Apuntes Tema 10: Resonancia de circuitos R L C...

Tema 10 –Teoría de Circuitos - 2015- Pag. 1 / 54

Apuntes Tema 10: Resonancia de circuitos RLC

Índice

10 Resonancia ............................................................................................................................ 3

10.1 Respuesta en Frecuencia ........................................................................................................ 3 10.1.1 Introducción ..................................................................................................................... 3 10.1.2 Comportamiento de XL y Xc en función de ω .............................................................. 3 10.1.3 Conexión de fuente de tensión de amplitud constante y frecuencia variable a circuitos RL y RC. .............................................................................................................................. 4 10.1.4 Gráficos Logarítmicos, Diagrama de Bode y Función de transferencia ................... 7

10.1.4.1 Diagrama logarítmicos y de Bode ............................................................................. 7 10.1.4.2 Función de Transferencia ........................................................................................ 11

10.1.5 Preguntas de autoevaluación ....................................................................................... 11

10.2 Resonancia en las distintas áreas ....................................................................................... 12 10.2.1 Introducción ................................................................................................................... 12 10.2.2 Resonancia en mecánica ............................................................................................... 12 10.2.3 Resumen ......................................................................................................................... 13 10.2.4 Preguntas de autoevaluación ....................................................................................... 13

10.3 Resonancia Serie .................................................................................................................... 13 10.3.1 Resonancia en el circuito serie R-L-C ......................................................................... 14 10.3.2 Curva universal de resonancia ..................................................................................... 18 10.3.3 Puntos de media potencia y ancho de banda ............................................................. 22 10.3.4 Aumento de la tensión en resonancia ......................................................................... 24 10.3.5 Energía almacenada y disipada ................................................................................... 25 10.3.6 Resumen ......................................................................................................................... 27 10.3.7 Preguntas de autoevaluación ....................................................................................... 28 10.3.8 Ejercicios propuestos .................................................................................................... 30

10.4 Resonancia Paralelo .............................................................................................................. 33 10.4.1 Resonancia paralelo ...................................................................................................... 33 10.4.2 Resumen ......................................................................................................................... 37 10.4.3 Preguntas de autoevaluación ....................................................................................... 38 10.4.4 Ejercicios propuestos .................................................................................................... 39

10.5 Utilización de la Curva Universal de Resonancia ............................................................ 45 10.5.1 Ejemplos de utilización de la curva universal de resonancia ................................... 45 10.5.2 Resumen ......................................................................................................................... 46 10.5.3 Preguntas de autoevaluación ....................................................................................... 47 10.5.4 Ejercicios propuestos .................................................................................................... 47

10.6 Efecto pelicular de los conductores en altas frecuencias ................................................. 47 10.6.1 Modificaciones del valor de la resistencia en alta frecuencia .................................. 47 10.6.2 Resumen ......................................................................................................................... 49 10.6.3 Preguntas de autoevaluación ....................................................................................... 49

10.7 Aplicación de los circuitos paralelo y serie como filtros .................................................. 49 10.7.1 Circuito resonante como filtro pasa banda ................................................................ 49 10.7.2 Ejemplos de utilización de filtros ................................................................................ 50

10.7.2.1 Amplificador de audio frecuencias de tres vías ..................................................... 50 10.7.2.2 Amplificador del canal vertical de un osciloscopio ............................................... 52 10.7.2.3 Amplificador de audiofrecuencias .......................................................................... 53 10.7.2.4 Filtros pasivos en la alimentación de equipos médicos ....................................... 53

10.7.3 Resumen ......................................................................................................................... 54


10.7.4 Preguntas de autoevaluación ....................................................................................... 54

10.8 bibliografía ............................................................................................................................. 54


10 Resonancia 10.1 Respuesta en Frecuencia 10.1.1 Introducción Hasta ahora hemos analizado circuitos con fuentes senoidales, cuya frecuencia se mantenía constante. En este capítulo analizaremos el efecto de variación de la frecuencia de la fuente sobre las tensiones y corrientes del circuito. Debido al hecho de que las impedancias asociadas a las inductancias y capacidades presentes en el circuito son función de la frecuencia, veremos que la elección cuidadosa de dichos elementos nos permitirá construir circuitos “selectivos en frecuencia”, en cuyas tensiones o corrientes de salida sólo existan componentes de las frecuencias que nos interesan. Numerosos dispositivos que utilizan señales eléctricas, tales como teléfonos, radios, televisores, etc., emplean circuitos selectivos en frecuencia, o “filtros”. El nombre de filtro proviene de la habilidad de dichos circuitos para eliminar (“filtrar”) determinadas señales de entrada, o componentes de la señal de entrada, en base a su frecuencia. Si bien en la realidad es imposible eliminar totalmente las frecuencias seleccionadas, los filtros “atenúan” (o sea, debilitan) la amplitud de las componentes de frecuencias que pertenezcan a una banda determinada. 10.1.2 Comportamiento de XL y Xc en función de ω Un circuito eléctrico con elementos como inductores y capacitores responden de forma distinta según la frecuencia, ya que los módulos de sus reactancias son

/L L c CZ jX j L y Z jX j Cω ω= = = − = − En las Figura 10.1 (a) y (b) se muestran respectivamente este comportamiento.

(a) (b)

Figura 10.1: Reactancia en función de la frecuencia(a) Inductiva (b) Capacitiva.

LX aumenta su módulo con la frecuencia y se va a comportar como un circuito abierto a frecuencia infinita y como cortocircuito a frecuencia cero. En cambio la reactancia capacitiva CX va a comportarse como cortocircuito a frecuencia infinita y como un circuito abierto a frecuencia cero. Como respuesta a la frecuencia se entiende la respuesta de un determinado circuito al variar la frecuencia. Cuando el circuito posee resistencias, inductancias y capacitancias o solo inductancias y


capacitancias aparecerá el fenómeno de resonancia. Este hecho de poder controlar la respuesta según la frecuencia puede ser utilizada para la realización de filtros los cuales rechazan unas frecuencias y dejan pasar otras. 10.1.3 Conexión de fuente de tensión de amplitud constante y

frecuencia variable a circuitos RL y RC. Para analizar la respuesta en frecuencia se puede hacer uso de un divisor de tensión, tal como se ve en la Figura 10.2. Para el caso (a) la tensión de salida Uo en funcion de la entrada Ui es

2

1 2

.o iRU U

R R=

+

En el caso (b) donde está formado por impedancias, la tensión de salida es 2

1 2

.o iZU U

Z Z=

+

En el caso (a) la respuesta no depende de la frecuencia ya que la red solo posee resistencias. En el caso (b) el comportamiento dependerá de los valores de Z1 y Z2.

Figura 10.2: Divisor de tensión (a) con resistencias puras (b)

con impedancias. En la Figura 10.3 pueden verse cuatro redes que actúan en forma diferente como filtros, los dos primeros como filtros pasa altos y los dos segundos como filtros pasa bajos.

Figura 10.3: Divisor de tensión con diferentes tipos de

impedancias. Para el caso a) la tensión de salida es

.o ij LU U

R j Lωω

=+

( )2 2

2 2 2

( ) ( )

o

i

U j L j L R j L j LR LU R j L R j L R j L R L

ω ω ω ω ωω ω ω ω

− += = =

+ + − + 2 2

2 2 2 2 2 2

o

i

U L LR jU R L R L

ω ωω ω

= ++ +

Resulta


2 22 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

o iL LR LU U L R

R L R L R Lω ω ω ωω ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2 2 2

2 2

2 2 2

o o

LRRR LU U arcoTg arcoTg

L LR L

ωω

ω ωω

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞+∠ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

En la Figura 10.4 se observa el modulo y el ángulo de o iU U para una frecuencia variable entre cero y 7 Hz; en el que se ve claramente que la tensión de salida es atenuada en baja frecuencia, por lo que es llamado filtro pasa altos. (R = 1; L = 1 H). Se puede analizar el comportamiento fijando la atención en la inductancia, al bajar la frecuencia, la inductancia se comporta con muy baja impedancia o como cortocircuito a frecuencia cero, por lo que la tensión de salida es muy baja o nula. En altas frecuencia la reactancia inductiva aumenta cayendo la mayor parte de la tensión en la misma.

Figura 10.4: Respuesta en frecuencia para circuito (a) R1=1

Ω, L1 = 1 Hn, Ui = 1 y circuito (b). R2=1 Ω, C2=1 F, Ui = 1.

Para el caso b) la tensión de salida es

1o iRU U

R jwC

=−

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1mod(Vo/Vi)

w

0 1 2 3 4 5 6 70

20

40

60

80

100

w

ang(Vo/Vi)


( ) ( ) ( )

22

2

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

1 1

1 11 1 1 1

1

1 11 1

o

i

CR jRR j R jRU R R CR jRC C wCC R C RU R j RR j R j

C CC C C C

C j CC CR jR C R j CR C R j CR RC R C R R C C

R R

ωωω ω

ω ωω ωω ω ω ω

ω ωω ω ω ω ω ωω ω ω ω

⎛ ⎞ ++ +⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = = = =+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠= = = =

+ + ⎛ ⎞ ⎛+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

⎞⎜ ⎟

⎠

2 2

2 2 2 22 2

1

1 1o

i

CU C R jU C C

R R

ωω

ω ω= +

+ +

Se puede observar que la ecuación que relaciona la tensión de salida con la entrada tiene un forma similar a la del caso (a). Si se grafica el modulo y el ángulo de o iU U (para R = 1; C = 1 F) La grafica es simular a la mostrada en la Figura 10.4, teniendo también un comportamiento como un filtro pasa alto. En este caso, a bajar la frecuencia el capacitor tiene una impedancia muy alta por lo que la mayor parte de la tensión cae entre sus bornes y en la resistencia de salida prácticamente la tensión es nula. A alta frecuencia el capacitor se comporta como un cortocircuito y la tensión de salida en la resistencia es igual a la tensión de entrada. En la Figura 10.3 las redes (c) y (d) son filtros pasa bajos. Para (c) se cumple

o iRU U

R jwL=

+

Donde para baja frecuencia la inductancia tiene baja impedancia cayendo la mayor parte de la tensión en la resistencia R3 que está en la salida. Para alta frecuencia la impedancia de la inductancia es alta, cayendo la mayor parte de la tensión en la misma. A la salida la tensión en la resistencia será muy pequeña. En la Figura 10.5 se muestra la respuesta en frecuencia de la red (c). Para la red (d) la tensión de salida es

1

1o i

jwCU U

R jwC

−=

−

Si graficamos el modulo y el ángulo de o iU U (para R = 1; C = 1 F), nos queda el grafico similar a la Figura 10.5. Cuando la frecuencia es cero, el capacitor se comporta como un circuito abierto y la tensión de salida es igual a la de entrada, a medida que aumenta la frecuencia, la impedancia de este disminuye haciendo disminuir la tensión de salida.


Figura 10.5: Respuesta en frecuencia para circuito (c) R3=1

Ω, L3 = 1 Hn, Ui = 1 y circuito (d). R4=1 Ω, C4=1 F, Ui = 1.

10.1.4 Gráficos Logarítmicos, Diagrama de Bode y Función de transferencia

10.1.4.1 Diagrama logarítmicos y de Bode El diagrama de Bode es un tipo de representación gráfica de funciones complejas (normalmente para lo que se conoce como Funciones de transferencia) dependientes de una variable real (la frecuencia angular o lineal)

( ) ( ) ( )j HH H e ωω ω ∠=

En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la función ( )H ω y por otro la fase ( )H ω∠ . La Figura 10.6 muestra como ejemplo el

diagrama de Bode de un filtro paso baja de primer orden, cuya función de transferencia es

1( )1

c

Hj

ω ωω

=+

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1mod(Vo/Vi)

w

0 1 2 3 4 5 6 7-100

-80

-60

-40

-20

0

w

ang(Vo/Vi)


Figura 10.6: Diagrama de bode de un filtro paso baja de

primer orden. A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es una escala logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas se emplean cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios órdenes de magnitud (como en el ejemplo de la Figura 10.6, en el que la frecuencia varía entre 1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien los datos correspondientes a las frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se representarían en la centésima parte del eje de abscisas. Esto se muestra, como ejemplo, en la Figura 10.7.

Figura 10.7: Módulo de la función de transferencia

empleando una escala lineal en el eje de frecuencias.

Para evitar este problema se usan las escalas logarítmicas, que permiten representar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de magnitud, separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posición del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos

log( 10 ) log( )DN N D= + De este modo, el orden de magnitud (D) establece un desplazamiento, separando una década (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los puntos correspondientes a un mismo orden de magnitud (década) tienen el mismo espacio para ser representados que los pertenecientes a una década


superior. Como ejemplo, en la Figura 10.8 se indica dónde se ubicarían en un eje logarítmico los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

Figura 10.8: Representación de puntos en una escala

logarítmica. Obsérvese que otra particularidad del diagrama de Bode en módulo es que se representa en dB. Es decir, en lugar de representar ( )H w se representa

( )20 log ( )H w . Ésta es otra forma de poder visualizar también funciones de

transferencia que pueden variar en varios órdenes de magnitud. Es importante no confundir representar los datos en escala logarítmica (como se hace con el eje de frecuencias del diagrama de Bode) con representar el logaritmo de los datos, o algo proporcional (como en el eje de ordenadas del diagrama de Bode en módulo). Cuando se usa una escala logarítmica se cambia la posición de los puntos respecto de una escala lineal, pero se siguen etiquetando con su valor (10, 60, 100, 600, … en la Figura 10.8). En las Figura 10.9 se muestra el diagrama con escala lineal de la respuesta en frecuencia los circuitos (a) y (b) correspondientes a la Figura 10.3 para una variación de la frecuencia de ω= 0.1 (10-1) a ω= 1000 (103). Se puede apreciar que no se observan los detalles del comportamiento del circuito. En la Figura 10.10 se muestra el diagrama logarítmico (Bode) para el mismo caso. Se puede observa que se aprecian detalles tanto a baja como a alta frecuencia en la misma gráfica, presentando un comportamiento de un filtro pasa altos. Por último la Figura 10.11 se muestra el diagrama con escala logarítmica (Bode) de la respuesta en frecuencia los circuitos (c) y (d) de la Figura 10.3.


Figura 10.9: Respuesta en frecuencia lineal para circuito (a)

R1=1 Ω, L1 = 1 Hn, Ui = 1 y circuito (b). R2=1 Ω, C2=1 F, Ui = 1.

Figura 10.10: Respuesta en frecuencia logarítmica (Bode)

para circuito (a) R1=1 Ω, L1 = 1 Hn, Ui = 1 y circuito (b). R2=1 Ω, C2=1 F, Ui = 1.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1mod(Vo/Vi)

w

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

20

40

60

80

100

w

ang(Vo/Vi)

10-1 100 101 102 10310-1

100log(mod(VRL))

log(w)

10-1 100 101 102 1030

20

40

60

80

100

log(w)

ang(VRL)


Figura 10.11: Respuesta en frecuencia logarítmico (Bode)

para circuito (c) R3=1 Ω, L3 = 1 Hn, Ui = 1 y circuito (d). R4=1 Ω, C4=1 F, Ui = 1.

10.1.4.2 Función de Transferencia Frecuentemente para los circuitos se definen un puerto de salida, donde se conecta la carga, y un puerto de entrada, donde se conecta la fuente de corriente alterna. La función de transferencia o función de red es el cociente entre una variable circuital (voltaje o corriente) en la salida y a una variable circuital (voltaje o corriente) en la entrada, en el dominio de la frecuencia

)( entrada de Variable)( salida de Variable)(f

ffH =

Entre las funciones de transferencia más comúnmente utilizadas están Función de transferencia de voltaje

)()()(

ent

salfffHV V

V=

Función de transferencia de corriente

)()()(

ent

salfffH I I

I=

Función de transferencia de potencia

)()()(

ent

salfPfPfH P =

Impedancia de transferencia

)()()(

ent

salfffHZ I

V=

Para los circuitos mostrado en Figura 10.3, las ecuaciones obtenidas para la relaciones de o iU U representarían la función de trasferencia de voltajes La función de transferencia de voltaje o de corriente se pueden expresar en diferente forma como

[ ] )( )(e )(e )()( )()(arg ffHfHfHfH fjfHj φφ ∠===

A )( fH se le denomina la ganancia (de voltaje o de corriente), mientras

que a )( fφ se le denomina desplazamiento de fase. 10.1.5 Preguntas de autoevaluación

10-1 100 101 102 10310-3

10-2

10-1

100log(mod(VRL))

log(w)

10-1 100 101 102 103-100

-80

-60

-40

-20

0

log(w)

ang(VRL)


1) ¿Qué sucede con el módulo de la impedancia de un capacitor cuando aumenta la frecuencia? ¿Por qué?

2) ¿Qué sucede con el módulo de la impedancia de un capacitor cuando disminuye la frecuencia? ¿Por qué?

3) ¿Qué sucede con el módulo de la impedancia de una inductancia cuando aumenta la frecuencia? ¿Por qué?

4) ¿Qué sucede con el módulo de la impedancia de un inductancia cuando disminuye la frecuencia? ¿Por qué?

5) ¿Qué se entiende por respuesta en frecuencia de un circuito? ¿Cómo se obtiene experimentalmente?

6) ¿Qué se entiende por respuesta en frecuencia de un circuito? ¿Cómo se obtiene analíticamente?

7) ¿Qué comportamiento frecuencial tiene un filtro pasa bajos realizado con resistencias, inductancias y capacidades? ¿Dé un ejemplo y explique por qué es un filtro pasa bajos?

8) ¿Qué comportamiento frecuencial tiene un filtro pasa altos realizado con resistencias, inductancias y capacidades? ¿Dé un ejemplo y explique por qué es un filtro pasa altos?

9) ¿Cuál es la razón que la respuesta en frecuencia de los circuitos en general se den en diagramas con ejes logarítmicos (o de bode) y no en ejes lineales?

10) ¿Qué es y para qué sirve la función de trasferencia (o función de red) de un circuito?

10.2 Resonancia en las distintas áreas 10.2.1 Introducción El término resonancia se refiere a un conjunto de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o casi periódicos en los que se produce reforzamiento de una oscilación al someter el sistema a oscilaciones de una frecuencia determinada. Más concretamente el término puede referirse a:

• En acústica, la resonancia es el reforzamiento de ciertas amplitudes sonoras como resultado de la coincidencia de ondas similares en frecuencias, es un caso particular de resonancia mecánica.

• En música, la resonancia musical se refiere a los sonidos elementales que acompañan al principal en una nota musical y comunican timbre particular a cada voz o instrumento musical.

• En mecánica, la resonancia mecánica de una estructura o cuerpo es el aumento en la amplitud del movimiento de un sistema debido a la aplicación de fuerza pequeña en fase con el movimiento.

• En electrónica, la resonancia eléctrica es el fenómeno que se produce al coincidir la frecuencia propia de un circuito con la frecuencia de una excitación externa.

Existen otros contextos en donde se refiere al término de resonancia como la resonancia magnética nuclear (tecnología utilizada tanto en química como en medicina), la resonancia orbital (se produce cuando los periodos de traslación o de rotación de dos o más cuerpos guardan entre ellos una relación expresada fracciones de números enteros), en química (la resonancia está relacionada con los sistema de enlace entre los átomos de una molécula que, debido a la compleja distribución de sus electrones, obtiene una mayor estabilidad que con un enlace simple). 10.2.2 Resonancia en mecánica La resonancia, en mecánica, es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica,


cuyo periodo de vibración se acerca al periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teoría, si se consiguiera que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia natural del sistema se produciría una oscilación resultante con una amplitud indeterminada. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse. Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste en tomar dos diapasones capaces de emitir un sonido de la misma frecuencia y colocados próximos el uno del otro, cuando hacemos vibrar uno, el otro emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo. La caída del viejo puente Tacoma Narrows (Figura 10.12) ha sido popularizado en los libros de física como un ejemplo clásico de resonancia; sin embargo la descripción extendida no es del todo correcta. Este puente falló debido a la acción de unas fuerzas conocidas en el campo de la aerodinámica de puentes como fuerzas autoexcitadas, por un fenómeno conocido como fluttering o flameo las cuales empujando en forma periódica provocaron el aumento del movimiento del puente. Robert H. Scanlan, padre de la aerodinámica de puentes, escribió un artículo criticando este malentendido. Ningún puente se termina si no pasa la prueba del "tubo de viento".

Figura 10.12: Caída del viejo puente Tacoma Narrows

(ejemplo clásico de resonancia). 10.2.3 Resumen El término resonancia se refiere a un conjunto de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o casi periódicos en los que se produce reforzamiento de una oscilación al someter el sistema a oscilaciones de una frecuencia determinada. 10.2.4 Preguntas de autoevaluación

11) ¿A qué se refiere el término resonancia y en qué áreas se utiliza el mismo?

10.3 Resonancia Serie


10.3.1 Resonancia en el circuito serie R-L-C El estudio de los circuitos serie en corriente alterna, en función de la frecuencia, presenta características que deben ser analizadas muy cuidadosamente para su mejor comprensión y posterior aplicaciones. En la Figura 10.13 se expone el circuito y su expresión compleja. Para este circuito se obtiene: la expresión compleja de la impedancia:

( - )( -1/ )

L CZ R j X XR j L Cω ω

= += +

Figura 10.13: Circuito R-L-C serie.

En él, el valor de la resistencia puede incluir: la propia de la inductancia (resistencia del alambre con que está construida), las pérdidas del capacitor y finalmente otras que posea el circuito. Analizando la expresión y el diagrama vectorial (Figura 10.14), es lógico suponer que la parte imaginaria podrá en alguna condición, valer cero. Este es el caso para el cual:

XL=XC Debe observarse que ambas reactancias dependen exclusivamente de la frecuencia ya que L y C son constantes. Por ello, para un determinado valor de la frecuencia al que se denomina fo, se producirá la igualdad aludida y se encuentra que ambas reactancias son iguales; se anulan y el circuito se hace resistivo puro para fo. Se denomina entonces RESONANTE SERIE O DE CORRIENTE. Este fenómeno es similar al que se produce en mecánica, combinando una masa y un resorte. La primera consecuencia que se observa es que la impedancia se hace igual a la resistencia y es el menor valor que adquiere. La corriente circulante entonces se hace máxima y por ello se la denomina también resonancia de corriente. El lector debe notar como se demostrará posteriormente, que las tensiones desarrolladas en ambos componentes reactivos quedan también en oposición y sus valores pueden tomar valores muy altos (mayores a la tensión del generador), lo que los hace peligrosos para las mismas reactancias y para el operador.

Figura 10.14: Diagrama vectorial en resonancia del circuito

serie. Recordando la impedancia escrita en la Figura 10.14, cuando L CX X= , la impedancia: Z R= . El valor de Z (módulo) también se puede obtener del diagrama vectorial:

XC

X L

RTi

RC

RL

XL = XC

R L

C

IE

VL VC VR


2 2( )L CZ R X X= + − Por otro lado, la frecuencia a la cual se produce la resonancia se obtiene de:

122

L CX X

fLfC

ππ

=

=

luego 1

2f

LCπ=

También se debe razonar que para frecuencias menores y mayores a la frecuencia de resonancia, los que intervienen activamente son los componentes reactivos. A frecuencias mayores, interviene predominantemente la reactancia inductiva ya que la misma es directamente proporcional a la frecuencia; y a frecuencias menores, la capacitiva, ya que ella es inversamente proporcional a la misma. El estudio detallado de esta situación se puede realizar desarrollando un diagrama transformado de las componentes que intervienen, en función de la frecuencia, Figura 10.15. Para ello se recordará nuevamente la impedancia en forma compleja:

Z = R + j (XL − XC) Para la realización de este diagrama, se utilizará el plano complejo para las componentes imaginarias (reactancias) y el plano real para la frecuencia y resistencia.

Figura 10.15: Diagrama de las componentes que intervienen

en la resonancia serie en función de la frecuencia.

( - ) ( 1/ )L CZ R j X X R j L Cω ω= + = + − (1) De la expresión anterior se grafica:

R= F(f) = constante Luego resulta una recta paralela a la frecuencia;

f

XL=ωL

⎢Z ⎢= 22 XR +

R

fo

0Hz

X=(X

L − X

C)

V

XC= − ωC1

−XC= ωC1

°

°R

L

C

Frecuencia


XL= 2πf L Dado que 2πL=Cte, luego la XL = Cte f, resulta en una recta que pasa por el origen en el plano positivo imaginario; La reactancia capacitiva es

XC = 1/2πfC Dado que 1/2πC =Cte, luego la XC =Cte/f, resultando una hipérbola en el plano negativo imaginario. Finalmente, el módulo de Z es:

2 2( - )L CZ R X X= +

Curva representada como una V invertida. En la Figura 10.15 se han escrito las expresiones que permiten graficar independientemente cada una de las componentes de la impedancia (1). En el eje del plano real, se dibuja en primer lugar la resistencia en función de la frecuencia. Se supone que no varía con ella y en consecuencia da una recta paralela al eje de la frecuencia. Para la XL se genera una recta que pasa por el origen en el plano complejo, siendo el valor de la reactancia cero para frecuencia 0 e ∝ para frecuencia ∝ ; después se hace: XC se ha generando una hipérbola, indicando que la reactancia capacitiva es cero para frecuencia ∝ e ∝ para frecuencia 0. Luego se realiza la suma de XL+XC, en la cual se observa que cuando XL=XC corta al eje de la frecuencia, siendo ese valor justamente la frecuencia de resonancia fo. Finalmente, el módulo de la suma vectorial de la resistencia con las reactancias da el valor de Z. La misma tiene la forma de una V invertida, cuyo valor mínimo es el de la resistencia, y se ha indicado con la letra V. Volviendo a la Figura 10.15, en ella se puede advertir que el vértice de la V, punto marcado con A, tiene mucha información, pero que en este diagrama no se observa. Por ello es más conveniente representar el módulo de la impedancia en función del logaritmo de la frecuencia⎟Z⎢. Así entonces se puede graficar el módulo de Z como una campana de Gauss simétrica, Figura 10.16 (a), cuyo valor mínimo es la resistencia del circuito.

Figura 10.16: Curva de resonancia en función del logaritmo

de la frecuencia (a) Impedancia (b) Admitancia (c) Fase.

No obstante ello, también es relevante representar el módulo de la admitancia en función del logaritmo de la frecuencia

⎟ Y ⎢ = 1 / ⎟ Z ⎢ lo que también se ha esquematizado en la Figura 10.16 (b). Esta nueva transformación permite verificar con mayor claridad la incidencia de R en el

R pequeña

log ffo

Z1

Y =

(b)

Z

log fo

R grande

(a)

R = 0

fo 0Hz

+90º

Sin pérdida

Mucha pérdida

−90º

log f

−90º(c)


circuito. Por ello, para un valor de R cero, la admitancia se hace infinita y la campana de Gauss que ahora la representa es muy angosta; en cambio para mayores valores de R el gráfico se achata. Una consecuencia importante y que permite observarla, es que si varía la resistencia como por ejemplo, si su valor es cero, la impedancia también es cero y la admitancia se hace infinita, mientras que ambas campanas se hacen más esbeltas, visto en las mismas Figura 10.16 (a) y (b) Por otro lado, también se ha dibujado como varía el ángulo de fase con el logaritmo de la frecuencia para cada componente reactivo. Por ello, para el capacitor el ángulo de fase para frecuencia cero, es de +90º, ya que la corriente se adelanta ese valor en el capacitor, mientras que en la inductancia, se atrasa −90º con respecto a la tensión para frecuencia infinita. En resonancia, el circuito se hace resistivo puro y el ángulo es cero. Todo esto queda representado en el diagrama de la Figura 10.16 (c). En ella se ha dibujado la variación del ángulo de fase con la frecuencia para tres casos a saber: sin pérdida, ya que la resistencia asociada a la inductancia es cero; el otro extremo es de mucha pérdida para R grande y entre ellos se ha representado un valor intermedio. Su significado es el siguiente: si las resistencias asociadas al circuito son pequeñas, la variación del ángulo de fase cambia muy rápidamente, recordando que en resonancia es cero. En caso de que las resistencias asociadas son muy grandes, la variación del ángulo de fase es muy lenta. Las pérdidas del circuito significa la potencia disipada en R. Lógicamente cuando R=0, la potencia es nula. Otra consecuencia a tener en cuenta, es que la corriente varía en forma proporcional a la admitancia. Esto es fácilmente demostrable: el generador de c.a es una fuente de tensión constante y de frecuencia variable, por ello la corriente que circula en el circuito es:

I = E / ⎟ Z ⎢ = E ⎟ Y ⎢ Dado que E es constante, la corriente es una función directa de la admitancia o inversa de la impedancia. Por ello la curva dibujada de la admitancia en la Figura 10.16 (b) lo es también de la corriente a menos de una constante. Después de haber introducido las aclaraciones anteriores, para que el lector interprete mejor las aplicaciones de estos circuitos, se continuará ahora con el análisis del circuito serie. Así entonces, para que se manifieste en forma contundente la incidencia de la resistencia en el circuito serie (o paralelo), se introducirá un nuevo parámetro denominado: factor de mérito o Q del circuito (también llamado factor de calidad o factor de selectividad). Su definición como factor de mérito no es muy feliz pero aún en la actualidad se sigue arrastrando. Matemáticamente se define entonces que

LXQR

=

Se observa entonces que Q es un número adimensional, ya XL y R son elementos resistivos cuya dimensión es el Ohm. Este número indica que mientras mayor sea el valor de R, el Q es cada vez menor. Para el caso de R = 0 el valor de Q = ∝. Como se puede advertir, el Q está ligado a la impedancia y consecuentemente a la admitancia del circuito y por consiguiente a la esbeltez de la campana. Otro factor a tener en cuenta, es el ancho de banda o banda pasante del circuito, quien está íntimamente relacionado con el Q. Este nuevo concepto y que es de mucha trascendencia, se introducirá en el estudio de la curva universal de


resonancia para que el lector pueda interpretar sin ningún error las propiedades de estos circuitos de amplia utilización en electrónica, particularmente en comunicaciones y en innumerables aplicaciones en las cuales es necesario anular o dejar pasar determinadas frecuencias o bandas de ellas; que en realidad son filtros de frecuencia. A modo de un primer ejemplo, en la Figura 10.17 se esquematiza una aplicación de un circuito serie en resonancia.

Figura 10.17: Circuito resonante serie y curva en función del

logaritmo de la frecuencia. El generador E es quien produce una tensión con diferentes frecuencias, y está conectado a través de un circuito serie a la carga. Como el lector intuirá, la impedancia del circuito será mínima para cierta frecuencia, la de resonancia definida por los componentes L y C, y para ella la carga recibirá la máxima corriente limitada exclusivamente por R. Por debajo y por encima de resonancia, la impedancia aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima. Esta configuración entonces, define un FILTRO SELECTIVO (PASABANDA) para ciertas frecuencias que interesan que lleguen a la carga. Este tipo de filtros se denominan pasivos. Otra duda que ahora se manifiesta, es si es solamente selectivo a una frecuencia o a una banda de frecuencias. La relación con la resistencia del circuito permite suponer que si ella es muy pequeña, la curva de la admitancia es muy estrecha, curva a, y por ello solo pasará a la carga una pequeña gama de frecuencias alrededor de la frecuencia de resonancia, para las cuales la corriente tiene un valor apreciable. Fuera de esa gama, la corriente que llegará a la carga será mínima. No obstante ello, si la respuesta del circuito se ajusta a la curva b, la banda de frecuencias que llega a la carga será mayor pero con una corriente menor. Lo anterior hace que se necesite definir algún parámetro que tenga que ver con las frecuencias seleccionadas. Este parámetro ya esbozado, se denomina ancho de banda del circuito, y su definición será objeto de una discusión posterior. 10.3.2 Curva universal de resonancia Recordando lo escrito en párrafos anteriores, respecto a la familia de curvas, será posible desarrollar una sola gráfica que permita aplicarla a cualquier circuito, independientemente de su frecuencia de resonancia y de los valores de R?. Si, esto es posible. Con algunas definiciones y simplificaciones, se podrá llegar a construir una única curva universal de resonancia. Además se podrán definir otros parámetros de mucha importancia. Para ello, observando nuevamente la Figura 10.16, cada uno de los gráficos responde a un determinado valor de resistencia para la misma frecuencia de resonancia. Para obtener una sola curva que

Carga

R

CL

E f

Log f fo

I

b

a


contemple cualquier frecuencia, y para cualquier valor de impedancia, será necesario independizarse de la frecuencia. Ello permitirá trabajar en forma mucho más cómoda en el diseño y aplicación de estos circuitos y además obtener otras variables importantes. Así entonces se realizarán una serie de transformaciones matemáticas para obtener la curva universal de resonancia. Así entonces, recordando la expresión de la impedancia compleja:

( - ) ( 1/ )L CZ R j X X R j L Cω ω= + = + − (1) además en resonancia

0 01/L Cω ω= y despejando de ella:

2 2

1 1o o

C LL Cω ω

= ⇒ = (2)

y por otro lado 1o

oo

LQR CRω

ω= = (3)

y además o o oQ R Lω= (4)

en la que se observa que R varía con la frecuencia, siendo Ro la resistencia en resonancia. Para introducirlo en las expresiones anteriores será necesario en primer lugar, definir un parámetro que se denomina: Desintonía fraccional:

1 0

0

ω ωδω−

= (5)

en la cual 1 12 fω π= y 02o fω π= , por lo que también se puede escribir

1 0

0

f ff

δ −=

El mismo está indicando que el apartamiento de la frecuencia de resonancia, en más y menos, es el efecto de desintonizar al circuito y que dividido por la frecuencia de resonancia, permite obtener la desintonía fraccional. Para que el lector relacione este parámetro con un circuito resonante, recuerde la búsqueda en un receptor de radio de una estación de radiodifusión. El efecto de indagar en el dial del receptor la estación buscada, es la sintonía de la misma, lográndose ello cuando la señal recibida es perfectamente legible. La variación hacia ambos lados de la frecuencia sintonizada, es la sintonización o desintonización de la frecuencia de resonancia elegida. Así entonces, continuando con las manipulaciones matemáticas, una nueva transformación necesaria es de (5):

1 0 01 1

0 0 0 0

1ω ω ωω ωδω ω ω ω−

= = − = −

de dónde 1

0

1 ωδω

+ = (6)

Interpretada la desintonía como se llegó a (6), se podrá ahora realizar una serie de pasos algebraicos necesarios. Si en la expresión (1) se reemplaza C por la expresión (2), queda la impedancia así:


20

20

( 1/ )1

( / )

Z R j L C

CL

R j L L

ω ω

ω

ω ω ω

= + −

=

= + −

y sacando factor común 0Lω queda:

00

0

Z R j L ωωωω ω⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

y reemplazando ωoL de: QoRo= ωoL quedará:

00 0

0

Z R jQ R ωωω ω⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7)

Llegados a este punto, será necesario verificar si en resonancia, la expresión original (1): Z = R +j(ωL- 1/ωC) de la impedancia, ha variado con respecto a la obtenida anteriormente. Para ello, en resonancia, ω es igual a ωo, por lo que la expresión (7) queda igual a la originaria (1): Z=R; verificándose que se sigue cumpliendo que en resonancia, la impedancia es igual a R. Esto indica que los cambios introducidos no han cambiado la expresión original de Z. Para seguir avanzando, se tendrán que realizar otras modificaciones a lo obtenido en (7); Así entonces, si se saca factor común Ro queda:

00 0

0 0

RZ R jQR

ωωω ω

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (8)

y reemplazando por (6) 1

0

1 ωδω

+ = , se obtiene:

( ) ( )0 00

111

RZ R jQR

δδ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Sacando factor común en el denominador 1+δ, quedará finalmente:

( )( ) ( )

2 2

0 0 0 00 0

1 1 2 1 11 1

R RZ R jQ R jQR R

δ δ δδ δ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − + + −⎢ ⎥= + = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

0 00

21

RZ R jQR

δ δδ

⎡ ⎤⎛ ⎞+= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Para valores muy próximos a la frecuencia de resonancia, δ se hace muy pequeña, por lo que se puede despreciar sin mucho error, en realidad, para valores de Qo mayores a 10 o mejor aún a 20. Por lo tanto, la expresión de la impedancia en resonancia queda simplificada de la siguiente manera; ( )1 1δ+ → 2 0δ →

0 00

2RZ R j QR

δ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦

(9)

En ésta se puede apreciar que se ha supuesto que la resistencia varía con la frecuencia (Ro). En esta instancia, conviene hacer dos consideraciones: Primero, si la resistencia no varía con la frecuencia, R se hace igual a Ro y la (9) queda:


[ ]01 2Z R j Q δ= + (10)

Válida para bajas frecuencias. Si ahora R varía con la frecuencia (segunda consideración), se puede hacer que R/Ro sea proporcional a las variaciones de ω/ωo, en otras palabras:

0 0

1RR

ω δω

= = +

y reemplazando en la (9) queda: [ ]01 2Z R j Qδ δ= + +

y además siendo δ muy pequeño, quedará finalmente: [ ]0 01 2Z R j Q δ= + (11)

Válida para bajas frecuencias. Como se podrá notar, las dos expresiones de la impedancia son iguales, teniendo en cuenta la consideración con la frecuencia. Nuevamente, para saber si ha cambiado la Z original en resonancia, se observa que al ser δ = 0, queda Z = R, para baja frecuencia y Z = Ro para alta frecuencia. Como se puede advertir, la (10) y la (11) representan a la impedancia ya no como una función de la frecuencia, sino en función de la desintonía δ. Para finalmente, construir la curva universal de resonancia, se deberá reformular la (11), en valores de admitancia, por ello se escribe:

1/Y Z= por lo que entonces:

[ ]0 0

11 2

YR j Q δ

=+

(12)

y como siendo además 0 01/Y R= , ambas en resonancia, la expresión (12) queda:

[ ]0

01 2YYj Q δ

=+

por lo que:

[ ]0 0

11 2

YY j Q δ

=+

(13).

En esta última expresión, 0Y Y es la admitancia normalizada, entendiéndose

por ello que en resonancia, el valor de ella es: 0 1Y Y = ; para trabajar con la (13), la debemos racionalizar, por lo que:

1 (1 2 )(1 2 ) (1 2 )

o

o o o

Y j QY j Q j Q

δδ δ

−=

+ −

quedando:

2

(1- 2 )[1 (2 ) ]

o

o o

Y j QY Q

δδ

=+

Esta última expresión tiene una parte real y una imaginaria que se observan a continuación:

2

1[1 (2 ) ]o o

GY Q δ

=+

: Conductancia normalizada (Parte real Y)

2

( 2 )[1 (2 ) ]

o

o o

B QY Q

δδ

−=

+: Susceptancia normalizada (Parte compleja de Y).


Por otro lado, el módulo de la admitancia normalizada es: 2

2

[1 (2 ) ][1 (2 ) ]

o

o o

Y QY Q

δδ

+=

+ (14)

con las componentes real e imaginarias definidas de la admitancia normalizada, se construye la curva universal de resonancia, que da como resultado la Figura 10.18.

Figura 10.18: Curva Universal de Resonancia.

En ella se ha desplegado en el eje X, una nueva variable que se denomina: desintonía fraccional relativa. Se la identifica con la letra a y es igual al producto de Qoδ, o sea Qo por la desintonía fraccional δ, ya definida anteriormente. Ambos son adimensionales e independientes de la frecuencia. Asimismo, en el eje Y se grafican las componentes real e imaginaria relativas normalizadas: G/Yo y B/Yo respectivamente, como así también la suma de ambas, que da como resultado la admitancia relativa Y/Yo; también se ha colocado en el eje Y la impedancia relativa normalizada Z/Zo, dado que este mismo diagrama se utiliza en los circuitos paralelo de dos ramas. De esta forma, se ha logrado construir una sola curva para cualquier caso de circuitos serie. Esta se denomina curva universal de resonancia y como se verá posteriormente, servirá también para resonancia paralelo. 10.3.3 Puntos de media potencia y ancho de banda Analizando la Figura 10.18, se puede observar en ella que se distinguen dos puntos singulares a saber: para Qoδ =± 0,5, se produce la igualdad de la parte real con la imaginaria. En otras palabras, la susceptancias se hacen iguales a la resistencia del circuito, con lo que el ángulo de fase se hace ±45º. Esta condición se refleja en la Figura 10.19. Téngase en cuenta

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0‐1 ‐2 1 2

Debajo de resonancia Arriba de resonancia

Adm

itancia relativa o im

pedancia: Y/Yo o Z/Zo

Componentereal

Componenteimaginaria

Total

Desintonización fraccional relativa

a= Qoδ a

Frecuencia


que la admitancia relativa, para estos puntos vale 0,7071. Recordando conceptos anteriores, se dijo que la corriente circulante en el circuito es directamente proporcional a la admitancia, ya que I=VY y como V es una fuente de tensión constante de alterna, I depende de la admitancia Y. Con respecto a la normalizada Y/Yo, la corriente, que tendrá su valor máximo para resonancia, ya que Y/Yo=1, será proporcional a 0,7071 para los puntos ±Qoδ=0,5. Así entonces, la potencia para resonancia, es máxima, e igual a RI2 (la corriente depende solo de R) para los puntos en los cuales BL=BC, la misma variará en proporción a 0,7; por ello entonces la potencia será igual a: R (0,7I)2; y dado que 0,72 es igual a 0,5, la misma valdrá la mitad. Por esto, los puntos que definen esta condición se denominan: puntos de media potencia, y significa que la potencia cae a la mitad de la correspondiente a resonancia en los puntos Qoδ = ±1/2.

Figura 10.19: Curva de resonancia indicando los puntos de

media potencia. Se pueden verificar los valores obtenidos, reemplazando en la expresión (14) por el valor de

2 2o

0 2 2o o

Y [1 (2Q δ) ] (1 1 ) 2 0.707Y [1 (2Q δ) ] (1 1 ) 2

Q δ+ +

± = = = = =+ +

el lector debe recordar cuando se ejemplificó un circuito con elementos reactivos, en la Figura 10.17, se hizo referencia al ancho de banda y se expresó que su discusión será posterior. Este es el momento, y para

Qoδ2= ‐1/2 Qoδ

Puntos de media

potencia

• •

Admitancia Y

Componente real G

Componente imaginaria B

ωo

Respu

esta

Frecuencia ω2 ω1

Qo

1δ

ω

ω - ω

o

21==

+Qoδ1=+1/2


introducirse en el tema, se encuentra que los puntos de media potencia definen al ancho de banda haciendo las consideraciones siguientes y teniendo en cuenta la Figura 10.19:

0 2 1/ 2Q δ = − y 0 1 1/ 2Q δ = por lo que:

0 1

0 2

0 1 0 2

1/ 21/ 2

- 1

QQ

Q Q

δδ

δ δ

+ = +−

= −=

( )0 1 2- 1Q δ δ = (15)

En otras palabras, el recorrido desde Qoδ2 hasta +Qoδ1 en el gráfico, vale 1; ahora recordando el valor de δ:

o o

o o

ω ω f - fω f

δ −= =

Por lo que para los valores de: 1 2

1 1- -o o

o o

f f f fyf f

δ δ= =

que de (15) resulta: ( )0 1 2

1 20

1 20

1 20

1

( - ) ( ) 1

( ) 1

( ) 1

o o

o o

o o

o

o

Q

f f f fQf f

f f f fQf

f fQf

δ δ− =

⎛ ⎞− −− =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞− − +

=⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−

=⎜ ⎟⎝ ⎠

y despejando: 0

1 20

fBW f fQ

== −

Siendo entonces f1−f2 el ancho de banda del circuito, que en inglés se abrevia: BW. Este concepto está indicando que cuando la potencia transferida por el circuito serie a la carga cae en el 50% de la potencia total (100%), las frecuencias comprendidas en esa banda son las que pasan a la carga. Observe la relación del Qo con el ancho de banda, encontrándose que a mayor Qo, el ancho de banda es menor y viceversa. La importancia del mismo se manifiesta en que para diversas aplicaciones, el circuito debe ser más selectivo (menor ancho de banda), receptores de radio y en otros casos se necesita menor selectividad, receptores de televisión. 10.3.4 Aumento de la tensión en resonancia La definición del Q propuesta anteriormente, puede ser también delimitado de otras formas. Una de ellas, es la tensión que alcanzarán los elementos reactivos en resonancia, ya que al ser iguales y contrarias, se anulan; pero pueden alcanzar valores importantes y que dependerán de Qo. Para este análisis, se dibuja nuevamente el circuito serie en resonancia, Figura 10.20 y en él se aplica Kirchoff en forma vectorial:


R L CE V V V= + + y en resonancia: L CV V= , por lo que RE V= ; además se tiene:

RV RI= luego

RVIR

=

0L LV X I= = 0C CV X I= Reemplazando en las caídas VL y VC, por la corriente, se tiene:

0R

L LVV XR

=

Pero 0oLXQ

R= , luego:

0 0L RV Q V Q E= = con el mismo razonamiento se obtiene para

0 0C RV Q V Q E= = Indicando que en resonancia, las tensiones desarrolladas tanto en la bobina como en el capacitor, alcanza Qo veces la tensión del generador. Como el lector sacará en conclusión, los elementos reactivos amplifican la tensión. Se debe recordar que ambas tensiones son vectoriales; y esta situación presupone que tanto el capacitor como la inductancia estarán sometidos a altas tensiones con Q altos, y por ello en los circuitos diseñados para trabajar en estas condiciones, se deben elegir cuidadosamente los componentes reactivos.

Figura 10.20: Tensiones en el circuito resonante serie.

10.3.5 Energía almacenada y disipada Otra definición de Q, que es quizás la más acertada, es la correspondiente en resonancia a

2 2

2

(1/ 2) (1/ 2)2 2

Energía almacenada Li CvQEnergía disipada Ri T

π π+= = (15)

Notar, que la energía almacenada es la suma correspondiente a L y C, mientras que la disipada se produce solamente en la resistencia en forma de calor, y responde a la potencia por el tiempo. En la expresión anterior, T es el período de la c.a. Para demostrar esta nueva definición de Q, en primer lugar se debe determinar el valor asumido por la energía almacenada por L y por C. Para ello la corriente en un circuito serie es

( )pici I sen tω= , y siendo la energía en el campo magnético en cada instante:

2½LW Li= , entonces:

R L

C

IE

VL VC VR


2 2 ½ ( )picLW LI sen tω=

Por otro lado la tensión en el capacitor se obtiene integrando la corriente ( )pici I sen tω= ; por lo que:

0 0

1 ( )t t

picpicC i i i

Iv idt I sen t dtC C

ω= =∫ ∫

cos( )picC

Iv tC

ωω

= −

y por ello entonces en el capacitor, la energía del campo eléctrico es: 2 2

2 2 22 2 2½ ½ cos ( ) ½ cos ( )pic pic

C CI IW Cv C t t

C Cω ω

ω ω= = =

22

2½ cos ( )picC

IW tC

ωω

=

, en resonancia, la energía total almacenada será:

22

2 22½ ( ) ½ cos ( )pic

picL CIW W I L sen t t

Cω ω

ω+ = +

2 2 20 02

0

1½ ( ) cos ( )picL CW W I Lsen t tC

ω ωω

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (16)

La que se representa gráficamente en la Figura 10.21 y como el lector puede observar, es constante (zona rayada). Por otro lado, en resonancia:

0 0 0 0 2 1/ 2X L X C f L f Cπ π= = = , de dónde se cumple para la resonancia

2 20 01/ 1/L C C Lω ω= ⇒ = (17)

y reemplazando en la (16) se tiene:

( )

2

2

2 20 02 2

0 0

2 20 0

1½ ( ) ½ cos ( )(1/ )

½ ( ) cos ( )

picL C

picL C

W W I Lsen t tL

W W I Lsen t L t

ω ωω ω

ω ω

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ = +

siendo: 2 2

0 0( ) cos ( ) 1sen t tω ω+ = por lo que queda:

2½L C picW W LI+ =

por otro lado, para obtener la energía disipada en la resistencia se obtiene la potencia como

22 2½

2pic

ef picpic

II R R I R

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Esta es la potencia promedio y la energía es la potencia promedio por el tiempo; si la frecuencia es fo, el tiempo por un ciclo será:

0 1/T f= , por lo tanto, la energía disipada en el circuito resonante durante el ciclo es:

20½ /R picW I R f=

Ahora aplicando la (15):


2 21/2 1 / 2

2

2

20

2

20

0

Energía almacenada Li Cv2π 2πEnergía disipada Ri T

= 2π

½

½ /

½= 2π

½ /

2π=

L C

R

L C pic

R pic

pic

pic

W WW

W W LI

W I R f

LII R f

f LR

+=

+

+ =

=

πfo2 )(RI

LI = π2

disipada Energíaalmacenada Energía

2pic

2pic

1/21/2 = Qo = R

Lωo=

RXoL

y si de la (17):

2

1o

CLω

=

también se obtendría:

01 oC

o

XQCR Rω

= =

Lo que permite entender que el Qo es función del juego de energías. Esta definición es quizás la más acertada del Qo del circuito en resonancia.

Figura 10.21: Energía en el circuito en resonancia serie.

10.3.6 Resumen La utilización de corriente alterna armónica en los circuitos, abre un nuevo panorama de aplicación de la Ley de Ohm. Es así que aparecen fenómenos asociados a componentes pasivos tales como capacitores e inductancias. La oposición a la corriente alterna de estos componentes, se denomina reactancia capacitiva: XC=1/2πfC e inductiva: XL=2πfL, respectivamente. En el primer caso, la reactancia capacitiva disminuye con la frecuencia y su respuesta es una hipérbola, mientras que la reactancia inductiva se incrementa con la frecuencia, pero en forma lineal. Cabe destacar que la resistencia que ofrece la combinación tanto en serie como en paralelo e incluyendo resistencias, se denomina Impedancia Z, siendo su unidad el ohm (Ω). También, a la combinación en paralelo, a la oposición a la corriente, se la puede denominar Admitancia Y que es la inversa de la impedancia: Y=1/Z, o Z=1/Y. En este último caso, la unidad es el Siemens (1/Ω). El comportamiento de los elementos reactivos, cuando se

i vC

½Cv2 ½Li2

L

C

R

Energía totalAlmacenda

(CONSTANTE) Zona rayada


aplica c.a a un circuito con ellos, produce un desplazamiento de fase de la corriente circulante con respecto a la tensión. El capacitor ideal, adelanta la corriente 90º respecto a la tensión y la inductancia ideal, atrasa la corriente 90º. Con Respecto a la resistencia, su tratamiento es igual que para corriente continua, pero asociada a los elementos mencionados anteriormente, produce que los adelantos o atrasos sean menores a 90º. La resolución de los problemas de c.a pueden realizarse utilizando diagramas vectoriales o álgebra compleja. Se debe tener en cuenta por ello, que las sumas de elementos reactivos es geométrica y no aritmética. Así entonces, el módulo de la impedancia se puede obtener por Pitágoras: ⎥Z⎢ =

2 2-( )L CR X X+ .

En ciertas condiciones, la combinación en serie de elementos reactivos, puede provocar la resonancia de los mismos. Ello sucede particularmente, cuando las reactancias inductiva y capacitiva se hacen iguales para una determinada frecuencia: XL=XC = Xo; de aquí se obtiene la frecuencia de

resonancia: fo =LC2π1

. Para esta frecuencia, la impedancia se hace

mínima y la corriente circulante, máxima, mientras que el ángulo de fase se hace cero y el circuito se comporta como resistivo puro. Realizando el diagrama transformado de las reactancias y resistencia en función de la frecuencia, se obtiene una curva no lineal en la cual la impedancia para resonancia es mínima. Si se grafica en función de la frecuencia en forma logarítmica, se produce una campana de Gauss invertida. Si se hace la recíproca de ella: Y=1/Z, se obtiene la admitancia y la campana de Gauss es normal. También en estos circuitos resonantes, aparece el concepto de calidad de los mismos, Qo y el ancho de banda: W. El Qo es igual a la relación entre cualquiera de las reactancias en resonancia sobre la resistencia que posee el circuito serie: Qo=Xo/R. Si R es muy pequeña, Qo grande, la curva se hace esbelta y el circuito es muy selectivo y si R es grande, Qo pequeño, la curva se achata y es menos selectivo. En cuanto al ancho de banda, el mismo indica qué frecuencias admiten la máxima corriente y cuales no. Así entonces, se define el ancho de banda como las frecuencias para las cuales la potencia que es máxima en resonancia, cae a la mitad, y el ángulo de fase en esos puntos es de ±45º. Por otro lado, de allí se obtiene la relación entre la frecuencia de resonancia fo y el Qo: W= fo/Qo. Se observa que el ancho de banda variará en función de la resistencia asociada al circuito. Asimismo, cuando un circuito de este tipo está en resonancia y el Qo es muy grande , aparecen importantes voltajes en los elementos reactivos ya que: VL=VC= QoEa, dónde Ea es la tensión aplicada al circuito. El lector advertirá también que para cada circuito y frecuencia se debe construir cada curva de la impedancia. Esta condición se soluciona con la denominada curva universal de resonancia, en cuyo caso, solamente una única curva permite resolver cualquier circuito y frecuencia de resonancia. 10.3.7 Preguntas de autoevaluación

12) ¿Cuándo en un circuito R-L-C se produce resonancia serie? Realice un esquema circuital y un diagrama fasorial explicativo.

13) ¿Por qué a la resonancia de un circuito R-L-C serie se le dice resonancia de corriente?


14) ¿Qué se puede producir en el circuito cuando está en resonancia serie? ¿Por qué?

15) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia en un circuito R-L-C serie? ¿Cómo se obtiene este valor? Realice un esquema circuital y un diagrama fasorial explicativo.

16) ¿Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L-C serie la frecuencia de excitación está por arriba de la frecuencia de resonancia? ¿Por qué?

17) ¿Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L-C serie la frecuencia de excitación está por abajo de la frecuencia de resonancia? ¿Por qué?

18) ¿Cómo varia la resistencia en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

19) ¿Cómo varia la reactancia capacitiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

20) ¿Cómo varia la reactancia inductiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

21) ¿Cómo varia la impedancia total en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

22) ¿Por qué es conveniente graficar los valores de impedancia y admitancia en función del logaritmo de la frecuencia? Grafique las curvas del módulo de la impedancia y de la admitancia de un circuito R-L-C en resonancia serie indicando los puntos característicos.

23) ¿Qué sucede con la curva de impedancia y con la fase en función del logaritmo de la frecuencia en un circuito R-L-C resonante serie cuando cambia el valor de la resistencia serie? Realice la gráfica de impedancia y de fase para R=0 y para otros dos valores diferentes de resistencia indicando cual es mayor.

24) ¿Qué sucede con la curva de admitancia y de fase en función del logaritmo de la frecuencia en un circuito R-L-C resonante serie cuando cambia el valor de la resistencia serie? Realice la gráfica de admitancia y de fase para R=0 y para otros dos valores diferentes de resistencia indicando cual es mayor.

25) ¿La forma de la curva de corriente con el logaritmo de la frecuencia en un circuito R-L-C serie tiene la forma de la impedancia o de la admitancias? ¿Por qué? Realice la curva de corriente en función del logaritmo de la frecuencia.

26) ¿Cómo se obtiene el factor de mérito en un circuito R-L-C serie? ¿Qué dimensiones tiene?

27) ¿Por qué se dice que circuito R-L-C serie es un filtro selectivo o pasabanda? ¿Qué relación existe el valor de la resistencia y el factor de mérito?

28) ¿Qué sucede con el factor de mérito en un circuito R-L-C serie cuando el valor de la resistencia tiende a cero y a infinito? ¿qué consecuencias presenta con el ancho de banda?


29) ¿Qué es la curva universal de resonancia de un circuito R-L-C serie? ¿Para qué sirve?

30) ¿Qué es la desintonía fraccional cuando se obtiene la curva universal de resonancia de un circuito R-L-C serie? ¿Cómo se define y para qué sirve?

31) ¿Por qué la curva universal de resonancia no se da en valores de impedancia sino de admitancia? Realice una gráfica en donde se indique admitancia, conductancia y suceptancia normalizada indicando puntos característicos.

32) ¿Por qué para un valore de conductancia y suceptancia normalizada igual a 0.5, la admitancia normalizada es 0.7071? ¿A qué valor de desintonía normalizada ocurre esto? Justifique.

33) ¿Cómo se lleva de la desintonía fraccional normalizada a la frecuencia real de un circuito en resonancia? ¿Qué parámetros se deben conocer del circuito real? Dé un ejemplo.

34) ¿Qué condiciones se cumplen en los puntos de media potencia? ¿Que relación tienen con el ancho de banda?

35) ¿Que son los puntos e media potencia? ¿Por qué se llaman así? ¿Qué definen?

36) ¿Cómo se distinguen los puntos de media potencia en la curva universal de resonancia? ¿Qué valores toman la desintonia fraccional normalizada, la admitancia, suseptancia y conductancia normalizadas?

37) ¿Qué es el ancho de banda en un circuito R-L-C serie? ¿Cómo se obtiene a partir de la frecuencia de resonancia y el factor de mérito? ¿Cómo se obtienen sus límites?

38) ¿Qué sucede con las tensiones y corrientes en la resistencia, capacitor e inductancia cuando un circuito R-L-C serie está a la frecuencia de resonancia? ¿Qué valores toman?

39) ¿Qué valor toman las corrientes y la tensiones en la resistencia, capacitor e inductancia cuando un circuito R-L-C serie está a la frecuencia de resonancia? ¿Qué puede provocar y por qué?

40) ¿Qué relación hay entre la energía almacenada y la energía disipada en un circuito R-L-C serie en un periodo de la señal senoidal? ¿Qué elementos almacenan y qué elementos disipan energía? ¿Qué valor toma la energía almacenada y disipada?

41) ¿Cómo se obtiene el factor de mérito de un circuito R-L-C serie en función de las energías almacenadas y disipada?

10.3.8 Ejercicios propuestos 1) Se conoce el valor de C y la frecuencia de resonancia de un circuito

serie; determine el valor de la inductancia. C= 0.02μF y fo=3.500 Hz. 2) Se desea construir un circuito que deje pasar una determinada banda

de frecuencias (Q=10), para la frecuencia de resonancia, 3.000 Hz. Determinar L y C para una impedancia de 5Ω.


3) Se desea construir un filtro pasivo pasabanda, mediante un circuito resonante serie, para una frecuencia de resonancia de 1400 Hz y la banda pasante de 200 Hz. Calcule los componentes necesarios y el Qo que debe poseer el circuito. En la figura se muestra el esquema del filtro. La RP es una resistencia de limitación de la corriente para la frecuencia de resonancia. Se adopta para C un valor de 0,01μF.

4) Diseñe un circuito R-L-C serie resonante para que la corriente con

una tensión de entrada de 5 volt de pico tenga la siguientes especificaciones:

a) Una corriente de pico de 10 mA b) Un ancho de banda de 120 Hz c) Una frecuencia de resonancia de 3 103 Hz Encuentre R, L y C y las frecuencias de corte.

Datos: • Filtro Pasabanda, Q0 = 10, f0 =3000 Hz, Z0 = 5Ω

Incógnitas • L = ?, C = ?

Resolución: 1) Z0 = 5Ω, R = Z0 = 5Ω 2) Q0= 10 = XL0 / R = XC0 / R XL0 = XL0 = Q R = 10 5 Ω = 50 Ω 3) C = 1 / (2 π f0 XC0) = 1 / (2 3,14 3000 Hz 50 Ω) = 1.0610e-006 L = XL0 /(2 π f0) = 50 Ω / (2 3,14 3000 Hz) = 2,7 mHy

Circuito que genera

diferentes frecuencias

R=?L=? C=0,1μF

Carga

•

• RP


5) Un circuito R-L-C serie con R = 20 Ω y L = 2 mHy operando a una

frecuencia de 500 Hz tiene un ángulo de fase de 45º en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para la corriente del circuito.

6) La tensión aplicada a un circuito serie R-L-C con C = 16 μF es de

( ) 120 2 cos(1000 30º )v t t= − volts y la corriente que circula es

( ) 3 2 cos(1000 )i t t= Amper. Encuentre le valore de R y de L ¿Cuál será la frecuencia de resonancia 0ω para la corriente?

7) Se tiene un circuito R-L-C serie con una frecuencia de resonancia para la corriente de 0 300f Hz= y un ancho de banda de 100 Hz.

Encuentre el 0Q del circuito y las frecuencias 1f y 2f . 8) Un circuito R-L-C serie tiene está formado por R = 10 Ω, L = 5 mHy y

C = 0.1 μF. La tensión aplicada es una señal senoidal 20 Volts eficaces (U = 20 V eficaz) . 1. Calcular la frecuencia de resonancia 2. Calcular la tensión que aparece en la resonancia en los bornes de la inductancia, el capacitor y la resistencia. 3. Calcular el ancho de banda

Datos: • Resonante R-L-C serie • VEPico = 5 V • I0pico = 10 m • BW = 120 Hz • f0 = 3 103 Hz

Incógnitas • R = ? • L = ? • C = ?

Resolución: 1) VR0 = VEPico = 5 V 2) VR0 = VRPico/sqrt(2) = 5 V / 1,4142 = 3.5355 V IR0 = IRPico/sqrt(2) = 10 mA / 1,4142 = 7,071 mA 3) I0 = V0 / R0 R0 = V0 / I0 = 3.5355 V / 7,071 mA R0 = 500 Ω 4 ) BW = f0 / Q0 Q0 = f0 / BW = 3 103 Hz / 120 Hz = 25 5) Q0 = XL0 / R XL0 = R0 Q0 = 500 Ω 25 = 12500 Ω 6) C = 1 / (2 π f0 XC0) = 1 / (2 3,14 3000 Hz 12500 Ω) = 4,2441 nF L = XL0 /(2 π f0) = 12500 Ω / (2 3,14 3000 Hz) = 663,1 mHy 7) BW = (f2-f1) = 120 Hz, Si Q0 es grande f0 = (f1 + f2)/2 f1 = f0 - (BW / 2) = 3000 - (120/2) = 2940 Hz f2 = f0 + (BW/ 2) = 3000 + (120/2) = 3060 Hz


9) Un circuito resonante R-L-C en serie como el de la figura, tiene una inductancia L = 10mH. Seleccione C y R para que: la frecuencia de resonancia sea 106 rad/seg y BW sea de 103 rad/seg.

10) Para un circuito resonante RLC en serie se tiene R = 2 Ω, L = 1 mH y C = 0.1 μF. Calcular la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el factor de mérito.

11) El circuito RLC de la figura está en resonancia. La frecuencia de la fuente ideal de tensión es de 1000 rad/s y su valor eficaz 100 V. Se sabe además que, a la frecuencia de resonancia, I = 5 A (valor eficaz) y Vc = 20.000 V (valor eficaz). Hallar: a) La tensión compleja VR. b) La tensión compleja VL c) Valores de R, L y C.

NOTA: Indicar las tensiones complejas UR y UL tomando como origen de fases la intensidad.

10.4 Resonancia Paralelo 10.4.1 Resonancia paralelo Así como se produce resonancia en el circuito serie, lo mismo sucede con la configuración en paralelo. Ambos tienen similitudes importantes, pero su conducta es diferente. El paralelo posee alta impedancia en resonancia, mientras que el circuito serie, tiene baja impedancia y alta admitancia también en resonancia. En la Figura 10.22 se esquematiza un circuito paralelo de tres ramas y su expresión es la que se consigna ahora:

1 1-Y G j C G j Cj L L

ω ωω ω

⎛ ⎞= + + = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

puede notarse, como ya el lector habrá advertido que ahora la susceptancia inductiva es negativa y la capacitiva, positiva por lo que el diagrama vectorial de las corrientes circulantes es el que se muestra en la Figura 10.22 (b).

Figura 10.22: Circuito y diagrama fasorial de corrientes del

circuito resonante paralelo. Así entonces, en resonancia las corrientes en los elementos reactivos se anulan y solamente circula corriente por la conductancia. Una consideración importante que debe hacerse es que la conductancia para este circuito muy pequeña (R grande), ya que se consideran las pérdidas

GV=IG

jωCV=IC

VωL j

1=IL −

L G

C

•

•

a b

+ -

R

Us

C

L UR UC UL


del capacitor y de la inductancia como G. Ello induce a pensar que ahora los valores de las corrientes en oposición pueden alcanzar valores muy altos al contrario del serie, en el cual las tensiones en ellos pueden alcanzar magnitudes muy peligrosas. El valor de la corriente en la conductancia se obtiene como

IG = VgG = Vg/R Otra consideración interesante es que se produce una dualidad en ambos circuitos. Esta dualidad permite realizar una correspondencia entre las distintas variables tal como se expone a continuación. Esta dualidad presupone la equivalencia entre los parámetros de ambos circuitos pero en forma inversa.

serie ⇔ paralelo voltaje ⇔ corriente

impedancia ⇔ admitancia resistencia ⇔ conductancia reactancia ⇔ susceptancia inductancia ⇔ capacitancia

Por ello, el diagrama transformado de este circuito es el de la Figura 10.23.

Figura 10.23: Diagrama de las componentes que intervienen

en la resonancia paralelo en función de la frecuencia.

El lector puede observar que las ecuaciones para resonancia paralelo son un duplicado de las ecuaciones para resonancia serie visto anteriormente. Esto permite que la curva universal de resonancia normalizada vista en la Figura 10.23, se aplique tanto a los circuitos en paralelo resonantes como a los circuitos en serie resonantes. La interpretación de los puntos de media potencia también es la misma. En cuanto al Q para los circuitos resonantes paralelo es similar a la vista para los circuitos serie:

f

BC=ωC

⎢Y⎢= 22 B+G

G

fo

0Hz

B=(B

C − B

L)

V

BL= − ωL1

−BL= ωL1

Frecuencia

L CG

•

•


00

0

CQGω

=

, y considerando que en resonancia 0 0 0 01/ 1/L C y G Rω ω= =

, se puede escribir para la resonancia paralelo: 0 0

00 0

C RQG Lω

ω= =

El análisis del Q indica que el valor del mismo para estos circuitos de tres ramas correspondiente a bajas pérdidas, dependerá de tener un alto valor de resistencia en paralelo, pertenecientes a las pérdidas del condensador y de la inductancia colocada en paralelo con la misma. Para una mejor comprensión y utilización de estos circuitos, se esquematizará el de dos ramas o CIRCUITO TANQUE de amplias aplicaciones, Figura 10.24.

Figura 10.24: Circuito de dos ramas o circuito tanque.

Este circuito cuya admitancia se obtiene sumando las dos ramas, permite obtener la expresión de

1Y j CR j L

ωω

= ++

( )

1

1

1

1

Y j CR j L

j C R j LR j L

RC j CL L

Rj L

ωωω ω

ω

ωω

ω

= ++

+ +=

+

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠=+

, y operando con ella y teniendo en cuenta que el Q sea mayor que 20 cerca de resonancia, en la cual R se hace muy pequeño respecto de ωL ( R Lω<<); hace que la expresión final de la admitancia simplificada para este circuito de dos ramas quede de la siguiente manera:

(a)

L G

•

• C C

L

1/G=R

•

•

(b)


( )

( )

11 1

1

11 1

1 1

1 11

11

j C R j L j CR j Cj LY j CR j L R j L Rj L

j L

j CR C Lj CR j Cj L

j L j L j Lj LR R

j L j L

CR C C L LRC R j Cj Cj L L j L C L CL L

RRj Lj L

ω ω ω ω ωωω ω

ωω

ω ω ωω ω ω

ω ω ωω

ω ω

ω ωωω ωω

ωω

+ + + += + = =

+ + ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ −+ + ⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞+ − + −+ −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞ ++⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1

1

Rj L

C R j LL C

Rj L

ω

ωω

ω

⎡ ⎤⎞⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦

+

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦=+

Considerando R Lω<< porque Q es grande

1P

CY R j LL C

ωω

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Si, de esta expresión se obtiene la impedancia quedará para la misma:

( )1/PLZ

C R j L Cω ω=

+ −⎡ ⎤⎣ ⎦

permitiendo observar que en el denominador aparece la impedancia del circuito serie:

( )1/SZ R j L Cω ω= + −

El lector debe notar que cuando el circuito de dos ramas esté en resonancia, la impedancia del mismo será igual a:

PL LZ G

CR C= =

en la cual L/C es una constante. El Qo para estos circuitos es el mismo que para el serie: ωL/R. Por otro lado la inversa de R, G para Qo mayores a 20, adquiere un valor elevado, y ello permite observar que la impedancia en resonancia es muy alta., pudiéndose también utilizar la curva universal de resonancia de la Figura 10.18 con errores muy pequeños; pero su aplicación permite resolver todos los circuitos en los cuales interviene la configuración de dos ramas. Por ejemplo, para circuitos sintonizados de amplia utilización en radiofrecuencias. Al igual que el circuito serie, la admitancia en resonancia, cuando la frecuencia es logarítmica responde a una campana de Gauss. Estos circuitos resonantes paralelo de dos ramas, se denominan circuitos tanque, tal como se expresó en párrafos anteriores. Este último nombre está asociado al motivo que la inductancia acumula energía de campo magnético (cinética en mecánica y la acumula la masa) y la capacidad energía de campo eléctrico (potencial en mecánica y la acumula un resorte). Son muy utilizados en los sintonizadores de los radiorreceptores. En ellos el Q posee un valor que permite para obtener un ancho banda


importante y puedan sintonizarse las distintas estaciones en las distintas bandas de recepción (onda larga, ondas cortas o FM). En estos circuitos se utiliza una inductancia fija para cada banda que se permutan con un condensador variable. Asimismo, es fundamental destacar que la corriente de radiofrecuencia en la inductancia, circula por la periferia del alambre de los arrollamientos de las inductancias. Esta condición se denomina efecto pelicular y se verá posteriormente. En la Figura 10.25 se muestra un circuito de dos ramas paralelo de un sintonizador de un radio receptor.

Figura 10.25: Circuito de dos ramas paralelo de un

sintonizador de un radio receptor. Las inductancias L1 y L2 conforman lo que se denomina un transformador. El funcionamiento del circuito es el siguiente: mediante el capacitor variable C se puede elegir una frecuencia de resonancia que coincide con una de las que llegan e inducen una tensión en la antena. Para ella, la impedancia es máxima y en consecuencia la tensión desarrollada para esa frecuencia en el circuito paralelo L1 y C es máxima y para las otras que llegan es un cortocircuito. Dicha tensión se transfiere al arrollamiento L2 en forma magnética y la tensión aparece en este último. Cabe considerar que las señales electromagnéticas que las señales electromagnéticas que llegan a la antena e inducen voltajes en ellas, están formadas por una señal compuesta integradas por las denominadas: portadora y moduladora. La portadora es la frecuencia que transporta a la moduladora que es la inteligencia: palabra, música, etc. La estación transmisora produce la señal compuesta en AM (amplitud modulada) o en FM (frecuencia modulada) y la transmite a través de la antena transmisora como energía electromagnética. El receptor la recibe vía antena, induciéndose en ella un voltaje de c.a y este último es seleccionado (sintonizado) mediante el circuito visto en la Figura 10.25. Sintonizada la misma, se la demodula lográndose nuevamente la moduladora (palabra, etc.), eliminando además la portadora. Obtenida así la inteligencia, se la amplifica y se envía al altoparlante. Un ejemplo que patentiza el proceso de modulación, es retrocediendo a la época de la colonia. En dicha época, para enviar un mensaje se utilizaba el chasqui (portador) a bordo de un caballo, quien poseía el mensaje (moduladora) en su mano o alforja. Este personaje, para que el mensaje avanzara lo más rápido posible, cambiaba de caballo en las postas por otro fresco y así se desplazaba, por ejemplo desde Buenos Aires a Cuyo. 10.4.2 Resumen

C

•

• A circuitos: demodulador, amplificador y de audio.

•

Antena

Energía electromagnética de diferentes frecuencias correspondientes a distintas estaciones de radio y TV

L2

L1


Cuando se asocian componentes en paralelo, colocando el capacitor en paralelo con la inductancia y ésta en serie con las resistencias asociadas, se obtiene un circuito resonante paralelo denominado tanque (esta denominación surge de la transferencia de energías de campo eléctrico en magnético y viceversa similar a un resorte y masa). Para este caso, la curva de resonancia es la admitancia, o sea que la impedancia es máxima. La

expresión de la impedancia en resonancia es la siguiente; Z=CRL

, siempre y

cuando el Qo sea mayor a 20, el que se define igual que en el serie. También se denomina resonancia de tensión, ya que la tensión desarrollada es máxima. Para estos circuitos también se utiliza la misma curva universal de resonancia que se aplica al serie. 10.4.3 Preguntas de autoevaluación

42) ¿En qué se diferencia el circuito resonante serie del paralelo? 43) ¿Cómo es el diagrama vectorial de un circuito resonante

paralelo? Realice el circuito y el diagrama vectorial indicando el valor de cada componente en resonancia.

44) ¿Que se anula en cuando un circuito resonante paralelo está a la frecuencia de resonancia? ¿Qué valor toma la corriente?

45) ¿Qué dualidad existe entre un circuito R-L-C resonante serie y uno paralelo? Realice una tabla indicando las equivalencias.

46) ¿Por qué a la resonancia de un circuito R-L-C serie se le dice resonancia de tensión?

47) ¿Qué se puede producir en el circuito resonate paralelo cuando está en resonancia? ¿Por qué?

48) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia en un circuito R-L-C paralelo? ¿Cómo se obtiene este valor? Realice un esquema circuital y un diagrama fasorial explicativo.

49) ¿Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L-C paralelo la frecuencia de excitación está por arriba de la frecuencia de resonancia? ¿Por qué?

50) ¿Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L-C paralelo la frecuencia de excitación está por abajo de la frecuencia de resonancia? ¿Por qué?

51) ¿Cómo varia la conductancia en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia paralelo? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

52) ¿Cómo varia la susceptancia capacitiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia paralelo? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

53) ¿Cómo varia la susceptancia inductiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia paralelo? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

54) ¿Cómo varia la admitancia total en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? ¿Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes.

55) ¿Por qué es conveniente graficar los valores de impedancia y admitancia en función del logaritmo de la frecuencia? Grafique las


curvas del módulo de la impedancia y de la admitancia de un circuito R-L-C en resonancia paralelo indicando los puntos característicos.

56) ¿Cómo se define el factor de mérito en el circuito resonante paralelo? Escriba las diferentes expresiones que se pueden obtener.

57) ¿Qué es un circuito tanque y para qué se utiliza? Realice un diagrama circuital e indique como es el valor de su admitancia.

58) ¿Qué sucede con la admitancia de un circuito tanque cuando el factor de mérito es mayor que 20? Realice la demostración de cómo encuentra la expresión.

59) ¿Cómo es el valor de la impedancia y de la admitancia de un circuito tanque cuando está a la frecuencia de resonancia?

60) ¿De dónde proviene el nombre de Circuito Tanque? ¿Para qué se utiliza normalmente?

61) ¿Qué sucede con corriente y la tensión en la bobina y en el capacitor cuando un circuito R-L-C paralelo está en resonancia?

10.4.4 Ejercicios propuestos 12) ¿Cuál es la frecuencia resonante de un circuito R-L-C Paralelo

que tiene una capacitancia de 3 μF y un inductor de 4 Henrys? 13) ¿Cuál es la frecuencia resonante de un circuito R-L-C paralelo

que tiene un inductor de 12 mH y un capacitor de 8 μF? 14) Dados los siguientes valores de un circuito resonante paralelo

de dos ramas: L= 200μHy, R = 15 Ω y C = 100 pF: determine la frecuencia de resonancia, fo; la impedancia a esa frecuencia, el Qo del mismo y el ancho de banda, f1 - f2.

C=10

0pF

200μH

y 15Ω

fo=?

•

•


15) El circuito de un sintonizador contiene un inductor de 4 mH y un capacitor variable. ¿Cuál deberá ser la capacitancia para que el circuito resuene a una frecuencia de 800 Hz?

16) Determine los parámetros de un circuito resonante en paralelo cuyas propiedades son: ω0 = 2 M rad/s, BW = 20 rad/s y la impedancia de resonancia es de 2000 Ω.

Datos: • Circuito tanque • L = 200 μHy • R = 15 Ω • C = 100 pF

Incógnitas • f0 =? • Z0 = ? • Q0 = ? • BW = ?

Resolución: Circuito tanque

1Y j CR j L

ωω

= ++

1

1

C R j LL CY R

j L

ωω

ω

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦=+

0 0 0/ 1

1L

P

SI j L R Q X R

CY R j LL C

ω

ωω

>> ⇒ = >>

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

1) f0 = 1 / (2 π sqrt (L C)) = 1 / (2 3,14 sqrt (0.0002 Hy 0.0000000001 F)) f0 = 1,1254 MHz 2) Y0 = (C R) / L = (100 pF 15 Ω) / 200 μHy Z0 = 1 / Y0 Z0 = 133.333,33 Ω 3) Q0 = XL0 / R = 2 pi f0 L / R = 2 3.14 1,1254 MHz * 200 μHy / 15 Ω Q0 = 94.2809 4) BW = f0/Q0 = 1,1254 MHz / 94.2809 BW = 1193,7 Hz


17) Un circuito resonante en paralelo tiene R = 677 K ohm, L = 20

mH y C = 7 nF. Calcular el ancho de banda, la frecuencia de resonancia, frecuencia mínima de la banda pasante, frecuencia máxima de la banda pasante, Factor de mérito y ancho de banda.

18) En el circuito que se detalla a continuación: a) Calcule el 0Q de la red b) Encuentre el valor de XC para la resonancia c) Determine la frecuencia de resonancia 0f si el ancho de banda es

de 5000 Hz. d) Calcule el máximo valor de la tensión VC. e) Calcule las frecuencia de corte 1f y 2f .

19) Calcule el valor de C para que el circuito mostrado en la figura

siguiente entre en resonancia a una frecuencia angular de 0 25000 /rad segω = .

Datos: • Circuito Resonante Paralelo • ω0 = 2 M rad/s • BW = 20 rad/s • R0 = 2000 Ω

Incógnitas • L = ? • R = ?

Resolución: 1) ω0 = 2 π ω0 f0 f0 = ω0 / 2 π = 2 M (rad/s) / 2 3,1415 = 318.309,886 Hz BW = BWω / 2 π = 20 (rad/s) / 2 3,1415 = 3,1830 Hz 2) BW = f0/Q0 Q0 = f0 / BW = 318.309,886 Hz / 3,1830 Hz Q0 = 100.000,00 3) G0 = 1 / R0 G0 = 1 / 2000 Ω G0 = 0.0005 Siemens 4) Q0 = ω0 C / G0 C = Q0 G0 / ω0 = 100.000 0.0005 S / 2 M rad/s C = 25 μF Q0 = R / (ω0 L) L = R / (Q0 ω0) = 2000 Ω / (100.000 2 M rad/s) L = 10 nHy


20) En el circuito de la figura dada a continuación

a) Encuentre la frecuencia 0ω que haga mínima la corriente I. b) Calcule las reactancias XL y XC para esta frecuencia. c) Encuentre la ZT a la frecuencia 0ω .

d) Si 0200 ( )E seno Tω= encuentre I, IL e IC.

21) Deduzca la expresión para calcular la frecuencia de resonancia

para V en el circuito paralelo de dos ramas mostrado a continuación


Resolución:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

L C

L CL L L C

L CL L

L L L C L L L L L C L C

L C CL L L L L

L L L C L L L L L C L C

CL L L

L L L C L L L

Y Y Y

Y YR jX R jX

R jXR jXYR jX R jX R jX R jX R jX R jX

R jX jXR jX R jX RR X R X R X R X R X R X

jXR R jXjR X R X R X R

= +

= =+ −

+−= + = +

+ − + − − +

+−= + = − + +

+ + + + + +

⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

2CX

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦

En resonancia la parte imaginaria es igual a cero

2 2 2 2 0CL

L L L C

XXR X R X

⎡ ⎤− + =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Resulta

2 2 2 2CL

L L L C

XXR X R X

=+ +

Como , 1/L CX L X Cω ω= =

0 02 2 2

202 2

0

1

1L

L

L CR L R

C

ω ωω

ω

=+ +

( )2 2 2 20 02 2

0 0

1 1L LL R R L

C Cω ω

ω ω⎛ ⎞

+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 02 2 2 2

0 0 0

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 20

0 0 0 02 20

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

1 1 1,

1 , 1

,

L L L L

LL L L

L L L L

L R R L LC R R LC C C

R C LLC R L R C R LC C

L L L LR C R L R C L RC C C C

ω ω ω ωω ω ω

ωω ω ω ωω

ω ω ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+

= + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ = + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0

22

2 20 02 2

2

,

,

L L L L

LL

LL

L L LR C L R LR C L RC C C

LL RR CCLLR C L LC RC

ω ω ω

ω ω

− = − − = −

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟⎝ ⎠= =

− ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

2

02

1 L

C

LRCLLC RC

ω

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠


22) En el circuito paralelo de dos ramas que se muestra a continuación, encuentre el valor de L y de C para que la red entre en resonancia para V a cualquier frecuencia. Encuentre la condición que relacione a RL, RC, L y C para que esto se cumpla.

23) Se desea construir un circuito de iluminación con un generador

que se dispone de c.a de 220 V y 16 Hz. Dado que la frecuencia es muy baja, al conectar lámparas incandescentes, las mismas oscilarán en su intensidad luminosa. Para minimizar la oscilación, cada equipo de iluminación consistirá en dos lámparas en paralelo de 110 V y 100 Watts de potencia cada una, pero haciendo que la corriente circulante se adelante 90º en una de ellas y se atrase también 90º en la otra. Esto permitirá que entre las dos lámparas se aparente una iluminación constante. Calcule los valores necesarios para que ello ocurra. También se solicita que se construya el diagrama vectorial.

24) Se dispone de un cristal de cuarzo resonante en 1 MHz. El

mismo es equivalente a un circuito serie o paralelo de dos ramas. Este cristal se utiliza para los equipos nebulizadores. Se conoce del cristal que su Qo es de 20.000, y que la capacidad equivalente vale 5 pF. Operando el cristal como circuito resonante en paralelo, determine: la resistencia equivalente, la inductancia y la impedancia que posee en esas condiciones.

25) En el mismo ejemplo anterior, y siendo la capacidad en serie del equivalente del cristal de 3,5 pF y los valores de L y de Qo iguales a los anteriores, determina la impedancia que ofrece el cristal de cuarzo en su funcionamiento como circuito resonante serie.

26) Dado un circuito R-L-C paralelo alimentado por una fuente de corriente senoidal, encuentre analíticamente la relación entre la corriente que circula por la inductancia y la corriente total cuando el circuito está en resonancia. Expréselo en función del factor de merito Q0. Haga lo mismo para la corriente que pasa por el capacitor.

V=220V f=16Hz

L=? C=?

L1 L2

R=?

R=?

•

•


10.5 Utilización de la Curva Universal de Resonancia 10.5.1 Ejemplos de utilización de la curva universal de resonancia La curva universal de resonancia permite encontrar rápidamente valores de impedancia sin muchos cálculos. Para el correcto trabajo de los circuitos serie y que se hace extensivo al paralelo de dos ramas, se utiliza la misma curva universal de resonancia,

Resolución: La corriente total es

G L CI I I I= + +

Como en resonancia GI I= por ser L CI I= − resulta

GI IVG G

= =

La corriente por el capacitor serán

,

,

C C C C

C

C C

II VB I BG

B CI CI C I IG G

ωωω

= =

=

= =

Como para el circuito paralelo

0//1CQ

G G Lω

ω= =

resulta

0//CI IQ= Para la inductancia

,

1

1

L L L L

L

L

II VB I BG

BL

IG L

ω

ω

= =

=

=

Como para el circuito paralelo

0//1CQ

G G Lω

ω= =

resulta

0//LI IQ=

L G

•

•C

max ( )i i seno tω=


pero ahora dibujada con más versatilidad para su aplicación, Figura 10.26. Mediante dos ejemplos prácticos quedará plasmada la utilización de la misma. Ejemplo Nº 1: Se desea saber cuántos ciclos debe desintonizarse un circuito serie para reducir la corriente a la mitad del valor de resonancia, si el Qo es de 125 y es resonante a fo = 1 MHz. De la curva universal, se observa que la respuesta se reduce a 0,5 cuando a = 0,86 luego aplicando la expresión

Desintonía en Hz =oQa

.frecuencia de resonancia

Obtenida del mismo gráfico:

Hz fuera de resonancia = 125 x1Mhz0,86

= 6,88 KHz

Esto es por debajo y encima de resonancia. Además el ángulo de fase de la corriente, obtenido de la curva de desfasaje del mismo gráfico es: 60º. Ejemplo 2: Con el mismo circuito del ejemplo anterior, se desea saber qué respuesta se obtendrá a una frecuencia de 10 KHz por debajo de resonancia. La respuesta se refiere a Y/Yo o Z/Zo. Para resolverlo, es necesario primero determinar:

a = Qo resonanciadeFrecuenciaHzen Desintonía

= 125 1MHz10KHz

= 1,25

y de la curva universal, la respuesta se reduce en un factor de 0,37, y la fase de la corriente es de 68º en adelanto.

Figura 10.26: Curva Universal de Resonancia.

10.5.2 Resumen

Frecuencia por debajo Valores de a Frecuencia por encima de la resonancia de la resonancia


En esta sección se presentan ejemplos de utilización de la curva universal de resonancia. 10.5.3 Preguntas de autoevaluación

62) ¿Qué está representado en eje x de la curva universal de resonancia? ¿Cómo se relacionan con los valores reales del circuito resonante? Realice la curva indicando los puntos característicos.

63) ¿Qué se representa en el eje y de la curva universal de resonancia? ¿Cómo se relacionan con los valores reales del circuito resonante? Realice la curva indicando los puntos característicos.

64) ¿Qué valor de frecuencia se obtiene en la curva universal de resonancia cuando la desintonía fraccional relativa es igual a 1? ¿Y cuándo vale 0,5? ¿Y cuándo vale -0,5?

65) ¿Qué valor de corriente se obtiene en la curva universal de resonancia cuando la impedancia (o admitanicia) normalizada es igual a 1? ¿Y cuándo vale 0,5? ¿Y cuándo vale -0,5?

66) ¿Qué valor de potencia se obtiene en la curva universal de resonancia cuando la impedancia (o admitanicia) normalizada es igual a 1? ¿Y cuándo vale 0,5? ¿Y cuándo vale -0,5? ¿Por que?

10.5.4 Ejercicios propuestos 27) Se desea construir un circuito que rechace una determinada

banda de frecuencias a calcular y que para la frecuencia de resonancia: fo = 3.000Hz, la impedancia valga 5Ω. Aplique la curva universal de resonancia.

28) Utilizando la curva universal de resonancia, para un circuito resonante paralelo de dos ramas, de un sintonizador de radio de AM, cuya frecuencia de resonancia es de 1,2 MHz y un Qo de 45, se desea averiguar la impedancia en resonancia y la misma para los puntos de frecuencia mitad, o sea el ancho banda. Los valores del circuito son los siguientes: L=0,57μHy; C= 175pF; Q=45.

29) Se desea construir un equipo para terapia con radiofrecuencia y se dispone de una inductancia cuyo valor es de 25 μHy. El valor del alambre con que está construida es de 1Ω. La frecuencia de resonancia es fo = 30MHz. Determine el valor de C necesario y el Qo. El circuito resonante es paralelo.

30) Para una desintonía de 1 KHz , un Qo = 100 y una frecuencia de resonancia fo = 100 KHz. Use la curva universal de resonancia para averiguar cuánto es el valor de la potencia relativa y cuánto el ángulo de desfasaje.

10.6 Efecto pelicular de los conductores en altas frecuencias

10.6.1 Modificaciones del valor de la resistencia en alta frecuencia Hasta ahora se ha supuesto que la resistencia eléctrica en un conductor es constante y no cambia con la frecuencia cuando se utiliza corriente alterna. Una consecuencia importante de la reactancia inductiva que posee todo conductor es que la resistencia efectiva que ofrecen los conductores en frecuencias altas (radiofrecuencias) es considerablemente mayor que la resistencia óhmica medida en corriente continua. Esto es debido a una acción conocida como efecto pelicular o efecto “squin”, el cual hace que la corriente se encuentre en ciertas porciones del conductor, con lo que el resto de la sección contribuye poco o nada en la conducción de la corriente. Un simple ejemplo del efecto pelicular, Figura 10.27, que aclara


su naturaleza, lo proporciona un conductor aislado de sección circular. Si circula corriente de alta frecuencia en tal conductor, el flujo magnético resultante tiene forma de círculos concéntricos.

Figura 10.27: Efecto pelicular en conductores a alta

frecuencia. Debe observarse que algunas de estas líneas de flujo existen dentro del conductor, pero no los filetes próximos a la superficie. El resultado de ello es que la inductancia en la parte central del conductor es mayor que la inductancia en la parte exterior, porque existe una concatenación mayor de las líneas de flujo en la zona central. Para radiofrecuencias, la reactancia de esta inductancia es suficientemente grande como para afectar seriamente la circulación de la corriente, por lo que la mayor parte de ésta circula por la superficie del conductor, donde la impedancia es baja, en lugar de hacerlo por la parte central, dónde la impedancia es alta. La parte central del conductor no participa en la conducción de la corriente y el valor efectivo de la resistencia aumenta, ya que se reduce apreciablemente la sección útil del mismo. Por ello, “cuando existe efecto pelicular, la corriente se distribuye siempre en la sección externa del conductor, de tal manera que la corriente circula por la zona rodeada por el menor número de líneas de flujo”. Por los conceptos vertidos anteriormente, el lector habrá advertido que las antenas de televisión receptoras que se observan en algunos hogares, como así también las de radioaficcionados están construidas por tubos circulares de aluminio. Ello es consecuencia de lo explicitado anteriormente. Asimismo en los circuitos sintonizados de radioreceptores, el alambre que se utiliza para la construcción de las bobinas, se denomina Litz y está constituido por varios hilos de sección muy pequeña, aislados entre sí, integrando un cable. Por ello, la corriente circula por la periferia de cada hilo y se incrementa de esta forma la sección conductora total de la corriente de radiofrecuencia, Figura 10.28. Este incremento se puede observar en la figura. En este ejemplo, se dispone de un cable formado por siete conductores aislados entre sí con seda o barniz. La suma de las secciones de las coronas circulares de todos los conductores produce una sección mucho mayor que si se considera la corona de un conductor del diámetro equivalente del cable

Distancia radial

Distribución de la densidad de corriente

Líneas del Flujomagnético

Sección externa del conductor

Centro del conductor


Figura 10.28: Alambre que se utiliza para la construcción de

bobinas en alta frecuencia (denominado Litz). 10.6.2 Resumen El efecto pelicular es un fenómeno que ocurre cuando circula una corriente alterna sobre un conductor. Este es de gran importancia en los circuitos resonantes especialmente cuando se utilizan en el área de las comunicaciones (alta frecuencia). Cuando por un conductor circula corriente alterna, debido a los campos magnéticos variantes que genera el cambio en los valores de la corriente, se produce un efecto que hace que la corriente tienda a circular por la periferia del conductor. Al circular la corriente por la periferia, hay un área importante en el centro del conductor que no circula corriente. Esto provoca que el área efectiva disminuya y por lo tanto produce un aumento importante en la resistencia del conductor. Debido a este efecto pelicular es que la resistencia en corriente alterna no permanece contante con la frecuencia, sino que aumenta con la misma. 10.6.3 Preguntas de autoevaluación

67) ¿Qué es el efecto pelicular o “squin”? ¿Por qué se produce? 68) ¿Por qué los cables que se utilizan en altas frecuencias son

huecos o están formados por varios hilos aislado entre sí? Explique el fenómeno que se produce

69) ¿Cómo se mitiga la influencia del efecto pelicular o “esquin”? Explique este fenómeno y las formas de contrarrestarlo.

10.7 Aplicación de los circuitos paralelo y serie como filtros

10.7.1 Circuito resonante como filtro pasa banda Una pregunta que salta a la vista es para que se puede utilizar estos circuitos, en los cuales sus características son fuertemente dependientes de la frecuencia. La respuesta se manifiesta inmediatamente, ya que mediante ellos se pueden construir circuitos selectivos a frecuencias elegidas ya sea para rechazarlas o aceptarlas. Estos últimos se denominan filtros y son ampliamente utilizados. Cuando se analizó el circuito paralelo de dos ramas se introdujo como ejemplo el sintonizador de un radioreceptor, en el cual se podían elegir distintas frecuencias o estaciones de radio. Para que el lector acreciente mejor su conocimiento de estos circuitos, se incorporan algunas aplicaciones de uso común. Por ejemplo, el circuito de la Figura 10.29, utiliza la resonancia serie para seleccionar una gama de frecuencias que se desea que reciba una carga.

Sección del anillo circular del conductor

Aislante de cada conductor

Diámetro equivalente del cable.

Cond

uctore


Figura 10.29: Circuito resonante serie como seleccionar

frecuencias.

En resonancia, dicho circuito posee una impedancia muy baja (admitancia alta) y por ello para la frecuencia de resonancia elegida circulará la máxima corriente. Por debajo y por encima de resonancia (f1-f2) la impedancia aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima. Esta configuración entonces define un filtro selectivo a cierta frecuencia (denominado pasabanda) que interesan. Si el lector es observador, podrá ver que es similar al paralelo de dos ramas, en el cual la impedancia es máxima y se desarrolla la máxima tensión, pero teniendo en cuenta ahora que este circuito va conectado en paralelo con la carga. Mediante otro ejemplo de aplicación en circuitos de audiofrecuencias, el concepto de filtro quedará aún más integrado en el lector. 10.7.2 Ejemplos de utilización de filtros 10.7.2.1 Amplificador de audio frecuencias de tres vías En este caso se hará alusión a un amplificador de audio frecuencias, componente de uso cotidiano en la mayoría de los hogares. En la Figura 10.30 se muestra el esquema de un sistema de este tipo, de calidad. La salida del amplificador alimenta a un sistema de reproductores acústicos (altoparlantes). Estos dispositivos son transductores que transforman las señales eléctricas musicales generadas por la reproducción de un disco compacto que entrega el amplificador, en señales acústicas que se propagan por el aire (ondas elásticas), las que accionan el tímpano del sistema auditivo humano.

Figura 10.30: Sistema amplificador y un sistema de

reproductores acústicos. Se puede observar a la izquierda de la ilustración, un amplificador que magnifica la señal de un disco compacto que tiene grabado un programa musical. El amplificador posee una única salida y es deseable que los reproductores acústicos se ajusten a las características del programa grabado para obtener gran fidelidad. Por otro lado, es conveniente aclarar que la banda de audiofrecuencias que el ser humano reconoce está limitada

Respuesta en frecuencia

•

woo

fer

(gra

ves)

m

edio

s tw

eter

(a

gudo

s)

amplificador disco Log f(Hz)20 400 1,5K 20K

Pasa‐bajos Pasa‐banda Pasa‐altos

Circuito resonante serie

f carga

f1 fo f2

Y

Log f

I


entre aproximadakmante 20Hz y 20.000Hz (20KHz). Las bajas frecuencias (graves), que se pueden acotar entre 20Hz y 400Hz, son ondas que necesitan mucha energía mecánica para producir ondas elásticas, proceso que realiza la membrana del parlante. Para ello es necesario que el mismo posea una gran superficie para generar dichas ondas acústicas. Asimismo, las señales que van desde los 1.500Hz hasta los 20KHz, son ondas elásticas de alta frecuencia que necesitan un reproductor con poca masa, y finalmente, la gama de 400Hz hasta los 1.500Hz, componen lo que se denomina rango medio. Hoy con la tecnología actual digital que permite grabaciones de mucha fidelidad, se hace necesario utilizar parlantes adecuados a cada rango de frecuencias. Por ello se fabrican los woofer que permiten reproducir fielmente las bajas frecuencias y son reproductores con un gran cono; los de rango medio que reproducen dichas frecuencias; y finalmente los parlantes para altas frecuencias, denominados tweeter, que reproducen a las mismas. La salida del amplificador, como ya se expresó anteriormente, es una sola. Por razones de energía de los diferentes rangos acotados para la banda de audiofrecuencias, que podrían producir distorsión acústica y daños permanentes en los reproductores, se utilizan filtros selectivos a los rangos de frecuencia vistos. Estos filtros, que son sencillos se apoyan en las características reactivas de los inductores y capacitores. Así entonces, como se observa en la Figura 10.30, se ha colocado una inductancia en serie con el woofer: esto permite que para las bajas frecuencias, la reactancia de la bobina sea próxima a cero, con lo cual, sólo ellas llegan al transductor y quedan bloqueadas las medias y particularmente las altas; observe la respuesta en frecuencia en la misma Figura 10.30. Así entonces, la inductancia actúa como un filtro pasa bajo (deja pasar solamente las bajas frecuencias). En cuanto al capacitor colocado en serie con el tweter, actúa como un filtro pasa alto (deja pasar solamente las altas frecuencias), ya que su reactancia es muy pequeña y llegan al tweter, pero para las bajas frecuencias, presenta una reactancia muy alta, no llegando al woofer. Finalmente, la combinación de un capacitor y una inductancia en serie con su resistencia asociada, produce, como ya se advirtió en un ejemplo anterior, un filtro pasa banda que acciona al reproductor de frecuencias medias. Todo ello está graficado en la respuesta a frecuencia que se expone a la derecha de la figura mencionada. Por otro lado, cabe acotar que muchos sistemas acústicos se construyen con parlantes solamente para bajas y altas frecuencias. También, por razones de costo, otros equipos de audio utilizan un solo reproductor de rango extendido. Otro ejemplo utilizado en audio, son los ecualizadores. Estos dispositivos, permiten generar una cierta respuesta en frecuencia de toda la gama de audio, seleccionada por el usuario a voluntad, tal como por ejemplo, incrementar o atenuar diferentes porciones de la banda total de audiofrecuencias. Son muy comunes en aparatos para automóviles. Finalmente, y para que el lector comprenda y se comprometa más con la definición de ancho de banda de los circuitos resonantes, es importante destacar que esta misma definición encuentra su aplicación en los circuitos amplificadores de audiofrecuencias, amplificadores de televisión, radiofrecuencias, etc. y se manifiesta como la ganancia lineal para una determinada banda de frecuencias. Los puntos de potencia mitad, para este tipo de aplicaciones, también se definen utilizando decibeles (unidad


de medida sonora expresada en logarítmos) y especifica que para esos puntos la potencia, tensión o corriente la respuesta lineal cae en 3db (−3db). Entre los puntos de ganancia plana, se indica la ganancia como 0db. Es conveniente también ubicar al lector en los sistemas telefónicos, ya que de ellos nace la aplicación del ancho de banda. Queda patentizado en la capacidad que posee un sistema o amplificadores de reproducir una cierta gama de frecuencias para su transporte por medio de conductores o en forma de ondas electromagnéticas. 10.7.2.2 Amplificador del canal vertical de un osciloscopio Para aplicar estos conceptos, se establece el ejemplo de la Figura 10.31 (a), perteneciente a un canal vertical de un osciloscopio. El fabricante establece que las frecuencias que puede reproducir este aparato en forma lineal (sin deformaciones) posee un ancho de banda desde c.c hasta 20MHz. Ello está indicando que este canal podrá amplificar linealmente señales de corrientes continuas y alternas muy pequeñas, tal como 10mV, las que se observarán en la pantalla de este instrumento. A la gama de frecuencias que puede reproducir se la denomina banda pasante, mostrada en la Figura 10.31 (b) como banda pasante desde fO (c.c) hasta f2, definida con la letra C. También se ha mostrado en la misma figura, otra banda pasante, la que va desde f1 hasta f2, letra D. Este último amplificador no puede reproducir c.c.

Figura 10.31: Ganancia del canal vertical de un osciloscopio.

El lector debe observar que las frecuencias que el amplificador permite adecuar, están insertas en la banda pasante, logrando entonces que ellas sean amplificadas linealmente (sin deformación) desde fO hasta f2, o f1 hasta f2, Figura 10.31 (b). Tomando la banda pasante desde f1 hasta f2, ello significa que f1 se correspondería con aproximadamente 20Hz y el valor de f2 con 20MHz. Esta gama de frecuencias de corrientes alterna son amplificadas sin deformación, las que son presentadas en la pantalla del instrumento. La banda pasante o zona de amplificación lineal, se establece mediante relación de tensión de salida Vs sobre tensión de entrada, Ve o como potencia de salida sobre potencia de entrada, así entonces la ganancia o amplificación del amplificador:

A=G=Vs/Ve=Ps/Pe Esta es adimensional e indica que en todo ese rango de frecuencias dicha ganancia es lineal, indicando como plana a cero decibel. Ello permite responder que en los extremos, la banda pasante cae a –3db. La definición del ancho de banda también se aplica a los circuitos amplificadores de audiofrecuencias, amplificadores de televisión, radiofrecuencias, etc. y explicita que es la ganancia lineal para una determinada banda de frecuencias. Los puntos de potencia mitad, para este tipo de aplicaciones, también se definen utilizando decibeles (unidad de

Amplificador

Pantalla del osciloscopio

Ve Vs

(a) Banda pasante desde f1 a

ff1 f

Ganancia o amplificación lineal, G = A= Vs/Ve o Ps/Pe

P/2P

G

f2

0db−3db

Banda pasante desde fo a f

fo

C

D

(b)


medida sonora) y especifica que para esos puntos la potencia, tensión o corriente cae en 3db (−3db). 10.7.2.3 Amplificador de audiofrecuencias Para aplicar estos conceptos a un amplificador por ejemplo de audiofrecuencias se tendría el esquema de la Figura 10.32 (a) y (b).

Figura 10.32: Amplificador de audio frecuencias.

El lector debe observar que las frecuencias que el amplificador permite adecuar, están insertas en la banda pasante, logrando entonces que dichas frecuencias sean amplificadas linealmente (sin deformación) desde f1 hasta f2, Figura 10.32 (a). Para este ejemplo el valor de f1 se correspondería con aproximadamente 20Hz y el valor de f2 con 20KHz. Esta gama de frecuencias que son corrientes alternas función de la palabra humana y de la música, son amplificadas sin deformación, Figura 10.30 (b), las que, mediante el transductor (parlante) son transformadas en ondas sonoras (elásticas) que el oído humano puede recibir correctamente y el cerebro decodificar. 10.7.2.4 Filtros pasivos en la alimentación de equipos médicos Otra aplicación importante de estos filtros del tipo pasivos, es en la alimentación con 220V, 50Hz o de 110V, 60Hz de equipos médicos y computadoras. En ellos, pueden introducirse por la línea, transitorios producidos por el arranque de grandes motores o equipos y además por descargas atmosféricas que producen descargas en las líneas, generándose transitorios de alta frecuencia y de alta tensión. El esquema circuital que se utiliza es el siguiente, Figura 10.33. Supóngase que una alteración en la línea produzca el transitorio que se observa en la misma figura. El mismo se introduce junto con los 220 V y sus valores de pico pueden ser muy elevados, del orden de los 500 a 1.000V, pero en el primer instante del transitorio. El filtro esquematizado está compuesto por dos inductancias y cuatro condensadores. Las impedancias de las inductancias en serie con cada conductor se comportan para la alta frecuencia del transitorio como una alta impedancia (recuerde: XL = 2πfL) atenuando los transitorios; y por otro lado, los capacitores presentan una impedancia muy pequeña para esas frecuencias (XC = 1/2πfC) y son derivadas a tierra, entregando su energía. Por ello, a la salida del filtro esas variaciones están minimizadas y solo pasan los 50Hz de línea. Esta protección la poseen todas las entradas de alimentación de computadoras y equipos electromédicos sensibles. Cabe consignar que la conexión a tierra también está presente en la carcasa metálica del equipo. Como datos complementarios, estos filtros se pueden adquirí en el comercio y vienen encapsulados en un envase metálico que se conecta a tierra o a la carcasa del equipo. Los valores normales de las inductancias son de 0,01Hy y los capacitores, 0,1 μF aislados a 630V.

Banda pasante f1 f

Ganancia o amplificación uniforme, G = A= Vs/Ve o Ps/Pe

P/2 P

G

f2(a)

Amplificador

Parlante

Ve Vs

Fuente generadora de audiofrecuencias

(b)

0db−3db


Figura 10.33: Filtros en la alimentación de equipos.

10.7.3 Resumen La aplicación de los componentes reactivos en diferentes circuitos operan como filtros, ya que dejan pasar determinadas frecuencias o se oponen a ellas. En circuitos de radio y televisión tienen una gran aplicación ya que permiten sintonizar las diferentes estaciones emisoras. Por otro lado, en la actualidad también se construyen filtros activos, los cuales utilizan amplificadores para su funcionamiento. 10.7.4 Preguntas de autoevaluación

70) ¿Cuáles son las utilizaciones más comunes de los circuitos resonantes R-L-C?

71) ¿Qué es un filtro? ¿Qué tipo de filtro es un circuito R-L-C serie? Explique que realiza.

72) ¿Por qué en los circuitos de audio se utilizan diferentes tipos de filtros para mejorar el sonido? ¿Cómo se hace?

73) ¿Qué diferencia existe entre un filtro pasa bajo, uno pasa alto y un filtro pasa banda? ¿Cómo se construyen con componentes pasivos? De un ejemplo.

10.8 bibliografía [1] Knowlton, A. E.; “Manual Estándar del Ingeniero Electricista”;

Editorial LABOR; 1956. [2] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; “Circuitos

Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales 3ra Ed. Tomo 1”; Editorial Alfaomega ; 2009.

[3] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; “Circuitos Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales 3ra Ed. Tomo 2”; Editorial Alfaomega ; 2011.

[4] Terman, Frederick E.; “Ingeniería en Radio”; Editorial ARBÓ; 1952.

[5] PACKMAN, Emilio; “Mediciones Eléctricas”; Editorial ARBO; 1972.

[6] CASTEJÓN, Agustín y SANTAMARIA, Germán; “Tecnología Eléctrica”- Editorial Mc GRAW HILL; 1993.

[7] SANJURJO NAVARRO, Rafael; “Maquinas Eléctricas”; Editorial Mc GRAW HILL; 1989.

[8] POLIMENI, Héctor G.; “Documentos de Cátedra”; 2009.

°

°

Conexión

Líne

a de

entrada

de

220

V, 50H

z L

L

C

C

C

C

• •

Equipo

a ser

protegido

T≈5 μS

Transitorio

t

Apuntes Tema 10: Resonancia de circuitos R L C...

Documents

Transcript of Apuntes Tema 10: Resonancia de circuitos R L C...