Apuntes de la asignatura Ampliación de...

Apuntes de la asignatura Ampliaciónde Cálculo

Ignacio Villanueva Díez

Índice general

Capítulo 1. Sucesiones y series de funciones 31. Funciones y espacios funcionales 32. Límites de sucesiones de funciones 83. Convergencia puntual 94. Convergencia uniforme 105. Convergencia en norma 2 156. Series funcionales 18

Capítulo 2. Polinomios y desarrollos en serie de Taylor 231. Introducción y definiciones 23

Capítulo 3. Series de potencias 291. Introducción 29

Capítulo 4. Series de Fourier 351. Introducción y definiciones 352. Convergencia de las series de Fourier 45

Capítulo 5. Transformada Integral de Fourier 511. Definición. 512. Propiedades de la transformada de Fourier 54

Capítulo 6. Aplicaciones a la teoría de la señal. 571. Convolución y filtros 572. Teorema de Nyquist 603. Modulación de amplitud 63

Bibliografía 65

1

Capítulo 1

Sucesiones y series de funciones

1. Funciones y espacios funcionales

A lo largo de este curso trabajaremos a menudo con funciones f :I −→ R, donde I será un intervalo de R. Frecuentemente I será [0, 1],o (−∞,+∞), aunque en general puede ser cualquier intervalo de R.

Tendremos necesidad en muchas ocasiones de hablar de “las fun-ciones definidas sobre I”. El problema es que el conjunto de todas lasfunciones reales definidas sobre un intervalo I es en general demasiadogrande, poco manejable, y la gran mayoría de funciones que contieneno son interesantes para la ingeniería (ni siquiera para la matemática).Es por ello que necesitaremos definir espacios funcionales más peque-ños y manejables y que contengan las funciones interesantes para laingeniería.

Por ello pasamos a recordar algunas nociones algebraicas necesariaspara poder definir estos espacios:

1.1. Espacios Vectoriales. Comenzamos recordando la nociónde Espacio Vectorial. Sea E un conjunto en el que tenemos definidauna suma

+ : E × E −→ E

de manera que (E,+) es un grupo conmutativo, es decir, + verifica lassiguientes propiedades:

1. Asociatividad, es decir, para todos x, y, z ∈ E,

(x+ y) + z = x+ (y + z)

2. Conmutatividad, es decir, para todos x, y ∈ E,

x+ y = y + x

3. Existencia de Elemento neutro, es decir, existe un elemento 0 ∈E tal que para todo x ∈ E,

x+ 0 = x.

4. Existencia de Elemento Simétrico, es decir, para todo x ∈ Eexiste −x ∈ E tal que

x+ (−x) = 0

3

4 1. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

Sea ahora K = R ó C el cuerpo de los escalares, y supongamos queexiste un producto

· : K× E −→ E

con las siguientes propiedades1. Para todos α, β ∈ K, para todo x ∈ E,

(αβ) · x = α · (β · x)

2. Para todos α, β ∈ K y para todo x ∈ E,

(α + β) · x = α · x+ β · x3. Para todos x, y ∈ E y para todo α ∈ K,

α · (x+ y) = α · x+ α · y4. Para todo x ∈ E

1 · x = x

(Habitualmente se omite la escritura del punto ·)En ese caso decimos que E es un espacio vectorial sobre K.

Ya conocéis del curso pasado algunos ejemplos de espacios vecto-riales, la mayor parte de ellos finito dimensionales, siendo Rn o Cn

el prototipo de estos. En este curso utilizaremos a menudo, explícitao implícitamente, espacios vectoriales de dimensión infinita. Veamosalgunos de ellos.

Ejemplo 1.1. Sea R[0,1] el espacio de todas las funciones f : [0, 1] −→R. Consideramos en él la suma y el producto puntuales, es decir

(f + g)(x) := f(x) + g(x)

y(αf)(x) = αf(x).

Con dichas suma y producto, R[0,1] es un espacio vectorial.

Ejemplo 1.2. Sea C[0, 1] el conjunto de las funciones f : [0, 1] −→R continuas, dotado de nuevo con la suma y el producto puntuales.Entonces C[0, 1] es un subespacio vectorial de R[0,1]. Análogamente,C1[0, 1], el conjunto de las funciones f : [0, 1] −→ R con derivadacontinua también es subespacio vectorial de R[0,1].

Es fácil demostrar que todos los espacios que aparecen en los ejem-plos anteriores tienen dimensión infinita. Basta con observar que porejemplo el conjunto de vectores {xn;n ∈ N} contenido en todos elloses linealmente independiente.

1. FUNCIONES Y ESPACIOS FUNCIONALES 5

1.2. Normas en un espacio vectorial. Recordamos aquí ladefinición de norma en un espacio vectorial, que quizá sea nueva paraalgunos de vosotros.

Dado un espacio vectorial E, una función

‖ · ‖ : E −→ [0,+∞)

se dice una norma si verifica1. Para todo x ∈ E, ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 02. Para todo x ∈ E y para todo λ ∈ C, ‖λx‖ = |λ|‖x‖, donde |λ|

denota el valor absoluto o el módulo de λ, según estemos en Ro en C.

3. Para todos x, y ∈ E, ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. A esta propiedad sele suele denominar propiedad triangular.

La idea de una norma es “medir” vectores. Nuestra intuición habi-tual nos dice que hay una única forma “razonable” de medir vectores,y esta forma de medir se corresponde con la norma euclídea, tambiénllamada por ello norma usual. Sin embargo para muchas aplicacioneses necesario definir otras normas. Nosotros en este curso trabajaremoscon la norma euclídea y la norma del supremo.

Veamos algunos ejemplos de normas en R3.Norma Euclídea. La función

‖ · ‖2 : R3 −→ [0,+∞)

dada por

‖(x, y, z)‖2 =√x2 + y2 + z2

es una norma, conocida habitualmente como norma euclídea,norma 2 o norma usual.Norma del supremo. La función

‖ · ‖∞ : R3 −→ [0,+∞)

dada por

‖(x, y, z)‖∞ = max{|x|, |y|, |z|}es una norma, conocida habitualmente como norma del supre-mo, o norma infinito.Norma 1. La función

‖ · ‖1R3 −→ [0,+∞)

dada por‖(x, y, z)‖1 = |x|+ |y|+ |z|


es una norma, conocida habitualmente como norma 1.

Ejercicio 1.3. Verificar que cada una de las funciones recién de-finidas es efectivamente una norma en R3.

Ejercicio 1.4. Pintar la bola de centro 0 y radio 1 para cada unade las normas de arriba, consideradas en R2.

1.3. Espacios funcionales. Buena parte del contenido de estaasignatura consistirá en el estudio de ciertos comportamientos de fun-ciones. Por ello, en ocasiones será necesario que trabajemos dentro deun espacio vectorial cuyos elementos son funciones, y a estos objetos seles llama espacios funcionales. Por ejemplo, supongamos que estamostrabajando con funciones f : [0, 1] −→ R. Podríamos empezar con-siderando el espacio (demasiado general) R[0,1] de todas las funcionesde [0, 1] en R. El problema es que este espacio no tiene ningún inte-rés en las aplicaciones, puesto que da cabida a “demasiadas” funciones.Las funciones que tienen interés en ingeniería, y en cualquier aplica-ción de las matemáticas, son funciones que tienen algún tipo de “buencomportamiento” que nos permite utilizarlas.

Para nuestros aplicaciones este año necesitaremos trabajar con es-pacios L∞ y espacios L2. Los primeros son espacios de funciones aco-tadas, y los segundos son espacios de “energía” finita, y son los másusados en ingeniería. Pasamos a definirlos:

1.4. Los espacios L∞ y L2. Definiremos estos dos espacios demanera levemente inexacta pero más que suficiente para nuestros fi-nes. Una definición totalmente correcta de estos espacios requiere lasnociones de función medible y conjunto de medida nula, lo que excedeel interés de este curso.

Definición 1.5. Sea I ⊂ R un intervalo. Definimos L∞(I) comoel espacio de las funciones f : I −→ R integrables tales que

supx∈I|f(x)| < +∞.

En ese espacio la función

‖ · ‖∞ : L∞(I) −→ [0,+∞)

definida por‖f‖∞ = sup

x∈I|f(x)|

es una norma.

1. FUNCIONES Y ESPACIOS FUNCIONALES 7

Definición 1.6. Sea I ⊂ R un intervalo. Definimos L2(I) como elespacio de las funciones f : I −→ R integrables tales que∫

I

f 2(t)dt < +∞.

En ese espacio la función‖ · ‖2 : L2(I) −→ [0,+∞)

definida por

‖f‖2 =

(∫I

f 2(t)dt

) 12

es una norma.

Observación. Nótese que en ambas definiciones pedimos que lasfunciones sean integrables. Esto no supone ninguna limitación en lapráctica, ya que recordad que aprendisteis en primero que toda fun-ción “continua a trozos”, es decir con a lo sumo una cantidad finita onumerable de discontinuidades, es integrable. Todas (o el 99’99%) lasfunciones utilizadas en ingeniería son integrables.

Observación. Cuando I = [a, b] usamos la notación L2[a, b], oL∞[a, b]. Si I = R usamos la notación L2(R) o L∞(R).

Observación. El contenido de esta nota es sólo para aquellosalumnos interesados en los aspectos más formales de la asignatura.Los restantes pueden omitir su lectura sin remordimientos.

Nótese que al intentar verificar que las funciones arriba definidasson normas, uno se encuentra con funciones que no son 0 cuya normaes 0. Por ejemplo si definimos la función

f(x) =

1 si x = 0

0 si x 6= 0

entonces f es una función integrable, f no es la función 0 y sinembargo ‖f‖1 = ‖f‖2 = 0. La solución a este problema se obtieneformalmente considerando en realidad L∞ o L2 como el espacio cocientede los anteriores por la relación de equivalencia f ∼ g si y sólo sif(t) = g(t) en casi todo punto.

No resulta obvio el porqué de estas definiciones. Sí parece razonabledefinir y utilizar el espacio L∞ de las funciones de supremo acotado,pues en muchas ocasiones es una condición muy fácil de verificar. Ade-más, nos interesará de ellos no sólo el espacio en sí, sino también la


norma ‖ · ‖∞ que aparece en su definición, puesto que veremos másadelante que la convergencia uniforme de funciones es precisamente laconvergencia en esta norma.

En cuanto a los espacios L2, intentaré explicaros su importancia,aunque sólo lo entenderéis realmente cuando hayáis trabajado con ellos,tanto de forma teórica como práctica.

Desde el punto de vista matemático, notad que la norma ‖·‖2 vienedefinida como la norma euclídea en Rn, sustituyendo un sumatorio poruna integral (y ya deberíais saber que esta es la forma de pasar de “lodiscreto” a “lo continuo”). Esto hace que los espacios L2 sean “buenos”(formalmente se llaman espacios de Hilbert) y se caracterizan porqueson los únicos espacios vectoriales infinito dimensionales en los quesiguen siendo válidos muchos aspectos de nuestra intuición geométricahabitual.

Desde el punto de vista físico, cuando f(t) represente algún tipode “señal”, la norma ‖f‖2 va a ser su energía, por lo que la condiciónf ∈ L2 se interpretará como que la energía de f sea finita, y obviamenteestas van a ser las únicas funciones interesantes. En concreto, si f(t)representa el voltaje de una onda electromagnética como función deltiempo, f 2(t) es (salvo producto por una constante) su potencia (estose entiende en un curso elemental de electromagnetismo), por lo que∫ baf 2(t)dt representa (salvo producto por una constante) la energía de

la onda en el intervalo temporal [a, b]. Por tanto, pedir que f pertenezcaa L2[a, b] equivale a pedir que f no sea demasiado discontinua (esto esmás o menos la integrabilidad) y que su energía sea finita en [a, b].Ambas peticiones son muy razonables, de forma que cualquier ondacon la que eventualmente trabajéis en un problema real pertenecerá aL2.

2. Límites de sucesiones de funciones

Suponemos bien conocida la noción de límite de una sucesión numé-rica (an) ⊂ R (y por favor, dado que esta noción va a ser absolutamentebásica este curso, cualquier duda que tengáis o que os surja acerca deella preguntadla, en clase o en tutorías).

Queremos ahora extender esa noción de límite de una sucesión denúmeros a la de límite de una sucesión de funciones (fn).

Empezaremos poco a poco: Suponed un intervalo I ⊂ R, para fijarideas supongamos el intervalo [0, 1]. Una sucesión de funciones definidas

3. CONVERGENCIA PUNTUAL 9

en este intervalo no es más que una colección (fn)n∈N de funcionesdonde, para cada n ∈ N, fn es una función fn : [0, 1] −→ R.

Puesto que sé que a menudo hay confusión en este punto, notad porfavor que en una sucesión (fn) hay dos variables en juego, la “n” y la“x”:

Por un lado la n, que va tomando valores naturales, y por otro lado,fijado cualquier n0 ∈ N, fn0 es una función que a cada valor x ∈ [0, 1]le asigna el número fn0(x), por tanto la variable x va tomando valoresreales en el intervalo I (en este caso el [0, 1]). Procurad distinguir bienentre ambas variables y observad el distinto papel que juega cada una.

Una vez definida la noción de sucesión de funciones, empezamos aestudiar la noción de límite de una sucesión de funciones.

Aunque quizás no resulte inmediatamente obvio, veremos que haydiferentes formas de definir la noción de límite de una sucesión defunciones. En este curso estudiaremos varias de esas definiciones.

Empezamos con las dos más básicas, la convergencia puntual y laconvergencia uniforme.

3. Convergencia puntual

Definición 3.1. Sea I ⊂ R un intervalo, y para cada n ∈ N,sea fn : I −→ R una función. Decimos que la sucesión (fn) convergepuntualmente a la función f : I −→ R si para cada x0 ∈ I se tiene

lımn→∞

fn(x0) = f(x0)

Observación. Nótese que, para todo n ∈ N, fn(x0) es un número(y no una función) por lo que el límite que aparece en la definición esel límite ya conocido de una sucesión numérica

Observación. Notad que necesitamos que todas las fn estén defi-nidas en el mismo intervalo I, y que en ese mismo intervalo es dondeestará definida la función límite f si existe.

Ejemplo 3.2. Para cada n ∈ N sea fn : [0, 1] −→ R la funcióndefinida como

fn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1− 1n

nx+ 1− n si 1− 1n≤ x ≤ 1

Comprobar que la sucesión (fn) converge puntualmente a la función

f(x) =

0 si 0 ≤ x < 1

1 si x = 1


Ejemplo 3.3. Comprobar que la sucesión (xn)n ∈ N converge pun-tualmente en el intervalo [0, 1] a la misma función que el ejemplo an-terior.

De los dos ejemplos anteriores podría desprenderse que la funciónlímite f toma siempre un número finito de valores (y mi experienciame enseña que algunos de vosotros lo interpretáis efectivamente así).Para ver que esto no es cierto, estudiad el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.4 (Septiembre 2003). Para todo n ≥ 1, sea

fn(x) =

{0 si 0 ≤ x ≤ 1

n

x− 1n

si 1n≤ x ≤ 1

Entonces, la sucesión (fn)n∈N converge puntualmente en el intervalo[0, 1] a la función f(x) = x.

En efecto, sea x0 > 0 y sea n0 ∈ N tal que 1n0< x0. Entonces, para

todo n > n0, fn(x0) = x0 − 1n, y por tanto

lımnfn(x0) = lım

nx0 −

1

n= x0.

Por otro lado, está claro que

lımnfn(0) = 0,

de donde se sigue que la sucesión (fn) converge puntualmente a la fun-ción f(x) = x en el intervalo [0, 1].

La idea de la convergencia puntual es que, punto a punto, la su-cesión converge, es decir, que para cada x0 ∈ I, la sucesión (fn(x0))nconverge. Esta parece ser la noción más intuitiva de límite de una su-cesión de funciones. El problema que presenta es que no mantiene ne-cesariamente las “buenas” propiedades de las funciones de la sucesión:los ejemplos 3.2 y 3.3 nos muestran cómo el límite de una sucesión defunciones continuas no tiene por qué ser una función continua. Lo mis-mo ocurre con la derivabilidad y la integrabilidad, que no se mantienennecesariamente.

4. Convergencia uniforme

Esto hace que sea conveniente en ocasiones trabajar con otro tipode convergencia, la convergencia uniforme, que sí mantiene las buenaspropiedades de las funciones, como veremos más adelante. A cambiopor supuesto hay que pagar un precio, y este es que la convergenciauniforme es más restrictiva que la convergencia puntual: si una sucesión

4. CONVERGENCIA UNIFORME 11

de funciones converge uniformemente también lo hace puntualmente,sin embargo una sucesión puede converger puntualmente y no hacerlouniformemente, como veremos en los ejemplos.

La idea de la convergencia uniforme es, esencialmente, definirla co-mo la convergencia en la norma ‖ · ‖∞.

Para que se entienda más fácilmente la definición, veamos primeroun razonamiento con sucesiones numéricas.

Sea (an)n ⊂ R una sucesión de números reales. Notemos que decirlımn→∞

an = a

es lo mismo que decirlımn→∞

an − a = 0

y esto a su vez es equivalente a decirlımn→∞

|an − a| = 0.

(La última equivalencia es un ejercicio típico de primer curso:lımn→∞

an = 0 si y sólo si lımn→∞

|an| = 0.)

Así pues, podemos pensar que la definición de límite nos dice queel límite de una sucesión es a si y sólo si la distancia de la sucesión a atiende a 0.

Podemos entonces pensar en transportar esta versión de la defi-nición de límite, sustituyendo los escalares por funciones y el valorabsoluto por norma. Elegimos primero la norma infinito, y llegamos asía la definición de convergencia uniforme:

Definición 4.1. Sea I ⊂ R un intervalo y para cada n ∈ N, seafn : I −→ R una función. Decimos que la sucesión (fn) converge uni-formemente a la función f : I −→ R si

lımn→∞

‖fn − f‖∞ = 0

equivalentemente, silımn→∞

supx∈I{|fn(x)− f(x)|} = 0

Es fácil ver que la convergencia uniforme implica la convergenciapuntual:

Proposición 4.2. Sea I ⊂ R un intervalo y para cada n ∈ N, seafn : I −→ R una función. Si la sucesión (fn) converge uniformementea la función f : I −→ R, entonces (fn) también converge puntualmentea la misma función f .


Demostración. Sea x0 ∈ I. Puesto que sabemos por hipótesisque

lımn→∞

supx∈I{|fn(x)− f(x)|} = 0,

y además claramente

|fn(x0)− f(x0)| ≤ supx∈I{|fn(x)− f(x)|},

se sigue que

lımn→∞

|fn(x0)− f(x0)| = 0,

lo que implica quelımn→∞

fn(x0) = f(x0),

lo que concluye la demostración. �

Sin embargo, el recíproco no es cierto; es decir, una sucesión puedeconverger puntualmente y no hacerlo uniformemente, como vemos enalguno de los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.3 (Septiembre 2003).Para todo n ≥ 1, sea

fn(x) =

{0 si 0 ≤ x ≤ 1

n

x− 1n

si 1n≤ x ≤ 1

Entonces, la sucesión (fn)n∈N converge puntual y uniformemente enel intervalo [0, 1] a la función f(x) = x.

En efecto, sea x0 > 0 y sea n0 ∈ N tal que 1n0< x0. Entonces, para

todo n > n0, fn(x0) = x0 − 1n, y por tanto

lımnfn(x0) = lım

nx0 −

1

n= x0.

Por otro lado, está claro que

lımnfn(0) = 0,

de donde se sigue que la sucesión (fn) converge puntualmente a la fun-ción f(x) = x en el intervalo [0, 1].

Estudiemos ahora si la convergencia es uniforme. Para ello es ne-cesario calcular

lımn

supx|fn(x)− x|.

Para ello, calculemos previamente supx |fn(x)− x|: Para todo x ≥ 1n,

|fn(x)− x| = |x− 1

n− x| = 1

n.

4. CONVERGENCIA UNIFORME 13

Por otro lado, si x < 1n,

|fn(x)− x| = |0− x| = x <1

n.

Por tanto, supx |fn(x)− x| = 1ny

lımn

supx|fn(x)− x| = 0,

lo que implica que la convergencia es uniforme.

Ejemplo 4.4. Para todo n ≥ 1, sea

fn =

nx si 0 ≤ x ≤ 1

n

2− nx si 1n≤ x ≤ 2

n

0 si 2n≤ x ≤ 1

Entonces, la sucesión (fn)n∈N converge puntualmente pero no uni-formemente en el intervalo [0, 1] a la función f(x) = 0.

En efecto, para x = 0, fn(0) = 0 para todo n ∈ N, y por tanto

lımn→∞

fn(0) = 0

Si fijamos ahora un x 6= 0 en el intervalo [0, 1], existe n0 ∈ N talque, para todo n ≥ n0, fn(x) = 0, y por tanto, de nuevo

lımn→∞

fn(x) = 0

Es decir, para todo x ∈ [0, 1],

lımn→∞

fn(x) = f(x),

con f(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1], es decir, la sucesión converge pun-tualmente.

Sin embargo la sucesión (fn)n no converge uniformemente en [0, 1].Para ver esto aplicamos la definición.

fn converge uniformemente a f si

lımn→∞

‖fn − f‖∞ = lımn→∞

supx∈[0,1]

|fn(x)− f(x)| = 0

Es fácil ver que, para todo n ∈ N,

supx∈[0,1]

|fn(x)− f(x)| = supx∈[0,1]

|fn(x)| = 1

(Esto está claro si se representa fn gráficamente. En cualquier caso,nótese que fn( 1

n) = 1)


Por tanto,

lımn→∞

‖fn − f‖∞ = lımn→∞

1 = 1 6= 0,

es decir, la convergencia no es uniforme.

Ejemplo 4.5. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de lasiguiente sucesión de funciones:

(1) fn(x) =2nx2

n2x4 + 1, x ∈ R

Solución: Vemos fácilmente que lımn→∞ fn(x) = 0. Observamosademás que fn(0) = 0 y que para x 6= 0, fn(x) > 0.

La sucesión fn(x) converge pues puntualmente a la función f(x) =0.

Para estudiar la convergencia uniforme buscamos supx∈R |fn(x)−0|.

Ahora bien, supx∈R |fn(x)− 0| = fn(x0), donde x0 es un punto quenecesariamente anula la derivada. Calculemos f ′n(x) = 4nx 1−n2x4

(n2x4+1)2.

Luego f ′n(x0) = 0 ⇐⇒ x0 = ± 1√n.

Asi,

(2) supx∈R|fn(x)| = fn(± 1√

n.) = 1.

La convergencia no es uniforme en R.Hallemos ahora en qué partes de R la convergencia es uniforme.

Para ello basta observar que f ′n(x) < 0 para n > 1a2, donde a > 0.

Entonces dado que fn(x) es decreciente en el intervalo (a,+∞) y que

(3) supx∈[a,+∞)

|fn(x)| = fn(a) =2na2

n2a4 + 1.

tendremos que lımn→∞ fn(a) = 0.La convergencia será uniforme en los intervalos de la forma [a,+∞)

y (−∞,−a].

4.1. Propiedades de la convergencia uniforme. La conver-gencia puntual no conserva la continuidad, tal y como muestran losejemplos anteriores. Uno de los motivos por los que se introduce lanoción de convergencia uniforme es porque “mejora” la convergencia,en el sentido de que pasa a respetar la continuidad y la integrabilidad

5. CONVERGENCIA EN NORMA 2 15

y, con hipótesis adicionales, la derivabilidad. En concreto tenemos lossiguientes resultados cuya demostración, si bien no es difícil, omitimos.

Teorema 4.6. Sea (fn) una sucesión de funciones fn : [a, b] −→ Rpara cada n ∈ N. Supongamos que (fn) converge uniformemente a lafunción f : [a, b] −→ R. Entonces se tiene:

1. Si (fn) es continua en [a, b] para cada n ∈ N entonces f escontinua.

2. Si (fn) es integrable en [a, b] para cada n ∈ N entonces f esintegrable.

Teorema 4.7. Sea (fn) una sucesión de funciones fn : [a, b] −→ Rpara cada n ∈ N. Supongamos que, para cada n ∈ N, fn es derivable en[a, b], y sea f ′n su derivada. Supongamos además que la sucesión (f ′n)converge uniformemente a una función g : [a, b] −→ R y que existex0 ∈ [a, b] tal que existe el lımn fn(x0). Entonces existe f : [a, b] −→ Rderivable en [a, b], tal que f ′ = g y tal que (fn) converge uniformementea f .

No os perdáis: el teorema dice que si tengo una sucesión de funcio-nes derivables cuyas derivadas convergen uniformemente y además lasucesión original converge en al menos un punto, entonces la sucesiónoriginal va a converger uniformemente y, lo que más nos interesa, lafunción a la que converge es a su vez derivable, es decir se mantiene laderivabilidad cuando hay convergencia uniforme de las derivadas.

5. Convergencia en norma 2

Una vez estudiada la convergencia uniforme, es muy fácil definiranálogamente otras formas de convergencia, sustituyendo la norma delsupremo por otras normas. Estudiaremos el caso de la convergenciaen norma 2, o convergencia en media cuadrática, que nos resultaráinteresante más adelante.

Definición 5.1. Sea I ⊂ R un intervalo y para cada n ∈ N, seafn : I −→ R una función. Decimos que la sucesión (fn) converge enmedia cuadrática, o en norma 2 a la función f : I −→ R si

lımn→∞

‖fn − f‖2 = 0

equivalentemente, si

lımn→∞

(∫I

(fn(t)− f(t))2dt

) 12

= 0


Esta es la definición para funciones con valores reales. Veremos másadelante el caso de funciones con valores complejos.

Veamos en primer lugar que las relaciones con las otras formas deconvergencia estudiadas no son tan fáciles como antes. Nos limitaremosa estudiar el caso en que I es un intervalo acotado, por ejemplo el [0, 1].La situación cambia esencialmente si I no está acotado.

Proposición 5.2. Si I es un intervalo acotado, entonces para todaf : I −→ R, la norma 2 de f en I es menor o igual que una constantepor la norma del supremo de f en I.

Demostración. Sea f : I −→ R. Entonces

‖f‖2 =

(∫I

f 2(t)dt

) 12

≤(‖f‖2∞

∫I

dt

) 12

= ‖f‖∞√λ(I),

donde λ(I) es la longitud del intervalo. �

Con esa proposición es fácil probar lo siguiente.

Demostración. Para cada n ∈ N, sea fn : I −→ R. Si la sucesión(fn) converge uniformemente a f : I −→ R, entonces también convergeen media cuadrática. �

Demostración. En efecto, por la proposición anterior y por lahipótesis, se tiene que

0 ≤ lımn‖fn − f‖2 ≤

√λ(I) lım

n‖fn − f‖∞ = 0

�

La recíproca no es cierta. Veamos con un ejemplo que hay sucesionesque convergen en media cuadrática y no lo hacen uniformemente.

Ejercicio 5.3. Para todo n ≥ 1, sea

fn =

nx si 0 ≤ x ≤ 1

n

2− nx si 1n≤ x ≤ 2

n

0 si 2n≤ x ≤ 1

Demuéstrese que (fn) converge en media cuadrática a 0, pero no con-verge uniformemente.

Las relaciones con la convergencia puntual son menos claras, y paraentenderlas correctamente habría que estudiar con algo más de detalleel espacio L2. Veamos ahora simplemente con un par de ejemplos queninguna de las formas de convergencia implica la otra.

5. CONVERGENCIA EN NORMA 2 17

Ejercicio 5.4. Para todo n ≥ 1, sea

fn =

2n2x si 0 ≤ x ≤ 1

2n

−2n2x+ 2n si 12n< x < 1

n

0 si 1n ≤ x ≤ 1

Demuéstrese que la sucesión (fn) converge puntualmente a la funciónconstante de valor 0, pero que no converge en media cuadrática.

Ejercicio 5.5. Para todo k ∈ N, considérense las funciones f 1k , . . . , f

kk :

[0, 1] −→ R dadas por

f ik =

{1 si 1−i

k< x ≤ i

k

0 para los restantes valores de x ∈ [0, 1]

Consideramos entonces la sucesión de funciones

f 11 , f

12 , f

22 , f

13 , f

23 , f

33 . . .

Compruébese que la sucesión de funciones así definida no convergepuntualmente en ningún punto, y en cambio sí converge en norma 2 ala función constante de valor 0. Esto último se sigue porque, para todok ∈ N y para todo 1 ≤ i ≤ k se verifica que

‖f ik‖2 =

√1

k.

Lo anterior eran las malas noticias. Las buenas son que sí podemosdecir algo, aunque no mucho. La demostración de la siguiente propo-sición no es fácil y no la incluiremos. En realidad tampoco usaremoseste curso la proposición misma, sino el corolario que la sigue.

Proposición 5.6. Supongamos que la sucesión de funciones (fn)converge en norma 2 a la función f . Entonces existe una subsucesión(fnk) tal que fnk converge a f en casi todo punto.

Como ya he dicho, no necesitaremos esta proposición, pero el si-guiente corolario sí puede ser útil en ocasiones.

Corolario 5.7. Si la sucesión (fn) converge puntualmente a lafunción f , y si además sabemos que la sucesión (fn) converge en norma

2, entonces necesariamente fn‖·‖2−→ f .

Para nosotros la utilidad principal de dicho corolario es la siguiente:supongamos que nos dan una sucesión de funciones (fn) y nos pregun-tan si dicha sucesión converge en norma 2. Si sabemos que (fn) convergepuntualmente a f , entonces ya sabemos que f es la única función a laque (fn) podría converger en norma 2.


Finalmente, veamos con un sencillo ejemplo que la convergencia ennorma 2 no mantiene la continuidad.

Ejemplo 5.8. Para todo n ≥ 1, sea

fn =

1 si 0 ≤ x ≤ 1

2− 1

n

−n2x+ n

4+ 1

2si 1

2− 1

n≤ x ≤ 1

2+ 1

n

0 si 12

+ 1n≤ x ≤ 1

Es decir, fn es continua, vale 1 desde 0 hasta 12− 1

n, vale 0 desde

12

+ 1nhasta 1 y varía linealmente de 1 a 0 en el resto.

Comprobar que la sucesión (fn) converge en norma 2 (y puntual-mente) a la función

f(x) =

1 si 0 ≤ x < 1

212

si x = 12

0 si 12< x ≤ 1

Obsérvese que a efectos de la convergencia en media cuadrática,podemos definir f(1

2) como queramos.

6. Series funcionales

Nuestro interés por la convergencia de sucesiones funcionales eneste curso se debe a que tendremos que estudiar en ocasiones seriesfuncionales.

Para definir series funcionales uno intenta proceder como en el casode la definición de serie numérica. Recordemos: si tenemos una sucesión(xn), para definir su serie asociada

∑∞n=1 xn se considera la sucesión de

sumas parciales

sm :=m∑n=1

xn

y a continuación se define∞∑n=1

xn := lımm→∞

sm = lımm→∞

m∑n=1

xn.

Para definir una serie funcional∑∞

n=1 fn cuando fn : I −→ R esuna sucesión de funciones procedemos exactamente igual: definimos lasucesión de sumas parciales

Sm :=m∑n=1

fn

6. SERIES FUNCIONALES 19

(nótese que, para cada m ∈ N, Sm es una función bien definida enel intervalo I, puesto que se trata simplemente de una suma finita defunciones)

y a continuación definimos∞∑n=1

fn := lımm→∞

Sm = lımm→∞

m∑n=1

fn.

La novedad ahora es que si bien la noción de convergencia (límite)está unívocamente definida en el caso de números reales, en el caso delas funciones tenemos varias nociones de convergencia (ya hemos estu-diado tres de ellas, la puntual, la uniforme y la convergencia en mediacuadrática), por lo que tenemos que precisar a cual de ellas nos refe-rimos. Diremos que la serie

∑∞n=1 fn converge, si la sucesión de sumas

parciales converge puntualmente. Si, además, la sucesión de sumas par-ciales converge uniformemente entonces decimos que la serie convergeuniformemente. Formalizamos a continuación lo dicho anteriormente:

Definición 6.1. Sea I ⊂ R un intervalo y sea (fn) una sucesiónde funciones fn : I −→ R. Definimos las funciones Sm : I −→ Rcomo Sm(x) =

∑mn=1 fn(x). Decimos que la serie

∑∞n=1 fn converge

(puntualmente) a f : I −→ R si, para cada x ∈ I,

lımmSm(x) = f(x)

y lo escribimos∞∑n=1

fn(x) = f(x).

Si además la sucesión (Sm) converge uniformemente a f , entoncesdecimos que la serie

∑∞n=1 fn converge uniformemente a f : I −→ R.

Observación. Si∑

n fn converge uniformemente a f en un inter-valo [a, b] y las funciones fn son continuas (respectivamente integrables)en [a, b] entonces el Teorema 4.6 nos garantiza que f es continua (resp.integrable) en [a, b], y un razonamiento análogo se puede hacer con laderivabilidad usando el Teorema 4.7.

Ejemplo 6.2. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de laserie ∑

n

xn

n!

en los intervalos [0, a] y [0,∞).


En general no resulta totalmente obvio determinar la convergencia odivergencia de una serie numérica, y este problema se complica algo másen el caso de la convergencia de una serie funcional. Por ello enunciamosa continuación un criterio bastante útil (cuando se puede aplicar) a lahora de determinar la convergencia de una serie funcional.

Antes de enunciarlo recordemos una noción del curso anterior: unaserie numérica

∑n an se dice absolutamente convergente si la serie∑

n

|an|

converge. Visteis el curso anterior que si una serie es absolutamenteconvergente entonces es convergente, mientras que el recíproco no tienepor qué ser cierto.

Veamos ya el criterio de Weierstrass:

Teorema 6.3 (Criterio M de Weierstrass). Sea (fn) una sucesiónde funciones fn : I −→ R y sea (Mn) ⊂ R una sucesión numérica queverifica las dos condiciones siguientes

1. Para cada n ∈ N y para cada x ∈ I,

|fn(x)| ≤Mn

2. La serie∑

nMn convergeEntonces existe una función f : I −→ R tal que, para todo x ∈ I

la serie∑

n fn(x) converge (absolutamente) a f(x). Además, la serie∑n fn converge uniformemente a f .

Demostración. Veamos en primer lugar que la serie∑

n fn con-verge puntualmente (y absolutamente). Para esto hay que ver que, paracada x0 ∈ I, la serie numérica

∑n fn(x0) converge. Para ello vamos a

ver que la serie∑

n |fn(x0)| converge, y para ver esto último utilizamosel criterio de comparación: puesto que

|fn(x0)| ≤Mn

y puesto que∑

nMn converge, el criterio de comparación nos garantizaque

∑n |fn(x0)| converge, es decir,

∑n fn(x0) converge absolutamente.

Una vez que hemos probado la convergencia puntual, tenemos ga-rantizada la existencia de una función f : I −→ R tal que, para cadax ∈ I,

f(x) =∑n

fn(x).

Veamos ahora que, de hecho,∑

n fn converge absolutamente a f .

6. SERIES FUNCIONALES 21

En efecto

lımm→∞

∥∥∥∥∥f −m∑n=1

fn

∥∥∥∥∥∞

= lımm→∞

supx∈I

{∣∣∣∣∣f(x)−m∑n=1

fn(x)

∣∣∣∣∣}

=

= lımm→∞

supx∈I

{∣∣∣∣∣∞∑

n=m+1

fn(x)

∣∣∣∣∣}≤ lım

m→∞supx∈I

{∞∑

n=m+1

|fn(x)|

}≤

≤ lımm→∞

∞∑n=m+1

Mn = 0,

y por tanto la convergencia es uniforme. �

Veremos en los ejercicios varias aplicaciones del criterio M deWeiers-trass. En particular, conviene mencionar que el Teorema de Abel de laconvergencia de series de potencias es una sencilla aplicación de estecriterio.

Capítulo 2

Polinomios y desarrollos en serie de Taylor

1. Introducción y definiciones

Buena parte de los contenidos de esta asignatura girarán en tornoa la noción de una serie (finita o infinita) de funciones que aproxima oconverge a una función dada.

El caso más elemental de esta situación son los polinomios (sumasfinitas) y desarrollos en serie (sumas infinitas) de Taylor.

El problema es el siguiente: tenemos una función f cualquiera (ypor lo tanto poco manejable) y queremos aproximarla por medio depolinomios, que son funciones muy bien conocidas y con muy buenaspropiedades que nos permiten manejarlas cómodamente.

Es fácil ver que si la propia f no tiene algún tipo de “buen com-portamiento” no vamos a poderla aproximar por polinomios. El buencomportamiento que vamos a necesitar para poder calcular polinomiosde Taylor es que f sea continua y varias veces (quizás infinitas) deri-vable.

Supongamos pues inicialmente que f es tantas veces derivable comonecesitemos y veamos cómo podríamos aproximarla por polinomios.

Una forma razonable de comenzar a pensar en el problema es inten-tar aproximar un polinomio por polinomios, con lo que por supuestodeberíamos llegar a que el mejor polinomio aproximante es precisamen-te el polinomio inicial.

Notamos entonces que si tenemos un polinomio P (x) = anxn +

· · · a2x2 + a1x+ a0 entonces

P (0) = a0 = 0!a0P ′(0) = a1 = 1!a1P ′′(0) = 2!a2

...P n)(0) = n!an

P n+1)(0) = 0

23

24 2. POLINOMIOS Y DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

P n+2)(0) = 0...

por lo que

Pn(x) =n∑k=0

P k)(0)

k!xk =

∞∑k=0

P k)(0)

k!xk.

Esto nos permite tener esperanzas de que la siguiente definición seaútil.

Definición 1.1. Sea I ⊂ R un intervalo y sea f : I ⊂ R −→ Runa función n-veces derivable en x0 ∈ I. Se llama polinomio de Taylorde la función f de grado n y centrado en el punto x0 a:

Pn,x0(x) =n∑k=0

fk)(x0)

k!(x− x0)k.

El teorema de Taylor nos dirá que el polinomio de Taylor aproximaa la función f , tanto mejor cuanto mayor sea n y más cerca estemosde x0. Enunciamos y demostramos el teorema para x > x0, pero porsupuesto se puede dar una versión similar para x < x0.

Teorema 1.2 (Teorema de Taylor). Sea f : [x0, x] −→ R unafunción n+ 1 veces derivable en [x0, x]. Entonces

lımx→x0

f(x)− Pn,x0(x)

(x− x0)n= 0

Además, si definimos el resto de Taylor como Rn,x0(x) = f(x) −Pn,x0(x) entonces se tiene que existe t ∈ (x0, x) tal que

Rn,x0(x) =fn+1)(t)

(n+ 1)!(x− x0)n+1.

Demostración. El primer límite se puede probar por inducción:Si n = 1

lımx→x0

f(x)− Pn,x0(x)

(x− x0)n= lım

x→x0

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)(x− x0)

=

lımx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0− f ′(x0) = 0,

por la definición de derivada.Supongamos ahora el resultado cierto para n− 1 y consideremos el

caso n.

1. INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES 25

lımx→x0

f(x)− Pn,x0(x)

(x− x0)n=

= lımx→x0

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)− . . .− fn)(x0)n!

(x− x0)n

(x− x0)n.

Tanto el numerador como el denominador tienden a 0, y ambos sonderivables, por lo que aplicamos el teorema de L’Hopital y llegamos a

lımx→x0

f ′(x)− f ′(x0)− 2f ′′(x0)(x−x0)2!

− . . .− nfn)(x0)n!

(x− x0)n−1

n(x− x0)n−1

y ahora aplicamos la hipótesis de inducción a la función f ′ y obte-nemos que el límite de arriba vale 0. (Pensadlo despacio; si no lo veis,haced primero los casos n = 2 y n = 3).

Demostramos a continuación la fórmula del resto.Sea

s(t) = f(x)−n∑k=0

fk)(t)

k!(x− t)k

Entonces

s′(t) = −fn+1)(t)

n!(x− t)n

Sea ahorag(t) = (x− t)n+1

Entoncesg′(t) = −(n+ 1)(x− t)n

Por el teorema del valor medio de Cauchy existe un t ∈ (x0, x) tal que

s(x)− s(x0)g(x)− g(x0)

=s′(t)

g′(t)=fn+1)(t)

(n+ 1)!

como s(x) = g(x) = 0 y s(x0) = Rn,x0(f)(x) se tiene que existet ∈ [x0, x] tal que

Rn,x0(f)(x) =fn+1)(t)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

�

Observación. Existen varias expresiones posibles para el resto deTaylor. Aunque para nosotros este año es suficiente con la enuncia-da más arriba, enuncio a continuación otras dos expresiones útiles enciertos contextos.

26 2. POLINOMIOS Y DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

1. Fórmula del resto de Cauchy. Existe t ∈ (x, x0) tal que

Rn,x0(x) =fn+1)(t)

(n+ 1)!(x− t)n(x− x0).

2. Fórmula integral del resto. Si además fn+1) es integrable sobre[x0, x] entonces existe t ∈ (x0, x) tal que

Rn,x0(x) =

∫ x

x0

fn+1)(t)

n!(x− t)ndt.

Lo que nos dice el Teorema de Taylor es que si conocemos el valorde una función y sus derivadas en un punto x0, entonces podemosaproximar el valor de la función en un punto x por un polinomio, y laaproximación será tanto mejor cuanto más cerca esté el punto y cuantasmás derivadas consideremos.

Ejemplo 1.3. Calcular los polinomios de Taylor de grado n cen-trados en el 0 de las funciones ex, sinx y cosx

Ejemplo 1.4. Utilizar los polinomios de Taylor para calcular, conuna precisión mejor que 10−5 los números e y sin 1

Ejemplo 1.5 (Septiembre 2003). Calcular el polinomio de Taylorde grado 3 de la función log x centrado en el punto 1 y estimar el errorcometido al aproximar log 2 por el polinomio anterior.

El polinomio de Taylor de grado 3 de la función log x centrado enel punto 1 es

P3(x) = (x− 1)− (x− 1)2

2+

(x− 1)3

3

y por tanto P3(2) = 56' 0, 833.

Sabemos que en este caso el resto de Taylor se puede acotar por

R =f iv(θ)

4!(2− 1)4 =

6θ4

4!≤ 6

4!=

1

4= 0, 25.

Utilizando la calculadora, podemos ver que log 2 ' 0, 693 y por tantoel error vale exactamente E ' 0, 14.

Como vemos los polinomios de Taylor aproximan a la función tantomejor cuanto mayor sea el orden del polinomio (la n). Resulta entoncesnatural extender la noción de polinomio de Taylor a la de serie de


Taylor, dejando que n tienda a infinito, y preguntarse si, dada unafunción infinitamente diferenciable f , la serie de Taylor converge entodo punto a la función f .

Definición 1.6. Sea f : I ⊂ R −→ R una función infinitamentederivable en I (esto es, para cada n ∈ N existe fn) en I). En ese casose llama serie de Taylor de f centrada en x0 a la serie

∞∑k=0

fk)(x0)

k!(x− x0)k

Existe una clase muy amplia de funciones f , llamadas analíticasque verifican que la serie de Taylor converge (al menos puntualmente)a la función f . Obviamente

f(x) =∞∑k=0

fk)(x0)

k!(x− x0)k

si y sólo si Rn,x0(f)(x) → 0 y a menudo ésta es la condición más fácilde estudiar.

Para mostrar que puede haber problemas y que es necesario com-probar efectivamente que la serie converge a la función original, veamosun ejemplo de función infinitamente derivable cuya serie de Taylor noconverge a la función.

Ejemplo 1.7. Comprobar que la función

f(x) =

e−1x2 si x 6= 0

0 si x = 0

es infinitamente derivable, y sin embargo la serie de Taylor no convergea f(x) en ningún x 6= 0.

Capítulo 3

Series de potencias

1. Introducción

Dentro de las series funcionales, resultan especialmente importanteslas series de potencias.

Definimos una serie de potencias centrada en a como una expresiónde la forma

∞∑n=0

an(x− a)n

En lo sucesivo consideraremos todo el tiempo a = 0 por comodi-dad en la notación, pero todo lo que digamos se puede generalizar acualquier otro a ∈ R.

Como siempre que definimos una serie, el problema es la convergen-cia. En el caso de las series de potencias, el estudio de la convergenciade la serie es más sencillo que en las series funcionales generales. Elresultado principal es el siguiente.

Teorema 1.1 (Abel). Sea una serie de potencias∑∞

n=0 anxn de

modo que existe x0 ∈ R tal que la serie (numérica)∑∞

n=0 anxn0 es con-

vergente. Sea ahora r ∈ R tal que r < |x0|. Entonces, para todo x ∈ Rtal que |x| ≤ r la serie

∑∞n=0 anx

n converge absolutamente. Además setiene que la serie de potencias converge uniformemente en el intervalo[−r, r]. Además la función f : [−r, r] −→ R definida como

f(x) =∞∑n=0

anxn

es derivable y

f ′(x) =∞∑n=1

nanxn−1,

es decir, la derivación se puede hacer término a término.

Demostración. Sea∑∞

n=0 anxn, x0 y r como en la hipótesis. Por

ser∑∞

n=0 anxn0 convergente, se tiene que |anxn0 | → 0, por lo que existe

M > 0 tal que |anxn0 | < M para todo n ∈ N.29

30 3. SERIES DE POTENCIAS

Si |x| < r, entonces

|anxn| = |an||x|n ≤ |an||r|n ≤ |an||x0|n|r|n

|x0|n≤M

∣∣∣∣ rx0∣∣∣∣n .

Como sabemos que∞∑n=0

M

∣∣∣∣ rx0∣∣∣∣n converge

(por que∣∣∣ rx0 ∣∣∣ < 1) el criterio M de Weierstrass (tomando Mn =

M∣∣∣ rx0 ∣∣∣n) nos garantiza la convergencia uniforme de la serie

∑∞n=0 anx

n

en el intervalo [−r, r].Para comprobar la derivabilidad de f(x) =

∑∞n=0 anx

n necesita-mos comprobar la convergencia uniforme de la serie de las derivadas∑∞

n=1 nanxn−1 (ver Teorema I. 4.7).

Tenemos

|nanxn−1| = n|an||x|n−1 ≤ n|an||r|n−1 ≤ n|an||x0|n−1|r|n−1

|x0|n−1≤ nM

∣∣∣∣ rx0∣∣∣∣n−1 .

Al igual que antes, sabemos que la serie∞∑n=1

nM

∣∣∣∣ rx0∣∣∣∣n−1 converge

(esto se puede ver usando el criterio del cociente). Por tanto, de nuevo

el criterioM de Weierstrass (tomandoMn = nM∣∣∣ rx0 ∣∣∣n−1) nos garantiza

la convergencia uniforme de la serie de las derivadas∑∞

n=1 nanxn−1 en

el intervalo [−r, r]. Esto, junto con el Teorema I. 4.7 es suficiente paragarantizar la derivabilidad de f en [−r, r] y que

f ′(x) =∞∑n=1

nanxn−1.

�

Observación. Nótese que en las hipótesis del teorema, f ′(x) vuelvea ser una serie de potencias en [−r, r].

Ejemplo 1.2. Ver lo que ocurre con ex cuya derivada es ella mis-ma, y con sinx, cuya derivada es el coseno.

El teorema anterior nos sugiere la siguiente definición

1. INTRODUCCIÓN 31

Definición 1.3. Dada una serie de potencias∑∞

n=0 anxn, se llama

radio de convergencia de la serie al número

ρ = sup

{|x0| ∈ R tales que

∞∑n=0

anxn0 converge

}Si el conjunto{

|x0| ∈ R tales que∞∑n=0

anxn0 converge

}no es acotado, decimos que ρ = +∞.

Nótese que, puesto que la serie converge para x = 0, ρ ≥ 0.

Teorema 1.4. Sea ρ el radio de convergencia de una serie∑∞

n=0 anxn.

Entonces ocurre uno de los tres casos siguientes1. ρ = 0. En ese caso la serie converge para x = 0 y diverge para

todo x 6= 0.2. 0 < ρ < ∞. En ese caso, para todo r < ρ la serie converge

uniformemente en [−r, r] y diverge si |x| > ρ. En los puntosfrontera (±ρ) la serie puede converger o diverger.

3. ρ = ∞. En ese caso la serie converge para todo x ∈ R, y paratodo r > 0 la serie converge uniformemente en [−r, r].

Aunque no lo necesitamos en este curso, se puede demostrar que,dada una serie de potencias

∑anx

n,

ρ =1

lım supn→∞n√|an|

,

donde lım sup, el límite superior de una sucesión, viene definido por

lım supn→∞

bn = lımn→∞{supm≥n

bm}.

Para aquellos que no estén familiarizados con esta noción, mencio-naremos simplemente que si una sucesión (an) tiene límite, entonces

lımn→∞

an = lım supn→∞

an.

No os sintáis excesivamente tentados a usar esta fórmula para cal-cular ρ; la definición es mucho más fácil y lleva a entender y manejarmejor el concepto.

Observación. Existe un rumor muy extendido según el cual

ρ = lımn

anan+1

.

32 3. SERIES DE POTENCIAS

Desconozco el origen de este rumor, pero en cualquier caso es falso,como se puede ver sin más que considerar la serie

∑sinnxn cuyo radio

de convergencia es 1 (aunque esto no es totalmente obvio) y sin embargono existe

lımn

anan+1

= lımn

sinn

sinn+ 1.

Lo que si es cierto es que si ese límite existe entonces coincide con ρ.La demostración es una consecuencia sencilla del criterio del cocientede convergencia de series numéricas.

Ejemplo 1.5.Calcular el radio de convergencia de la serie

∞∑n=1

(log n)xn.

Si x = 1,∞∑n=1

(log n)xn =∞∑n=1

(log n)

que no converge puesto que lımn log n = +∞.En cambio, sea 0 < x < 1. En ese caso la serie

∞∑n=1

(log n)xn

converge, como se ve fácilmente aplicando el criterio del cociente:

lımn→∞

(log n+ 1)xn+1

(log n)xn= lım

n→∞

log n+ 1

log nx = x < 1.

Por tanto,ρ = sup{x; 0 ≤ x < 1} = 1.

Es importante que notéis que la serie de Taylor es un caso especialde serie de potencias.

Ejemplo 1.6. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de laserie

∞∑n=1

xn

n!

en el intervalo [0, 29],

Aunque no es necesario para resolver el ejercicio, obsérvese que laserie es el desarrollo en serie de Taylor en el origen de la función ex.

1. INTRODUCCIÓN 33

La serie es una serie de potencias, por tanto lo más fácil es calcularsu radio de convergencia. Elíjase x0 > 0. Entonces la serie numérica∑

n

xn0n!

converge, como se ve fácilmente de muchas formas (por ejemplo porel criterio del cociente). Puesto que esto ocurre para un x arbitrario,tenemos que el radio de convergencia es infinito, por lo que hay conver-gencia uniforme en cualquier intervalo cerrado y acotado, en particularla serie converge uniformemente en [0, 29].

Capítulo 4

Series de Fourier

1. Introducción y definiciones

Como ya hemos visto, los polinomios y series de Taylor nos permitena menudo aproximar una función por polinomios, o hallar una serie depotencias que converja a la función.

La idea del análisis de Fourier es muy similar, sólo que ahora nosplantearemos la aproximación de una función por combinaciones defunciones seno y coseno elegidas adecuadamente.

Obviamente la primera pregunta que uno se hace es ¿por qué vamosa querer aproximar una función por combinaciones de senos y cosenos?.

Iremos respondiendo a esta pregunta al desarrollar el tema, valgade momento saber que el análisis de Fourier se empezó a desarrollaren el siglo XIX (aunque sus antecedentes datan del siglo XVIII) y quetodavía está en plena evolución, no sólo de forma teórica sino en susaplicaciones prácticas.

En particular, para lo que a un ingeniero informático le interesa,tanto el análisis de circuitos como el tratamiento de la señal se hacentomando como herramienta básica el análisis de Fourier. Recientementese ha desarrollado una herramienta nueva, las ondículas (wavelets eninglés) que suponen un refinamiento del análisis de Fourier y que estánteniendo una importancia decisiva en el tratamiento de la señal; porponeros algunos ejemplos, las wavelets se han usado para comprimir losarchivos digitales de huellas dactilares del FBI, se usan en la mayoríade las películas de animación que se realizan en la actualidad, en losformatos de imagen jpg (a partir de 2000), en la detección de cánceres,en los estudios geológicos, etc, etc.

1.1. Funciones periódicas. El problema que vamos a enfrentaren primer lugar es el de representar “adecuadamente” una función pe-riódica. Para justificar el porqué de estudiar este problema recordemosque muchas de las ondas electromagnéticas usadas en la transmisión deinformación son funciones periódicas, o van moduladas sobre funcionesperiódicas.

35

36 4. SERIES DE FOURIER

Empecemos recordando la definición de función periódica.

Definición 1.1. Una función f : R −→ R se dice periódica siexiste T > 0 tal que, para todo t ∈ R,

f(t+ T ) = f(t).

En ese caso, al menor de los T que cumple esa igualdad se le denominaperiodo de f .

Ejemplo 1.2. Para todo ω0 > 0, las funciones sinω0x y cosω0xson periódicas de periodo

T =2π

ω0

Notad que si conocemos una función periódica en un intervalo delongitud T ya conocemos el valor de la función en todo R. Esto hace quecuando estudiemos funciones periódicas nos limitamos a algún intervalode longitud T , habitualmente el [0, T ] o el [−T

2, T2]

1.2. Ortogonalidad de funciones. Necesitamos otra definición.

Definición 1.3. Dadas funciones reales φα : I ⊂ R −→ R, unconjunto {φα(t);α ∈ A} de funciones se dice ortogonal sobre I ⊂ R si,para todo α 6= β, ∫

I

φα(t)φβ(t)dt = 0.

Observación. Para que entendáis el por qué de llamar ortogonalesa tales funciones, aquí va la explicación: Dado un espacio vectorial Ese puede definir una noción abstracta de producto escalar como unaforma bilineal definida positiva, esto es, una función

〈·, ·〉 : E × E −→ Rseparadamente lineal en ambas variables y que verifica que 〈f, f〉 ≥ 0para toda f ∈ E y 〈f, f〉 = 0 si y sólo si f = 0. Siempre que tenemosun producto escalar definido en un espacio vectorial se puede definiruna norma asociada como

‖f‖ =√〈f, f〉,

y también se puede definir una noción de ortogonalidad, y en general lanoción de ángulo entre vectores. La noción de ortogonalidad se definecomo f⊥g si y sólo si 〈f, g〉 = 0.

Todo esto se aplicaba a un espacio vectorial abstracto E. En el casoparticular del espacio L2(I), se puede definir

〈f, g〉 =

∫I

f(t)g(t)dt


y se demuestra con facilidad que, así definido, 〈·, ·〉 es un productoescalar y que la norma anteriormente definida en L2(I) es precisamentesu norma asociada. Por tanto, dos funciones f y g son ortogonales sisu producto escalar es 0, es decir, si

∫If(t)g(t)dt = 0.

Nuestro ejemplo principal de familia ortogonal de funciones es elsiguiente.

Ejemplo 1.4. Para todo ω0 > 0, la familia de funciones

{1, sinnω0x, cosmω0x; n,m ∈ N}

es ortogonal sobre [−T2, T2], con T = 2π

ω0.

Para verificarlo, basta comprobar que

1. Para todo n ∈ N, ∫ T2

−T2

sinnω0tdt = 0

2. Para todo n ∈ N, ∫ T2

−T2

cosnω0tdt = 0

3. Para todo n 6= m,∫ T2

−T2

sinnω0t sinmω0tdt = 0

4. Para todo n 6= m,∫ T2

−T2

cosnω0t cosmω0tdt = 0

5. Para todos n,m ∈ N,∫ T2

−T2

sinnω0t cosmω0tdt = 0

Las dos primeras integrales son inmediatas. Para las tres últimasutilizamos las identidades trigonométricas que expresan sin y cos deA+B en términos de sin y cos de A y B, y obtenemos


〈cos(nx), sin(mx)〉 =

∫ +π

−πcos(nx) sin(mx)dx

=1

2

∫ +π

−π(sin((m+ n)x) + sin((m− n)x))dx

=1

2

[cos((m+ n)x)

m+ n− cos((m− n)x)

m− n

]+π−π

= 0, (m 6= n)

〈cos(nx), cos(mx)〉 =

∫ +π

−πcos(nx) cos(mx)dx

=1

2

∫ +π

−π(cos((m+ n)x) + cos((m− n)x))dx

=1

2

[sin((m+ n)x)

m+ n+

sin((m− n)x)

m− n

]+π−π

= 0, (m 6= n)

〈sin(nx), sin(mx)〉 =

∫ +π

−πsin(nx) sin(mx)dx

=1

2

∫ +π

−π(cos((m− n)x)− cos((m+ n)x))dx

=1

2

[sin((m− n)x)

m− n− sin((m+ n)x)

m+ n

]+π−π

= 0, (m 6= n)

1.3. Coeficientes de Fourier. Una de las preguntas básicas enanálisis de Fourier (así como en el análisis de ondículas) es si, dadauna función f : [a, b] −→ R y un conjunto ortogonal {φα(t);α ∈ A} defunciones sobre [a, b], ¿existen coeficientes aα ∈ R tales que f se puederepresentar como

f(x) =∑α

aαφα(x)?

La respuesta va a ser sí, al menos para ciertas familias destacadasde familias ortogonales {φα(t);α ∈ A} y para una amplia clase defunciones f .

Enunciaremos más adelante, sin demostración, teoremas que nosgarantizan que una amplia familia de funciones (en particular todoL2[a, b]) se pueden representar por medio de series del tipo arriba indi-cado.


De momento, supongamos que una cierta función f fuera represen-table de la forma

f(x) =∑α

aαφα(x),

y veamos cómo se calculan los coeficientes aα en ese caso.Supongamos que podemos integrar término a término (no nos de-

tendremos a justificar esta hipótesis, pues excede los objetivos de laasignatura). En ese caso, para cada β ∈ A, se tendría∫ b

a

f(x)φβ(x)dx =∑α

∫ b

a

aαφα(x)φβ(x)dx = aβ

∫ b

a

φ2β(x)dx

y por tanto

aβ =

∫ baf(x)φβ(x)dx∫ baφ2β(x)dx

Por tanto, tenemos la siguiente

Definición 1.5. Sea {φα(x);α ∈ A} una familia ortogonal sobre[a, b]. Sea f : [a, b] −→ R. Se llaman coeficientes de Fourier de f conrespecto a {φα(x);α ∈ A} a los números

aα =

∫ baf(x)φα(x)dx∫ baφ2α(x)dx

A la serie ∑α

aαφα(x)

se le llama serie de Fourier de f

Observación. Es frecuente elegir la familia {φα(x);α ∈ A} nor-malizada de manera que

∫ baφ2α(x)dx = 1 para cada α ∈ A.

Veamos el ejemplo concreto más importante para nosotros de todolo anterior.

Definición 1.6. Cuando consideramos en la definición anterior elsistema {1, cosnω0x, sinmω0x} y f : [−T

2, T2] −→ R con T = 2π

ωobtene-

mos los coeficientes clásicos de Fourier. Se llaman coeficientes (clásicos)de Fourier a los números

a0 =2

T

∫ T2

−T2

f(t)dt

am =2

T

∫ T2

−T2

f(t) cosmω0tdt


bn =2

T

∫ T2

−T2

f(t) sinnω0tdt.

Con esos coeficientes se puede definir la serie de Fourier de f

a02

+∞∑n=1

an cosnω0x+ bn sinnω0x

Ejemplo 1.7. Encontrar la serie de Fourier de la función

f(t) =

−1 si − T2< t < 0

1 si 0 < t < T2

y definida periódica de periodo T en todo R.

Solución: Es fácil ver que an = 0 para todo n ∈ N ∪ {0} y bn =2nπ

(1− cosnπ), independientemente de T

Ejemplo 1.8 (Septiembre 2003). Sea f(x) : R −→ R la funciónperiódica de periodo 1 definida por

f(x) =

{1 si 0 ≤ x < 1

2

0 si 12≤ x < 1

Obtener el desarrollo en serie de Fourier de f(x).

Solución: Por ser f(x) periódica de periodo T = 1, admite undesarrollo en serie de Fourier, es decir,

f(x) =a02

+∞∑n=1

an cosnω0x+∞∑n=1

bn sinnω0x,

conω0 =

2π

T= 2π

y dondea02

=1

T

∫ T2

−T2

f(x)dx,

an =2

T

∫ T2

−T2

f(x) cosnω0xdx, y

bn =2

T

∫ T2

−T2

f(x) sinnω0xdx


Así,a02

=

∫ 12

0

dx =1

2

Además

an = 2

∫ 12

0

cos(2nπx)dx =2

2nπsin 2nπx

∣∣∣∣ 120

= 0.

Finalmente,

bn = 2

∫ 12

0

sin(2nπx)dx = − 1

nπcos 2nπx

∣∣∣∣ 120

y por tanto, bn = 0 si n es par y bn = 2nπ

si n es impar.

Ejemplo 1.9. Sea f(x) : R −→ R la función periódica de periodo2 definida por

f(x) =

{x si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 ≤ x ≤ 2

Obtener el desarrollo en serie de Fourier de f(x).

Solución: Por ser f(x) periódica de periodo T = 2, admite undesarrollo en serie de Fourier, es decir,

f(x) =a02

+∞∑n=1

an cosnω0x+∞∑n=1

bn sinnω0x,

conω0 =

2π

T= π

y dondea02

=1

2

∫ 1

−1f(x)dx,

an =

∫ 1

−1f(x) cosnω0xdx, y

bn =

∫ 1

−1f(x) sinnω0xdx

Por la periocididad, es indistinto calcular las integrales en [−1, 1] óen [0, 2] (o en general en cualquier intervalo de amplitud 2). Debidoa que implica alguna cuenta menos integraremos en [−1, 1]. Para elloobsérvese que, para todo x ∈ [−1, 0], f(x) = −x.


Así,a02

=1

2

(∫ 0

−1−xdx+

∫ 1

0

xdx

)=

1

2

Además

an =

∫ 0

−1−x cos(nπx)dx+

∫ 1

0

x cos(nπx)dx.

Integrando por partes, se tiene

an = 2(−1 + cosnπ + nπ sinnπ)

n2π2

Finalmente,

bn =

∫ 0

−1−x sin(nπx)dx+

∫ 1

0

x sin(nπx)dx,

y de nuevo integrando por partes se obtiene

bn = 0.

1.4. Expresión compleja de las series de Fourier. Recorde-mos la expresión

eiθ = cos θ + i sin θ

que se puede justificar usando series de Taylor, aunque su fundamenta-ción rigurosa requiere algunos conocimientos de variable compleja. Deesta expresión se obtienen, sin mas que despejar, las siguientes

(4) cos θ =eiθ + e−iθ

2y

(5) sin θ =eiθ − e−iθ

2i

Por tanto, si f(t) es una función periódica de periodo T con desa-rrollo en serie de Fourier

f(t) =a02

+∞∑n=1

an cosnω0t+∞∑n=1

bn sinnω0t,

podemos sustituir los senos y cosenos por las expresiones dadas por (4)y (5) y obtenemos

f(t) =a02

+∞∑n=1

aneinω0t + e−inω0t

2+∞∑n=1

bneinω0t − e−inω0t

2i.

Usando que 1i

= −i y despejando llegamos a


f(t) = c0 +∞∑n=1

(cneinω0t + c−ne

−inω0t) =

= c0 +∞∑n=1

cneinω0t +

−∞∑n=−1

cneinω0t =

+∞∑n=−∞

cneinω0t,

donde

c0 =1

2a0, cn =

1

2(an − ibn), y c−n =

1

2(an + ibn).

Para entender todo esto mejor necesitamos algunas definicionesmás:

1.5. Ortogonalidad de funciones complejas. Al igual que hi-cimos para funciones reales, vamos a definir un producto escalar defunciones complejas.

Definición 1.10. Dadas f, g : I ⊂ R −→ C se define su productoescalar 〈f, g〉 como

〈f, g〉 =

∫I

f(t)g(t)dt,

donde z denota el conjugado complejo de z.

Ahora decimos que f y g son ortogonales si su producto escalar es0.

Siguiendo con la analogía con el caso real podemos definir la norma2 de una función compleja f : I −→ C como

‖f‖2 = (〈f, f〉)12 =

(∫I

f(t)f(t)dt

) 12

.

Con estas definiciones a mano, podemos ahora seguir con los coefi-cientes cn el mismo camino seguido con los an y bn.

En primer lugar notemos

Proposición 1.11. La familia {einωt}n∈Z es ortogonal en el inter-valo [−T

2, T2] (o en el [0, T ]), donde T = 2π

ω.

Demostración. Sea n 6= m. Entonces

〈einωt, eimωt〉 =

∫ T2

−T2

einωteimωtdt =

∫ T2

−T2

einωte−imωtdt =

=

∫ T2

−T2

(cosnωt+ i sinnωt)(cosmωt− i sinmωt)dt = 0.


�

1.6. Cálculo de los coeficientes cn. Ahora podemos calcularlos coeficientes análogamente a cómo calculamos los an y los bn:

Supongamos que una función f : [−T2, T2] −→ R (en realidad esto

también va a valer para funciones f : [−T2, T2] −→ C) fuera representa-

ble en la forma

f(t) =+∞∑

n=−∞

cneinωt.

Entonces, dado n0 ∈ N,

〈f, ein0ωt〉 = 〈+∞∑

n=−∞

cneinωt, ein0ωt〉 =

=+∞∑

n=−∞

cn〈einωt, ein0ωt〉 = cn0〈ein0ωt, ein0ωt〉 =

= cn0

∫ T2

−T2

ein0ωtein0ωtdt = cn0

∫ T2

−T2

ein0ωte−in0ωtdt =

= cn0

∫ T2

−T2

dt = cn0T,

de donde

cn =

∫ T2

−T2

f(t)ein0ωtdt

T,

expresión que por supuesto coincide con la obtenida anteriormente apartir de los an y los bn.

Como ya hemos dicho anteriormente, se puede demostrar que la ex-presión f(t) =

∑+∞n=−∞ cne

inωt nos permite representar no sólo funcionesperiódicas f : R −→ R sino también funciones periódicas f : R −→ C.Notemos que muchas señales se representan de manera natural comouna función con valores reales (por ejemplo una señal sonora) mientrasque otras, en particular los campos electromagnéticos, se representande manera natural como una función con valores complejos.

A partir de ahora trabajaremos con la expresión de la serie de Fou-rier en términos de los cn, por ser más adecuada para la mayoría de lasaplicaciones que la expresión en términos de los an y bn.

2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER 45

2. Convergencia de las series de Fourier

Tenemos definida formalmente la serie de Fourier, pero aún no sabe-mos nada de su convergencia o no a la función f . Los teoremas clásicosdel análisis de Fourier nos van a garantizar que para una amplia clasede funciones f , la serie de Fourier de f converge en casi todo punto af . Pero sobre todo nos interesará saber que para todas las funciones enL2(I), la serie de Fourier converge en norma 2 a la función.

2.1. Convergencia en norma 2. Empezamos considerando laconvergencia en norma 2 de la serie de Fourier, muy importante enmuchas aplicaciones. Recordemos que se dice que una sucesión de fun-ciones (fn) ⊂ L2(I) converge en norma 2 (o en media cuadrática) af ∈ L2(I) si

fn‖·‖2→ f,

esto es, silımn→∞

‖fn − f‖2 = 0,

o, equivalentemente, si

lımn→∞

∫I

|fn(t)− f(t)|2dt = 0.

Nótese que, en el caso de ondas electromagnéticas, esto se puedeinterpretar como que la energía de la sucesión de ondas εn := fn − ftiende a 0 cuando n tiende a infinito, e interesa darse cuenta de que lasucesión εn es el error cometido al aproximar f por fn.

Consideramos la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier

Sk(t) =k∑

n=−k

cneinωt

y llamamos εk(t) = f(t) − Sk(t) al error cometido al aproximar f porSk. Decir que Sk converge en norma 2 a f equivale a decir que ‖εk‖2tiende a 0, es decir, que

lımn→∞

(〈εk, εk〉)12 = lım

n→∞

(∫ T2

−T2

εk(t)εk(t)dt

) 12

= 0.

Notemos que∫ T2

−T2

εk(t)εk(t)dt =

∫ T2

−T2

(f(t)− Sk(t))(f(t)− Sk(t))dt =


∫ T2

−T2

f(t)f(t) + Sk(t)Sk(t)− 2<f(t)Sk(t)dt =

∫ T2

−T2

f(t)f(t)dt+

∫ T2

−T2

(k∑

n=−k

cneinωt)(

k∑n=−k

cneinωt)dt−

−2<∫ T

2

−T2

f(t)(k∑

n=−k

cneinωt)dt =

∫ T2

−T2

f(t)f(t)dt+

+k∑

n=−k

|cn|2∫ T

2

−T2

einωte−inωtdt− 2<k∑

n=−k

cn

∫ T2

−T2

f(t)e−inωtdt =

=

∫ T2

−T2

f(t)f(t)dt+ Tk∑

n=−k

cncn − 2<k∑

n=−k

cn

∫ T2

−T2

f(t)e−inωtdt+

+k∑

n=−k

(∫ T2

−T2

f(t)e−inωtdt)(∫ T

2

−T2

f(t)e−inωtdt)

T−

−k∑

n=−k

(∫ T2

−T2


2

−T2

f(t)e−inωtdt)

T=

=

∫ T2

−T2

f(t)f(t)dt+

Tk∑

n=−k

cn −∫ T

2

−T2

f(t)e−inω0tdt

T

cn −

∫ T2

−T2

f(t)e−inω0tdt

T

−

−k∑

n=−k

(∫ T2

−T2


2

−T2

f(t)e−inωtdt)

T.

Si consideramos esto como una ecuación en cn y buscamos minimi-zarla, vemos que la norma 2 del error es mínima cuando

cn =

∫ T2

−T2

f(t)e−inω0tdt

T.


Es decir, los cn son los mejores coeficientes que podemos ponerlesa las funciones einω0t para que la suma∑

n

cneinω0t

aproxime a f(t) tan bien (en norma 2) como sea posible.De hecho, con razonamientos emparentados con estos, aunque más

sofisticados, se puede demostrar que para todo intervalo I ⊂ R, todafunción f ∈ L2(I) admite una serie de Fourier como la anterior demanera que

∑n cne

inω0t converge a f en norma 2. Recordad que yahemos dicho anteriormente que las funciones f ∈ L2(I) son las másinteresantes en ingeniería, puesto que, por un lado L2(I) es un espa-cio matemáticamente “cómodo” y por otro la condición f ∈ L2(I) seinterpreta casi siempre como que f tiene energía finita, lo cual es muyrazonable.

2.2. Convergencia puntual en casi todo punto. Enunciare-mos aquí sin demostrar un teorema que nos garantiza la convergenciapuntual en casi todo punto de la serie de Fourier de una muy ampliafamilia de funciones. En particular, prácticamente todas las funcionescon interés en la ingeniería verifican las condiciones del teorema.

Teorema 2.1. Sea f : I −→ R una función continua a trozos,acotada y monótona a trozos (esto es, f tiene una cantidad finita demáximos y mínimos en I). Entonces la serie de Fourier de f convergea f(t0) en todo t0 ∈ I en el que f sea continua. En los puntos t0 ∈ Ien los que f no sea continua se tiene que la serie de Fourier convergea

f(t+0 ) + f(t−0 )

2,

dondef(t+0 ) = lım

t→t+0f(t)

yf(t−0 ) = lım

t→t−0f(t).

2.3. Espectros discretos. Fijáos que de todo lo anterior se si-gue que para una muy amplia clase de funciones f , su serie de Fourier∑

n∈Z cneinω0t determina unívocamente (excepto quizás en una canti-

dad finita de puntos) la función f . En términos de información, estose puede expresar diciendo que toda la información contenida en f sehalla en sus coeficientes de Fourier.


Esto da lugar a la noción de espectro de una función f . Podemospensar en sus coeficientes (cn)n∈Z como una función

c : Z −→ Cdada por

c(n) = cn

La función c (o su gráfica) es lo que llamamos el espectro de f . Parael caso de funciones periódicas (equivalentemente funciones definidasen un intervalo [a, b]) el espectro de f , c esta definido sobre los enteros,no sobre todo R, por lo que le llamamos espectro discreto. Veremosmás adelante que para representar una función no periódica necesita-mos un espectro continuo. Las técnicas de análisis espectral, de las queprobablemente hayáis oído hablar puesto que se usan en muchas dis-ciplinas, consisten precisamente en estudiar el espectro de una función(la radiación emitida por un cuerpo celeste, por ejemplo) para obtenerinformación contenida en esa función.

Los valores (cn) son también llamados las componentes en frecuen-cia de la señal f . Los que sepáis algo de teoría musical, deberíais notarcómo una función periódica (una nota cualquiera dada por un ins-trumento) se descompone por su serie de Fourier en la suma de susarmónicos (ω0 es la frecuencia fundamental, 2ω0 es la misma nota unaoctava mas arriba, 3ω0 es la quinta por encima de la octava, 4ω0 es lamisma nota dos octavas por encima de la original, etc).

Notad que si f(t) toma valores reales, esto es, f : I −→ R, entonces,para todo n ∈ N cn = c−n.

2.4. Teorema de Parseval. Un resultado muy importante enanálisis de Fourier es el Teorema de Parseval, que físicamente se puedeleer como que la energía de la señal es igual a la suma de las energías desus componentes, y geométricamente se puede simplemente interpretarcomo una consecuencia de una versión infinito dimensional del Teoremade Pitagoras. La demostración del teorema de Parseval es razonable-mente sencilla una vez se conocen técnicas elementales de espacios deHilbert (espacios L2). No la incluiremos aquí, pero sí quiero incluir una“pseudodemostración” que puede resultar ilustrativa.

Empezamos con:

Proposición 2.2. Sean f1, f2 ∈ L2([−T2, T2]), y sean (c1n)n∈Z, (c2n)n∈Z

sus respectivos coeficientes de Fourier. Entonces

1

T

∫ T2

−T2

f1(t)f2(t)dt =∑n∈Z

c1nc2n.


Demostración.∫ T2

−T2

f1(t)f2(t)dt =

∫ T2

−T2

(∑n∈Z

c1neinω0t

)(∑n∈Z

c2neinω0t

)dt =

∑n∈Z

∑m∈Z

c1nc2m

∫ T2

−T2

einω0te−imω0tdt =

∑n∈Z

c1nc2n

∫ T2

−T2

einω0te−inω0tdt = T∑n∈Z

c1nc2n.

�

De aquí se deduce fácilmente (sin más que tomar f1 = f2) el si-guiente

Teorema 2.3 (Teorema de Parseval). Sea f ∈ L2([−T2, T2]), y sean

(cn)n∈Z, coeficientes de Fourier. Entonces

1

T(‖f‖2)2 =

1

T

∫ T2

−T2

f(t)f(t)dt =∑n∈Z

|cn|2.

Capítulo 5

Transformada Integral de Fourier

1. Definición.

Todo lo visto hasta ahora se aplicaba al estudio de funciones pe-riódicas, o de funciones definidas en un intervalo [a, b]. Para ciertasaplicaciones esto no es suficiente, y necesitamos estudiar funcionesf : R −→ R ó C no periódicas. Este tipo de funciones no puedenser representadas por medio de una serie de Fourier, pero en cambio síque se pueden representar por medio de una integral de Fourier.

Describimos a continuación la idea intuitiva en el paso de las seriesde Fourier a la integral de Fourier. Todo esto se puede formalizar contodo rigor, pero no lo haremos ya que llevaría demasiado tiempo y nolo consideramos prioritario para nuestra asignatura.

Como ya hemos visto, una función periódica de periodo T se puederepresentar por medio de una serie de Fourier

∑n cne

ınω0t, con ω0 =2πT. La idea ahora, dicha burdamente, es considerar una función no

periódica como una función periódica de periodo infinito.

Ejemplo 1.1. Supongamos que queremos estudiar la función f :R −→ R dada por

f(t) =

{1 si t ∈ [−1

2, 12]

0 si |t| > 12

Cuando hablábamos del espectro de una función periódica f nosreferimos al valor de los coeficientes cn, que podían ser entendidos comouna función c(ω) : R −→ C( ó R) que toma valores distintos de 0 sóloen los puntos ω = nω0, con n ∈ Z, en los que vale cn.

Notemos que al hacer tender T (el periodo) a infinito, la frecuenciafundamental ω0 tiende a 0, por lo que los puntos nω0 están cada vezmás próximos, de manera que parece razonable pensar que en el límiteel espectro se hace continuo, es decir, podemos definir c(ω) para todoω. Por otro lado, es fácil ver con los ejemplos que al hacer tender T ainfinito, las amplitudes cn = c(nω0) tienden a 0.

51

52 5. TRANSFORMADA INTEGRAL DE FOURIER

Se pueden formalizar matemáticamente estos razonamientos (aun-que no lo haremos aquí), pero la idea que hay detrás es que, a medidaque T tiende a infinito, los armónicos (los puntos nω0) se encuentraninfinitamente cercanos y son de amplitud infinitesimal, es decir, el es-pectro discreto se vuelve continuo.

Con estas ideas intuitivas, hagamos una construcción no formal dela integral de Fourier.

Sea f(t) una función periódica de periodo T . Sea su serie de Fourier

f(t) =∞∑

n=−∞

cneınω0t(6)

donde

cn =1

T

∫ T2

−T2

f(t)e−ınω0tdt(7)

y

ω0 =2π

T(8)

Sustituyendo (7) en (6), se tiene

f(t) =∞∑

n=−∞

(1

T

∫ T2

−T2

f(x)e−ınω0xdx

)eınω0t(9)

Utilizando (8) tenemos que

f(t) =∞∑

n=−∞

(1

2π

∫ T2

−T2

f(x)e−ınω0xdx

)ω0e

ınω0t(10)

Hagamos un pequeño inciso y recordemos lo que sabemos de ladefinición de integral de Riemann, y el paso de las sumas de Riemanna la integral.

Si tenemos una función h : [a, b] −→ R integrable y suponemoselegida una partición equiespaciada P (ω0) = {a = x0, x1, . . . , xk = b}de [a, b] en la que xi−xi−1 = ω0 para cada i ∈ {1, . . . , k}, tenemos que

lımω0→0

k∑n=1

h(a+ nω0)ω0 =

∫ b

a

h(t)dt.

1. DEFINICIÓN. 53

Recordando esto, volvamos a la expresión (10) y llamemos

h(ω) =

(1

2π

∫ T2

−T2

f(x)e−ıωxdx

)eıωt.

Aplicando los razonamientos anteriores y haciendo el paso a unaintegral impropia (dejamos esto al alumno) tenemos que, cuando ω0

tiende a 0 (equivalentemente cuando T tiende a infinito)

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

(∫ +∞

−∞f(x)e−ıωxdx

)eıωtdω(11)

Si definimos la transformada de Fourier F(ω) de f como

F(ω) =

∫ ∞−∞

f(t)e−ıωtdt(12)

Entonces (11) se convierte en

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F(ω)eıωtdω.(13)

Con esto definimos la transformada de Fourier y la transformadainversa. Escribimos a continuación ambas definiciones explícitamente.

Definición 1.2. Sea f : R −→ R (ó C). Entonces definimos sutransformada integral de Fourier como una función

F(f) = F : R −→ C

dada por

F(f)(ω) = F(ω) =

∫ ∞−∞

f(t)e−ıωtdω.

Análogamente definimos

Definición 1.3. Sea F : R −→ C. Entonces definimos su transfor-mada inversa de Fourier como una función

F−1(F) : R −→ R (ó C)

dada por

F−1(F)(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F(ω)eıωtdt.


2. Propiedades de la transformada de Fourier

Nótese que la transformada de Fourier viene definida por mediode una integral impropia, que puede ser convergente o no serlo. Em-pezamos enunciando el teorema que nos garantiza la existencia de latransformada de Fourier para una amplia familia de funciones

Teorema 2.1. Sea f ∈ L2(R). Entonces existe la transformada deFourier de f , y es una función F : R −→ C

La condición f ∈ L2(R) es suficiente, pero no necesaria, para laexistencia de F. Existen numerosos ejemplos de funciones que no estánen L2(R) y sin embargo su transformada está bien definida.

Enunciamos a continuación algunas propiedades básicas de la trans-formada de Fourier.

Linealidad. Si f, g ∈ L2(R) y α, β ∈ R, entonces F(αf + βg) =αF(f) + βF(g).Si 0 6= α ∈ R, f ∈ L2(R) y g(t) = f(αt) entonces

F(g)(ω) =1

|a|F(f)(

ω

a)

Sig(t) = f(t)eıαt

entonces F(g)(ω) = F(f)(ω − α)Si f ∈ L2(R), t0 ∈ R y g(t) = f(t− t0) entonces

F(g)(ω) = F(f)(ω)e−ıωt0 .

El siguiente resultado es la clave que permite aplicar la transforma-da de Fourier a la resolución de ecuaciones diferenciales.

Proposición 2.2. Sea f : R −→ R una función derivable, queadmite transformada de Fourier F(f), y tal que

lımt→±∞

f(t) = 0.

(Nótese que esta última condición se verifica siempre que f ∈ L2(R)).Entonces

F(f ′)(ω) = ıωF(f)(ω).

Demostración.

F(f ′)(ω) =

∫ ∞−∞

f ′(t)e−ıωtdt.

2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 55

Integramos por partes y obtenemos que

F(f ′)(ω) = lımt0→∞

f(t)e−ıωt∣∣t0−t0

+ ıω

∫ ∞−∞

f(t)e−ıωt =

= lımt0→∞

f(t0)e−ıωt0 − lım

t0→∞f(−t0)eıωt0 + ıω

∫ ∞−∞

f(t)e−ıωt = ıωF(f)(ω),

puesto quelım

t0→±∞f(t0) = 0

yeıωt0 = cosωt0 + ı sinωt0

está acotada. �

A continuación enunciamos sin demostración unos resultados quenos garantizan el buen comportamiento de la transformada de Fou-rier y la transformada inversa de Fourier para una amplia familia defunciones.

Teorema 2.3. Si f ∈ L2(R) entonces F(f) es continua y

lımω→±∞

F(f)(ω) = 0

Dos comentarios son pertinentes: en primer lugar observar que aun-que f ∈ L2(R) puede no ser continua, su trasformada siempre lo es. Ensegundo lugar, el hecho de que

lımω→±∞

F(f)(ω) = 0

indica que, para cualquier señal, la amplitud de sus componentes enfrecuencia tiende a 0 cuando la frecuencia tiende a infinito.

Teorema 2.4 (Inversión). Si f ∈ L2(R) entonces F(f) ∈ L2(R),y además la función

g(t) =1

2π

∫ ∞−∞F(f)(ω)eıωtdω

(es decir, la transformada inversa de la transformada de f) verifica que

f(t) = g(t) en casi todo punto.

Observación. La expresión “en casi todo punto” tiene un signi-ficado matemático muy preciso. Quiere decir que f(t) = g(t) exceptoen, a lo sumo, un conjunto de medida cero. Excede del alcance de estecurso la definición de conjunto de medida cero, pero daremos una ideaintuitiva diciendo que cualquier intervalo no vacío no es de medida cero,mientras que un sólo punto, o una cantidad finita, o incluso numerable,


de puntos, sí forman un conjunto de medida cero. Por tanto, el teore-ma de inversión nos dice que si tomo una función f ∈ L2(R), hallo sutransformada de Fourier F(f), y a continuación hallo la transforma-da inversa de F(f), entonces recupero f (salvo quizás en unos pocospuntos, que no van a tener ninguna importancia en la gran mayoría delas aplicaciones). Esto es lo que nos permite decir que “no perdemosinformación”, al considerar F(f) en lugar de f , puesto que podemosrecuperar f (salvo quizás en unos pocos puntos) a partir de F(f).

Capítulo 6

Aplicaciones a la teoría de la señal.

1. Convolución y filtros

El propósito de esta sección es simplemente contar una aplicaciónclásica de la transformada de Fourier al tratamiento de la señal, y lograrque los hipotéticos lectores de estas notas se vayan familiarizando conel hecho de que la transformada de Fourier nos permite pensar en unafunción, que originalmente estaba en “el dominio del tiempo”, como unafunción “en el dominio de la frecuencia”.

Nuestro propósito es describir lo que en teoría de la señal se conocecomo filtros. Para ello necesitamos previamente una nueva herramientamatemática, la convolución.

Definición 1.1. Sean f, g : R −→ R. Se define su convolución f ∗gcomo

f ∗ g(x) =

∫ ∞−∞

f(x− y)g(y)dy

siempre y cuando la integral impropia anterior exista.

El interés para nosotros en este momento de la convolución de fun-ciones es el siguiente resultado

Teorema 1.2. Sean f, g ∈ L2(R). Entonces f ∗ g existe, f ∗ g ∈L2(R) y además

1.

F(f ∗ g)(ω) = F(f)(ω) · F(g)(ω) para todo ω ∈ R

2.

F(f · g)(ω) = (F(f) ∗ F(g))(ω) para todo ω ∈ R

Esta fuera del alcance de este curso demostrar el teorema tal y comoestá enunciado (es decir, con f, g ∈ L2(R)). En cambio sí que vamos ademostrar el punto 1 en el caso algo más sencillo de que f, g ∈ L1(R),donde

L1(R) = {f : R −→ R tales que f es integrable y tales que57

58 6. APLICACIONES A LA TEORíA DE LA SEÑAL.∫ +∞

−∞|f(t)|dt <∞}.

La herramienta básica para la demostración de este resultado es elteorema de Fubini, que habitualmente se estudia junto con la nociónde integral doble. Lo enunciamos a continuación para el caso particularen que el recinto de integración sea un rectángulo [a, b]× [c, d], puestoque eso es suficiente para nosotros.

Teorema 1.3 (Fubini). Sea f : R2 −→ R una función integrable yD = [a, b]× [c, d] ⊂ R2 un rectángulo. Entonces∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy.

Aquellos alumnos que no estén excesivamente familiarizados con lanoción de integral doble no deben preocuparse, puesto que nosotrossólo necesitamos la segunda de las igualdades del teorema, y esa nonecesita de la noción de integral doble.

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 1.2. Veamos en primer lugar que f ∗g(existe y) pertenece a L1(R)∫ ∞

−∞|f ∗ g(x)|dx =

∫ ∞−∞

∣∣∣∣∫ ∞−∞

f(x− y)g(y)dy

∣∣∣∣ dx ≤≤∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞|f(x− y)g(y)|dy

)dx

Fubini=

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞|f(x− y)g(y)|dx

)dy =

=

∫ ∞−∞|g(y)|

(∫ ∞−∞|f(x− y)|dx

)dy =

(∫ ∞−∞|f(x)|dx

)(∫ ∞−∞|g(y)|dy

)<∞.

Esto prueba que f ∗ g ∈ L1(R). Para probar que

F(f ∗ g)(ω) = F(f)(ω) · F(g)(ω)

necesitaremos de nuevo el teorema de Fubini. En efecto

F(f∗g)(ω) =

∫ ∞−∞

f∗g(t)e−ıωtdt =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

f(t− y)g(y)dy

)e−ıωtdt =

=

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

f(t− y)g(y)e−ıωyeıωydy

)e−ıωtdt =

=

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

f(t− y)e−ıω(t−y)g(y)e−ıωydy

)dt

Fubini=

=

∫ ∞−∞

g(y)e−ıωy(∫ ∞−∞

f(t− y)e−ıω(t−y)dt

)dy = F(f)(ω)F(g)(ω)

lo que termina la demostración del teorema.

1. CONVOLUCIÓN Y FILTROS 59

Veamos ahora cómo aplicar esto a la realización de un filtro en fre-cuencia. En teoría de la señal se denomina filtro en frecuencia a unmecanismo que nos permita, dada una señal, quedarnos con sus com-ponentes en cierto rango de frecuencias, y desechar las demás. Es decir,suponemos dada una cierta señal f(t) y queremos obtener otra señalfs(t) cuyas componentes en frecuencia sean exactamente las componen-tes en frecuencia de f(t) que pertenezcan a cierto rango de frecuencia.

La manera de obtener fs(t) es la siguiente: hallamos la transformadade Fourier de f , F(f) y la multiplicamos por χA(ω) donde A ⊂ R esel rango de frecuencias que queremos seleccionar y χA(ω) es la funcióncaracterística de A, definida como

χA(ω) =

1 si ω ∈ A

0 si ω 6∈ A

Para terminar hallamos la trasformada inversa de F(f)(ω)χA(ω) y estáserá nuestra función fs(t).

Veámoslo con un ejemplo, la realización de un filtro paso bajo. Sellama filtro paso bajo a aquel que se queda con las componentes debaja frecuencia de f y descarta las demás. En concreto suponemos quedeseamos quedarnos con las componentes de frecuencia menor o igualque δ. Consideramos la señal f(t). Suponemos calculada su transforma-da de Fourier F(f) consideramos F(f)(ω)χ[−δ,δ]. Entonces, aplicandoel teorema de inversión 2.4 y el Teorema 1.2, se tiene que fδ(t) (lacomponente en frecuencia menor o igual que δ de f) se puede obtenercomo

fδ(t) = (f ∗ g)(t)

donde g(t) es una función tal que

F(g) = χ[−δ,δ].

Calculemos g(t).Aplicando de nuevo el teorema de inversión (o, equivalentemente,

la fórmula de la transformada inversa de Fourier), se tiene que

g(t) =1

2π

∫ ∞−∞

χ[−δ,δ](ω)eıωtdω =1

2π

∫ δ

−δeıωtdω =

1

2π

eıωt

it

∣∣∣∣δ−δ

=

=1

πt

eıδt − e−ıδt

2ı=

sin δt

πty, por tanto, tenemos finalmente que

fδ(t) = f(t) ∗ sin δt

πt.

60 6. APLICACIONES A LA TEORíA DE LA SEÑAL.

2. Teorema de Nyquist

Como ingenieros informáticos, en vuestra vida profesional es másfácil que os encontréis con señales discretas (digitales) que con señalescontinuas (analógicas). Aunque no tenemos tiempo en este curso de es-tudiar la transformada discreta de Fourier y otras herramientas usadasen el tratamiento de señal discreta, contaremos a modo de ilustraciónel teorema de Nyquist, o teorema del muestreo, que nos proporcionainformación acerca del paso de una señal analógica a una señal discreta.

La situación a la que nos enfrentamos es la siguiente: tenemos unaseñal continua y la queremos digitalizar. Este proceso consiste en mues-trearla (“samplearla” en espanglish), es decir, no quedarnos con toda laseñal sino con la sucesión de valores de la señal tomados cada T segun-dos (este es el caso del muestreo uniforme en el tiempo, el único queestudiaremos aquí; para ciertas señales puede ser más interesante unmuestreo no uniforme). Este proceso tiene una obvia ventaja: que nospermite trabajar con una sucesión de números en lugar de con toda laseñal, lo que es muy útil sobre todo para el tratamiento informático dela señal. Y por supuesto, también hay un inconveniente igualmente ob-vio: la señal muestreada no contiene, en principio, toda la informaciónque había en la señal original. Parece claro que cuantas más muestraspor segundo tomemos (esto es, cuanto menor sea T ) menos informa-ción perderemos, pero también más nos costará muestrear y almacenary manipular la información. Entonces ¿cuál es intervalo de muestreoque debemos usar?.

Veamos un ejemplo concreto, un CD de música. Hasta hace no mu-chos años la música se almacenaba siempre en vinilo o en cinta magné-tica, y ambos soportes partían de una señal analógica y almacenabantambién una señal analógica. El progreso de la tecnología (en particularla tecnología informática) y la relativamente baja calidad y durabili-dad de ambos soportes llevan a plantearse el almacenamiento digital dela música en forma de CD, ya que el soporte físico es muchísimo másduradero y el tratamiento de la señal digital más versátil. El problemaes ¿a qué velocidad hemos de muestrear una señal sonora para que laseñal muestreada sea gran calidad?. La respuesta a esto la da el teore-ma de Nyquist. Primero un par de consideraciones biológicas: nuestrooído “oye en frecuencias” (al igual que nuestros ojos ven en frecuencias)y está limitado en frecuencia: nadie oye señales de frecuencia superiora 20KHz, al igual que nadie ve luz infrarroja o ultravioleta. Este límiteno es común a todos los animales: algunos, como ratas y perros tienen

2. TEOREMA DE NYQUIST 61

la capacidad de oír señales de frecuencia superior, y los famosos ultra-sonidos usados en ocasiones para intentar ahuyentar ratas no son sinosonidos de frecuencia superior a 20KHz y gran volumen, que nosotrosno oímos pero ellas sí.

Esta limitación de nuestro oído tiene consecuencias prácticas: siconsideramos una señal sonora y le quitamos sus componentes de fre-cuencias superiores a 20KHz, nuestros oídos no son capaces de percibirninguna diferencia entre ambas señales. Por tanto la respuesta a la pre-gunta anterior “¿a qué velocidad hemos de muestrear una señal sonorapara que la señal muestreada sea gran calidad?” es “A la velocidadnecesaria para mantener las componentes de la señal de frecuenciasinferiores a 20KHz”. Y aquí es donde interviene el teorema de Nyquist.

Teorema 2.1. Sea f : R −→ C una señal que admite transformadade Fourier F (lo que ocurre por ejemplo si f ∈ L2(R)). Si F(ω) = 0para todo ω > ωM = 2πfM entonces se puede determinar f en casitodo punto por medio de sus valores separados por intervalos uniformesmenores que 1

2fMsegundos.

Demostración. Sabemos que F : R −→ C es una función que vale0 para todo ω > ωM . Consideramos entonces ω0 > 2ωM y definimos lafunción

Fs : R −→ C

como una función periódica (¡en el dominio de la frecuencia!) de periodoω0 dada por

Fs(ω) = F(ω) para todo ω ∈ [−ω0

2,ω0

2].

Por ser Fs periódica podemos expandirla en serie de Fourier; nóte-se que como su periodo (lo que habitualmente llamábamos T ) es ω0,entonces su frecuencia fundamental (lo que habitualmente llamábamosω0) vale 2π

ω0. Por tanto

(14) Fs(ω) =+∞∑

n=−∞

cneınω 2π

ω0

donde

(15) cn =1

ω0

∫ ω02

−ω02

Fs(ω)e−ınω 2π

ω0 dω.

Usando la definición de Fs tenemos que

62 6. APLICACIONES A LA TEORíA DE LA SEÑAL.

(16) cn =1

ω0

∫ ωM

−ωMF(ω)e

−ınω 2πω0 dω.

Usaremos además que

(17) f(t) = F−1(F)(t) =1

2π

∫ +∞

−∞F(ω)eıωtdω =

=1

2π

∫ +ωM

−ωMF(ω)eıωtdω.

Suponemos que hemos muestreado cada T = 2πω0

segundos, en lospuntos t = nT = n2π

ω0. Por (17) se tiene

(18) f(nT ) = f

(n2π

ω0

)=

1

2π

∫ +ωM

−ωMF(ω)e

ıω n2πω0 dω.

Ahora, comparando (18) y (16) se tiene

cn =2π

ω0

f

(−n2π

ω0

)= Tf(−nT ).

Por tanto, podemos conocer los cn a partir de los valores muestrea-dos f(nT ); a partir de los cn usando (14) podemos conocer Fs; una vezconocida ésta conocemos F y a partir de F usando (17) recuperamosf .

Para terminar, notemos que nuestra suposición ω0 > 2ωM implicaque

2π

T> 4πfM ,

es decir

T <1

2fM,

lo cual termina la demostración. �

Observación. Se puede demostrar (y está escrito con todo detalleen el libro [4]) que si se unen todos los datos anteriores se obtiene quela manera de recuperar f(t) a partir de los datos muestreados es

f(t) =∞∑

n=−∞

f(nT )sinωM(t− nT )

ωM(t− nT )

para el caso ωM = 2πfM , T = 12fM

.

3. MODULACIÓN DE AMPLITUD 63

3. Modulación de amplitud

Necesitamos el siguiente resultado

Proposición 3.1. Sea f(t) una señal que admite transformada deFourier F(ω). Entonces

F(f(t) cosωct)(ω) =F(ω − ωc) + F(ω + ωc)

2y

F(f(t) sinωct)(ω) =F(ω − ωc)− F(ω + ωc)

2ı.

Esto nos da pie al siguiente simple razonamiento. Tenemos unaseñal f(t) limitada en frecuencia (esto es, F(ω) = 0 para cada ω >ωM) y deseamos transmitirla. Para ello, en primer lugar elegimos unafrecuencia ωc > ωM (habitualmente ωc es de hecho mucho mayor queωM) y consideramos la señal moduladam(t) = f(t) cosωct. Observamosque la transformada de Fourier de m(t) consiste simplemente de doscopias de la transformada de f centradas en ±ωc. Esta señal m(t) es laque se emite. Veamos como el aparato receptor recibe m(t) y recuperaf(t). Supongamos que en el receptor multiplicamos m(t) por cosωct.Obtenemos entonces la señal

m(t) cosωct = f(t) cos2 ωct = f(t)1 + cos 2ωct

2=f(t)

2+f(t) cos 2ωct

2.

Puesto que F(m(t) cos 2ωct)(ω) sólo vale distinto de 0 en dos entor-nos de centros ±2ωc y radio ωM , resulta claro que pasando m(t) cosωctpor un filtro paso bajo recuperamos f(t) (divida por 2, pero esto no esimportante).

Bibliografía

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variable Noriega Editores 1996.[3] R. Churchill y J. Brown, Variable compleja y aplicaciones McGraw-Hill 1990.[4] H. Hsu, Análisis de Fourier Fondo Educ. Interamericano 1973.[5] A. Oppenheim, R. Schafer y J. Buck, Tratamiento de señales en tiempo dis-

creto, Prentice Hall 2000.

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