a dezena mais próxima. Qual dos dois arredondamentos é mais "confiável"

para este caso? Por quê?

2 – Realize as operações abaixo através do cálculo comum e por meio do

processo da aproximação. A seguir responda, é possível dizer que os valores

são próximos?

Cálculo Aproximação

578 + 233 =

34 ∙ 11 =

4899 - 3222 =

6488 ÷ 4 =

68 ∙ 9 =

3 – Você se recorda da situação do "Exercício Resolvido 2" de aproximação?

Se não, volte um pouco às páginas para uma lembrança.

Feito isso, continue ajudando Érika a encontrar respostas próximas aos valores

exatos das questões a seguir:

a) 9 ∙ 10 + 99

b) 90 − 9 + 10

c) 99990

10 + 99

4 – Note os valores dos seguintes produtos:

Produtos Valores

TV R$ 1.999,00

FOGÃO R$ 587,00

BICICLETA R$ 438,00

RÁDIO R$ 143,00

RELÓGIO DIGITAL R$ 89,00

SECADOR DE CABELO R$ 132,00

MICROONDAS R$ 321,00

Agora, estimando de forma rápida e sem fazer muitas contas, responda ao que

se pede:

a) Com R$ 200,00 é possível comprar o secador de cabelo e o relógio

digital?

b) Com R$ 590,00 é possível comprar o rádio e a bicicleta?

c) Com R$ 2600,00 é possível comprar a TV e o fogão?

d) Com R$ 400 é possível comprar o micro-ondas e o relógio digital?

5 – Em um final de semana, o estacionamento de um shopping recebeu, no

total, 137.065 carros. Aproximando para a centena de milhar mais próxima,

podemos dizer que nesse shopping foram estacionados aproximadamente

quantos carros?

6 – Na fazenda de Dona Alice foram colhidos 278.654.012.323 grãos. A fim de

estimar e poder falar de forma mais simplificada tal número, Dona Alice pediu

nossa ajuda para aproximar esse valor. Como podemos ajudá-la fazendo essa

aproximação para a centena de bilhão mais próxima?

Frações centesimais

Marcos ganhou de sua mãe uma barra de chocolate.

Ele resolveu dividir essa barra com seus três melhores

amigos, assim, quatro pessoas comeram a barra. A

professora de Matemática deles aproveitou essa situação

para apresentar um novo conteúdo e escreveu na lousa as

seguintes perguntas:

No item (a), percebemos que cada um dos amigos comeu 1 pedaço

entre 4 da barra, logo, 1

4 da barra. Para responder o item (b), basta encontrar

uma fração equivalente a 1

4 com o denominador 100. Como 4 . 25 = 100, basta

multiplicar numerador e denominador por 25. Assim, temos 1

4 .

25

25=

25

100.

Relembrando: Frações equivalentes são frações que representam a mesma

parte em relação ao todo. Para encontrá-las, basta multiplicar ou dividir o

numerador e o denominador por um número diferente de 0.

Por exemplo: 1

2.

50

50=

50

100, logo,

1

2 e

50

100 são equivalentes.

Mesmo depois de pensar muito, Marcos e seus amigos não conseguiram responder as perguntas feitas pela professora. Responda-as para ajudar a turma.

1

5=

20

100

1

2=

50

100

1

2=

50

100

No exemplo anterior, você criou uma fração cujo denominador é 100.

Esse tipo de fração é chamado de fração centesimal. Apresentaremos a

seguir algumas outras frações transformadas em centesimais:

Exercícios Resolvidos

EXERCÍCIO 1: Maria tem 20 anos e já passou 5 anos de sua idade morando

no Brasil, 7 anos morando no Canadá e 8 anos na Austrália. Por meio de que

razão centesimal podemos representar a quantidade de tempo que Maria

morou no hemisfério sul?

Resolução:

Dado que os países que são do hemisfério sul são Brasil e Austrália, temos que encontrar as razões centesimais desses países e depois somá-las. Dessa forma, achemos primeiramente a razão correspondente sem necessariamente ser de denominador 100:

Brasil: 5

20 (Quantidade de tempo passado no Brasil dividido pela idade

de Maria)

Austrália: 8

20 (Quantidade de tempo passado na Austrália dividido pela

idade de Maria)

Agora, transformemos as respectivas frações para frações centesimais, multiplicando o que já temos por valores convenientes a fim de obter o denominador 100:

Brasil: 5

20∙

5

5=

25

100

Austrália: 8

20∙

5

5=

40

100

Logo, a razão centesimal que correspondente a quantidade de tempo que Maria morou no hemisfério sul é:

25

100+

40

100 =

65

100

3

4=

75

100

EXERCÍCIO 2: Camila quer comprar um skate no valor de R$ 50,00. Porém, ela só conseguiu juntar até agora R$ 20,00. Sabendo disso, como podemos representar através de uma razão centesimal a quantidade de dinheiro que Camila conseguiu guardar? Resolução:

Primeiramente, encontremos uma razão, que não seja necessariamente centesimal, para representar a quantidade de dinheiro que Camila possui:

20

50 (Quantidade de dinheiro que Camila possui dividido pelo valor do

skate)

Agora, façamos uma manipulação conveniente a fim de obter o denominador 100 a fim de determinarmos a fração centesimal:

20

50∙

2

2=

40

100

Logo, a razão centesimal desejada é 40

100 .

Agora é sua vez!

1 – O salário mensal de Lucas é R$ 2000,00. Ele costuma gastar todo mês R$

50,00 em doces na loja de seu tio. Como podemos representar esse gasto

através de uma razão centesimal?

2 – Maria queria comprar um tênis que custava R$ 200,00, mas sua mãe achou

muito caro. Passando em frente à loja, Maria percebeu que ele passou a custar

R$ 140,00 e saiu correndo para falar para sua mãe que, dessa vez, decidiu

comprar. Através de que fração centesimal podemos representar o desconto

que Maria conseguiu?

3 – João estava vendendo sua coleção de livros por R$ 150,00. Percebendo

que não conseguia vender, decidiu dar um desconto de R$ 50,00. Que fração

centesimal esse desconto representa?

4 – Na sala de aula, o professor David descobriu que seus 50 alunos, 10 são santistas, 5 são corintianos, 10 são paulinos, 20 são palmeirenses e o restante não torce para nenhum time. Como podemos representar tais valores através de frações centesimais?

20

100= 20%

43

100= 43%

68

100= 68%

Lê-se “vinte por cento”

Lê-se “quarenta e três por cento”

Lê-se “sessenta e oito por cento”

por cento

Relembrando:

Você aprendeu nos Capítulos anteriores que podemos escrever uma

fração em forma de número decimal. Assim, as frações centesimais e as

frações que representam porcentagem podem ser escritas dessa forma.

Exemplos:

50

100 = 0,5

15 = 0,2

1

100 = 0,01

78

100 = 0,78

Porcentagem

Em muitas notícias de jornal ou internet, vemos dados representados

com o símbolo %. Essa representação é uma forma diferente, mais compacta,

de se escrever uma fração centesimal e damos a ela o nome de porcentagem.

Vejamos alguns exemplos de porcentagens a partir de sua

representação fracionária:

Quanto vale “cem por cento”? (100%)

Usando a ideia das frações centesimais, temos:

100% = 100

100 = 1.

Assim, podemos perceber que “cem por cento”

equivale ao total do que se está analisando.

Por exemplo, se há somente 10 camisetas em um

guarda-roupa e 100% delas são vermelhas, sabemos

que as 10 camisetas são vermelhas.

E “cinquenta por cento”, quanto vale? (50%)

Podemos continuar com a ideia das frações

centesimais e, assim, temos: 50% = 50

100 =

1

2 = 0,5.

Logo, conclui-se que “cinquenta por cento” se

refere à metade do que se está “observando”.

Por exemplo, se você ganhar uma barra de

chocolate e comer 50%, significa que comeu metade

dela.

E se quisermos “vinte e cinco por cento”? (25%)

Mantendo a ideia anterior, de frações

centesimais, temos: 25% = 25

100 =

1

4 = 0,25.

Assim, vemos que “vinte e cinco por cento”

equivale à quarta parte do inteiro ou a “metade da

metade”.

Por exemplo, se cabem 40 mil pessoas em um

estádio, no máximo, e este está com 25% da

capacidade preenchida, podemos dizer que há 10 mil

pessoas.

Como calcular “dez por cento”? (10%)

Ainda pensando nas frações centesimais, temos:

10% = 10

100 =

1

10 = 0,1.

Portanto, percebe-se que “dez por cento” se

refere a um décimo do total, ou seja, dividir o total

em dez partes de mesmo tamanho e “pegar” uma

delas.

Por exemplo, se em uma maratona um

corredor percorreu 10% do trajeto de 42km,

significa que ele correu uma distância de 4,2km.

Mas então como podemos calcular “um

por cento”? (1%)

Se pensarmos da mesma forma dos

exemplos anteriores, através das frações

centesimais, temos: 1% = 1

100 = 0,01.

Dessa forma, tomar “um por cento” significa

dividir o total em 100 partes de mesmo tamanho e “pegar” uma delas.

Por exemplo, se em um país há 100 mil habitantes e, um por cento deles

têm carro, isso significa que 1 mil habitantes possuem carro.

Calculando porcentagens

Algo interessante de perceber sobre as porcentagens é que podemos

encontrar respostas, para um determinado exercício, através de diferentes

caminhos. Vejamos um exemplo simples e como nossos amigos Pedro, Joana

e Maria pensaram.

Exemplo: Calcular 30% de 200.

Podemos calcular 10% de

200 e depois multiplicar por

3. Assim,

3 . (200 ÷ 10) = 3 . 20 = 60

Podemos calcular 1% de 200

e depois multiplicar por 30.

Assim,

3 . (200 ÷ 100) = 30 . 2 = 60

Joana

Maria

Percebemos que as três crianças encontraram a mesma resposta, por

caminhos diferentes e todos estão certos. E aí, de qual solução você mais

gostou? Existem outras formas de resolver porcentagens?

Pedro

Sabemos que 30% = 30

100, por

frações centesimais. Assim,

podemos fazer

30

100 . 200 = 60

Porcentagem na calculadora

Para calcular uma porcentagem na calculadora, basta seguir os mesmos

passos de quando fazemos a conta sem ela!

Por exemplo: Quanto é 20% de 300?

Primeiro digite 20 ÷ 100 x 300, em seguida, clique no sinal de igual (=).

Assim, o resultado (60) aparecerá na tela.

Na maioria das calculadoras temos a tecla “%”. Vamos ver como podemos

calcular uma porcentagem usando ela:

Quanto é 20% de 300?

Primeiro digite 20 e clique na tecla “%”, em

seguida, digite 300. Depois clique no sinal de igual

(=). Assim, o resultado (60) aparecerá na tela.

Exercícios Resolvidos

EXERCÍCIO 1: João Victor é jogador de futebol no time do São Paulo Futebol

Clube e, durante o campeonato brasileiro, cobrou 25 faltas, transformando em

gols 20% dessas faltas. Quantos gols através de falta esse jogador pôde

marcar?

Resolução:

Primeiro, determinemos a razão centesimal. Como precisamos calcular 20%

das faltas, transformemos esse valor para a razão que desejamos. Logo:

20% =20

100

Sabemos que 20

100=

1

5, assim, para obtermos a quantidade de gols feitas,

basta dividir o total por 5:

25 ÷ 5 = 5

Dessa forma, concluímos que o jogador marcou 5 gols através de falta.

EXERCÍCIO 2: Amanda comprou uma calça numa loja na qual havia "super

promoção" de 35%. A calça indicava na etiqueta o valor de R$ 80,00 antes do

desconto. Quanto Amanda pagou na calça com a "super promoção"?

Resolução:

Inicialmente, calculemos qual foi o valor que Amanda obteve como

desconto. Faremos isso calculando 35% do valor da calça e depois retirando o

valor do preço inicial da calça.

Para isso, podemos calcular quanto vale 1% e, a seguir multiplicar por

35, obtendo, dessa forma, 35%. Sabemos que 1% equivale ao total dividido por

100, logo, 1% de 80 = 80 ÷ 100 = 0,8.

Logo, 35% = 35 . 1% = 35 . 0,8 = 28

Dessa forma, Amanda conseguiu R$ 28,00 de desconto. Logo, ela pôde

pagar o seguinte valor da calça:

R$ 70,00 - R$ 28,00 = R$ 42,00

Agora é sua vez!

1 – Maurício ganhou 32 bombons de aniversário de sua avó Maria. No mesmo

dia, ele comeu 75% desses bombons. Quantos bombons Maurício comeu?

Calcule através do cálculo mental.

2 – (OBMEP – 06) Um trabalho de Matemática tem 30 questões de Aritmética e

50 de Geometria. Júlia acertou 70% das questões de Aritmética e 80% do total

de questões. Qual o percentual das questões de Geometria que ela acertou?

3 – Observe os descontos do panfleto de um mercado.

Existe um erro nos descontos do Acém Bovino e na Cartela de Ovos. A

respeito disso responda com o auxílio de uma calculadora:

a) Quanto ficaria o preço do Acém Bovino se o desconto fosse de 20%?

b) Qual o preço da Cartela de Ovos com 20% de desconto?

4 – Na última festa que fui, tropecei e derrubei a mesa onde estavam 20

garrafas de refrigerante. Das 20 garrafas, sobraram apenas 15% delas sem

quebrar. Quantas garrafas sobraram? Utilize a estratégia que achar

conveniente.

5 – Em um canil há 148 cachorros, 50% são pretos, 25% são brancos e os

outros 25% são marrons. Através do cálculo mental, responda:

a) Quantos cachorros são pretos?

b) Quantos cachorros são brancos? E marrons?

c) Quantos cachorros representam 3

4 da quantidade que há no canil?

6 – Em uma construção, na mistura de 40 kg de cimento e areia, 10% é

cimento. Se acrescentarmos mais 5 kg de cimento, qual será a sua

porcentagem na nova mistura? Use a calculadora para realizar os cálculos.

DESAFIO – CÁLCULO MENTAL

Desenvolvendo alguma estratégia mentalmente, ajude Gabriel a resolver seu

dever de casa. Ele precisa realizar os cálculos abaixo:

a) 50% de R$ 80,00

b) 10% de 30 bolas de tênis

c) 20% de 100 bolinhas de gude

d) 25% de 60 canetas

e) 75% de R$ 100,00

Matemática em contexto

Inferno na floresta: o que sabemos sobre os incêndios na Amazônia

A Amazônia sempre sofreu com queimadas ligadas à exploração de terra. Mas como isso

chegou tão longe?

Os olhos do Brasil e do

mundo se voltam para a maior

floresta tropical e maior reserva

de biodiversidade da Terra.

Milhares de mensagens de alerta

em diferentes línguas circulam

nas redes sociais com a hashtag

#PrayForAmazonia. A razão não

poderia ser pior: a Amazônia

arde em chamas.

O bioma é o mais afetado

pela maior onda de incêndios

florestais no Brasil em sete anos.

Não há novidade no fenômeno em si. A Amazônia sempre sofreu com queimadas ligadas

à exploração de terra. Mas como isso chegou tão longe? (...)

Em tempos de seca, floresta é combustível. Historicamente, durante a estação de

menor incidência de chuvas, tipicamente compreendida entre os meses de julho e

setembro, grande quantidade de focos de incêndios são detectados pelos satélites do

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE).

Estudos científicos mostram que as queimadas desta região geralmente decorrem

do modelo de ocupação e uso do solo, com o desmatamento de grandes áreas e

consequente queima da vegetação, tanto de pastagem quanto de floresta primária para

preparo da terra ao plantio. A prática é comum na agropecuária nacional, principalmente

na região do Cerrado e da Amazônia Legal. (...)

Áreas afetadas

Há três semanas, florestas e matas ardem em chamas nos estados do Norte, se

estendendo pelo Acre, Rondônia, Mato Grosso e Mato Grosso do Sul, incluindo áreas da

Amazônia e do Pantanal. Os incêndios já atingiram a tríplice fronteira entre Brasil, Bolívia e

Paraguai. A Amazônia é o bioma mais afetado, com pouco mais da metade (52,6%) dos

focos, seguida do Cerrado, com 30% dos registros de queimada.

Propriedades particulares concentram os focos de queimadas. Desde janeiro, 60%

dos incêndios ocorreram em áreas privadas registradas no Cadastro Ambiental Rural do

Brasil, 16% em terras indígenas e 1% em áreas protegidas.

Na região centro-oeste, o estado do Mato Grosso, que vive do agronegócio, lidera

os incêndios, com 13.682 focos em 2019 – alta de 87% em relação ao mesmo período do

ano passado, segundo o Inpe. Duas semanas atrás, as queimadas fizeram o Amazonas,

segundo estado mais afetado, a decretar emergência no Sul e na Grande Manaus. O Acre

também declarou alerta ambiental. (...)

Fonte: Adaptado de EXAME. Abril Mídia S A. Por Vanessa Barbosa. Publicado em 22 ago 2019, 18h02

Sobre o texto

1- Por que milhares pessoas ao redor do mundo estão mandando

mensagens de alerta, com a hashtag #PrayForAmazonia?

2- Em quais meses temos

a estação de menor

incidência de chuvas?

3- De acordo com estudos

científicos, de que

decorrem as queimadas

abordadas no texto?

4- Quais estados

brasileiros estão sendo

afetados pelas chamas?

Quais países, além do Brasil, também estão sendo afetados?

5- Dos biomas afetados quantos por centos a Amazônia representa? E o

Cerrado? Você consegue representar essas porcentagens em frações

centesimais?

6- Quantos por centos dos focos de queimadas se concentram em áreas

privadas? E em terras indígenas? E em áreas protegidas? Represente

essas porcentagens em frações centesimais.

7- O texto diz que 30% dos focos de queimadas ocorreram no Cerrado, e,

de acordo com o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) foram

registrados 71.497 focos de incêndio entre Janeiro e Agosto de 2019.

Qual o número de focos no Cerrado?

REFERÊNCIAS

https://escolakids.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm

https://www.somatematica.com.br/fundam/porcent.php

https://novaescola.org.br/plano-de-aula/1270/arredondamento-para-o-multiplo-

da-potencia-de-10#_=_

https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/arredondamento-numeros-

naturais.htm

http://professorwaltertadeu.mat.br/HumaitaRegrasdeArredondamento2016.doc

http://portodalinguagem.com.br/porcentagem-razao-centesimal/

www.estudopratico.com.br/porcentagem-numeros-percentuais-e-

exercicios/amp/

https://profraffa.files.wordpress.com/2013/10/porcentagem2.pdf

Andrini, Álvaro. Praticando matemática 6 / Álvaro Andrini, Maria José

Vasconcellos. – 4. Ed. Renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015. -

(Coleção praticando matemática; v. 6)

IMAGENS

Tirinha: https://www.pixton.com/br/

Chocolate: https://www.istockphoto.com/br/vetor/desenhos-animados-da-

barra-dos-doces-de-chocolate-gm1140211014-305045016

https://pt.vecteezy.com/arte-vetorial/553304-desenho-de-barra-de-chocolate

Camisa: https://images.app.goo.gl/hZvVMTnCTqCNpS9R9

Morumbi: instagram- drone do dia

Maratonista: https://images.app.goo.gl/6N3GP3N1iiWdB56U7

Carro: https://images.app.goo.gl/2HQsvTgpJ2fUqopV8

Desenho crianças:

https://br.freepik.com/vetores-gratis/vector-criancas-dos-desenhos-

animados_594915.htm

https://br.freepik.com/vetores-gratis/coleccao-de-criancas-coloridas-mao-

desenhada_3235687.htm#page=1&query=crianca&position=12

https://br.freepik.com/vetores-premium/ilustracao-de-crianca-

deficiente_2411695.htm#page=1&query=ilustracao%20kid%20cadeira%20roda

s&position=18

Calculadoras:

https://galeria.colorir.com/colegio/calculadora-solar-pintado-por--1332667.html

https://br.freepik.com/vetores-gratis/ilustracao-de-calculadora-

maquina_2606086.htm

Panfleto: https://www.corelvancar.com.br/item/-Panfleto-Promocional,-Oferta-

para-Supermercado.html

Texto Amazônia: https://exame.abril.com.br/brasil/inferno-na-floresta-o-que-

sabemos-sobre-os-incendios-na-amazonia/

Imagem incêndio: https://exame.abril.com.br/brasil/e-a-amazonia-incendios-

florestais-ganham-as-redes-sob-silencio-do-governo/

Imagem montagem incêndios: http://www.informabahia.com.br/onda-de-

incendios-na-amazonia-sobe-e-governo-admite-descontrole-criminoso/

Fonte exercício 7, focos de incêndios:

https://brasil.elpais.com/brasil/2019/08/19/politica/1566248656_245830.html