8/17/2019 Apuntes ED Ecuaciones Autónomas

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Ecuaciones diferenciales de primer orden autónomasEcuación diferencial ordinaria en la q ue l a v ariable i ndependiente n o aparece d emanera exp lícita es aut ónoma.

( )dy f ydx

=

Puntos críticos

Son los ceros d e l a f unción( ) f y

Si

c

es un cero d e

f

y se s ustituye, ambos l ados d e l a ecu ación son iguales a cer o.

De esta manera( ) y x c=

es u na so lución constante d e l a ecu ación diferencial.

Ejemplo 1

( )dP P a bP dt

= −

Encontremos los p untos críticos de la ED autónoma.

( ) 0 0 a P a bP P P b

− = ⇒ = ∧ =

Los puntos críticos son

0 a

b∧

Analizaremos l os p untos c ríticos d e l a ecu ación diferencial. Para est o requerimosuna t abla d e v ariación de si gno.

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Tabla de variación de signoRecurso que vi sualiza el cambio d e signo que sufre u na función al uctuar susvalores por los ceros de la m isma.

La t abla d e va riación de si gno de( ) 0 P a bP − =

es

Retrato de faseRecurso q ue v isualiza el comportamiento asintótico d e los puntos críticos de una

ED autónoma, auxiliándose de l a tabla d e v ariación de si gno de( ) f y

.

Ya que d icha tabla n os muestra d os opciones de resultados (positivos o negativos)y estos r esultados s e t oman en cuenta en el retrato de f ase d e la si guiente m anera:

Tabla de variación de signo Retrato de fasePositivo ↑

Negativo ↓

Esto sirve p ara cl asicar l os puntos críticos en estables, semiestables o i nestables.

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Ilustración 1 Tomada d el libro d e Z ill, clasicación de l os p untos crí ticos

Retrato de fase Clasicación Descripcióna Estable Las dos echas señalan el punto

b Inestable Las dos echas salen del puntocSemiestable

Las dos echas tienen la m ismadirecciónd

En el ejemplo 1 se t endría e l siguiente retrato de f ase y clasicación:

Ilustración 2 R etrato de f ase d el ejemplo 1

Ejemplo 2Dada la ecuación diferencial de p rimer orden autónoma qu e se p roporciona

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( )2 24dP y ydt

= −

a) Encuentre los puntos críticos y el retrato de fase. b) Clasifique cada punto crítico como estable, inestable o semiestable.

c) Trace las curvas de solución características en las re iones en el plano xy

! ! x− < < y

! ! y− < <. "eterminado por las r#ficas de las soluciones de

equilibrio.

Encontremos los ceros d e l a f unción

( ) ( ) ( )2 2 20 4 2 2 0 2 2 y y y y y y y y= − = − + ⇒ = ∧ = ∧ = −

Construyamos l a t abla d e vari ación de signo

Retrato de f ase

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Para el campo de d irecciones tomaremos u n valor d e l a v ariable independiente en

este ca so$ x =

, recuerde q ue est o no tiene rel evancia y a q ue l a ecu ación diferenciales autónoma

x y m y I

1 -3 -45 421 -2 0 -21 -1 3 -4

1 0 0 01 1 3 -21 2 0 21 3 -45 48

Con estos val ores el campo quedaría com o

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Ilustración 3 Campo co n los va lores c alculados en la t abla

Y el resto de el ementos l ineales s erían paralelos a es tos p or lo que, obtenemos elcampo en la r egión solicitada fácilmente h aciendo u so d e los puntos críticos

Ilustración 4 Campo e n la r egión solicitada

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