Apuntes de Meteorologia Dinamica
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APUNTESDE
METEOROLOGA DINMICA
JOS AGUSTN GARCADepartamento de Fsica
marzo, 2007
1
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II
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ndice general
1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Nocin del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Imgenes euleriana y lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Derivada msica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1. Lneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.3. Lneas de emisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7. Estudio de la deformabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1. Deformacin del vector desplazamiento, vector superficie y volumen . . . . . . . 16
1.8. Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y volumen . . . . . . 181.9. Teorema de conservacin de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10.Tensor velocidad de deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10.1. Tensor de Cauchy y GreenVenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.11.Teorema de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12.Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.13.Dinmica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.14.Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.14.1. Condicin de la situacin de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.15.Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.16.Principio de conservacin de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.16.1. Condiciones frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.16.2. Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.16.3. Teorema de Crocco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2. Ecuaciones meteorolgicas del movimiento 692.1. Ecuaciones del movimiento en una Tierra en rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.1. Efecto de la fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.2. Efecto de la fuerza centrfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
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IV NDICE GENERAL
2.2. Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3. Ecuacin de conservacin del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.4. Coordenadas verticales alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.1. La presin como coordenada vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4.2. La temperatura potencial como coordenada vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5. El sistema de coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.5.1. El viento geostrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.5.2. Viento del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.5.3. Otros tipos de vientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.6. Efecto del rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.6.1. El bombeo Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.7. El viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.7.1. El teorema de TaylorProudman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.7.2. Efecto de la baroclinicidad:El viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.7.3. Algunas consecuencias del concepto del viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . 1142.7.4. Adveccin de temperatura y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.8. Determinacin de la velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.8.1. El mtodo cinemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.8.2. El mtodo adiabtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.9. La ecuacin de tendencia baromtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.10.Fuerzas de marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.10.1. Mareas en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3. Vorticidad y Circulacin 1353.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.2. Expresin de la vorticidad en otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.1. Coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2.2. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.3. Circulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3.1. Efecto de la baroclinicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4. Ecuacin de conservacion de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.5. Vorticidad y circulacin en sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.1. Ecuaciones aproximadas para flujo a gran escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.5.2. La ecuacin de conservacion de vorticidad en coordenadas isobaricas . . . . . . 1573.5.3. Cordenadas isentrpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.6. Ondas largas (teora de Rossby) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4. Ondas en la atmsfera 1694.1. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2. Concepto de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.3. La ecuacin de ondas: soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.3.1. El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
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NDICE GENERAL V
4.3.2. Algunas caractersticas de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.4. Ondas dispersivas: Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4.1. El mtodo de la fase estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.5. Ondas en medios no homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.6. Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.7. Ondas gravitatorias externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.7.1. Energas cintica y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.8. Ondas inerciagravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.8.1. Ajuste Geostrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.8.2. Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.9. Ondas de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.10.Ondas Planetarias de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.10.1. Ondas Rossby topogrficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.11.Efectos de la estratificacin. Ondas gravitacionales internas . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.11.1. Importancia de la estratificacin. El nmero de Froude . . . . . . . . . . . . . . . 2174.11.2. Ondas gravitatorias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.11.3. Ondas de montaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.11.4. Obstaculo Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
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Captulo 1
Introduccin a la Mecnica de Fluidos
1.1. Introduccin
Aunque la mecnica de medios continuos no tiene porque ceirse a la mecnica de fluidos, si
que podemos considerar a la mecnica de fluidos como un ejemplo tpico de mecnica de medios
continuos. Por esta razn vamos a utilizar la mecnica de fluidos como un medio para estudiar la
mecnica de medios continuos.
1.2. Nocin del continuo
Esta hoy en da perfectamente asumido que la materia es discreta, esto es, est formada por to-
mos los cuales a su vez estn compuestos por ncleos y electrones "girando.entorno a sus ncleos.
Estos a su vez estn compuesto por otras partculas los cuales a su vez estn compuesto por otras
partculas, etc. No obstante podemos todava en ciertos problemas considerar a la materia como con-
tinua esto es con propiedades macroscpicas que son funcin continua de la posicin en el seno de
la materia. Para analizar en que condiciones podemos considerar a la materia como un continuo,
considerar el concepto de densidad . Para definir la densidad en un punto, debemos de tomar un
volumen muy pequeo en torno a dicho punto y calcular la densidad como la suma de las masas de
las partculas contenidas en dicho volumen y lo dividiremos por el volumen
(Vx )=
i m(i )
Vx
Si el volumen es muy pequeo, el anterior valor fluctuar fuermente cuando vayamos de un punto a
otro, aunque sea prximo, pues el valor de la densidad depender de si hemos cogido alguna partcula
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2 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
o no dentro de nuestro volumen elemental, con lo que, la idea de un valor de la densidad funcin
continua de la posicin no es posible. As mismo si cambiamos el tamao de nuestro volumen la
densidad cambiar fuertemente, pues como antes, es posible que el nmero de partculas contenidas
en el interior del volumen vare fuertemente y por tanto nuestra definicin de densidad depender
enormemente del volumen elegido para definirla. Si vamos aumentando nuestro volumen, poco a
poco se ir estabilizando el valor de la densidad hasta que este apenas vare, pues la inclusin de
nuevas partculas va a alterar muy poco el valor de la densidad. SeaV0 el valor para el cual esto ocurre.
Si dicho valor es muy pequeo frente al tamao macroscpico del problema que nos ocupa, podemos
considerar a la densidad definida en ese volumen como un valor local, en realidad la vamos a tomar
como la densidad en el punto origen de dicho volumen, esto es
(x)= (V0)
El problema surge cuando dicho volumen es grande comparado con el tamao del problema de tal
forma que no lo podemos considerar como local. En estas condiciones debemos acudir a otra teora
como puede ser la teora cintica de gases. Lo mismo que hemos hecho para la densidad se puede
hacer para otras propiedades microscpicas como son la velocidad, la temperatura, la presin etc. En
cualquier caso vamos a suponer que todas estas propiedades son funcin continua de la posicin,
salvo en un conjunto de medida nula.
1.3. Concepto de flujo
En los problemas de sistemas de partculas, se supone que tenemos resuelto nuestro problema
cuando conocemos la trayectoria de cada una de las partculas, esto es, cuando tenemos funciones
de la forma xi = xi (xi 0, t ) que nos permiten conocer la posicin de la partcula en cada instante comofuncin de la posicin inicial. En el caso de mecnica de medios continuos vamos a tener una infini-
tud no numerable de partculas y en vez de tener un ndice que nos las cuente tendremos un nmero
(o nmeros) real (reales). Sea el parmetro que nos designa las partculas del medio continuo, Este
parmetro puede ser por ejemplo la posicin en un instante inicial. Como antes, supondremos que
existe un mapa o aplicacin que nos lleva a cada partcula en un instante dado a su posicin en un
instante posterior. Esto es supondremos que existe una funcin tal que
x=t ()= x(, t )
Vamos a suponer que se verifican las siguientes propiedades
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1.4 Imgenes euleriana y lagrangiana 3
1. La aplicacint () es una aplicacin uno a uno y la inversa es tambin uno a uno. Esto significa
que una partcula no se puede dividir en dos y que dos partculas no se pueden juntar y dar
lugar a una nueva partcula.
2. La aplicacint () es una funcin continua y con derivada continua de la posicin , de tal for-
ma que el fluido se puede deformar todo cuanto queramos sin llegar a romperse. La aplicacin
inversa verifica tambin estas propiedades. En estas condiciones diremos que la aplicacin
es un difeomorfismo.
3. La aplicacin t tiene las propiedades de un grupo, de tal forma que t+s = ts , 0 es laidentidad y t es el elemento inverso de t . Este grupo recibe el nombre de grupo unipara-mtrico.
1.4. Imgenes euleriana y lagrangiana
El estudio de los fluidos se puede abordar desde dos imgenes o visiones diferentes. En primer
lugar podemos fijarnos en cada una de las partculas que componen el fluido1 y analizar que ocurre
con cada una de ellas en el curso del tiempo. Esto constituye lo que se ha venido en llamar la imagen
lagrangiana del fluido. O bien, en vez de ver que le ocurre a cada partcula podemos ver que pasa en
cada punto del espacio en cada instante de tiempo, en este caso hablaremos de imagen euleriana.
La imagen euleriana equivale a una teora de campos. >Que relacin existe entre una y la otra ?. Para
ello imaginemos una propiedad de una partcula que en el instante t se encuentra en el punto x.
Obviamente dicha propiedad coincidir con la propiedad del punto x en dicho instante. As pues
P (, t )=P (x(, t ), t ) (1.1)
La anterior ecuacin nos dice, que la propiedad P que tiene la partcula en el instante t , coincide
con el valor de la propiedad P en el punto x en el cual est la partcula en el instante t . As mismo
la propiedad P en el punto x en el instante t coincidir con la propiedad de la partcula que este en
ese instante en dicho punto
P (x, t )=P ((x, t ), t ) (1.2)
1La idea de partcula aqu no significa lo mismo que en la mecnica de sistemas, pues estamos suponiendo que el medioes continuo. Una partcula aqu es un pequeo volumen en torno a un punto dado.
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4 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
1.5. Derivada msica
Es interesante poder relacionar las variaciones temporales que tiene una propiedadP en las dos
imgenes de Lagrange y Euler. Esta cuestin es fundamental pues las leyes de la mecnica y la ter-
modinmica son leyes que se aplican a un sistema mecnico o trmico fijado de antemano. Cuando
aplicamos la leyes de Newton, lo primero que hacemos es fijar el sistema mecnico y luego analiza-
mos cual es su evolucin en el tiempo. Esto significa que cuando apliquemos estas mismas leyes en
mecnica de fluidos debemos fijar a que partculas se las vamos aplicar, esto es, debemos utilizar la
imagen lagrangiana para poder aplicar las leyes de Newton. Lo mismo sucede con las leyes termodi-
nmicas. Ahora bien es normal que conozcamos las propiedades espaciales y por tanto tengamos un
conocimiento euleriano del sistema. >Cmo relacionar las variaciones temporales en una imagen y
otra ?. La respuesta est en las ecuaciones dadas en la seccin anterior. Partiendo de la expresin (1.2)
y derivando respecto del tiempo, manteniendo constante,
DP
Dt= P (, t )
t
= P (x(, t ), t )t
x+ P (x(, t ), t )
x
x(, t )
t
Ahora bienx(, t )
t
no es otra cosa que la velocidad de la partcula en el instante t , que por la misma ecuacin (1.2) es
la velocidad en el punto x ocupado en ese instante por la partcula , por lo tanto tenemos
DP
Dt= P (x(, t ), t )
t
x+v(x, t ) P (x(, t ), t )
x(1.3)
La cantidadP (x(, t ), t )
t
x
recibe el nombre de variacin local de la propiedadP y
v P (x(, t ), t )x
= v GRADP
recibe el nombre de adveccin de la propiedadP . Podemos poner por tanto
DP
Dt= P
t
x+v GRADP . (1.4)
Podemos aplicar la anterior ecuacin para calcular la aceleracin de una partcula del fluido a partir
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1.5 Derivada msica 5
del campo de velocidades. En este casoP = v y por tanto
a= DvDt
= vt
x+v GRADv (1.5)
Respecto de la anterior ecuacin debemos de decir que mientras Dv/Dt es una verdadera aceleracin
la cantidad v/t no es una aceleracin si no la variacin local de la velocidad. Mientras que Dv/Dt
es la propiedad de una burbuja determinada, v/t afecta a burbujas diferentes y por tanto no se
puede considerar como propiedad de una partcula determinada. Vamos a ver un ejemplo que nos
permita ver la diferencia entre ambos trminos. Para ello considerar que estis en una plcida tarde
de verano bajo la sombra de una magnfica encina observando la marcha de un rio en la cercana de
unos rpidos del mismo. Supuesto que el flujo es estacionario, observis que los pequeos troncos
y ramas que transporta el rio, al pasar por delante de vosotros, mantienen la misma velocidad, pero
que, segn se acercan a los rpidos, estos van aumentando de velocidad. >Qu sucede ? Pues que,
cuando nosotros observamos que todos los troncos que pasan delante de nuestros ojos tienen la
misma velocidad, estamos evaluando la variacin local de velocidad, como todos los troncos tienen
la misma, este trmino es nulo. Ahora bien, cuando nos fijamos en uno de ellos, vemos que se acelera
cuando se acerca a los rpidos. >Cual es la aceleracin de uno de estos troncos? Pues obviamente la
diferencia de velocidades dividido por la diferencia de tiempos
v
t
ahora bien t =x/v, por lo que la aceleracin vale
vv
x
en el lmite cuando x tiende a cero obtenemos
vv
x
La cantidad v GRADv recibe el nombre de adveccin de velocidad. Desde un punto de vista pu-ramente matemtico esta cantidad constituye la derivada de Lie del campo vectorial v a lo largo del
campo integral del propio campo v. En el caso que tengamos una propiedadP que es un escalar, por
ejemplo la temperatura, el operador GRAD, es el gradiente usual del campoP (x, y, z). Si la propiedad
P es un vector, como sucede si estudiamos el campo de velocidades, el operador GRAD es la derivada
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6 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
covariante. Donde, como es sabido, la derivada covariente del campo v viene dada por la expresin
v i, j =v i
x j+ij ,k vk
siendo ij ,k los coeficientes de la conexin afn o simbolos de Christoffel de segunda especie, de tal
forma que la derivada msica resulta,
(Dv
Dt
)i= v
i
t+ v j v ij =
v i
t+ v j
(v i
x j+ij ,k vk
)=
= vi
t+ v j v
i
x j+ij ,k v j vk
Empleando el smbolo en vez del GRAD para designar al gradiente del campo de velocidades, eltrmino adventivo lo podemos poner como
vv
En un lenguaje de diadas podemos considerar al gradiente de velocidades como la diada v y laanterior expresin como la aplicacin a la izquierda de la diada v, por tanto tenemos
(v )v
trmino que, en coordenadas cartesianas eulerianas, toma la forma
[(v )v]i =(
v
x
)vi
donde con el subndice repetido queremos indicar una suma en . Podemos evaluar a partir de las
anteriores expresiones la variacin local de la propiedadP . Supongamos que nos estamos refiriendo
a la temperatura de la burbuja,P = T , de la expresin 1.4, tenemos
T
t=v T + DT
Dt
Supongamos que la temperatura de la burbuja no ha variado en el curso del tiempo. Esto significa
que DT /dt = 0, por lo queT
t=v T
esto significa que la variacin local de la temperatura es igual a la adveccin de temperatura, esto
es, el viento advecta las isotermas con l, a una velocidad v cos siendo el ngulo formado por
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1.5 Derivada msica 7
el vector gradiente de temperatura y el vector velocidad. Para ver esto fijmonos en la figura 1.1 en
T0
T1
T2
T3
T4
sy2
1
Figura 1.1:
donde un cierta masa de aire se mueve en la direccin de la flecha. Al moverse en esa dirreccin, y no
cambiar la temperatura de la burbuja, arrastra consigo las isotermas, esto es si la burbuja en un cierto
instante se localiza en el punto 2, tiene la temperatura T2 cuando se haya desplazado a la posicin 1
tendr es ese punto la temperatura T2 (hemos supuesto que el desplazamiento es isotermo). As pues
la temperatua en la posicin 1 habra cambiado de T1 a T2 en el tiempo transcurrido durante el viaje
de la partcula del punto 2 al punto 1, as pues la velocidad de la variacin local de la temperatura ser
T
t= T2T1
t= T2T1s/v
= v T2T1s
= v T2T1y/cos
= v cosT2T1y
=vy T2T1y
en el lmiteT
t=vy T
y=v GRAD T
La figura 1.2 nos ilustra como acta la adveccin. A la izquierda tenemos un campo de temperaturas
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Figura 1.2:
que cuyas isotermas son paralelas al eje x y que van creciendo a lo largo del y . En el centro tenemos
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8 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
un hipottico campo de viento, somplando de arriba para abajo en la parte central y de abajo para
arriba en los extremos. La figura de la derecha nos muestra el campo de temperatura al cabo de un
cierto tiempo, donde se puede observar como se deforman las isotermas a cuenta de la adveccin.
Ejemplo 1.1 Considerar el flujo definido por el conjunto de ecuaciones
x = ty = (1+ t 2)z = (1+ t )2
Calcular la velocidad y aceleracin del anterior flujo tanto en la imagen lagrangiana como en la ima-
gen euleriana.
SOLUCCION
De acuerdo con la definicin, la velocidad lagrangiana viene dada por la expresin v = (x/t ), porlo que derivando las anteriores ecuaciones respecto a t manteniendo constantes ,,, tenemos
vx (,,, t ) = vy (,,, t ) = 2tvz (,,, t ) = 2(1+ t )
Para calcular la imagen euleriana debemos de utilizar las ecuaciones del flujo para eliminar ,,,
resultando
vx (x, y, z, t ) = xt
vy (x, y, z, t ) = 2y t1+ t 2
vz (x, y, z, t ) = 2z 1(1+ t )
Para calcular la aceleracin partiendo de la expresin de la velocidad en la imagen lagrangiana, solo
-
1.5 Derivada msica 9
debemos de derivar respecto del tiempo, por lo que
ax (,,, t ) = 0ay (,,, t ) = 2az (,,, t ) = 2
que utilizando las ecuaciones del flujo podemos escribir en la imagen euleriana
ax (x, y, z, t ) = 0ay (x, y, z, t ) = 2y 1
1+ t 2az (x, y, z, t ) = 2z 1
(1+ t )2
Ahora bien si partimos de la expresin euleriana de la velocidad para calcular la aceleracin debemos
de emplear la expresin Dv/Dt ,
ax (x, y, z, t ) = vxt
+ (v x
)vx = 0
ay (x, y, z, t ) =vyt
+ (v x
)vy = 2y 11+ t 2
ay (x, y, z, t ) = vzt
+ (v x
)vz = 2z 1(1+ t )2
siendo (v
x
)= vx
x+ vy
y+ vz
z
obteniendo los mismos resultados que a travs de la imagen lagrangiana. Obsrvese que cuando cal-
culamos la aceleracin a partir de la imagen euleriana obtenemos la aceleracin tambin en la ima-
gen euleriana.
Ejemplo 1.2 Calcular la expresin de la diada (v) en coordenadas cilndricas.
SOLUCIN
El operador en cilndricas vale= r
r+1
r
+k
z
-
10 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
y
v= vr r+ v+ vz k
siendo (vr , v, vz ) las componentes fsicas de la velocidad en cilndricas (vr = r , v = r , vz = z). Apli-cando el operador a la velocidad v, obtenemos
v= rrvrr
+ rvr
+ rkvzr
+
r1
r
vr
+1r
v
+k 1r
vz
+
krvrz
+kvz
+kkvzz
+vrrr
+ v
r
donde hemos tenido en cuenta que la derivada de los vectores base respecto de r y z vale cero. Dado
quer
=
y que
=r
obtenemos
v= rrvrr
+ rvr
+ rkvzr
+
r(vr+ 1
r
vr
)+( vrr+ 1
r
v
)+k 1r
vz
+
krvrz
+kvz
+kkvzz
Si aplicamos el anterior operador al vector v por la izquierda, obtenemos
v v= vr(
rvrr
+vr
+kvzr
)+
v
(r(v
r+ 1
r
vr
)+( vrr+ 1
r
v
)+k 1r
vz
)+
vz
(rvrz
+vz
+kvzz
)
-
1.6 Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin 11
que reordenando
v v= r(
vrvrr
+ vr
vr
+ vz vrz
v2
r
)+
(vrvr
+ v(vrr+ 1
r
v
)+ vz vz
)+
k(
vrvzr
+ v1
r
vz
+ vz vzz
)La traza del tensor v= v/x constituye la divergencia del campo, por lo que
v= vrr
+ 1r
v
+ vzz
+ vrr
1.6. Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin
1.6.1. Lneas de corriente
Se define una lnea de corriente como aquella curva en el espacio que en un instante determina-
do t es tangente al campo de velocidades en cada punto del espacio. Es una imagen instantnea del
campo de velocidades del fluido. La ecuacin de la lnea de corriente vendr dada por una expresin
del tipo x = x(s) siendo s un cierto parmetro. En coordenadas cartesianas eulerianas, el vector tan-gente a la curva tiene por componentes (dx/ds, d y/ds, dz/ds) Puesto que este campo es tangente al
campo de velocidades, sus componentes han de ser proporcionales, por lo que
dx/ds
vx (x, y, z, t )= d y/ds
vy (x, y, z, t )= dz/ds
vz (x, y, z, t )
que podemos poner de diferentes formas. Eliminando ds
dx
vx (x, y, z, t )= d y
vy (x, y, z, t )= dz
vz (x, y, z, t )(1.6)
-
12 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
que nos permite obtener un par de superficies cuya interseccin nos da la lnea buscada. Podemos
tambin utilizar como ecuacin de las lneas de corriente las expresiones
dx
ds= vx (x, y, z, t )
d y
ds= vy (x, y, z, t ) (1.7)
dz
ds= vx (x, y, z, t )
que nos permite obtener las ecuaciones paramtricas. En todas las expresiones anteriores el tiempo
juega el papel de parmetro y denota el instante en el que estamos calculando la lnea de corriente.
Las ecuaciones y por tanto las lneas de corriente cambian de un instante a otro excepto si el tiempo
no est presente en la expresin del campo de velocidades. En esta situacin diremos que el flujo es
estacionario La figura 1.3 nos muestra un ejemplo de las lneas de corriente en torno a una esfera
Figura 1.3: Lneas de corriente en la estela formada por una esfera. (Fuente: G.K. Batchelor. An introduction toFluid Mechanics. Cambridge)
1.6.2. Trayectorias
Como en la mecnica de sistemas, la trayectoria es la curva integral del campo de velocidades,
esto es
dx
dt= vx (x, y, z, t )
d y
dt= vy (x, y, z, t ) (1.8)
dz
dt= vx (x, y, z, t )
-
1.6 Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin 13
En este caso el tiempo juega el papel de variable independiente y no de simple parmetro como
suceda en el caso de las lneas de corriente. En el caso en que flujo sea estacionario el tiempo no est
presente en la expresin de campo de velocidades por lo que formalmente las expresiones para las
lneas de corriente y las trayectorias son idnticas por lo que ambas curvas coinciden.
1.6.3. Lneas de emisin
Son las curvas ms fcilmente obtenibles de forma experimental, basta inyectar un colorante,
por ejemplo mediante una aguja hipodrmica, en un punto del seno del fluido. Todos los puntos de la
curva cumplen la condicin de haber pasado en un instante determinado por el punto de emisin del
colorante. As pues llamaremos curva de emisin a la curva que une aquellos puntos materiales que
han pasado en un cierto instante por una posicin dada en el seno del fluido. Para ver las ecuaciones
de las curvas de emisin consideremos la definicin de flujo
x= x(, t )
Vamos a evaluar a partir de la anterior expresin que partculas han pasado por un cierto punto y en
el instante s tal que 0 s t . Puesto que la anterior expresin es invertible, estas partculas vendrndadas por la expresin
= (y, s)
una vez que conocemos las partculas, vamos a ver que posicin ocupan en un cierto instante t ,
sustituyendo la anterior expresin en la ecuacin del flujo
x= x((y, s), t ) (1.9)
En la anterior expresin, s juega el papel de parmetro que nos describe la curva y t el instante en
el que consideramos la curva. La lnea de emisin al igual que la lnea de corriente est formada por
diferentes partculas, mientras que la trayectoria se refiere a la curva descrita por una nica partcula.
La figura 1.4 nos muestra a unas linas de emisin que surgen de los bordes de una pequea esfera
situada en una corriente de aceite. En el caso de flujo estacionario, la lnea de emisin coincide con
la lneas de corriente y la trayectoria.
Ejemplo 1.3 Considerar el campo de velocidades vx = x/(1+t ), vy = y, vz = 0. Calcular las expresiones
-
14 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
Figura 1.4: Lneas de emisin (streak lines) en torno a una esfera.(Fuente: G.K. Batchelor. An introduction toFluid Mechanics. Cambridge).
de las lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin.
SOLUCIN
Para el clculo de las lneas de corriente emplearemos la expresin
dx
vx= d y
vy= dz
vz
que en nuestro caso particular toma la forma
dx
x/(1+ t ) =d y
y= 0
dz
Est claro que las lneas de corriente deben de obtenerse a lo largo de los planos z = constante. Inte-grando la primera igualdad
(1+ t ) log( xx0
)= log( yy0
)
de dondey
y0=(
x
x0
)1+tsiendo t un parmetro. Por ejemplo para t = 0 sern rectas, mientras que para t = 1 sern parbolas.
Para el clculo de la trayectoria, tenemos
dx
dt= x
1+ td y
dt= y
dz
dt= 0
-
1.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 15
integrando,
x
x0= 1+ t
y
y0= exp(t )
z = constante
eliminando t , obtenemos
y = y0 exp(
x
x01)
Para el clculo de las lneas de emisin, transformamos la ecuacin de la trayectoria en una ecua-
cin para el flujo, llamando = x0 y = y0, obtenemos
y = e t
x = (1+ t )
>Que partculas han pasado por el punto (a, b) en un cierto instante s? Basta eliminar de las expre-
siones del flujo (,),
= a1+ s
= bes
sustituyendo en la expresin del flujo para evaluar en que posicin se encuentran las partculas en el
instante t obtenemos
y = be(ts)
x = a1+ s (1+ t )
1.7. Estudio de la deformabilidad del continuo
Una de las propiedades del continuo es su capacidad de sufrir deformaciones sin romperse, pues
segn nuestras hiptesis le fluido no se rompe, salvo en un conjunto de medida nula.
-
16 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
1.7.1. Deformacin del vector desplazamiento, vector superficie y volumen
Vector desplazamiento
Vamos a considerar que tenemos dos partculas prximas cuya posicin relativa en un instante
inicial viene dada por el vector . En el curso del tiempo las partculas cambian de posicin de tal
forma que en un cierto instante t la posicin relativa viene dada por el vector x. Supuesto que no
haya transcurrido un intervalo de tiempo muy grande y dada nuestra hiptesis de que dos partculas
muy prximas van a permanecer prximas, podemos suponer que existe una relacin lineal entre
ambos vectores, esto es supondremos que
x i = xi
j j
Expresada en forma vectorial la anterior relacin, tenemos
x= GRADx (1.10)
Esta ecuacin nos dice como se deforman los vectores desplazamiento.
Vector superficie
Vamos a ver como se deforman los elementos de superficie. Como sabemos la ecuacin param-
trica de una superficie viene dada por una expresin de la forma
x= x(u, v)
estando los parmetros (u, v) definidos en un cierto dominio de R2. El elemento de superficie se pue-
de expresar como
= xy
siendo x y y sendos vectores a lo largo de las lneas coordenadas v = cte y u = cte respectivamente.En coordenadas cartesianas eulerianas las componentes las podemos poner como
i = i j kx jy k
-
1.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 17
ahora bien, de acuerdo a las expresiones para la deformacin de los desplazamientos (1.10), x i =x i / j j , podemos poner
i = i j kx i
pxk
qpq
multiplicando por x i /r , tenemos
x i
ri = i j k
x i
rx i
pxk
qpq
de la definicin de Jacobiano,x i
ri = pqr Jpq .
Ahora bien, puesto que
pqrpq = r ,
siendo r el elemento de superficie en el instante inicial, tenemos
x i
ri = Jr
que en forma vectorial podemos poner
GRADx (x)= J() (1.11)
que no dice como se deforman los elementos de superficie.
Volumen
Multiplicando la anterior expresin a la izquierda y a la derecha por r , obtenemos
rx i
ri = Jrr
ahora bien, la cantidad
rr = V ()
representa el elemento de volumen en el instante inicial, mientras que
rx i
ri = x ii = V (x)
-
18 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
representa el elemento de volumen en el instante t , por lo que podemos escribir,
V (x)= JV ()
que nos dice como se deforman los elementos de volumen. Podemos invertir las ecuaciones que nos
dan las deformaciones y escribir
= GRADx xGRADx () = j(x)
V () = jV (x)
siendo j el inverso del jacobiano J .
Nos interesa ahora analizar como se deforman no las componentes de los vectores si no sus valo-
res absolutos, para ello consideremos que
ds2 = dx i dx i = xi
jx i
k jk
LLamemos C al tensor
C| j k =x i
jx i
k
tendremos
ds =
||C
|| ||
puesto que /|| =M es un vector unitario, la cantidad
= dsxds
=p
MCM
nos da la tasa de extensin o estiramiento.
1.8. Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y
volumen
En la seccin anterior nos hemos preocupado de estudiar como se deforman los elementos de
longitud, superficie y volumen, vamos a analizar en esta seccin a que velocidad lo hacen. Para ello
vamos a considerar en primer lugar la velocidad de deformacin del vector desplazamiento elemen-
-
1.8 Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y volumen 19
tal,D
Dt(x i )=
t(x i )=
pasando a coordenadas lagrangianas
= t
(x i
j j)= t
(x i
j
) j =
j
(x i
t
) j = v
i
j j
volviendo otra vez a las coordenadas eulerianas,
D
Dt(x i )= v
i
j j = v
i
xkxk
j j = v
i
xkxk = v i .
En forma vectorial podemos escribir la anterior expresin como
D
Dt(x)= v= GRADv x
Multiplicando por x,
x DDt
(x)= x GRADv x
Teniendo en cuenta que s2 = x x es por lo que
sDs
Dt= x D
Dt(x)
y por tanto
sDs
Dt= x GRADv x
dividiendo por s2
1
s
Ds
Dt=M GRADv M (1.12)
siendo M el vector unitario
M= xs
.
En cuanto a la variacin temporal del elemento de superficie tenemos,
D
Dt
(x i
ji
)= t
(J j )= Jt
j
-
20 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
puesto que el jacobiano J tiene por expresin
J = 13!i j k
pqr xi
px j
qxk
r
derivando parcialmente respecto del tiempo a constante,
J
t= 3 1
3!i j k
pqr
t
(x i
p
)x j
qxk
r=
= 3 13!i j k
pqr(v i
p
)x j
qxk
r= 3 1
3!i j k
pqr
(v i
x lx l
p
)x j
qxk
r=
= 3vi
x l1
3!i j k
pqr xl
px j
qxk
r= 3v
i
x l1
3!i j k
l j k J
Ahora bien, puesto que
i j kl j k = 2li
tenemosJ
t= 6 1
3!
v i
x lli J =
v i
x iJ = DIVvJ .
As pues hemos obtenido el importante resultado que
D J
Dt= J DIVv (1.13)
sustituyendo,
t
(x i
ji)= J DIVv j
desarrollando el miembro de la izquierda
t
(x i
ji)= t
(x i
j
)i +
t(i )
x i
j
puesto que
t
(x i
j
)= v
i
j
tenemos
t
(x i
ji)= v
i
ji + x
i
j
t(i )= DIVvJ j
-
1.8 Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y volumen 21
despejando,x i
j
t(i )= DIVvJ j v
i
ji = DIVvJ j v
i
xkxk
ji
intercambiando los ndices i y k en el ltimo trmino del segundo miembro, se obtiene
x i
j
t(i )= DIVvJ j v
k
x ix i
jk
teniendo en cuenta que de la ecuacion 1.11,
J j = xi
ji
obtenemosx i
j
t(i )= DIVvx
i
ji v
k
x ix i
jk
sacando factor comn a (x i / j ) y anulando, resulta
D
Dti = DIVvi v
k
x ik
que en forma vectorial se expresa como
D
Dt= DIVvGRADv (1.14)
multiplicando por
D
Dt= DIVv GRADv
teniendo en cuenta que
D
Dt= 1
2
D
Dt||2
obtenemos1
2
D
Dt||2 = DIVv||2N GRADv N||2
siendo N el vector unitario
N= ||dividiendo por ||2 tenemos
1
||D
Dt|| = DIVvN GRADv N (1.15)
-
22 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
que nos da la tasa de expansin del valor absoluto del elemento de superficie.
En cuanto a la tasa de expansin del elemento de volumen, tenemos
D
DtVx =
t(JV)=
J
tV = DIVvJV = DIVvVx
donde hemos tenido en cuenta que Vx = JV y que D J/Dt = DIVvJ , as pues
1
Vx
D
DtVx = DIVv (1.16)
que nos da la tasa de expansin relativa del elemento de volumen.
1.9. Teorema de conservacin de la masa
Consideremos una porcin de materia que no pierde su individualidad en el curso del tiempo, o
sea, est compuesto siempre por las mismas partculas. En el curso del tiempo esta porcin de mate-
ria se deformar cuanto quiera pero siempre tendr la misma masa pues esta compuesto siempre de
las mismas partculas, as pues M = Mx y por tanto V = xVx . Vimos antes que
Vx = JV
y por tanto
= Jx (1.17)
de donde se deduce que la densidad no es una magnitud escalar si no una densidad tensorial de
peso uno (el exponente del Jacobiano). Tomando la derivada msica (las partculas que componen la
porcin del fluido son siempre las mismas)
D JxDt
= DDt
= t
= 0
ahora bienD Jx
Dt= J Dx
Dt+x D J
Dt
y puesto queD J
Dt= J DIVv
-
1.10 Tensor velocidad de deformacin 23
tenemos
JDxDt
+x J DIVv= 0
y puesto que el jacobiano es distinto de cero, resulta
DxDt
+x DIVv= 0 (1.18)
que es la ecuacin de continuidad. Teniendo en cuenta que
DxDt
= tx +GRADx
la ecuacin de continuidad la podemos escribir en coordenadas eulerianas como
tx +DIV(x v)= 0 (1.19)
La cantidad (x v) expresa el flujo de masa a travs de una superficie y la divergencia de esta cantidad
expresa cuanta masa se ha ganado o perdido a travs de una superficie cerrada fija en el espacio y por
tanto expresa la variacin de la densidad, pues el volumen encerrado por la superficie es el mismo.
1.10. Tensor velocidad de deformacin
Tanto en el estudio de la velocidad de deformacin de los elementos de lnea y superficie aparece
el tensor GRADv, vamos a a analizar con mayor profundidad este tensor. En coordenadas cartesianas
eulerianas este tensor tiene por expresinvix j
que podemos descomponer en su parte simtrica y antisimtrica de la siguiente manera
vix j
= 12
(vix j
+ v jx i
)+ 1
2
(vix j
v jx i
)Designemos por
ei j = 12
(vix j
+ v jx i
)a la parte simtrica y
i j = 12
(vix j
v jx i
)
-
24 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
a la parte antisimtrica. Utilizando estos nuevos tensores, la tasa de deformacin del elemento de
longitud resulta ser1
s
D
Dts = x
i
s(ei j +i j )x
j
s
Se tiene por otra parte que el producto contrado de un tensor simtrico y otro antisimtrico es nulo,
por lo que en la anterior expresin resulta que
x i
si j
x j
s=i j x
i
s
x j
s= 0
puesi j es antisimtrico por construccin y
x i
s
x j
s
es simtrico. As pues1
s
D
Dts =M E M
siendo E la parte simtrica del tensor GRADv. Este tensor recibe el nombre de tensor velocidad de
deformacin. Vamos a ver el significado de sus elementos. Para ello consideremos un vector despla-
zamiento elemental que tiene como componentes (x1,0,0), esto es un vector de longitud s = x1situado a lo largo del eje 1, la tasa de deformacin de este vector vale
1
s
D
Dts = 1
x1D
Dtx1 =Mi ei j M j = i1ei j j1 = e11 =
v1
x1
As pues e11 representa la tasa de extensin relativa de un vector situado a lo largo del eje 1, lo mismo
suceder cono el eje 2 y eje 3. Podemos concluir por tanto que los elementos de la diagonal del tensor
velocidad de deformacin representan la tasa de extensin de sendos vectores situados a lo largo de
cada eje. La traza del tensor viene dada por
v1
x1+ v
2
x2+ v
3
x3
que es la divergencia del campo de velocidades y como vimos antes representa la velocidad de cambio
del elemento de volumen. Para ver que representan los elementos fuera de la diagonal, considerar dos
vectores desplazamiento que forman un cierto ngulo entre ellos. El coseno del ngulo formado por
ambos segmentos lo podemos calcular como el producto escalar entre los dos vectores
x y= ss cos= x iy i
-
1.10 Tensor velocidad de deformacin 25
x
y
Figura 1.5:
siendo s y s la longitud de los vectores. Derivando en ambos miembros tenemos
D
Dt(ss cos)= D
Dt(x iy i )
expandiendo las derivadas,
D
Dt(s)s cos+s D
Dt(s)ss sen D
Dt= v ixy i +v iyx i
tomando=pi/2,
ss DDt|90 = v ixy i +v iyx i =
v i
xkxky i + v
i
xkx iy k
cambiando los ndices repetidos del ltimo trmino del segundo miembro,
ss DDt|90 = v
i
xkxky i + v
k
x ixky i =
(v i
xk+ v
k
x i
)xky i = 2ei kxky i
dividiendo por ss, tenemosD
Dt|90 =2M i ei k M
k
siendo M i , Mi sendos vectores unitarios en la direccin de los vectores x, y . Suponer ahora que
tomamos los vectores anteriores a lo largo de dos vectores base de una base ortogonal, por ejemplo
uno a lo largo del eje x y el otro el eje y , en este caso M i = i1 y Mi = i2 por tanto
D
Dt|90 =2i1ei j j2 =2e12
-
26 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
As pues e12 representa la velocidad a la que dos vectores situados a lo largo del los ejes 1,2 se es-
tn acercando o alejando. Para ilustrar de forma grfica lo que acabamos de demostrar, considerar
un punto en un fluido cuyas coordenadas son (0,0) respecto de un sistema de referencia ortogonal.
Considerar otros dos puntos con coordenadas (x,0) y (0,y). La velocidad relativa de estos dos pun-
[0, (v /x )x ]
[(u /y )y , 0]
[0,0]
1
2x
y
Figura 1.6:
tos respecto del origen ser, para el punto 1
u = ux
x+ uy
y = ux
x
v = vxx+ v
yy = v
xx
y para el punto 2
u = ux
x+ uy
y = uy
y
v = vxx+ v
yy = v
yy
Consideremos nicamente el efecto transversal sobre cada punto, pues los efectos longitudinales (u
para el punto 1 y v para el punto 2) lo que hacen es separar a ambos puntos respecto del origen.
Debido a estos efectos transversales, la recta unida al punto 1 barre un ngulo y la recta unida al
punto 2 barre un ngulo . Considerando ngulos muy pequeos en los que podamos aproximar el
arco por su seno o su tangente, tenemos
= yx
= 1x
(v
xxt
)= vxt
-
1.10 Tensor velocidad de deformacin 27
y
= xy
= 1y
(u
yyt
)= uy
t
y por tanto
d
dt= v
xd
dt= u
y
La velocidad con la que el ngulo de 90 grados va disminuyendo ser
D
Dt()=
(d
dt+ d
dt
)=(v
x+ uy
)=2ex y
que es el resultado que obtuvimos antes de forma ms rigurosa.
Segn hemos visto en las secciones anteriores, e11, e22 y e33 representan la tasa de extensin de
sendos vectores situados a lo largo de los ejes (1,2,3). Obviamente estas tasas de extensin depende-
rn de como hayamos elegido el sistema de referencia. La pregunta que nos hacemos es >Cual es el
sistema de referencia, si existe, para el cual e11, e22 y e33 representen las mximas tasas de extensin
?. Para contestar a esta pregunta recordemos que la tasa de extensin relativa viene dada por
1
s
D
Dts =mi ei j m j
siendo mi las componentes del vector unitario que nos marcan la direccin del vector cuya tasa de
extensin estamos analizando. Para calcular el mximo debemos derivar respecto de mi , teniendo
en cuenta que los vectores son unitarios y por tanto mi mi 1 = 0. Utilizando un multiplicador deLagrange , la ecuacin que nos da el mximo toma la forma
mk(mi ei j m j +(1mi mi ))= 0, k = 1,2,3
Derivando
i k ei j m j +mi ei j j k 2i k mi = 0
de donde
ek j m j +mi ei k 2mk = 0
-
28 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
llamando i al ndice mudo j en el primer trmino y dada la simetra de ei j tenemos
mi ei k mk = 0
que en forma de matriz
[E][M]=[M]
que es una ecuacin en valores propios, cuyos autovalores son los multiplicadores de lagrange y los
vectores propios son la direcciones que estamos buscando. Como el tensor E es simtrico esta ecua-
cin siempre tiene soluciones, as pues la base donde el tensor E es diagonal nos marca las direcciones
en las que las tasas de expansin son mximas y sus autovalores nos marcan cuales son las tasas de
expansin, pues en esta nueva base
[E]=
1 0 0
0 2 0
0 0 3
Como en esta nueva base los elementos fuera de la diagonal son ceros, slo se estn produciendo
estiramientos o contracciones a lo largo de los vectores base.
Volvamos a nuestro tensor gradiente de velocidades y analicemos su parte antisimtrica
i j = 12
(ui
x j u
j
x i
)Este tensor tiene nicamente tres elementos distintos y le podemos asociar un vector de tres compo-
nentes2 de la siguiente manera. De la definicin dei j
i j = 12
(ui
x j u
j
x i
)teniendo en cuenta que
i jpq A
pq = Ai j A j i
tenemos que
i j = 12
pqi j
vp
xq= 1
2kpqki j
vp
xq=1
2kqpki j
vp
xq
2Este proceso de asociar un vector a un tensor antisimtrico de segundo orden solo es posible en R3
-
1.10 Tensor velocidad de deformacin 29
expresin en la que hemos intercambiado los ndices p y q. Ahora bien
kqpvp
xq= (v)k = k
y por tanto
i j =12ki jk =
1
2ki j (v)k
Multiplicando en ambos miembros por l i j tenemos
l i ji j =1
2l i j ki jk =kl k =l =(v)l
As pues vemos que la parte antisimtrica del tensor gradiente de velocidades coincide con el rota-
cional de dicho campo. >Que significado fsico podemos asociar al tensor i j ?. Para ello fijmonos
en la figura 1.6. La velocidad rotacional media vendr dada por
= 12
(d
dt d
dt
)pues las variaciones de los ngulos y son de signo contrario, pero segn vimos antes
d
dt= v
xd
dt= u
y
de donde
= 12
(v
x uy
)= 1
2(v)z
as pues, un medio del rotor nos da la velocidad angular de rotacin media. Hay que tener en cuenta
que el fluido no es un slido rgido y por tanto slo podemos hablar de una velocidad angular media.
Resumiendo, hemos visto que la deformacin relativa en el entorno de un punto viene dada por la
diferencia de velocidades entre dicho punto, que tomamos como origen, y un punto cualquiera de su
entorno, esto es por
v i = vi
x jx j
separando en las partes simtrica y antisimtrica tenemos
v i = ei jx j +i jx j = ei jx j 12ki jkx
j = ei jx j + 12i k jkx
j = ei jx j + (x)i
-
30 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
la primera parte mide la deformacin mientras que la segunda parte mide la rotacin.
Ejemplo 1.4 Analizar el flujo bidimensional cuyo campo de velocidades viene dado por la expresin
v= u(y)i
Este tipo de flujo recibe el nombre de cizalla.
SOLUCIN
El tensor gradiente de velocidades viene dada por la expresin
GRADv=
ux
uy
uz
vx
vy
vz
wx
wy
wz
=
0 2 0
0 0 0
0 0 0
siendo 2= u/y . Puesto que la traza del tensor es cero, la divergencia es cero y por tanto el flujo esiscoro. La partes simtrica y antisimtrica valen
E=
0 0
0 0
0 0 0
, =
0 0
0 00 0 0
Puesto que los elementos de la diagonal del tensor E valen cero, no existen estiramientos ni contrac-
ciones en las direcciones (i, j,k). As mismo los ejes (x, y) se estn acercando con una velocidad dada
por . Para ver en que direccin se producen los mximos estiramientos diagonalizamos la matriz
anterior. Como en el eje z no existe flujo, vamos a preocuparnos nicamente de lo que pasa en el
plano (x, y). La diagonalizacin de la matriz (0
0
)
conduce a un par de autovalores, = y dos autovectores
v1 = 1p2
(i+ j)
v2 = 1p2
(i+ j)
-
1.10 Tensor velocidad de deformacin 31
De acuerdo con lo dicho anteriormente el flujo produce un estiramiento en las direcciones dadas por
los dos vectores anteriores. Supongamos que > 0, como = una de las direcciones marcar unestiramiento y la otra una contraccin. Supongamos que el estiramiento se produce en la direccin
v1 y la contraccin en la direccin v2. >Cmo son las lneas de corriente en torno a un punto dado
que tomamos como origen y con velocidad cero, supuesto que el flujo nicamente tenga en cuenta
al tensor E ?. El campo de velocidades en torno a dicho punto ser
v= Ex
En la base (v1,v2)
v=( 0
0
)x
Un punto situado en el eje 1 tendr como velocidad relativa
v=( 0
0
)(x1
0
)=(x1
0
)
y por tanto se estar alejando del origen tanto para puntos tomados en el semieje positivo x1 > 0como el semieje negativo. Lo contrario sucede para un punto situado a lo largo del eje 2
v=( 0
0
)(0
x2
)=(
0
x2
)
Ahora los puntos situados en la parte positiva del eje se estn acercando al origen y los de la parte
negativa tambin. >Que pasa para puntos situados en los antiguos ejes coordenados (x, y)
El punto de coordenadas x(p
2,0) en la base antigua, tiene como coordenadas x(1,1) en labase nueva y por tanto su velocidad ser
v=( 0
0
)(x
x
)=(x
x
)
que es un vector dirigido en la direccin del eje +y original. Si consideramos que el punto esta enx(1,1), esto es en la parte negativa del eje x de la base antigua, ahora
v=( 0
0
)(xx
)=(xx
)
-
32 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
que es un vector dirigido hacia el eje y de la base original. Si tomamos nuestro punto en el eje +yde la base original, en la base nueva tiene por coordenadas y(1,1) y por tanto
v=( 0
0
)(y
y
)=(
y
y
)
que es un vector dirigido a lo largo del eje+x de la base original. Por el contrario si el punto esta en eleje y , en la base nueva tiene por coordenadas y(1,1) y su velocidad relativa ser
v=( 0
0
)(yy
)=(y+y
)
que es un vector dirigido a lo largo del ejex de la base original. Podemos expresar mediante la figura1.7 todo lo dicho anteriormente. que constituye un movimiento de deformacin pura sin cambio de
vv 12
Figura 1.7:
volumen, pues su divergencia es cero.
>Que pasa con la parte antisimtrica ?. En este caso segn vimos antes
v= x
siendo = 12v. Teniendo en cuenta que en el caso que nos ocupa v=u/y k=2k, tene-
-
1.10 Tensor velocidad de deformacin 33
mos, =k, por lo que
v=kx=(
y
x
)
Si representamos este movimiento obtendremos una rotacin en torno al origen, ver figura 1.8. Si
vv 12
Figura 1.8:
vv 12
Figura 1.9:
superponemos los dos movimientos, vemos que en los puntos a lo largo del eje x se anulan ambos
flujos resultando una cizalla a lo largo del eje y , ver la figura 1.9. Vemos pues que una cizalla es en
realidad suma de una rotacin y una deformacin pura sin cambio de volumen. Este resultado es
importante pues cerca de superficies slidas donde se producen las cizallas ms importantes el flujo
va a ser rotacional. Que una cizalla da lugar a un flujo rotacional lo podemos visualizar poniendo en
el seno de la cizalla un molinete y ver que efectivamente este molinete gira. Otro punto a destacar es
el hecho que no tenemos que tener un giros para que el rotor del campo sea distinto de cero.
1.10.1. Tensor de Cauchy y GreenVenant
En la teora de la elasticidad no importa tanto la velocidad con la que se deforma el continuo si no
cuanto lo hace. Suponer que tenemos un par de puntos (A,B) separados por un vector . Suponer
que a cuenta de la deformacin el punto A ha pasado a ocupar la posicin A y el B la posicin B
-
34 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
formando con los puntos originales dos vectores u y u. El segmento original AB tiene una longitudal cuadrado dada por la cantidad
s20 = j k jk
y el segmento AB resultante de la deformacin tiene como cuadrado de la longitud la cantidad
s2 = x ix i = xi
jx i
k jk
la variacin sufrida vendr dada por
s2s20 =(x i
jx i
k j k
) jk
La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de GreenVenant. En imagen euleriana la an-
terior expresin toma la forma
s2s20 =( j k
i
x ji
xk
)x jxk
La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de Cauchy
Nos interesa poner los anteriores tensores en trminos del desplazamiento u sufrido por cada
partcula. Llamando ui = x i i , tenemos
i
x j= x
i
x j u
i
x j= ij
ui
x j
Calculando a partir de esta expresin el tensor de Cauchy, tenemos
s2s20 =[ j k
(ij
ui
x j
)(ik
ui
xk
)]x jxk =
[ui
x j+ u
i
xk u
i
x jui
xk
]x jxk .
Despreciando trminos de segundo orden,
s2s20 = (ss0)(s+s0)=(ui
x j+ u
i
xk
)x jxk
supuesto que s s0, tenemos s+s0 2s, por lo que
1
s(ss0)= 1
2
(ui
x j+ u
i
xk
)x j
s
xk
s
-
1.11 Teorema de Reynolds 35
expresin anloga a la encontrada para fluidos en las que se ha sustituido el vector velocidad por el
vector desplazamiento en la definicin del tensor de deformacin.
1.11. Teorema de Reynolds
Diremos que un volumen del fluido es un volumen del sistema, si este volumen esta siempre
compuesto por las mismas partculas. Considerar un volumen del sistema V (t ), se verifica que
D
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V =V (t )
[D
Dt+(DIVv)
]V (1.20)
Para su demostracin, pasemos a hacer la integral en trminos de la imagen lagrangiana ,
D
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V = t
V
JV
puesto que las partculas son siempre las mismas, podemos introducir el tiempo dentro de la integral
por lo que
t
V
JV =V
t(J)V =
V
(J
t+
tJ
)V
teniendo en cuenta la expresin obtenida previamente para la variacin del jacobiano con el tiempo
tenemos,
t
V
JV =V
(
t+DIVv
)JV
volviendo otra vez a la imagen euleriana
D
Dt
VV =
V
(D
Dt+DIVv
)V
como queramos demostrar.
Resulta especialmente interesante el caso en el que se puede poner como f siendo la densi-
dad y f una propiedad cualquiera del fluido. En este caso
D
Dt
V (t )
f V =V (t )
[D( f )
Dt+ f DIVv
]V =
V (t )
{
D f
Dt+ f[DIVv+ D
Dt
]}V
Ahora bien habida cuenta de la ecuacin de continuidad el trmino entre corchetes se anula, por lo
que resultaD
Dt
V (t )
f V =V (t )
D f
DtV
-
36 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
Se puede reformular la forma del teorema de Reynolds en trminos del llamado volumen de con-
trol. Contrariamente al volumen del sistema que se mueve con el fluido de tal forma que siempre
est compuesto de las mismas partculas, el volumen de control est fijo en el espacio y las partculas
de fluido entran y salen de l. Para deducir esta nueva forma del teorema de Reynolds volvamos a la
expresin generalD
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V =V (t )
[D
dt+(DIVv)
]V
desarrollando la derivada msica del interior de la integral, tenemos
D
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V =V (t )
[
tx+v GRAD+(DIVv)
]V
ahora bien
v GRAD+(DIVv)= DIV(v)
por lo queD
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V =V (t )
txV +
V (t )
DIV(v)V
y empleando el teorema de OstrogradskyGauss
D
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V =V (t )
txV +
Vv
siendo V la superficie cerrada que rodea al volumen. Como en la integral de volumen del trmino de
la derecha aparece la derivada local, podemos considerar a dicho volumen como un volumen fijo que
en un instante dado coincide con el volumen del sistema que en ese instante ocupa dicha posicin,
as puesD
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V =V (x)
txV +
V (x)
v (1.21)
Podemos analizar varios ejemplos. Suponiendo que sea la densidad ,
D
Dt
V (t )
(x, y, z, t )V =V (x)
txV +
V (x)
v
ahora bien el trmino de la izquierda es cero, pues representa la derivada msica de la masa del volu-
men del sistema, por lo que V (x)
txV +
V (x)
v = 0
-
1.11 Teorema de Reynolds 37
o lo que es lo mismo
tx
V (x)
V +V (x)
v = 0
que es otra expresin de la ecuacin de continuidad. La cantidadV (x)
v =V (x)
(v n)
donde hemos puesto que el elemento de superficie = n, representa el flujo de masa a travs dela superficie, mientras que
tx
V (x)
V
representa la variacin local de la masa. Podemos por tanto decir, a la luz de las anteriores expre-
siones, que la variacin de masa en un volumen de control es igual al flujo de masa a travs de su
superficie.
Otro caso interesante es aquel en el que = v, por lo que
D
Dt
V (t )
vV =V (x)
(v)
txV +
Vv(v n)=
V (x)
(v)
txV +
V(vv)n
Como antes, la integral de superficie representa el flujo de momento mientras que la variacin tem-
poral de la integral extendida al volumen de control representa la variacin local del momento. Al
igual que el flujo local de masa lo podemos poner como el vector v, el flujo local de momento lo
podemos expresar como el tensor vv.
Ejercicio 1.1 Calcular cuanto vale la variacin temporal de la integral de lneaC (t )
r
siendo C (t ) un circuito compuesto siempre por las mismas partculas.
SOLUCIN
Debemos de evaluarla expresinD
Dt
C (t )
r
Para poder introducir dentro del signo integral la derivada temporal, al igual que en el caso del teore-
ma de Reynolds, vamos a pasar a la imagen lagrangiana
D
Dt
C (t )
r= t
C ()
(, t )x
-
38 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
donde conx
queremos denotar al tensor x i / j . Introduciendo ahora la derivada temporal dentro de la integral
tenemosD
Dt
C (t )
r=
C ()
(, t )
t
x
+
C ()
(, t )
t(x
)
puesto que la derivada respecto de t y conmutan
t(x
)= v
sustituyendo, tenemos
D
Dt
C (t )
r=
C ()
(, t )
t
x
+
C ()
(, t )(v
)=
=
C ()
(, t )
tr+
C ()
(, t )v
pasando de nuevo a la imagen euleriana
D
Dt
C (t )
r=
C (t )
D(x, t )
Dtr+
C (t )
(x, t )GRADvr
que es la expresin que andbamos buscando. Se propone al lector que calcule cual es la variacin
temporal de la integral de superficie cuando sta est compuesta siempre por las mismas partculas.
1.12. Teorema de Helmholtz
Teorema 1.12.1 (Helmholtz) Dado un campo vectorial v suficientemente liso (derivable y con deri-
vada continua hasta el grado que sea necesario), es posible expresarlo como
v= vD +vR
siendo vD un campo vectorial irrotacional y vR un campo vectorial solenoidal puro. Estos campos se
pueden expresar como, vD = y vR = siendo el potencial escalar y el potencial vector
-
1.12 Teorema de Helmholtz 39
definidos por la expresiones
= 14pi
vr
dV (x )+ 14pi
V
v nr
d(x ) (1.22)
= 14pi
(x )
rdV (x )+ 1
4pi
V
vnr
d(x ) (1.23)
siendo la vorticidad del campo v.
Sea P(x) el vector
P(x)= 14pi
v
rdV (x )
siendo r = |xx| la distancia entre el punto donde est definido el campo P y un punto cualquiera delvolumen al cual se extiende la integral. Supongamos que v tiende a cero con la suficiente velocidad
de tal forma que exista la anterior integral. Es posible demostrar que el campo P es diferencialble y
que verifica la ecuacin de Poisson,
2P =v
Dada la expresin vectorial
2P=(P) (P)
definiendo P= y P=, tenemos
v=+= vD +vR
De la definicin de ,
=P=x(
1
4pi
v
rdV (x )
)= 1
4pi
v(x ) x 1
rdV (x )
Ahora bien, x =x por lo que
= 14pi
v(x ) x 1
rdV (x )=+ 1
4pi
v(x ) x 1
rdV (x )=
= 14pi
x (v(x )
1
r
)dV (x ) 1
4pi
1
rx v(x )dV (x )
aplicando el teorema de la divergencia,
= 14pi
1
rx v(x )dV (x )+ 1
4pi
V
v nr
d(x )
-
40 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
De la misma manera es posible demostrar que
= 14pi
(x )
rdV (x ) 1
4pi
V
nvr
d(x )
Este teorema tiene bastante importancia en la atmosfera pues veremos que el camo de velocidades
se puede separar en un campo irrotacional (muy pequeo a gran escala) y un campo solenoidal.
1.13. Dinmica de fluidos
En las anteriores secciones hemos hablado del movimiento del fluido sin tener en cuenta las cau-
sas que lo producen, vamos a introducir en esta seccin el tipo de fuerzas a las que esta sometido el
fluido para acabar con las ecuaciones del movimiento que nos permite estudiar de forma completa
el movimiento del fluido.
Consideremos una porcin del fluido que tomaremos como nuestro sistema mecnico, las fuer-
zas que afectan a esta porcin del fluido las podemos dividir en dos clases
Fuerzas de Volumen Son aquellas que afectan a todas las partculas que forman el sistema por igual.
Ejemplo de este tipo de fuerzas son el campo gravitatorio, el campo electromagntico, fuerzas
inerciales, etc.
Fuerzas de Superficie Son fuerzas de corto alcance afectando nicamente a la superficie que sepa-
ra a nuestro sistema del resto del fluido. Obviamente las fuerzas no afectan a superficies si no
a volmenes, ahora bien el espesor de la capa afectada por las fuerzas superficiales es mu-
cho menor que la extensin de la superficie y desde luego mucho menor que el tamao tpico
del sistema mecnico que estamos considerando. El origen de estas fuerzas es molecular. Un
ejemplo clsico para comprender este tipo de fuerzas es el siguiente. Considerad una superficie
imaginaria que separa nuestro sistema mecnico del resto del fluido. Suponed que las veloci-
dades de las molculas son diferentes a un lado y otro de la superficie. Al atravesar la superficie
las molculas llevan consigo el momento de la regin origen, este momento es entregado a la
regin destino haciendo que las regiones se aceleren o se frenen apareciendo por tanto una
fuerza. Podemos imaginar este proceso como un par de trenes que viajan por dos va paralelas
con velocidades diferentes que representan el estado del fluido a un lado y otro de la superficie
que los separa. Imaginar que unos obreros lanzan sacos terreros de un tren a otro (las molcu-
las que atraviesan la superficie). Los sacos terreros que salen del tren rpido cuando lleguen al
tren lento le comunicaran su momento y este tender a acelerarse, por el contrario, los sacos
que salgan del tren lento cuando lleguen al tren rpido adquirirn momento en la direccin de
-
1.13 Dinmica de fluidos 41
marcha del tren tendiendo este a frenarse. Como resultado de este intercambio un tren se ace-
lera y otro se frena, se produce por tanto una fuerza. Este fuerza tiene un alcance muy limitado,
el del recorrido libre medio. Como en mecnica del continuo no sabemos nada de molculas
ni de sacos terreros, vamos a parametrizar estas fuerzas superficiales mediante un vector t(x,n)
que depende de la posicin x y de la orientacin de la superficie n de tal forma que t(x,n) re-
presenta la fuerza que ejerce la regin hacia donde apunta n sobre la regin desde donde emerge
n
t(x,n)
d
Figura 1.10:
Considerando por tanto ambos tipos de fuerzas la fuerza total ejercida sobre nuestro sistema mec-
nico vale,
F=VfV +
V
t(x,n) (1.24)
siendo f la fuerza volmica por unidad de masa.
Teorema 1.13.1 Las fuerzas de superficie estn localmente en equilibrio.
Consideremos un sistema mecnico que consiste en una porcin del fluido, de acuerdo con las
leyes de Newton se debe de verificar que la variacin temporal de la cantidad de momento ha de ser
igual a la suma de las fuerzas exteriores ejercidas sobre el sistema,
D
Dt
VvV =
VfV +
V
t(x,n)
siendo V un volumen del sistema. De acuerdo con el teorema de Reynolds resulta que
D
Dt
VvV =
V
D
DtvV =
VaV
por lo que VaV =
VfV +
V
t(x,n)
-
42 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
Si hacemos tender el volumen a cero, la anterior expresin toma la forma
aV = fV + t(x,n)
Si nos fijamos en esta expresin vemos que el trmino de la izquierda tiende a cero como r 3, siendo
r el radio del pequeo elemento de volumen. De los dos trminos que aparecen a la derecha de la
igualdad, el primero tiende a cero tambin como r 3, mientras que el segundo tiende a cero como r 2,
por lo que, para que se mantenga la igualdad hemos de anular idnticamente este trmino, esto es
cuando V tiende acero necesariamente V
t(x,n)
ha de hacerse cero. Esto significa que las fuerzas superficiales han de estar localmente en equilibrio
mecnico.
1.14. Tensor de esfuerzos
Vamos a aprovechar el teorema anterior para poner de forma explcita la dependencia del vec-
tor de fuerzas superficiales t(x,n) respecto de la normal n. Para ello considerad el tetraedro que se
muestra en la figura 1.11. De acuerdo con el teorema anterior se debe de verificar que
a
b
c
d(n)
d(-c)
d(- b)d(- a)
Figura 1.11:
t(x,n)(n)+ t(x,a)(a)+ t(x,b)(b)+ t(x,c)(c)= 0
cuando el volumen del sistema tiende a cero. Segn el principio de accin y reaccin
t(x,c)=t(x,c)
-
1.14 Tensor de esfuerzos 43
por lo que
t(x,n)(n) t(x,a)(a) t(x,b)(b) t(x,c)(c)= 0
Ahora bien resulta que las reas laterales son la proyeccin del area transversal esto es
(a)= (n)a n
sustituyendo, tenemos
t(x,n)(n) (t(x,a)a t(x,b)b t(x,c)c) n(n)= 0
por lo que
t(x,n)= (t(x,a)a t(x,b)b t(x,c)c) n
La cantidad entre parntesis no depende de n, lo llamaremos tensor de esfuerzos y lo representaremos
por T por lo que
t(x,n)=Tn (1.25)
donde vemos que hemos separado la dependencia de n. Dado que hemos empleado una base genri-
ca la anterior ecuacin es una ecuacin tensorial, esto es, es vlida cualquiera que sea la base elegida.
En trminos de componentes, la ecuacin anterior se escribe
ti (x,n)= Ti j (x)n j
Para ver el significado de cada elemento del tensor Ti j , consideremos un paraleleppedo. Sea n =(1,0,0) un vector unitario en la direccin del eje 1 (eje x), o sea es un vector unitario normal a la
superficie (zy). La fuerza superficial aplicada a esta cara tendr como componentes (T11,T21,T31).
Por tanto vemos que T11 es la componente normal a la cara 1, T21 representa la componente a lo
largo del eje 2 (y) de la fuerza ejercida sobra la cara 1 y T31 representa la componente 3(z) de la fuerza
ejercida sobra la cara 1. Idntico significado tendrn para el resto de las caras. As pues el primer
ndice representa la componente y el segundo la cara sobre la que se ejerce la fuerza.
Ejercicio 1.2 Demostrar basndose en el hecho que las fuerzas superficiales estn localmente en
equilibrio el principio de accin y reaccin
SOLUCIN
-
44 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
Considerar una esfera de volumen tan pequeo como queramos, de acuerdo con el teorema anterior,
los esfuerzos superficiales aplicados a la esfera se anulan idnticamente cuando hacemos tender el
volumen a cero. Suponer ahora que dividimos mentalmente a la esfera en dos semiesferas, de acuerdo
con el anterior teorema la distribucin de esfuerzos sobre cada semiesfera es nula,
t(n)d(c11)+ t(n)d(c12) = 0t(n)d(c21)+ t(n)d(c22) = 0
siendo c11, c12 la cara externa e interna de la semiesfera uno y c21, c22 la cara externa e interna de la
semiesfera dos. Sumando ambas ecuaciones
t(n)d(c11)+ t(n)d(c21)+ t(n)d(c12)+ t(n)d(c22)= 0
Ahora bien las caras c11, c21 reproducen la superficie exterior de la esfera y por tanto segn dijimos
al principio estn en equilibrio por lo que
t(n)d(c12)+ t(n)d(c22)= 0
ahora bien las normales a las dos caras son iguales salvo el signo, de donde resulta que,
t(n)d(c12) t(n)d(c12)= 0
y por tanto
t(n)=t(n)
como queramos demostrar. Podamos haber pensado el teorema de forma inversa, esto es para que
se siga verificando el principio de accin y reaccin es necesario que se verifique que las fuerzas
superficiales estn localmente en equilibrio.
Teorema 1.14.1 El tensor de esfuerzos es simtrico
DEMOSTRACIN
Para la demostracin del anterior teorema vamos a partir del teorema de conservacin del momento
angularDL
Dt=N
-
1.14 Tensor de esfuerzos 45
siendo L el momento angular y N el momento de las fuerza exteriores. Teniendo en cuenta que
L=V (t )
(rv)V
tenemosD
Dt
V (t )
(rv)V =N
aplicando el teorema del transporte de ReynoldsV (t )
D
Dt(rv)V =N
ahora bienD
Dt(rv)= Dr
Dtv+ r Dv
Dt= vv+ r Dv
Dt= ra
por lo que V (t )
ra=N
El momento de las fuerzas exteriores procede tanto de las fuerzas de volumen como de superficie,
tendremos
N=V (t )
(r f)V +V
[r t(x,n)]
sustituyendo tenemos V (t )
raV =V (t )
(r f)V +V
[r t(x,n)]
utilizando el teorema de la divergencia podemos pasar de la integral de superficie a una de volumen
resultando que la anterior expresin la podemos poner comoV (t )
raV =V (t )
(r f)V +V (t )
DIV[r t(x,n)]V .
En forma de componentes, teniendo en cuenta que
t(x,n)=Tn,
obtenemos V (t )
i j k r j akV =V (t )
i j k r j fkV +V (t )
x l(i j k r j Tkl )V
-
46 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
Derivando en el segundo trmino del miembro de la derecha,
x l(i j k r j Tkl )= i j k
r j
x lTkl +i j k r j
Tklx l
= i j k j l Tkl +i j k r jTklx l
= i j k Tk j +i j k r jTklx l
sustituyendoV (t )
i j k r j akV =V (t )
i j k r j fkV +V (t )
i j k r jTklx l
V +V (t )
i j k Tk jV
Haciendo ahora que el volumen del sistema tienda a cero, vemos que los tres primeros trminos
tienden a cero como r 4 mientras que el ltimo trmino tiende a cero como r 3 por lo tanto para que
la igualdad se mantenga es necesario que
i j k Tk j = 0
y por tanto, dado que
123T32+132T23 = 0312T21+321T12 = 0231T13+213T31 = 0
teniendo en cuenta que i j k vale uno si (i j k) es una permutacin par de (123) y menos uno si es
impar tendremos
T32T23 = 0T21T12 = 0T13T31 = 0
y por tanto el tensorT es simtrico3. Debido a esta simetra siempre es posible encontrar una base en
la que el tensor es diagonal. En esta base dado un paraleleppedo con aristas paralelas a los ejes coor-
denados, los esfuerzo ejercidos sobre sus caras son ortogonales a ellas, esto es solo tenemos esfuerzos
normales no tangenciales. Es fcil ver que la componente normal del esfuerzo vale
tn =n t=n T n= ni Ti j n j
3Aunque no lo hemos dicho explcitamente se ha supuesto que el fluido no es polar y por tanto no existe momentosintrnsecos internos
-
1.14 Tensor de esfuerzos 47
si el tensor es diagonal
tn = T11n21 +T12n22 +T13n23sobre la cara 1 del paraleleppedo (n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0) por lo que
tn(1)= T11
y lo mismo sucede con el resto de las caras. La componente tangencial viene dada por la expresin
(teorema de Pitgoras)
tt =
ti ti t 2n =
(Ti j n j )2 (ni Ti j n j )2
El tensor de esfuerzos lo vamos a separar en dos partes, una de ellas istropa y el resto, que lla-
maremos desviatoria
Ti j = 13
Ti ii j +Di jsiendo Ti i = T11+T22+T33 y por tanto
1
3Ti i
representa el valor medio de los esfuerzos normales. En forma matricial la anterior separacin la
podemos representar mediante la ecuacinT11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
= 13
Ti i 0 0
0 Ti i 0
0 0 Ti i
+
T11 13 Ti i T12 T13T21 T22 13 Ti i T23T31 T32 T33 13 Ti i
Teorema 1.14.2 La parte desviatoria del tensor de esfuerzos es nula cuando el fluido est en reposo
DEMOSTRACIN
Por hiptesis un fluido es incapaz de soportar aquellos esfuerzos que tiendan a deformarlo sin cam-
biar de volumen. Llamemos presin p a la cantidad (1/3)Ti i de tal forma que p en general es unacantidad positiva. La fuerza ejercida por la parte istropa vale,
ti =pi j n j =pni
esto es
t(n)=pn
la fuerza solo tiene componente normal y puesto que p > 0 esta fuerza representa una compresin
-
48 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
istropa. Supuesto que nuestro pequeo volumen es una esfera, la fuerza va a ser igual en todas la
direcciones y la esfera va a tender a disminuir de tamao, y por definicin, por tanto, el fluido se va
a oponer a nuestra tensin exterior, esto es, si queremos seguir deformando la esfera debemos de
continuar aumentando nuestra fuerza. En cuanto a la fuerza ejercida por la parte desviatoria, ser
ti = Ti j n j
tal que la suma de las fuerzas (en trminos escalares) a lo largo de los ejes coordenados es cero. Esto
significa que habr compresiones y expansiones, estas compresiones y expansiones deforman a la
esfera sin que esta tenga que cambiar necesariamente de volumen, como el fluido es incapaz de
soportar esfuerzos externos que no cambien el volumen, la esfera se deformar continuamente y
por tanto su estado de movimiento se hace incompatible con el reposo. Se tiene por tanto que en
situacin de equilibrio mecnico, nicamente es distinto de cero la parte istropa y por tanto,
t(x,n)=p(x)n (1.26)
Puesto que estamos en equilibrio la suma de las fuerzas exteriores ser nula y por tanto
0=VfV
V
pn
aplicando el teorema de la divergencia
0=V
(fGRADp)V
y como la anterior ecuacin es vlida para cualquier volumen
0= fGRADp (1.27)
que es la ecuacin general de la hidrosttica. Si las fuerzas de volumen dependen de un potencial
f=GRAD y por tantoGRAD p =GRAD
que es otra forma de la ecuacin general de la hidrosttica para el caso de fuerzas de volumen que
dependan de un potencial. La anterior expresin nos muestra que los vectores gradientes de p y
son paralelos y por tanto las superficies de p constante coinciden con las superficies de constante.
-
1.14 Tensor de esfuerzos 49
Tomando el rotacional en la anterior expresin nos lleva a la ecuacin
0= GRADGRAD
y por tanto, vemos que las superficies equipotenciales son paralelas a las superficies de densidad
constante y por tanto que las superficies de densidad constante son tambin superficies de presin
constante. Si tenemos en cuenta la ecuacin de estado, vemos tambin que estas superficies coinci-
den con las superficies de temperatura constante.
Teorema 1.14.3 Un slido sumergido en un fluido sufre un empuje igual al volumen del fluido que
desaloja (Arqumedes)
Considerar un slido sumergido en el seno de un fluido en equilibrio hidrosttico. La fuerza de pre-
sin ejercida por el fluido sobre el slido serVpn
siendo n la normal exterior al slido. Nuestra idea es sustituir la anterior expresin por una integral
de volumen. Para ello suponer que se sustituye nuestro slido por una porcin de fluido con tal que
esta porcin de fluido est en equilibrio hidrosttico con el fluido que rodea al slido. Como el rea
que rodea al slido no varia cuando lo sustituimos por el fluido, la anterior integral no cambia. Ahora
bien, como estamos suponiendo que el fluido que introduzco est en equilibrio con el fluido exterior
podemos aplicar la ecuacin hidrosttica y por tantoVpn=
VfV .
Suponiendo que la fuerza exterior sea el campo gravitatorio, tenemos que f=g y por tanto las fuer-zas de superficie valen
Vpn=
VgV
esto es, coinciden con el peso del volumen del fluido desalojado, como queramos demostrar.
1.14.1. Condicin de la situacin de equilibrio
Segn hemos visto, para que se de la condicin de equilibrio mecnico, las fuerzas de presin se
deben de equilibrar con las fuerzas de volumen, que si estamos en un campo gravitatorio se reducen
-
50 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
al peso,p
z=g
la pregunta es, >bajo qu condiciones es esta condicin de equilibrio estable ?. Para ello pensemos
en el siguiente experimento. Suponer que tenemos una pequea burbuja del fluido que est en un
cierto nivel z y que llevamos a esta burbuja a otra posicin en un nivel z +z. Supondremos queeste proceso se hace de forma isentrpica y que durante el proceso el entorno de la burbuja no se
modifica, esto es, no se modifica la condicin equilibrio hidrosttico, y que la presin de la burbuja
cuando sta llega al final se iguala rpidamente a la de su entorno. El equilibrio mecnico ser estable
si la burbuja tiende a volver a su localizacin original y ser inestable si por el contrario sta burbuja
tiende a seguir separndose de su situacin de equilibrio. Para que suceda lo primero basta con que la
burbuja pese ms que su entorno y para que suceda lo segundo esta debe de pesar menos, as pues lo
que debemos de comparar son las densidades de la burbuja y la de su entorno una vez que la hemos
separado de su posicin de equilibrio. Sea (p(z+z), s(z+z)) la densidad del ambiente en el nivelz+z y (p(z+z), s(z)) la densidad de la burbuja cuando llega a ese nivel, siendo s(z) la entropa delnivel z que ser la que tenga la burbuja cuando llegue al nivel z+z pues estamos suponiendo que elmovimiento es isentrpico. El equilibrio ser estable si
(p(z+z), s(z+z))(p(z+z), s(z))< 0
esto es si (
s
)p
(s
z
)< 0
De las relaciones que nos proporciona la termodinmica, tenemos por un lado que(
s
)p= 1
2
(v
s
)p=2
(T
p
)s
y por otro
(T
p
)s= T
cp
siendo el coeficiente de expansin trmico del fluido. Sustituyendo(
s
)p
(s
z
)=T
cp
(s
z
)< 0
-
1.14 Tensor de esfuerzos 51
Puesto que es positivo en la mayora de los fluidos, se debe de cumplir para que el equilibrio sea
estable que (s
z
)> 0
para que sea neutro, (s
z
)= 0
y para que sea inestable (s
z
)< 0
Teniendo en cuenta que
cpT ds = cp dT Tdp
tenemos (s
z
)= cp
T
(T
z
)
(p
z
)teniendo en cuenta la ecuacin hidrosttica,(
s
z
)= cp
T
(T
z
)+g
por lo que la condicin de estabilidad del equilibrio se traduce en ver si
cpT
(T
z
)+g
es mayor, menor o igual a cero. Llamando = T /z al gradiente vertical de temperatura, obtene-mos
g
cp
>== 0 ) respectivamente. El se-gundo trmino que es siempre positivo representa la tasa de disipacin viscosa de energa cintica.
Puesto que es positivo representa siempre un incremento de energa interna. El tercer trmino repre-
senta el flujo de calor a travs de la superficie y puede ser positivo o negativo. La presin que aparece
en la expresin anterior es la presin dinmica, teniendo en cuenta que
pT p = k DIVv
obtenemos
Du
Dt=pT DIVv+k(DIVv)2+2(ei j 1
3DIVvi j )
2+ x j
(kT
x j
)(1.32)
Teniendo en cuenta la expresin del segundo principio
TDS
Dt= DU
Dt+p DV
Dt
poniendo las magnitudes extensivas en trminos de la masa y las magnitudes especficas, teniendo
en cuenta que la masa se conserva y empleando la expresin de teorema de consevacin de la masa,
se obtiene para el segundo principio la expresin
Du
Dt+pT DIVv= T Ds
Dt
siendo s la entropa especifica. Sustituyendo la expresin de la nerga interna, obtenemos
TDs
Dt= k(DIVv)2+2(ei j 1
3DIVvi j )
2+ x j
(kT
x j
)(1.33)
que es la expresin del segundo principio. En un sistema adiabtico el ltimo trmino es nulo por lo
que
TDs
Dt= k(DIVv)2+2(ei j 1
3DIVvi j )
2
puesto que por el segundo principio, en un sistema adiabtico la entropa solo puede crecer, es por
lo que
TDs
Dt= k(DIVv)2+2(ei j 1
3DIVvi j )
2 > 0
la anterior ecuacin nos dice que necesariamente los coeficientes de viscosidad y segunda viscosi-
dad k han de ser positivos.
-
1.16 Principio de conservacin de la energa 59
Por otra parte, la termodinmica nos dice que
TDs
Dt= cp DT
DtT DpT
Dt
siendo
=1
(
T
)p
el coeficiente de expansin trmica del fluido, que en el caso de un gas perfecto vale 1/T . Sustituyen-
do en la expresin del segundo principio, obtenemos
cpDT
Dt= TDpT
Dt+k(DIVv)2+2(ei j 1
3DIVvi j )
2+ x j
(kT
x j
)que constituye la ecuacin de evolucin de la temperatura. Es la sexta ecuacin que andbamos bus-
cando y que cierra el sistema de ecuaciones.
Si el flujo es adiabtico y no viscoso, los tres ltimos trminos del segundo miembro de la ecua-
cin anterior son nulos, por lo que
cpDT
Dt=T Dp
Dt
si el fluido se comporta como un gas perfecto, = 1/T , por lo que
cp1
T
DT
Dt=R 1
p
Dp
Dt
de donde,
cpdT
T=R dp
p
integrando,
T f = Ti(
p fpi
)R/cpSi tomamos como presin final p f la presin de 1000 mb, la temperatura final obtenida es la llamada
temperatura potencial que denotaremos por , as pues tenemos
= T(
1000
p
)R/cpTomando logaritmos en la anterior ecuacin y derivando, obtenemos
cp d(log)= cp dTTR dp
p= ds
-
60 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos
por lo que
s s0 = cp log( 0
)
as pues la temperatura potencial mide el contenido entrpico del gas. La ecuacin (1.33), expresin
matemtica del segundo principio, la podemos poner en trminos de la temperatura potencial, como
TDs
Dt= cp T
D
Dt=
donde en hemos englobado todos los flujos de calor. Si estos ltimos son cero, la temperatura
potencial se mantiene constante.
1.16.1. Condiciones frontera
Segn aca