Universidad Autnoma de Zacatecas Unidad Acadmica de Contadura y Administracin

Clculo Aplicado

Tercer Semestre

1

1. NMEROS REALES.

Representacin de nmeros reales por medio de puntos en el eje numrico.

Uno de los conceptos fundamentales de las matemticas es el nmero. El concepto

de nmero surgi en la antigedad, amplindose y generalizndose con el tiempo.

Los nmeros enteros y fraccionarios, tanto positivos como negativos, asi como el

nmero cero, se llaman nmeros racionales. El nmero racional puede expresarse

como la razn de dos nmeros enteros p y q. Por ejemplo:

;

En particular, el nmero entero p se puede considerar como la razn de dos nmeros

enteros

, por ejemplo:

,

Los nmeros racionales pueden representarse por fracciones peridicas finitas o por

indefinidas. Los nmeros en forma de fracciones decimales indefinidas no peridicas,

se denominan nmeros irracionales; por ejemplo, , , 5 - , etc.

La reunin de los nmeros racionales e irracionales se denomina conjunto de

nmeros reales. Estos se ordenan segn su magnitud, es decir, que para cualquier

par de nmeros reales x e y existe una correlacin, y slo una, de las siguientes:

x < y, x = y, x > y.

Los nmeros reales se pueden expresar por medio de puntos en el eje numrico. Se

llama eje numrico a una recta infinita en la cual estn determinados:

2

un punto 0 que se denomina origen;

una direccin positiva que se indica con una flecha;

una escala para medir longitudes.

En general dispondremos el eje numrico en posicin horizontal, considerando

positiva la direccin haca la derecha del punto 0 (origen).

Si el nmero x1 es positivo, se representa por el punto M1. Este se situar a la

derecha del punto O a una distancia.OM1 = x1; si el nmero x2 es negativo, estar

representado por el punto M2. Este estar situado a la izquierda del punto O, a una

distancia OM2 = - x2 (fig. 1). El punto O representa el nmero cero.

M2 M1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Figura 1

Es evidente que cada nmero real est representado por un punto en el eje

numrico. Dos nmeros reales diferentes estn representados en el eje por dos

puntos distintos. Es decir, cada punto del eje numrico representa un solo nmero

real, ya sea racional o irracional.

As! pues, entre todos los nmeros reales y puntos del eje numrico existe una

correspondencia biunivoca: a cada nmero le corresponde un solo punto que lo

representa en el eje numrico, y recprocamente, a cada punto corresponde un slo

nmero. Entonces, nmero x y punto x son sinnimos y asi los utilizaremos en

este manual.

Aceptemos, sin demostracin, esta importante propiedad del conjunto de nmeros

reales: entre dos nmeros reales arbitrarios siempre se pueden hallar nmeros, tanto

racionales como irracionales. En lenguaje geomtrico esta propiedad se enunciar

asi: entre dos puntos arbitrarlos del eje numrico siempre podrn situarse puntos,

tanto racionales como irracionales.

X

3

Como conclusin, enunciaremos el siguiente teorema que nos servir, en algn

sentido, de puente entre la teora y la prctica:

Teorema. Todo nmero irracional a se puede expresar con cualquier grado de

precisin por medio de nmeros racionales.

En efecto, siendo el nmero irracional a > 0, calculemos a con un error no mayor de

por ejemplo (

,

, etc.)

Cualquiera que sea el nmero a, est comprendido entre dos nmeros enteros

consecutivos N, N + 1. Dividamos el segmento comprendido entre N y N + 1 en n

partes, entonces el nmero a resultar comprendido entre los nmeros racionales N

+

y N +

. Dado que la diferencia entre estos nmeros es

, cada uno de ellos

expresa a con un grado de precisin predeterminado: el primero por defecto, y el

segundo por exceso.

Ejemplo: El nmero irracional se expresa por medio de nmeros racionales:

1.4 y 1,5: con un error no mayor de

1.41 y 1.42: con error no mayor de

1.414 y 1.415: con un error no mayor de

, etc.

2. VALOR ABSOLUTO DEL NUMERO REAL.

Introduzcamos el concepto de valor absoluto del nmero real. Este concepto es

imprescindible para continuar adelante.

Definicin. Un nmero real no negativo, que satisface las condiciones:

| x | = x, si x > 0; | x | = - x, si x < 0.

4

se llama valor absoluto (o mdulo) de un nmero real x (su notacin es | x |).

Ejemplos: |2| = 2; |- 5| = 5; |0| = 0.

De la definicin se deduce que para cualquier nmero x se verifica la correlacin x |

x |.

Examinemos algunas propiedades de los valores absolutos.

1. El valor absoluto de la suma algebraica de varios nmeros reales no es mayor que

la suma de los valores absolutos de los sumandos:

|x + y| |x| + |y|

Demostracin. Sea x + y 0. Entonces:

|x + y| = x + y lxl + lyl (ya que x |x| e y |y|).

Supongamos ahora que x + y < 0. Entonces:

|x + y| = - (x + y) = (-x) + (-y) lxl + lyl , como se trataba de demostrar.

Esta demostracin se puede generalizar fcilmente para cualquier nmero de

sumandos.

Ejemplos:

|-2+3|

5

Las dos ltimas propiedades provienen directamente de la definicin. de valor

absoluto.

3. MAGNITUDES VARIABLES Y CONSTANTES

AI medir magnitudes de ciencias sociales, econmicas y administrativas: tiempo,

longitud, rea, volumen, masa, elasticidad, precio, costo, produccin, etc., se

obtienen sus valores numricos. Las matemticas tratan del estudio de las

magnitudes, haciendo abstraccin de su contenido concreto. Es por ello que, al

hablar de magnitudes, tendremos en cuenta, en lo sucesivo, sus valores numricos.

Hay fenmenos en que algunas magnitudes van cambiando, es decir, alteran su

valor numrico y otras lo mantienen constante. Por ejemplo, en la depreciacin de un

activo fijo varan el tiempo y el valor en libros, mientras que la depreciacin

permanece constante.

Constante. Es una cantidad que durante una anlisis o proceso tiene el mismo valor,

se clasifica en dos tipos:

Constante Absoluta. Es aquella que nunca cambia.

Constante Relativa o arbitraria. Es aquella que al cambiar de anlisis o

proceso puede cambiar de valor.

Cantidad

Variable. Es una cantidad que durante un anlisis o proceso puede tomar un nmero

ilimitado de valores.

Absoluta. (Abstracta) solo existe en la mente.

Escalar. Es el auxiliar para que la cantidad absoluta

se vuelva objetiva.

6

Variable Independiente. Es aquella que toma sus valores al azar. Tambin se llama

variable arbitraria.

Variable Dependiente. Es una cantidad cuyo valor depende de los valores que tome

la Variable Independiente.

Observacin. En matemticas, la constante se considera con frecuencia como un

caso particular de una magnitud variable cuyos valores numricos son todos iguales.

Conviene tener en cuenta que, en condiciones concretas, una misma magnitud

puede ser constante en un fenmeno y variable en otro. Por ejemplo, la velocidad en

el movimiento uniforme es una magnitud constante y en el movimiento

uniformemente acelerado, una magnitud variable.

Las magnitudes cuyo valor numrico permanece invariable en cualquier fenmeno se

denominan constantes absolutas. Por ejemplo, la razn de la longitud de la

circunferencia y su dimetro es una magnitud constante, llamada = 3.14159

Ms adelante veremos que el concepto de variable es fundamental en el clculo

diferencial e integral. Federico Engels escribe en Dialctica de la naturaleza: El

punto de viraje de las matemticas fue la magnitud variable de Descartes. Esto

introdujo en las matemticas el movimiento y, con l, la dialctica y tambin, por

tanto, y necesariamente, el clculo diferencial e integral.

4. CAMPO DE VARIACIN DE LA MAGNITUD VARIABLE

Una magnitud variable puede tomar diversos valores numricos. Segn el problema

que se considero, el conjunto de estos valores puede ser tambin diferente. Por

ejemplo, la temperatura del agua, al calentarla en condiciones normales, variar

desde 15 -18 C hasta el punto de ebullicin; es decir, hasta 100 C.

7

Figura 2.

La variable x = cos puede tomar todos los valores entre -1 y +1.

Los valores de una magnitud variable se representan geomtricamente por medio de

puntos en el eje numrico. Por ejemplo, los valores de la variable x = cos son

representados por un conjunto de puntos del segmento en el eje numrico, desde - 1

hasta + 1, incluyendo estos puntos, para todos los valores de (fig. 2).

Definicin. El conjunto de todos los valores numricos de la magnitud variable se

denomina campo de variacin de la variable.

Determinemos los siguientes campos de variacin de la variable que con frecuencia

aparecern ms adelante.

Recibe el nombre de intervalo el conjunto de todos los valores numricos de x

comprendidos entre dos nmeros dados a y b (a < b), a excepcin de los extremos,

es decir, a y b no entran en el conjunto analizado de nmeros. La notacin del

intervalo es: (a, b) o, mediante las desigualdades, a < x < b.

El conjunto de todos los valores numricos de x comprendidos entre los nmeros

dados a y b, incluidos estos, es decir, a y b que entran en el conjunto analizado se

llama segmento. La notacin del segmento es: [a, b] o, mediante las desigualdades,

a x b. A veces el segmento recibe el nombre de intervalo cerrado.

En el caso de que uno de los nmeros, a o b (a, por ejemplo), se una al intervalo, y el

otro no, se obtiene un Intervalo semicerrado, que puedo ser expresado por las

1 x

-1

8

desigualdades a x < b y cuya notacin es [a, b). Si se une al intervalo el nmero b,

excluyndose a, se obtiene el intervalo semicerrado (a, b], que puede expresarse por

medio de las desigualdades a < x b.

Si la variable x adquiere todos los valores posibles, mayores que a, el intervalo se

representa por (a, +) y se determina por las desigualdades convencionales a < x <

+

De esta misma manera se determinan los intervalos infinitos y los infinitos

semicerrados, que son dados por las desigualdades convencionales:

a x < +; - < x < c; - < x c; - < x < +.

Ejemplo: El campo do variacin de la variable x = cos , para cualesquiera valores

de , es un segmento [-1, 1] que se determina por las desigualdades -1 < X < 1.

Las definiciones arriba citadas pueden formularse tambin utilizando el concepto

punto en lugar del concepto nmero. Por ejemplo:

El conjunto de todos los puntos x comprendidos entre los puntos dados a y b

(extremos del segmento); cuando estos pertenecen al conjunto considerado, se llama

segmento.

X0 - X0 X0 +

0

Figura 3.

El intervalo arbitrario (a, b) que contiene un punto dado x0, es decir, el intervalo (a, b)

cuyos extremos satisfacen la condicin a < x < b, se denomina vecindad de esto

punto. Con frecuencia ocurre quo el intervalo (a, b) es considerado como vecindad

(a, b) del punto X0 en que X0, es el centro. En este caso, el punto x0 recibe el nombre

de centro de la vecindad; la magnitud

se denomina radio de la vecindad. La fig. 3

representa la vecindad (x0 - , x + ) del punto x0, cuyo rado es .

X

9

5. VARIABLE ORDENADA. VARIABLES CRECIENTES y DECRECIENTES.

VARIABLE ACOTADA

Por convencin, una variable x es ordenada, si se conoce su campo de variacin y

se puede precisar para cada par de sus valores, cul de ellos es anterior y cul

posterior. Aqu, los conceptos anterior y posterior no se hallan relacionados con

el tiempo, sirviendo slo como el mtodo de ordenacin de los valores de la variable,

es decir, el establecimiento de un cierto orden para los valores correspondientes de

esta variable.

La sucesin numrica x1, x2, x3, . . . xk . . ., puede considerarse como caso particular

de una variable ordenada, donde, siendo k' < k, el valor xk es anterior y el valor xk

posterior, sin dar importancia cul de estos dos valores sea mayor.

Definicin 1. La variable se denomina creciente, si su valor posterior es mayor que el

anterior. Por el contrario, si cada valor posterior es menor que l anterior, la variable

se denomina decreciente.

Las variables crecientes y decrecientes reciben el nombre de montonas.

Ejemplo: Al duplicar el nmero de lados de un polgono regular inscrito

en un crculo, el rea a de este polgono es una variable creciente. Si duplicamos el

nmero de lados de un polgono regular circunscrito alrededor de un crculo, su rea

a es una variable decreciente. Obsrvese que no toda variable ha de ser

forzosamente creciente o decreciente. Por ejemplo, la variable x = sen no es

montona, siendo una magnitud creciente en el segmento [0,2]. Esta crece, al

principio, de 0 a 1 y disminuye despus de 1 a -1, para luego crecer de nuevo de -1 a

0.

Definicin 2. La variable x se denomina magnitud acotada, si existe un nmero

constante M > 0 tal que, a partir de cierto valor, todos los postoriores satisfagan la

condicin. M x M, es decir, | x | M.

10

Es decir, una variable se llama acotada, si se puede indicar un segmento [-M,

M], tal que, a partir de cierto valor de la misma, todos sus valores posteriores

pertenezcan al segmento indicado. Sin embargo, no hay que pensar que la variable

tome necesariamente todos los valores del segmento [-M, M]. Por ejemplo, una

variable que toma diferentes valores racionales en el segmento [-2, 2], es acotada.

Sin embargo, sta no toma en este segmento valores irracionales.

6. FUNCIONES

En matemticas, una funcin se usa para representar la forma en que una cantidad

depende de otra.

Las funciones matemticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el

valor del consumo mensual de agua potable que depende del nmero de metros

cbicos consumidos al mes; el valor de un departamento que depende del nmero

de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende

de la hora del da; el costo de una llamada telefnica que depende de su duracin; la

estatura de un nio que depende de su edad.

Generalmente se hace uso de las funciones reales, (an cuando el ser humano no se

da cuenta), en el manejo de cifras numricas en correspondencia con otra, debido a

que se est usando subconjuntos de los nmeros reales. Las funciones son de

mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de

finanzas, de economa, de estadstica, de ingeniera, de medicina, de qumica y

fsica, de astronoma, de geologa, y de cualquier rea social donde haya que

relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un

conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos

para as saber cunto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir

esta correspondencia en una ecuacin de funcin "x" como el precio y la cantidad de

producto como "y".

11

Las funciones se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economa

(uso de la oferta y la demanda) los ecnomos se basan en la linealidad de esta

funcin y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones

fundamentales en cualquier anlisis econmico. Por ejemplo, si un consumidor

desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artculo est

disponible. Una relacin que especifique la cantidad de un artculo determinado que

los consumidores estn dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se

denomina ley de demanda.

Una funcin es una regla que toma ciertos nmeros como entradas y asigna a cada

uno un nmero definitivo de salida. El conjunto de todos los nmeros de entrada

recibe el nombre de dominio de la funcin, y el conjunto de los nmeros de salida

resultantes se denomina rango de la funcin.

La entrada se llama variable independiente y la salida, variable dependiente. Las

funciones pueden ser representadas por tablas, grficas, frmulas y enunciados.

El dominio es el conjunto de valores para los cuales una funcin existe. La

contraparte se llama contradominio o rango. Es el conjunto de valores que se obtienen a

partir del dominio de la funcin.

Dominio. Representa la variable independiente.

Contradominio. Representa a la variable dependiente cuando existen valores para los

cuales la funcin no existe se denomina a la funcin como discontnua.

NOTACIN DE FUNCIONES E INTERSECCIONES.

Se escribe y = f(x) para expresar el hecho de que y es una funcin de x. la variable

independiente es x, la variable dependiente es y y f es el nombre de la funcin. La

grfica de una funcin tiene una interseccin en el punto donde cruza el eje

horizontal llamada abscisa en el origen o vertical llamada ordenada en el origen.

12

Cules son las

intersecciones x?

Cul es la interseccin

y?

f(x) = x3 - x

Cules son las

intersecciones x?

Cul es la interseccin

y?

f(x)= (x - 3)(x - 1)(x + 1)

Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones:

13

12

.10

9.9

8.8

5.7

62.6

4

1.5

2

1.4

2

5.3

523.2

3.1

2

2

2

2

2

2

23

2

xx

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

xx

xxf

x

xxf

xxxxf

xxxf

EJERCICIOS DE FUNCIONES

En los problemas del 1 al 9, calcule los valores indicados de la funcin dada

3,2,1;2.9

2,0,2;4.8

13,5,1;12.7

8,1,0;1.6

4,0,2;42.5

1,0,2;1

.4

2,1,1;1

.3

1,0,1;12.2

2,0,1;253.1

23

23

2

2

3

2

fffxxxf

gggxxg

fffttf

fffxxf

ffftttf

fffx

xxf

gggx

xxg

hhhtth

fffxxxf

14

xhx

hxfhxfuedemostrarq

xxDadof

hxhhxxfhxf

uedemostrarqxxxDadof

fffffcalcularxxxf

ttttfff

fffxuefdemostrarqxxxxDadof

2

322

3

42

23

23

;1

.13

313

:,3.12

2,2,1,1,0;24.11

121121,157

320,05,122045.10

En los ejercicios del 1 al 9 determine:

3).

2).

)2

1().

1).

0).

fe

fd

fc

fb

fa

1. 1103 2 xxxf 2. 12

3

xxf 3. 216 xxf

4. x

xf

4

10 5.

103

102

xx

xf 6. xxx

x

6

10323

7. 27

33

x

x 8.

2

2

16

5

x

xxf

9.

xxx

x

6

423

2

10. Dada la funcin

23

1 xxf , hallar; a) f (0) b)f(-1) c)f(8)

11. Dada la funcin

15

16

220

4

x

x

xf , hallar; a) f (10) b) f (-2) c) f(3)

12. Dada la funcin

422 xxxf , hallar; a) f (2) b) f (0) c) f (-4)

13. Dada la funcin

xx

xxf

4

93

, hallar; a) f (0) b) f (3) c) f (18)

APLICACIONES

1. La funcin C(x) = 25x + 80 000 expresas el costo total C(x) (en dlares) de

fabricar x unidades de un producto. Si el nmero mximo de unidades que

pueden producirse es igual a 20000, establezca el dominio y rango restringidos

de esta funcin de costo.

2. La funcin q = f(p) = 250 000 25p es la funcin de demanda que expresa en

dlares la cantidad de la demanda de un producto q en funcin del precio

cobrado por el producto p. Determine el dominio y rangos restringidos de esta

funcin.

3. La funcin q = f(p) = 180 000 40p es la funcin de demanda que expresa en

dlares la cantidad de la demanda de un producto q en funcin de precio

cobrado por el producto p. Determine el dominio y rango restringidos de esta

funcin.

4. Una agencia de renta de automviles los alquila a razn de 10 dlares al da,

ms 0.20 dlares por milla recorrida. Si y es al costo en dlares de alquilar un

automvil por un da y si x indica el nmero de millas recorridas en un da,

a) Determine la funcin y = f(x) que expresa el costo diario de la renta de un

automvil.

b) Cul es f (250)? Qu representa f (250)?

16

c) Comente el dominio restringido de esta funcin.

5. Al fabricar un producto, una empresa incurre en costos de dos tipos. Tienes costos

fijos anuales por 200 000 dlares sin importar el nmero de unidades producidas.

Adems, cada unidad producida le cuesta $8. Si C es el costo anual total en

dlares y si x denota el nmero de unidades producidas durante un ao.

a) Determine la funcin C = f(x) que expresa el costo anual.

b) Qu es f (200 000)? Qu representa f (200 000)?

6. Suponga que es el costo total en dlares de la fabricacin de q unidades de un

cierto artculo viene dado por la funcin; 50040030 23 qqqqC

a) Calcule el costo de fabricacin de 20 unidades.

b) Calcule el costo de fabricacin de la vigsima unidad.

7. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fbrica indica que

un trabajador medio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habr ensamblado

xxxxf 156 23 radios x horas despus.

a. Cuntos radios habr ensamblado tal trabajador a las 10:00 a.m.?

b. Cuntos radios ensamblar tal trabajador entre las 9:00 y 10:00 a.m.?

8. Suponga que t horas despus de media noche, la temperatura en Miami era de

1042

1 2 tttC grados Celsius.

a. Cul era la temperatura a las 2:00 p.m.?

b. Cunto creci o decreci la temperatura entre las 6:00 y las 9:00 p.m.?

9. Se estima que dentro de t aos, la poblacin de una cierta comunidad suburbana

ser de 1

620

t

tP miles.

a. Cul ser la poblacin de la comunidad dentro de 9 aos?

b. Cunto crecer la poblacin durante el noveno ao?

c. Qu le suceder a largo plazo al tamao de la poblacin?

d. Cul es el dominio de la funcin?

e. Para qu valores de t tiene interpretacin prctica la funcin?

17

f. Qu significa 0P ?

10. Para estudiar el ritmo al que aprenden los animales, un grupo de estudiantes de

psicologa realizaron un experimento en el que una rata blanca era enviada

repetidamente a travs de un laberinto de laboratorio. Los estudiantes

encontraron que el tiempo requerido por la rata para atravesar el laberinto en la

n-sima prueba era aproximadamente de

n

nf12

3 Minutos.

a. Cul es el dominio de la funcin?

b. Para qu valores de n tiene significado la funcin en el contexto del

experimento?

c. Cunto tiempo se tomar la rata para atravesar el laberinto en la tercera

prueba?

d. En qu prueba atraves el laberinto la rata por primera vez en 4 minutos o

menos?

e. Podr la rata atravesar la rata alguna vez el laberinto en menos de tres

minutos?

11. La poblacin de una ciudad. P. en millones, es una funcin de t, el nmero de

aos desde 1950, as P = f (t). Explique el significado del enunciado f (35) = 12

en trminos de la poblacin de esta ciudad.

12. Qu grfica de la figura 1.4 se relaciona mejor con cada una de las siguientes

historias? Escriba una historia para la grfica restante.

a) Justo cuando sal de casa me di cuenta que haba olvidado mis libros, as

que regres para recogerlos.

b) Todo marchaba bien hasta que se desinfl una llanta.

c) Al principio iba calmado, pero despus apresur el paso cuando me di

cuenta que iba a llegar tarde.

18

13. El nmero de ventas por mes, S, es una funcin de la cantidad a, gastados en

publicidad ese mes, de modo que S = f(a).

a) Interprete el enunciado f (1,000) = 3.500.

b) Qu grfica de la figura 1.5 representa ms acertadamente esta funcin?

c) Qu representa la ordenada en el origen de la grfica de esta funcin, en

trminos de ventas y publicidad?

14. En las montaas de los Andes, en Per, el nmero, N, de especies de

murcilagos es una funcin de la altura, h, en pies sobre el nivel del mar, as N =

f (h).

a) Interprete el enunciado f (500) = 100 en trminos de especies de

murcilagos.

b) Cules son los significados de la ordenada en el origen, k, y la abscisa en el

origen, c. en la figura 1.6?

19

15. En un da fro se deja a la intemperie un objeto al tiempo t = 0. Su temperatura, H

= f (t) en C, est graficada en la figura 1.7.

a) Qu significa el enunciado f (30) = 10 en trminos de temperatura? Incluya

unidades para 30 y para 10 en su respuesta.

b) Explique qu representan la ordenada en el origen, a, y la abscisa en el

origen. b, en trminos de la temperatura del objeto y del tiempo de

exposicin.

16. La poblacin de Washington. D. C. creci de 1900 a 1950; permaneci

aproximadamente constante durante la dcada de 1950 y disminuy de 1960 al

2000. Trace una grfica de la poblacin como una funcin de los aos desde

1900.

17. Los inversionistas financieros saben que, en general, entre ms alta sea la tasa

de la ganancia esperada de una inversin ms alto ser el riesgo

correspondiente.

a) Trace la grfica de esta relacin mostrando la ganancia esperada como una

funcin del riesgo.

20

b) En la figura del inciso (a) seale el punto con la mayor ganancia esperada y el

menor riesgo. (Los inversionistas esperan encontrar ese tipo de

oportunidades.)

18. En los pantanos a la orilla de la costa de Nueva Inglaterra los caracoles comen

algas. Describa qu le indica la figura 1.8 respecto al efecto de los caracoles en

la diversidad de algas. La grfica apoya el enunciado referente a que la di-

versidad alcanza su punto mximo en niveles predatorios intermedios?

19. La concentracin de medicamento en el cuerpo de un paciente, despus de una

inyeccin, aumenta con rapidez hasta un mximo y luego disminuye lentamente.

Trace la grfica de la concentracin de medicamento en el cuerpo como una

funcin de tiempo, a partir de que fue aplicada la inyeccin. Suponga que el

paciente no tiene ningn medicamento en el cuerpo antes de la inyeccin.

Indique cul es la concentracin, mxima y el tiempo que toma alcanzar dicha

concentracin.

20. Se realiza un depsito en una cuenta que genera intereses. La figura 1.9 muestra

el saldo, B, en la cuenta t aos despus.

a) Cul fue el depsito original?

b) Calcule f (10) e interprtelo.

c) Cundo el saldo es de $5,000?

21

21. Se coloca una papa en un horno casero al tiempo t = 0.

a) Cul de las grficas de la figura 1.10 podra representar la temperatura de la

papa como funcin de tiempo?

b) Qu significa la ordenada en el origen de la grfica en trminos de la

temperatura de la papa?

22. La figura 1.11 muestra la cantidad de nicotina, N = f (t), en miligramos en el

torrente sanguneo de una persona como una funcin de tiempo, t. en horas,

desde que la persona termin de fumar un cigarrillo.

a) Calcule f(3) e interprtela en trminos de niveles de nicotina.

b) Aproximadamente, cuntas horas han transcurrido desde que el nivel de

nicotina baj a 0.1 miligramos?

c) Cul es la ordenada en el origen? Qu representa en trminos de nicotina?

d) Si esta funcin tuviera una abscisa en el origen, qu representara?

22

23. Para las funciones de los problemas 13 al 17 encuentre f(5).

24. Hizo calor toda la maana y de pronto enfri hacia el medio da; despus cay

una tormenta. Despus de la tormenta, nuevamente hizo calor antes de que

enfriara al oscurecer. Trace la grfica de la temperatura como funcin del tiempo.

25. Despus que se aplica cierto medicamento a un paciente que tiene un ritmo

cardiaco rpido, ste disminuye de modo considerable y luego sube lentamente a

medida que el medicamento es eliminado. Trace una posible grfica del ritmo

cardiaco respecto al tiempo a partir del momento en que se aplica el

medicamento.

26. El rendimiento de gasolina de un automvil (millas/galn) alcanza su punto

mximo cuando el automvil va a una velocidad de 45 millas/hora y es menor

cuando el automvil va ms rpido o ms despacio de 45 millas/hora. Trace la

grfica del rendimiento de gasolina como funcin de la velocidad del automvil.

23

27. Un tanque de gasolina a seis metros bajo tierra tiene una fuga. La gasolina se

escurre y contamina la tierra a su alrededor. Trace la grfica de la cantidad de

contaminacin como funcin de la profundidad (en metros) bajo el suelo.

28. Explique qu le indica la figura 1.13 respecto a una lnea de ensamble cuya

productividad se representa como funcin del nmero de trabajadores en la

lnea.

24

7. LA FUNCIN LINEAL

7.1 CONCEPTO DE LINEA RECTA. Llamamos lnea recta al lugar geomtrico de los

puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera 2211 ,, yxyyx del

lugar, el valor de la pendiente m resulta siempre constante.

7.2 PENDIENTE DE UNA RECTA. Se llama pendiente de una recta a la inclinacin

que tiene una recta, tambin se denomina como la tangente de su ngulo de

inclinacin.

La pendiente de una recta se designa comnmente por la letra m. por lo tanto

podemos escribir

tgm

Si 2211 ,, yxyyx son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente

de la recta es

12

12

xx

yym

FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE UNA RECTA. La forma general de la

lnea recta es

0 CByAx

Donde A y B deben ser diferente de cero y C puede ser o no igual a cero.

7.3 CASOS DE LA LNEA RECTA.

Punto-pendiente. La recta que pasa por el punto dado 11, yx y la pendiente m

tiene por ecuacin

11 xxmyy

25

Pendiente y ordenada en el origen. La recta cuya pendiente es m y cuya

ordenada en el origen es b tiene por ecuacin

bmxy

Una recta paralela al eje y no tiene ordenada en el origen. En este caso no se

puede utilizar la ecuacin anterior.

Forma cartesiana cuando se conocen dos puntos. La recta que pasa por los

puntos 2211 ,, yxyyx tiene por ecuacin

112

121 xx

xx

yyyy

o

11 xxmyy

Simtrica. La recta cuyas intercepciones con los eje X y Y tiene los valores a y b

respectivamente tiene por ecuacin

1b

y

a

x

Donde a es el punto donde la recta intercepta al eje X, y b del eje Y por lo tanto

.0.0 yba

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los problemas de 1 al 5 halle ( si es posible) la pendiente de la recta que pasa por

el par de puntos dados.

1. A(-2,3) y B(0,4)

2. A(-1,2) y B(2,5)

3. A(2,0) y B(0,2)

4. A(5,-1) y B(-2,-1)

5. A(2,6) y B(2,-4)

6. A(-4,7) y B(5,-2)

En los problemas del 7 al 17, halle la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) si

existen, de la recta dada y dibuje el grafico.

7. xy 3 8. 25 xy 9. 63 xy

26

10. 2 yx 11. 623 yx 12. 1242 yx

13. 435 xy 14. 624 yx 15. 152

yx

16. 2y 17. 3x 18. 0694 yx

En los problemas del 19 al 38, escriba la ecuacin para la recta con las propiedades

indicadas.

19. Pasando por A(2,0) con m = 1

20. Pasando por A(-1,2) con m = 2/3

21. Pasando por A(5,-2) con m =

22. Pasando por A(0,0) con m = 5

23. Pasando por A(2,5) y paralela al eje x

24. Pasando por A(2,5) y paralela al eje y

25. Pasando por A(1,0) y B(0,1)

26. Pasando por A(2,5) y B(1,-2)

27. Pasando por A(-2,3) y B(0,5)

28. Pasando por A(1,5) y B(3,5)

29. Pasando por A(1,5) y B(1,-4)

30. m = -3 y pasa por el punto A(2,-1)

31. Intercepta al eje X en 2 y al eje Y en -3

32. Intercepto con Y en 6 y m = -2

33. Pasan por el punto A(-3, 2) y m = 3/2

34. Paralela a la recta: 4x 3y + 20 = 0.

35. Perpendicular a la recta 4x 5y + 7 = 0.

36. Pasa por A(2,5) y B(-2,-1)

37. Pasa por el punto de interseccin de 6x 2y + 8 = 0 con 4x 6y + 3 =0, y

paralela a 5x + 2y + 6 = 0

38. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(-1,3) y que es

perpendicular a la recta 2x 3y + 7 = 0

27

7.4 APLICACIONES.

1. Arrendamiento de automviles. Una agencia de alquiler de automviles compra

nuevas unidades cada ao para rentarlas. Los automviles nuevos cuestan

$12,000. Se emplean 3 aos y luego se venden en $2 500. El dueo de la

agencia estima que los costos variables de operacin de los automviles, sin

contar la gasolina, son de $0.25 por milla. Los automviles se alquilan en $0.40

netos por milla (sin incluir la gasolina).

a) Formule la informacin de ingreso total relacionada con el alquiler de los

automviles por x millas durante un periodo de 3 aos.

b) Formule la funcin de costo total asociada al alquiler de un automvil por x

millas durante 3 aos.

c) Formule la funcin de utilidad.

d) Cul ser la utilidad si el automvil se renta por 60000 millas durante un

periodo de 3 aos.

e) Cuntas millas se requiere a fin de obtener una utilidad cero durante 3 aos.

2. Una compaa elabora un producto cuyo precio es de 25 dlares por unidad.

Cada unidad le cuesta $18 en gastos variables, y los costos fijos anuales son de

$250 000. Si x es el nmero de unidades producidas y vendidas durante el ao,

a) Formule la funcin lineal del costo total.

b) Formule la funcin lineal del ingreso total.

c) Formule la funcin lineal de utilidad.

d) Cul ser la utilidad anual si se producen y venden 100 000 unidades

durante el ao?

e) Qu nivel de produccin se necesita a fin de obtener una utilidad cero?

3. Una gasolinera vende gasolinas regular sin plomo y de primera calidad sin

plomo. El precio por galn es de $0.899 para la gasolina regular sin plomo y de

$0.999 para la de primera calidad sin plomo. El costo por galn que cobra el

proveedor es de $0.829 y $0.939, respectivamente. Si x1 es el numero de

28

galones vendidos de gasolina regular y x2 la cantidad de galones de la gasolina

de primera calidad.

a) Formule la funcin de ingresos obtenidos con la venta de galones x1 y x2,

respectivamente, de los dos grados de gasolina.

b) Formule la funcin del costo total de la compra de galones x1 y x2,

respectivamente, de los dos grados.

c) Formule la funcin de utilidad total.

d) Cul es la utilidad total esperada si la estacin vende 100,000 galones de

gasolina regular sin plomo y 40 000 de gasolina de primera calidad sin plomo?

4. Una maquina se compra en 60 000 dlares. Los contadores han decidido

servirse de un mtodo de depreciacin en lnea recta, y la maquina se deprecia

completamente al cabo de 8 aos. Indicando que V el valor de la maquina en

libros y con t su edad, determine la funcin V = f (t). (Suponga que no hay valor

de reventa o salvamento.)

5. En el ejercicio anterior suponga que la maquina tendr un valor de reventa de

$10 000 al cabo de 8 aos. Determine la funcin V = f(t) para la situacin.

6. Una maquina se compra en 400 000 dlares. Los contadores han decidido

valerse del mtodo de descripcin en lnea recta, y la maquina se deprecia

totalmente despus de 10 aos. Denotando con V el valor de la maquina en

libros y con t su edad, determine la funcin V = f(t). Suponga que no hay valor de

reventa.

7. Una compaa adquiere automviles para sus ejecutivos. En el presente ao el

costo de compra es de 15 000 dlares. Las unidades se conservan 3 aos, una

vez transcurridos los cuales se espera que su valor de reventa sea de $3600. Si

los contadores aplican la depreciacin en lnea recta, determine la funcin que

describa el valor en libros de V en funcin de la edad del automvil t.

8. Un departamento de polica piensa que las tasas de arrestos R son una funcin

del nmero de oficiales vestidos de civil n que son asignados a la vigilancia. La

tasa de arrestos se define como el porcentaje de casos en el que se han hecho

arrestos. Se cree que la relacin es lineal y que, con cada oficial mas que se

29

asigne a la fuerza policial vestida de civil, aumenta la tasa de arrestos en 0.90%.

Si la fuerza actual consta de 20 oficiales y la tasa de arrestos es de 32%,

a) Defina la funcin R = f(n).

b) Interprete el significado de la interseccin con el eje y.

9. Dos puntos sobre una funcin lineal de demanda son A($20, 60 000) y B($30,

47 500).

a) Determine la funcin de demanda q = f (p).

b) Determine que precio originara una demanda de 65 000 unidades.

c) Interprete la pendiente de la funcin.

10. Dos puntos con valores (q,p) sobre la funcin lineal de la demanda son A($25,

50 000) y B($35, 42 500).

a) Determine la funcin de la demanda q = f(p).

b) Qu precio dar por resultado una demanda de 60 000 unidades?

c) Interprete la pendiente de la funcin.

d) Trace la funcin.

11. Dos puntos sobre la funcin lineal de oferta son A($6.00, 28 000) y B($7.50,

37 000).

a) Determine la funcin de oferta q = f (p).

b) Qu precio har que lo proveedores ofrezcan 45 000 unidades?

12. Dos puntos (p,q) sobre la funcin lineal de oferta son A($5.50, 45 000) y B($7.50,

75 000).

a) Determine la funcin de oferta q = f (p).

b) Qu precio har que los proveedores ofrezca 135 000 unidades a la venta?

c) Interprete la pendiente de la funcin.

d) Interprete la interseccin con el eje x.

e) Tace la funcin.

30

13. Control de armas de fuego Los ndices (tasas) de criminalidad han ido en

aumento, por lo cual tambin el nmero de pistolas en circulacin parece estar

creciendo. Segn una encuesta de 10 aos aplicada a los habitantes de Estados

Unidos, se observa un extraordinario incremento lineal en la cantidad de pistolas

con el tiempo. En 1970el numero de estimado de ellas era de 450 000; en 1980

fue de 580 000. Sea n el numero de pistolas que poseen los residentes de la

ciudad y sea t el tiempo medido en aos desde 1970 (t = 0 para 1970).

a) Por medio de dos puntos de datos, determine la funcin lineal n = f (t).

b) Interprete el significado de la pendiente.

c) Si el numero de pistolas sigue aumentando al mismo ritmo, cuando ser

mayor que 750 000?

14. Asistencia a los espectculos deportivos Antes de la huelga de 1981, el bisbol

de grandes ligas era uno de los principales deportes en Estados Unidos en

cuanto al nmero de espectadores. La asistencia en 1978 fue de 54 881 009

afinados frente a 53 004 141 en 1977. si la asistencia ha ido creciendo de modo

lineal a partir de 1975,

a) Determine la funcin y = f (t), donde y es la asistencia anual y t es el tiempo

medido en aos (t = 0 para 1975).

b) Estime la asistencia en 1975.

c) Suponiendo que la huelga no haya tenido un efecto negativo, Cul ser en

1990?

d) Comente los factores que podran influir en el lmite superior del rango de esta

funcin con el transcurso del tiempo.

15. Drogadiccin. El departamento de Salud de un estado de la Unin Americana

estima que el nmero de los que usan cocana en el ha ido aumentando en una

proporcin lineal. El nmero estimado de drogadictos en 1980 fue de 950 000 y

en 1985 fue de 1 025 000.

31

a) Determine la funcin n = f(t), donde n representa el nmero de usuarios y t es

el tempo medido en aos (t = 0 para 1980), empleando los dos puntos de

datos.

b) Interprete el significado de la pendiente.

c) Si el nmero de drogadictos sigue creciendo de acuerdo con esta funcin,

Cundo llegara a 1 250 000?

16. Pensin alimenticia/ mantenimiento de los hijos Las encuestas recientes indican

que el pago de pensin alimenticia o del mantenimiento de los hijos tiende a

disminuir con el tiempo transcurrido despus del divorcio. Una encuesta aplica la

funcin P = f (t) = 92 8.5 t, donde p indica el porcentaje de casos en que los

pagos se realizan y t es el tiempo medido en aos despus de la sentencia de

divorcio.

a) Interprete la interseccin con el eje p.

b) Interprete la pendiente.

c) En que porcentaje de casos se sigue pagando la pensin alimenticia o el

mantenimiento de los hijos despus de 5 aos?

17. Lesiones en los deportes Segn una encuesta aplicada a jugadores de ftbol

americano colegial en Estados Unidos esta aumentado el nmero de lesionados

que ponen fin a la carrera de estas deportista. En 1978 el nmero de esas

lesiones fue de 1025; en 1985 fue de 1235. Si se supone que las lesiones estn

aumentando en una tasa lineal,

a) Determine la funcin n = f (t), donde n representa el numero de lesiones por

ao y t indica el tiempo medido en aos desde 1978.

b) Interprete el significado de la pendiente de esta funcin.

c) Cundo se espera que el nmero de tales lesiones rebasa la marca de

2000?

18. El nmero de pasajeros de una pequea aerolnea regional ha ido disminuyendo

en la tasa lineal. En 1981 fue de 245 000 y en 1986 fue de 215 000. Si n es el

32

nmero de pasajeros que viajan en ella por ao y t indica el tiempo medido en

aos (t = 0 para 1981),

a) Determine la funcin lineal n = f(t).

b) Interprete el significado de la pendiente.

c) Cul es el nmero de pasajeros que se espera tener en el ao 2000?

d) Se estima que la aerolnea quebrara si el nmero de pasajeros desciende a

menos de 180 000. de acuerdo con la funcin de la parte (a), Cundo

ocurrir eso?

7.5 Familias de funciones lineales

Se dice que las frmulas como f(x) = b + mx, en las que las constantes m y b pueden

tomar diversos valores, definen una familia de funciones. Todas las funciones en una

familia comparten ciertas propiedades (en este caso las grficas son rectas.) Las

constantes m y b reciben el nombre de parmetros. Las figuras 1.18 y 1.19 muestran

grficas con diversos valores de m y b. Observe que cuanto mayor es la magnitud de

m la pendiente es ms escarpada.

Problemas para la seccin

Para los problemas 1 al 4 determine la pendiente y la interseccin con el eje y de la

recta cuya ecuacin se presenta.

33

Para los problemas del 5 al 8 encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los

puntos dados.

9. Enlace las grficas de la figura 1.20 con las siguientes ecuaciones. (Observe que

las escalas de x y y pueden ser diferentes).

10. La figura 1.21 muestra cuatro lneas rectas dadas por la ecuacin y = b + mx.

Enlace las rectas con las condiciones de los parmetros m y b.

34

11. (a) Cules son las dos rectas de la figura 1.22 que tienen la misma pendiente?

De estas dos rectas. Cul tiene la mayor ordenada en el origen?

(b) Cules son las dos lneas rectas que tienen la misma interseccin con el eje

y? De estas dos rectas, cul tiene la pendiente ms escarpada

12. Una empresa de telefona celular cobra una tarifa mensual de $25 ms $0.05 por

minuto. Encuentre una frmula para el cobro mensual. C. en dlares, como una

funcin del nmero de minutos, m. en los que el telfono es usado durante el

mes.

13. La poblacin de una ciudad era de 30.700 en el ao 2000 y est creciendo en

850 personas por ao.

a) D una frmula para la poblacin de la ciudad, P. como funcin del nmero de

aos, t, desde el 2000.

b) Qu poblacin predice la frmula que habr en el 2010?

c) Cundo alcanzar la poblacin los 45,000 habitantes?

14. Una empresa ofrece autos en renta a $40 el da y 15 centavos por milla. Los

autos de una empresa competidora se rentan en $50 por da y 10 centavos por

milla.

a) Para cada compaa, escriba una frmula que d el costo de rentar un auto

por un da como funcin de la distancia recorrida.

b) En un mismo sistema de coordenadas, trace las grficas de ambas funciones.

c) Cmo puede usted decidir cul empresa es ms barata?

15. Cules de las siguientes tablas podran representar funciones lineales?

35

16. Encuentre una frmula para cada tabla del problema 15 que pueda representar

una funcin lineal.

17. Encuentre la ecuacin lineal usada para generar los valores de la tabla 1.3.

18. La estructura de precios de una empresa que se muestra en la tabla 1.4 est

diseada para cubrir pedidos grandes. (Un monto por mayoreo abarca 12

docenas.) Encuentre una frmula para:

a) q como funcin lineal de p.

b) p como funcin lineal de q.

19. La produccin mundial de leche aument a una tasa constante entre 1960 y

1990. Vase la figura 1.23.

a) Calcule la interseccin con el eje vertical e interprtele en trminos de la

produccin de leche.

b) Calcule la pendiente e interprtela en trminos de la produccin de leche.

c) D una frmula aproximada para la produccin de leche, M. como funcin de

t.

36

20. La figura 1.24 muestra la distancia en millas que recorre desde su casa una

persona que realiza un viaje de cinco horas.

a) Calcule la ordenada en el origen. D las unidades e interprtalas en trminos

de la distancia desde la casa.

b) Calcule la pendiente de esta funcin lineal. D las unidades e interprtelas en

trminos de la distancia desde la casa.

c) D una frmula para la distancia. D. desde la casa como una funcin del

tiempo, t, en horas.

21. Los valores de la reserva de oro canadiense, Q, en millones de onzas troy, estn

en la tabla 1.5. Encuentre una frmula para la reserva de oro como funcin lineal

de tiempo desde 1986

22. La tabla 1.6 indica el peso promedio, w, en libras, de los varones

estadounidenses de 60 aos para diversas alturas. h, en pulgadas.

37

a) Cmo saber si los datos de esta tabla podran representar una funcin

lineal?

b) Encuentre el peso, w, como funcin lineal de la altura, h. Cul es la

pendiente de la recta? Cules son las unidades de la pendiente?

c) Encuentre la altura, h, como funcin lineal del peso, w. Cul es la pendiente

de la recta? Cules son las unidades de la pendiente?

23. Los equipos de bsqueda y rescate trabajan para encontrar excursionistas

perdidos. Los miembros del equipo de bsqueda se separan y caminan

paralelamente uno del otro en el rea que deben examinar. La tabla 1.7 muestra

el porcentaje, P, de las prdidas que fueron encontradas a diferentes distancias

de separacin, d. de los buscadores.

a) Explique cmo puede saber que el porcentaje de personas encontradas. P.

podra ser una funcin lineal de la distancia de separacin, d.

b) Represente P como funcin lineal de d.

c) Cul es la pendiente de la funcin? D las unidades e interprete la

respuesta.

d) Cules son las ordenadas en el origen y las abscisas en el origen de la

funcin? D las unidades e intrprete las respuestas.

24. La cuota mensual de un servicio de recoleccin de basura es de $32 por 100 kg

de desechos, y de $48 por 180 kg de desechos.

a) Encuentre una frmula lineal para el costo, C, de basura recolectada como

funcin del nmero de kilogramos de desechos, w.

38

b) Cul es la pendiente de la recta calculada en el inciso (a)? D las unidades e

intrprete su respuesta en trminos del costo de recoleccin de basura.

c) Cul es la ordenada en el origen de la recta determinada en el inciso (a)? D

las unidades con su respuesta e interprtelas en trminos del costo de

recoleccin de basura.