Apuntes de Ecuaciones diferencialesRicardoFaro29demarzode2008IndicegeneralI Ecuacionesdiferencialesordinarias XV1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial 11.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El haz de funciones diferenciables. . . . . . . . . . . . . . 61.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . 121.4. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2. Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . . . . 221.4.3. Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . . . . 231.5. Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . . . . 241.5.1. Interpretacion geometrica de la diferencial. . . . . 261.5.2. Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6. Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.1. Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7. Sistemas de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.1. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 361.8.2. Ecuaciones diferenciales no autonomas. . . . . . . 371.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . 381.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 391.9.1. Desintegracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9.2. Reproduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9.3. Ley de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.4. El pendulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. TeoremasfundamentalesdeEcuacionesdiferenciales 532.1. Grupo uniparametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2. Existencia de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57iIIINDICEGENERAL2.3. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4. Unicidad de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5. Grupo Uniparametrico de un campo . . . . . . . . . . . . 662.6. Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . . . 712.7. Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 732.7.1. Clasicacion local de campos no singulares. . . . . 782.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.9. Corchete de Lie de campos tangentes. . . . . . . . . . . . 842.10. Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 862.11. Metodo de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . . . . . 903. Campostensorialesenunespaciovectorial 1073.1. Tensores en un mdulo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2. Campos tensoriales en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.3. Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 1123.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.6. El Lema de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6.1. Aplicacion en Ecuaciones diferenciales.. . . . . . . 1303.6.2. Factores de integracion. . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7. Apendice. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . 1333.7.1. Tensormetricoytensordevolumendel espacioeucldeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.7.2. Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 1343.7.3. Interpretacion geometrica del rotacional. . . . . . . 1373.7.4. Tensores de torsion y de curvatura. . . . . . . . . . 1383.7.5. El tensor de una variedad Riemanniana. . . . . . . 1393.7.6. El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.7.7. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.7.8. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1464. Campostangenteslineales 1554.1. Ecuaciones diferenciales lineales. . . . . . . . . . . . . . . 1554.2. Existencia y unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . 1594.3. Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.3.1. El sistema homogeneo.. . . . . . . . . . . . . . . . 1644.3.2. El sistema no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . 1694.4. Reduccion de una EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.5. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.6. EDL con coecientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 175INDICEGENERAL III4.7. Clasicacion de campos lineales. . . . . . . . . . . . . . . 1794.8. EDL con coecientes periodicos . . . . . . . . . . . . . . . 1814.9. EDL de orden n con coecientes constantes . . . . . . . . 1834.9.1. Caso homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.9.2. Caso no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.10. EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.10.1. Ecuacion de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.11. EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.11.1. Ecuacion de Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.12. Otros metodos para resolver EDL . . . . . . . . . . . . . . 1954.12.1. Metodo de las potencias. . . . . . . . . . . . . . . . 1954.12.2. Metodo de Frobenius de las potencias. . . . . . . . 1964.12.3. Metodo de la transformada de Laplace. . . . . . . 1974.13. La Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.14. Algunas EDL de la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.14.1. Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.14.2. Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.14.3. Problemas de circuitos electricos. . . . . . . . . . . 2124.14.4. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145. Estabilidad 2255.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.2. Linealizacion en un punto singular . . . . . . . . . . . . . 2265.3. Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 2285.4. Funciones de Liapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.5.1. Sistemas tipo depredadorpresa. . . . . . . . . . 2395.5.2. Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 2425.5.3. Aplicacion en Mecanica clasica. . . . . . . . . . . . 2425.6. Clasicacion topol. de las ED lineales . . . . . . . . . . . 2455.7. Teorema de resonancia de Poincare. . . . . . . . . . . . . 2515.8. Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2565.9. La aplicacion de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.10. Estabilidad de orbitas cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 2645.11. El Teorema de PoincareBendixson. . . . . . . . . . . . . 2685.12. Estabilidad de orbitas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 273IVINDICEGENERALII Ecuacionesenderivadasparciales 2836. SistemasdePfa 2856.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.2. Sistemas de Pfa y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 2896.2.1. Sistemas de Pfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2896.2.2. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2906.3. El sistema caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2936.4. El Teorema de la Proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . 2976.4.1. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 2986.5. El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3056.5.1. Metodo de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136.5.2. 1formas homogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3156.6. Aplicaci on: Clasicacion de unoformas . . . . . . . . . . 3166.7. Aplicaci on: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 3246.7.1. El brado tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3246.7.2. Variedad con conexion. Distribucion asociada. . . . 3256.8. Aplicaci on: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3306.9. Apendice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . 3386.9.1. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 3406.9.2. Variedades integrales maximas . . . . . . . . . . . 3416.9.3. Otra demostracion del Teorema de Frobenius . . . 3457. Ecuacionesenderivadasparcialesdeprimerorden 3557.1. Denicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3557.2. El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3577.3. EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3617.3.1. Ejemplo: Traco en una autopista. . . . . . . . . . 3627.3.2. Ejemplo: Central telefonica. . . . . . . . . . . . . . 3637.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 3657.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 3667.4. Sistema de Pfa asociado a una EDP . . . . . . . . . . . . 3687.4.1. Campo caracterstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 3687.5. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 3727.5.1. Dimension de una subvariedad solucion. . . . . . . 3727.5.2. Existencia de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.5.3. El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 3777.6. Metodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . . . . 3807.6.1. Metodo de las caractersticas de Cauchy. . . . . . 3807.6.2. Metodo de la Proyeccion. Integral completa . . . . 381INDICEGENERAL V7.6.3. Metodo de LagrangeCharpit. . . . . . . . . . . . . 3847.7. Metodo de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3857.7.1. Envolvente de una familia de supercies. . . . . . . 3857.7.2. Envolvente de una familia de hipersupercies. . . . 3897.7.3. Metodo de la envolvente. . . . . . . . . . . . . . . 3927.7.4. Solucion singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3947.8. Denicion intrnseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3967.8.1. Fibrado Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 3977.8.2. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . . . . 4027.9. Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 4047.9.1. Metodo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4057.9.2. Ecuacion de HamiltonJacobi. . . . . . . . . . . . 4087.9.3. Geodesicas de una variedad Riemanniana. . . . . . 4147.10. Introduccion al calculo de variaciones . . . . . . . . . . . . 4217.10.1. Ecuaciones de EulerLagrange. . . . . . . . . . . . 4227.10.2. Ecuaciones de EulerLagrange y Hamilton. . . . . 4267.10.3. Ejemplo. Curva de energa cinetica mnima . . . . 4287.10.4. Ejemplo. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . 4297.10.5. Apendice. La ecuacion de Schrodinger . . . . . . . 4317.11. Lagrangianas. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . 4327.11.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 4327.11.2. Ejemplo. Lagrangiana de la energa cinetica. . . . 4357.11.3. Aplicacion: Supercies de revolucion . . . . . . . . 4367.11.4. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud . . . . . . . . 4377.11.5. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . 4407.11.6. Ejemplo. Curvas de mnima accion. . . . . . . . . 4427.11.7. El Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . 4447.11.8. Ejemplo. Problema de los dos cuerpos . . . . . . . 4467.11.9. Ejemplo. La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4497.11.10.Ejemplo. El cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4507.12. Calculo de variaciones en Jets. . . . . . . . . . . . . . . . 4517.12.1. Jets de aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . 4517.12.2. Distribucion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 4527.13. Apendice. El Campo geodesico . . . . . . . . . . . . . . . 4607.13.1. Subidas canonicas de un campo tangente. . . . . . 4607.13.2. Variedad con conexion. Campo geodesico. . . . . . 4637.13.3. Campo geodesico en una variedad Riemanniana. . 4657.13.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4677.14. Apendice. Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . 470VIINDICEGENERAL8. EDPdeordensuperior.Clasicacion 4958.1. Denicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4958.2. Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . 4998.2.1. Corchete de Lie de operadores lineales. . . . . . . . 4998.2.2. Restriccion de un ODL. . . . . . . . . . . . . . . . 5018.2.3. Expresion en coordenadas de un ODL. . . . . . . . 5028.2.4. Caracterizacion del Operador de LaPlace . . . . . 5078.2.5. Derivada de Lie de un ODL. . . . . . . . . . . . . 5098.3. El smbolo de un ODL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5108.4. ODL de orden 2 en R2. Clasicacion . . . . . . . . . . . . 5138.4.1. Operadores diferenciales lineales hiperbolicos. . . . 5148.4.2. Operadores diferenciales lineales parabolicos. . . . 5158.4.3. Campos y 1formas complejas. . . . . . . . . . . . 5178.4.4. Operadores diferenciales lineales elpticos. . . . . . 5208.5. ODL de orden 2 en Rn. Clasicacion. . . . . . . . . . . . 5258.6. EDP de orden 2 en R2. Clasicacion . . . . . . . . . . . . 5288.6.1. ODL asociado a una solucion de una EDP. . . . . 5288.6.2. Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico deuna EDP cuasilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . 5318.6.3. Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico deuna EDP de tipo general. . . . . . . . . . . . . . . 5358.6.4. Reduccion a forma canonica. Caso elptico. . . . . 5428.7. Clasicacion de sistemas de EDP. . . . . . . . . . . . . . 5468.7.1. Reduccionaformadiagonal desistemaslinealeshiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5498.7.2. Reducciona forma diagonal de sistemas cuasilineales hiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5498.8. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5518.8.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 5519. ElproblemadeCauchy 5659.1. Sistemas de EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . 5659.2. Curvas caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5709.2.1. Propagacion de singularidades. . . . . . . . . . . . 5719.3. Funciones analticas reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5749.3.1. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5749.3.2. Series m ultiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5759.3.3. Series m ultiples de funciones. . . . . . . . . . . . . 5769.4. Funciones analticas complejas . . . . . . . . . . . . . . . 5849.4.1. Las ecuaciones de CauchyRiemann. . . . . . . . . 584INDICEGENERAL VII9.4.2. Formula integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . 5879.4.3. Funciones analticas ndimensionales. . . . . . . . 5899.5. El Teorema de CauchyKowalewski . . . . . . . . . . . . . 5899.6. EDP de tipo hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5959.7. Metodo de las aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . 5999.7.1. Existencia de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 6009.7.2. Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 6049.7.3. Dependencia de las condiciones iniciales.. . . . . . 6069.7.4. El problema de Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . 6099.7.5. El problema de valor inicial caracterstico. . . . . . 6109.8. Sistemas hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6119.9. La funcion de RiemannGreen . . . . . . . . . . . . . . . 6199.9.1. Operador diferencial lineal adjunto. . . . . . . . . 6199.9.2. ODL adjuntos en el plano. . . . . . . . . . . . . . . 6219.9.3. El metodo de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . 62210.LaEcuaciondeLaplace 63910.1. Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63910.2. Funciones armonicas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 64110.2.1. Funciones armonicas en variables separadas. . . . . 64110.2.2. Funciones armonicas y funciones analticas. . . . . 64210.2.3. Transformaciones conformes. . . . . . . . . . . . . 64510.3. Transformaciones en Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64610.3.1. Traslaciones, giros y homotecias. . . . . . . . . . . 64710.3.2. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 64710.3.3. Inversiones respecto de esferas. . . . . . . . . . . . 64910.3.4. Transformaciones en general. . . . . . . . . . . . . 65110.4. Potencial gravitatorio y electrico. . . . . . . . . . . . . . . 65410.4.1. Potencial Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . 65510.4.2. Potencial electrostatico. . . . . . . . . . . . . . . . 65710.4.3. Ecuacion de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66610.5. Problemas de Dirichlet, Neumann y mixto. . . . . . . . . 67110.5.1. Principio del maximo. Unicidad. Continuidad. . . . 67210.6. Problema Dirichlet en un rectangulo . . . . . . . . . . . . 67410.7. Problema de Dirichlet en un disco . . . . . . . . . . . . . 67710.7.1. Formula integral de Poisson. . . . . . . . . . . . . 67910.8. Problema de Dirichlet en la esfera . . . . . . . . . . . . . 68210.8.1. La Ecuacion de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . 68310.9. Unicidad de solucion en problemas con valores frontera . . 68610.10.Propiedades funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . 689VIIIINDICEGENERAL11.LaEcuaciondeondas 70711.1. La Ecuacion de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . 70711.1.1. Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70911.1.2. Solucion de DAlambert. . . . . . . . . . . . . . . . 71211.1.3. Energa de la cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71611.1.4. Unicidad de solucion de la ecuacion de ondas. . . . 71811.1.5. Aplicaciones a la m usica. . . . . . . . . . . . . . . 71811.2. La Ecuacion de ondas bidimensional. . . . . . . . . . . . . 72011.2.1. Solucion de la ecuacion de ondas. . . . . . . . . . . 72311.3. La Ecuacion de ondas ndimensional. . . . . . . . . . . . 72611.3.1. La desigualdad del dominio de dependencia. . . . . 72611.3.2. Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 73011.3.3. Ecuacion de ondas en regiones con frontera. . . . . 73211.3.4. El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 73311.4. El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73611.4.1. La Formula de Kirchho. . . . . . . . . . . . . . . 73611.4.2. El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . 74011.4.3. El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . 74311.5. La Ecuacion de Schrodinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74412.LaEcuaciondelcalor 75312.1. La Ecuacion del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . 75312.1.1. El principio del maximo. . . . . . . . . . . . . . . . 75612.1.2. Solucion general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75812.1.3. Soluciones con condiciones inicial y frontera dadas. 75912.1.4. El problema de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . 77212.2. La Ecuacion del calor ndimensional. . . . . . . . . . . . . 77812.2.1. Caso bidimensional. Planteamiento. . . . . . . . . 77812.2.2. El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 77912.2.3. Caso bidimensional. Algunas soluciones. . . . . . . 78012.2.4. Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78213.Integracionenvariedades 78713.1. Orientacion sobre una variedad . . . . . . . . . . . . . . . 78713.2. Integracion en una variedad orientada . . . . . . . . . . . 79013.3. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79413.4. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79813.5. Integracion en variedades Riemannianas . . . . . . . . . . 80213.6. Aplicaciones a la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80513.7. La denicion de Gauss de la curvatura . . . . . . . . . . . 808INDICEGENERAL IX13.8. El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . . . . . 80913.8.1. El operador de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . 80913.8.2. El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . 81314.Variedadescomplejas 82314.1. Estructuras casicomplejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 82314.1.1. Campos y 1formas complejas . . . . . . . . . . . 82714.1.2. Integrabilidad de una estructura casicompleja . . 830XINDICEGENERALIndicedeguras1.1. Graca dee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Flleva el campoD al campoE. . . . . . . . . . . . . . . 211.5. Gracas defydxfen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6. Gracas defydxfen R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7. Plano tangente a una supercie . . . . . . . . . . . . . . . 271.8. Gradiente dex2+y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9. Curva integral deD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10. Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.11. curvas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.1. Teorema del ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.2.Orbitas deD y defD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3. Cisterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.4. Cason = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1. recta de velocidad mnima. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.4. Parabola y elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.5. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.1. Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.2. Pulsaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.3. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.4. Circuito electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.5. Partcula en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214xiXIIINDICEDEFIGURAS4.6. Segunda Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.7. 1aLey de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.1. Casosa > 0 yb < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2475.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2605.4. Seccion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2605.5. La orbita dep se aproxima aenx . . . . . . . . . . . . 2645.6. Aplicacion de Poincare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.1. Sistema de Pfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866.2. Interpretacion geometrica deDL . . . . . . . . . . 2966.3. Interpretacion geometrica deD yDL . . . . . 2966.4. < D >= T [T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.6. Distribuciones asociadas a T, T

y T

. . . . . . . . . . . 3026.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3147.1. Cono de Monge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3587.2. Conos de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3597.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3607.4. Construccion de ok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.5. Curva de datos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3787.6. Envolvente de o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3857.7. Envolvente de las esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3867.8. trayectorias bala ca non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3867.9. ruido de un avion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3877.10. Envolvente de las esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3887.11. Eleccion de oa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3937.12. Plano del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4107.13. Vector de RungeLenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4147.14. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4178.1. Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5519.1. Dominio de dependencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5969.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600INDICEDEFIGURAS XIII9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6139.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6149.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62610.1. Fuerza gravitacional producida por una masaM . . . . . 65610.2. Fuerza electrostatica producida por una cargaq. . . . . . 65710.3. Flujo a traves de una esfera de una cargaq en su centro . 66010.4. Flujo a traves de una supercie de una carga q en su interior66010.5. anguloab = angulocd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69910.6. La proyeccion estereograca conserva angulos . . . . . . . 70010.7. La proyeccion estereograca lleva circunferencias pasandoporPen rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70010.8. Laproyeccionestereogracallevacircunferenciasencir-cunferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70011.1. cuerda vibrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70811.2. Posicion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71311.3. Ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71411.4. Fuerzas sobre una membrana . . . . . . . . . . . . . . . . 72011.5. Membrana vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72111.6. cono caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72712.1. Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75412.2. Calor que entra enI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75512.3. Dominio del problema (hacia el pasado) . . . . . . . . . . 76412.4. Difusion del calor en una placa . . . . . . . . . . . . . . . 77813.1. ujo deD a traves deS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80513.2. Planmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818XIVINDICEDEFIGURASParteIEcuacionesdiferencialesordinariasxvTema1Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.1. ConceptosbasicosPor c entenderemos un espacio vectorial real de dimension n, dotadodelaestructuratopologicausual. Avecestambienconsideraremosencuna norma, siendo indiferente en la mayora de los resultados cual eslaqueelegimos, puestodaslasnormassonequivalentesen c. Por Rnentenderemos el espacio vectorial real R n R.Dados dos espacios vectoriales c1y c2denotaremos conL(c1, c2) elespacio vectorial de las aplicaciones lineales de c1en c2. Con cdeno-taremos el espacio vectorial dual de c, es decirL(c, R).Con ((c) denotaremos la Ralgebra de las funciones continuas en cy con ((U) las continuas en el abiertoUde c. Con T(c) denotaremosla Ralgebra de los polinomios en c, es decir la subRalgebra de ((c)generada por c.12 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialElegir una baseeien cequivale a elegir una basexi c. En cuyocaso tenemos la identicacionc Rn,n

i=1aiei (a1, . . . , an),y lasxiforman un sistema de coordenadas lineales asociado a laseidela formaxi: c R, xi_

ajej_= ai.A menudo consideraremos sistemas de coordenadas linealesxiy so-brentenderemos su base dualeicorrespondiente.Si en ctenemos un producto interior consideraremos la norma| x |2 =< x, x >,yeligiendounabaseeiortonormal, esdecirtal que=ij,y su sistemaxide coordenadas lineales asociado, tendremos que dadosa, b ctales quexi(a) = aiyxi(b) = bi< a, b >= a1b1 + +anbn.Denicion. Sean c1 y c2 espacios vectoriales reales, Uun abierto de c1yV unode c2.DiremosqueF :U V esdiferenciableenx Usiexiste una aplicacion linealF

x L(c1, c2), tal quelmh0| F(x +h) F(x) F

x(h) || h |= 0.Diremos queFes diferenciablesi lo esen todo punto; queFes declase 1 si es diferenciable y la aplicacionF

:U L(c1, c2), x F

x,es continua ; que es de claseksi existenF

, F

= (F

)

,. . .,F(k, y soncontinuas. Diremos que es de clase innitasi es de clasek para todak.Apartirdeahorasiemprequehablemosdeclasek, entenderemosquekesindistintamente, amenosqueseespeciquelocontrario, unn umero natural 0, 1, . . . o bien , donde parak = 0 entenderemos quelas aplicaciones son continuas.Denicion.Dadaf:U R R diferenciable enx, llamamos deri-vada de f enx al n umero realf

(x) = lmt0f(x +t) f(x)t.1.1. Conceptosbasicos 3Observemos que este n umero esta relacionado con la aplicacion linealf

x L(R, R) por la igualdadf

x(h) = f

(x)h.Regladelacadena1.1a) SeanF :U c1 V c2, G:V W c3,diferenciablesenx UyF(x)=y, respectivamente. Entonces H=G Fes diferenciable enx y se tiene queH

x = G

y F

x.b) La composicion de aplicaciones de clasekes de clasek.Denicion.Para cada abiertoUdel espacio vectorial c, denotaremos(k(U) = f: U R, de clasek,los cuales tienen una estructura natural de Ralgebra y como veremosen (1.11), tambien de espacio topologico.Proposicion1.2SeaF :U c1 V c2unaaplicacion.Entoncesson equivalentes:a)Fes de clasek.b)Paraunsistemadecoordenadaslinealesyien c2, fi=yi F (k(U).c) Para cada f (k(V ), f F (k(U), es decir tenemos el morsmode R-algebras.F: (k(V ) (k(U), F(f) = f F.Denicion. Dada una funcion f (1(U), un v c y p U, llamaremosderivada direccional defrelativa av enp al valorvp(f) = lmt0f(p +tv) f(p)t.4 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialEnparticularsi en chemoselegidounsistemadecoordenadasli-nealesxicon base dualei, llamaremos derivada parcial iesima def, ala derivada direccional defrelativa aeiy escribiremosfxi(p) = lmt0f(p +tei) f(p)t.Si ces de dimension1, yx es la coordenada lineal correspondiente alvector no nuloe cescribiremosdfdx=fx.Proposicion1.3f (k(U) si y solo si para alg un sistema de coordena-das linealesxiy por tanto para cualquiera, existen y son continuasen todoUlas funcionesDaf, paraa = (a1, . . . , an) Nn, yDa=|a|a1x1 anxn, [a[ = a1 + +an k.Nota1.4Si c1 es de dimension n y c2 de m y U y Vson sendos abiertosde c1y c2, entonces siF :U Ves diferenciable, biyectiva yF1esdiferenciable, tendremos quen = m.Esto se sigue facilmente de la regla de la cadena, pues si Aes la matrizjacobiana deF, en un puntox, yB la deF1, en el puntoy=F(x),entonces AB es la identidad en Rmy BA la identidad en Rn, de dondese sigue que A y B son cuadradas e inversas por tanton = m.Denicion. Diremos que F :U c1 V c2 es un difeomorsmo declase k, siFes biyectiva, de clasek y su inversa es de clasek. Diremosquen funcionesui:U R son un sistemadecoordenadasdeclasekenUsi paraF= (ui):U Rn,se tiene queF(U) =Ves un abierto de RnyF :U Ves un difeo-morsmodeclasek. Pordifeomorsmoasecasentenderemosdeclase. Diremos queF :U c1 c2es un difeomorsmo local de clasekenx Usi existe un entorno abiertoUxdex enUtal queF(Ux) = Ves abierto yF :Ux V es un difeomorsmo de clasek. Diremos quen funcionesui:U R son un sistema de coordenadas locales de clasekenx UsiF= (ui):U Rnes un difeomorsmo local de clasekenx.1.1. Conceptosbasicos 5Nota1.5Observemos que si u1, . . . , un (k(U) son un sistema de coor-denadas, entonces paraF= (ui):U RnyF(U) = Vabierto de Rntenemos que, para cadag (k(V ),g F= g(u1, . . . , un) = f (k(U),y recprocamente toda funcionf (k(U) es de esta forma.Si cesdedimension1, xeslacoordenadalineal correspondienteal vectore cyescribimosfenterminosdelacoordenadalineal x,f= g(x), entoncesdfdx(p) = lmt0f(p +te) f(p)t= lmt0g[x(p) +t] g[x(p)]t= g

[x(p)],es decir que sif= g(x) entoncesdf/dx = g

(x).Teoremadelafuncioninversa1.6SeaF : U c1 c2declasekenU.EntoncesFesundifeomorsmolocal declasekenx Usiysolo si existen sistemas de coordenadas linealesxi en c1 eyi en c2, talesque paraFi = yi Fdet_Fixj(x)_,= 0.Teoremadelafuncionimplcita1.7SeanF : U c1c2 c1declasek, (x0, t0) Utal queF(x0, t0) = 0 y para un sistema de coorde-nadas linealesxien c1, el determinante de ordenndet_Fixj(x0, t0)_,= 0,entonces existe un entornoVdet0en c2y una unica funciong :V c1de clasek, tal queg(t0) = x0y para todot VF[g(t), t] = 0.6 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.2. ElhazdefuncionesdiferenciablesHemos dicho que los (k(U) tiene una estructura natural de R-alge-bra, esdecirtienensuma, producto, ycontienenaRenlaformadelas funciones constantes. Pero ademas, si consideramos la familia de to-dos los (k(U) cuandoUrecorre todos los abiertos de c, se tiene que laaplicacionU (abierto) (k(U) (anillo),es un haz de anillos, es decir satisface las propiedades:a)SiU V sonabiertosde c,entoncesf (k(V ) f(= f|U) (k(U).b)DadounabiertoUde cyunrecubrimientosuyoporabiertosUi,setienequesi f :U Restal quef (k(Ui)paracadai, entoncesf (k(U).Otra importante propiedad, que veremos en esta leccion, nos dice quecada funcion de (k(U) coincide, en un entorno de cada uno de los puntosdeU, con una funcion de claseken todo c, que ademas se anula fueradeUsi queremos. Deestosesiguequeparaconocerlasfuncionesdeclasek en un abierto de c, nos basta con conocer las funciones de claseken c. Esto podra parecer obvio en una ingenua primera observacion,puescabrapensarquelasfuncionesdeclase kenunabiertoUsonsimplemente las restricciones a ese abierto de las de claseken c. Peroesto no es cierto considerese la funcion 1/x en el abierto (0, ) R.Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidaspor restriccion, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremosque son los cocientes de funciones de clasek de c, cuyos denominadoresno se anulen en U. Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma.Veamos antes la existencia de funciones baden en Rn.Proposicion1.8SeanCuncerradoyKuncompactode cdisjuntos.Entonces existe h ((c) tal que Im(h) = [0, 1],h(K) = 1 yh(C) = 0.Demostracion. Eligiendounsistemadecoordenadas xien c, bastahacer la demostracion en Rn, donde consideraremos la norma inducidapor el producto escalar< a, b >=

aibi, paraa = (ai) yb = (bi).1.2. El hazdefuncionesdiferenciables 7Figura1.1.GracadeeConsideremos la funcion de ((R)e(t) =_e1/tsit 0,0 sit < 0.Veremos en primer lugar que da-dor >0ya Rnsepuedecons-truir una g((Rn), positivaenB(a, r) = x: |x a | 0 existeN N tal quepm(fN+nfN) < ,para todon N.Decimos que una sucesion fn (k(U) tiene lmite si existe f (k(U)tal que para todam Nlmnpm(fnf) = 0.Obviamente si el lmite existe es unico, pues param = 0 vemos quetiene que ser el lmite puntual de lasfn.Observemos que laspmestan ordenadas,pm pm+1,1.2. El hazdefuncionesdiferenciables 9y que podemos denir el sistema fundamental de entornos convexos del0 (k(U)Bm = f (k(U) : pm(f) 1/myqueestosdenenunatopologaen (k(U)independientedelos Knelegidos!.Teorema1.10Si lasucesionfn (k(U)esdeCauchyparatodapm,entonces tiene lmite,f= lmfn (k(U), que para cualquier base eide cy cadaa Nn, con [ a [ k, vericaDa(lmfn) = lm(Dafn).Ademasdadaf (k(U)existeunasucesiondepolinomiosgnde ctales que restringidos a U, lmgn = f.Demostracion.Veremos el casok = para c= Rn, los demas sesiguen haciendo las oportunas modicaciones.En primer lugar veamos que para todo a Nn, existe el lmite puntualga(x) = lm(Dafk(x)),y quegaes una funcion continua en Rn.Seam [a[, entonces en el compactoKmse tiene(1.1) [ DafN+k DafN [ pm[fN+k fN]de donde se sigue queDafkconverge uniformemente en cada compactoKm,param [a[,aunafuncioncontinuaga.Enparticularparaa =(0, . . . , 0), tendremos quef(x) = lmfk(x),es una funcion continua.Veamos por induccion en [a[, queDaf= ga.Para [a[ = 0 es obvio. Supongamos entonces que [a[ 1 y que a1 1,dondea = (a1, . . . , an). Entonces, por la hipotesis de induccion, tendre-mos queDbf= gbparab = (a11, a2, . . . , an). Y comoDa=x1 Db,bastara demostrar quegbx1= ga.10 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialSean (t1, . . . , tn) U,t R ym N, tal que para [0, 1] se tenga(t1 + (1 )t, t2, . . . , tn) Km,entonces_tt1Dafk(x, t2, . . . , tn)dx _tt1ga(x, t2, . . . , tn)dx.Ahora bien_tt1Dafk(x, t2, . . . , tn)dx = Dbfk(t, t2, . . . , tn) Dbfk(t1, . . . , tn),por tanto haciendok , tendremos que_tt1ga(x, t2, . . . , tn)dx = gb(t, t2, . . . , tn) gb(t1, . . . , tn),lo cual implica quegb/x1 = ga.Tenemos entonces que para cadaa Nn,Dafk Daf,uniformemente en cada compactoKm, param [a [. De aqu se siguequepm(fk f) 0,yf= lmfk. Pero ademaspm(Dafk Daf) 0 por tantoDaf= lm(Dafk).Veamos ahora que los polinomios son densos.Dada f ((U) y N N tendremos, por el Teorema de Weierstrass,queparaa=(N, . . . , N) NnexisteunasucesiondepolinomiosqueconvergenuniformementeaDafenKN. Integrandoyaplicandodenuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva tendremosque existe una sucesion de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi) Nn, conbi N, las sucesionesDbrN,n convergen uniformemente enKNaDbf. Ahora elegimosgNcomo cualquier polinomiorN,n, tal que paratodab, conbi N[ DbrN,nDbf [1N ,1.2. El hazdefuncionesdiferenciables 11enKN. Esta sucesion de polinomiosgNsatisface lmgN= f, pues paraj N,Kj KNy comobi bi =[ b [, se tienepj(gN f) sup[ DbgN Dbf [: x Kj, [ b [ j (1.2) sup[ DbgN Dbf [: x KN, bi N 1N .Ejercicio1.2.1 Demostrar queconestatopologalasumayel productodeCk(U)sonoperacionescontinuas.El teorema anterior se expresa diciendo:Teorema1.11Laspmdenenen (k(U)unatopologalocalmentecon-vexa,respectodelaquedichoespacioescompletoylospolinomiossondensos.Teorema1.12Para cada abierto Ude cy para k = 0, 1, . . . , , se tieneque(k(U) = _gh_|U: g, h (k(c), h ,= 0enU.Demostracion.Sea Bn : n N un recubrimiento deUformadoporbolasabiertascuyasadherenciasestenenU.Yconsideremosparacadan Nunafunciongn ((c)comoladenidaen(1.8),positiva enBny nula en su complementario.Seaf (k(U) y denamos las funciones de cen Rg =

2nfgn1 +rn +sn, h =

2ngn1 +rn +sn,donde rn = pn(fgn) y sn = pn(gn). Basta demostrar entonces que g, h (k(c), lo cual es evidente por el teorema anterior, dado que ambas seriesson de Cauchy para todapm. Por ultimo es obvio queh ,= 0 enUy quepara cadax U,g(x) = h(x)f(x), es decir queg = hf.Nota1.13Observemos que en el resultado anterior hemos probado quetodo cerrado de ces de la formax c : h(x) = 0,para unah ((c).12 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialDenicion. Podemos decir en base a estos resultados que la estructura(kdiferenciable de c, que esta denida por todas las Ralgebras (k(U),cuandoUrecorre los abiertos de c, queda determinada exclusivamentepor (k(c) ylos abiertos de c. Ypodemos entender lavariedad (kdiferenciable c, como el par formado por el espacio topologico cy por(k(c).1.3. EspacioTangente.FibradoTangenteAlolargodelaleccion co c1seranespaciosvectorialesrealesdedimensionn y c2de dimensionm.Enlaleccion1hemosvistoquecadavectorv cdeneencadapuntop cuna derivada direccionalvpde la forma siguientevp: ((c) R, vp(f) = lmt0f(p +tv) f(p)t,Es facil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satis-face la regla de Leibnitz del producto. Esto nos induce a dar la siguientedenicion.Denicion. Llamaremosvectortangente enunpuntop c, atodaderivacionDp: ((c) R,es decir a toda funcion que verique las siguientes propiedades:a)Linealidad.-Dp(tf +sg) = tDpf +sDpg.b)Anulacionconstantes.-Dpt = 0.c)RegladeLeibnitzenp.-Dp(fg) = f(p)Dpg +g(p)Dpf,para cualesquierat, s R yf, g ((c).Este concepto nos permite denir, en cada puntop c, un espaciovectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferen-ciable de c.1.3. EspacioTangente. FibradoTangente 13Denicion. Llamaremos espacio tangentea cenp, al espacio vectorialrealTp(c) de las derivaciones enp, con las operaciones(Dp +Ep)f = Dpf +Epf(tDp)f = t(Dpf),paraDp, Ep Tp(c),f ((c) yt R.Denicion. Dado un sistema de coordenadas lineales xi, correspondientea una base ei en c, consideramos para cadap cei = 1, . . . , n, loselementos deTp(c)_xi_p: ((c) R,_xi_pf= lmt0f(p +tei) f(p)t.Si no hay confusion usaremos la notacionip = (/xi)p.FormuladeTaylor1.14SeaU cunabiertoconvexo, a Uyxi ((U) un sistema de coordenadas lineales. Entonces:a) ma = f ((U) : f(a) = 0 es un ideal maximal real generadoporx1a1, . . . , xnan, dondeai = xi(a).b) Dadaf ((U), existenh1, . . . , hn ((U) tales quef= f(a) +n

i=1hi(xiai).Demostracion.(a) Consideremos el morsmo de RalgebrasH: ((U) R, H(f) = f(a),para el que ker H = mae ImH = R, por tanto ((U)/ma R.Dadas f1, . . . , fn ((U) es obvio que

fi(xiai) ma y tenemosunainclusion, veamoslaotra, quema (x1 a1, . . . , xn an). Paraello seaf(x1, . . . , xn) ma,x Uy denamos la funcion diferenciableg : [0, 1] R, g(t) = f[tx + (1 t)a].14 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialAhora por la regla de la cadenaf(x) = g(1) g(0) =_10g

(t)dt=_10_n

i=1_fxi[tx + (1 t)a]_(xiai)_dt=n

i=1hi(x)(xiai),dondehi(x) =_10_fxi[tx + (1 t)a]_dt ((U).Proposicion1.15Las derivaciones (/xi)a denidas anteriormente sonbase deTa(c).Demostracion. Que son independientes es una simple consecuenciade quexi/xj=ij. Veamos que son generadores, para ello seaDa Ta(c) yf ((c), entoncesf f(a) may por (1.14)f= f(a) +n

i=1hi(xiai),dondea = (ai). Se sigue que_xj_af =n

i=1hi(a)Xixj(a) = hj(a),Daf =n

i=1hi(a)Daxi =n

i=1[Daxi]iaf,es decirDa =

[Daxi]ia.Nota1.16Observemosqueal ser cunespaciovectorial tenemosunaidenticacion canonica entre todos los espacios tangentes, pues todos sonisomorfos a cde la siguiente forma, para cadaa cc Ta(c), v va,siendovafla derivada direccional defrelativa av ena.1.3. EspacioTangente. FibradoTangente 15Ademas si elegimos un sistema de coordenadas linealesxien c, co-rrespondientesalabaseei,tendremosqueenterminosdelasbaseseiyialaaplicaci onanteriorserepresentaporlamatrizidentidad,puespara cadai,c Ta(c), eiia.Nota1.17Elespaciovectorial Ta(c)podamoshaberlodenidocomoel espacio vectorial de las derivaciones(1.3) Da: ((U) R,conlaregladeLeibnitzena, siendoUunabiertoentornodea. Puesdadaunaderivaciondeltipo(1.3),tendremosporrestriccionaUunaderivaciondeTa(c). YrecprocamentedadaunaderivaciondeTa(c),como es de la forma

tiia jado un sistema de coordenadas linealesxi, dene una unica derivacion del tipo (1.3).Esfacilprobarqueambastransformacionessonlinealeseinversas,es decir que es un isomorsmo. Para verlo basta usar (1.9) y queDafno cambia si cambiamosFfuera de un entorno dea.Por otra parte, parar 1, toda derivacion con la regla de Leibnitzena(1.4) Da: (r(U) R,dene una derivacion de Ta(c), pues ((U) (r(U). Y recprocamente,toda derivacion (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede hacersepues seg un vimos antes, toda derivacion (1.3) es de la forma

tiia queesta denido en las funciones de clase 1.Sinembargoestasdostransformacionesnosoninversas,puesenelsegundo caso no extendemos de modo unico. Es decir que las derivacionesde (r(U) en el puntoa forman un espacio vectorial con demasiados ele-mentos. Pero si solo consideramos las continuas respecto de la topologadenida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo aTa(c).Parar= tenemos la suerte de que toda derivacion es automati-camente continua respecto de la topologa de (1.10), pues es de la forma

tiiayestasseextiendenaunaderivacionDaen (r(c)deformacontinuadeun unicomodo, asaber tiia, pueslospolinomiossondensos y sobre ellosDa =

tiia.Finalicemosanalizandosiexistiranderivacionesena csobrelasfunciones continuasDa: ((c) R.16 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialLacontestacionesqueno, puessi f ((c)yf(a)=0enca-socontrariopondramos f f(a), tendremosqueexistenfuncionescontinuasg =_max(f, 0), h =_max(f, 0) ((c),tales quef= g2h2yg(a) = h(a) = 0. Por tantoDaf= 2[g(a)Dag h(a)Dah] = 0.Denicion. SeanU c1, V c2abiertosyF :U V declase1.Llamaremos aplicacion lineal tangentedeFenx Ua la aplicacionF:Tx(c1) TF(x)(c2),tal queparacadaDx Tx(c1), F(Dx)=Dx F, esdecirqueparacadaf ((V ) se satisface[FDx]f= Dx(f F).DxxF(C )F(C )F(x)F (D )*xFigura1.2.Ejercicio1.3.1 Demostrar las siguientespropiedadesdelaaplicaci onlineal tan-gente:a) Si V= Uy F= id, entonces paracadax E,F= id.b) Regla de la cadena.- SiF : UV yG: V Wsondi-ferenciables, siendoU E1, V E2yW E3abiertos,entonces(G F)= G F.c)Elegirsistemasdecoordenadaslinealesencadaespaciovectorial Eiyescribirlaigualdadanteriorenlaformamatricialasociada.Teoremadelafuncioninversa1.18Una aplicacion F :U c1 c2,de clasekes un difeomorsmo local de claseken un puntox Usi ysolo siF : Tx(c1) TF(x)(c2) es un isomorsmo en x.Demostracion. Es consecuencia de (1.6) y de la expresion matricialdeF.1.4. Campostangentes 17Denicion. Llamaremos brado tangente del abierto Ude c, a la unionT(U) de todos los espacios Ta(c), para a U, con la estructura topologi-ca y diferenciable denida por la siguiente biyeccion canonicaT(U) U c, va(a, v),donde va Ta(c) es la derivada direccional en a relativa al vector v c.Llamaremos aplicacion proyeccion canonicaenUa la aplicacion:T(U) U, (vp) = p,sivp Tp(c).1.4. Campostangentes1.4.1. CampostangentesDenicion. Poruncampodevectores enunabiertoUdeunespaciovectorial centenderemos una aplicacionF :U c.Diremos que el campo es de clasek siFes de clasek.Figura1.3.CampodevectoresLainterpretaciondeunaaplica-ci on F como un campo de vecto-resquedapatenteenlagura(1.3),donde hemos representado encadapunto(x, y)del planoreal el vectorF(x, y) = (cos xy, sen (x y)).Aun-queestadeniciones muyvisual ysugerente, tiene el problema de noser muy manejable y la desventaja denecesitar la estructura vectorial de cpara que tenga sentido. Por ello recordando que un vectorv = F(p) cen un puntop Udene una derivacionvp Tp(c), damos la siguiente18 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialdenicion equivalente, aunque solo como justicacion para una posteriordenicion mejor.Denicion. Llamaremoscampodevectorestangentes , declasek, enU, a un conjunto de vectoresDp Tp(c) : p U,que satisfacen la siguiente condicion:Para cadaf ((U), la funcionp U Dpf R,esta en (k(U).Observemosquedaruncampodevectorestangentes DppUesequivalente a dar una seccion de:T(U) U:U T(U), (p) = Dp.Ejercicio1.4.1 a)Demostrarqueexisteunabiyeccionentrecamposdevecto-resF: U Edeclasekycamposdevectorestangentes {Dp Tp(E) : p U}declasek,queverica:i) Si a Fle corresponde {Dp} y a G {Ep}, entonces a F +G le corresponde{Dp +Ep}.ii)SiaFlecorresponde {Dp}yf Ck(U),entoncesafFlecorresponde{f(p)Dp}.b) Demostrar que {Dp Tp(E) : p U} es un campo de vectores tangentesdeclaseksiys olosilaaplicaci on: U T(U),(p) = Dpesunasecci onde,declasek.Denicion.Llamaremos campo tangentede claseken el abiertoUdeca toda derivacionD: ((U) (k(U),es decir toda aplicacion que verique las siguientes condiciones:1.-D(tf +rg) = tDf +rDg,2.-Dt = 0,3.-RegladeLeibnitz:D(fg) = f(Dg) +g(Df),paraf, g ((U) yt, r R.Denicion. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integralprimeradeD a toda funcionf (k+1(U) tal queDf= 0.1.4. Campostangentes 19Nota1.19Denotaremos con Tk(U) el conjunto de los campos tangentesaUdeclase k, yporcomodidadparak= escribiremos T(U) =T(U). Observemos que tenemos las inclusionesT(U) Tk(U) T0(U),por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los masgenerales.Noobstanteenelsiguientetemaintroduciremosloscamposlocalmente lipchicianos, que denotaremos con TL(U) y que estan entrelosdeclase1yloscontinuosyqueseranlosqueconsideremosparaestudiar el problema de unicidad de solucion de una ecuacion diferencial.En Tk(U) denimos lasumadedos campos D, ETk(U) yelproducto de una funciong (k(U) por un campoD, de la forma,(D +E)f = Df +Ef,(gD)f = g(Df),para todaf ((U). Tales operaciones dotan a Tk(U) de una estruc-tura de modulosobre la Ralgebra (k(U), pues se tienen las siguientespropiedades,f(D +E) = fD +fE,(f +g)D = fD +gD,(fg)D = f(gD),1D = D.y para cadak, Tk(U) forman un haz de modulos.A continuaci on veremos que dar un campo tangente de clasek enUconsiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangenteen cada punto deU.Proposicion1.20Existe una biyeccion entre campos tangentes de claseky campos de vectores tangentes de clasek, para la que se tiene:a) SiD, E Tk(U) yp U, entonces (D +E)p = Dp +Ep.b) Sif (k(U), entonces (fD)p = f(p)Dp.Demostracion.Dada laD denimos losDpde la forma.Dpf= Df(p).20 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialRecprocamente dado un vector Dp Tp(c), en cada p U, denimosel campo tangenteD Tk(U) de la formaDf(p) = Dpf.Dado un sistema de coordenadas linealesxien c, es facil demostrarque los operadores diferencialesxi: ((U) ((U),fxi(p) = lmt0f(p +tei) f(p)t,para cadap Uy cadaf ((U), son derivaciones/xi T(U).Si no hay confusion usaremos la notacioni = /xi.A continuacion veremos que Tk(U) es un modulo libre sobre (k(U)con base lasi.Teorema1.21Dado un sistema de coordenadas linealesxien cyD Tk(U), existen unicas funcionesfi (k(U) tales queD =n

i=1fixi,Demostracion.-Quelaexpresiones unicaesinmediatoaplican-dosela a las xi. Para ver que existe basta demostrar que D =

(Dxi)i,puesDxi (k(U).Locualesunaconsecuenciainmediatade(1.15)y(1.20).Denicion. DadosU Wabiertosde cyD Tk(W),denimoslarestricciondel campoDaUcomoelcampode T(U),correspondientepor (1.20) aDp Tp(c) : p U,oequivalentementeporel ejercicio(1.2.1), alarestriccionaUdelaaplicacion de clasek,F :W c, correspondiente aD.Es facil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales enc, entonces la restriccion del campoD =n

i=1Dxixi,1.4. Campostangentes 21aUes la derivacionn

i=1fixi,parafi = Dxi|U, la restriccion aUdeDxi.Nota1.22Observese que toda derivacion de Tk(U) es automaticamentecontinua, por (1.21), respecto de la topologa denida en (1.10).Observese tambien que toda derivacionD: (k+1(U) (k(U),deneunaderivacionde Tk(U), pues ((U) (k+1(U), esdecirdeltipo fiidado un sistema de coordenadas linealesxi, con lasfideclase k. Recprocamentetodaderivacion fii Tk(U), conlasfi ((U), seextiendenodeun unicomodo, aunaderivaciondel tipo (1.22). Ahora bien si exigimos que la extension sea continua respecto de la topologa denida en (1.10), tendremos que s es unicay es fii. Demuestrese eso como ejercicio.Denicion.DadaF :V c2 U c1de clasek + 1, y dos campostangentesD Tk(V ) yE Tk(U) diremos queFllevaD aE, si paracadax VFDx = EF(x).Figura1.4.FllevaelcampoDalcampoESi c1= c2, U VWabiertoyD Tk(W)diremosqueFdejainvariante aD siFllevaD enD, es decir si para cadax VFDx = DF(x).22 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialProposicion1.23SeaF :U c1 V c2, de clasek +1,D Tk(U)yE Tk(V ). Entonces son equivalentes:i)FllevaDenE.ii)FD = FE.iii)D F = F E.Demostracion. Hagase como ejercicio.1.4.2. Campotangenteasoporte.Consideremos una aplicacion de clase innitoF: V c2 U c1.Denicion. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativoaF, de clasek, a las derivacionesDF: ((U) (k(V ),con la regla de LeibnitzDF(fg) = DFfFg +FfDFg.Denotaremos con TFk (U) el (k(V )modulo de estos campos con lasoperaciones(DF+EF)f= DFf +EFf, (gDF)f= gDFf.Nota1.24SiFes de claser, podemos denir los campos a soporte declasek r como las derivacionesDF: ((U) (k(V ).Denicion.Dada la aplicacionFde clase , denimos los morsmosde modulosF: T(V ) TF(U), (FD)f= D(Ff),F: T(U) TF(U), (FD)f= F(Df),Nota1.25Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los camposde claser k.1.4. Campostangentes 23Ejercicio1.4.2 Demostrarqueentrelosconjuntosdevectores{DFp TF(p)(E1) : p V },conlapropiedaddequeparacadaf C(U),lafunci onp V DFp f R,est a en C(V ) y el espacio DF(U), existe una biyeccion vericando las siguien-tescondiciones:i)SiDF,EF DF(U),entoncesparacadap V(DF+EF)p= DFp+EFp .ii)Sif C(V ),entoncesparacadap V(f DF)p= f(p) DFp .Ejercicio1.4.3 SeaF :V E2 U E1,diferenciable.Demostrarquei)ParacadaD D(V )yp V(FD)p= FDp.ii)ParacadacampoD D(U)yp V[FD]p= DF(p),yque DF(U)esunm odulolibreconbaseF_xi_,paracadasistemadecoordenadaslinealesxienU.iii)Que {DFpTF(p)(E1): p V }, satisfacelascondicionesde(a)yportantodeneuncampoasoporteDF DF(U)siys olosi:V T(U), (p) = DFp ,esunaaplicaci ondeclase ,talque = F.1.4.3. Campoasoporteuniversal.Consideremos en cun sistema de coordenadas lineales xi y en U clas coordenadas (xi, zi) naturales, es decirxi(p, v) = xi(p), zi(p, v) = xi(v),24 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialahora pasemoslas aT(U) por la biyeccionT(U) U c,vp (p, v),xi(vp) = xi(p),zi(vp) = xi(v) = vpxi,Esdecirquevp T(U)tienecoordenadas(p1, . . . , pn, v1, . . . , vn)siy solo sip = (vp) tiene coordenadas (p1, . . . , pn) yvp =n

i=1vi_xi_pDenicion. Llamaremos campo a soporte universal en Ual campo tan-gente aUcon soporte enT(U),E T(U), que por el ejercicio (1.4.3)queda determinado por la aplicacion identidad:T(U) T(U), (Dp) = Dp,es decir que para cadav T(U) vericaEv = v.Ademasenlascoordenadas(xi, zi)deT(U),vemosporelejercicio(1.4.3), queE =n

i=1zi xi,pues para cadaDp T(U)Exi(Dp) = Dp(xi) = zi(Dp).1.5. Espaciocotangente.LadiferencialDenicion. Para cada x c denotaremos con Tx(c) el espacio vectorialdual deTx(c), es decir el espacio vectorial real de las formas Rlineales( o 1formas)x:Tx(c) R,1.5. Espaciocotangente. Ladiferencial 25al que llamaremos espacio cotangente de cen x y vectores cotangentes asus elementos.Denicion. DadaF :U c1 V c2declase1ydadosx Uey = F(x), llamaremos aplicacion lineal cotangente deFenx aF:Ty(c2) Tx(c1),la aplicacion dual deF:Tx(c1) Ty(c2). Es decir tal queF(y) = y F.Denicion. Dadounpuntox c,llamaremosdiferencial enx,alaaplicaciondx: (1(c) Tx(c),tal que para cadaf (1(c) y para cadaDx Tx(c)dxf :Tx(c) R, dxf(Dx) = Dxf.A la 1formadxfla llamamos diferencial defenx.Ejercicio1.5.1 DadaF :U E1 V E2,declase1,demostrarlassiguien-tespropiedadesdeF:(a)SiU= V yF= id,entoncesF= id.(b)Si F : U V yG: VW, sondeclase1, conU E1, V E2yW E3abiertos,entonces(G F)= F G.(c)SiFesundifeomorsmo,entoncesFesunisomorsmo.(d)Parax Uey= F(x),F dy= dx F.Ejercicio1.5.2 Demostrarquedxesunaderivaci onenx.Hemosvistoen(1.15), queparacadasistemadecoordenadasli-nealesxide c, lasderivaciones(ix)sonbasedeTx(c). Sesigueportanto de la denicion de diferencial, que lasdxx1, . . . , dxxnson la basedual enTx(c), puesto quedxxi_xj_x= ij,ademas el isomorsmo canonico c Tx(c), induce otro que es la res-triccion dedxa cc Tx(c), xidxxi.26 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.5.1. Interpretaci ongeometricadeladiferencial.Veamosahoraelsignicadogeometricodedxf,paracadax cycadaf (1(c). Se tiene que(1.5) dxf=n

i=1_fxi(x)_dxxi.la cual corresponde por el isomorsmo anterior a la funcion linealn

i=1_fxi(x)_xi,cuya graca es el hiperplano tangente a la graca de fen el punto x. Enparticular en R tenemos que paraf : R R,dxf :Tx(R) RFigura1.5.Gracasdefydxfen Ry en R2,f : R2R,dxf :Tx(R2) R,Figura1.6.Gracasdefydxfen R2Ejercicio1.5.3 Demostrar que para pU ydpf =0, el hiperplano (verFig.1.12)H= {Dp Tp(E) : dpf(Dp) = 0},1.5. Espaciocotangente. Ladiferencial 27estangentealahipersupercieS= {x: f(x)=f(p)}, enel sentidodequecoincide con el conjunto de vectores Dp Tp(E), para los que existe una curvaX: I UtalqueX(0) = p, X(t) S, X_t_0= Dp.Ejercicio1.5.4 Darlaecuaci ondelplanotangentealelipsoide4x2+y2+ 5z2= 10,enelpunto(1, 1, 1).Figura1.7.Planotangenteaunasupercie1.5.2. Fibradocotangente.Igual que todos los espacios tangentes eran canonicamente isomorfosal espacio vectorial inicial c, tambien todos los espacios cotangentes soncanonicamente isomorfos al dual cde c. Esto nos permite denir unabiyeccion canonicaT(U) U c, p(p, w),dondeT(U) es la union disjunta de los espacios cotangentes de puntosdeU.Denicion. Sea U un abierto de c. Llamaremos brado cotangente de U,al conjuntoT(U) union de todos los espacios cotangentesTx(c), parax U, dotadodelaestructuradiferenciablenatural, correspondientepor la biyeccion anterior, a la deUc, que es un abierto del espaciovectorial de dimension 2n, c c.Paracada T(U)existiraun unicox Utal que Tx(c),podemos as denir la aplicacion proyeccion:T(U) U,tal que() = x. De tal modo que las bras de cadax Uson1(x) = Tx(c).28 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.6. UnoformasDenicion. ParacadaabiertoU c,denotaremoscon(U)eldualde T(U) respecto de ((U), y en general con k(U) el dual del modu-lodeloscampostangentes Tk(U)respectode (k(U), esdecirdelasaplicaciones (k(U)lineales: Tk(U) (k(U),quellamaremos1formasenU,dotadasdelasoperacionesde (k(U)modulo,(1 +2)D = 1D +2D, (f)D = f(D),y para cadak, k(U) forman un haz de modulos.Denicion.Llamaremos diferencial a la aplicaciond: (k+1(U) k(U), df(D) = Df,para cadaf (k+1(U) yD Tk(U) (ver (1.22).)Denicion. Diremosqueuna1forma k(U)esexactasi existef (k+1(U) tal que = df.Ejercicio1.6.1 Demostrarqueladiferencialesunaderivaci on.Ejercicio1.6.2 Demostrar que k(U) es un Ck(U)m odulo libre con base dxi,paracadasistemadecoordenadaslinealesxi,yqueparatodaf Ck+1(U)df=

fxidxi.Nota1.26Observemos que para una variable, la formula anterior dicedf=dfdxdx.Esto permite entender el sentido que puede tener la cancelacion de dife-renciales.1.6. Unoformas 29Nota1.27Debemos observar que en Rnaunque la nocion dedx1tienesentido, puesx1esunafunciondiferenciable, lade/x1nolotiene,puesparaestardenidanecesitamosdaralaveztodaslasfuncionescoordenadasx1, . . . , xn.Para verlo consideremos en R2las coordenadas (x, y) y otras coorde-nadas (x, x+y). En cada caso la /x tiene un signicado distinto, puesmientras en el primero (x +y)/x = 1, en el segundo (x +y)/x = 0.Denicion. Llamaremos campo de vectores cotangentes de clase k en Ua toda coleccionx Tx(c) : x U,paralaque, dadoD Tk(U)ysusvectorescorrespondientes Dx, laaplicacionx U xDx R,es de clase k.Ejercicio1.6.3 1.- Demostrar que en un espacio vectorial E, el concepto campode vectores cotangentes de clase k en el abierto Ues equivalente al de aplicaciondeclasek,F :U E.2.- Demostrar que existe una biyecci on entre las 1formas k(U) y loscamposdevectorescotangentesenUdeclasek,paralaquesetiene:(1 +2)x= 1x +2x,(f)x= f(x)x,(df)x= dxfpara, 1, 2 k(U),x Uyf Ck(U).Ejercicio1.6.4 Demostrarque (U)siys olosi:p U p T(U)esunasecci onde.Teorema1.28El brado cotangente tiene una 1forma canonica lla-mada unoforma deLiouville.Demostracion. Para cadap Uy Tp(c) denimosw = ,es decir que para cadaDw Tw[T(U)],wDw = [Dw].30 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialDado un sistema de coordenadas linealesxien cy sus dualeszien c,consideremos el sistema de coordenadas (xi, zi) en T(U) U c, paralas que, sipse corresponde con (p, ), entoncesxi(p) = xi(p), zi(p) = zi() = p(ip),y en este sistema de coordenadas se tiene que =n

i=1zidxi,lo que prueba su diferenciabilidad.Ahora veremos una propiedad caracterstica de las funciones y de las1formas, pero de la que los campos tangentes carecen.Teorema1.29SeaF :U c1 V c2, de clasek +1. Entonces paracada k(V )existe =F() k(U),denidaencadax Udela formax = FF(x).AdemasF: k(V ) k(U) es un morsmo de m odulos, que conservala diferencial. Es decir tiene las siguientes propiedades, parag (k(V )yi k(V ):F(1 +2) = F1 +F2,F[g] = [Fg][F],F(dg) = d(Fg).Demostracion.Dado un sistema de coordenadas linealesyien c2,existengi (k(V ) tales que =

gjdyj,entonces si llamamosFj = yj F, tendremos que para cadax Ux = F[F(x)]=

gj[F(x)]F(dF(x)yj)=

gj[F(x)]dxFj,y si consideramos un campo de vectores tangentesDx, correspondientesa un campo D T(U), la funcion que a cada x U le hace corresponderxDx =

gj[F(x)]DFj(x),es diferenciable. El resto lo dejamos como ejercicio para el lector.1.6. Unoformas 311.6.1. Camposgradiente.Figura1.8.Gradientedex2+y2Por ultimosi enunespaciovec-torial c tenemos un producto interior< ,>, entonces c y c se identicancanonicamente por el isomorsmoc c, v < v,> .y en todos los espacios tangentesTp(c) tenemos denidounproduc-to interior, pues todos son canonica-mente isomorfos a c. Esto nos permi-te identicarTp(c) yTp(c), para cadap c, mediante el isomorsmo(1.6) Tp(c) Tp(c), Dp< Dp,>,y tambien nos permite denir para cada dos camposD, E Tk(U), lafuncion< D, E>, que en cadax vale< Dx, Ex>, la cual es de clasek,pues si en celegimos una base ortonormal ei, entonces la base dual xitambien es ortonormal y por tanto tambien lo son las bases_xi_x Tx(c), dxxi Tx(c)),y se tiene que paraD =

fixi,E =

gixi,< D, E>=n

i=1figi.Por tanto podemos denir el isomorsmo de modulos : Tk(U) k(U),D D,D(E) =< D, E> .Denicion. Dadoen cunproductointerior,llamaremosgradientedeuna funcionf (k+1(U), al campo grad f= D Tk(U) tal queD = df,es decir el campo D que en cada punto p Udene el vector Dp corres-pondiente por (1.6) adpf.32 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialEjercicio1.6.5 Consideremosunproductointerioren E,unabaseorto-normal eiy el sistema de coordenadas lineales xicorrespondientes a esta base.Demostrarque:1.-Paratodaf Ck+1(U)grad f=

fxixi Dk(U).2.-DemostrarqueelcampoD= grad f,esuncampoperpendicularalassuperciesdeniveldef.(VerFig.1.8)3.- Demostrar quesi UR2, entonces el campograd f deneencadapunto x el vector Dxel cual indica la direcci on y sentido de m axima pendientedelagr acadefenelpunto(x, f(x)).1.7. SistemasdecoordenadasProposicion1.30Lasfuncionesv1, . . . , vn (k(U)sonunsistemadecoordenadas locales de clasek enx Usi y solo si lasdxvison base deTx(c).Demostracion. Porelteoremadelafuncioninversasabemosque(vi) es un sistema de coordenadas locales enx Usi y solo si, dado unsistema de coordenadas linealesxi, se tiene quedet_vixj_,= 0,y esto equivale a que los vectores cotangentesdxvi =n

j=1_vixj_(x)dxxj,sean base.Nota1.31Observemos que de este resultado se sigue que si las diferen-ciales de un n umero nito de funciones diferenciables, son independientesen un punto, tambien lo son en un entorno del punto, pues pueden ex-tenderse a una base.1.7. Sistemasdecoordenadas 33Consideremos un difeomorsmo de clasek + 1F= (v1, . . . , vn):U c F(U) = V Rn,entonces las 1formasdv1, . . . , dvn,son base de k(U), pues dado un sistema de coordenadas linealesxienc, tendremos quedvi =n

j=1_vixj_dxj.Denicion.En los terminos anteriores denotaremos conv1, . . . ,vn Tk(U),la base dual de lasdvi. Si ces de dimension1, yves una coordenadadeU c, escribiremosdfdv=fv.Ejercicio1.7.1 Enlosterminosanterioresdemostrarque: 1)Paray1, . . . , ynlasproyeccionesde Rn,yparacadap U,setienequeF_vi_p=_yi_F(p).2)Sif= g(v1, . . . , vn),entoncesfvi=gyi(v1, . . . , vn).3)Paracadaf C1(U),df=n

i=1_fvi_dvi.4)Paracada k(U),=n

i=1_vi_dvi.5)ParacadacampoD Dk(U)D=n

i=1Dvivi.34 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialEjercicio1.7.2 Demostrarquesi (u1, . . . , un)y(v1, . . . , vm)sonsistemasdecoordenadas de clase k en abiertos U E1y V E2respectivamente, entonces(w1, . . . , wn+m)talesquepara(p, q) U Vwi(p, q) = ui(p), parai = 1, . . . , n,wn+j(p, q) = vj(q), paraj= 1, . . . , m,sonunsistemadecoordenadasdeclasekenU V .Ejercicio1.7.3 Demostrarquelasfunciones =_x2+y2, =___arc cos x/_x2+y2 (0, ) siy> 0,arc cos x/_x2+y2 (, 2) siy< 0,arcsin y/_x2+y2 (/2, 3/2) six < 0.formanunsistema de coordenadas llamadas polaresde clase enelabiertoR2{(x, 0) R2: x > 0}.Ejercicio1.7.4 i)Enlosterminosdelejercicioanteriorcalcular:x2,x,[log () y],xy.ii)Escribirenlascoordenadaspolaresloscamposxx+yy, yx+xy,ydarunaintegralprimeradecadauno.iii)Escribirencoordenadas(x, y)loscampos:,, , +.iv)Escribirencoordenadaspolareslas1formasdx, dy, xdx +ydy,1ydx xy2dy.v)Escribirencoordenadas(x, y)las1formasd, d, d +d.1.8. Ecuacionesdiferenciales 35Ejercicio1.7.5 a)Encontrardosintegralesprimerasdelcampode R3D= yx+xy+ (1 +z2)z.b)Encontrarunaintegralprimeracom unaloscamposde R3D= yx+xy, E= 2xzx+ 2yzy+ (x2+y21 z2)z.1.8. EcuacionesdiferencialesDenicion. Llamaremoscurvaparametrizadaenel abiertoUde catoda aplicacion de clase 1, denida en un intervalo realX:I R U.Figura1.9.CurvaintegraldeDDenicion.DadoD Tk(U) yp U, diremos que una curva parametri-zadaX: IUes unasoluciondelaecuaciondiferencial ordinaria(EDO) autonoma denida porD, ouna curva integralde D, si para cadat IX_t_t= DX(t).Seaxi un sistema de coordenadas en cyD =

fi(x1, . . . , xn)i. Sidenotamos conXi(t) = xi[X(t)],paraXuna curva integral deD, tendremos queX

i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)].36 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialEjercicio1.8.1 Demostrar que toda integral primera f de uncampo DesconstanteencadacurvaintegralXdeD,esdecirquef X= cte.Ejercicio1.8.2 Encontrar la curva integral en forma implcita, del campode R3D= yx+xy+ (1 +z2)z,quepasapor(1, 0, 0).1.8.1. Cambiodecoordenadas.Dado un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de coor-denadasxiX

i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)],y dado otro sistema de coordenadasv1, . . . , vn, podemos escribir el sis-tema de ecuaciones en este sistema de coordenadas observando que siD =n

i=1fi(x1, . . . , xn)xi=n

i=1(Dvi)vi=n

i=1__n

j=1fj(x1, . . . , xn)_vixj___vi=n

i=1__n

j=1hij(v1, . . . , vn)__vi,entonceslascomponentesdeXenelsistemadecoordenadasvi, Yi=vi X, satisfacen el sistema de ecuacionesY

i (t) =n

j=1hij[Y1(t), . . . , Yn(t)].Ejercicio1.8.3 Obtenerlaexpresi onanterioraplicandolaregladelacadenaaY

i= (vi X)

.Ejercicio1.8.4 Escribirlossistemasdeecuacionesdiferenciales_x

= yy

= x___x

=xy2y

=1yenelsistemadecoordenadaspolares.1.8. Ecuacionesdiferenciales 371.8.2. Ecuacionesdiferencialesnoautonomas.Si Iesunintervaloabiertode RyUesunabiertode c,enIUtenemosunaderivadaparcial especial, aunquenohayamoselegidounsistema de coordenadas en c.Denicion.Llamaremos/t al campo tangente de T(IU) tal quepara cadaf ((I U)ft (t, p) = lmr0f(t +r, p) f(t, p)r,el cual vericat/t = 1 para la funcion deI U,t(r, p) = r.Denicion. Llamaremos solucion de una ecuacion diferencial ordinarianoautonoma denidaenI U, alaproyeccionenUdelas curvasintegralesXde los camposD T(I U), tales queDt = 1, t X = id.Si enUconsideramos un sistema de coordenadasxi y enI Ucon-sideramos el sistema de coordenadas (t, x1, . . . , xn), entonces los camposD T(IxU) tales queDt = 1, son de la formaD =t +f1(t, x1, . . . , xn)x1+ +fn(t, x1, . . . , xn)xn,y siXes una curva integral suya y llamamosX0 = t X,Xi = xi X,tendremos queX

0(r) = 1,es decir que existe una constantek, tal que para todor,t[X(r)] = X0(r) = r +k,y nuestras soluciones (t X = id) son las que corresponden a k = 0. Portanto en coordenadas la solucion X1, . . . , Xn de una ecuacion diferencialordinaria no aut onoma satisface el sistema de ecuaciones diferencialesX

1(t) = f1[t, X1(t), . . . , Xn(t)]...X

n(t) = fn[t, X1(t), . . . , Xn(t)].38 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.8.3. Ecuacionesdiferencialesdesegundoorden.Consideremos ahora la aplicacion proyeccion canonica:T(U) U, (Dp) = p,la cual es de clase .Denicion. Llamaremosecuaciondiferencial desegundoordenenunabierto Ude ca todo campo tangente en el brado tangente de U, D T[T(U)], tal que su proyeccion porsea el campo a soporte universal,es decirD = E,o lo que es lo mismo tal que para todoTp T(U)DTp = Tp.Veamos como es un campo de estos en las coordenadas (xi, zi) verleccion 4. Por el ejercicio (1.4.3) tenemos queD = E (D)xi = Exi = zi,por tanto son los campos de la formaD =

zixi+

Dzizi,y siXes una curva integral suya, tendremos que llamandoDzi = fi(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),Xi(t) = xi[X(t)], Zi(t) = zi[X(t)],entoncesX

i(t) = Zi(t)Z

i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), Z1(t), . . . , Zn(t)],o lo que es lo mismoX

i (t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), X

1(t), . . . , X

n(t)].1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 391.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales1.9.1. Desintegraci on.Se sabe experimentalmente que la velocidad de desintegracion deuna sustancia radioactiva es proporcional a la cantidad de materia. Ental casolacantidaddemateriaencadainstantevendradadaporlaecuacion diferencialx

(t) = kx(t),dondek > 0, por tantox

(t)x(t)= k log x(t) = kt + cte x(t) = x(0) ekt.Observemos que el campo tangente asociado esta en R y en la coordenadax se escribeD = kxx.Ejercicio1.9.1 Siescierto1queenunaeconomaestablelavelocidaddedis-minuci ondel n umerodepersonasy, conunsalariodeporlomenosxeuros,esdirectamenteproporcional al n umerodepersonaseinversamentepropor-cionalasusalario,obtengaselaleydePareto,esdecirlaexpresi ondeyenterminosdex.1.9.2. Reproduccion.Se sabe que la velocidad de reproduccion de las bacterias es, cuandono hay demasiadas, casi proporcional al n umero de bacterias, y cuandohaydemasiadasestasinuyennegativamenteylavelocidadderepro-duccion se hace negativa. Se plantea as la siguiente ecuacionx

(t) = k1x(t) k2x2(t),conk1, k2> 0, yk2peque no. El campo tangente asociado esta en R yen la coordenadax se escribeD = (k1x k2x2)x.1ComopensabaeleconomistaVilfredoPareto40 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialEjercicio1.9.2 Demuestrese que la velocidad de reproduccion es m axima cuan-dolapoblaci ondebacteriastienelamitaddesutama nodeequilibrio.1.9.3. LeydeGalileo.Consideremosuncuerpodemasa1. LaleydeGalileonosaseguraque en cada libre su aceleracionx

(t) es constante e igual ag.Esunaecuaciondiferencial desegundoordenenlarecta, lacualdene una ecuacion diferencial en el brado tangente de la recta, que encoordenadas (x, z) se plantea de la formax

(t) = z(t)z

(t) = g_z(t) = gt +z(0)x(t) =12gt2+x

(0)t +x(0)___y cuyo campo asociado esD = zx +gz.Nota1.32La Ley de la atraccion Universal de Newton aseguraque dados dos cuerpos con masasMym a distanciaR, se produce unafuerza de atraccion dem hacia My otra deMhacia m, de modulomGMR2,y por la Segunda Ley de Newton, la aceleracion dem valeGMR2,dondeG = 6

6731011(N m2/kg2) es una constante Universal.Ahora bien esto nos dice por una parte, que si Mes la Tierra ymesta en las proximidades de su supercie, sufre una aceleracion constanteg =GMR2= 9

8(N),independiente del valor de su masa, donde R es el radio de la tierra. Conlo cual obtenemos la Ley de Galileo.Pero por otra parte tambien tenemos una explicacion de esa constanteG.AcabamosdedecirqueuncuerpoconmasaMaceleraatodoslos1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 41cuerposqueestenadistanciaRconlamismaaceleracionyqueestaaceleraciondeterminalamasaM.Estonospermitedenirapartirdeunidadesdelongitudytiempo(comometroysegundo)unaunidaddemasacanonica.Llamemos kg Natural a la masa de un cuerpo que a 1 metro aceleraa cualquier cuerpo 1m/seg2.Naturalmente como el kg es una unidad cuyo origen historico es in-dependientedel metroydel segundo, (eslamasade1cubodeaguade 1 decmetro de lado es decir de 1 litro), pues no coincide con elkgNaturalylaproporcionentreambosesestaconstanteUniversal G.Esdecirquelanaturalezamagicadeesemisterioson umerouniversalestaenlaeleccionarbitrariadel kgque, tambienescierto, puedesermas operativo que el del kg Natural.PorotraparteenLaTeoradelaRelatividadlaconstanciadelavelocidaddelaluznospermiterelacionarlasunidadesdetiempoydelongitud y hablar de a nos-luz como unidad de longitud.Es decir que las unidades de longitud y tiempo se determinan mutua-mente y con ellas se determina una unidad de masa. Pero habra algunaunidaddelongitudcanonica?. Esposiblequeseaas puestoqueenelUniverso hay protones. Y es posible que alguna de las constantes univer-sales de la fsica (de Planck, etc.), sea la conrmacion de esto (en cuyocasoeln umeroquedeneesaconstanteenunasunidadesseraconse-cuencia, una vez mas, de la eleccion arbitraria de dichas unidades. Peroesto es hablar por no callar...1.9.4. Elpendulo.Figura1.10.PenduloConsideremos un pendulo de ma-sa m suspendido, en el origen de coor-denadas de R2, por una barra rgidade masa despreciable y de longitud L.Suposicion, encadainstante t,viene determinada por el angulo(t)queformalabarraenel instante tconel semiejenegativodelasorde-nadas, medido en sentido contrario aldelmovimientodelasagujasdelre-loj. Tal posicion es(t) = L(sen (t), cos (t)) = Le1(t),42 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialy comoe

1 =

(t)(cos (t), sen (t)) =

(t)e2(t),e

2 =

(sen , cos ) =

e1,tendremos que la velocidad del pendulo en cada instantet vendra dadaporv(t) =

(t) = L

(t)e2(t),y la aceleracion pora(t) =

(t) = L

(t)e2(t) L

(t)2e1(t)Por otra parte sobre la masa act uan dos fuerzas por unidad de masa, la dela gravedad que es (0, g) y otra con la direcci on de la barra Fe1(t), queimpide que la masa deje la circunferencia y que unas veces apuntara enla direccion del centro de la circunferencia (F< 0) y otras en direccioncontraria (F> 0). La de la gravedad se descompone en terminos de labasee1, e2de la forma(0, g) = ((0, g)e1)e1 + ((0, g)e2)e2 = mg cos e1mg sen e2,y por la segunda Ley de Newtonma(t) = (0, mg) +mFe1, es decirL

(t)e2L

(t)2e1 = g cos e1g sen e2 +Fe1,lo cual equivale al par de ecuacionesL

(t) = g sen , L

(t)2= g cos +F,y el movimiento del pendulo queda descrito por la ecuacion(1.7)

(t) = gL sen (t).Puesta en coordenadas es una ecuacion diferencial de segundo ordenen la recta real. Aunque realmente es una ecuacion diferencial de segundoordenenlacircunferenciaycorrespondeauncampotangenteenelbrado tangente a la circunferencia, que es el cilindro.Pararesolverestaecuacionintroducimosunanuevavariablez(lavelocidad de la masa, que es | v |), y consideramos el sistema

(t) =z(t)L,z

(t) = g sen (t),1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 43que corresponde al campo tangenteD =zL g sen z.3p p -p02pFigura1.11.curvasintegralesObservemosqueD= 0parala1forma exacta = Lg sen d+zdz = d[z22 gLcos ],por lo que la funcionh =z22gLcos ,quevericah gL, es unaintegral primerade Dypor tantoesconstante en las curvas integrales deD(ver dibujo (1.11). Observemosque la suma de la energa cinetica y la energa potencialEc +Ep = mz2(t)2mgLcos (t),es decir la energa total del sistema, es tambien una integral primera deD y por tanto es constante a lo largo de las curvas integrales de D. Estodemuestra la Ley de conservacion de la energa en el pendulo.Nota1.33Observemos (ver gura (1.11)), que hay cuatro tipos de cur-vas integrales y que estan sobre las curvas h = cte: Las constantes, quecorresponden a los puntos en los que D = 0, que son (0, 0) y (, 0) en lafranja [0, 2)R. El primero esta sobre la curva h = h(0, 0) = gL,quesolocontienealpunto(0, 0),puesz2=2gL(cos 1) 0,mien-trasqueelsegundoestasobrelacurvaespecial h =h(, 0) =gL =C (, 0), queestaformadapordoscurvasintegrales: laconstan-te(, 0) yel restoCquerepresentael movimientodel penduloqueseaproxima, cuandot , al puntomasaltodelacircunferencia,con velocidad tendiendo a cero, sin alcanzarlo nunca salvo en el lmite.Estacurvaintegral esla unicanoperiodica. Lacurvaintegral deD,p(t) = ((t), z(t)), con las condiciones inicialesp = (, z0), conz0 ,= 0,esta sobre la curvah(, z) = h(, z0) > gL,ysedemuestraqueestacurvaes latrayectoriade pyqueestaesperiodicadeperodo2. Por ultimolacurvaintegral de D, p(t) =44 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial((t), z(t)), conlascondicionesiniciales p=(0, 0), con ,=0 ,=0,satisface la ecuacionh(, z) = h(0, 0) < gLque son los ovalos en la gura ??. Se sigue de (2.28), pag.81, quepescompletaesdecirdenidaentodo Rycomoelcamponoseanulaenesta curva, se sigue de (5.37), pag.270, que la trayectoria de p es el ovaloyquepesunacurvaperiodica,esdecirexisteelmnimovalorT> 0al que llamamos perodo de la curva, tal quep(0) =p(T) =p. Ypara0> 0 tenemos quez(t) =__2gL(cos (t) cos 0), sit [0, T/2];_2gL(cos (t) cos 0), sit [T/2, T].Si se quiere encontrar(t) es necesario resolver una integral elpticade primera especie, pues integrando entre 0 ytdt = L

(t)z(t) dt,t =_t0L

(t)z(t) dt = L2g_(t)(0)dcos cos 0,y por tantoT2=L2g_00dcos cos 0,T= 4L2g_00dcos cos 0,y utilizando la igualdadcos = 1 2 sen22,se tiene queT= 2Lg_00d_sen202 sen22,1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 45y con el cambio de variablesen 2= sen 02sen = a sen ,tendremosT= 4Lg_/20d_1 a2sen2,y como para [x[ < 1 se tiene11 x= 1 + 12x + 1324x2+ 135246x3+se demuestra (parax = a2sen2) queT= 2Lg_1 +_12_2a2+_1324_2a4+_135246_2a6+_,y se tiene que si0 0 entoncesa 0 y el perodo converge a(1.8) T= 2Lg .Ejercicio1.9.3 Una masa sobre una esfera lisa de radio L se desplaza innite-simalmente del punto mas alto y empieza a resbalar sin rozamiento y sin rotar.enquepuntoyconquevelocidadseseparadelaesfera?A menudo (1.7) se transforma por

(t) = gL(t),que es una buena aproximacion para peque nas oscilaciones del pendulo,pues para peque no sen , y tiene la ventaja de ser mas sencilla deresolver.Sin embargo la razon de esta aproximacion la veremos en la leccion5.2, pag.226, donde probaremos que una ecuaci on diferencial en un puntosingulartieneasociada,canonicamente,otraecuaciondiferencialensuespacio tangente, a la que llamamos su linealizacion.En el tema de los sistemas lineales veremos quex

= k2x,46 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialconk > 0, tiene solucion periodicax(t) = A cos(kt) +Bsen(kt) = Ccos(kt +),para [0, 2) yC =_A2+B2, cos =AC, sen = BC,y que parak =_g/L) el perodo esT=2k= 2Lg= R2_LMG,que es el valor lmite (1.8), donde recordemos queRes la distancia dela masa al centro de la Tierra.Conestotenemosunajusticaciondeporqueunrelojdependuloatrasa si lo llevamos del polo al ecuador, en el que la distancia al centrode la tierra es mayor.Ejercicio1.9.4 Justifqueseporqueunrelojdependuloatrasasilollevamosdel poloal ecuadoryestmeselaproporci ondeabultamientodelaTierraenesospuntos,sielretrasodiarioesdetresminutos.1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 47EjerciciosresueltosEjercicio1.4.1.- (a) Demostrar queexisteunabiyecci onentrecampos devectoresF: U Edeclasekycamposdevectorestangentes {Dp Tp(E) :p U}declasek,queverica:(i) Si a Fle corresponde {Dp} y a G {Ep}, entonces a F +G le corresponde{Dp +Ep}.(ii) Si a Fle corresponde {Dp} y f Ck(U), entonces a fFle corresponde{f(p)Dp}.(b) Demostrar que {DpTp(E) : pU} es uncampo de vectorestangentesdeclaseksi ys olosi laaplicaci on: U T(U), (p)=Dpesunaseccionde,declasek.Demostracion.(a)Consideremosunsistemadecoordenadaslinealesxicorres-pondientesaunabaseeide E.ParacadaF: U Econsideramoslasfuncionesfi=xi F, entoncesparacadap Utenemoselvectorde EF(p) = f1(p)e1 + +fn(p)en,elcualcorrespondeporelisomorsmocanonico E Tp(E),alvectordeTp(E)Dp= f1(p)_x1_p+ +fn(p)_xn_p.AhoraFesdeclaseksiysolosilasfi Ck(U)yesf acilcomprobarquelosDpsatisfacenlacondiciondeladenici on(1.4.1).Recprocamentesiparacadap UtenemosunvectorDp= f1(p)_x1_p+ +fn(p)_xn_p Tp(E),vericandolacondici onde(1.4.1),entoncescomoDpxi=fi(p)tendremosquefi Ck(U)ylaaplicaci onF :U E,F(p) = f1(p)e1 + +fn(p)en,esdeclasek.Queestacorrespondenciatienelaspropiedades(i)y(ii)esevidente.(b) Es facil comprobar que si alos {Dp}les corresponde F por laparte (a),entoncesU T(U) p (p) = Dpid____U U E p (p, F(p))yesdeclaseksiysolosiFesdeclasek.Ejercicio1.4.2.-Demostrarqueentrelosconjuntosdevectores{DFp TF(p)(E1) : p V },conlapropiedaddequeparacadaf C(U),lafunci onp V DFp f R,48 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialest aen C(V ) yel espacio DF(U), existeunabiyecci onvericandolas si-guientescondiciones:(i)SiDF,EF DF(U),entoncesparacadap V(DF+EF)p= DFp+EFp .(ii)Sif C(V ),entoncesparacadap V(f DF)p= f(p) DFp .Indicacion.-ConsideremosDFpf= DFf(p).Ejercicio1.4.3.-SeaF :V E2 U E1,diferenciable.(a)DemostrarqueparacadaD D(V )yp V(FD)p= FDp.(b)DemostrarqueparacadacampoD D(U)yp V[FD]p= DF(p),yque DF(U)esunm odulolibreconbaseF_xi_,paracadasistemadecoordenadaslinealesxienU.(c)Demostrarque {DFp TF(p)(E1) : p V },satisfacelascondicionesde(a)yportantodeneuncampoasoporteDF DF(U)siys olosi:V T(U), (p) = DFp ,esunaaplicaci ondeclase ,talque = F.Soluci on.(b)BastademostrarpuntoapuntolaigualdadDF=n

i=1(DFxi)F_xi_.(c)ConsideremoslaaplicacionH: V E1, denidaparacadap V comoelvectorH(p) E1, correspondienteporel isomorsmocan onicoTF(p)(E1) E1, aDFp.EsdecirquesiDFp=

hi(p)[/xi]F(p),entoncesH(p) =

hi(p)eiparaeilabasedualdexi.Enestosterminostenemosque{DFp TF(p)(E1) : p V },satisfacelascondicionesde(a)siysolosilashi C(V ),esdecirsiys olosiHesdeclase , ahorabienestoequivaleaquelaaplicacion(p)=DFpseadeclase ,puesV T(U) p (p) = DFpF____U U E1F(p) (F(p), H(p))1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 49Ejercicio1.5.3.-Demostrarqueparap Uydpf = 0,elhiperplanoH= {Dp Tp(E) : dpf(Dp) = 0},estangentealahipersupercieS= {x: f(x)=f(p)}, enel sentidodequecoincideconelconjuntodevectores{Dp Tp(E) : X: I U, X(0) = p, X(t) S, X_t_0= Dp}.Soluci on. Es f acil demostrar que este conjunto esta enel hiperplano. Rec-procamente supongamos que p =(pi) U y supongamos que f(p)/xn=0,entonces por el teorema de la funcionimplcita existe una funciong denida enunentornoV de(p1, . . . , pn1),talqueg(p1, . . . , pn1) = pnyf(x1, . . . , xn1, g(x1, . . . , xn1)) = f(p),para cada (x1, . . . , xn1) V . Consideremos cualquier Dp=

aiip Hy la curvax1(t) = p1 +ta1, . . . , xn1(t) = pn1 +tan1,xn(t) = g[x1(t), . . . , xn1(t)],paralaqueX(0) = pyf[X(t)] = f(p)yderivandoestaecuacionent = 0yteniendoencuentaqueDpf= 0yx

i(0) = aiparai = 1, . . . , n 1n

i=1fxi(p)x

i(0) = 0 =n

i=1fxi(p)ai x

n(0) = an,locualimplicaqueX_t_0= Dp.Ejercicio1.6.5.-Consideremosunproductointerior< , >en E, unabaseortonormaleiyelsistemadecoordenadaslinealesxicorrespondientesaestabase.Demostrarque:(i)Paratodaf Ck+1(U)grad f=

fxixi Dk(U).(ii)QueelcampoD= grad f,esuncampoperpendicularalassuperciesdeniveldef.(iii)Quesi U R2, entoncesel campograd f deneencadapuntoxelvector Dxel cual indicaladirecci onysentidode m aximapendiente de lagr acadefenelpunto(x, f(x)).Demostracion. (b)Ep Tp(E)estangentealasuperciedenivel {f=f(p)}siysolosiparaD= grad fsetieneque< Dx, Ex>= dxf(Ex) = 0.50 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial(c)Lapendientedelagracadefenelpuntox,relativaaladireccionvxesvxf= dxf(vx) =< Dx, vx>,lacual es maxima, entre vectores vxde igual m odulo, cuandovxtiene lamismadireccionysentidoqueDx.Ejercicio1.7.5.-(a)Encontrardosintegralesprimerasdelcampode R3D= yx+xy+ (1 +z2)z.(b)Encontrarunaintegralprimeracom unaloscamposde R3D= yx+xy, E= 2xzx+ 2yzy+ (x2+y21 z2)z.Soluci on.(a)Consideremosla1formaincidentexdx +ydy= d,para =_x2+y2.Ahoraconsideremosotra1formaincidente1xdy 1(1 +z2)dz=1_2y2dy 11 +z2dz,ycomoD = 0,tambienesincidenteconDla1formad_arc senyarctan z_= d( arctan z),portantolafunci onencoordenadascilndricas(, , z), arctan zesotraintegralprimera.(b)Considerarelsistemadecoordenadas(, , z).Ejercicio 1.8.2.- Encontrar la curva integral en forma implcita, del cam-pode R3D= yx+xy+ (1 +z2)z,quepasapor(1, 0, 0).Soluci on. Enel ejercicio(1.7.5) encontramos dos integrales primeras de estecampoenlascoordenadascilndricas(, , z),x2+y2, arctan z,portantonuestracurvasolucionenformaimplcitasatisfacex2+y2= 1, z= tan = y/x.Ejercicio1.9.1.- Si es cierto2queenunaeconomaestablelavelocidaddedisminuci on del n umero de personas y, con un salario de por lo menos x euros,2ComopensabaeleconomistaVilfredoPareto1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 51esdirectamenteproporcional al n umerodepersonaseinversamentepropor-cionalasusalario,obtengaselaleydePareto,esdecirlaexpresi ondeyenterminosdex.Soluci on.-Seay(x)el n umerodepersonasconsalario x, entoncesy

(x)=ky(x)/x,portantoy(x) = xk.Ejercicio 1.9.3.- Una masa sobre una esfera lisa de radio L se desplaza innite-simalmente del punto mas alto y empieza a resbalar sin rotar y sin rozamiento.enquepuntoyconquevelocidadseseparadelaesfera?Soluci on.-Lasecuacionesdelmovimientodelamasasonlasmismasquelasdelpendulomientraslamasasemantengasobrelaesfera,esdecirL

(t) = g sen , L

(t)2= g cos +F,ybuscamos el puntoenel que F =0, es decir L2

(t)2/2 =gLcos /2, de lacurvaintegral decondicionesiniciales(, )con 0observemosquelasolucioncorrespondientea=0esconstante, lamasasequedasobrelaesferasinmoverseysemuevesi ladesplazamos innitesimalmenteconvelocidad 0. Por tantonuestracurvaest aenh = h(, ),esdecirL222gLcos = L2

2/2 +gL,portanto3gLcos /2 = L2

2/2 +gL,yhaciendo 0, tenemoscos = 2/3. Lavelocidadenesepuntoestadadaporz=_2gL/3.Figura1.12.52 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialBibliografaycomentariosLos libros consultados en la elaboracion de este tema han sido:Boothby,W,M.: AnintroductiontodierentiablemanifoldsandRiemanniangeo-metry.Ac.Press,1975.Collatz,L.:DierentialEquations.Anintroductionwithapplications.JohnWi-leyandSons,1986.Crampin,M.andPirani,F.A.E.:ApplicableDierentialGeometry.CambridgeUniversityPress,1988.Spiegel, M.R.:Ecuacionesdiferencialesaplicadas.Ed.PrenticeHallinternacio-nal,1983.Los creadores del calculo diferencial fueronIsaacNewton yLeib-nitz, para los que la derivada de una funcion era el cociente de la dife-rencial delafuncionyladiferencial desuargumentoel nombredediferencial deunafuncionf,ascomosunotaciondfesdeLeibnitz,IsaacNewtonlallamabamomentodelafuncion. El tratamientoque daLeibnitz del tema nos ha llegado a traves de unas lecciones deAnalisis de LHopital, en las cuales se encuentra un tratamiento de lasecuaciones diferenciales en curvas muy superior al que tratan los librosen la actualidad, hasta el punto que introduce conceptos como el de ladiferencial covariante, queloslibrosdeanalisishanperdidoysoloseencuentra en libros de Geometra.FindelTEMAITema2TeoremasfundamentalesdeEcuacionesdiferenciales2.1. GrupouniparametricoAlolargodel tema, denotaremoscon c unespaciovectorial realdedimensionn, enel queconsideraremosunsistemadecoordenadaslinealesxi, correspondientes a una baseei.Denicion.SeaUun abierto de c, diremos que una aplicacionX: R U U,es un ujoo un grupo uniparametricosi se tienen las siguientes propie-dades:a) Para todop U,X(0, p) = p.b) Para todop Uyt, s R,X(t, X(s, p)) = X(t +s, p).5354 Tema2. TeoremasfundamentalesdeEcuacionesdiferencialesDenicion. Diremos que un grupo uniparametrico X es de clase k si Xes de clasek y lasXi/t son de clasek en R U, paraXi = xi Xyxiun sistema de coordenadas lineales en c.Si XesungrupouniparametricoenUdeclasek,podemosdenirlas siguientes aplicaciones de clasek asociadas a el:Para cadat R y cadap UXt:U U, Xp: R U,tales queXt(p) = X(t, p) para todop UyXp(t) = X(t, p) para todot R.Nota2.1Observemos que cada Xt:U Ues realmente un difeomor-smo de clasek, para cadat R, pues tiene inversa que es de clasek,ya que esXt. Ademas observemos que en terminos de las aplicacionesXt, las propiedades (a) y (b) de grupo uniparametrico se expresan de laformaX0 = id, Xt+s = Xt Xs,por lo que que el conjuntoXt, t R,es un grupo de difeomorsmos de clasek que opera sobreU, y que estaforma de operar tiene una simple interpretacion. Para cada t R y paracadap U,Xt(p) es el punto deUal que llegap en el tiempot.Entenderemos por grupo uniparametrico indistintamente a X, al gru-po de difeomorsmos Xt con t R, o a la familia de curvas Xp con p U.Veamos unos ejemplos simples de ujos de clase en Rn:Ejemplo2.1.1Las traslaciones.- Sea a Rnjo, denimos para cadat R,Xt: RnRn, Xt(x) = x +ta.Ejemplo2.1.2Lashomotecias.- Para cadat R denimosXt: RnRn, Xt(x) = etx.Ejemplo2.1.3Losgirosen R2.- Para cadat R, seaXt: R2R2, Xt(x, y) = (xcos t y sen t, xsen t +y cos t).Veamos ahora el concepto localmente.2.1. Grupouniparametrico 55Denicion. SeaUun abierto de cy sea Jun abierto de RUconte-niendo a 0 U, tal que para cadap U, el conjuntoI(p) = t R : (t, p) J,esunintervaloabiertodeRconteniendoal origen. DiremosqueunaaplicacionX: J U,es un grupo uniparametrico local si se verica que:a)Paracadap U,X(0, p) = p.b)Sit I(p)yq = X(t, p),entoncesI(p) = I(q) +t,esdecirs I(q) t +s I(p),ysetienequeX(s +t, p) = X(s, X(t, p)).Diremosqueelgrupouniparametricolocal Xesdeclaseksi Xesde clasek y lasXi/t son de clasek en J, paraXi = xi X.Si denotamosI = I(p) : p U = 1(J),para 1(t, x) = t, y para cada t Iconsideramos los abiertos de Uy lasaplicacionesUt = p U: (t, p) J, Xt:Ut Ut, Xt(p) = X(t, p),entonces (a) y (b) se transforman respectivamente ena)X0 = id:U U.b)Ut+s = Xs(Ut)yenesedominioXt+s = Xt Xs.Veremos a continuacion que todo grupo uniparametrico enUdeneuncampotangenteenU. Tal camponosdaencadapuntounvectordel espacio tangente que representa la velocidad del movimiento en esepunto.Porotraparteveremosmasadelantequeestosvectoresjuntos,es decir el campo tangente, producen un movimiento en el abiertoU, esdecir denen un grupo uniparametrico.Teoremadel generadorinnitesimal deungrupounip.2.2SeaXun grupo uniparametrico local de clasek. Para cadaf ((U)yp Udenimos(Df)(p) = lmt0f[X(t, p)] f(p)t,entoncesD Tk(U) y lo llamaremos el generador innitesimal deX.56 Tema2. TeoremasfundamentalesdeEcuacionesdiferencialesDemostracion.-Considerandounsistemadecoordenadaslinealesxi en cy aplicando la regla de la cadena, se tiene que Df (k(U), puesDf(p) =f Xt(0, p) =n

i=1fxi(p)Xit(0, p),y queD es una derivacion se sigue de serlo la/t.Nota2.3i) Observemos que para cadap UXp:I(p) U, Xp(t) = X(t, p),es la curva integral deD pasando porp en el instante 0, es decirXp(0) = p, Xp_t_t= DXp(t).ii) Observemos que para cadax Uy cadat R,Df Xp = (f Xp)

.Proposicion2.4Todo ujo localXt, deja invariante a su generador in-nitesimal D, es decir, para todot Iyp Ut,XtDp = DX(t,p).Demostracion.- Seap Ut,q = Xt(p) yg ((U), entonces[XtDp]g = Dp(g Xt)= lms0[g Xt Xs](p) [g Xt](p)]s= (Dg)(q) = Dqg.Ejercicio2.1.1 Encontrar los generadores innitesimales delas traslaciones,homoteciasygirosen R2.2.2. Existenciadesolucion 572.2. Existenciadesoluci onAlolargodelaleccionUseraunabiertodeunespaciovectorialcde dimensionn, en el que hemos elegido una baseeiy su sistema decoordenadas lineales correspondiente xi. Con esta eleccion c se identicacon Rn.SeaD T0(U)uncampotangentecontinuo, KuncompactodeU, p Int Kyt0 R.QueremossabersiexistealgunacurvaintegraldeDpasandoporpenelinstantet0,esdecirsiexistealg unintervaloreal I= (t0 a0, t0 + a0), y una curvaX:I Ude clase 1, tal queX(t0) = p y para todot IX_t_t= DX(t),o equivalentemente para p = (p1, . . . , pn), X = (Xi) y el campo tangenteD =

fi/xi, si existen funcionesX1, . . . , Xn:I R, satisfaciendoel sistema de ecuaciones diferencialesXi(t0) = pi, X

i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)],parai = 1, . . . , n, o en forma vectorial paraF= (f1, . . . , fn), X

= (X

1, . . . , X

n),si existeX:I U, tal queX(t0) = p, X

(t) = F[X(t)],o en forma integralX(t) = p +_tt0F[X(s)]ds,entendiendo que la integral de una funcion vectorial es el vector de lasintegrales.A lo largo de la leccion consideraremos en Rnuna norma cualquiera.58 Tema2. TeoremasfundamentalesdeEcuacionesdiferencialesLema2.5SeaKuncompactoenunabiertoUdeRn, p Int (K),t0 R yF :U Rncontinua. Entonces existeI= (t0 a0, t0 + a0),con a0> 0, tal que para todo> 0 existe Z:I U, diferenciable salvoen un n umero nito de puntos, tal queZ(I) K,Z(t0) = p y salvo enel n umero nito de puntos| Z

(t) F[Z(t)] | .Demostracion. ComoF :U Rnes continua es uniformementecontinua enK. Dado > 0 consideremos un> 0 tal que six, y Ky| x y | entonces| F(x) F(y) | .Seanr >0tal queB(p, r) K, M=sup|F(x) |: x K,a0 = r/M,I = (t0a0, t0 +