Apuntes y Ejercicios Ultimas Clases

7/25/2019 Apuntes y Ejercicios Ultimas Clases

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10.3. Variables Aleatorias Continuas

FX(x), x R es continua ssi existe una funcion no negativa fX(x), x R, tal que:

FX(x) =

x

fX(t)dt, x R

fX(x) =dFX(x)dx

donde fX(x) se denomina funcion de densidad de la variable aleatoria X.

Note que:

i)fX(x)0 x

ii)

fX(x) dx= 1

iii)

PX(B) =P(XB) =B

fX(x)dx

SiB es un intervalo, por ejemplo, B = (a, b), entonces se tiene lo siguiente:

PX(B) =P(a < X < b)

=P(a < X < b)

=P(a < Xb) pues P(X=b) = 0,=FX(b)

FX(a)

=

b

fX(x) dx a

fX(x) dx=

B

fX(x) dx

Ejemplo 10.5 Suponga que el error de la temperatura de reaccion, en C, para un experimentocontrolado de laboratorio es una variable aleatoria continua X, que tiene funcion de densidad deprobabilidad:

fX(x) =

x2

3, -1 < x < 2

0, e.o.c.

a) Verifique la condicion (ii).

b) Encuentre P(0< X

1)

Definicion 10.4 La distribucion acumuladaFX(x) de una variable aleatoria continua X condensidadfX es:

FX(x) =P(Xx) = x

fX(t) dt x R

Ejemplo 10.6 Para la funcion de densidad del ejemplo anterior, encuentre FX y utilcela paracalcular P(0< X1)

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10.4. Localizacion y dispersion de una variable aleatoria

Definicion 10.5 La esperanza de una variable aleatoria X se define como:

E(X) =

i=1

xifx(xi), X discreta

xfX(x)dx, X continua

Notacion: X=E(X)

Propiedades

1.- La esperanza matematica es un operador lineal, esto es, si E(X) esta bien definida, entonces

E(aX+ b) =aE(X) + b

2.- SiX e Y son variables aleatorias, entonces

E(X+ Y) = E(X) + E(Y)

3.- SiX e Yson variables aleatorias con esperanzas bien definidas y tales que

X()Y() entonces E(X)E(Y)

Definicion 10.6 La medianade una variable aleatoriaXes algun numero m tal que:

P(Xm)1/2 y P(Xm) = 1/2

Notas:

i) SiX tiene distribucion simetrica yE(X)


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Propiedades

1.- V(X) =E(X2) (E(X)2)2.- V(X)0, V(X) = 0X=c

3.- V(aX+ b) =a2

V(X)4.- Si X e Y son variables aleatorias, entonces

V(X+ Y) = V(X) + V(Y) 2 Cov(X, Y)

Solo en el caso en que X e Y son variables aleatorias independientes, entonces

V(X+ Y) = V(X) + V(Y)

Ejemplo 10.7 SeaX la variable aleatoria que cuenta el numero de caras en tres lanzamientos deuna moneda honesta. Determine el recorrido, la funcion de distribucion, valor esperado y varianzade X.

Ejemplo 10.8 SeaA un evento en(, A, P), con P(A) = p, con0p1. Usted paga$1 seAocurre y$0 siA ocurre.SeaXla ganancia obtenida en un ensayo de este experimento. Determine esperanza y varianza deX.

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10.5. Casos especiales de distribuciones probabilidad

10.5.1. Distribucion Bernoulli

Consideremos un experimento con solo dos resultados posibles, uno que se llame exito (E) yotro, fracaso (F). Los resultados sucesivos e independientes de tal experimento se llaman pruebas

o experimentos Bernoulli.En realidad, cualquier experiemnto puede ser usado para definir un ensayo Bernoulli simplementedenotando algun evento de interes, A, como exito y su complemento, A, como fracaso.

Notacion: XBernoulli(p) y su funcion de probabilidad esta dada por

P(X=x) =px(1 p)1x, x= 0, 1

donde

E(X) =p

V(X) =p(1 p)10.5.2. Distribucion Binomial

Un experimento que consiste de n ensayos Bernoulli independientes, cada uno con probabilidadde exitop, se llama un experimento Binomial con n ensayos y parametrop.Al decir ensayos independientessignifica que los ensayos son eventos indeoendientes esto es, loque ocurra en un ensayo no tiene efecto en el resultado observado para cualquier otro ensayo.

Definicion 10.8 SeaX el numero total de exitos observados en un experimento Binomial connensayos y parametro p. EntoncesXse llama variable aletoria Binomialcon parametrosn yp

y se denota XBin(n, p)y su funcion de probabilidad esta dada por

P(X=x) =

n

x

px(1 p)nx, x= 0, 1, . . . , n

Teorema 10.1 La esperanza y varianza de la distribucion Binomial estan dadas por:

E(X) =n pV(X) =n

p

(1

p)

Ejemplo 10.9 Se sabe que el numero de pacientes graves en una urgencia es una variable aleatoriaBinomial con una media de 12 pacientes graves y una varianza de 3. Determine la probabilidad queen un da haya a lo menos 2 pacientes en estado grave.

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10.5.3. Distribucion Geometrica

Definicion 10.9 Si se realizan repetidos experimentos Bernoulli independientes con probabilidad deexito p, entonces la distribucion de la variable aleatoriaX, el numero de experimentos necesarioshasta encontrar el primer exito sigue una distribucion geometrica de parametro p y se denotapor:

XGeo(p)con funcion de probabilidad dada por

P(X=x) = (1 p)x1p, x= 1, 2, 3, . . .

Teorema 10.2 La esperanza y varianza de la distribucion geometrica est an dadas por:

E(X) =1

p

V(X) =1 p

p2

Ejemplo 10.10 Cacule la probabilidad de que deba lanzar un dado por lo menos 6 veces hastaobtener un 5.

10.5.4. Distribucion Binomial Negativa

Definicion 10.10 Consideremos ensayos Bernoulli independientes con probabilidad de exito p encada ensayo. SiXes el numero de ensayos necesarios para observar elr-esimo exito, entoncesXse llama variable aleatoriaBinomial negativacon parametrosr, yp su funcion de probabilidadesta dada por

P(X=x) =

x 1r 1

pr (1 p)xr, x {r, r+ 1, . . .}

y se denota porXBinNeg(r, p)

Teorema 10.3 La esperanza y varianza de la distribucion Binomial Negativa estan dadas por:

E(X) =r

p

V(X) =r(1 p)

p2

Ejemplo 10.11 Cacule la probabilidad de que deba lanzar un dado por lo menos 6 veces hastaobtener 5 tres veces.

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10.5.5. Distribucion Poisson

Definicion 10.11 Una variable aleatoria X que cuenta el numero de eventos que ocurren en unperodo de tiempo tiene distribucion Poissonde parametro >0, y su funcion de probabilidadesta dada por

P(X=x) =

ex

x! , x= 0, 1, . . .y se denota por

XP oisson()

Teorema 10.4 La esperanza y varianza de la distribucion Poisson estan dadas por:

E(X) =

V(X) =

Ejemplo 10.12 Se sabe que los pacientes llegan de acuerdo a una distribucion Poisson con= 3pacientes/minuto. Cuando llegan mas de 4 pacientes por minuto la secretaria se ve sobrepasada yel servivio de atencion es calificado como deficiente. Cual es la probabilidad de que el sistema seacalificado como no deficiente?

10.5.6. Distribucion Uniforme

Definicion 10.12 Una variable aleatoria X tiene distribucion uniforme si su densidad se dis-tribuye por igual entre dos valores cualquieraa yb. Su funcion de densidad esta dada por

fX(x) =

1ba

, a< x< b,0, e.o.c.

Notacion: X U(a, b)Teorema 10.5 La esperanza y varianza de la distribucion Uniforme estan dadas por:

E(X) =a+ b

2

V(X) =(b a)2

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Ejemplo 10.13 En los das del verano, X, el tiempo de retraso de un tren del Metro, se puedemodelar como distribuida uniformemente entre 0 y 20 minutos.

1. Calcule la probabilidad de que el tren l legue por lo menos con 8 minutos de retraso.

2. Calcule la desviacion estandar del tiempo de retraso del tren.

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10.5.7. Distribucion Exponencial

Definicion 10.13 Suponga que los eventos suceden aleatoriamente a lo largo del tiempo, con untiempo esperado entre eventos. Sea X, la variable aleatoria que cuenta el tiempo para el siguienteevento, entonces X tiene distribucion exponencialy su funcion densidad esta dada por

fX(x) = 1

ex/

, x>0,0, e.o.c.

donde >0 y se denota por

Xexp()

Teorema 10.6 La esperanza y varianza de la distribucion Exponencial estan dadas por:

E(X) =

V(X) =2

Ejemplo 10.14

En un centro rural para la atencion de emergencias el tiempo entre llegadas sigue una distribucionexponencial con un tiempo media de llegadas de 1.25 horas. Encuentre la probabilidad de que eltiempo entre llegadas sea mayor a 1 hora. Encuentre la probabilidad de que el tiempo entre llegadassea mayor a 2 horas.

10.5.8. Distribucion Normal

Definicion 10.14 La variable aleatoria X tienedistribucion normalcon media y varianza2

si su funcion de densidad esta dada por

fX(x) = 1

22e

(x)2

22 , < x


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Ejercicios 7 .

1. Clasifique las siguientes variables como discretas o continuas.

X : el numero de accidentes de automovil por ano en la ciudad de Santiago.

Y : el tiempo que toma jugar 18 hoyos de golf.

M : la cantidad de leche producida anualmente por una vaca en particular.

N : el numero de huevos que pone mensualmente una gallina.

P : el numero de permisos para la construccion de edificios que otorga mensualmente unamunicipalidad.

Q: la cantidad de kilos de manzanas que exporta una empresa.

2. SeaX = numero de sustancias nocivas en un material de trabajo escogido al azar.

x 0 1 2 3 4p(x) 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05p(x) 0.4 0.1 0.1 0.1 0.3 p(x) 0.4 0.2 -0.3 0.5 0.2

a) Cual de las siguientes tres funciones de probabilidad es una funcion de probabilidadlegitima paraX, Por que no se permiten las otras 2?

b) Para la funcion de probabilidad legitima de la parte anterior. Calcule P(2 X 4),P(X2) yP(X= 0)

c) Escriba la funcion de probabilidad acumulada.

d) Sip(x) =c (5 x) parax = 0, 1, 2, 3. Cual es el valor dec?3. Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen despues de di-

ferente numero de anos. Dada la distribucion acumulada de T, el numero de anos para elvencimiento de un bono seleccionado aleatoriamente es

FT(t) =

0, t< 1,14 , 1 x


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4. Ciertos temes son producidos por una maquina, cada item es clasificado como de primera osegunda calidad; los temes de segunda calidad representan al 5 % de la producci on total. Si seinspeccionan temes hasta que se encuentra el quinto de segunda calidad,

a) Determine la variable aleatoria y su funcion de probabilidad.

b) Cual es el numero esperado de temes que se deben inspeccionar para detectar el quintode segunda calidad?

c) Cual es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 7 artculos?

5. Se sabe que el 60 % de estudiantes de la Universidad son fumadores. En una muestra aleatoriade 12 alumnos,

a) Cual es la probabilidad que haya exactamente dos fumadores?

b) Cual es la probabilidad que sean fumadores solo los dos primeros alumnos entrevistados?

c) Cual es el numero esperado de fumadores?

6. Ocasionalmente aplicaciones de laser se usan para destruir celulas cancergenas. El exito deuna aplicacion se evalua con un examen histologico. Suponga que una aplicacion es exitosacon probabilidad p. En caso cuya gravedad lo amerita, aplicaciones se repiten hasta contrartres examenes que indiquen exito.

a) Calcule la probabilidad de que un paciente dado requiera seis aplicaciones

b) Calcule la probabilidad que un paciente dado requiera menos de seis aplicaciones

7. Suponga que se realizann lanzamientos independientes de una moneda sesgada, con probabi-lidad de cara, 0<


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9. Un peaje cobra$2000 por cada autobus de pasajeros y$3500 por otros vehculos particulares.Supongamos que durante las horas diurnas, el 60 % de todos los vehculos son autobuses depasajeros.

a) Si 25 vehculos cruzan el peaje durante un perodo particular diurno, cual es el ingresoesperado en el peaje?; cual es la varianza del ingreso del peaje?

b) Suponga que los vehculos de pasajeros llevan un promedio de 15 pasajeros y los parti-culares un promedio de 3 pasajeros. Cual es la probabilidad de que un vehculo que sedetiene en el peaje lleve cuatro pasajeros?

c) Un vehculo es detenido en el peaje y lleva tres pasajeros, cual es la probabilidad de quesea de tipo particular?

10. Una fabrica de motores cerrara si tiene mas de dos fallas en un da durante los proximos 15dias. La probabilidad de que alguno de estos tenga fallas en cada intento es de 0,03 y cada dase producen 10 motores.

a) Cual es la probabilidad de que la fabrica cierre?b) Cual es la probabilidad de que la fabrica no cierre?

c) Cual es la probabilidad de que ocurran 2 o mas fallas todos los das?

d) Cuantos das tendra que haber fallas para que la probabilidad de cierre sea de 0,5?

11. Si el 90 % de todos los solicitantes para cierto tipo de hipoteca no llenan correctamente elformato de solicitud en la primera remision, Cual es la probabilidad de que entre 15 de estossolicitantes seleccionados al azar:

a) Por lo menos 12 no la llenen a la primera remision.

b) Entre 10 y 13 inclusive no la llenen a la primera remision.c) A lo sumo 2 llenen correctamente sus formatos en la primera remision.

12. Una compana de seguros est a considerando incluir la cobertura de una enfermedad extrana enel campo de seguros medicos. La probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamentetenga esta enfermedad es 0,001 y se incluyen 3000 individuos en el grupo asegurado. Se pidedeterminar:

a) Cual es el numero esperado de personas del grupo que padecen dicha enfermedad?

b) Cual es la probabilidad de que ninguna persona del grupo de 3000 padezca la enfermedad?

13. Una variable aleatoria continua X que puede tomar valores entre x=2 y x=5 tiene una funcionde densidad

fX(x) =2(1 + x)

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Calcule

a) P(X


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14. Considere la funcion de densidad

fX(x) =

k

x, 0< x< 1

0, e.o.c.

a) Encuentre el valor dek.

b) EncuentreFX(x) y utlcela para calcular

P(0,3< X 0. Suponga que la probabili-dad de que el dardo caiga en un circulo concentrico (centrado en el origen) es proporcional alarea de dicho crculo. SeaXla distancia desde la posicion en que el dardo impacta el tableroy su centro.

a) Obtenga la funcion de distribucion acumulada, funcion de densidad y valor esperado deX.

b) Calcule la probabilidad de que el dardo aterrice a una distancia (j1)r/4 y jr/4 delorigenj = 1, 2, 3, 4.

c) Si se sabe que el dardo aterrizo a una distancia inferior a r/2 del centro Cual es laprobabilidad de que haya cado a una distancia menor qued, con0< d < r/2?

16. Una maquina que marca numeros telefonicos al azar selecciona aleatoriamente cuatro dgitosentre 0000 y 9999 (incluido ambos). Trate a la variable Y, el numero seleccionado, comosi fuese continua (aun cuando hay solo hay 10000 posibilidades discretas) y uniformementedistribuida.

a) Encuentre P(0300< Y 5555)

c) Encuentre la varianza de Y

17. En una central nuclear ocurren aleatoriamente a lo largo del tiempo eventos poco comunes(problemas menores de operacion). El tiempo medio entre dos eventos es 40 das.

a) Cual es la probabilidad de que el tiempo para el siguiente evento poco comun se en-cuentre entre 20 y 60 das?

b) Cual es la probabilidad de que pasen mas de 60 das sin probemas?

c) Encuentre la desviaci on estandar del tiempo para el siguiente evento poco comun.

d) Un analisis de los archivos de la central nuclear muestra que los eventos poco comu-nes suceden con mayor frecuencia los fines de semana, que hipotesis subyacente a lasrespuestas de las preguntas anteriores se pone en duda?

18. SeaZ una variable aleatoria normal estandarizada. Calcule:

a) P(0Z1,96)

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b) P(Z >1,96)

c) P(1,96Z1,96)d) P(0Z1,96)

19. Los ingresos anuales de los profesores de la universidad siguen una distribucion normal con

media 18600 dolares y una desviacion estandar de 27000 dolares. Encuentre la probabilidadde que un profesor seleccionado al azar tenga

a) un ingreso anual inferior a 15000 dolares.

b) un ingreso mayor a 21000 dolares.

c) un ingreso mayor a 25000 y de a lo mas 30000 dolares.

20. La presion de aire de un neumatico seleccionado al azar, instalado en un automovil nuevo,esta normalmente distribuida con valor medio 31 lb / pulg y desviacion estandar de0,2 lb /pulg

a) Cual es la probabilidad de que la presion de un neumatico, seleccionado al azar, excedade 30.5 lb/ pulg?

b) Cual es la probabilidad de que la presion de un neumatico, seleccionado al azar, seencuentre entre 30.5 y 31.5 lb/ pulg?

c) Suponga que un neumatico se considera con presion baja si esta debajo de 30.4 lb/ pulg .Cual es la probabilidad de que al menos uno de los cuatro neumaticos de un automovilse encuentre con presion baja?

21. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) lasuperficie del metal y despues medir la profundidad de penetraci on del punto. Suponga que la

dureza Rockwell de cierta aleacion esta normalmente distribuida con media de 70 y desviacionestandar de 3.

a) Si un especimen es aceptable solo si su dureza esta entre 67 y 75, Cual es la probabilidadque un especimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable?

b) Si la escala aceptable de dureza es(70 c; 70+c)Para que valores dec tendran el95 %de los especimenes una dureza considerada aceptable?

c) Cual es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez especimenes, seleccionados inde-pendientemente, tengan una dureza menor a73, 84?

22. Suponga que los niveles de colesterol para los adultos entre 20 y 74 anos de edad tienen media = 211mg/dl y desviacion estandar = 46mg/dl. Se asume que por debajo de 200 mg/dllos niveles son normales, entre 200 y 240mg/dl el nivel es normal-alto y mas de 240 es alto.

a) Cual es la probabilidad de estar en cualquiera de las tres categoras?

b) Si se eligen 10 adultos al azar, cual es la probabilidad que a lo mas tres de ellos tengancolesterol alto?

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10.6. Funciones de Variables Aleatorias

Definicion 10.16 Sea X una variable aleatoria y seag una funcion con dominio en S y valores enR. El valor esperado de g(X) esta dado por

E(g(X)) =

i=1

g(xi)P(X=xi), X discreta

g(x)f(x)dx, X continua

10.6.1. Momentos y funciones generadoras de momentos

Definicion 10.17 Dada una variable aleatoria X se definen:

(i)

E(X

k

) =

i=1

xki fx(xi), X discreta

xkfX(x)dx, X continua

como el k-esimo momento (no centrado) de X.

(ii)

E((X )k) =

i=1

(xi )kfx(xi), X discreta

(x )kfX(x)dx, X continua

como el k-esimo momento centrado de X.Definicion 10.18 La funcion generadora de momentos (f.g.m.) de una variable aleatoria Xse define como

MX(t) =

i=1

etxifx(xi),

etxfX(x)dx,

cont R.Ejemplo 10.16 Determine su funcion generadora de momentos para las siguientes distribuciones:

a) XBin(n, p)b) X N(0, 1)

Teorema 10.7 Sea X una variable aleatoria con funcion generadora de momentosMX(t). Entonces

E(Xk) =dkMX(t)

dtk

t=0

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Ejemplo 10.17 Utilizando las respectivas f.g.m calcule la media de X si

a) XBin(n, p)b) X N(0, 1)

Teorema 10.8 (Teorema de Unicidad)Sean X e Y dos avriables aleatorias con funciones generadoras de momentosMX(t) yMY(t), res-pectivamente. Si MX(t) = MY(t) para todos los valores de t, entonces X e Y tienen la mismadistribucion de probabilidad.

Teorema 10.9 Si Y = cX + d, entoncesMY(t) =etdMX(t)

Ejemplo 10.18 Sea X una variable aleatoria con distribucion normal est andar. Determine laf.g.m. deY =+ X.

10.6.2. Transformacion de variables

Frecuentemente, en estadstica, se presenta la necesidad de deducir la distribucion de probabili-dad de una funcion de una o mas variables aleatorias. Por ejemplo supongamos que Xes una variablealeatoria discreta con distribucion de probabilidad f(x) y supongamos ademas que Y =g(X) de-fine una transformacion uno a uno entre los valores de X e Y. Se desea encontrar la distribucionde probabilidad de Y. Es importante resaltar el hecho que la transformacion uno a uno implicaque cada valor de x esta relacionado con un, y solo un valor de y = g(x) y que cada valor de yesta relacionado con un, y solo un valor de x = g1(y).

Teorema 10.10 Sea X una variable aleatoria discreta con distribucion de probabilidad f(x). SiY = g(X) define una transformacion uno a unn entre los valores de X e Y de tal forma que la

ecuaciony = g(x) pueda resolverse unicamente para x en terminos de y. Entonces la distribucionde probabilidad de Y es

fY(y) =fX(g1(y))

Ejemplo 10.19 Sea X una variable aleatoria geometrica con distribucion de probabilidad

fX(x) =3

4

1

4

x1, x= 1, 2, . . .

a) Encuentre al distribucion de la variable aleatoria deY =X2

b) Encuentre la distribucion para la variable aleatoriaZ= 4

5X

Teorema 10.11 Suponga que X es una variable aleatoria continua con distribucion de probabilidadf(x). Sea Y = g(X), con g una funcion uno a uno entre los valores de X e Y. Entonces ladistribucion de probabilidad de Y esta dada por

fY(y) =fX(g1(y))|J|

dondeJ= (g1(y)) y recibe el nombre de Jacobiano de la tranformacion.

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Ejemplo 10.20 .

a) Sea X una variable aleatoria continua con funcion densidad

fX(x) = x

12, 1< x


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4. Se dice queX tiene distribucio Weibull si

fX(x) =

x1exp(x), x>0;0, e.o.c.

Se asume que >0 y >0. DetermineE(X). Cual es la distribucion deY =X?

5. Encuentre la funcion generadora de momentos de una variable aleatoria X U(a, b). Useeste resultado para calcularE(X) yV(X).

6. SeaXun variable aleatoria que sigue cada una de las siguientes distribuciones:

a) Bin(n,p)

b) Poisson()

c) Geom(p)

d) U(m,n), m< n.

Para cada distribucion calcule

a) E(X)

b) E(X(X-1))

c) E(X2)

d) V(X)

e) E(zX), dondezes un numero real.

7. A traves de experimentos estadsticos se determino que la duracion de un cierto tipo de llamada

telefonica satisface la relacion P(T > t) = ae

t

+ (1 - a)e

t

, t 0, donde 0 a 1,, >0. Hallar la media y la varianza de T.8. Suponga que X tiene funcion densidad

g(x) =cecx, x0.

a) Encuentre la distribucion de X1+X

b) Encuentre la distribuciondeX+ c

9. Suponiendo que X tienen la siguiente funcion de densidad

f(x) =e(xa), xa.a) EncuentreMX(t).

b) Calcular E(X) y V(X).

10. Sea X una variable aleatoria que satisface

P(X > t) =et2

t >0.

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a) Calcule P(1< X

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