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APUNTES DE PROBABILIDADES Y ESTADISTICA TRABAJO REALIZADO POR: ING. FERNANDO GONZALEZ CATEDRA DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA PUERTO CABELLO SEPTIEMBRE 2005 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NUCLEO PUERTO CABELLO 2 ESTADISTICA Evento realDatos numricos

Recopilar ClasiIicar CONCLUSIONES ESTADISTICA Presentar (Metodo cientiIico).Analizar LOGICAS Interpretar Descriptiva (describe caracteristicas) ESTADISTICA (ClasiIicacion) Inductiva (inIiere dentro de limites probables) InIinitas Probabilisticas POBLACIONMUESTRA (El todo) Finitas (La parte)No probabilisticas PARAMETROS ESTADISTICOS (Medidas de la poblacion)(Medidas de la muestra)

Media Aritmetica Media Aritmetica Desviacion Standard S Desviacion Standard Xd Mediana DATO Caracterstica Medible Cualitativas. Indican alguna propiedad (Atributos)de los hechos observadosMEDIDAS Cuantitativas.Las cualidades toman (Variables)distintos valores Continuas (sin interrupciones) VARIABLES (Valores que puede tomar) Discretas (con interrupciones) 3 LaEstadsticaesladisciplinadelasmatematicasquesereIierealosmetodosderecoleccion, presentacion y caracterizacion de InIormacion para el analisis de un conjunto de datos y para la toma de decisiones. Se divide en: Estadistica Descriptiva InIerencia Estadistica EstadsticaDescriptivaAquellosmetodosqueincluyenlarecoleccion,presentaciony caracterizaciondeunconjuntodedatosconelIindedescribirapropiadamentelasdiversas caracteristicas de ese conjunto. Inferencia EstadsticaAquellos metodos que hacen posible la estimacion de una caracteristica de una poblacion o la toma de una decision con respecto a una poblacion, basandose solo en los resultados de una Muestra. DEFINICIONES DE TERMINOS BASICOS Dato: Numeros o medidas que han sido recopiladas como resultado de observaciones Ejemplo: Numero de personas que son Ianaticos de determinado equipo de Iutbol. Caso: Individuos sobre los cuales se va a tomar observaciones o variables. Medicin:Consiste en asignar numeros a los objetos de acuerdo a determinadas reglas. Poblacin: Conjuntocompletodeindividuos,objetosomedidasqueposeenunacaracteristicacomun observable. Ejemplo: la poblacion estudiantil de la UNEFA. Muestra: Es una parte o un subconjunto de una poblacion. Ejemplo: los estudiantes de Ingenieria naval de un termino cualquiera. 4 Parmetro: Es una medida obtenida a partir de las observaciones de una poblacion. Estadstico: Es una medida obtenida a partir de las observaciones de una muestra. Atributo: Esunacaracteristicadiscontinua,esdecir,solopuedemaniIestarsebajounasolamodalidaden una variable cualitativa. Ejemplo: El estado civil, el sexo, la nacionalidad y la proIesion. Variable. Es una caracteristica que puede maniIestarse segun dos o mas modalidades. Ejemplo: El peso, la estatura y la edad. Variable cualitativa. Cuando se describen cualidades o categorias de las mediciones realizadas. Ejemplo: el color de los carros vendidos. Variable cuantitativa. Cuando se suelen asignar cantidades a la representacion de la variable. Ejemplo: El numero de carros vendidos. Tipos de variables Cuantitativas Variables cuantitativas discretas. Sonaquellasquerepresentanmedicionesdentrodelconjuntodenumerosenteros,esdecir,son valores puntuales y que entre ellos no pueden existir otros valores en la escala. Ejemplo: el numero de automoviles vendidos en un ao. Variables cuantitativas Continuas. Son aquellas que expresan continuidad en dos valores puntuales. Ejemplo: La longitud, la Iuerza y la edad. 5 Tipos de muestras Muestras aleatorias simple. Son aquellas que se obtienen de tal manera que cada individuo, objeto o medida de una poblacion tenga igual oportunidad de ser seleccionada. Muestra estratificada. SonaquellaqueseobtienenestratiIicandoloselementosdelapoblacionenIunciondelos objetivosmismosdelmuestreo,paraluegodecadaestratotomarmuestrasalazarsimple,cuya magnitudseraproporcionalalapartequeelestratorepresentaentodalapoblacion.La integracion de todas estas muestras genera la muestra estratiIicada. Mediciones cualitativas Son aquellas que expresan dimension o capacidad. Mediciones Cuantitativas. Sonaquellasqueexpresancaracteristicas,atributos,actitudes,etc.ynoestanrepresentadas numericamente. Unidad de observacin. Es un solo miembro de la poblacion que se estudia. Eldiseodeexperimentosesutilparalatomade'buenasdecisiones,lautilizaciondeun modelo. Ayuda a: - Obtener conclusiones de la Investigacion Empirica usando Modelos Matematicos - Evaluar y juzgar discrepancia entre la observacion y la teoria - Tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. En un estudio estadstico hay que tener en cuenta: - Objetivo: Que queremos hacer? - Diseo: Cual es la Iorma apropiada? - Recogida de datos: Conseguir inIormacion - Analisis: Que dice la inIormacion? - Descriptivo: Sobre la muestra - InIerencial: Sobre la poblacion - Presentacion de resultados: Como se transmiten? 6 Utilidad de la Estadstica, la estadistica Ensea a: - Evitar sesgos - Aprovechar mejor la inIormacion - Ahorrar material y dinero - Proporciona Metodos: - De recogida de datos - De codiIicacion - De control de errores - De Analisis: Descriptivo: Resumen de datos mediante tablas y graIicos. Probabilistico: Estimacion, contrastes y modelos para la toma de decisiones 7 El Smbolo de Sumatoria ( ) Sea un conjunto de n valores para una variable x. Entonces, el simbolo=niix1,signiIica que los n valores se tienen que sumar juntos. O sea,=+ + + + =nin ix x x x x13 2 1....Ejemplo 1. Supongase que se tienen las seis observaciones siguientes para la variablex : x 1 2,x 2 5,x 3 0 ,x 4 - 1 ,x 5 6,x 6 4,entonces;

=+ + + + + =616 5 4 3 2 1iix x x x x x x2 5 0 (-1) 6 4 16 Nota: No es lo mismo la suma de los valores cuadrados de x,que la suma de los valores de xal cuadrado. O sea, = =ninii ix x1212 En el caso del ejemplo 1, la suma de los valores cuadrados dexseria, =+ + + =612622212......iix x x x82 16 36 1 0 25 4 ) 4 ( ) 6 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 5 ( ) 2 (2 2 2612 2 22= + + + + + = + + + + + == iixPor otro lado, el cuadrado de la suma de xseria, 82 256 tan ; 256 ) 16 (2261 = ==to lo Por xii

En muchas ocasiones estamos interesados en la suma del producto de dos variables.Sean x& ydos variables que poseennobservaciones respectivamente. Entonces, =+ + + =nin n iv x v x v x v x12 2 1 1 1......8 Ejemplo 2. Seayunavariable con los valores siguientes: y1 1, y2 3,y3 2 y4 -2,y55,y610.Entonces,utilizandolosvaloresdelejemplo1paralavariablexobtendremos, =+ + + =616 6 2 2 1 1 1......iiv x v x v x v x=+ + + + + =61) 10 ( 4 ) 5 ( 6 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( 0 ) 3 ( 5 ) 1 ( 2ii i v x2 15 0 2 30 40 89 Nota: = = =niniinii i iv x v x1 1 1 Del Ejemplo 1,x 16mientras que y 19,por lo tanto: (x) (y) (16)(19) 304, Donde 89 304. Reglas Bsicas para las Operaciones con Sumatoria Regla 1: la sumatoria de la suma de los valores de las variables x & y es igual a la suma de las sumatorias de los valores de las variables individuales. = = =+ = +niNINII I I IY X Y X1 1 1) (Ejemplo 3: Sean x 1 2,x 2 5 ,x 3 1,x 4 2 & y1 0,y 2 3,y 3 1,y 4 5 == + + + = + + + + + + + = +41)19 7 2 8 2 ) 5 2 ( ) 1 1 ( ) 3 5 ( ) 0 2 ( (iI Iv x = == + = +414119 9 10I Ii Iv xRegla2:LasumatoriadeladiIerenciadelosvaloresdelasvariablesx&yesigualala diIerencia de las sumatorias de los valores de las variables individuales. = = = = nininii i iv x v x1 1 11) (9 Utilizando los datos del ejemplo 3, tendremos: == + + + = 411 ) 5 2 ( ) 1 1 ( ) 3 5 ( ) 0 2 ( ) (ii iv x = == = 41411 9 10I Ii Iv xRegla 3: La suma del producto de una constante k multiplicada por una variable x, es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de la variable. = ==nInIi Ix k x k1 1) ( ) (Ejemplo 4: Sea k 2 y sean x 1 3, x 2 6, x 3 10 [ ] [ ] 38 19 2 10 6 3 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (313131= = + + = = = = = = I Iiii Ix x x kRegla 4: la suma de una constante tomada la constante n veces, sera igual al producto de n veces el valor de la constante. ==nik n k1Ejemplo 5: sea k 5 sumado 6 veces, entonces: == + + + + + =6130 5 5 5 5 5 5ikn k 6 5 30 10 ORDENACION U ORGANIZACIN DE LOS DATOS En estadistica es de suma importancia que los datos recogidos de la Iuente de inIormacion esten ordenados,yaquelaposicionquecadaunodeellosocupaenlaseriededatos,nospermiten analizar ciertas medidas cualitativas de la muestra. Los metodos que se conocen para la ordenacion de los datos que mas se utilizan son ordenacion de Iorma creciente o decreciente. Ejemplo. Orden Creciente: 1.37 - 1.381.401.421.49150 - 1.511.541.581.62 OrdenDecreciente: 1.621.58- 1.54-1.511.501.491.421.41.381.37.

REDONDEO DE LOS DATOS Los Datos en ocasiones, cuando el estudio lo permite deben ser redondeados, es mas sencillo trabajar con numeros enteros. Redondeo de cantidades. a.Cuando el digito que se desea redondear es 5. Ejemplo: 125,211125 12,4212 460,331460 b.Cuando el digito que se desea redondear esta seguidoDe otro ~ 5. Ejemplo: 68,65 69 155,70 156 1460,851461 c.Cuando el digito que se desea redondear esta seguido del Digito 5. Ejemplo: 0,50 (deIecto) ; 2,52 (deIecto) 0,51 (exceso) ; 2,53 (exceso) Estos criterios son validos para redondear decenas y centenas. 11 DISTRIBUCION DE DATOS Distribucin de frecuencias por datos directos Este metodo se debe aplicar para un numero de datos que no exceda los 30 X: Es la letra que identiIica a la variable (puntuaciones, edades, tallas, salarios, etc.). Y representa a cada uno de los valores que esta toma. fo:SonlasIrecuenciasordinariasabsolutasyrepresentaelnumerodevecesqueundatose repite. FA:SonlasIrecuenciasacumuladasabsolutasyrepresentaelnumerodedatoscomprendidos entre dos valores dados, uno de los cuales es el inIerior real (Li) de toda la distribucion. fro : Son las Irecuencias ordinarias relativas e indican la proporcion que representan los datos de unacasilladeterminadaconrelacionaltotaldedatos(n).Lasumadelashdebeserigualala unidad. FrA: son las Irecuencias acumuladas relativas y representan la proporcion de casos ubicados entre el extremo inIerior (Liminimo) de la distribucion y un valor superior. P:SonlosporcentajesacumuladosoRangospercentiles.Representaelporcentajededatos acumulados desde el extremo inIerior (Li) hasta un valor dado de la distribucion. Distribucin de Frecuencias por Datos agrupados en Intervalos de Clase Este metodo se emplea cuando el numero de datos por lo general exceden de 30 y los valores de unaserieseencuentranmuydistanciadosentresi.Entoncesesconvenienteagruparlosen intervalos de clase. Permitiendo esto simpliIicar el manejo de los datos. Losdatosseordenanenclasesocategorias,estasclasesocategoriasestanIormadaspordos limites, uno inIerior y uno superior, en cada una de las clases se ubican los valores o datos de la serie comprendidos entre sus respectivos limites. Finalmente, se determinan todos los elementos de una distribucion, iniciandolos en una tabla de Irecuencias, la cual debe comprender: las clases, lasIrecuenciasordinarias,lasIrecuenciasacumuladas,lasIrecuenciasrelativasordinarias,las Irecuencias relativas acumuladas. Paraorganizarlosdatosenunadistribucion,sepuedeutilizarindistintamente:loslimites 12 aparentes, los limites reales, los limites completos o abiertos. En este curso elaboraremos las tablas haciendo uso de los limites completos o abiertos. IntervalodeClase,sedeIinecomoelconjuntodedatosqueseencuentranubicadosentredos limites establecidos. Elementos de un intervalo de clase Lli Xi XsXm

Xi, Xs, son los limites aparentes del intervalo(inIerior y superior), respectivamente. Valor real de un nmero

VR VA P VA Valor Aparente;P Porcion La media unidad por debajo es el Limite InIerior (Li). La media unidad por encima es el Limite Superior (Ls). La porcion es igual a 0,5 para cantidades exactas. La porcion es igual a 0,05 para cantidades de un decimal. La porcion es igual a 0,005 para cantidades de dos decimales. Li, Ls, son los limites reales del intervalo (inIerior y superior), respectivamente. Ic, es la Amplitud del intervalo (cantidad de valores cubiertos por el intervalo).

AtoR,AmplitudTotalorecorrido,eslaamplituddeladistribucin(cantidaddevalores cubiertosporladistribucion),yseobtiene,siseconocenlosValorestantoinicialcomoIinalo Superior de la distribucion, mediante la ecuacion

At o R Vs- Vi Vi Valor InIerior de la muestra. Vs Valor Superior de la Muestra. Li Ls 13 X) o Xm, Marca de clase o punto medio, es el punto medio del intervalo (valor que esta situado a igualdistanciadelosextremosdelintervalo).Paracalcularelpuntomediodeunintervalode clase, se utiliza la Iormula siguiente:

2 2,Ls Li Xi XsXm X+=+=) Ejemplo SitenemosunaseriededatosquecorrespondenalasnotasIinalesde50alumnosdeuna asignatura en cuestion: 58-37-51-21-48-29-51-39-60-59-48-70-59-32-43-31-57-40-51-40-18-31-92-15-69-46-60-65-10-43-41-44-56-67-49-19-43-30-63-18-59-64-52-61-10-51-73-16-74-71. Ordenando en Iorma Creciente tenemos: 10-10-15-16-18-18-19-21-29-30-31-31-32-37-39-40-40-41-43-43-43-44-46-48-48-49-51-51-51-51-51-52-56-57-58-59-59-60-60-61-63-64-65-67-69-70-71-73-74-92 Sitomamosunintervalodeclase(Ic)de10yhacemosusodeloslimitesaparentesdeclase, calcularemos los Ls como el Li Ic tenemos: NiLiLsXmFoFAfroFrAHi 1102015770,140,1414 2203025290,040.1818 33040356150,120,330 440504511260,220,5252 550605511370,220,7474 66070658450,160,990 77080754490,080,9898 880908504900,9898 990100951500,021,0100 50 Cuandotrabajamosconestaclasedelimites,debemossermuycuidadososalincorporarcada datodentrodesuclaserespectiva,porejemploalincorporarlosvalores40-60-70delaserie, surge una pregunta debemos hacerlo para el 40 en la 3 o en la 4, bueno como estamos trabajando conlimitesabiertoslosvaloresdelosLsnopertenecenalintervaloyporconsiguienteel respectivo valor sera tomado en cuenta en el intervalo siguiente. 14 Lo mismo sucede con los restantes valores. De existir un valor con el numero 100, este debera ser tomadoencuentaenunintervalosuperior,yalnoexistirotrointervalolodebemoscrear,para que dicho numero sea contenido en el. METODOS A SER EMPLEADOS PARA ELABORAR LA TABLA METODO EMPIRICO Ni Cualquier valor comprendido entre 6 y 15 IcR o ANit=FORMULA DE STURGES o METODO CIENTIFICO LognAIct322 , 3 1+= ; IcANit=Donde: Ni Numero de intervalos de clase At Amplitud total o Recorrido X mayorX menor n Numero de datos de la serie IcAmplitud del intervalo REPRESENTACION GRAFICA DIAGRAMA DE BARRAS O POLIGONO DE FRECUENCIAS Seconstruyeenunplanocartesiano,colocandoenelejedelasordenadas(Y)lasIrecuencias ordinarias absolutas (I), y en las abscisas (X) los datos X, si la distribucion es por datos directos, si es por datos agrupados se toman los puntos medios (Xm). Se recomienda usarlo para datos que provengan de una variable discreta.

15 HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS SealalaIrecuenciaordinariaabsolutacorrespondienteacadaintervalodeclasepormediode rectangulos cuya altura es la Irecuencia del intervalo (I) en el eje de las ordenadas (Y), y la base, esta representadaporel intervalo completo (Li Ls), en el eje de lasabscisas (X). Se debe usar para datos que provengan de una variable continua. O1IVA DE GALTON O CURVA ACUMULATIVA Estacurva seala la Irecuencia acumulada correspondiente a cada uno de los intervalos de clase, enelejedelasordenadassecolocalasFolasH,enlasabscisasloslimitesrealessuperiores (Ls). DIAGRAMA CIRCULAR O EN PASTEL Se emplea normalmente para representar distribuciones de razones. La circunIerencia representa lasumadelconjuntodeladistribucionderazones(100).Paraconstruirlasemultiplicacada porcionpor360(gradosdeunacircunIerencia),obteniendoseelnumerodegrados correspondiente a cada componente. Los grados para cada porcion se cuentan en el sentido de las agujas del reloj en Iorma sucesiva. [150,160)[160-170)[170-180)[180,190)[150,160)[160-170)[170-180)[180,190) 16 Escala de Medida. Losdatosestadisticosporlogeneralprovienendelamedidadeunaomasvariables. Dependiendo de lamedicion y de laesencia de la variable, se obtienen diversasclasesdedatos queoriginandiIerentesescalasdemedidas.Resultasumamenteimportanteconocereltipode escalaquerepresentanlosdatos,debidoaque,desuesenciadependelatecnicaestadisticaque mas se adapta para su analisis. Escala Nominal.( altos, bajosnormales anormales) Representaelnivelmasbajodemedida.SeutilizacuandounobjetooeventosediIerenciade otrosolamenteporlanominacionqueseconoce.Losprocedimientosestadisticosquemasse adaptan, son: Chi cuadrado, coeIiciente phi, coeIiciente de contingencia, prueba del signo, prueba binomial. Escala Ordinal. (Estudiantesrendimiento) EstasescalasdistinguenlosdiIerentesvaloresdelavariable,ubicandoaloseventosenorden desdelomasaltoalomasbajo.Losprocedimientosestadisticosquemasseadaptanson: coeIiciente de correlacion de Spearman, coeIiciente tau de Kendall, prueba de la mediana. Escala de Intervalos. (a-b,b-c, Comparaciones) En esta escala se puede indicar la cantidad en la que un evento se diIerencia de otro. Esta escala poseetodaslascaracteristicasdeunaescalanominalyunaordinalyademasestabasadaen intervalos iguales. Escala de Razn. (Contiene todas las escalas) EslamaspotenteosoIisticadadelascuatroescalasdemedida.Suempleopermitesealaren cuantasvecesesmasgrandeunobjetoqueotroyademasindicalacantidadenquese diIerencian. Esta contiene las caracteristicas de las otras escalas y dispone de un cero absoluto, lo cual posibilita las operaciones aritmeticas. Para la escala de intervalos y razon Se recomienda los procedimientos estadisticos: Correlacion de pearson, t de student, analisis de regresion, analisis Iactorial, analisis discriminante. 17 E1ERCICIO RESUELTO Enunestudiorealizadoenvariasempresasdelsectoraduanerosedeterminaronlossalarios promediodiariosquedevenganlostrabajadoresendiIerentesdepartamentosparatalIinse estudiaron 30 empresas y se obtuvieron los siguientes datos: 5000505051005125515052005223527053005315532553905400 5415542554505475548055005515552055255550557555805595 5892591060506065610061256130615061756200622562506265 62706275630063206345635063756390640064306435 64506465 6475650065206525654065506575660066206635664066456650 6690670067506784682068256850687569006925695069756980 69857000 Elaborelatabladedistribucindefrecuenciasenfuncinalnmerodeintervalos establecidos por los criterios vistos en clase. Vamosaelaborarlatabladedistribucionen10intervalosdeclase(metodoempirico),paraello tenemos como Valor Mayor7000,y Valor Menor 5000 La Amplitud total o recorrido (At)7000 - 5000200 La Amplitud del intervalo (Ic) 2000/10200, Procedemos a llenar la tabla.

NiLiLsXmfoFafroFrA 1500052005100556.256.25 25200540053007128.7515 3540056005500142617.532.5 4560058005700026032.5 55800600059002282.535 66000620061007358.7543.75 762006400630012471558.75 864006600650012591573.75 9660068006700106915.586.25 10680070006900107912.598.75 117000720071001801.25100 80 Recuerde que los datos deben estar ordenados y de ser posible redondeados. Esdehacernotarqueseagregounintervalo,yaqueelultimovalorcoincidiaconellimite superior de la tabla de distribucion, tambien es importante resaltar que los valores que coinciden con los limites superiores son tomados en el intervalo siguiente, las graIicas se haran tomando en cuenta la recomendacion dada en clase.18 PROBLEMA DE ESTADISTICA Dada la siguiente serie de datos, representativa de un proceso estadstico cualquiera. 5094-5326-5382-5456-5491-5112-5192-5219-5248-5277-5292-5527-5546-5585-5739-5692-5719-5824-5865-5897-5924-4950-4987-5024-5094-5935-5962-5989-6012-6045-5135-5165-6086-6114-5406-5426-6120-6250-5785-5819-5616-5645 5692-5049-5086 Ordenar 4950-4987-5024-5049-5086-5094-5094- 5112- 5135 -5165- 5192-5219-5248-5277-5292-5326-5382-5406-5426-5456-5491-5527-5546-5585-5616-5645-5692-5692-5719-5739-5785-5819-5824-5865-5897-5924-5935-5962-5989-6012-6045-6086-6114-6120-6250 N 45 datos R Vmayor-Vmenor 6250 - 4950 1300 Mtodo emprico: metodo que depende del estado de animo de la persona que esta realizando el proceso estadistico, en este metodo nos dan como dato el numero de Iilas, para luego calcular el intervalo de clase (Este se redondea siempre al inmediato entero superior).Numero de filas9 IcR/ # de filas1300 / 9 Elaboracin de la tabla LiLsXfoFafroFrA Mtodo de Sturges: Metodo matematicopor excelencia, en el que mediante la aplicacion de una Iormula podemos calcular el Ic (Este se redondea en condiciones normales), para luego calcular el numero de Iilas (Se lleva siempre al inmediato entero superior) Formula de Sturges----IcR / (1 + 3,322xlogN) Para calcular l numero de filas#FilasR / Ic. 19 Li LsXfoFAFroFrA Representacin grafica Esta se realiza de dos maneras: 1.-PolgonodeFrecuencias:Tambiendenominadodiagramadelineas,pararealizareste colocamoseneldenominadoejedelasXalasmarcasdeclaseyenelejedelasYalas Irecuencias ordinarias. Frecuencias Ordinarias Marcas de clase 20 2.-HistogramadeFrecuencias:Tambiendenominadadiagramadebarras,pararealizaresta colocamos en el denominado eje de las X a los limites de clases y en el denominado eje de las Y a las Irecuencias ordinarias. Graficas comparativas de muestra

Simtrica Asimetra Positiva Asimetra Negativa Frecuencias Ordinarias Limites de clase 21 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-LosdatossiguientescorrespondenalamedidaenCMS.Deunamuestradeproductos tomados en la compaia 'X. Realice una distribucion de Irecuencias sabiendo que Ni 10 1.50 - 1.51 - 1.12 - 2.14 - 2.50 - 3.42 - 3.00 - 9.16 - 5.50 - 10.50 - 13.20 26.76 - 20.65-20.27 - 20.62 - 23.42 - 18.62 - 28.45 - 29.15 - 29.36. 2.- Los siguientes datos corresponden a los pesos de los estudiantes de una Universidad, los pesos estan dados en libras. Construya una tabla de distribucion de Irecuencias, con I 5. 110.12 - 114.78 - 118.16 - 119.23 - 120.05 - 124.35 - 126.77 - 128.36 - 130.50 - 134.32 - 137.16 - 143.18 - 135.50 - 140.50 - 145.17 - 149.77 - 150.50 - 153.62 - 154.61 - 156.38 - 158.15 - 159.45 - 160.50 - 159.66 - 115.25 - 128.30 - 135.50 - 148.65 - 160.25 - 155.70 - 118.60 -123.10 - 3.-Dada la siguiente serie de datos, representativa de un proceso estadistico cualquiera. Elabore la tabla de Irecuencia haciendo uso del metodo cientiIico, asi como un poligono de Irecuencias. 4950-4987-5024-5049-5086-5094-5094-5112-5135-5165-5192-5219-5248-5277-5292-5326-5382-5406-5426-5456-5491-5527-5546-5585-5616-5645-5692-5692-5719-5739-5785-5819-5824-5865-5897-5924-5935-5962-5989-6012-6045-6086-6114-6120-6250 4.-LossiguientessonsalariosdelosempleadosdeciertascompaiasdelestadoCarabobo, elabore una tabla de distribucion de Irecuencias, asi como un histograma, tomando en cuenta los criterios vistos en clase. 8200-7500-7800-6900-7350-9260-9500-8700-8150-9620-10150-9400-9700-8625-7950-8125-11000-10360-9650-9000-7800-8100-7350-9780-10750-11100-8525-9900-10780-10150-11100-10365-8325-10200-10000 22 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Elhechodetenerlosdatosdeunamuestra,clasiIicadosypresentadosenunatablade distribuciondeIrecuencias,haciendousodelosmetodosanteriormentevistoscomosonel metodo empirico o el de Sturges, no me da garantia alguna que me permita asegurar, que un valor cualquieradeesamuestraseaelmasrepresentativo.Paraelloesrecomendadocalcularunos indicadoresquenosexpresenlascaracteristicasparticularesdelamuestra,unodeesos indicadoressonlasllamadasmedidasdetendenciacentral,tambienconocidascomovalores mediosomedidasrepresentativas,estasnospermitenapreciardequemaneralosdatosdeuna muestra se agrupan o tienden a estar ubicados en el centro de la distribucion ordenada. LasmedidasdetendenciacentralestanrelacionadasconelVALORdelatendenciacentralde una serie de datos ORDENADOS, denominadas tambien como promedios, y se deIine como un valorrepresentativoypredominantedentrodeunconjuntodedatos.Unpromedioes generalmente un valor ubicado en el centro de la distribucion y no en el extremo. Las medidas de tendencia central se clasiIican en dos tipos: Promedios Matemticos: son aquellos que necesitan de una Iormulacion matematica inmediatapara poder calcularlos, dentro de estos tenemos: La Media o Promedio Aritmetico Simple ( X ). La Media o Promedio Aritmetico Ponderado (pX ). La Media o Promedio Geometrico (G) La Media o Promedio Armonico (H). La tasa de Crecimiento Geometrico o Formula de Interes Compuesto (r), (i). Promedios no Matemticos: son aquellos que necesitan de una Iormulacion inicial para despues aplicar la Iormulacion matematica, dentro de estos tenemos: La Mediana (Xd o Md) La Moda (Xo o Mo). Concadaunadeellasseestudiancaracteristicosparticularesdelamuestra,lasmedidasde tendenciacentralsecalculanparadatosdirectos(datosordenados)yparadatosagrupados (colocados en tabla de distribucion de Irecuencias). 23 CALCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS DIRECTOS LA MEDIA O PROMEDIO ARITMETICO ). ( X De las medidas de tendencia central la media aritmetica es la que con mayor Irecuencia se usa, y sirveparacalcularotrosestadisticos.SudeIinicionesclaranosenecesitahacerdemasiado esIuerzoparaentendersuIinalidad,noesaIectadaporlasIluctuacionesdelosdatosdela muestra,dependedelosvaloresdelosdatos,seutilizancalculosalgebraicosconIacilidady permite realizar comparaciones. No debe ser utilizada cuando los datos extremos diIieren notoriamente del resto, es decir cuando los datos no son homogeneos, o cuando se presenten como una progresion aritmetica, Lamediaaritmeticasecalculasumandotodoslosdatosdeunaserieodistribuciony dividiendolos entre el numero de ellos. nfoxXiX=; nxX f xX f xX f xX fXn n.......3 3 2 2 1 1+ + += MEDIANA (Xd). SedeIinecomoeldato,opuntoquedivideaunadistribucionoseriededatosendospartes exactamente iguales. Es decir que a ambos lados de la serie existe el mismo numero de elementos o datos. -Se ordena-Se calcula el lugar que ocupa, 2 1 += nLugar MODA, MODO O PROMEDIO TIPICO (Xo). Se deIine como el valor mas comun, es decir el valor alrededor del cual se concentran la mayor cantidad de datos (punto de concentracion maxima). La moda no es mas que el valor que mas se repite. PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE CLASE LA MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO ARITMETICO ) ( X nfoxXmX=24 Construya la tabla de distribucion de Irecuencias hasta las (F). Frecuencias absolutas acumuladas. a.Calcule los puntos medios Xm. b.EIectue el producto de I por Xm y sumelos. c.Use la Iormula inicialmente mostrada. LA MEDIANA (Xd)

IcfoFnLi XdAi*2+ = a. Ubique el cociente 2n, en la columna F, si no coincide ninguno, use el inmediato superior al buscado. b.Despues de ubicado 2n, extraemos de la tabla los demas terminos: Li Es el limite inIerior del intervalo donde se ubica la mediana. FAi Es la Irecuencia acumulada absoluta inIerior a la ubicacion de la mediana. Io Es la Irecuencia ordinaria absoluta del intervalo donde se halla la ubicacion de la mediana. LA MODA (Xo) Icds didiLi Xo *++ =

a.Se ubica la Irecuencia ordinaria modal (Iom), si existen dos se selecciona lo que concentre mayor numero de datos a su alrededor. b.SecalculanlasdiIerenciasentrelaIrecuenciaordinariamodal(Iom)ylasqueestan alrededor (inIerior y superior). c.Se toma el limite inIerior real del intervalo donde se tomo la Irecuencia ordinaria modal, y se usa la Iormula antes mostrada. Iom Es la mayor Irecuencia ordinaria absoluta. LiEsellimiterealinIeriordelintervaloqueposealaIrecuenciaordinariaabsoluta mayor. ds Iom Ios DiIerencia entre Irecuencia ordinaria modal (Imo) y la Irecuencia ordinaria absoluta(Ios )que esta por encima de la Irecuencia modal. di Iom Ioi DiIerencia entre Irecuencia ordinaria modal (Imo) y la Irecuencia ordinaria absoluta(Ioi )que esta por debajo de la Irecuencia modal. Ic Es la amplitud del intervalo de clase. 25 APLICACIONES DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Cuando hacemos uso de metodos estadisticos, surge la duda sobre la utilizacion de cualquiera de ellasesdecir,cualdelastresmedidasdetendenciautilizar,cuandoyporque.Existenreglas generales para ello que a continuacion conoceremos: LA MEDIA ) ( XPor ser una medida aIectada por todos los valores de la serie su uso se recomienda: a.Cuando los datos se distribuyen simetricamente. b.Cuando la serie es de crecimiento aritmetico. c.Cuandosedeseeobtenerotrasmedidas(estadisticos),comoladesviaciontipica,la varianza, desviacion media. LA MEDIANA (Xd) a.Cuando se necesite el valor central exacto de la serie. b.Cuando existen datos extremos que aIecten severamente a la media aritmetica LA MODA O MODO (Xo) a.Cuando se desee una medida de tendencia central rapida y aproximada. b.Cuando sea interesante conocer el valor que mas se repite en una serie RELACIONES ENTRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Entodadistribucionoseriesimetrica,lamediaaritmetica,lamedianaylamoda,coincidensin embargo,cuandoelgradodeasimetriaesmoderado,lamedianaseencuentraubicadaentrela media aritmetica y la moda a una distancia igual a 1/3 de la que separa a estas dos, partiendo de la media. Sila asimetria esacentuadaesta relacion notiene validez.Matematicamente, larelacion se puede expresar de la siguiente manera: X X X to por X X X X X X X Xd o d o o d2 3 : tan ) ( 3 ) (31 = = + =O lo que signiIica que: MODA 3 veces la MEDIANA2 veces la MEDIA Para una distribucin unimodal se cumplen lo siguiente: 1.Cuando, , ,o dX X X soniguales,ladistribuciondedatosessimetrica,esdecirla concentracion de valores es igual a ambos valores de la media aritmetica. 26 2. CuandoX~ Xd ~Xo, la distribucion de los datos es asimetrica o sesgada hacia la derecha (asimetria positiva), lo que nos indica que mas del 50 de los datos estan situados por debajo de la media aritmetica. 1.CuandoX XdXo,ladistribuciondelosdatosesasimetricaosesgadahaciala izquierda(asimetrianegativa),Loquenosindicaquemasdel50delosdatosson superiores al valor de la media aritmetica. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL SECUNDARIAS . MEDIA O PROMEDIO GEOMETRICO (G). Se deIine como la raiz enesima (raiz del numero de datos), del producto de la serie de valores. PARA DATOS NO AGRUPADOS nnX X x X x X G ) .( )......... ( ) ( ) (3 2 1=Tomando log a ambos miembros de la ecuacion. nLogX LogX LogX LogXLogGn+ + + +=.........3 2 1 Anti-log G G PARA DATOS AGRUPADOS in o o o ofxLogXm f xLogXm f xLogXm f xLogXm fLogG+ + + +=.........3 2 1 Anti-log G G 27 USOS DE LA MEDIA GEOMETRICA La media geometrica se usa en datos que tiendan a una progresion geometrica, entendiendose por ello,aquelladondelasrazonesococientesentreunterminoyelanteriorseanconstanteso aproximadamenteconstantes;Existenvariablestipicamenteconesatendenciageometricao exponencial, como son. la poblacion, intereses, indices, etc. EL PROMEDIO ARMONICO O MEDIA ARMONICA (H) Se describe como el reciproco de la media aritmetica del reciproco o inverso de los datos de una serie. PARA DATOS DIRECTOS ;PARA DATOS AGRUPADOS

=iXNH1

=iiiXffH

USOS DE LA MEDIA ARMONICA Seusageneralmenteenaquellosproblemascuandosetratendepromediarrazonesococientes, tales como: Km/Hr, Bs/Doc, Bs/Hr, etc. RELACION QUE EXISTE ENTRE LOS PROMEDIOS SECUNDARIOS. La media aritmetica essiempremayor que la media geometrica y esta a su vez es mayor que la mediaarmonica,conexcepciondelcasoenquelosdatosseaniguales,yaquetalespromedios coincidiran. H G X(Datos diIerentes) HG X(Datos iguales) DeacuerdoalasiguienteIormula,conociendodosdelostrespromedios,podemoscalcularel tercero. G H * X ; H G / X; X G / H

PASOS A SEGUIR PARA CALCULAR MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PRINCIPALES PARA DATOS AGRUPADOS MEDIA O PROMEDIO ARITMETICO. a.CONSTRUYALA TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS HASTA LA COLUMNA DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS. b.CALCULE LOS PUNTOS MEDIOS Xm. 28 c.CONSTRUYA LA COLUMNA Fo*Xm (COLUMNA Fo MULTIPLICADA POR LA COLUMNA Xm). d.USE LA FORMULA DE LA MEDIA ARITMETICA. nfoxXmX=LA MEDIANA., a.UBIQUEELCOCIENTEn/2,ENLACOLUMNADELAFRECUENCIAACUMULADA,SINO COINCIDE CON NINGUNO USE EL INMEDIATO SUPERIOR AL BUSCADO. b.RECUERDE LA FORMULA DE LA MEDIANA. IcfoFAinLi Xd *2 + = c.DESPUES DE UBICAR n / 2 , EXTRAEMOS DE LA TABLA LOS DEMAS TERMINOS. Li = ES EL LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO DONDE SE UBICA LA MEDIANA. Fi = ES LA FRECUENCIA ACUMULADA ABSOLUTA INFERIOR A LA UBICACIN DE LA MEDIANA. Fo=ESLAFRECUENCIAORDINARIAABSOLUTADELINTERVALODONDESEHALLALA UBICACIN DE LA MEDIANA. LA MODA. a.SEUBICALAFRECUENCIAMODAL(fom),SIEXISTENDOSSESELECCIONALAQUE CONCENTRE MAYOR NUMERO DE DATOS A SU ALREDEDOR. b.SE CALCULAN LAS DIFERENCIAS ENTRE LA FRECUENCIA MODAL (Fom) Y LAS QUE ESTN ALREDEDOR (INFERIOR Y SUPERIOR). c.SETOMAELLIMITEINFERIORREALDELINTERVALODONDESEUBICOLAFRECUENCIA MODAL, Y SE USA LA FORMULA SIGUIENTE:Icds didiLi Xo *++ = Li = ES EL LIMITE REAL INFERIOR DEL INTERVALO QUE POSEEA LA FRECUENCIA ORDINARIA ABSOLUTA MAYOR. di=Fom-Foi;DIFERENCIQAENTREFRECUENCIAMODAL(Fom)YLAFRECUENCIA ORDINARIA ABSOLUTA QUEESTA POR DEBAJO DE LA FRECUENCIA MODAL. ds=Fom-Fos;DIFERENCIQAENTREFRECUENCIAMODAL(Fom)YLAFRECUENCIA ORDINARIA ABSOLUTA QUEESTA POR ENCIMA DE ELLA. 29 EjempIo DADA LA SIGUIENTE SERIE DE DATOS CALCULE TODAS LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS DIRECTOS Y AGRUPADOS 126512721360138514201525153016001650 180018201860 1910 19502000210021502200 226535003720385039204000 4500 5250 5320 621062806500666067207960810081008565 8860 9220 9520 9520 9863 10275 10350 11200 11485 11520 11792 12350 12380 12500 13670 13865 13900 13952 n = 54 Datos Directos Media:85 . 618654334090= = =nfoxXiX Mediana: Se ubica el lugar que ocupa la mediana, Lugar = (54+1)/2 = 27.5, la mediana se encuentra entre el valor que ocupa el lugar 27 y el28. Por lo tanto la misma es: (5320+6210)/2 = 5765 = Xd. Moda: Es el o los valores que ms se repiten: 8100 y 9520. Datos Agrupados ELABORACON DE LA TABLA DE DSTRBUCON DE FRECUENCAS (Ni = 9) CALCULO DEL RECORRDO: 13952-1265 = 12687 CALCULO DE LA AMPLTUD DEL NTERVALO: Use Ni = 9,12687/9 = 1409.66=1410 LILSXmfoFAfo.Xm 126526751970191937430 26754085338052416900 40855495479032714370 54956905620053231000 69058315761033522830 83159725902054045100 9725111351043034331290 11135125451184075082880 12545139551325045453000 54334800 Media:XnfoxXiX = = = =620054334800 30 Mediana:Xd IcfoFAinLi Xd = = + =+ = 5495 14103 24 274085 *2

Moda: 14 5 19 ; 19 0 19 ; 5 ; 0 ; 1981 , 2076 141014 19191265 *= = = = = = == ++ =++ =ds di fos foi fomIcds didiLi Xo 31 MEDIDAS DE POSICION U ORDEN Se llaman asi a todas aquellas que al igual a la mediana localizan la posicion de algun caso con relacion a otros, y estas son: Percentiles Deciles Cuartiles Rangos Percentiles Percentiles(Xp).Cuandounaserieodistribuciondedatosesdivididaen100partesigualesy obtenemos percentiles del 1 al 99, y es un punto por debajo del cual se encuentra un determinado porcentajedecasos,porejemplo85,eselpuntoopuntos,pordebajodelcualseencuentrael 85 de los casos de la distribucion. Deciles(Dx).Cuandounaserieodistribucionesdivididaen10partesigualesyobtenemos deciles del 1 al 9. Cuartiles(Qx).Cuandounaserieodistribucionesdivididaen4partesigualesyobtenemos cuartiles del 1 al 3. RELACION ENTRE ESTAS MEDIDAS Xd Percentiles X10 X20X30X40X50 X60X70X80X90 Deciles D1 D2D3D4D5 D6D7D8D9 Cuartiles Q1Q2 Q3 Observando el graIico nos damos cuenta la relacion que existe entre los deciles y los cuartiles con los percentiles. D1 P10, D2 P20, Q1 P25, Q2 P50, Q2 D5. Es de notar la coincidencia que existe entre ellos. Q2 D5 P50 Xd; Es decir el segundo cuartil (Q2), el quinto decil (D5), el percentil 50 (P50) y la mediana son iguales entre si en cualquier distribucion. 32 PERCENTILES PARA DATOS DIRECTOS. XpXi(Xs-Xi)*R XpPercentil buscado. Xi Es el dato inIerior al percentil buscado. XSEs el dato superior al percentil buscado. RdiIerencia entre el lugar del percentil buscado y el lugar del dato inIerior. Procedimiento 1.Se ordenan los datos de menor a mayor 2.Se calcula el lugar del percentil buscado (Xp). 3.Se determina el valor de R.4.Se aplica la Iormula antes descrita. 5.Se interpreta. PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS EN I.C. IcfoFAipxnLi Xp *100+ = Procedimiento 1.Se calcula el lugar de ubicacion del percentil pedido. 2.Se procede igual que el calculo de la mediana respecto a los valores de Li, FAi, Io. 3.Se interpreta. RANGO PERCENTIL (Px). Es un estadistico que nos indica el porcentaje de casos queEsta ubicado por debajo de un valor conocido. Observacion: 1.Enlospercentiles,decilesycuartilessedaunporcentajeparaluegodeterminarel dato por debajo del cual se halla el porcentaje dado. 2.En el caso del rango percentil, se da el dato para conseguir el porcentaje de datos que se halla por debajo del dato conocido. 33 RANGO PERCENTIL PARA DATOS DIRECTOS Conociendo la Iormula para el calculo de percentiles por datos directos y sustituyendo en ella el valordeR,porladiIerenciaentreellugardelpercentilbuscadoyellugardeldatoinIerioral percentil buscado, obtenemos:

xR Xi Xs Xi Xp ) ( + = + = Ixipxnx Xi Xs Xi100) ( Despejando P tenemos: Donde:+=Xii si pIX XX XnP100 P Es el rango percentil buscado. Xp Es el dato conocido. Xi Es el dato inIerior inmediato a Xp. Xs Es el dato superior inmediato a Xp. Ixi Es el lugar que ocupa Xi. n Es el numero de casos o datos de la serie. RANGO PERCENTIL PARA DATOS AGRUPADOS. Cuando queremos calcular el rango percentil de un dato en una distribucion de datos agrupados, sedespejadelaIormuladepercentilesparadatosagrupadoselvalordeP(rangopercentil)y obtenemos la siguiente ecuacion: Donde:+= FAiIcxfo Li XpnPx) ( 100 Px Es el rango percentil buscado. n Es el numero de datos de la distribucion. Xp Representa el dato conocido. Li Es el limite inIerior real del intervalo de clase que contiene al dato conocido (Xp). IoFrecuencia ordinaria absoluta del intervalo que contiene al dato conocido (Xp). FAi Frecuencia acumulada absoluta inIerior al intervalo donde esta ubicado Xp. IcAmplitud de los intervalos de clase. 34 DESVIACION CUARTIL. Ladesviacioncuartildeungrupodedatosestabasadaendosvaloresdeladistribucionyno tienennadaqueverconlosvaloresextremosdelaserie,sinoquesereIierenalatercerayla primeracuartilladelgrupo.Paraencontrarlascuartillas,dividimoselnumerodeelementosdel grupoencuatropartesdeacuerdoasusvalores.Laprimeracuartilla(Q1),eselpuntosobrela escala de valores por debajo del cual, hay un cuarto de los elementos. La segunda cuartilla (Q2), eselpuntopordebajodelcualhaylamitaddelosdatos,porloqueQ2secorrespondeconla mediana. La terceracuartilla(Q3), es el puntopordebajo delcual hay las tres cuartas partes de loselementos,ladiIerenciaentrelaterceraylaprimeracuartilla,eselllamadorecorrido intercuartilitico. Cuando esa diIerencia es dividida por 2, el cociente es la desviacion cuartilitica o semirecorrido intercuartilitico. 21 3Q QDq=Uno de los elementos de mayor importancia en el calculo de las cuartillas es conocer primero que lugar ocupa cada cuartilla, para ello debemos tener en cuenta la siguiente relacion: Q1n/4;Q2n/2 ;Q33n/4. CUARTILLAS PARA DATOS DIRECTOS Paracalcularcuartilesparadatosdirectos,nosbasamosenlarelacionqueexisteentrelas medidas de posicion, para ello calculamos el percentil setenta y cinco y el veinticinco para datos directos, los restamos y los dividimos entre dos. CUARTILLAS PARA DATOS AGRUPADOS Lascuartillasparadatosagrupados,sepuedenobtenerdelamismaIormacomoseobtienela mediana,primeroseubicaellugarqueocupalacuartilla,yluegoaplicandolaIormula respectiva,se interpreta de la misma Iorma que la mediana. Recordando que el lugar que ocupa cada uno de los cuarteles corresponde a: Q1 25 ;Q2 50;Q3 75 IcfoFnLi QAi*41+ =

IcfoFnLi QAi*22+ = IcfoFnLi QAi*432+ = 35 PRINCIPALES CARACTERISTICAS DE LA DESVIACION CUARTILITICA. Ladesviacioncuartilitica,estabasadaendosvaloresQ1yQ3,noesaIectadaporlosvalores extremos,loscualessonmenoresqueQ1ymayoresqueQ3,existenun50deloselementos entre Q1 y Q3, una desviacion baja, indica una pequea variacion entre el 50 de los elementos centrales,porotraparteunadesviacionaltasigniIicaquelavariacionentreloselementos centrales es alta. La desviacion cuartilitica es la mitad de la distancia entre Q1 y Q3, sin embargo si la distribucion no es simetrica, la distancia de mediana, no coincidira con el recorrido (de Q1 a Q3). METODOLOGIA PARA CALCULAR MEDIDAS DE POSICION EN100 PARTESPERCENTILES X10 X20X30X40 X50 X60 X70 X80 X90 EN 10 PARTES DECILES D1 D2 D3D4 D5 D6D7D8 D9 EN 4 PARTES CUARTILES Q1Q2Q3

P RANGOS PERCENTILES ( de Valores) Xp PERCENTIL PERCENTILES PARA DATOS DIRECTOS. Xp Xi ( XsXi ) * R Xp Percentil buscado;Xi Dato inIerior al percentil buscado Xs Dato superior al percentil buscado ;R DiIerencia entre el lugar del percentil Buscado y el lugar del dato inIerior. Procedimiento. a. Se ordenan los datos de menor a mayor. b. Se calcula el lugar del percentil buscado. c. Se determina el valor de R.d. Se aplica la Iormula de percentiles.e. Se interpreta. PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS. IcfoFAipxnLi Xp *100+ = 36 Procedimiento a. Se elabora la tabla de distribucion de Irecuenciasb. Se calcula el lugar del percentil buscado. c. Se procede de la misma Iorma como se hizo para el calculo de la mediana.d. Se interpreta. RANGO PERCENTIL (Px). PARA DATOS DIRECTOS. +=ii si pIXX XX XnP100 P Es el rango percentil buscado;Xp Es el dato conocido Xi Es el dato inIerior inmediato a Xp;Xs Es el dato superior inmediato a Xp Ixi Es el lugar que ocupa Xi;n Es el numero de casos o datos de la serie. RANGO PERCENTIL PARA DATOS AGRUPADOS. += FAiIcxfo Li XpnPx) ( 100 Li Es el limite inIerior real del intervalo que contiene el dato conocido Xp FAi Es la Irecuencia acumulada absoluta inIerior al intervalo donde esta Xp. Io Es la Irecuencia ordinaria absoluta del intervalo que contiene el dato Xp. DESVIACIN CUARTILITICA. 21 3Q QDq=

37 E1EMPLO En el estudio realizado en las empresas del sector aduanero del ejercicio de elaboracion de tablas de distribucion de Irecuencias se obtuvieron los siguientes datos: 5000 5050 5100 5125 5150 5200 5223 5270 5300 5315 5325 5390 54005415 5425 54505475 5480 5500 5515 5520 5525 5550 5575 5580 5595 5892 5910 60506065 6100 6125 6130 6150 6175 6200 6225 6250 6265 6270 6275 6300 6320 6345 6350 6375 6390 6400 6430 6435 6450 6465 6475 6500 6520 6525 6540 6550 6575 6600 6620 6635 6640 6645 6650 6690 6700 67506784 6820 6825 6850 68756900 6925 6950 6975 6980 6985 7000 n 80 Determine: para datos Directos y Agrupados lo siguiente: 1.Cualeselsalariomasaltoquegananel40delostrabajadoresquegananlos salarios mas altos que la media. 2.Cualeselsalariomasaltoquegananel30delostrabajadoresquegananlos salarios mas bajos. 3.Calcular el y numero de trabajadores se encuentra por debajo del Salario 5347.5. 4.Calcular el y numero de trabajadores se encuentra por encima del salario 6545.25. 5.Calcular el y numero de trabajadores se encuentra entre el salario 6315 y el salario 6825. 6.Calcular la Desviacion Cuartilitica. Datos Directos 1. Para calcular ese salario debemos primero calcular la madia de la muestra, una vez calculado, procedemos a calcular el rango percentil para ese valor, conocido este porcentaje, le sumamos el 40 que se encuentra por encima y haciendo uso de la Iormula para el calculo de percentiles, lo realizamos para el porcentaje en cuestion.Media nfoxXmX= 490279/80 6128.48 MediaCalculo del rango percentil para Xp 6128.48;Haciendo uso de la Formula: +=ii si pIXX XX XnP100; P 87 . 40 326125 61306125 48 . 612880100=+ A este porcentaje le sumamos 40 y llegamos a 80.87, Calculamos el percentil para el 80.87 38 Calculamos el lugar que ocupa el percentil buscado 696 . 61100 80 87 . 80100== n p y usamos Xp Xi (XsXi) * R6620 (6635-6620) x 0.696 6630.44 2. El 30 de los que ganan los salarios mas bajos, son aquellos que se encuentran 30 encima del salario 5000 o lo que es lo mismo vamos a calcular el percentil 30, usamos la Iormula: Xp Xi (XsXi) * R;Lugar que ocupa el percentil 24, entonces el salario sera: 5575. 3. Calculo del rango percentil para Xp 5347.5;Haciendo uso de la Formula: +=ii si pIXX XX XnP100; P 183 . 14 115325 53905325 5 . 534780100=+, Calculo del numero de trabajadores35 . 1110080 183 . 14100== n p- 11 trabajadores. 4. Nosotros no podemos calcular porcentajes que estan por encima de valores de Iorma directa, ya que se contradisela deIinicion de rango percentil, para ello nos situamos en un valor que se encuentre un diIerencial por encimadle valor conocido y para ese valor si calculamos el rango percentil. Nos situaremos en el valor 6545.5, calculamos el rango percentil y el porcentaje obtenido se lo restamos del 100 y de esta manera damos repuesta al interrogante. Calculo del rango percentil para Xp 6545.5;Haciendo uso de la Formula: +=ii si pIXX XX XnP100; P 93 . 71 576540 65506540 5 . 654580100=+,100 - 71.93 28.07 porcentaje por encima Calculo del numero de trabajadores456 . 22100 80 07 . 28100== n p- 22 trabajadores. 5. Para realizar este calculo, primero lo haremos para el valor superior, luego para el valor inIerior y los porcentajes los restamos y obtenemos el porcentaje que esta entre esos dos valores Calculo del rango percentil para Xp 6825;Haciendo uso de la Formula: +=ii si pIXX XX XnP100; P 96 . 88 716820 68506820 682580100=+,Calculo del rango percentil para Xp 6315;Haciendo uso de la Formula: 39 +=ii si pIXX XX XnP100; P 69 . 54 436300 63206300 631580100=+,88.96 - 54.69 34.27 Calculo del numero de trabajadores42 . 27100 80 27 . 34100== n p- 27 trabajadores. 6. Procedemos a calcular el percentil 75, luego calculamos el percentil 25, estos valores los restamos y los dividimos entre 2, o lo que es lo mismo el cuartel 3 y el cuartel 1, estos valores los restamos y los dividimos entre 2. Calculamos el lugar que ocupa el percentil Setenta y cinco 6010080 75100==n p y usamos Xp Xi (XsXi) * Ral contar los valores nos damos cuenta que el lugar 60 lo ocupa el valor 6600. Calculamos el lugar que ocupa el percentil Veinticinco2010080 25100== n p y usamos Xp Xi (XsXi) * Ral contar los valores nos damos cuenta que el lugar 20 lo ocupa el valor 5515. La desviacion cuartilitica es5 . 5422 5515 660021 3===Q QDqDatos agrupados 1.ElaborelatabladedistribuciondeIrecuenciasenIuncionalnumerodeintervalosquesele indica, Ni 10 Calculo del rango VmayorVmenor 50007000 2000 NiLiLsXmfoFafo x Xm 15000520051005525500 252005400530071237100 3540056005500142677000 45600580057000260 558006000590022811800 660006200610073512200 7620064006300124775600 8640066006500125978000 9660068006700106967000 10680070006900107969000 1170007200710018071000 490800 40 1.Lamedia de la distribucion es: 4908000/80 6135Realizamoselmismo procedimiento desarrollado para datos directos. Calculando el rango percentil con la Iormula siguiente: += FAiIcxfo Li XpnPx) ( 100Buscamosenlatabla,dentrodequelimitesseencuentra el valor y procedemos a tomar los demas valores 84 . 35 28200) 6000 6135 (80100=+= El porcentaje conseguido lo sumamos a 40 y calculamos el percentil para ese valor con la Iormula siguiente: IcfoFAipxnLi Xp *100+ =Hallamos el lugar que ocupa el percentil 3 . 60100 80 38 . 75= y este valor lo ubicamos en la tabla de distribucion, tal como lo haciamos con el calculo de la mediana para la extraccion d los valores. 6626 200 *1059 3 . 606600 =+ = Xp Salario mas alto2.Calculamos el percentil 30 IcfoFAipxnLi Xp *100+ =Hallamos el lugar que ocupa el percentil2410080 30= 6626 200 *1059 3 . 606600 =+ = Xp 3.Procedemos como lo hicimos para datos directos. Calculando el rango percentil para el salario 5347.5 con la Iormula siguiente: += FAiIcxfo Li XpnPx) ( 100Buscamosenlatabla,dondedentrodequelimitesse encuentraelvaloryseleccionamoslosdemas valores 45 . 21 122007 ) 5200 5 . 5347 (80100=+=x Calculo del numero de trabajadores16 . 17100 80 45 . 21100==n p- 17 trabajadores. 41 4.Aligualqueendatosdirectosnossituamosenunvalorsuperioralpedido,elcualsera 6545.5 y procedemos teoricamente de la misma manera. Calculando el rango percentil para el salario 6545.5 con la Iormula siguiente: += FAiIcxfo Li XpnPx) ( 100Buscamosenlatabla,dondedentrodequelimitesse encuentraelvaloryseleccionamoslosdemas valores 66 . 84 5920012 ) 6400 5 . 6545 (80100=+=x 100 - 84.66 15.34 Calculo del numero de trabajadores27 . 12100 80 34 . 15100==n p- 12 trabajadores . 5.Calculando el rango percentil para el salario 6825 con la Iormula siguiente += FAiIcxfo Li XpnPx) ( 100Buscamos en la tabla, donde dentro de que limites se encuentra el valor y seleccionamos los demas terminos 25 . 80 7920010 ) 6800 6825 (80100=+=x Calculando el rango percentil para el salario 6315 con la Iormula siguiente += FAiIcxfo Li XpnPx) ( 100Buscamos en la tabla, donde dentro de que limites se encuentra el valor y seleccionamos los demas terminos 375 . 67 4720012 ) 6200 6315 (80100=+=x

80.25 - 67.375 12.875 Calculo del numero de trabajadores3 . 1010080 875 . 12100==n p- 10 trabajadores 6.Calculando el percentil 75 y el percentil 25 damos repuesta a la interrogante IcfoFAipxnLi Xp *100+ = Lugar que ocupa el percentil 756010080 75= 6620 200 *1059 606600 =+ = Xp ;Lugar que ocupa el percentil 25 2010080 25= 28 . 5514 200 *1412 205400 =+ = Xp La desviacion cuartilitica es86 . 552228 . 5514 662021 3===Q QDq 42 Medidas de Dispersin Lasmedidasdedispersionodevariabilidadnosdanaconocerelgradodehomogeneidado heterogeneidad de losdatos deuna distribucin. En la generalidad indican de quemanerase agrupan o concentran los datos alrededor de alguna de las medidas de tendencia central. Estas medidas explican algunas caracteristicas de la serie de la cual proceden. La variabilidad nos permiteconocerlavariacionodispersionpromedioquepresentanlosdatosconrelacionala media elegida. Cuantomenorseaestavariabilidad,muchomasconcentradosestaranlosdatosalrededordela mediaopromedioseleccionadoymasrepresentativoseraeste.Cuanmayorsealavariaciono dispersion menor representatividad tendra dentro de conjunto de datos. Si todos los datos de una distribucion son iguales no existira dispersion o lo que es lo mismo decir que la variabilidad seria igual a cero y de hecho no habra variabilidad de los mismos con respecto a su media. Existendiversasmedidasdedispersin,entrelasmasutilizadaspodemosdestacarlas siguientes: 1.- Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diIerencia entre el valor mas elevado y el valor mas bajo.R XmayorXmenor 2.- Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatoria de las diIerencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el numero devecesqueseharepetidocadavalor.Elsumatoriaobtenidosedivideporeltamaodela muestra. tos DatosDirecnX XS22) (=ados DatosAgrupnX X fSm o22) (= Lavarianzasiempreseramayorquecero.Mientrasmasseaproximaacero,masconcentrados estanlosvaloresdelaseriealrededordelamedia.Porelcontrario,mientrasmayorseala varianza, mas dispersos estan. 3.- Desviacin tpica: Se calcula como raiz cuadrada de la varianza. tos DatosDirecnX XSi=2) (ados DatosAgrupnX Xm fSo =2) ( 43 4.- Desviacin Media: Se deIine como la sumatoria de las desviaciones de los datos respecto a la media aritmetica de una distribucion. tos DatosDirecnX XMDi=ados DatosAgrupnX Xm fMDo = 5.- Coeficiente de variacin de Pearson: se calcula como cociente entre la desviacion tipica y la media.CvXS Ejemplo: Losdatossiguientescorrespondenalaestaturadeungrupodealumnosdelaseccion'Edel segundoterminodeIngenieria.DelaUniversidadNacionalPolitecnicaExperimentaldela Fuerza Armada Nacional. 1.66-1.67-1.67-1.67-1.67-1.72-1.72-1.72-1.72-1.73-1.73-1.74-1.75-1.75-1.76-1.76-1.76-1.87-1.87-1.87-1.88-1.88-1.88-1.88-1.89-1.89-1.89-1.90-1.90-1.90. Los datos estan previamente Ordenados Calcular para datos Directos y Agrupados las medidas de Dispersion. Datos Directos: Variable(X)Io X Xi ) ( X X foi2) ( X Xi Fo2) ( X Xi1,661-0.13-0.130.01690.0169 1,674-0.12-0.480.01440.0576 1,724-0.07-0.280.00490.0196 1,732-0.06-0.120.00360.0072 1,741-0.05-0.050.00250.0025 1,752-0.04-0.080.00160.0032 1,763-0.03-0.090.00090.0027 1,8730.080.240.00640.0192 1,8840.090.360.00810.0324 1,8930.10.30.010.03 1,9030.110.330.01210.0363 0.2276 Previamente calculamos la media para datos directos ( X ) 1.7944 Rango: Es la diIerencia entre el mayor y el menor valor: 1.90 - 1.66 0.24 mts. Varianza: Para calcular la varianza es necesario conocer la Media de la muestra, siendo lamisma 1.79. S2 007586 . 0302276 . 0=Desviacin Estndar o Tpica: es la raiz cuadrada de la varianza. 08709 . 0 007586 . 0 = = SDesviacin Media respecto a la Media: 02933 . 03088 . 0= =DMDatos Agrupados Vamos a elaborar la Tabla de distribucion de Irecuencia usando un numero de intervalos (Ni) de 10. Calculo del recorrido de la distribucion: V mayorV menor 1.91.66 0.24 Calculo de la Amplitud del Intervalo (Ic): 0.24/10 0.024, no redondeamos por ser un valor muy pequeo. NiLiLsXmfoFAfoxXm ) ( X Xm 2) ( X Xm fo2) ( X Xm11.661.6841.672558.36-0.120.0140.072 21.6841.7081.696050-0.960.0092160 31.7081.7321.7261110.32-0.0720.0051840.031104 41.7321.7561.7443145.232-0.0480.0023040.006912 51.7561.7801.7683175.304-0.0240.00005760.001728 61.7801.8041.7920170000 71.8041.8281.81601700.0240.0005760 81.8281.8521.8401700.0480.0023040 91.8521.8761.8643205.5920.0720.0051840.015552 101.8761.9001.88872713.2160.0960.0092160.064512 111.9001.9241.91253305.7360.120.01440.0432 30 53.760.235008 La media de la distribucion es: 1.792 Desviacin Estndar o Tpica: 08850 . 030235008 . 0= = S45 Desviacin Media respecto a la Media: Varianza: 0078336 . 030235008 . 02= = SCoeficiente de variacin de Pearson: se calcula como cociente entre la desviacion tipica y la media de la muestra. .Cv 04938 . 0792 . 108850 . 0= =XS ElinteresdelcoeIicientedevariacionesquealserunporcentajepermitecompararelnivelde dispersion de dos muestras. Esto no ocurre con la desviacion tipica, ya que viene expresada en las mismas unidas que los datos de la serie. Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersion de una serie de datos de la altura de los alumnos de una clase y otra serie con el peso de dichos alumnos, no se puede utilizar las desviaciones tipicas (una viene expresada en cm. y la otra en Kg.). En cambio, sus coeIicientes de variacion son ambos porcentajes, por lo que si se pueden comparar. 46 Medidas de Forma LasmedidasdeformapermitenconocerqueIormatienelacurvaquerepresentalaseriede datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes caracteristicas de la curva: a)Asimetra:midesilacurvatieneunaIormasimetrica,esdecir,sirespectoalcentrodela misma(centrodesimetria)lossegmentosdecurvaquequedanaderechaeizquierdason similares. b) Curtosis: mide si los valores de la distribucion estan mas o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra. a) Asimetra Hemos comentado que el concepto de asimetria se reIiere a si la curva que Iorman los valores de la serie presenta la misma Iorma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmetica) ParamedirelniveldeasimetriaseutilizaelllamadoCoeficientedeAsimetradeFisher,que viene deIinido por la relacion entre momentos: 23233223) () (mmmmAs= =Recordando la Iormula de los momentos tenemos: Datos directos Datos agrupados nX Xmii=) (

nX X fmim oi=) ( Los resultados pueden ser los siguientes: 47 As0(distribucionsimetrica;existelamismaconcentraciondevaloresaladerechayala izquierda de la media)As~ 0 (distribucion asimetrica positiva; existe mayor concentracion de valores a la derecha de la media que a su izquierda) As 0 (distribucion asimetrica negativa; existe mayor concentracion de valores a la izquierda de la media que a su derecha) Ejemplo: Vamos a calcular el CoeIiciente de Asimetria de Fisher de la serie de datos reIeridos a la estatura de un grupo de alumnos Recordemos que la media de esta muestra es 1,253 b) Curtosis El Coeficiente de Curtosis analiza el grado de concentracion que presentan los valores alrededor de la zona central de la distribucion. Se definen 3 tipos de distribuciones segn su grado de curtosis: Distribucinmesocrtica:presentaungradodeconcentracionmedioalrededordelosvalores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribucion normal). Distribucin leptocrtica: presenta un elevado grado de concentracion alrededor de los valores centrales de la variable. Distribucin platicrtica: presenta un reducido grado de concentracion alrededor de los valores centrales de la variable.

El Coeficiente de Curtosis viene deIinido por la siguiente Iormula:22444) (mmSmCu= =Los resultados pueden ser los siguientes: 48 Cu 0 (distribucin mesocrtica).Cu~ 0 (distribucin leptocrtica). Cu 0 (distribucin platicrtica). Ejemplo: Vamos a calcular el Coeficiente de Asimetra de Fisher y el Coeficiente de Curtosis de la serie de datos reIeridos a la estatura del grupo de alumnos del problema de dispersion: Variab(X) Fom iX X 2) ( X Xi2) ( X X foi 3) (m iX X Io3) (m iX X 4) (m iX X Io4) (m iX X 1,661-0.120.01440.072-0.001728-0.008640.00020730.0010368 1,674-0.0960.0092160-0.000884700.000084930 1,724-0.0720.0051840.031104-0.0003732-0.002239490.000026870.00016124 1,732-0.0480.0023040.006912-0.0001106-0.000331780.00000530.000015925 1,741-0.0240.0005760.001728-0.00001382-0.000041470.000000330.000000995 1,7520000000 1,7630.0240.00057600.0000138200.000000330 1,8730.0480.00230400.0001105900.00000530 1,8840.0720.0051840.0155520.00037320.00111970.000026870.00008062 1,8930.0960.0092160.0645120.00088470.00619310.000084930.0005945 1,9030.120.01440.04320.0017280.0051840.00020730.00062208 0.2350080.00124416 0.0000837 Por lo tanto el Coeficiente de Fisher de Simetra de esta muestra es 0.00105143, lo que quiere decir que presenta una distribucion asimetrica positiva (se concentran mas valores a la derecha de la media que a su izquierda). 00105143 . 00394433 . 0000041472 . 0) 0078336 . 0 (000041472 . 0) () (3223233223= = = = =mmmmAs Por lo tanto, el Coeficiente de Curtosis de esta muestra es 0.04546544, lo que quiere decir que se trata de una distribucion leptocurtica, es decir, con una elevada concentracion alrededor de los valores centrales de la distribucion. 04546544 . 00000613652 . 000000279 . 0) (22444= = = =mmSmCu 49 Introduccin a la probabilidad Estadstica:Cienciadelestado.Descripcionyrecogidadegrandesconjuntosdedatosysu presentacion en tablas y graIicos. Actualmente es el resultado de la union de: - Calculo de Probabilidades (siglo XVII) - Estadistica Que evolucionan conjuntamente desde el siglo XIX. Probabilidad:daunamedidadelaincertidumbrequepuedeserdebidaalaaleatoriedadoal desconocimiento del estado del sistema. Estadistica Teorica: Desarrolla modelos Matematicos. Estadistica Metodologica o Practica. Estadistica Descriptiva: Resumen y descripcion de datos. Estadistica InIerencial: Toma decisiones a partir de los datos tomados en el contexto general del que provienen. Fenmeno Natural: Es cualquier cosa que ocurre, existen 2 tipos de Ienomenos: Deterministico y Probabilistico

- Fenmeno Deterministico o no Aleatorio: Bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado es el mismo. Leyes Iisicas y quimicas clasicas. - Fenmeno aleatorio: Dadas unas condiciones iniciales el resultado no es el mismo. N de particulas emitidas por una Iuente radioactiva, Tiempo de vida de una lampara, Resultado del lanzamiento de una moneda. Un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado. Aleatorio istico Detero Experimentmin Enla Estadisticaseestudian losexperimentos aleatorios,enlos cuales,no se puedeanticipar el resultado. 50 Experimento no aleatorio o Deterministico: Observacion de un Ienomeno No aleatorio. Experimento Aleatorio (E): Observacion de un Ienomeno aleatorio. Son rasgos esenciales: Los posibles resultados son conocidos antes de su realizacion (Espacio Muestral), No se puede predecirconexactitudelresultadodelexperimento,SepuederepetirindeIinidamenteenlas mismascondiciones. Ejemplo el lanzar una moneda al aire. Caractersticas de un Experimento Aleatorio -Que pueda repetirse n veces. -Conduce a diIerentes resultados, pero se pueden conocer estos. -Posee regularidad Estadistica(de tanto que se repite tiende a un mismo resultado) EspacioMuestraldeunExperimentoAleatorio(S):Elconjuntodetodoslosposibles resultados de un experimento aleatorio. E Lanzar una moneda 2 veces S (c, s) (s, c) (s, s) (c, c)} TiposdeespaciosMuestrales,deacuerdoalnumerodeelementos,elespaciomuestralse clasiIica en: Espacio Muestral finito: El numero de resultados posibles es un numero entero determinado EspacioMuestralinfinito:Elnumeroderesultadosposiblesesunnumeroenterono determinado, y el mismo puede ser contable (numerable), o no contable (no numerable). - InIinito Contable o Numerable: el numero de resultados posibles no puede ser determinado pero puede ser numerado. - InIinito no Contable o Numerable: el numero de resultados posibles no puede ser determinado ni numerado. Ejemplos: 1.E: Lanzar un dado 2 veces S: (1,1).... (6,6)}; S es Finito. 2. E: Observar los Alumnos del Nucleo S: 1, 2, 3, 4...n} ; S es Finito. 3. E: Observar los Vehiculos que pasan Irente a la Universidad S: 1, 2, 3, 4,.....n....}; S es InIinito Contable. 51 4. E: Observar la duracion de un bombillo. S: t / t_0} t es la duracion del bombillo ;S es InIinito no contable. Suceso o Evento: Es una coleccion de posibles resultados. Los sucesos aleatorios son subconjuntos del espacio muestral y se pueden utilizar entre ellos las operaciones habituales entre conjuntos. Se denota con una letra mayuscula a partir de la A; A S. Ejemplos: 1.- El espacio muestral asociado al experimento: lanzar una moneda es: E C, X} A Que aparezca cara.} A c} 2.- El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas es: E CC, CX, XC, XX} A Que aparezca cara} A (c,c) (c,x) (x,c)} CXCXCXCCCXXCXX 3.-Espacio muestral asociado al experimento: Lanzar un dado. E 1, 2, 3, 4, 5, 6} A Que aparezca Par} A 2, 4, 6} 4.- Espacio muestral asociado a al experimento. : Lanzar dos dados: E (1,1,),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 52 A Que aparezca Uno} A 1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1 (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)} Tipos de Eventos. CompuestoSimpleEJENTO-Eventos simples: Es un subconjunto que contiene un solo espacio muestral. -Eventos compuestos: Es una combinacion de eventos simples. Relacin entre eventos Eventos SolapadosAB,sonEventossolapados,sitienenelementoscomunes,estoselementoscomunesaAB, Iorman un subconjunto llamado interseccion (A B) de AB. Eventos Mutuamente ExcluyentesAB, son Eventosexcluyentes A B (la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro, no pueden darse o no pueden ocurrir simultaneamente)P(A B) P (A) P (B). EventosDependientes:Dosomaseventossondependientescuandoelconocimientodela veriIicacion de uno de ellos altera la probabilidad de veriIicacion del o de los otros. Si los eventos AB, son dependientes A, si la Probabilidad de que 'B suceda,esta inIluenciada por A P (B) P (B/A) P (AB) P (A) x P (B/A). Eventos Independientes: un evento B es independiente de un evento A, si la Probabilidad de que 'B suceda, no esta inIluenciada por A P (B/A) P (B) P(AB) P (A) x P (B) Eventos complementarios: AB, son Eventos complementarios, si el segundo es un subconjunto que contiene todos los elementos que no estan en el primero. Los eventos complementarios son a su vez mutuamente excluyentes: AB S y A B . Operaciones con Eventos. 53 1.Unin de sucesos: AB: Sean A y B eventos, AB es otro evento, el cual ocurre cuando A ocurre, ocurre B o cuando ocurren ambos. Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamaremos suceso union de A y B al suceso que se realiza cuando se realiza A o B. Por tantoE A A = Ejemplo Sea el Experimento"Lanzar un dado" E 1, 2, 3, 4, 5,6} A "Salir un numero par" 2, 4,6,}; B "Salir un numero primo 1, 2, 3,5} A B 1, 2, 3, 4, 5,6} 2.Interseccin de sucesos. AB: Sean A y B eventos, AB es otro evento, cuando ocurre A y B simultaneamente. Llamaremos suceso interseccion de A y B al suceso que se realiza si se realizanA y B (En el ejemplo anterior.B A 2}) SiB A , entonces se dice que A y B son incompatibles. SiB A , entonces se dice que A y B son compatibles. 3.- A: Se lee complemento de A y es el evento que ocurre cuando no ocurre A. n4. - A1 A2 A3 .... A Ai i 1 n5. - A1 A2 A3 .... A Ai i 1 6.- un evento que no ocurre. 7.- S Espacio Muestral. 8.- A S S. 9.- A S A. 54 10.- A 11.- A A Ejemplos 1. Escribimos cada una de las palabras JUEGO en una Iicha y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar. a)escriba los sucesoselementales de este experimento aleatorio. tienen todos la misma probabilidad? b)Escriba el suceso obtener una vocal. Solucion a) Los sucesos elementales son: (J), (U), (E), (G), (O) Todos tienen la misma probabilidad ya que las letras aparecen cada una, 'una sola vez. b) A Obtener vocal. A U, E, O} 2. En un sorteo de loteria observamos la ciIra en que termina el premio a)Cual es el espacio Muestral? b)Escriba los sucesos A Menor que 5 ;B Par c)Hallar los sucesos A B ; A B ; A` ; B` ; A` B` Solucion a)E espacio muestral es E:{ } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0b)A:{ } 4 , 3 , 2 , 1 , 0 B:{ } 8 , 6 , 4 , 2 , 0c)A B { } 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 A B { } 4 , 2 , 0 A` { } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 B`{ } 9 , 7 , 5 , 3 , 1 A` B` { } 9 , 7 , 53. Lanzamos tres veces una moneda y anotamos si sale cara o sello. a)Escribir el espacio muestral. b)Escribir el suceso A Salio cara la primera vez. c)Cual es el suceso contrario de A, Escriba los puntos maestrales. d)Escriba el suceso B obtener el mismo valor tres veces. e)Escribir los sucesos B`,. B A v B A Solucin 55 a){ } sss ssc scs scc css ccs ccc E , , , , csc, , , =b) { } css ccs ccc A csc, , , =c) { } sss ssc scs scc sello salio ve: primera la A , , , ' = =d) { } sss ccc B , =e) { } ssc scs scc css ccs B , , , csc, csc, , ={ } sss css ccs ccc B A , csc, , , = { }. ccc B A = 4. En una caja hay una bola blanca y una bola negra, en otra caja hay una bola negra, una bola blanca y una bola roja: se extrae una bola de cada una de las cajas y se anota su color: a)Cual es el espacio muestral. b)Escriba los sucesos: A la segunda bola es roja, B alguna de las bolas es blanca. c)Escriba los sucesos: A`, B`,. B A v B A d)Cual es el suceso contrario de{ } NR BR BN C , , =Solucin: a)S (B, N) (B, B) (B, R) (N, N) (N, B) (N, R)}. b)A (B, R) (N, R)}. c)A` (B, B) (BN) (N, B) (N, N)}; B` (N, N) (N, R)}. . B A (B, R) (N, R) (B, B) (B, N) (N, B)} AB (B, R)}. d) C` (B, B) (N, B) (N, N)} 56 Problemas Propuestos de Experimentos y Espacios Muestrales 1. Determine el espacio muestral del siguiente Experimento, lanzar un dado dos veces, estudiar el Evento: que aparezca el numero uno. 2.Determineelespaciomuestraldelsiguienteexperimento,lanzarunamonedatresveces, estudiar los eventos: que aparezca un sello, que aparezca al menos una cara, que aparezca cara.

3.Determineelespaciomuestraldelsiguienteexperimento,selanzanjuntosunamonedayun dado una sola vez. 4. Considerese el experimento lanzar dos dados una sola vez y observar la suma de sus caras. Se pide: a.-El espacio muestral. b.-Los eventos: A: se observa 2 B: se observa 7 C: se observa una suma menor a 7 D: se observan ambos A y Cc.-Que relacion existe entre los eventos. 4. Los articulos provenientes de una linea de produccion se clasiIican como deIectuosos (D), o no deIectuosos(N). Se observan los articulos y se anota su condicion. Este proceso se continua hasta que se produzca dos (2) articulos deIectuosos consecutivos o se veriIiquen cuatro (04) articulos, cualesquieraqueocurranprimero.Describirunespaciomuestralparaesteexperimento. Determinar el experimento. 5.Consideresecuatro(4)objetos,cona,b,c,d,supongasequeelordenqueseanotanesos objetos representa el resultado de un experimento, sea A el evento 'a esta en el primer lugar y B elevento'bestaenelsegundolugar.Determinartodosloselementosdelespaciomuestraly sus tipos. 6. Un lote Iormado por 15 unidades de las cuales se sabe que contiene tres unidades deIectuosas, es inspeccionado porelconsumidortomando unaa unahasta tresunidades. El loteseaceptaal aparecer una unidad buena. 57 Probabilidad - El Calculo de probabilidades tiene por objeto la construccion y estudio de modelos estadisticos. - La probabilidad es una medida de la posibilidad o certidumbre de la ocurrencia de un suceso Probabilidad - Definicin de Probabilidad como Frecuencia SupongamosunapoblacionhomogeneayIinitaconNelementos,delosquekpresentanla caracteristica A. P(A)k/NoSilapoblacionnoesIinita,repetimoselexperimentouna'cantidadgrandede veces. Frecuencia relativa: fA mA/m mA n de veces que aparecio la caracteristica A m n de veces que se realizo el experimento. La IA tiende a estabilizarse segun crece m. Esta deIinicion presenta problemas: - Cuantas veces ha de repetirse el experimento? - La inIormacion es limitada - El sistema observado puede cambiar en el tiempo deobservacion. Porestasrazoneslaprobabilidadseintrodujoaxiomaticamenteutilizandolaspropiedadesdela Irecuenciarelativa.EsteenIoqueayudaasimpliIicarlosmodelosteoricos,peronooIreceuna guia para calcular la probabilidad. - Idea Intuitiva de Probabilidad. Supongamosquelanzamosunamonedayanotamoslasvecesquesalecara.Despuesde10, 20,30,......,200 lanzamientos obtenemos los resultados:

N de lanza. 10203040 506070 80.................200 N de caras6 111620 273137 43.................101 Ire.relativa 0,6 0,550,530,5 0,54 0,51 0,520,53..............0,50 58 Si repitieramos el experimento obtendriamos resultados muy parecidos. PodemossacarenconclusionquelasIrecuenciasrelativasdelsucesocaratiendena estabilizarse hacia el valor 0,5. EstenumeroalquelaIrecuenciarelativaseacercamascuantomayoreselnumerode pruebasrealizadas,lollamaremosprobabilidaddelsuceso.LaprobabilidaddeunsucesoA,se representara p (A). PortantosepuedeinterpretarlaprobabilidaddeunsucesocomolimitedeIrecuencias relativas. Regla de LAPLACE. "LaprobabilidaddeunsucesoAeselcocienteentreelnumerodecasosIavorablesyel numero de casos posibles." posibles casos de nIavorables casos de ) (nA p =Hay que tener en cuenta que los sucesos elementales tienen que ser igualmente probables (equiprobables). Ejemplos:

1.Si realizamos el siguiente experimento 'Lanzar un Dado Calcular la probabilidad de los eventos: a) A numero par} 2, 4, 6} p (A)3/6 1/2 b) B Obtener primo} 2, 3, 5} p (B) 3/6 1/2 c) C Obtener multiplos de 3} 3, 6}p (C) 2/6 1/3 d) D Obtener multiplo de 5} 5}p (D) 1/6 2.Realizar el experimento siguiente y Calcular laprobabilidad de los eventos: 'Lanzar dos monedasE CC, CS, SS, SC} a) A Obtener dos caras}p(A) 1/4 b) B Obtener dosSellos}p (B) 1/4 c) C Obteneruna cara y un sello} p(C) 2/4 d) D Obtener al menos un sello} p (D) 3/4 59 3.Sea el siguiente Experimento E "Extraccion de una carta de una baraja espaola"} Calcular la probabilidad de los eventos: a) A Obtener un oro}p(A) 10/40 1/4 b) B Obtener un as}p (B) 4/40 1/10 c) C Obtener una sota de espadas}p(C) 1/40 d) D Obtener un as o una sota} p (D) 8/40 1/5 e) E Obtener bastos o espadas}p(E) 20/40 1/2 I) F Obtener una Iigura}p (F) 12/40 3/10 - Definicin axiomtica de probabilidad SellamaprobabilidadaunaleyqueasociaacadasucesoAunnumerorealentre0y1,que llamaremosprobabilidaddeAyrepresentaremosp(A).Laprobabilidaddebecumplirlos siguientes axiomas: ( )( )( ) ( ) ( ) B p + A p = B A p = B A Si - 3.1 = E p - 2.A 0 A p - 1. Propiedades: ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )B A p B p A p B A p v)A 1 A p iv)B p A p B A Si iii)0 p ii)A A p 1 A p i) + = = = 60 Ejemplos: 1. Sea el siguiente experimento: E "Extraer una carta de una baraja" Y los sucesos siguientes: A "Obtener un oro" , B "Obtener un rey" C "Obtener un as de espadas", D "Obtener Iiguras" i) A y B son compatibles, puesB A "Obtener rey de oros" 40134014044010) ( ) ( ) ( ) ( = + = + = B A p B p A p B A p

ii) A y C son incompatibles, pues no se puede obtener un oro y el as de espadas a la vez. ( ) ( ) ( )40114014010= + = + = C p A p C A p iii)A B P (B) 4/40 1/10 p (A) 12/40 3/10 iv)D A "obtener Iigura de oros" 401940340124010) ( ) ( ) ( ) ( = + = + = D A p D p A p D A p2. Sea el experimento siguiente: Lanzamos dos monedas y anotamos el numero de caras que obtenemos. El Espacio muestral es{ } 2 , 1 , 0 = E . a)Tienen los tres sucesos elementales la misma probabilidad. b)Calcular la probabilidad de: 0 caras, 1 cara, 2 caras. Compruebe que su suma es igual a uno. c)Cual es el suceso contrario de 0 caras. d)Cual es la probabilidad del suceso Alguna Cara. Solucin a)No el suceso una cara tiene mas probabilidad que los sucesos o caras y dos caras. b)( )41) 0 ( 0 = = P Caras P ;( )2142) 1 ( 1 = = = P Caras P ;( )41) 2 ( 2 = = P Caras P61 1412141) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( = + + = + + P P Pc)S 0 Caras; S` Al menos una Cara. ( )43411 ) ( 1 = = = Cara Ninguna P Cara una menos Al P PROBABILIDAD CONDICIONADA Cadasucesoaleatorioestaasociadoconunespaciomuestral,suprobabilidaddependedela inIormacion de que dispongamos. Si sabemos que ha ocurrido un suceso B, esta inIormacion modiIica la probabilidad de los demas sucesos VamosaestudiarcomoquedamodiIicadalaprobabilidaddeunsucesocuando disponemos de inIormacion adicional de que se ha presentado otro. Ejemplo. "Lanzar dos monedas", cuyo espacio muestral es: E CC, SS, CS, SC} La probabilidad de CC} es 1/4. Supongamosquesaliounacara,entonceslap(CC)1/2puestoqueelnuevoespacio muestral queda reducido a E CC, CS}. Cuandoelexperimentoseconsideraresultadodevariosexperimentos(comoenelcaso anterior), se habla de experimentos compuestos. Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo denotaremos por p (B/A), a la probabilidad de que ocurra B, habiendo ocurrido A. Se calcula segun la Iormula: ( ) 0 ) () () (= A p siA pB A pABp Se llama probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B, y lo denotaremos por p (A/B), a la probabilidad de que ocurra A, habiendo ocurrido B. Se calcula segun la Iormula: 62 ( ) 0 ) () () (= B p siB pB A pBAp Usando la Iormula de la probabilidad condicionada, obtenemos: ( ) ( )( ) ( )p(B/A) p(A) = p(A/B) p(B) = B) p(Ap(A/B) B p B A pp(B/A) A p B A p = = REGLA DEL PRODUCTO Si A y B son Eventos Independientes P(A/B) P(A)yP (B/A) P (B) entonces: P (AB) P(A) x P (B) Ejemplo: "Lanzarundadoalaire".Calculalaprobabilidaddeobtenerunmultiplode3,sabiendo que ha salido puntuacion par. Sea A "Salir n par" 2, 4,6} p (A) 3/6 1/2 B "Salir multiplo de 3" 3,6}p (B) 2/6 1/3 ( )31622161) () (= = ==A pB A pABpPues B A "Salir un N par multiplo de 3" 6} Sucesos independientes DiremosquedossucesossonindependientessilarealizaciondeunonomodiIicala probabilidad de realizacion del otro. Por tanto A y B son independientes si: P (A/B) p (A) P (B/A) p (B) Y entonces, por la regla del producto: p ( B A )p(A) p (B) En caso contrario se dira que los Sucesos son Dependientes. Tablas de contingencia y diagramas de rbol En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y practico organizar la inIormacion en una tabla de contingencia o en un diagrama de arbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de arbol estan intimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir Iacilmente 63 uno de ellos y a partir de el podemos construir el otro, que nos ayudara en la resolucion del problema. Conversin de una tabla en diagrama de rbol Las tablas de contingencia estan reIeridas a dos caracteristicas que presentan cada una dos o mas sucesos. En el caso de los sucesos A,A - B y B , expresados en Irecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la Iorma adjunta. Dicha tabla adopta la Iorma del diagrama de arbol del dibujo. En este, a cada uno de los sucesos A yAse les ha asociado los sucesos B yB . Sobre las ramas del diagrama de arbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones analogas a: ( )) () (A PA B PABP=Conversin de un diagrama en tabla de contingencia De manera reciproca, dado el diagrama de arbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si mas que utilizar la expresion AA TOTALB P( A B )P(A B )P( B )B P( A B )P(B A )P(B )TOTAL P( A )P(A )164 ( ) ) ( ) ( A PABP A B P = Para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que Iorman la tabla.Ejemplo: Untallersabequeporterminomedioacuden:porlamaana3automovilesconproblemas electricos,8conproblemasmecanicosy3conproblemasdelatoneria,yporlatarde2con problemas electricos, 3 con problemas mecanicos y 1 con problemas de latoneria. a.Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecanicos. c.Calcula la probabilidad de que un automovil con problemas electricos acuda por la maana Solucin: Enlastablasdecontingencia,conlasIrecuenciasabsolutasylosporcentajes, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado. Las respuestas a las interrogantes planteadas basta leerlas en las tabla. Asi: a.El 30 de los automoviles acude al taller por la tarde.b.El porcentaje de vehiculos ingresados con problemas mecanicos es el 55.c.La probabilidad buscada es: P (acuda por la maana/tiene problemas electricos) 3/5 0.6ELCTRICOS MECNICOS LATONERIA TOTALMAANA 3 8 3 14TARDE 2 3 1 6TOTAL 5 11 4 20ELCTRICOSMECNICOSLATONERIATOTAL MAANA0.150.400.150.70 TARDE0.100.150.050.30 TOTAL0.250.550.201.00 65 Ejemplos: 1. Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un numero impar: DeIinimos los sucesos A "sacar 3" y B 1, 3, 5}; entonces, P(A/B) 1/3 puesto que si sabemos que ha salido un numero impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos Iavorables al suceso A solo 1.2. Se lanzan dos dados: a.Cual es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?b.Si la suma de puntos ha sido 7, cual es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres?Solucin: Sean los sucesos A "la suma de los puntos es 7" y B "en alguno de los dados ha salido un tres".Loscasosposiblesallanzardosdadosson36yloscasosIavorablesalsucesoAsonlosseis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); a.(4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A ) 6/36 1/6 En este caso, el suceso B/A es salir en algun dado 3, si la suma ha sido 7. b.Observamos que esta situacion ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P(B/A) 2/6 1/3 Particin de un Espacio Muestral SPara que los eventos A1, A2, A3,..An,Sean una particiondeben cumplir con: a)A1, A2, A3,..An...Ai = 0. b)A1 A2 A3..An = 0. c)A1 A2 A3..An = S. -Formula o Teorema de las probabilidades Totales: S = = + + + = =niinnB A P B PB A P B A P B A P BB A B A B A B13 23 2) ( ) () ( ... .......... ) ( ) ( )) ( ... .......... ) ( ) ( )11(A P P(B)(A B. 66 ) / ( ) ( ........ .......... ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) (2 2 1 1 n nA B p A p A B p A p A B p A p B p + + + = Ejemplos1.EnuncursodeMatematicasel30sonVarones,el45delosvaronesyel20delas hembras son de Carabobo. a)Cual es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea de Carabobo? Solucin: Sea: los eventos siguientes: A1 El estudiante seleccionado es Varon} A2 El estudiante seleccionado es hembra} B El estudiante seleccionado es de Carabobo} P (A1) 0, 3P (A2) 0.7 P (B/A1) 0, 45P (B/A2) 0, 2 P (B) P (B/A1) P (A1) P (B/A2) P (A2) 0, 45.0, 3 0, 2.0, 7 0,275 2Candidatosalapresidenciadedeunclubsocial,compitenporelcontroldelclub,la probabilidad de ganar estos candidatos es 0,7 y 0,3 respectivamente, si el primer candidato gana, la probabilidad de introducir cambios en los estatutos es de0, 8, si gana el segundo candidato esta probabilidad es de 0,4determine la probabilidadde que se introduzca cambios en los estatutos? Solucin: Sea: los eventos siguientes: A1 El Primer candidato gana las elecciones} A2 El segundo candidato gana las elecciones} B El introducen cambios en los estatutos} P (A1) 0, 7P (A2) 0.3 P (B/A1) 0, 8P (B/A2) 0, 4 P (B) P (B/A1) P (A1) P (B/A2) P (A2) 0, 8 x 0, 7 0, 4 x 0, 3 0, 68 3.EnciertaIabricaunarticuloesproducidoportresmaquinas,unasemiautomaticaydos manuales,se sabe que la automatica produce el doble de articulos que las otras dos, y que estas producenlamismacantidaddearticulos(enunperiododeproducciondado).Ademassesabe que el 3 de los articulos producidos por la maquina semiautomatica es deIectuoso y el 4 de lo producido por las otras 2 maquinas tambien lo son. Si se selecciona al azar un articulo producido en la Iabrica calcular: a) la probabilidad de que el articulo seleccionado sea deIectuoso. Solucin. 67 A1 El articulo seleccionado es producido en la maquina semiautomatica} A2 El articulo seleccionado es producido en la 1ra maquina manual} A3 El articulo seleccionado es producido en la 2da maquina manual} B El articulo es deIectuoso} P(A1) 2|P(A2) P(A3)|; P(A2) P(A3) P(A1) P(A2) P(A3) 1 2|P(A2) P(A3)| P(A2) P(A3) 1 6P(A3) 1 P(A3) 1/6 P(A2) 1/6;P(A1) 4/6; P(B/A1) 0,03 ;P(B/A2) 0,04 ; P(B/A3) 0,04 P(B) 0,03 x 0,66 0,04 x 0,16 0,04 x 0,16 0,0326 - Frmula o Teorema de Bayes P (Aj/B) P (Aj) P (B/Aj) /P (B) P (Aj/B) P (Aj) P (B/Aj) / L P (Ai) P (B/Ai) P (Ai) probabilidades a priori P (Aj/B) probabilidades a posteriori Las dos ultimas Iormulas son especialmente utiles cuando se dan las circunstancias - El experimento aleatorio se produce en dos etapas. -Essencilloencontrarunaparticionenelespaciomuestralcorrespondientealosresultadosdel primer experimento. - Son conocidas o se calculan Iacilmente P (Ai) - Son conocidas o se calculan Iacilmente P (B/Ai) Ejemplos:1. En el ejemplo anterior # 1 de probabilidad Total Si el estudiante seleccionado es de Carabobo Cual es la Probabilidad de que sea hembra? P (A2/B) =509 , 0275 , 07 , 0 27 , 0) () ( ) / (2 2= =B PA P A B P 2. En el ejemplo # 3 de probabilidad total Si el articulo seleccionado es deIectuoso, cual es la probabilidad de que halla sido producido por la maquina semiautomatica 68 VARIABLE ALEATORIA DeIinicion de Variable Aleatoria (V.A.): Se dice que hemos deIinido una variable aleatoria para unexperimentoaleatoriocuandohemosasociadounvalornumericoacadaresultadodel experimento. SeaEelespaciomuestralasociadoaunexperimento.Sellamavariablealeatoriaatoda aplicaciondelespaciomuestralEenelconjuntodelosnumerosreales(esdecir,asociaacada elemento de E un numero real). SeutilizanletrasmayusculasX,Y,...paradesignarvariablesaleatorias,ylasrespectivas minusculas (x, y,...) para designar valores concretos de las mismas. Si un experimentocon espaciomuestral E, tiene asociada lavariable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: Cual es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer,por convenio, la siguiente notacion: (Xx)representaelsuceso"lavariablealeatoriaXtomaelvalorx",y p (X x) representa la probabilidad de dicho suceso. (Xx)representaelsuceso"lavariablealeatoriaXtomaunvalormenorax",y p (X x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x. (X x)representaelsuceso"lavariablealeatoriaXtomaunvalormenoroigualax",y p (X x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x. Ejemplos 1. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cadaelemento de su espacio MuestralE ccc, ccs,csc,scc,css, scs, ssc, sss} leasignamosun numero real, el correspondiente al numero de caras (discreta).EstacorrespondenciaqueacabamosdeconstruiresunaIunciondelespaciomuestralEenel conjuntodelosnumerosrealesR.AestaIuncionlallamaremosvariablealeatoriayla denotaremos por X. 69 Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta).Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).Consideremoselexperimentoqueconsisteenelegiralazar100Tomatesdeunaplantaciony pesarlas. La ley que asocia a cada sandia su peso es una variable aleatoria (continua). Ejemplos 1. Sea X, la variable aleatoria que representa el numero de puntos obtenidos al lanzar un dado dos veces. ELanzarundadodosveces;XElnumerodepuntosobtenidosallanzarundadodos veces. S (1,1)(2,1)(3,1)(4,1).......(1,2)(2,1)......(1,3)(2,3).....(1,4)(2,4)....(1,5).......(6,6)} (1,1) 2 ; (1,2) 3;(6,6) 12 2. Sea el experimento lanzar una moneda 3 veces, sea X la variable que representa el numero de caras obtenidas en el experimento. E lanzar una moneda 3 veces. X N de caras obtenidas al lanzar una moneda 3 veces. (C,C,C) 3 ;(C,C,S) 2 ;(C,S,S) 1; (S,S,S) 0 Rango de una Variable Aleatoria (Rx). Es el conjunto de numeros reales que puede tomar la Variable, en el caso de los ejemplos N 1 y 2 anteriores, Tenemos:Rx de 1 2, 3, 4,5,..........12} Rx de 2 0, 1, 2,3} VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Siunavariablealeatoriasolotomavaloresenteros,esdecir,unnumeroIinitodevaloreso inIinitonumerablediremosqueesdiscreta(losdosprimerosejemplos).Siteoricamente,puede tomar todos los valores de un intervalo de R, diremos que es continua (los dos ultimos ejemplos). Funcin de Probabilidad f(x) ConsideremosunaV.A.discretaX,quetomalosvalores x1,x2,...,xn.Supongamosque conocemoslaprobabilidaddequelavariableXtomedichosvalores,esdecir,seconoceque: p(Xx1)p1,p(Xx2)p2,p(Xx3)p3,...,p(Xx1)pn, 70 en general p(X xi) pi

LaIunciondeprobabilidad f(x) delav.a.XeslaIuncionqueasignaacadavalorxidela variable su correspondiente probabilidad pi. 1 . ) ( ) (,...., 2 , 1 , 0 . :1= = = = =niiiP II x X P x f xn i P I R R f

LarepresentaciongraIicamasusualdelaIunciondeprobabilidadesundiagramadebarrasno acumulativo. Funcin de Distribucin F(x) Enmuchasocasionesnonosinteresatantoconocerlaprobabilidaddequelav.a.Xtome exactamenteundeterminadovalorxi,cuantolaprobabilidaddequetomevaloresmenoreso igualesqueunciertovalorxi.Entalescasosesnecesarioacumularlosdistintosvaloresdela Iuncion de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicacion llamada funcin de distribucin. Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a mayor. Se llama Iuncion de distribucion de la variable X, y se simboliza por F(x), a la Iuncion ) ( ) (:x X P x F xR R F = Esdecir,asociaacadavalordelav.a.discretalaprobabilidadacumuladahastaesevalor(la probabilidad de que la v.a. tome valores menores o iguales a xi). Propiedades: F(x) es una probabilidad: 0 _ F(x) _1 F(x) 0 para todo X Xi 71 F(x) 1 para todo X _ Xn Es constante en cada intervalo |Xi, Xi1) Es continua por la derecha de cada punto Es creciente P(a X _ b) F (b)F (a) Podemos expresar la Iuncion de distribucion de la siguiente Iorma: + + + == = nn n ninnx x six x x si P P Px x x si P Px x x si Px x siX Fes on distribuci de funcion suP P P x X P x fX X X Xad probabilid de funcion como tiene X va una Si1.........0) (:........ .......... ) ( ) ( ........ ...........1 1 2 13 2 12 1 12 12 1 SurepresentaciongraIicatieneIormaescalonada,siendolossaltoscoincidentesconlas probabilidades pi, correspondientes a los valores xi de la variable X. 72 Ejercicios. 1.Sea X la Variable Aleatoria que representa el numero de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Determinar: a)Funcion de Probabilidad y su graIica. b)Probabilidad de obtener a lo maximo 2 caras. c)Probabilidad de obtener entre 1 y 3 caras. d)Siseobtienecomominimo1cara,cualeslaprobabilidaddeobtenercomomaximo3 caras?. Solucin E lanzar una moneda 3 veces. ;X N de caras obtenidas Rx 0,1,2,3}; S (c,c,c)(c,s,s)(s,c,s)(c,c,s)(s,s,c)(s,c,c)} a) P(x) X0123 P(x)1/81/83/81/8 GraIica: b)P(X2) === + + = + + =2087838381) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) (XXP P P x P c)P(1X3) === + + = + + =3187818383) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) (XXP P P x P 73 d)[ ] 18787) 1 () 1 3 (13= = =X PX X PXXP 2.Laventadeciertoarticulo(enmilesdeunidades)esunavariablealeatoriaconlasiguiente Iuncion de probabilidad, P(X) ax a ; x 1, 2,3. Determinar: a)La probabilidad de que se vendan mas de mil articulos y no mas de tres mil. b)Probabilidad de que se vendan a lo sumo mil articulos. c)GraIique P(x). Solucin. P (0) a ;P(1) 2a;P(2) 3a ; P(3) 4a == = = + + + =301011 10 1 4 3 2 1 ) (Xa a a a a a x P X0123 P(x)1/101/53/102/5 a)P(1 v 0 ; 0 , 0) () (/ 1 ve vv f = 103 En donde:= 01) ( dv e vv La cantidad de la de la Iuncion alIa se conoce como la Iuncion gamma. La integracion directa nos da que la Iuncion uno igual a uno. La integracion por partes nos da que la Iuncion de alIa menos uno alIa menos uno por la Iuncion alIa menos uno para cualquier intervalo de alIa mayor o igual a uno y que la Iuncion de n sea igual a n menos uno Iactorial, para un numero entero n. En el caso especial cuando alIa es un numero entero, se puede expresar la Iuncion de distribucion de una variable aleatoria tipo gamma como una suma de ciertas variables aleatorias de Poisson. SialIanoesunnumeroentero,esimposibleencontrarlaantiderivadadelintegrandodela expresion: < < < d c 0Donde: dve v dcv ) (/ 1 Y por lo tanto es importante obtener las areas bajo la Iuncion de densidad tipo gamma mediante integracion directa. Haydoscasosespecialesdelasvariablesaleatoriastipogammaquemerececonsideracion particular: Una variable aleatoria tipo gamma que tiene una Iuncion de densidad con parametros alIa igual a v entre dos y beta igual a dos se denomina variable aleatoria ji - cuadrada. Ji - cuadrada se presenta con Irecuencia en la teoria de la estadistica. El parametro v se denomina numero de grados de libertad asociado a la variable aleatoria ji - cuadrada. LaIunciondedensidadgammaparaelcasoespecialv1sedenominaIunciondedensidad exponencial. < > v 0 ; 0 01) (/ ve v f= En cualqu