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7/23/2019 apuntes-de-apoyo-de-las-desigualdades.rtf
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A).- Resolucin dedesigualdades
Definicin: Una desigualdad es un enunciado o ecuacin en el que dosexpresiones no son iguales, tambin son parecidas a las ecuaciones solo que en
lugar de tener un signo de igual hay unos smbolos que son:, , . n unade!inicin decimos que:
"uponemos que # y $ pertenecen a los reales donde cumplen con lascondiciones siguientes:
X es mayor que Y
X es menor que Y
%esigualdades& %esigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnita
'a expresin , quiere decir que (a( no es igual a (b(. "eg)n los
*alores particulares de (a( y de (b(, puede tenerse , que se lee (a( mayor
que (b(, cuando la di!erencia es positi*a y ,que se lee (a( menor que
(b(, cuando la di!erencia es negati*a. %esigualdad (es la expresin de
dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra(. 'o mismo que
en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que est+n a la iquierda
del signo mayor o menor, !orman el primer miembro de la desigualdad,y los
trminos de la derecha, !orman el segundo miembro. %e la de!inicin de
desigualdad, lo mismo que de la escala de los n)meros algebraicos, se deducen
algunas consecuencias, a saber:-. /odo n)mero positi*o es mayor quecero.
Ejemplo:
,porque 0 -01 0 2. /odo n)mero negati*o es menor que cero
Ejemplo:
,porque -3 -01 -3 4. "i dos n)meros son negati*os, es mayor el quetiene menor *alor absoluto5
Ejemplo:
,porque --0-6-478 1 --09401 20
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Sentido de una desigualdad
'os signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las
desigualdades, seg)n que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo&
"e dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se
con*ierte en menor o*ice*ersa.
Resolucin de Desigualdades
lgunos problemas matem+ticos se plantean como desigualdades en lugar de
ecuaciones& 'as desigualdades se resuel*en de manera similar a una ecuacin&
;ara resol*er una desigualdad debemos determinar los *alores que satis!acen a
la desigualdad.
Desigualdades asolutas ycondicionales.
s como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades
condicionales, que son las ecuaciones5 as tambin hay dos clases de
desigualdades: las absolutas y las condicionales&
Desigualdad asoluta es aquella que se *eri!ica para cualquier *alor que seatribuya a las literales que !iguran en ella
emplo: a294>a
Desigualdad condicional es aquella que slo se *eri!ica para ciertos *alores delas literales:
emplo:
de x.que solamente satis!ace para x > =.n tal caso se dice que = es el lmite
'as desigualdades condicionales se llaman inecuaciones&
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!ropiedades:
". #na desigualdad no camia de sentido cuando se a$ade o se restaun mismo n%mero a cada miemro!ecti*amente si en la desigualdad se designa por (c( lo que !alta a (b(
para ser igual a (a(,se tiene:
adiendo un mismo n)mero, positi*o o negati*o a los miembros, sepuede escribir:
"uprimiendo (c( en el segundo miembro,resulta e*identemente
Ejemplos&) &&)
'. #na desigualdad no camia de sentido cuando se multiplican sus dosmiemros por un mismo factor positi(o, o se di(iden entre un mismodi(isor tami*n positi(o."ea la desigualdad , es decir ,
?ultiplicando ambos miembros de la desigualdad por un n)mero positi*o (m(,resulta:
"uprimiendo el trmino positi*o (cm(, en el segundo miembro disminuye, yse tiene:
"i (m( es recproco de un n)mero positi*o,queda e*idenciada la segunda partede esta propiedad.
Ejemplos&) &&)
+. #na desigualdad camia de sentido cuando se multiplican sus dosmiemros por un mismo factor negati(o o se di(iden entre un mismodi(isor,tami*n negati(o."ea la desigualdad , es decir ,
?ultiplicando ambos miembros de la desigualdad por el !actor negati*o -nse obtiene:
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"uprimiendo -cn,en el segundo miembro aumenta5 por tanto,
"i -n es recproca de un n)mero negati*o,queda demostrada la segunda partedel enunciado.
Ejemplos&) &&)
,. Si los dos miemros de una desigualdad son positi(os y se ele(an ala misma potencia,la desigualdad no camia de sentido."ea la desigualdad ,en la que (a( y (b( son positi*os.?ultiplicando susdos miembros por (b(,resulta:
n el primer de esta desigualdad, sustituyendo (b( por (a(, la desigualdadse re!uera5 por tanto:
Ejemplos&) &&)
-.Si los dos miemros de una desigualdad son negati(os y se ele(an a una
potencia de grado impar,no camia el sentido de la desigualdad pero /aycamio de sentido si el grado de la potencia es par."ea la desigualdad -a < -b a8 ?ultiplicando sus dos miembros por b2 seobtiene:
n el primer miembro,reemplaando b2 por a2,la desigualdad se re!uera5 luegose puede escribir:
b8 ?ultiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendoan+logas trans!ormaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sustrminos cambian de signo,y se tiene:
Ejemplos&) &&)
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0.Si se suman miemro a miemro (arias desigualdades de mismosentido resulta una desigualdad de mismo sentido que aqu*llas.
"ean las desigualdades "e puede escribir:
"umando miembro a miembro y suprimiendo ,se tiene,sucesi*amente:
&)%ado y
Ejemplos&&)%ado y
1.Si se restan miemro a miemro dos desigualdades de sentidocontrario resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo."ean las desigualdades y @n*irtiendo la segunda desigualdady sum+ndola a la primera se tiene
Aestando d 9 c de cada miembro,resulta:
Ejemplo%ado y
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&nter(alo: aiertos,cerrados y cominados
Definicin: "e llama inter*alo al conunto de n)meros reales comprendidos entre otros dosdados: a y b que se llaman extremos del inter*alo.
Intervalo abierto:&nter(alo aierto,2a,),es el conjunto de todos los n%meros reales mayoresque a y menores que .2a,) 3 {4 5 a 6 4 6 }
Intervalo cerrado:
&nter(alo cerrado,7a,8,es el conjunto de todos los n%meros reales mayoreso iguales que a y menores o iguales que .
7a,8 3 {4 5 a 9 4 9 }
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Este suplemento tiene el proposito de mostrar como resolver desigualdades que contienen una ex-
presion cuadr atica o una expresion racional. Los metodos que presentaremos difieren de los
desa- rrollados para resolver desigualdades lineales y desigualdades con valor absoluto. Como parte
delproceso de resolver la desigualdad cuadratica la rearreglaremos para que un lado sea igual a
cero. Luego factorizaremos la expresion cuadr aticaque se obtiene.
Eemplo !. "esuelva la desigualdad x# $ x # % &.
'(L)C*( +. Comenzamos factorizando la expresion cuadratica pues uno de los lados es igual a
cero.
x# $ x # % &
,x $ #,x ! % &
/ora resolvemos la ecuacion ,x $ #,x ! 0 &. 1enemos que
x $ # 0 & o x ! 0 &.
(btenemos que x 0 # o x 0 !. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos2 , 3 #3
,#3 !3 ,!3 . 'abemos que x 0 # y en x 0 ! satisfacen la ecuacionx# $ x # 0 &. 4eseamos
determinar el signo de la espresion x# $ x # en los intervalos , 3 #3 ,#3 !3 ,!3 . 5ara
esto determinamos el signo de cada uno de los factores usando un valor de x en cada uno de los
intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. 5or eemplo3 para determinar el
signo del factor x
# en el intervalo ,
3
# escogemos un valor de x que este en este intervalo3digamos x 0 y lo subustituimos en x #. (btenemos x # 0 # 0 . Luego x # es
negativo en el intervalo , 3 #. 5or otro lado x ! 0 6 ! 0 8 por lo que x ! es negativo
en el intervalo , 3 #. "epetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. Construimos
una tabla3 llamada una tabla de signos3 para organizar la informacion obtenida2
*ntervalos , 3 # ,#3 ! ,!3
'igno de x $ #
'igno de x
!
$
$
$
'igno de ,x $ #,x ! $ $
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El signo de ,x $ #,x ! se obtiene multiplicando el signo de x # con el signo de x $ !. +os
interesa saber donde ,x $ #,x ! % &3 es decir donde ,x $ #,x ! es positiva. Esto ocurre en
, 3 # o en ,!3.
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Eemplo #. "esuelva la desigualdad x# 8x $ !#.
'(L)C*( +. 5rimero despeemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresion resultante2
x# 8x $ !#
x#8x !# & ,x $ #,x 6 &.
"esolvemos la ecuacion ,x $ #,x 6 0 &. (btenemos que x $ # 0 & o x 6 0 &. Luego x 0 # o
x 0 6. /ora construimos una tabla de signos.
*ntervalos , 3 # ,#3 6 ,63
'igno de x $ #
'igno de x 6
$
$
$
'igno de ,x $ #,x 6 $ $
:uscamos todos los valores de x tales que ,x $ #,x 6 &. ,x $ #,x 6 es menor que cero en
el intervalo ,#3 6 e igual a cero en x 0 # y en x 0 6. Luego la solucion de la desigualdad es el
intervalo ;#3 6
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*ntervalos , 3 & ,&3 ,3
'igno de x
'igno de x 6
$
$
$
'igno de x,x $ $
:uscamos todos los valores de x tales que x,x = &. Esto ocurre en ,&3 .
Eemplo 8. "esuelva la desigualdad 8x# $ 9x 7.
'(L)C*( +. 5rimero despeemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresion resultante2
8x#$ 9x 7
8x#$ 9x & ,#x $ ,#x ! &.
"esolvemos la ecuacion,#x $,#x ! 0 &. (btenemos que #x$ 0 & o #x! 0 &. Luego x 0
7
o x 0!
. /ora construimos una tabla de signos.
# # # #
:uscamos todos los valores de x tales que ,#x $ ,#x ! &. ,#x $ ,#x ! es mayor que cero
en el intervalo , 3 e igual a cero en x 0
!y en x 0
. Luego la solucionde la
desigualdad# # #es 3 ! 3
.
# #
/ora nos concentraremos en desigualdades racionales.
x $ !Eemplo . "esuelva la desigualdad
x !% &.
*ntervalos , 3 , 3 ! ,! ,
'igno de #x $
'igno de #x !
$
$
$
'igno de ,#x $ ,#x ! $ $
#
#
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'(L)C*( +. 5rimero determinemos donde el numerador es cero.
x $ ! 0 &
x 0 !
'egundo3 determinemos donde el denominador es cero.
x ! 0 &
x 0 !
)tilizando estos numeros dividimos la recta real en tres intervalos2
, 3 !3 ,!3 !3 ,!3.
/ora construimos una tabla de signos.
x !
:uscamos todos los valores de x tales que x$! % &. Luego la solucion de la desigualdad es , 3 !x>!
o ,!3
.
Eemplo 6. "esuelva la desigualdadx
x $ !
&.
'(L)C*( +. 5rimero determinemos donde el numerador es cero.
x 0 &
x 0 6
'egundo3 determinemos donde el denominador es cero.
x $ ! 0 &
x 0 !
*ntervalos , 3 ! ,!3 ! ,!3
'igno de x $ !
'igno de x !
$
$
$
x $ !'igno de $ $
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)tilizando estos numeros dividimos la recta real en tres intervalos2
, 3 !3 ,!3 3 ,3.
/ora construimos una tabla de signos.
'igno de
:uscamos todos los valores de x tales que x> &. 4ebido a que la desigualdad envuelve una
expresion racional debemos ser cuidadosos al determinar la solucion. La expresionx>6 es menor que
cero en el intervalo ,!3 . ?eamos si en alguno de los extremos es cero. En x 0 tenemos
x 0
0
&0 &x $ ! $ ! 8
Luego incluimos x 0 8 en la solucion. /ora revisemos si en x 0 ! la expresion x> es cero.
x 0
! 0
8
x $ ! ! $ ! &
1enemos una division por cero. Luego en x 0 ! la expresion x> no esta definida por lo que no
puede ser cero. Concluimos que la solucion de la desigualdad x>6 & es el intervalo ,!3
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/ora determinemos donde el denominador es cero.
x 0 &
x 0 7
)tilizando estos numeros dividimos la recta real en tres intervalos2
, 3 !@#3,!@#33 ,3.
/ora construimos la tabla de signos.
# #
'igno de x
#x !:uscamos todos los valores de x tales que &. Como en el eemplo anterior3 debemos ser
x 7
cuidadosos al determinar la solucion. 5rimero la expresion
#x !es mayor que cero en los inter-
x 7valos , 3 ! y ,3 . ?eamos si en alguno de los extremos es cero. En x 0 !
tenemos
# #
#x ! #,!
! ! ! &0 # 0 0 0 &x 7
# A A
#
#
Luego incluimos x 0 !#x ! en la solucion. /ora revisemos si en x 0 la expresion x 7
#x !0
#, !0
A
es cero.
x 7 ! &
#x !1enemos una division por cero. Luego en x 0 la expresi on
puede ser cero. Concluimos que la solucion de la desigualdad
x #x !
x
no esta definida por lo que no
& es , 3 ! < o ,3.
+(12 Los valores de la variable que /acen que el denominador de la expresion racional sea cero
+)+C se incluyen en la solucion.
*ntervalos , 3! ,! ,7 ,3
'igno de #x !
'igno de x
$
$
$
#x !$ $
!
#
#
-
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EBE"C*C*('2"esuelva la desigualdad ,solo los problemas con numeracion impar.
!. ,x $ #,x = &
#. x# % !6
. x# A = &
8. x,x $ ! % &
. x# % 8x
6. x# $ #x $ ! % &
7. x# x 6 &
9. x#
= !&
x
A. x# #x
!&. x# =
!!. 6x 9 %
x#
!#. 6x# $ x !# = &
!. x,x !
8
!8. #x# A
&
!. #x# = x $
6
'(L)C*(+E'
!. ,#3 7
. ,3
. , 3 & o ,83
7. ;#3