RAZONES Y PROPORCIONES

RAZN: Es la comparacin de dos cantidades.

Razn Aritmtica: a b

Razn Geomtrica:

PROPORCIN: Es la igualdad de dos razones.

a)Proporcin Aritmtica Discreta: a b = c dDonde:d es la cuarta diferencial de a, b y c.b)Proporcin Aritmtica Continua:a b = b cDonde: a + c = 2bb es la media diferencial de a y cc es la tercera diferencial de a y b a) Proporcin Geomtrica Discreta:

Donde: d es la cuarta proporcional de a, b y c.d)Proporcin Geomtrica Continua:

Donde: a x c = b2b es la media proporcional de a y cc es la tercera proporcional de a y b

Propiedades:

Suma de Antecedentes = k Suma de Consecuentes

Producto de Antecedentes = kn Producto de Consecuentes

Donde: n = nmero de antecedentes o consecuentes

EJERCICIOS

1. Las edades de Juan y Roco estn en relacin de 5 a 9 y la suma de las mismas es 84, Qu edad tiene Juan?a) 20b) 30c) 40d) 45e) 60

2. Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres artculos que son 50, 34 y 29. a) 12b) 21c) 13d) 34e) 29

3. Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes, si dichas son 1,6 m; 1,2 m y 1,4 m.a) 1b) 2.03c) 2.01d) 1.05e) 3

4. La suma de 2 nmeros es 144 y su razn geomtrica vale 2/7 Cules son dichos nmeros?a) 100 y 44b) 81 y 63c) 32 y 112d) 44 y 100

5. La razn geomtrica de 2 nmeros vale 4/7 y su razn aritmtica es 45. Determinar el menor de los nmeros:a) 50b) 45c) 60d) 70e) 52

6. Tres nmeros son entre si como 4, 7 y 11; la suma del menor con el mayor es 105. Determinar la suma de los dgitos del trmino intermedio.a) 49b) 34c) 11d) 13e) 25

7. Si , , adems A C = 50. Calcule B:

a) 25b) 24c) 52d) 16e) 29

8. Si , adems a x b = 308. Calcule b a:

a) 2b) 3c) 5d) 7e) 8

9. Si , adems a + b = 50. Calcule 3a b:

a) 8b) 7c) 10d) 9e) 11

10. En una proporcin geomtrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los trminos medios son consecutivos Cul es la suma de los trminos medios?a) 94b) 49c) 24d) 25e) 78

11. La media diferencial de una proporcin es 24. Determinar la razn de la proporcin, si el primer extremo es el doble del segundo.a) 6b) 8c) 9d) 10e) 12

12. Si donde a + b + c = 52. Hallar a c:

a) 12b) 10c) 8d) 13e) 11

13. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres, si se retiran 20 parejas Cul es la nueva relacin entre el nmero de mujeres y hombres?a) b) 2/3c) d) 3/5e) 3/2

14. Cuando Luis naci, Mario tena 12 aos, dentro de 5 aos sus edades sern entre si como 4 es a 7. Cul es la edad actual de Mario?a) 20b) 24c) 28d) 30e) 32

15. La relacin de dos nmeros es de 11 es a 14, si uno de ellos se le suma 33 unidades y el otro se le suma 60, entonces ambos resultados sern iguales. Luego dichos nmeros son:a) 86 y 145b) 88 y 32c) 96 y 123d) 95 y 130e) 99 y 126

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas, la otra tambin vara.

a) MAG. DIRECTAMENTE PROPORCIONALESDos magnitudes son directamente proporcionales (DP) si al aumentar o disminuir una de ellas, el valor de la otra tambin aumenta o disminuye en la misma proporcin. Tambin se cumple que el cociente entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir, dadas las magnitudes A y B:

A DP B = A / B = Constante

b) MAG. INVERSAMENTE PROPORCIONALESDos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporcin. Tambin se cumple que el producto entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir las magnitudes A y B:

A IP B = A . B = Constante

REPARTO PROPORCIONAL

Estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman ndices de proporcionalidad.

REPARTO SIMPLEa)Reparto DirectoSe hace de tal manera que las partes resultantes sean DP a los ndices de proporcionalidad.Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:1.Se suman los ndices.2.Se divide la cantidad a repartir entre dicha suma, siendo el cociente la constante de proporcionalidad (K).3.Las partes se obtienen multiplicando cada ndice por la constante de proporcionalidad (K).b)Reparto InversoSe hace en forma IP a los ndices, para ello se invierten los ndices y luego se efectan un reparto directo, como ya se conoce:

REPARTO COMPUESTOEn este caso se trata de repartir una cantidad en forma DP a ciertos nmeros y a la vez en IP a otros. Se procede de la siguiente manera:1.Se convierte la relacin IP a DP (invirtiendo los ndices).2.Se multiplican los ndices de las relaciones DP.3.Se efecta un reparto simple directo con los nuevos ndices.

TALLER DE EJERCICIOS

1. Si A es directamente proporcional a B, y cuando A vale 6, B vale 8, determinar B cuando A es 18.a) 24b) 8c) 12d) 20e) 16

2. Las magnitudes de A2 y B son directamente proporcionales, cuando A vale 20, B es 18 Qu valor toma A cuando B = 72?a) 8b) 12c) 28d) 40e) 32

3. Si la magnitud A es DP a B, y al mismo tiempo A es IP a C. Adems cuando A es 15, B es 18 y C es 8. Determinar C, cuando A vale 20 y B vale 9.a) 1b) 3c) 5d) 4e) 2.5

4. El costo de un terreno es Inversamente Proporcional al cuadrado de su distancia a Lima y Directamente Proporcional a su rea. Cierto terreno cuesta S/. 9000 y otro terreno de triple de rea y situado a una distancia 4 veces mayor que el anterior costar:a) S/. 1080b) S/. 1060c) S/. 1050d) S/. 1040e) S/. 1030

5. El peso de un disco es directamente proporcional al cuadrado del radio y a su espesor. Se tienen 2 discos cuyos pesos estn en relacin de 2 es a 3 y cuyos radios estn en relacin de 4 a 3. Si el espesor del primero es 3 cm. Cul es el espesor del segundo?a) 8 cmb) 6c) 4d) 2e) 1

6. Suponiendo que el apetito de una persona es DP a su talla, tenemos que Tatiana mide 1,70 m y come 34 sndwiches. Calcular cuntos sndwiches come se come Keila que mide 1,20 m.a) 8b) 12c) 20d) 24e) 16

7. Las magnitudes A2 y B son DP cuando A vale 20 y B es 18 Qu valor toma A cuando B vale 72?a) 8b) 12c) 28d) 40e) 32

8. Al repartir una cierta cantidad a tres personas en tres operaciones que son 60, 100 y 80. Si al segundo le dieron 10 ms que al primero Cunto le corresponde al tercero?a) 25b) 15c) 20d) 60e) 40

9. Se dispone de un nmero de monedas de oro comprendido entre 197 y 205. Esas monedas se reparten entre 3 personas. Si el segundo recibe 15 monedas ms que el tercero y el primero recibe el doble de lo que recibe el segundo Cuntas monedas recibe el tercero? a) 38b) 39c) 40d) 41e) 42

10. Cuatro amigos A, B, C y D han terminado de almorzar en un restaurante. D explica: Como les dije, yo no tengo ni un centavo; pero repartir 12 manzanas entre ustedes, proporcionalmente a lo que hayan aportado para mi almuerzo. La cuenta fue de 60 soles y A pag S/. 15, B pag S/. 20 y C pag S/. 25. Cuntas manzanas reciben cada uno?a) 0, 4 y 8b) 1, 4 y 7c) 2, 4, 6d) 3, 4 y 5e) 4, 4 y 5

11. Un padre reparte S/. 60 entre sus cuatro hijos proporcionalmente a sus edades que son: 4, 5, 6 y 15 aos respectivamente Cunto le corresponde al menor?a) S/. 10b) S/. 12c) S/. 8d) S/. 30e) S/. 6

12. Un padre decide repartir S/. 260 entre sus hijos segn sus horas de estudio, si estas son: 6 h, 4 h y 3 h Cunto recibe el que ms estudi?a) S/. 20b) S/. 80c) S/. 120d) S/. 200e) S/. 320

13. Repartir el nmero 390 entre los siguientes nmeros 3x+1; 3x+2; 3x+3. Indicar la parte mayor. a) 30b) 50c) 120d) 70e) 270

14. Se reparte una cantidad n entre 2, 5 y 7. Si la parte mayor fue 700. Determinar n:a) 700b) 900c) 1200d) 1400e) 1500

15. Por un trabajo de carpintera se pag a tres personas 5400 soles, Cunto le toca a cada uno si hicieron respectivamente 10, 12 y 5 mesas? Dar como respuesta la mayor cantidad.a) S/. 1000b) S/. 2000c) S/. 2200d) S/. 2300e) S/. 2400

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

La regla de tres es una forma de resolucin de problemas de proporcionalidad entre tres o ms valores conocidos y una incgnita. En ella se establece una relacin de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

La regla de tres ms conocida es la regla de tres simple directa, aunque tambin es muy prctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolucin de problemas cotidianos de manera efectiva.

a. Regla de Tres Simple:

- Directa:A BC X X = C . B A- Inversa: A BC X X = A . B C

b. Regla de Tres Compuesta:

Cuando la relacin sea directa, se deber apuntar hacia arriba, caso contrario, si es inversa, se deber apuntar hacia abajo.

TALLER DE EJERCICIOS

1. 8 obreros pueden hacer una obra en 20 das, despus de 5 das de trabajo se retiran 3 obreros Con cuntos das de atraso entregarn la obra?a) 24b) 25c) 10d) 9e) 11

2. Una guarnicin de 400 soldados sitiados en un fuerte, tienen vveres para 180 das, si consumen 9000 gramos y por da. Si recibe un refuerzo de 100 soldados, pero no recibir vveres antes de 240 das, Cul deber ser la relacin de un hombre por da para que los vveres puedan alcanzarles?a) 540b) 720c) 420d) 450e) 675

3. Coln y sus 239 hombres al salir de Puerto de Palos tenan vveres para 6 meses. Si al llegar al nuevo continente ya haban transcurrido 4 meses Cuntos hombres se quedarn en Amrica sabiendo que el tiempo de regreso es la misma y la cantidad de relacin es la misma?a) 20b) 25c) 32d) 160e) 120

4. Un contratista dice que puede terminar un tramo de autopista en tres das, si le proporcionan cierto tipo de mquinas, pero que con 3 mquinas adicionales de dicho tipo puede hacer el trabajo en 2 das. Cuntos das emplear una mquina en hacer el trabajo?a) 6b) 12c) 15d) 18e) 20

5. Dos secretarias copian 350 problemas en una semana Cuntas secretarias sern necesarias para copiar 600 problemas en 4 das? a) 6b) 4c) 7d) 8e) 5

6. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 das. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros Cuntos das tardarn en terminar el trabajo los obreros que quedan?a) 14b) 26c) 28d) 30e) 12

7. 12 hombres pueden tumbar 12 muros en 12 das Cuntos das demorarn 10 hombres en tumbar 15 muros?a) 12b) 9c) 7d) 18e) 6

8. De 200 litros de agua de mar se pueden extraer 8 kg de sal Cuntos litros de agua se deben extraer si se quieren sacar 30 kg de sal?a) 300b) 450c) 500d) 700e) 750

9. Si 20 obreros pueden construir un muro en 9 das, Cuntos das se demorarn 15 obreros?a) 10b) 12c) 14d) 15e) 20

10. Un grupo de 24 excursionistas llevan vveres para 18 das, pero al iniciar la excursin se suman 3 personas ms Cuntos das antes se acabarn los vveres?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

11. Si de 250 kg de uva sale cierta cantidad de vino y 300 kg pueden producir 4 litros ms de vino. Cunto vino produce 250 kg de uva?a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

12. 15 obreros pueden hacer una obra en 42 das, pero 12 de ellos aumentaron su eficiencia, por lo cual la obra termin en 36 das. En qu fraccin aumentaron su eficiencia dichos obreros?a) 1/5b) c) 3/10d) 7/20e) 3/20

13. Una familia compuesta por 12 miembros tienen alimentos por 30 das, luego de 10 das, 2 de los hijos salieron de viaje y volvieron luego de algunos das, cada uno con 3 amigos. Ahora si los vveres duraron para el tiempo previsto Cuntos das estuvieron de viaje?a) 14b) 12c) 16d) 18e) 15

14. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 das. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros Cuntos das tardarn en terminar el trabajo?a) 14b) 26c) 28d) 30e) 12

15. Un grupo de 50 hombres pueden terminar una obra en 4 semanas. Al cabo de 4 das, se les junta un cierto nmero de hombres, de modo que en 16 das terminarn el trabajo Cuntos hombres fueron aadidos?a) 25b) 20c) 10d) 40e) 15

PROMEDIOS

a) Media Aritmtica (MA):

b) Promedio Ponderado (MP):

Donde a = promedio P = cantidad

c) Media Geomtrica (MG):

d) Media Armnica (MH):

Si como mnimo dos cantidades son diferentes: MH < MG < MASi todas las cantidades son iguales: MH = MG = MA

Para dos nmeros (b < a)

a x b = MA x MHMG = MA = MG = MH =

Para tres nmeros (a, b y c)

MA = MG = MH =

TALLER DE EJERCICIOS

1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 aos y la edad promedio de 12 mujeres es 14 aos. Calcular el promedio de saln:a) 15b) 16,2c) 15,2d) 15,1e) 16,1

2. El promedio de 40 nmeros es 25. Eliminando 60 y 66 que son 2 nmeros. Cul es el nuevo promedio?a) 20b) 23c) 22d) 31e) 41

3. El promedio de las notas de 20 alumnos es 12 y el promedio de otros 30 es 16 Cul es el promedio total?a) 12,4b) 14c) 13d) 14,4e) 15,2

4. Si las calificaciones en tres cursos son proporcionales a 3; 4 y 5 siendo el peso: 5, 4 y 3 respectivamente. Cul es la mayor calificacin si es promedio es 11,5?a) 15b) 20c) 30d) 41e) 10

5. El promedio geomtrico de 20 nmeros es 8 y el promedio geomtrico de otros 20 nmeros es 18. Cul es el promedio geomtrico de los 40 nmeros?a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

6. El promedio geomtrico de 4 nmeros enteros diferentes es Cul es el promedio aritmtico de estos nmeros?a) 2,75 b) 3,75c) 4,5d) 1e) 6

7. El promedio de las notas en un curso de 30 alumnos fue 52. Los primeros 6 obtuvieron un promedio de 80 y los 10 ltimos sacaron un promedio de 31. Calcule el promedio de los restantes:a) 25b) 65c) 45d) 55e) 75

8. Cul es la media aritmtica, geomtrica y armnica de 3 y 7?a) 5; y 4,2 b) 5; y 5 c) 5; y 4 d) 3; 4 y 5e) 5; 6 y 7

9. En un grupo de 30 personas el promedio de edades es 30; el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es:a) 15b) 28c) 10d) 20e) 18

10. Halle la media armnica de 15 y 15:a) 15b) 13c) 14d) 17e) 12

TANTO POR CIENTO. PORCENTAJE

El tanto por ciento de un nmero representa las centsimas partes de un nmero.Ejemplo:

A% de N N100%XA%100% * X = N * A%X = N * A% 100%X = N * A 100

A * N = A*N100 100

RELACIN PARTE TODO:Si queremos averiguar qu tanto por ciento es la parte del todo se plantea:

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO:A)Descuentos Sucesivos:Dos descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento nico (D. U.) de:

B)Aumentos Sucesivos: Dos aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento nico (A. U.) de:

APLICACIONES COMERCIALES DE PORCENTAJE:

PV = PC + G PV = PC - P

PV = Precio de VentaPC = Precio de CompraG = GananciaP = Prdida

TALLER DE EJERCICIOS

1. Calcular el 15% del 20% de 800:a) 15b) 80c) 30d) 24e) 11

2. Si al precio de una grabadora que cuesta 300 soles se le hace 2 descuentos sucesivos del 20% y el 10% Cul ser el nuevo precio?a) 216b) 32c) 64d) 60e) 15

3. Al vender una bicicleta a S/. 170 se perdi el 15% Cul fue el precio de costo de la bicicleta?a) 200b) 300c) 210d) 180e) 150

4. El grfico muestra la distribucin de los gastos de un pas. Si del sector educacin el 25% equivale a infraestructura educativa, Cuntos grados corresponde al sector infraestructura educativa?

40%20%5%OTROSEDUCACINSALUDAGRONOMA

a) 18b) 25c) 36d) 142e) 20

5. Qu tanto por ciento de 160 es 56?a) 40%b) 25%c) 65%d) 35%e) 40%

6. Si a 100 le quitamos el 25% y despus a ese resultado le sumamos su 25%, el nuevo resultado es:a) 100b) 93,75 c) 95d) 125e) 75

7. En una fiesta, el 60% son hombres y el resto mujeres, luego llegan 40 hombres, cada uno con 2 chicas y de esa manera, todos estn con pareja. Cuntas mujeres haba inicialmente?a) 20b) 40c) 60d) 80e) 100

8. Compro un artculo con el 20% de descuento y lo vendo ganando el 40% del precio original Qu porcentaje he ganado?a) 60%b) 50%c) 15%d) 13%e) 100%

9. El precio de venta de un artculo es S/. 90, si la ganancia es del 50% del precio de compra, Cunto es el precio de compra?a) 15b) 70c) 60d) 50e) 45

10. El 25% del 20% del 40% de 8000 es:a) 100b) 150c) 160d) 170e) 200

REGLA DE INTERS

Se denomina Inters o rdito a la cantidad que produce una suma de dinero depositada en una entidad financiera o el dinero prestado tambin por una entidad financiera, pactado a una cierta tasa y a un determinado tiempo.

FRMULA PARA CALCULAR EL INTERS SIMPLE:

Donde: I = Inters o gananciaC = Capital depositador = Tasa de inters (%)t = tiempo de imposicin

Adems:M = C + IDonde: M = Monto

Observacin: r y t se deben expresar en las mismas unidades, si no lo estuvieran se deben hacer las conversiones o cambios necesarios.

Nota: Se debe tener en cuenta que 1 mes comercial tiene 30 das y un ao comercial, 360 das. Existen algunos casos especiales muy utilizados para el clculo del inters:

r = % anualt = meses

r = % anualt = das

FRMULA PARA CALCULAR EL INTERS COMPUESTO:

M = C(1 + r%)t

Capitalizable: MTOTAL = M1(1 + r%)t

TALLER DE EJERCICIOS

1. Durante cunto tiempo estuvo depositado un capital al 5% de inters, si los intereses producidos alcanzan el 60% del valor del capital:a) 12 aosb) 20c) 18d) 6e) 5

2. Un capital estivo impuesto al 9% de inters anual. Si se obtuvo un monto despus de 4 aos de S/. 10200 Cul es el valor del capital?a) S/. 7500b) S/. 9350c) S/. 13872 d) S/. 1200e) S/. 150

3. Carlos impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta un inters anual de S/. 3100 Cul es la suma impuesta al 4%? a) S/. 42500b) S/. 40000c) S/. 58000d) S/. 30000e) S/. 29500

4. Despus de 10 meses un capital que se impuso al 5% de inters simple mensual se transform en S/. 12000 Cul fue el capital?a) S/. 8000b) S/. 5000c) S/. 1000d) S/. 6000e) S/. 7500

5. Cunto tiempo debe pasar para que un capital se triplique bajo una tasa del 12,5% trimestral?a) 36 mesesb) 40 mesesc) 48 mesesd) 50 mesese) 56 meses

6. Ana pone el capital que posee en un banco. Si dentro de 6 meses se retira, recibir S/. 1575, pero si se retira dentro de 16 meses recibir S/. 125 ms. Halle la tasa:a) 5%b) 20%c) 8%d) 13%e) 10%

7. Qu inters origina S/. 7200 al 2% trimestral en 5 meses? a) S/. 120b) S/. 140c) S/. 160d) S/. 240e) S/. 150

8. 1600 soles se pone al 10% en un ao capitalizable semestralmente Cul fue el inters?a) S/. 500b) S/. 750c) S/. 700d) S/. 164e) S/. 600

9. Carmen deposit un capital por 2 aos y 3 meses pero si lo dejara 4 aos y 8 meses ganara S/. 870 ms. Cunto gana mensualmente de inters Carmen?a) S/. 500b) S/. 300c) S/. 30d) S/. 70e) S/. 90

10. Si se presta un capital al 12% con capitalizacin semestral, hallar la tasa real:a) 12%b) 11,64%c) 12,36%d) 11,6%e) 12,5%

REGLA DE DESCUENTO

Cuando queremos comprar un artculo, por ejemplo una computadora, y no tenemos el dinero necesario para efectuar el pago al contado, realizamos una compra al crdito, dando una parte a cuenta, llamada inicial y por el saldo firmamos un documento que incluye lo que nos falta ms los intereses que nos recarga la casa comercial, esto figurar en un documento llamado letra de cambio, que el comprador firmar como compromiso de pago a una determinada fecha. Si esta letra se cancelara antes de la fecha determinada, entonces se har un descuento a favor del comprador o tambin llamado deudor o aceptante. Letra de Cambio: Es un documento de crdito mediante el cual una persona denominada deudor o aceptante se compromete, mediante su firma, a pagar el importe que figura en el documento a otra persona denominado acreedor en un tiempo establecido.Valor Nominal (VN): Es el valor o cantidad que figura en el documento para ser cancelado en una fecha determinada.Valor Actual (VA): Es el valor que se paga por un documento comercial al hacerlo efectivo antes de su fecha de vencimiento.Descuento (D): Es el beneficio que obtiene el deudor al cancelar el documento comercial antes de la fecha de vencimiento. Se obtiene por la diferencia del valor nominal y valor actual.D = VN VA

CLASES DE DESCUENTOa) Descuento Comercial (DC): Es el inters que genera el valor nominal desde el da que se efecta el pago hasta la fecha de vencimiento bajo una cierta tasa de inters. Tambin se le denomina externo.

Donde:VN = Valor Nominalt = tiempo antes del vencimientor = tasa de inters

b) Descuento Racional (DR): Es el inters que generara el valor actual del documento comercial desde el da que se efecta el pago hasta la fecha de vencimiento bajo una cierta tasa de inters. Tambin se denomina descuento interno o matemtico.

Donde:VA = Valor Actual t = tiempo antes del vencimientor = tasa de inters

TALLER DE EJERCICIOS

1. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 4000 al 4%, si faltan 3 meses para que se venza.a) 30b) 40c) 50d) 160e) 80

2. Cunto se recibir por una letra de S/. 2100 que se va a descontar racionalmente 6 meses antes de su vencimiento al 10% anual? a) S/. 2000b) S/. 100c) S/. 1500d) S/. 500e) S/. 750

3. Se firm una letra por S/. 2150 a una tasa del 18% anual que venca en ocho meses, si se concret a los tres meses despus de firmar la letra aplicando descuento racional Cunto se pag?a) S/. 3000b) S/. 2000c) S/. 400d) S/. 500e) S/. 600

4. Se ha negociado un pagar de S/. 600 obtenindose S/. 580 del valor actual. Si el pagar venca dentro de 4 meses. Cul es el tanto por ciento anual que ser descontado comercialmente?a) 10,36%b) 10%c) 3,33%d) 5%e) 1%

5. Calcular el valor actual de una letra que descontada por 4 meses al 5% da una diferencia de S/. 2 entre el descuento comercial y el descuento racional.a) S/. 7200b) S/. 3200c) S/. 7050d) S/. 4025e) S/. 7280

6. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 500 al 5% mensual si falta 1 mes para su vencimiento.a) S/. 250b) S/. 25c) S/. 30d) S/. 300e) S/. 50

7. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 3000 al 4%, si faltan 5 meses para su vencimiento.a) S/. 50b) S/. 70c) S/. 30d) S/. 60e) S/. 100

8. Hallar el valor a pagar por una letra de S/. 4000 al 4% mensual si faltan 3 meses para su vencimiento:a) S/. 3520b) S/. 450c) S/. 3620e) S/. 3420

9. Hallar el valor a pagar por una letra de S/. 3000 al 12% si faltan 5 meses para su vencimiento.a) S/. 2750b) S/. 2350c) S/. 2850d) S/. 3700e) S/. 2500

10. Un pagar de S/. 12000 se ha descontado comercialmente al 9% obtenindose S/. 11865 de valor actual Dentro de cunto tiempo se vencer?a) 3 mesesb) 4c) 2d) 5e) 1,5

11. Un pagar de S/. 15000 se ha descontado comercialmente al 12% obtenindose S/. 14850 de valor actual Dentro de cunto tiempo se vencer?a) 1 mesb) 2c) 2,5d) 5e) Hoy

12. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 500 al 5% anual. Si falta 12 meses para su vencimiento.a) S/. 75b) S/. 25c) S/. 30d) S/. 45e) S/. 50

MEZCLA Y ALEACIN

MEZCLAEs la unin de dos o ms componentes o ingrediente, donde cada uno de ellos conserva su propia naturaleza

Precio Medio: Precio de costo por unidad de la mezcla, en el cual no se obtiene ganancia ni prdida.

Precio Menor < Precio de la Mezcla < Precio Mayor Si en una mezcla interviene el agua, por convencin se precio es despreciable, a menos que se indique en el enunciado lo contrario. Si desea vender el litro o kilogramo de mezcla, ganando el x% se tendr que:

Para dos Componentes:Sean los precios unitarios P1 y P2 de donde: P1 < P2. Se cumple que:

P1 < Pm < P2

MEZCLAS ALCOHLICAS:Es aquella mezcla cuyos componentes estn constituidos por alcohol y agua.a) Grado Alcohlico (G)Llamado tambin pureza alcohlica, puesto que indica en porcentaje de alcohol puro que interviene en la mezcla.

Galcohol = 100 = 100%Gagua pura = 0

El grado medio (Gm) de una mezcla de varios alcoholes se calcula en forma anloga que el precio medio, considerndose los grados de pureza por los precios.

Mezcla alcohlica directa:

Donde: V1, V2, V3, , Vn = Volmenes que se mezclanG1, G2, G3, , Gn = Grados unitarios respectivos

MEZCLA DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES DENSIDADES

LEY DE UNA ALEACIN:a) Aleacin Directa:

b) Liga de una Aleacin:Es la relacin entre la cantidad de metal ordinario y la cantidad de mezcla.

Ley + Liga = 1 Ley del metal fino = 1 Ley del metal ordinario = 0 0 Ley(L) 1

c) Ley de Oro:Comercialmente la ley del oro se expresa en quilates y para ello se establece que si la aleacin contiene slo oro puro, es de 24 quilates.

TALLER DE EJERCICIOS

1. Carlos mezcla 40 litros de alcohol de S/. 6 el litro con 60 litros de alcohol de S/. 11 el litro Cul ser el precio promedio de la mezcla?a) S/. 8b) S/. 9c) S/. 8,50d) S/. 9,50e) S/.10

2. Fernando tiene 100 litros de una mezcla que contiene vinos de S/. 4 y S/. 8 el litro. Si el precio medio de la mezcla es S/. 6,60 Cuntos litros hay del vino ms barato? a) 40b) 35c) 45d) 55e) 30

3. Se mezclan 40 L de alcohol de 50 con 60 L de alcohol de 20. Determinar el grado de la mezcla resultante:a) 18b) 16c) 32d) 28e) 19

4. Un qumico tiene una mezcla al 30% de alcohol y otra al 50% Cuntos litros de cada mezcla se necesitan para preparar un total de 400 litros al 45% de alcohol?a) 250 y 150b) 200 y 200c) 50 y 350d) 100 y 300e) 120 y 280

5. Si una aleacin contiene 30 g de oro y 50 g de cobre, Cul es la ley?a) 0,375b) 1c) 0,55d) 0,51e) 0,5

6. Si una aleacin contiene 40 g d oro, 20 g de plata y 10 g de cobre, Cul es la liga?a) 3,5b) 7c) 5d) 1/7e) 10

7. Un recipiente A contiene una mezcla de alcohol y agua al 60% y otro recipiente B contiene la misma mezcla al 40%, si las cantidades son 20 y 80 litros respectivamente. Ambas mezclas se mezclan en un recipiente C Qu concentracin tendr la nueva mezcla? a) 48%b) 50%c) 44%d) 36%e) 25%

8. Se mezclan 3 litros de un alcohol al 30% con 9 litros al 70% y al resultado se le agrega un diluyente hasta obtener una concentracin al 50% Cuntos litros de diluyente se emple?a) 3 Lb) 2 L c) 2,5 Ld) 4 Le) 2,4 L

9. Una cierta cantidad de azcar a S/. 120 el kilo se mezcla con 100 kg de azcar de S/. 180 el kilo, si el precio medio de la mezcla es S/. 142,5. Hallar dicha cantidad.a) 113,3b) 166c) 166 2/3 d) 160e) 100

10. Se mezcla pisco de 60, 48 y 42 en cantidades iguales. Si a esta mezcla se le agregan 91 litros de agua, se obtiene pisco de 36 que se vende a S/. 3 la botella de litro. Determinar el ingreso total por la venta:a) S/. 1850b) S/. 1900c) S/. 1950d) S/. 1150e) S/. 2000

11. Si una aleacin tiene 30 gr de cobre y 70 gr de zinc, hallar la ley y la liga:a) 0,3; 0,7b) 0,5; 0,5c) 0,8; 0,2d) 0,6; 0,4e) 0,1; 0,9

12. Un recipiente est lleno de una mezcla de alcohol y agua al 60%, si se extrae la mitad de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae la mitad de la nueva mezcla y se reemplaza por el alcohol Cul es la concentracin de la mezcla?a) 45%b) 60%c) 95%d) 70%e) 65%

13. Se mezclan 50 L de alcohol de 50 con 60 L de alcohol de 20. Determinar el grado de la mezcla resultante:a) 18b) 36c) 33,63 d) 35 e) 40

TEORA DE CONJUNTOS

Conjunto: es toda reunin, coleccin o agrupacin de elementos bien definidos que tienen caractersticas homogneas o heterogneas. Los conjuntos generalmente se denotan con letras maysculas: A, B, CElemento: Es cada de las partes que constituyen un conjunto. Colocando entre elemento y elemento una coma o punto y coma.

1. Cardinal de un conjunto:

Se refiere a la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto. Ejemplo: A = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 10, 12}, entonces el cardinal del conjunto A es: n(A) = 7.Nota: Los elementos que se repiten se cuentan una sola vez, en la determinacin del cardinal.

2. Determinacin de un conjunto:

a) Por comprensin: Cuando se establece una caracterstica general para todos sus elementos.Ejemplo: A = {x N / 5 < x < 14}b) Por extensin: Cuando se nombran todos sus elementos.Ejemplo: A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

3. Relacin de Pertenencia:

Es la relacin que se establece entre elemento y conjunto. Elemento Conjunto

4. Relacin de Inclusin:

Es la relacin que existe entre conjunto y conjunto.Conjunto C ConjuntoNota: No existe pertenencia entre conjuntos, ni tampoco inclusin entre elemento y conjunto.

5. Relaciones entre Conjuntos:

a) Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden.b) Diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.c) Comparables: Se dice que dos conjuntos son comparables s uno de ellos est incluido en el otro.d) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos, si no tienen elementos en comn es decir, no hay interseccin.e) Equivalentes o Equipotentes: Se llaman as si tienen el mismo nmero de elementos.

6. Clases de Conjuntos:

a) Conjunto Finito: Cuando tiene un nmero limitado de elementos.b) Conjunto Infinito: Cuando tiene un nmero ilimitado de elementos, es decir no se pueden enumerar los mismos.c) Conjunto Universal: Es aquel que sirve de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en l. d) Conjunto Vaco o Nulo: Es aquel que no posee elementos.e) Conjunto Unitario (Singleton): Es aquel que consta de un solo elemento.f) Conjunto de Conjuntos: Es aquel cuyos elementos son todos conjuntos.g) Conjunto Potencia: Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto.h) Nmero de Subconjuntos: Tambin llamado nmero de elementos del conjunto potencia. Est determinado por la siguiente frmula.

Donde: n = nmero de elementos del conjunto Ai) Nmero de Subconjuntos Propios: Est determinado por la siguiente frmula:

7. Operaciones con Conjuntos:

a) Unin o Reunin (A U B):Es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A o B.b) Interseccin (A B):Es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B.c) Diferencia (A B):Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a A pero no a B.d) Diferencia Simtrica (A B):Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. A B = (A B) U (B A)e) Complemento de un Conjunto (A): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto.A = U A

8. Producto Cartesiano:

Es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, donde las primeras componentes pertenecen al primer conjunto y las segundas componentes al segundo conjunto.A x B = {(a, b)/a A b B}

TALLER DE EJERCICIOS

1. Dados los conjuntos unitarios A = {3a + 1; 7}; B = {3; b + c} y C = {2; bc} donde b > c. Calcular: a 2b + 3c:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

2. Si los conjuntos A y B son iguales: A = {3a + 5; 7}; B = . Calcular: b a a) 26b) 27c) 18d) 16e) 28

3. Si en un aula de 60 alumnos, 20 aprobaron slo literatura, 30 aprobaron literatura y matemtica Cuntos alumnos aprobaron slo matemtica?a) 1b) 5c) 6d) 3e) 10

4. De los 60 alumnos que conforman un saln de clases, 32 juegan ftbol y 25 juegan bsquet Cuntos juegan slo un deporte si 10 no juegan ninguno?a) 43b) 45c) 47d) 31e) 39

5. En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingls, 32 francs, 33 alemn y 5 los tres. Cuntas personas hablan dos de estos idiomas?a) 40b) 22c) 37d) 38e) 25

6. En una guerra participaron 100 hombres: 42 fueron heridos en la cabeza, 43 en el brazo y 32 en la pierna; adems 5 fueron heridos en la cabeza y brazo; 6 en cabeza y pierna y 8 en brazo y pierna. Cuntos fueron heridos en las 3 partes?a) 10b) 8c) 6d) 4e) 2

7. En un saln de clases de 47 alumnos se sabe que a 30 les gusta lenguaje, 20 les gusta matemtica y a 25 el ingls. A 14 les gusta matemtica y lenguaje, a 13 lenguaje e ingls y a 15 matemtica e ingls. Si a 12 les gusta los 3 cursos A cuntos no les gusta ninguno?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

8. Se sabe que en una encuesta sobre la preferencia de 3 productos A, B y C: 22 prefieren A, 24 a B y 20 a C, si los que prefieren al menos un producto son 35 y los que prefieren slo un producto son 5. Cuntos prefieren los 3 productos?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

9. A una fiesta de promocin asisten 30 alumnos de los cuales 12 son varones de los cuales 5 no estn bailando Cuntas mujeres estn bailando? a) 9b) 10c) 11d) 12e) 13

10. Una persona come huevos y/o tocino en su desayuno, esto durante un mes. Si come tocino 25 maanas y huevo 18 maanas Cuntas maanas comer huevos y tocinos?a) 32b) 43c) 15d) 13e) 20

11. En una pea criolla trabajan 32 artistas. De estos 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. Cuntos no cantan ni bailan?a) 4b) 5c) 2d) 1e) 3

NUMERACIN

Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar todos los nmeros.

Principales Sistemas de Numeracin:

BASESISTEMACIFRAS2Binario0, 1 3Terciario0, 1, 24Cuaternario0, 1, 2, 35Quinario0, 1, 2, 3, 46Senario0, 1, 2, 3, 4, 57Heptal0, 1, 2, 3, 4, 5, 68Octanario0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 79Nonario0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 810Decimal0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 En los sistemas superiores: = 10, = 11 y = 12Principios de un Sistema de Numeracin La base de un sistema de numeracin siempre es un nmero entero positivo y mayor que uno. (Base > 1). En un sistema de numeracin todas las cifras son menores que la base. Cifra < Base. En todo sistema de numeracin se utiliza la cifra cero y uno. En base n se utiliza n cifras. La mayor cifra disponible de un sistema de numeracin es la base menos uno. Si un nmero se expresa en dos sistemas de numeracin distintos, se cumplir que para mayor numeral se tendr menor base.Cambio de Base: De Base n a base 10: Por Descomposicin Polinmica De Base 10 a base n: Por Divisiones Sucesivas. De Base n a base m: Primero por Descomposicin (a base 10), luego por divisiones sucesivas.Propiedadesa) Para el mayor numeral de x cifras de base n:

b) x veces n = x . ac) = x + m + n + p + q

TALLER DE EJERCICIOS

1. Convertir 243(8) a base 10 y dar como respuesta la cifra que ocupa el orden de las unidades:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

2. La suma de 10(2) + 11(2) + 111(2) + 1011(2) en base 10 es:a) 23b) 122c) 112d) 221e) 121

3. La suma de 1012021(3) + 1111011(2) en base 10 es:a) 1000b) 994c) 900d) 950e) 992

4. Si 26 = 42(n), el valor de n es:a) 5b) 6c) 7d) 8e) 10

5. Hallar a si se cumple que: (7) = (5)a) 3b) 4c) 5d) 2e) 1

6. Si 33x = 23(x + 2). Halar el valor de x:a) 4b) 6c) 7d) 8e) 2

7. Cul de los siguientes nmeros binarios es la representacin del nmero 100 del sistema decimal?a) 110010b) 1100110c) 1100100d) 110100e) 1101010

8. Convertir 1010011(2) a base 11:a) 76b) 84c) 72d) 86e) 75

CONTEO

Criterios para Contar Nmeros:a) Nmero de trminos de una progresin aritmtica: b) Clculo del trmino ensimo de una progresin aritmtica: an = a1 + (n-1)rc) Mtodo Combinatorio: La cantidad total de nmeros que pueden formar con varias rdenes independientes es igual al producto de las cantidades de valores que pueden adoptar dichas rdenes.

TALLER DE EJERCICIOS

1. Hallar el trmino de lugar 40 en la progresin aritmtica: 17; 20; 23; 26; a) 134b) 130c) 129d) 133e) 150

2. Determinar el vigsimo quinto trmino en la progresin aritmtica: 624; 619; 614; a) 700b) 500c) 540d) 550e) 355

3. Cuntos trminos tiene la siguiente Progresin Aritmtica?20; 31; 42; 53; ; 669a) 50b) 40c) 70d) 80e) 60

4. Hallar el nmero de trminos en: 73; 74; 75; ; 181a) 109b) 110c) 108d) 120e) 115

5. Calcular cuntas cifras se utilizarn al escribir los enteros consecutivos desde 56 hasta el 499:a) 1287b) 1280c) 1288d) 1300e) 1250

6. Cuntas cifras se emplearon al escribir la siguiente progresin aritmtica? 36; 37; 38; ; 476a) 1259b) 1300c) 1260d) 1262e) 1258

7. Cuntos nmeros de 3 cifras que siempre empiezan y terminan en cifra par?a) 100b) 150c) 170d) 180e) 200

8. Cuntos nmeros de tres cifras existen?a) 900b) 800c) 700d) 1100e) 500

9. Cuntos nmeros de la forma existen?a) 70b) 80c) 90d) 100e) 110

10. Determinar el total de nmeros de 3 cifras donde la cifra de las unidades es el triple de las decenas:a) 36b) 40c) 76d) 34e) 144

CUATRO OPERACIONES

a) ADICIN: A + B = S

Donde:A, B --- SumandosS --- Suma Total

b) SUSTRACCIN: M S = D

Donde:M --- MinuendoS --- SustraendoD --- Diferencia

c) COMPLEMENTO ARITMTICO:Sea N un nmero de n cifras, entonces su complemento ser: CA (N) = 10n N Cuando se halla el CA de un nmero en otro sistema de numeracin, las expresiones son similares: CA(N(b)) = 10n N(b)

d) MULTIPLICACIN: A x B = P

Donde:A, B --- FactoresP --- Producto

e) DIVISIN:D d = q + r

Donde: D --- Dividendod --- Divisorq --- Cocienter --- Residuo

1. La Divisin es exacta cuando el residuo de dividir resulta cero. Caso contrario, la divisin es inexacta.1. La Divisin es inexacta por defecto cuando D = d x q + r.1. La Divisin es inexacta por exceso cuando D = d x (q + 1) + r

TALLER DE EJERCICIOS

1. Entre 6 personas tienen que pagar en partes iguales S/. 144, pero como algunos de ellos no pueden hacerlo, cada uno de los restantes tiene que pagar S/. 12 ms Cuntas personas no pagaron?a) 6b) 1c) 2d) 3e) 4

2. Lenin sube hasta el quinto piso de un edificio, luego baja al segundo y vuelve a subir al cuarto piso. Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaos Cuntos peldaos ha subido en total?a) 60b) 90c) 72d) 84e) 108

3. 8 amigos realizan un viaje, cuyos gastos convienen en pagar por partes iguales. Si al trmino del mismo, 3 de ellos no pudieron hacerlo, entonces cada uno de los restantes tuvo que pagar S/. 36 MS Cunto cost el viaje?a) S/. 240b) S/. 720c) S/. 360d) S/. 480e) S/. 960

4. Perezosa un combi que hace servicio de Wilson a la Punta S/. 12 como pasaje nico y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 2. Si lleg a la punta con 36 pasajeros y una recaudacin de S/. 96 Cuntas personas partieron de Wilson?a) 20b) 12c) 28d) 34e) 48

5. En un colegio a cada estudiante se le da 36 hojas para sus exmenes. Si los estudiantes aumentan en 960, se les reparte 6 hojas menos a cada uno, sin variar la cantidad total de hojas. Indicar la cantidad actual de alumnos.a) 5200b) 4360c) 5760d) 4800e) 7200

6. En un restaurante, los comensales estaban sentados de a 9 en cada mesa; para descongestionarlos se colocaron 2 ms y entonces ahora hay 8 en cada mesa Cuntos comensales hay?a) 92b) 208c) 108d) 144e) 168

7. Un librero adquiri 78 libros a S/. 40 cada uno, habindosele regalado 1 por cada docena que compr A cmo debe vender cada ejemplar para ganar S/. 1208, Si l a su vez ha regalado 5 libros? a) S/. 24b) S/. 56c) S/. 36d) S/. 78e) S/. 52

8. Jos compra cierta cantidad de animales por 80000 soles y vende parte de ellos por 62000 soles, a 400 soles cada uno, ganando en esta venta 12400 soles Cuntos animales compr?a) 250b) 155c) 320d) 420e) 225

9. Un comerciante compra 40 jarrones a 70 soles cada uno. Despus de haber vendido 12 con una ganancia de 20 soles por jarrn, se le rompieron 5 a qu precio vendi cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de 810 soles? a) 100 solesb) 90 solesc) 110 solesd) 120 solese) 112 soles

10. Un obrero gana diariamente S/. 5 ms que el otro. Despus de trabajar cada uno el mismo nmero de das, el primero recibe S/. 143 y el segundo S/. 88 Cunto gana por cada da el obrero peor ganado?a) 11b) 13c) 5d) 12e) 8

DIVISIBILIDAD

Parte de la Matemtica que estudia las condiciones que debe reunir un nmero para que se pueda dividir en forma exacta por otro.Notacin: Si A entre B tiene como cociente K y residuo 0, entonces: A = o A = Bk.

Principios Fundamentales:

Principio de Arqumedes:Si A x B = Donde A y n no tiene divisores en comn, entonces B = .

PROPIEDAD:Si un nmero es mltiplo de varios mdulos, entonces ser el mltiplo del mnimo comn mltiplo (M.C.M.) que contenga a los factores de dichos nmeros. Ejm: 36 es mltiplo de 2, 6 y 9. El MCM de esos nmeros es 18, por lo tanto, 36 es mltiplo de 18.

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

NmeroCriterio

2El nmero termina en cifra par.

3La suma de sus cifras es un mltiplo de 3.

4El nmero formado por las dos ltimas cifras es un mltiplo de 4.

5La ltima cifra es 0 5.

6El nmero es divisible por 2 y por 3.

7Para nmeros de 3 cifras: Al nmero formado por las dos primeras cifras se le resta la ltima multiplicada por 2. Si el resultado es mltiplo de 7, el nmero original tambin lo es.

Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un mltiplo de 7.

8El nmero formado por las tres ltimas cifras es un mltiplo de 8.

9La suma de sus cifras es mltiplo de 9.

10La ltima cifra es 0.

11Sumando las cifras (del nmero) en posicin impar por un lado y las de posicin par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0) o un mltiplo de 11, el nmero es divisible por ste.Si el nmero tiene dos cifras ser mltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.

12El nmero es divisible por 3 y 4.

13Para nmeros de 3 cifras: Al nmero formado por las dos primeras cifras se le suma la ltima multiplicada por 4. Si el resultado es mltiplo de 13, el nmero original tambin lo es.

Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es mltiplo de 13, el nmero original tambin lo es.

25Las dos ltimas cifras forman un mltiplo de 25

NMEROS PRIMOS

Los nmeros primos son los que poseen slo dos divisores: la unidad y el nmero mismo. Los que tienen ms de dos divisores se denominan compuestos.

CRIBA DE ERASTSTENES: Nmeros Primos menores que 100

12345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

51525354555657585960

61626364656667686970

71727374757677787980

81828384858687888990

919293949596979899100

CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NMERO ES PRIMO1. Se calcula la raz cuadrada aproximada del nmero por defecto y se considera la parte entera de dicha raz.2. Se consideran todos los nmeros primos de menor a mayor; menores o iguales a la parte entera de la raz cuadrada aproximada.3. Se determinar si el nmero es no divisible entre cada uno de los nmeros primos sealados en el paso anterior, empezando por el menor, luego:- Se afirmar que el nmero es primo, si resulta ser no divisible por ninguno de los nmeros primos indicados anteriormente.- Se afirmar que el nmero es compuesto, si por lo menos en un caso resulta ser divisible por alguno de los nmeros primos considerados.

1) NMEROS PESI (NMEROS PRIMOS ENTRE SI)Son aquellos que tienen como nico divisor comn a la unidad. Ejm: 20; 18 y 25 son nmeros PESI porque su nico divisor comn es 1.7; 15 y 24 no son PESI debido que 15 y 24 tienen 2 divisores comunes: 1 y 3.

2) TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMTICA:Todo entero positivo mayor que uno, se puede expresar como la multiplicacin indicada de sus divisores primos diferentes, elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representacin es nica (salvo el orden de los factores) y se le denomina como la DESCOMPOSICIN CANNICA de dicho nmero.En General:N = a x b x c

a, b y c son primos diferentes; , y son exponentes diferentes. N est descompuesta cannicamente.

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NMERO1) Total de Divisores:

Sea N = a . b . cTotal de Divisores: ( + 1)( + 1)( + 1)

Con respecto a los divisores, debemos tener presente que:a) Div. Simples: Son todos aquellos divisores que a la vez son nmeros simples.b) Div. Compuestos: Son todos aquellos divisores que a la vez son nmeros compuestos.c) Div. Primos: Son todos aquellos divisores que a la vez son primos absolutos.d) Div. Propios: Son todos los divisores de un nmero excepto el mismo nmero.

2) Suma de Divisores:Sea N = a . b . cSuma De Divisores:

TALLER DE EJERCICIOS

1. Cuntos valores puede tomar a en el nmero: , si se sabe que es divisible entre 2?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

2. Cuntos valores puede tomar x para que el nmero sea mltiplo de 3?a) 2b) 4c) 3d) 5e) 6

3. Cuntos valores puede tomar a para que el nmero sea divisible por 4?a) 3b) 2c) 1d) 4e) 5

4. Si = . Hallar a:a) 1b) 2c) 3d) 5e) 6

5. Si se sabe = Cuntos valores puede tomar b?a) 1b) 2c) 3d) 5e) 7

6. Qu residuo se obtiene al dividir el siguiente nmero 222333444555666777888999 entre 9?a) 6b) 7c) 5d) 4e) 2

7. En un aula del Grupo Futuro forman grupos de cinco alumnos para realizar una danza, faltando un alumno; pero si se forma grupos de seis alumnos no sobra ni falta alumnos. Halle la cantidad de alumnos del aula, si es mayor de 30 y menor que 60.a) 54b) 40c) 36d) 37e) 52

8. Elmer se va al hospital cada 15 das, Mary cada 12 das y Alicia cada 18 das. Si hoy se encontraron los 3 en el hospital, Dentro de cuntos das se encontrarn los 3 nuevamente?a) 60b) 120c) 150d) 180e) 210

9. Nicols agrupaba sus canicas de 6 en 6, de 8 en 8 y de 10 en 10 y siempre le faltaba una para formar un grupo ms Cuntas canicas tiene si es una cantidad mxima pero menor que 500?a) 449b) 469c) 481d) 479e) 489

10. En una divisin inexacta el dividendo es ( + 8), el cociente ( + 5) y el divisor es ( + 2). El residuo ser de la forma:

11. Cuntos divisores tiene 720?

12. Calcular la suma de divisores de 1260

13. Cuntos divisores de 6 tiene 540?

14. De los divisores de 936 000, averiguar cuntos son mltiplos de 5:

15. En el nmero 1200, determinar: a) Cuntos divisores tiene?b) Cuntos divisores primos tiene?c) Cuntos divisores compuestos tiene?d) Cuntos divisores pares tiene?e) Cuntos divisores impares tiene?f) Cuntos divisores son mltiplos de 3?g) Cuntos divisores no son mltiplos de 5?

16. Para el nmero 800, hallar lo mismo que el problema anterior:

17. Cuntos nmeros de 4 cifras son mltiplos de 9?

18. Del 1 al 4500, determinan Cuntos nmeros son divisibles por 15?

19. Cuntos nmeros divisibles entre 4 y 5 hay entre 301 y 499?

20. Cuntos nmeros de cuatro cifras son mltiplos de 7 y terminan en cifra 1?

MCM Y MCD

1. Mximo Comn Divisor (MCD):El MCD de dos o ms nmeros cumple las siguientes condiciones:a) Es un divisor comn de los nmerosb) Es el mayor de todos ellos.

El MCD est dado por el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente posible. El MCD nunca es mayor que ninguno de los nmeros analizados. Si el menor de los nmeros es divisor comn de los otros entonces el MCD ser ese menor nmero. El MCD de dos nmeros primos entre si es la unidad.

2. Mnimo Comn Mltiplo (MCM):Cumple con dos condiciones:1 Debe ser un mltiplo comn a los nmeros.2 Debe ser el menor de estos mltiplos comunes.

El MCM est dado por el producto de los factores primos comunes elevados al mayor exponente posible. El MCM nunca es menor que los nmeros analizados. El MCM de dos o ms nmeros primos entre si, es el producto de ellos. Si un nmero es mltiplo del otro entonces el MCM es el mayor.

EJERCICIOS

1. Calcular el MCD y MCM de 180; 540 y 630.a) 90 y 3780b) 80 y 3780c) 90 y 3330d) 80 y 3570e) 70 y 2550

2. Determine el mnimo volumen que debe tener una caja cbica para empaquetar jabones, cuyas dimensiones son 6 cm x 8 cm x 15 cm, sin que sobre espacio:a) 1,296 m3b) 1,458 m3c) 2,744 m3d) 1,964 m3e) 1,728 m3

3. Se tiene ladrillos de 8 cm x 9 cm x 12 cm y se dispone en la forma que se muestra en la figura con las cuales se forma un cubo compacto ms pequeo posible y se pinta todas sus caras excepto su base Cuntos ladrillos tienen una sola cara pintada?a) 244b) 155c) 184d) 268e) 202

1298

4. Se tiene un mural de 5 metros de alto y 2 metros de ancho, si se desea formar el menor nmero de cuadrados iguales para pintar las costumbres de nuestro Per, adems no debe sobrar ni faltar espacio. Calcule las cantidades de cuadrados que se forman; si los lados son nmeros enteros de metros. a) 8b) 4c) 2d) 5e) 10

5. Si para viajar a una ciudad A, dos empresas de transporte brindan dicho servicio a partir de las 6 am, la primera empresa sale cada 4 horas y la segunda empresa cada 3 horas y media. Dentro de cunto tiempo coincidirn en la salida?a) 5 horasb) 28 horasc) 4 horasd) 24 horase) 48 horas

6. Si MCM (A; B) = 91 125, Calcule n:SiA = 5n x 92B = 52 x 9na) 4b) 7c) 3d) 5e) 6

7. Cuntos valores toma N, si MCD (N; 80) = 40?N es un nmero positivo de 3 cifras:a) 10b) 11c) 12d) 23e) 21

8. Calcular el MCM de 90; 600 y 250:a) 4500b) 4000c) 3500d) 6000e) 7050

9. Calcular el MCD de 90; 500 y 250a) 15b) 10c) 5d) 7e) 8

10. 2 empresas de vuelos salen a partir de las 6 am, si la primera empresa sale cada 3 horas y la segunda cada 3 horas y media. Dentro de cunto tiempo coincidirn en la salida?a) 11b) 12c) 21d) 22e) 20

NMEROS RACIONALES

Fraccin: Un nmero fraccionario es el que expresa una o varias partes de la unidad principal y tiene la siguiente forma:

Clasificacin:1. Fraccin Propia: El numerador es menor al denominador. Su valor es menor que uno.2. Fraccin Impropia: El numerador es mayor al denominador. Su valor es mayor que uno. Son denominados nmeros mixtos.3. Fraccin Ordinaria o Comn: Donde el denominador es distinto de 10 o potencias de 10.4. Fraccin Decimal: Su denominador es potencia de 10. 5. Fracciones Homogneas: Son aquellas que tienen el mismo denominador.6. Fracciones Heterogneas: Son aquellas que tienen diferente denominador.7. Fracciones Reductibles: Son aquellas que tienen tanto en el numerador como el denominador algn divisor comn diferente de uno, por lo cual puede ser simplificada.8. Fracciones Irreductibles: Son aquellas cuyos trminos son primos entre si y por lo tanto no se pueden simplificar.9. Fracciones Equivalentes: Dos o ms fracciones son equivalentes si expresan la misma parte de un todo, cuando sus trminos sean diferentes.

Fraccin de Fraccin: Se llama as a las partes que se considera de una fraccin que se ha dividi en partes iguales.

MCD y MCM de dos o ms fracciones:a) b)

Operaciones con Fracciones:

1. Adicin y SustraccinSi son fracciones homogneas, se suman o restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.Si son fracciones heterogneas, se saca el MCM de los denominadores y se opera dividiendo este resultado entre cada denominador y multiplicndolo por cada numerador.

2. Multiplicacin

3. Divisin

4. Potenciacin y Radicacin

TALLER DE EJERCICIOS

1. Lenin dej pintado los 2/7 de la puerta del saln de clase. Luego, Claudio decide ayudarlo, pintando las 8/14 partes de la puerta Qu parte de la puerta faltar pintar?a) b) 1/3c) 1/5d) 1/7e) 2/3

2. Cunto es la mitad de la cuarta parte de 800?a) 200b) 100c) 400d) 350e) 250

3. Pedro emplea 2/5 del da para trabajar; 1/7 del da para comer y las 3/7 del da las emplea para jugar. Qu porcin del da duerme?a) 3/35b) 1/35c) 7/35d) 2/35e) 31/35

4. En una canasta de frutas, hay 5 manzanas y 7 naranjas, 12 frutas en total. Si Pedro coge 3 frutas Qu parte del total representan las frutas que quedaron?a) b) 2/3c) d) 4/5e) 2/7

5. En un saln de 80 alumnos, 30 son hombres Qu parte del nmero de mujeres son los hombres?a) 2/3b) 3/5c) 2/5d) 1/3e) 5/3

6. En un molino se tiene cierta cantidad de toneladas de harina de las que vende 1/4, luego vende 1/3 del resto quedando por vender 24 toneladas. Cuntas toneladas de harina haba inicialmente?a) 36b) 24c) 48d) 26e) 34

7. La direccin del colegio Futuro ha efectuado compras de dos tipos de tizas en iguales cantidades. Los profesores usan en clase 5/6 de un tipo y los de otro tipo. Qu fraccin de la cantidad total qued sin usar?a) 5/24b) 6/5c) 1/12d) 1/24e) 7/24

8. Un depsito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros de la mezcla. Cuntos litros de leche salen?a) 7b) 10c) 6d) 9e) 8

9. Si me fui al parque de diversiones y gast un quinto de mi dinero, luego gast un cuarto de lo que me quedaba y luego gast 1/3 del resto. Si para ir a mi casa el taxi me cobr 10 soles y me qued con 14 soles. Cunto gast en total?a) 60b) 56c) 46d) 54e) 36

10. En la fiesta de Pepe haba una torta de forma circular y 20 asistentes, pero la mam de Pepe separ de la torta para su familia, lo restante lo repartira entre los 20 asistentes en partes iguales. Qu parte de la torta le toca a cada asistente de la fiesta?a) b) c) d) 1/20e) 3/80

11. En un recipiente lleno de leche se extrae 1/5 de lo que no se extrae y luego se vuelve a extraer 1/5 de lo que quedaba, quedando en el recipiente 64 ml Cuntos ml haba en el recipiente?a) 80 mlb) 90 mlc) 96 mld) 112 mle) 120 ml

FIN DE CURSO

MISCELNEA

1. Si: ; halla (r + c):a) 12b) 10c) 8d) 14e) 20

2. La media aritmtica de un examen tomado a x alumnos fue de 8,4 y el profesor decide aumentar 2 puntos a los 21 desaprobados que haba, as el nuevo promedio resulta 9,8. Hallar el valor de x:a) 35b) 21c) 25d) 20e) 30

3. Supongamos que A vara directamente proporcional a X y Z e inversamente proporcional a W. Si A = 154 cuando X = 6, Z = 11, W = 3. Determine A cuando X = 9, Z = 20, W = 7.a) 120b) 140c) 160d) 180e) 200

4. Al inicio en una fiesta el 75% eran hombres y el resto mujeres, luego llegaron 60 hombres y 140 mujeres, siendo el nuevo nmero de hombres el 65% de los asistentes. Cuntas personas haba inicialmente?a) 770b) 500c) 600d) 380e) 700

5. La suma de 2 nmeros es 48. Si el producto del MCD con el MCM es 570. Calcular la razn entre el menor y el mayor:a) 3/5b) 2/5c) d) e) 1/3

6. Si 435(n) = Calcular: P + E + P + Ea) 14b) 18c) 22d) 16e) 6

7. Calcular: S + E + I + Sa) 7b) 3c) 11d) 12e) 17

8. Tres personas A, B y C se pusieron a jugar con la condicin de que el perdedor de cada partida, debera duplicar el dinero de los otros 2. Se sabe que perdieron en orden alfabtico, uno cada vez, quedndose c/u al final con S/. 32 Cunto tena el jugador B al principio?a) S/. 54,50b) S/. 27,50c) S/. 22,50d) S/. 28e) S/. 52

9. Determinar el total de nmeros de 3 cifras donde la cifra de unidades es el triple de las decenas:a) 20b) 36c) 40d) 36e) 70

10. Cuntas cifras se emplearon al escribir la siguiente progresin aritmtica: 36; 37; 38; ; 479?a) 1259b) 1300c) 1559d) 1230e) 1514

11. Dada la siguiente sucesin:27; 310n2; 514n6; 719n12; 1125nx; yzn30Calcular: H = (x y)2 za) 21b) 0c) -3d) 17e) 24

12. Hallar el nmero de trminos en cada uno de las siguientes sucesiones:S1: 206; 199; 192; ;38S2: 1; 1; 3; 7; ; 343a) 26 y 24b) 17 y 25c) 23 y 24d) 24 y 25e) 25 y 20

13. Al expresar 242 en base 7 se obtuvo . Calcule la suma de cifras al expresar en base n:a) 8b) 9c) 10d) 11e) 1214. Encuentre el valor positivo de x en la ecuacin: a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12

15. Hallar el residuo al dividir: (160x4 24x3 + 6x + 1) (2x + 1)a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12

16. Si a + b + c = 10 y a2 + b2 + c2 = 40. Hallar el valor de R si:R = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2a) 140b) 160c) 120d) 100e) 80

17. Calcular:

Si x = - ; y = - ; z = - a) 2b) 3c) 4d) 0e) 1

18. Efectuar: a) 11/4b) 11/5c) 11/7d) 13/8e) 13/5

19. Factorizar:P(x, y) = 10x2 + 11xy 6y2 x 11y 3a) (5x 2y 3)(2x + 3y + 1)b) (2x y)(3x + 1)c) (4x + 3)(5x + 3)d) (8x 1)(2x 1)e) (6x 1)(8x 3)

20. Hallar el MCM de:P(x) = (x 2)2(x 3)2Q(x) = (x + 2)(x 3)a) (x 2)3 b) (x 3)c) (x 2)2(x 3)2(x + 2) d) (x + 2)(x 3)e) (x 2)(x 3)

21. Racionalizar:

a) b) c) d) e)

22. Hallar a en:

a) -3b) 2c) -5d) 5e) 8

23. Si se cumple que: f(x) = 3x, calcule el valor numrico de:

a) 12b) 6c) 1d) 0,5e) 0,2

24. Hallar el valor de n para que el monomio:

Sea de sexto grado:a) 36b) 33c) 40d) 42e) 44

25. Resolver:

a) -6b) 6c) 5d) 4e) 5