Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i...
Transcript of Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i...
Arcs rampants Arcs rampants
al Pati de la al Pati de la
Casa Casa
CastellarnauCastellarnau
Ramon Nolla Ramon Masip Departament de Matemàtiques
IES Pons d’Icart Novembre 2006
Definició de l’objectiu
Elaboració d’un procediment de
construcció de l’arc a partir de:
• L’establiment d’hipòtesis de
treball extretes de l’observació
• Recerca i definició del
problema geomètric clau
• Anàlisi geomètrica del
problema clau
Hipòtesis de
treball
Hipòtesi 1
Ens trobem davant d’un
arc rampant compost
• de tres arcs de cercle
tangents,
• de manera que els
dos arcs extrems són
tangents, en els punts
d’arrencada, a dos
segments paral·lels
Coneixem la posició de
• els punts A i B
d’arrencada
• els segments AC i
BD de suport
Hipòtesi 2
1a. Conclusió
En ser els arcs extrems
tangents als segments AC i
BD,
els seus centres Q i R
es troben sobre les
perpendiculars AK i BL
a aquests segments.
Activitat 1
Coneixem la posició del
punt M de l’arc que:
• es troba sobre la
paral·lela r a AC i BD,
• tal que d(r,AC)=d(r,BD).
Hipòtesi 3
En el punt M, la tangent t
a l’arc intermedi
és paral·lela al
segment AB que
determina la inclinació
de l’escala.
Hipòtesi 4
2a. Conclusió
El centre P de l’arc intermedi
es troba
sobre la recta s,
perpendicular a la tangent
t, i al segment AB,
perquè el radi fins el punt
de tangència i la tangent
són perpendiculars
Imposem que el centre
P es troba
sobre el segment AC
i visualitzem els
centres Q, R i P de
les tres
circumferències.
Hipòtesi 5
Activitat 2
Recerca i definició
del problema
Recerca
Observem que hem determinat
el cercle intermedi de centre P i
radi PM. Ens cal construir els
cercles que:
• passen per A i B respectivament,
• de centres Q i R sobre les semirectes AK i BL,
• i tangents al cercle (P,PM).
Definició del problema
Donats
• un cercle C(P,PM),
• un punt interior A
• i una semirecta k d’origen A,
es tracta de construir un cercle
• que passi per A
• i tingui el centre Q sobre la semirecta k.
Anàlisi geomètrica
del problema
Marxa de l’anàlisi
• Se suposa el problema resolt.
• S’estudien les propietats dels objectes implicats amb
l’ajut d’altres auxiliars que es van introduint.
• Se’n treuen consequències.
• Quan s’arriba a una conseqüència de construcció
coneguda, l’anàlisi s’ha acabat.
• És el moment de la síntesi. S’intenta refer el procés
marxa enrera, a partir de l’objecte que se sap
construir, fins obtenir la construcció desitjada.
Etapa 1
Hi ha una línia recta que
conté
• El centre Q del cercle
(Q,QA) cercat,
• el punt P, centre del
cercle C
• i el punt de tangència T
Etapa 2
Si traslladem la distància
PT, radi del cercle C,
sobre la semirecta k, a
partir d’A,
obtenim el punt B sobre k
tal que AB=PT.
Llavors,
BQ=BA-QA=PT-QT=PQ
Síntesi
El centre Q es troba
• sobre la mediatiu de PB
• i sobre la semirecta k.
Per tant, l’anàlisi s’ha
acabat perquè sabem
construir la mediatriu de PB.
Passem a la construcció
Activitat 3
Construcció de l’arc
Visualització
Activitat 4