Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Prof. Luis Eduardo Falcón Matemáticas Computacionales ITESM...

Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón

Prof. Luis Eduardo Falcón

Matemáticas Computacionales

ITESMCampus Guadalajara


Ari

stót

eles

– E

ucli

des

( IV

a.C

.)

Des

cart

es -

Lei

bniz

– N

ewto

n(

s. X

VII

)

Lob

ache

vski

( s

. XIX

)

Hil

bert

(pr

inci

pios

del

s. X

X )

ConsistenciaDecibilidad Completitud

Boo

le, C

anto

r, F

rege

, De

Mor

gan

y P

eano

(fi

nale

s de

l s. X

IX)

Rus

sell

– W

hite

head

(

1910

–19

13)

Gö d

el (

193

0 )

FormalistasPlatónicos

Constructivistas

Lóg

ica

Com

puta

cion

al (

194

0 –

)

Ze n

ó n d

e E

lea

( V

a. C

. )

No hay contradiccionesDada una proposición debosaber si será demostrableToda proposición V será

axioma o bien deducible


Los terremotos sonconsecuencia de que la Tierra

descansa sobre un mar infinito.

Todo es agua

Thales de Mileto s. VII-VI a.C.


Pitágoras s.VI-V a. C.


Zenón de Eleas.V


Rene Descartes

Issac Newton

Leibniz


Lobachevskyprimera mitad s. XIX

Geometrías No-euclideanas


Segunda mitad del Siglo XIX

G. Boole

G. Cantor

A. De Morgan

G. Peano

D. Hilbert


G. Frege

A. N. Whitehead

B. Russell

Finales s. XIX y principios del s. XX


Página delPrincipia Mathematica

de Whitehead & Russelldonde ya podrá demostrarse

que 1+1=2,después de 360 páginas!!


Gödel Albert Einstein


¿Qué son las Matemáticas?

•Formalistas

•Platónicos

•Constructivistas


Conjunto de teoremas que pueden crearse de cualquier conjunto de axiomas iniciales, manipulando los símbolos implicados de

acuerdo con reglas específicas.

•Formalistas:

En esta visión las matemáticas no tienen porqué dar ninguna explicación o justificación del mundo real,

son un simple juego bajo ciertas reglas: hacer matemáticas por las matemáticas mismas


Aunque a los matemáticos el estudio y éxito de las matemáticas

se justifica por su belleza misma, es común juzgarla por su utilidad, ya que sus conceptos y técnicas son

inmensamente útiles para resolver problemas del mundo real.


Lenguaje universal en el cual a través de un conjunto de axiomas y reglas se descubren los

teoremas matemáticos.

•Platónicos:

En esta visión el mundo es matemático y por lo tanto los conceptos matemáticos ya existen y serán descubiertos,

no inventados, por los matemáticos.


¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la existencia, se adapten de forma tan admirable a los objetos de la realidad?

Albert Einstein


Colección de proposiciones que pueden construirse en un número finito de pasos

deductivos a partir de los números naturales.

•Constructivistas:

En esta visión una fórmula matemática es simplemente la cadena finita de cálculos que se ha seguido para construirla.

Ahora el estatus de cualquier proposición es triple: verdadera, falsa o indecidible.

En este modelo el concepto de infinito no existe.


Conjunto de axiomas, y teoremas que pueden deducirse

lógicamente de los axiomas.

Sistema Matemático


... deducciones lógicas ...

En ellas reside y se mide el éxito de las matemáticas


LÓGICA


¿Qué es entonces la Lógica?

• Determinación metodológica de la verdad o falsedad de sentencias (objetivos) a partir de otras consideradas de antemano verdaderas (axiomas o premisas), utilizando para ello procedimientos válidos (reglas de inferencia) para el contexto de que se trate.


Matemáticas

Discretas ContinuasConjunto

base:

Enteros

Conjunto base:

Reales


Máquina de Turing

Alan Turing, Emil Post, Alonzo Church

Computadora que en principio puede alimentarse con ciertos datos de entrada y que

posee un procesador que tras una serie de pasos finitos puede decidir si una proposición

decidible es verdadera o falsa.

Sin embargo, existen proposiciones cuyo tiempo necesario para decidir su veracidad con la

máquina de Turing es infinito


Operaciones No Computables

Operaciones que una máquina de Turing no puede ejecutar en un tiempo finito.

Si una operación es computable, ello significa que puede construirse un dispositivo material cuyo comportamiento imite a dicha operación: IA

Las leyes de la naturaleza, ¿contienen elementos no computables o cuya computabilidad requiera millones

de años en llevarse a cabo?


Aproximaciones para una definición de LÓGICA:

•Disciplina que estudia los principios formales del conocimiento humano.

Es decir, las formas y las leyes más generales del pensamiento humano considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos.

[Diccionario General de la Lengua Española Vox-Larousse: http://www.diccionarios.com/]

Etimología: del griego logiké: relativo a la razón.


•Disciplina que se aboca al estudio de las proposiciones y su uso en las argumentaciones.

•Ciencia que estudia los principios y criterios de validez de las inferencias y demostraciones.

•Ciencia que estudia los principios formales del razonamiento.

Enciclopedia Británica en línea: http://www.eb.com/


http://www.kubrick2001.com/

Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Prof. Luis Eduardo Falcón Matemáticas Computacionales ITESM...

Documents

Transcript of Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Prof. Luis Eduardo Falcón Matemáticas Computacionales ITESM...