Area e Integral Definida

7/24/2019 Area e Integral Definida

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Part I

La integral denidaNotacin sumatoria

En muchas aspectos de las matemticas se requiere escribir en forma abreviada ciertas sumas

de nmeros reales cuyos sumandos conservan alguna ceracterstica comn. Por ejemplos,1. 1 + 2 + 3 + 4 + +n:2. 12 + 22 + 32 + 42 + +n2:3. 13 + 23 + 33 + 43 + +n3:El primer ejemplo corresponde a la suma de los n primeros nmeros naturales, la segunday la tercera son la suma de los cuadrados y los cubos de los nprimeros nmeros naturales,respectivamente.En general, si tenemos una suma de la forma

a1+a2+a3+ +an

podemos escribirla abreviadamente, as,

nXi=1

ai

la cual se lee: "la sumatoria desde i= 1 hasta n de ai ", esto es,

nXi=1

ak =a1+a2+a3+ +an

A continuacin damos algunas propiedades de las sumatoria

1.nX

i=1

(ai+bi) =nX

i=1

ai+nX

i=1

bi:

2.

nXi=1

c ai= c

nXi=1

ai:

3.nX

i=1

( ai+1ai) =an+1a1 (Propiedad telescpica).

La demostracin de estas propiedades es un ejercicio para el lector.Usando las propiedades anteriores, podemos establecer las siguientes igualdades

i)nX

i=1

1 =n:

1


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ii)nX

i=1

i= n(n+1)2

= n2

2 + n

2:

iii)nX

i=1

i2 = n(n+1)(2n+1)6

= n3

3 + n

2

2 + n

6:

iv)n

Xi=1

i3 = n2(n+1)2

4 = n

4

4 + n

3

2 + n

2

4:

Demostracin

i)nX

i=1

1 = 1 + 1 + 1 + 1 + + 1n veces

=n:

ii) Para establecer esta propiedad tenemos en cuenta que

(i+ 1)2 i2 = 2i+ 1

aplicando sumatoria desde 1 hasta n;obtenemosnX

i=1

(i+ 1)2 i2=

nXi=1

(2i+ 1)

Usando la propiedad 3) a la expresin de la izquierda, y las propiedades 1) y 2) a laderecha obtenemos

(n+ 1)2 1 = 2nX

i=1

i+nX

i=1

1

)n2 + 2n= 2

n

Xi=1

i+n

al despejar la sumatoria obtenemos el resultado deseado.

Las igualdades restantes se dejan como ejercicios.

Particin y subintervalos

Denition 1 denicin SeanI= [a; b]un intervalo yn2 N:Un conjuntoP =fx0; x1; x2; ; xse denomina una particinde[a; b] ; si satisface lo siguiente:

a= x0 < x1 < x2


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rea bajo una curva

Dada una funcin no negativa fcontinua en un intervalo cerrado [a; b] :El rea de la reginR;encerrada por la grca de f ;el eje Xy las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = bse denomina elrea bajo la curva f:Uno de los problemas que dio origen al clculo integral es el de determinar el rea bajouna curva. A continuacin presentamos una solucin a dicho problema y seguidamenteintroducimos el concepto de integral denida

Consideremos una funcinfno negativa, continua y creciente en[a; b]y P =fx0; x1; x2; ; xnguna particin de[a; b]tal quexixi1 es constante, esto es, independiente dei: Inscribimosrectngulos con base de longitud x = xi xi1 y altura f(xi1) en la regin R comomuestra la siguiente gura.

Eliesimorectngulo tiene reaAi = f(xi1) xi; i= 1; 2; ; n1:

La suma de dichas reas est dada por

n1Xi=1

f(xi1) x

Sia (R)representa el rea de la regin R; entonces dicha suma representa una aproximacinparaa (R) ;esto es,

a (R) tn1Xi=1

f(xi1) x

Por tanto, elerror cometido con esta aproximacin est dado por

a (R)n1Xi=1

f(xi1) x

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Ahora, si Qes otra particin de[a; b] ms na queP; entonces la medida de este error escada vez ms pequea, como se ilustra a continuacin

Repitiendo el procedimiento anterior y haciendo paso al lmite concluimos que

a (R) = limn!1

n

1X

i=1

f(xi1) x = limn!1

nXi=1

f(xi1) x

donde,

x= ba

n ; f(xi) =xi1+i x; (Verifquelo)

El procedimiento anterior tambin se aplica si la funcin es estrictamente decreciente y lleg-amos a un resulatado similar. Si la funcin no es montona, podemos aplicar los resultadosobtenidos en los intervalos de monotona. Ms an, no es necesario exigir continuidad a f:Es suciente que la funcin sea acotada en [a; b] :Ejemplos

Calcule el rea bajo la curva de la funcin denida en cada caso en el intervalo dado.

Sumas de Riemann e integral denida.

Denition 2 Sean f una funcin denida y acotada en un intervalo cerrado [a; b] y P =fx0; x1; x2; ; xng una particin de [a; b] :Llamamossuma de Riemann de f asoci-ada aP en[a; b] ; a cualquier suma de la forma

n

Xi=1

f("i) xi

donde x = xi xi1 y "i es un nmero real entre xi1 y xi:Llamamos norma de laparticin

Denition 3 Sean funa funcin denida y acotada en[a; b]yP =fx0; x1; x2; ; xnguna particin de[a; b] :Decimos quef esintegrable en[a; b] si y slo si

limkk!0

nXi=1

f("i) xi

existe. En tal caso a dicho lmite se le llama laintegral denidadefen[a; b]y se simbolizapor Z

b

a

f(x) dx

esto es, Z ba

f(x) dx= limkk!0

nXi=1

f("i) xi

para cualquier suma de Riemann def en[a; b] :

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Proposition 1 proposicin[Propiedades de la integral denida] Seanf y g funciones in-tegrables en[a; b] yc un nmero real. Entonces:

1. Las funcionesf+ g ycf son integrables en[a; b] ; y

Z b

a

[f(x) +g(x)] dx= Z b

a

f(x) dx+Z b

a

g(x) dx y Z b

a

c f(x) dx = cZ b

a

f(x) d

2. Sif(x)g(x) en[a; b] ; entoncesZ b

a

f(x) dxZ b

a

g(x) dx

En particular,

f(x)0 en [a; b] )Z b

a

f(x) dx 0:

A continuacin presentamos un teorema que desempea un papel importante en el clculo

debido a que permite relacionar la integrales denida e indenida y facilita el calculo de laintegral denida, dicho teorema es uno de los teoremas fundamentales del clculo, el cualestablece lo siguiente

Theorem 2 (teorema) [Primer teorema fundamental] Sean f una funcin integrable en[a; b] yFuna primitiva def en[a; b]

Z ba

f(x) dx= F(b)F(a)

Theorem 3 (Sustitucin para integrales denidas) Sean f y g funciones tales que

fg est denida. Sig es diferenciable en[a; b] yfes continua eng([a; b]):EntoncesZ ba

f[g(x)] g0 (x) dx=Z g(b)

g(a)

f(u) du

Ejercicios

1. Evalue cada una de las integrales dadas a continuacin

a:

R

04

x2+1dx f: R (1+lnx)2

x dx

b:R=2=2(2x+ cos x) dx g: R

e2

e

1

x ln x dxc:R40jx2 4x+ 3j dx h: R31 e3=xx2 dx

d:R51

xp2x1dx i:

Resinx cos xdx

e:R42x

2 (x3 + 8)2

dx j:R51

[x] dx

k:Rp2=40

2p14x2 dx l:

R10

xx4+1dx

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2. Use el Teorema de Sustitucin en integrales denidas para calcular las siguientes inte-grales

(a)R=4

0 cos2x

p4sin 2xdx

(b)R1=3

2=3xdxp23x dx

(c)

R1

0 x4 (1x)20 dx

(d)R

1e2

0 ln(1x)1x dx

(e)R2

3dxpx26x5

3. Demuestre cada una de las siguientes armaciones

(a) Si fes una funcin impar e integrable en el intervalo [a; a] ;entoncesZ aa

f(x) dx= 0

(b) Sifes una funcin par e integrable en el intervalo [

a; a] ;entoncesZ a

af(x) dx= 2

Z a0

f(x) dx

4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas

(a) Laprobabilibad de que una variable aleatoria X; con funcin de densidad deprobabilidad, f(x) ; se encuentre en el intervalo [a; b]est dada por

P(aX b) =Z b

a

f(x) dx

Suponga que la variable aleatoria X; mide el porcentaje de material recordadopor estudiante que se prepara para el examen parcial y tiene funcin de densidadde probabilidad

f(x) =15

4xp

1x; 0x1a. Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar recuerde entre50%y 75% del material?

b. Cul es el porcentaje medio de lo que se recuerda? Esto es, para que valor debes cierto que la probabilidad de recordar de 0 a bes 0:5?

(b) Una poblacin de bacterias cambia a un ritmo

dP

dt =

3000

1 + 0:25t

dondetes el tiempo en dias. La poblacin inicial era 1000. Obtenga una expresionque describa la poblacin en cualquier instante t y calcular la poblacion despusde 3 dias.

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(c) Un objeto con temperatura de 100F es llevado a una habitacin donde la tem-peratura es 60F. Suponga que la temperaturaTdel objeto cambia a un ritmodado por la ecuacin

dT

dt =0:115e0:02877t

Si la temperatura del objeto a los 10 minutos es 90F: 0btenga una expresinpara la temperatura en el instante t; y calcule el tiempo requerido para que la

temperatura sea80F:

(d) El valor Vde un objeto cambia con el tiempo t;en aos, a un ritmo dado por laecuacin

dV

dt =9:429e0:6286t; 0t10

Determine en que cantidad disminuye el valor cuando t cambia de 3 a 5:

(e) La distancia recorrida por una partcula que se mueve con funcin de posicinx= x (t) ; al pasar de la posicion x= a a la posicin x= b est dada por

d=

Z ba

jv(t)j dt

dondejv(t)jdenota el valor absoluto de la velocidad. Una partcula, inicialmenteen reposo, se mueve a lo largo del eje Xde manera que su aceleracin en el tiempotest dada por

a (t) = cos t

Si inicialmente se encuentra en x= 3: Determine

a. Las funciones velocidad y posicin de la partcula.

b. La distancia recorrida por la partcula en el intervalo de tiempo [0; 2] :

c. El desplazamiento de la partcula en el intervalo de tiempo [0; 2]

d. Los valores de t para los cuales la partcula est en reposo.

(f) Cuando se aplican a fondo los frenos, cierto automovil tiene una desaceleracinconstante de22pulg/s2:Si su velocidad inicial es90mi/h, cunto tiempo tardaren detenerse? qudistancia recorrer durante ese tiempo?

Elvalor mediode una funcion integrable fen un intervalo cerrado[a; b]se dene por

y= 1

baZ b

a

f(x) dx

Cul es el valor medio de una funcin constante en un intervalo [a; b]? Que inter-pretacin le da usted al valor medio de una funcin en un intervalo?

Resuelva cada uno de los problemas dados a continuacin

(a) El volumen V de litros de aire en los pulmones durante un ciclo respiratorio decinco segundos se aproxima mediante el modelo

V (t) = 0:1729t+ 0:1522t2 0:0374t3

dondet es el tiempo en segundos. Cul es el valor medio aproximado de volumende aire en los pulmones durante un ciclo?

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(b) Una fbrica de fertilizantes encuentra que las ventas nacionales de fertilizantessiguen el patron estacional

F(t) = 100000

1 + sin

2(t60)365

dondeFse mide en libra y t representa el tiempo en das, con t = 1correspondi-ente al primero de enero. El fabricante desea establecer un programa para producir

una cantidad uniforme de fertilizantes cada da. cul debe ser esa cantidad?(c) Suponga que un tanque de 5000 litros esta completamente lleno de agua. Si el

tanque tarda10 minutos en vaciarse y despus de tminutos, la cantidad de aguaque queda en el tanque es V (t) = 500(10t2) litros. Cul es la cantidad deagua promedio en el tanque durante el tiempo en que se vacia?

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