Apunts de Càlcul Tema 3. Integració de funcions d'una variable

Apunts de CalculTema 3. Integracio de funcions d’una variable

Lali Barriere, Josep M. OlmDepartament de Matematica Aplicada 4 - UPC

Enginyeria de Sistemes de TelecomunicacioEnginyeria Telematica

EETAC

Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 1 / 72

Continguts

Continguts

3.1 Integral indefinida

3.2 Calcul de primitivesIntegrals immediates i quasi-immediatesIntegracio per partsIntegracio de funcions racionalsCanvis de variable i formules trigonometriques

3.3 Integral definida

3.4 Aplicacions

3.5 Integrals impropies



Primitiva d’una funcioI Definicio. Siguin F, f : A ⊆ R =⇒ R. Diem que F es una primitiva

de f en A si i nomes si

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ AI Exemples.

1. F1(x) = x2 es una primitiva de f(x) = 2x.2. F2(x) = x2 + 1 es una primitiva de f(x) = 2x.

I Propietat. Siguin F1, F2 dues primitives d’una funcio f . Aleshores,la seva diferencia es una constant:

∃c ∈ R tal que F1(x)− F2(x) = c

I Exercici 1. Demostrar la propietat anterior.I Observacio. Aixo significa que, coneguda una primitiva F d’una

funcio f , totes les altres primitives son de la forma

F (x) + c, c ∈ R



Concepte d’integral indefinida

I Definicio. El conjunt de totes les primitives d’una funcio, f , rep elnom d’integral indefinida de f , i es representa per:

∫f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R

on F es una primitiva qualsevol de f .

I La constant arbitraria c rep el nom de constant d’integracio, mentreque dx es l’anomenat diferencial de x.

I Observacio. Segons la definicio anterior:∫f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R⇐⇒ F ′(x) = f(x)

I Exemple.∫

2x dx = x2 + c, c ∈ R, perque[x2]′

= 2x



Interpretacio geometrica (I)

Trobar una primitiva, F , d’una funcio, f , representa reconstruir F a partirde la informacio facilitada per la seva derivada, f , es a dir, a partir delpendent de la recta tangent a F en cada punt x.

y = F(x)

f(x) = F’(x)



Interpretacio geometrica (II)La integral indefinida de f representa la familia de funcions obtinguda per“desplacament vertical” d’una primitiva qualsevol, F .



Sobre el diferencial de x

I El diferencial de x, dx, representa una variacio molt, molt petita de x.De fet, escrivim

∆x = dx quan ∆x→ 0

I Donada una funcio y = f(x) derivable, definim el diferencial de y, dy,com:

dy = f ′(x) dx

I Exemple. Calcular dy per a y = x2.

y = x2 =⇒ dy =[x2]′dx = 2x dx

I D’altra banda, de dy = f ′(x) dx s’obte que

f ′(x) =dy

dx−→ notacio alternativa per a la derivada



Interpretacio de l’expressio dy = f ′(x) dxQuan x varia infinitesimalment, la variacio experimentada per y = f(x)coincideix amb la que experimenta la seva recta tangent:

Escrivim ∆y = f ′(x)∆x+ α.

Quan ∆x→ 0 es te

{∆x→ dx,α→ 0.

Per tant, ∆y → f ′(x) dx = dy.



Primeres propietats de la integral indefinidaSigui F una primitiva de f , es a dir, tal que F ′(x) = f(x). Aleshores:

P1.

[∫f(x) dx

]′= f(x)

Prova:

[∫f(x) dx

]′= [F (x) + c]

′= F ′(x) = f(x)

P2. d

[∫f(x) dx

]= f(x) dx

Prova:

d

[∫f(x) dx

]= d [F (x) + c] = [F (x) + c]

′dx = F ′(x) dx = f(x) dx

P3.

∫dF (x) = F (x) + c, c ∈ R

Prova:

∫dF (x) =

∫F ′(x) dx =

∫f(x) dx = F (x) + c

Aquestes propietats ens indiquen que la integracio es l’operacio inversa dela derivacio.


3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates

Integrals immediates

Son les que s’obtenen directament a partir de les taules de derivacio:

∫dx = x+ c

∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ c, n 6= −1

∫1

xdx = ln |x|+ c

∫ax dx =

ax

ln a+ c, a > 0

∫cosx dx = sinx+ c

∫sinx dx = − cosx+ c

∫1

cos2 xdx =

∫(1 + tan2 x) dx = tanx+ c

∫1

sin2 xdx =

∫(1 + cot2 x) dx = − cotx+ c

∫1

1 + x2dx = arctanx+ c

∫1√

1− x2dx = arcsinx+ c = − arccosx+ c



Propietats de la integral indefinida: linealitat

I Propietat. Siguin f , g funcions i λ ∈ R. Aleshores:

1. Integral de la suma:

∫[f(x) + g(x)] dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx

2. Integral d’un escalar per una funcio:

∫λf(x) dx = λ

∫f(x) dx

I Exercici 2. Calcular:

1.∫ (

2x2 − 3x+ 4)dx

2.∫ (−3 sinx+ 4

x

)dx



Integrals quasi-immediates (I)S’obtenen a partir de les integrals immediates i la regla de la cadena

∫g′ (f(x)) f ′(x) dx = g (f(x)) + c, c ∈ R

∫dx = x+ c

∫f ′(x) dx = f(x) + c∫

xn dx =xn+1

n+ 1+ c, n 6= −1

∫f ′(x)(f(x))n dx =

(f(x))n+1

n+ 1+ c, n 6= −1∫

1

xdx = ln |x|+ c

∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|+ c∫

ex dx = ex + c

∫f ′(x)ef(x) dx = ef(x) + c∫

ax dx =ax

ln a+ c

∫f ′(x)af(x) dx =

af(x)

ln a+ c∫

cosx dx = sinx+ c

∫f ′(x) cos(f(x)) dx = sin(f(x)) + c∫

sinx dx = − cosx+ c

∫f ′(x) sin(f(x)) dx = − cos(f(x)) + c



Integrals quasi-immediates (II)

∫1

cos2 xdx =

∫(1 + tan2 x) dx =

∫f ′(x)

cos2(f(x))dx =

∫f ′(x)(1 + tan2(f(x))) dx =

= tanx+ c = tan(f(x)) + c∫1

sin2 xdx =

∫(1 + cot2 x) =

∫f ′(x)

sin2(f(x))dx =

∫f ′(x)(1 + cot2(f(x))) dx =

= − cotx+ c = − cot(f(x)) + c∫1√

a2 − x2dx = arcsin

x

a+ c =

∫f ′(x)√

a2 − (f(x))2dx = arcsin

f(x)

a+ c =

= − arccosx

a+ c = − arccos

f(x)

a+ c∫

dx

a2 + x2=

1

aarctan

x

a+ c

∫f ′(x)

a2 + (f(x))2dx =

1

aarctan

f(x)

a+ c



Integrals quasi-immediates (III)Exercici 3. Provar que:

∫f ′(x) (f(x))n dx =

(f(x))n+1

n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1

Solucio. Sabem que:[(f(x))n+1]′ = (n+ 1) (f(x))n f ′(x), n 6= −1

per tant:

(f(x))n f ′(x) =

[(f(x))n+1]′n+ 1

=

[(f(x))n+1

n+ 1

]′, n 6= −1.

Fent

F (x) =(f(x))n+1

n+ 1

tenim que:∫(f(x))n f ′(x) dx =

∫F ′(x) dx = F (x) + c =

(f(x))n+1

n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1.



Integrals quasi-immediates: exercicis

Exercici 4. Calcular i comprovar derivant que la solucio trobada escorrecta:

1.

∫2x(x2 + 1

)2dx

2.

∫e√x

√xdx

3.

∫3x3

x4 − 3dx

4.

∫e2x cos

(e2x)dx


3.2 Calcul de primitives Integracio per parts

Integracio per parts

Utilitza una relacio integral basada en la derivada del producte.

I Propietat. Siguin u = u(x) i v = v(x). Aleshores:

∫u · dv = u · v −

∫v · du

I Exercici 5. Demostrar la propietat anterior.Notem que:[uv]′ = u′v + uv′ =⇒ [uv]′ dx = (u′v + uv′) dx = vu′ dx+ uv′ dx.Aixı tenim que d (uv) = v du+ u dv i, per tant, u dv = d (uv)− v du.

Integrant:

∫u dv =

∫[d (uv)− v du] =

∫d(uv)−

∫v du = uv −

∫v du.

I Cal triar u i dv adequadament, de manera que∫dv i

∫v · du siguin

mes simples que∫u · dv.



Integracio per parts: exemples (I)

1. Calcular

∫xex dx.

Triem

{u = x −→ du = dxdv = ex dx −→ v =

∫ex dx = ex

}. Aixı:

∫xex dx = xex −

∫ex dx = xex − ex + c = x (ex − 1) + c, c ∈ R

2. Calcular

∫lnx dx.

Triem

{u = lnx −→ du = 1

x dxdv = dx −→ v =

∫dx = x

}. Aixı:

∫lnx dx = x lnx−

∫x · 1

xdx = x lnx−

∫dx =

= x lnx− x+ c = x (lnx− 1) + c, c ∈ R



Integracio per parts: exemples (II)

3. Calcular

∫ex cosx dx.

Triem

{u = ex −→ du = ex dxdv = cosx dx −→ v =

∫cosx dx = sinx

}. Aixı:

I =

∫ex cosx dx = ex sinx−

∫ex sinx dx

Integrem tambe per parts la integral resultant.

Triem

{u = ex −→ du = ex dxdv = sinx dx −→ v =

∫sinx dx = − cosx

}. Ara,

I = ex sinx−(−ex cosx−

∫ex(− cosx) dx

)=

= ex (sinx+ cosx)−∫ex cosx dx = ex (sinx+ cosx)− I

Per tant, 2I = ex(sinx+ cosx), i tenim:∫ex cosx dx =

1

2ex (sinx+ cosx) + c, c ∈ R


3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals

Integracio de funcions racionals (I)

I Les integrals racionals son integrals de la forma

∫p(x)

q(x)dx

on p(x) i q(x) son polinomis.

I Es resolen descomponent el quocient p(x)q(x) en una suma de termes

d’integral immediata o quasi-immediata.

Metode de descomposicio en suma d’integrals mes senzilles

1. Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x).

2. Si grau(p(x)) < grau(q(x)):

2.1 Si p(x) = kq′(x), k ∈ R =⇒ La integral es immediata.2.2 Si p(x) 6= kq′(x) =⇒ Descomposicio en fraccions simples.



Integracio de funcions racionals (1.)

1. Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x).Divisio: p(x) = c(x)q(x) + r(x), amb grau(r(x)) < grau(q(x)).

∫p(x)

q(x)dx =

∫c(x)q(x) + r(x)

q(x)dx =

∫c(x) dx+

∫r(x)

q(x)dx



Integracio de funcions racionals (2.)2. Si grau(p(x)) < grau(q(x))2.1 p(x) = k · q′(x), k ∈ R

I Aleshores:∫p(x)

q(x)dx =

∫kq′(x)

q(x)dx = k

∫q′(x)

q(x)dx = k ln |q(x)|+ c, c ∈ R

I Exemple. Calcular

∫3x2 + 4x+ 3

2x3 + 4x2 + 6xdx

∫3x2 + 4x+ 3

2x3 + 4x2 + 6xdx =

1

2

∫3x2 + 4x+ 3

x3 + 2x2 + 3xdx =

=1

2ln |x3 + 2x2 + 3x|+ c, c ∈ R

2.2 p(x) 6= k · q′(x)

En aquest cas, cal descomposar p(x)q(x) en suma de fraccions simples.



Integracio de funcions racionals (2.2)2.2 p(x) 6= k · q′(x)La descomposicio es basa en la factoritzacio de q(x) com a producte depolinomis irreduıbles.El teorema seguent ens diu que q(x) sempre factoritza en producte depolinomis reals irreduıbles de grau 1 o 2.

I Teorema. Sigui el polinomi de grau n

q(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, ai ∈ R.

Aleshores existeixen α1, . . . , αr, β1, . . . , βs, γ1, . . . , γs ∈ R unics tals:

q(x) = an (x− α1)l1 · · · (x− αr)

lr(x2 + β1x+ γ1

)m1 · · ·(x2 + β1x+ γ1

)ms ,amb:

I α1, . . . , αr: arrels reals de q(x), amb multiplicitats respectivesl1, . . . , lr, i αi 6= αj , ∀i 6= j

I β2j − 4γj < 0, ∀j, i (βi, γi) 6= (βj , γj), ∀i 6= j

I n = l1 + · · ·+ lr + 2 (m1 + · · ·+ms)

I Observacio. Recordem que, per a β2 − 4γ < 0, tenim que:

x2 + βx+ γ = (x− a)2 + b2, a, b ∈ R



Integracio de funcions racionals (2.2.1)2.2.1 q(x) = (x− α) · (. . . )Es a dir, q(x) te una arrel real, α, de multiplicitat 1.

I Per a cada factor de la forma (x− α) tenim un terme en la

descomposicio de p(x)q(x) de la forma

A

x− αon A es una constant que s’ha de calcular.

I La integral d’un d’aquests termes es immediata:

∫A

x− α dx = A

∫1

x− α dx = A ln |x− α|+ c

I Exercici 6. Calcular

∫1

2x2 − 2dx.



Integracio de funcions racionals (2.2.2)2.2.2 q(x) = (x− β)m · (. . . )Es a dir, q(x) te una arrel real, β, de multiplicitat m.

I Per a cada factor de la forma (x− β)m tenim m termes en la


B1

x− β +B2

(x− β)2+ · · ·+ Bm

(x− β)m

on B1, . . . , Bm son constants que s’han de calcular.I Les integrals de cadascun d’aquests termes son immediates:

∫B1

x− β dx = B1 ln |x− β|+ c∫

Bk

(x− β)kdx = − Bk

(k − 1)(x− β)k−1+ c, k 6= 1

I Exercici 7. Calcular

∫1

x(x− 1)2dx.



Integracio de funcions racionals (2.2.3)2.2.3 q(x) = ((x− a)2 + b2) · (. . . )Es a dir, q(x) te factors irreduıbles de grau 2, de multiplicitat 1.

I Per a cada factor de la forma (x− a)2 + b2, tenim un terme en la


Mx+N

(x− a)2 + b2

que es pot descompondre en suma de dues parts:

Mx+N

(x− a)2 + b2=

M · (x− a)

(x− a)2 + b2+

N +M · a(x− a)2 + b2

I Les integrals de cadascun d’aquests termes son immediates:∫

x− a(x− a)2 + b2

dx =1

2ln((x− a)2 + b2) + c

∫1

(x− a)2 + b2dx =

1

barctan

x− ab

+ c



Integracio de funcions racionals (2.2.3)Exemple. Calcular ∫

5x

x2 − 4x+ 13dx

Notem que x2 − 4x+ 13 = (x− 2)2 + 9, per tant:∫

5x

x2 − 4x+ 13dx =

5

2

∫2x

x2 − 4x+ 13dx =

5

2

∫2x− 4 + 4

x2 − 4x+ 13dx =

=5

2

∫2x− 4

x2 − 4x+ 13dx+

5

2

∫4

x2 − 4x+ 13dx =

5

2ln |x2 − 4x+ 13|+

+10

∫1

9 + (x− 2)2dx =

5

2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10

9

∫1

1 +(x−23

)2 dx =

=5

2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10

3

∫ 13

1 +(x−23

)2 dx =

=5

2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10

3arctan

(x− 2

3

)+ c, c ∈ R



Integracio de funcions racionals: exemple

I Exemple. Assajar la descomposicio en fraccions simples de

3x− 1

x(x− 1)3(x2 + 1)((x+ 2)2 + 32)

I Solucio.

3x− 1

x(x− 1)3(x2 + 1)((x+ 2)2 + 32)=A

x+

B

x− 1+

C

(x− 1)2+

+D

(x− 1)3+Ex+ F

x2 + 1+

Gx+H

(x+ 2)2 + 32


3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques

Integracio per canvi de variable (I)

Propietat. Donada

∫f(x) dx, el canvi

{x = u(t)

dx = u′(t) dt

}fa que

∫f(x) dx =

∫f(u(t)) · u′(t) dt

I La idea es trobar un canvi adequat que faci el calcul de la novaintegral mes senzill que el de l’original.

I En acabar la integral cal desfer el canvi.

I Exemple. Calcular

∫1√

9− x2dx

Amb el canvi

{x = 3tdx = 3 dt

}tenim que:

∫1√

9− x2dx =

∫1√

9− (3t)23 dt =

∫3√

9− 9t2dt =

=

∫1√

1− t2dt = arcsin t+ c = arcsin

x

3+ c, c ∈ R



Integracio per canvi de variable (II)

I A vegades el canvi es pot escriure:

{h(x) = t

h′(x) dx = dt

}.

I Exemple. Calcular

∫1

ex + e−xdx.

Fem el canvi

{ex = t

ex dx = dt −→ dx = dtex

= dtt

}. Aleshores:

∫1

ex + e−xdx =

∫1

t+ 1t

·dtt

=

∫1

1 + t2dt = arctan t+c = arctan ex+c, c ∈ R.

I Les integrals quasi-immediates tambe es poden fer amb canvis devariable.

I Exemple. Amb el canvi

{f(x) = t

f ′(x) dx = dt

}resulta que:

∫(f(x))n f ′(x) dx =

∫tn dt =

tn+1

n+ 1+ c =

(f(x))n+1

n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1.



Productes de potencies del sinus i el cosinus

1.

∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, n senar.

Es poden resoldre amb el canvi:

sin ax = t⇒{a · cos ax · dx = dtcos2 ax = 1− t2

2.

∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, m senar.

Es poden resoldre amb el canvi:

t = cos ax⇒{−a · sin ax · dx = dtsin2 ax = 1− t2

En alguns casos, les integrals d’aquest tipus es poden reduir a integralsquasi immediates utilitzant

sin2 ax+ cos2 ax = 1



Productes de potencies del sinus i el cosinus

3.

∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, m,n parells.

Es redueix el grau utilitzant les formules trigonometriques:

sin2A =1− cos 2A

2, cos2A =

1 + cos 2A

2

4. Integrals que contenen productes de sinus i cosinus d’angles diferents:es simplifiquen usant les identitats trigonometriques apropiades.

sin a · sin b = 12(cos(a− b)− cos(a+ b))

cos a · cos b = 12(cos(a+ b) + cos(a− b))

sin a · cos b = 12(sin(a+ b) + sin(a− b))



Exemples

1. Calcular la integral

∫sin4 x · cos3 x dx.

Es tracta d’una integral de tipus 1. Canvi:

sinx = tcosx dx = dtcos2 x = 1− t2

∫sin4 x cos3 x dx =

∫sin4 x cos2 x cosx dx =

∫t4(1− t2

)dt =

∫ (t4 − t6

)dt =

t5

5− t7

7+ c =

sin5 x

5− sin7 x

7+ c, c ∈ R

Exercici 8. Resoldre la mateixa integral utilitzant sin2 x+ cos2 x = 1 perconvertir-la en una integral quasi-immediata.



Exemples


∫1

sin 2xdx.

Es tracta d’una integral de tipus 2. Canvi:

cos 2x = t−2 · sin 2x · dx = dtsin2 2x = 1− t2

∫1

sin 2xdx =

∫sin 2x

sin2 2xdx =

∫sin 2x

1− cos2 2xdx =

1

2

∫1

t2 − 1dt

Resolent la integral racional s’obte:

∫1

sin 2xdx =

1

4

(∫1

t− 1dt−

∫1

t+ 1dt

)=

1

4ln|t− 1||t+ 1| + c =

= ln 4

√∣∣∣∣cos 2x− 1

cos 2x+ 1

∣∣∣∣+ c



Exemples


∫sin2 x · cos2 x dx

Es tracta d’una integral de tipus 3. Usem:

sin2 x =1− cos 2x

2

cos2 x =1 + cos 2x

2∫

sin2 x cos2 x dx =

∫1− cos 2x

2· 1 + cos 2x

2dx =

∫1− cos2 2x

4dx

Ara: cos2 2x =1 + cos 4x

2=⇒

∫sin2 x cos2 x dx =

∫ (1

4− 1 + cos 4x

8

)dx =

1

8

∫(1− cos 4x) dx =

=1

8

(x− 1

4

∫4 cos 4x dx

)=

1

8

(x− 1

4sin 4x

)+ c, c ∈ R



Exemples


∫sin 3x · cos 5x dx.

Es tracta d’una integral de tipus 4.

Utilitzem: sin 5x · cos 3x =1

2(sin 8x+ sin 2x).

∫sin 3x cos 5x dx =

∫1

2(sin 8x+ sin 2x) dx =

= −cos 8x

16− cos 2x

4+ c, c ∈ R



Funcions racionals del sinus i el cosinus (I)

I Propietat. Donada la integral

∫R(sinx, cosx) dx amb

R(sinx, cosx) funcio racional del sinus i el cosinus, el canvi devariable

tanx

2= t

la converteix en∫F (sinx, cosx) dx =

∫F

(2t

1 + t2,1− t21 + t2

)· 2

1 + t2dt

es a dir, en la integral d’una funcio racional.Aquest canvi sol donar lloc a integrals racionals de resolucio llarga.

I Exercici 9. Demostrar que del canvi anterior es dedueix:

sinx =2t

1 + t2, cosx =

1− t21 + t2

, dx =2

1 + t2dt



Funcions racionals del sinus i el cosinus (II)

Solucio.

sinx =sinx

1=

2 sin x2 cos x

2

sin2 x2 + cos2 x

2

=2 sin x

2 cos x2

cos2 x2

(1 +

sin2 x2

cos2 x2

) =

=2 tan x

2

1 + tan2 x2

=2t

1 + t2

cosx =cosx

1=

cos2 x2 − sin2 x

2

cos2 x2 + sin2 x

2

=cos2 x

2

(1− sin2 x

2cos2 x

2

)

cos2 x2

(1 +

sin2 x2

cos2 x2

) =

=1− tan2 x

2

1 + tan2 x2

=1− t21 + t2

t = tanx

2⇐⇒ x

2= arctan t⇐⇒ dx =

2

1 + t2dt



Funcions racionals del sinus i el cosinus (III)Donada la integral

∫R(sinx, cosx) dx, amb R(sinx, cosx) funcio

racional del sinus i el cosinus:

I Si R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx), es pot fer el canvi sinx = t.

sinx = t⇒ x = arcsin t, cosx dx = dt, cos2 x = 1− t2

Inclou productes de potencies de sinus i cosinus de tipus 1.

I Si R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx), es pot fer el canvi cosx = t.

cosx = t⇒ x = arccos t, − sinx dx = dt, sin2 x = 1− t2

Inclou productes de potencies de sinus i cosinus de tipus 2.

I Si R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx), es pot fer el canvi tanx = t.

tanx = t⇒ x = arctan t,1

cos2 xdx = dt,

cosx =1√

1 + t2, sinx =

t√1 + t2



Integracio de funcions irracionals (I)

I Les funcions irracionals son les que contenen arrels.

I Es busquen canvis que converteixin la integral en una que no tinguiarrels.

Tipus

1.

∫F (

m√ax+ b, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi m

√ax+ b = t

2.

∫F (√a2 − x2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a sin t.

3.

∫F (√a2 + x2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a tan t.

4.

∫F (√x2 − a2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a

cos t .



Integracio de funcions irracionals (II)

1.

∫F (

m√ax+ b, x) dx. Amb el canvi m

√ax+ b = t tenim:

m√ax+ b = t =⇒ x =

tm − ba

dx =mtm−1

adt

Exemple

∫ √x

2x−√x dx. Canvi:

{ √x = t =⇒ x = t2

dx = 2t dt

}

∫ √x

2x−√xdx =

∫ √t2

2t2 −√t22tdt =

∫2t2

2t2 − tdt =∫

2t

2t− 1dt =

∫2t− 1 + 1

2t− 1dt =

=

∫ (2t− 1

2t− 1+

1

2t− 1

)dt =

∫ (1 +

1

2t− 1

)dt =

∫dt+

1

2

∫2

2t− 1dt =

= t+1

2ln |2t− 1|+ c =

√x+

1

2ln |2√x− 1|+ c, c ∈ R



Integracio de funcions irracionals (III)2.

∫F (√a2 − x2, x) dx. Amb el canvi x = a sin t tenim:

x = a sin t =⇒ t = arcsinx

a

dx = a cos t dt√a2 − x2 = a cos t

Exemple

∫1 + x√1− x2

dx. Canvi:

{x = sin t =⇒ t = arcsinxdx = cos t dt

}

∫1 + x√1− x2

dx =

∫1 + sin t√1− sin2 t

·cos tdt =∫

1 + sin t√cos2 t

·cos tdt =∫

1 + sin t

cos t·cos tdt =

=

∫(1 + sin t) dt = t− cos t+ c = t−

√1− sin2 t+ c =

= arcsinx−√

1− x2 + c, c ∈ R



Integracio de funcions irracionals (IV)3.

∫F (√a2 + x2, x) dx. Amb el canvi x = a tan t tenim:

x = a tan t =⇒ t = arctanx

a

dx =a

cos2 tdt

√a2 + x2 = a

cos t

4.

∫F (√x2 − a2, x) dx. Amb el canvi x = a

cos t tenim:

x =a

cos t=⇒ t = arccos

a

x

dx =a sin t

cos2 tdt

√x2 − a2 = a tan t



Integral definida: definicio (I)

I Definicio. Donada f : [a, b] ⊂ R −→ R contınua i tal que f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b], es defineix la integral definida de f en [a, b] com l’area, A,limitada per l’eix y = 0 i la corba y = f(x) entre les rectes x = a ix = b. Aixo ho escrivim:

A =

∫ b

af(x) dx



Integral definida: definicio (II)I Definicio. Donada f : [a, b] ⊂ R −→ R contınua no necessariament

positiva, es defineix la integral definida de f en [a, b] com:I la suma de les arees limitades per l’eix y = 0 i la corba y = f(x) entre

les rectes x = a i x = b, per sobre de l’eix y = 0,I menys la suma de les arees limitades per l’eix y = 0 i la corbay = f(x) entre les rectes x = a i x = b, per sota de l’eix y = 0.

a bA1

A2

A3

y=f(x)

En la figura tindrem:∫ b

af(x) dx = A1 +A3 −A2

I Observacio. En aquest cas, la integral definida no es una area.Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 44 / 72


Propietats de la integral definida (I)

P1.

∫ a

af(x) dx = 0.

P2. Si f(x) ≥ 0 =⇒∫ b

af(x) dx ≥ 0. Si f(x) ≤ 0 =⇒

∫ b

af(x) dx ≤ 0.

P3.

∫ b

af(x) dx = −

∫ a

bf(x) dx.

P4. Si a ≤ c ≤ b =⇒∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx.

P5.

∫ b

a(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

af(x) dx+

∫ b

ag(x) dx.

P6. λ

∫ b

af(x) dx =

∫ b

aλf(x) dx, ∀λ ∈ R.



Propietats de la integral definida (II)

P7. Si m ≤ f(x) ≤M =⇒ m(b− a) ≤∫ b

af(x) dx ≤M(b− a).

P8. Teorema del valor mitja ∃c ∈ [a, b];

∫ b

af(x) dx = f(c)(b− a).



Definicio d’integral definida: consideracions finals

I Observacio. La definicio d’integral definida es pot extendre afuncions no contınues: per exemple, les que tenen un nombre finit dediscontinuıtats de salt en [a, b].

I Definicio. Quan existeix la integral definida de f en [a, b] diem que fes integrable en [a, b].



Calcul d’integrals definides (I)

1. Descomposem la regio en rectangles que tenen per:I Base: un interval de x.I Altura: la imatge per f d’un punt de la base.

2. Calculem el lımit de la suma de les arees dels rectangles quan la basetendeix a 0.



Calcul d’integrals definides (II)

Exemple. Calcular l’area limitada per l’eix y = 0 i la corba f(x) = x,entre x = 0 i x = 1, usant l’aproximacio per rectangles.Notem que:

I Utilitzant l’aproximacio per rectangles: dividim l’interval d’integracio[0, 1] en n parts iguals, es a dir,cadascuna de longitud 1/n.

0n

nn

1n

2n

n!2n

n!1n

0 1

· · · · · ·



Calcul d’integrals definides (III)I Considerem els rectangles d’altura igual al valor maxim que pren la

funcio en cada interval, en aquest cas a l’extrem dret.f(1) = 1 = n

n

f!

2n

"= 2

n

f!

1n

"= 1

n

01n

2n

1 = nn

· · ·

I Aixı,

Sn =1

n

[f

(1

n

)+ f

(2

n

)+ · · ·+ f

(n− 1

n

)+ f(1)

]=

=1

n

(1

n+

2

n+ · · ·+ n− 1

n+n

n

)=

1

n2(1 + 2 + · · ·+ n) =

n(n+ 1)

2n2=n+ 1

2n

I Fem tendir el nombre de rectangles a ∞:

A = limn→∞

Sn = limn→∞

n+ 1

2n=

1

2



Teorema Fonamental del Calcul i regla de BarrowI Teorema Fonamental del Calcul. Donada f contınua en [a, b]

definim, ∀x ∈ [a, b],

F (x) =

∫ x

af(x) dx

Aleshores F es una primitiva de f , es a dir, F ′(x) = f(x).I Teorema [Regla de Barrow]. Sigui f contınua en [a, b] i sigui F

una primitiva de f . Aleshores:∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

Es el que fem servir a la practica!I Exemple. Calcular l’area limitada per l’eix y = 0 i la corba f(x) = x,

entre x = 0 i x = 1.

A =

∫ 1

0x dx =

[x2

2

]1

0

=12

2− 02

2=

1

2



Teorema Fonamental del Calcul: demostracio

Teorema Fonamental del Calcul. Donada f contınua en [a, b] definim,∀x ∈ [a, b],

F (x) =

∫ x

a

f(x) dx

Aleshores F es una primitiva de f , es a dir, F ′(x) = f(x).Demostracio.

Notem que A = F (x+ h) = F (x) + ∆F (x).Pel teorema del valor mitja (P8), ∃c ∈ [x, x+ h] tal que ∆F (x) = h · f(c).

Aleshores: F (x+ h) = F (x) + hf(c)⇒ F (x+ h)− F (x)

h= f(c).

Fent pas al lımit per h→ 0: F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h= lim

h→0f(c) = f(x).



Regla de Barrow: demostracio

Teorema. Sigui f contınua en [a, b] i sigui F una primitiva de f .Aleshores: ∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

Demostracio. Sabem pel Teorema Fonamental del Calcul que, ∀x ∈ [a, b],

∫ x

a

f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R, amb F ′(x) = f(x)

Aleshores, per la propietat P1,

∫ a

a

f(x) dx = F (a) + c = 0⇒ c = −F (a), de

manera que

∫ b

a

f(x) dx = F (b) + c = F (b)− F (a).



Canvi de variable en la integral definidaI S’han de canviar, a la vegada, els lımits d’integracio.

I Exemple. Calcular

∫ ln 2

0

ex

ex + 2dx.

Canvi: t = ex + 2, dt = ex dx =⇒{t(x = 0) = e0 + 2 = 1 + 2 = 3t(x = ln 2) = eln 2 + 2 = 2 + 2 = 4

Aleshores:∫ ln 2

0

ex

ex + 2dx =

∫ x=ln 2

x=0

ex

ex + 2dx =

∫ t=4

t=3

dt

t=

=

∫ 4

3

dt

t= [ln t]

43 = ln 4− ln 3 = ln

4

3I Observacio. Es pot calcular primer la integral indefinida, desfer el canvi, i

despres substituir en la integral definida sense canviar els lımits:∫

ex

ex + 2dx =

∫dt

t= ln t = ln(ex + 2)

⇒∫ ln 2

0

ex

ex + 2dx = [ln(ex + 2)]

ln 20 = ln 4− ln 3 = ln

4

3


3.4 Aplicacions

Calcul d’arees (I)I Problema. Al calcular una integral definida les arees “positives” i

“negatives” es compensen.I Exemple.

Integral:

∫ 1

−1x dx =

[x2

2

]1

−1=

12

2− (−1)2

2=

1

2− 1

2= 0

Area:∫ 1

−1|x| dx =

∫ 0

−1−x dx+

∫ 1

0

x dx =

[−x22

]0

−1+

[x2

2

]1

0

=1

2+

1

2= 1

|x|

I Propietat. Area limitada per l’eix y = 0, la funcio y = f(x) en [a, b]:

A =

∫ b

a|f(x)| dx


3.4 Aplicacions

Calcul d’arees (II)I A la practica es busquen els punts de tall de la funcio amb l’eix X i es

descompon la integral en suma:

A = A1 +A2 =

∫ c

af(x) dx−

∫ b

cf(x) dx

I Observacio. Si f no canvia de signe en [a, b], aleshores

A =

∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣


3.4 Aplicacions

Calcul d’arees (III)

I En el cas de l’area limitada per dues funcions la idea es la mateixa:

A =

∫ b

a|f(x)− g(x)| dx

A = A1 +A2 =

∫ c

a[f(x)− g(x)] dx−

∫ b

c[f(x)− g(x)] dx


3.4 Aplicacions

Calcul d’arees (IV)

I Donat que els punts de tall de f amb l’eix X ens marquen elsintervals de signe constant de f en [a, b], no cal determinar-ne elsigne en cada subinterval. Podem fer:

A =

∣∣∣∣∫ c

af(x)dx

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ b

cf(x)dx

∣∣∣∣I La tecnica es pot utilizar tambe per a calcular l’area tancada entre

dues funcions


3.4 Aplicacions

Calcul d’arees: exempleCalcular l’area tancada entre y = 9− x2 i y = x+ 3

I Punts de tall:

9− x2 = 3 + x⇔ x2 + x+ 6 = 0⇔{x = −3x = 2

I Area:

A =

∫ 2

−3(9−x2−(x+ 3)) dx =

∫ 2

−3

(6− x− x2

)dx =

[6x− x2

2− x3

3

]2

−3=

=

(6 · 2− 22

2− 23

3

)−(

6 · (−3)− (−3)2

2− (−3)

3

3

)=

125

6u2


3.4 Aplicacions

Calcul de volums de solids de revolucio: formula dels discs

I Propietat. El volum del solid de revolucio generat pel gir dey = f(x) al voltant de l’eix de les x entre x = a i x = b es

Vx = π

∫ b

a(f(x))2 dx

I Exemple. Fent girar al voltant de l’eix de les x la regio determinadaper y = x2 entre x = 0 i x = 1 s’obte un solid de volum:

V = π

∫ 1

0x4 dx =

π

5u3


3.4 Aplicacions

Calcul de volums de solids de revolucio: formula dels discs

I Propietat. El volum del solid de revolucio generat pel gir dex = g(y) al voltant de l’eix de les y entre y = c i y = d es:

Vy = π

∫ d

c(g(y))2 dy

I Exemple. Fent girar al voltant de l’eix de les y la regio determinadaper y = x2 entre y = 0 i y = 1 s’obte un solid de volum:

V = π

∫ 1

0(√y)2 dy =

π

2u3



Integrals impropiesDefinicio. Diem que una integral definida es una integral impropia si:

1. La funcio que a integrar te una assımptota vertical en algun(s)punt(s) de l’interval d’integracio. Son les integrals impropies deprimera especie o de funcio no fitada.

O be:

2. Almenys un dels lımits d’integracio es infinit. Son les integralsimpropies de segona especie o d’interval no fitat.

Observacio. Quan la integral impropia existeix diem que es convergent.Altrament diem que es divergent.



Calcul d’integrals impropies de primera especie (I)1.1 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim

x→b−f(x) =∞, aleshores

∫ b

af(x) dx = lim

z→b−

∫ z

af(x) dx = lim

z→b−[F (x)]za = lim

z→b−[F (z)− F (a)]



Calcul d’integrals impropies de primera especie (II)1.2 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim

x→a+f(x) =∞, aleshores

∫ b

af(x) dx = lim

z→a+

∫ b

zf(x) dx = lim

z→a+[F (x)]bz = lim

z→a+[F (b)− F (z)]



Calcul d’integrals impropies de primera especie (III)1.3 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim

x→c+f(x) =∞ i/o

limx→c− f(x) =∞, amb c ∈ (a, b), aleshores∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx



Integrals impropies de primera especie: exemples

I Calcular

∫ 4

2

33√x− 2

dx

∫ 4

2

33√x− 2

dx = limz→2+

∫ 4

z

33√x− 2

dx = limz→2+

[9 3√

(x− 2)2

2

]4z

=

= limz→2+

9

2

[3√4− 3

√(z − 2)2

]=

9 3√4

2

I Calcular

∫ −1

−2

1

(x+ 2)3dx

∫ −1

−2

1

(x+ 2)3dx = lim

z→−2+

∫ −1

z

1

(x+ 2)3dx = lim

z→−2+

[− 1

2 (x+ 2)2

]−1

z

=

= limz→−2+

1

2

[1

(z + 2)2− 1

]=

1

2

[1

(2− 2+)2− 1

]= +∞



Calcul d’integrals impropies de segona especie (I)Observacio. Es condicio necessaria per a la convergencia d’una integralimpropia de segona especie que f(x) tendeixi a 0 quan x tendeix al(s)extrem(s) no fitat(s).

2.1 Sigui F una primitiva de f en [a,+∞). Si limx→+∞

f(x) = 0:

∫ +∞

af(x) dx = lim

z→+∞

∫ z

af(x) dx = lim

z→+∞[F (z)− F (a)]



Calcul d’integrals impropies de segona especie (II)2.2 Sigui F una primitiva de f en (−∞, b]. Si lim

x→−∞f(x) = 0:

∫ b

−∞f(x) dx = lim

z→−∞

∫ b

zf(x) dx = lim

z→−∞[F (b)− F (z)]



Calcul d’integrals impropies de segona especie (III)2.3 Sigui F primitiva de f en (−∞,+∞). Si lim

x→±∞f(x) = 0:

∫ +∞

−∞f(x) dx =

∫ c

−∞f(x) dx+

∫ +∞

cf(x) dx, amb c ∈ R qualsevol.



Integrals impropies de segona especie: exemples (I)

Calcular

∫ +∞

2e−3x dx.

I Comprovem que en l’extrem no fitat la funcio te lımit 0.Si no fos aixı, la integral seria divergent!

En efecte: limx→+∞

=1

e3·(+∞)=

1

+∞ = 0.

I Calculem la integral:

∫ +∞

2e−3x dx = lim

z→+∞

∫ z

2e−3x dx = lim

z→+∞−1

3

[e−3x

]z2

=

= limz→+∞

−1

3

[e−3z − e−6

]=

1

3e6



Integrals impropies de segona especie: exemples (II)

Calcular

∫ 0

−∞xex dx.

I Comprovem que en l’extrem no fitat la funcio te lımit 0.Si no fos aixı, la integral seria divergent!

En efecte: limx→−∞

xex = −∞ · e−∞ =−∞e+∞

= −∞∞Apliquem la Regla de L’Hopital:

limx→−∞

xex = limx→−∞

x

e−x= lim

x→−∞(x)′

(e−x)′=

= limx→−∞

−1

e−x=−1

e+∞=−1

∞ = 0



Integrals impropies de segona especie: exemples (III)

I Calculem la integral:

∫ 0

−∞xex dx = lim

z→−∞

∫ 0

zxex dx = lim

z→−∞[ex (x− 1)]0z =

= limz→−∞

[−1− (z − 1)ez] = −1 + limz→−∞

ez − limz→−∞

zez= −1


Apunts de Càlcul Tema 3. Integració de funcions d'una variable

Documents

Transcript of Apunts de Càlcul Tema 3. Integració de funcions d'una variable