8/17/2019 Apuntes ED Campos de Dirección

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Campos de dirección

Si se evalúa f  

 de forma sistemática en una red de puntos rectangular en el plano

 xy

y se traza unelemento lineal en cada punto( ), x y

 de la red con pendiente

( ), f x y

, la colección de estos elementos se llamacampo de dirección ocampo de

pendientes de la ecuación diferencial

( ),dy

 f x ydx

=

Elemento lineal

Es un segmento de la recta tangente en un punto específico

1 2 3 4   x 

1

2

3

4

 y

O

Ilustración 1 elemento lineal

Los campos de dirección ayudan a responder preguntas como ser:

• ¿Cómo se comporta la solución en cierto punto?

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• ¿Cómo se comporta una solución cuándo x  → ∞

?

Construcción de un campo de dirección

Haremos uso de una tabla en Excel con los siguientes encabezados

 x   y  dy

dx  y I 

Donde

dy

dx representa la pendiente de la recta tangente por lo que usaremos

tomando en cuenta la ecuación de una recta y mx b= +

 x   y   m  y I 

Ejemplo:

0.2dy

 xy

dx

=

Las columnas que correspondan a x y

 y

 serán valores tomados a conveniencia, la

tercera columna será la aplicación de la fórmula brindada por la ecuación

diferencial y la cuarta columna seráb y mx= −

. A modo de ejemplo:

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Ilustración 2 Captura de pantalla mostrando las fórmulas a usar

Los valores tomados a conveniencia estarán en este caso

3 3 x− < <

 y

3 3 y− < <

 detal manera que con las fórmulas programadas se obtendría

x y m   y I 

-3 -3 1.8 2.4

-3 -2 1.2 1.6

-3 -1 0.6 0.8

-3 0 0 0-3 1 -0.6 -0.8

-3 2 -1.2 -1.6

-3 3 -1.8 -2.4

-2 -3 1.2 -0.6

-2 -2 0.8 -0.4

-2 -1 0.4 -0.2

-2 0 0 0

-2 1 -0.4 0.2

-2 2 -0.8 0.4

-2 3 -1.2 0.6-1 -3 0.6 -2.4

-1 -2 0.4 -1.6

-1 -1 0.2 -0.8

-1 0 0 0

-1 1 -0.2 0.8

-1 2 -0.4 1.6

-1 3 -0.6 2.4

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x y m   y I 

0 -3 0 -3

0 -2 0 -2

0 -1 0 -1

0 0 0 00 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

1 -3 -0.6 -2.4

1 -2 -0.4 -1.6

1 -1 -0.2 -0.8

1 0 0 0

1 1 0.2 0.8

1 2 0.4 1.6

1 3 0.6 2.42 -3 -1.2 -0.6

2 -2 -0.8 -0.4

2 -1 -0.4 -0.2

2 0 0 0

2 1 0.4 0.2

2 2 0.8 0.4

2 3 1.2 0.6

3 -3 -1.8 2.4

3 -2 -1.2 1.6

3 -1 -0.6 0.83 0 0 0

3 1 0.6 -0.8

3 2 1.2 -1.6

3 3 1.8 -2.4

Trace una recta por el punto( , ) x y

 y el y I 

 y remarque un segmento en la vecindad

de

( ), x y

, o mejor dicho trace un elemento lineal , para cada punto de su tabla.

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Ilustración 3 Campo de dirección hecho a mano del ejemplo 1

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Ilustración 4 campo de direcciones hecha por computadora del ejemplo 1

Asignación

Reproduzca el campo de direcciones a mano según se le asigne.

1.

2 2dy  x ydx

= −

2.

20.001 xydy edx

−

=

3.

1dy

 xydx

= −

4.

( ) cosdy

 senx ydx

=

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