Armadura Espacial

7/26/2019 Armadura Espacial

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PROBLEMA RESUELTO 1 SEM I /16ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO CIV 3306 A OR/ / /

DOCENTE: Ing. Hugo MercadoAUXILIAR:Univ. Ruben Tapia VelasquezNOMBRE:Univ. Michael Alex Velasquez Sandoval CI4020016 Or.

PREGUNTA 1:Resolver la Estructura mostrada en la figura por el metodo matricial.

ESTRUCTURA HIPERESTATICA3,75 DATOS

1,25 4Ton/mZ 4 =35cm

5 =28cm7

r2 E=2100000Kg/cm

1x =5800Ton/m

6Ton=4000Ton/m

8 r14 h 0 T1 90

a 3 NUDO 8T2 4Ton

Y h=4,00

T23 r2 3,75 5,006 b r1 4

X h =3,002

3 a=4,00 b

=3,00

Fig 1 3,75 5,00 3,75 5,00

1. CARACTERISTICAS GEOMETRICAS.- a =3,00 b =2,25

COORDENADAS NUDOS.-NUDO 4Obtenemos las coordenadas del nudo

N X Y Z

14,00 0,00 4,00 Yij = Yj Yi 4 =-x0 0 V 34 = 4 - 324,00 3,00 0,00 Zij = Zj Zi30,00 3,00 0,00 V 34 =- x-304-2,25 0,00 0,00 l u = X/L V 31 =4-3450,00 0,00 4,00 m u = Y/L V 34 V 31 = -x*4 +9 +0 = 064,00 0,00 0,00 n u = X/L70,00 3,00 4,00 x=2,2583,00 0,75 3,00

l u, m u, n u cosenos directores.

A1

A2

r1

r2

ij= j i


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BARRAS.- No es necesario calcular los cosenos directores de los ejes locales v, w.

BARRA O EA E Y Z L EA/L

m t/m m m m m t/m

1-21 2 0,0028210000000 3 -4 5,00011760,00470,40 0,000 0,600 -0,800

1-31 3 0,003521000000-4 3 -4 6,40311478,77279,97 -0,625 0,469 -0,625

8-28 20,0028210000001 2,25 -3 3,88115150,561005,850,258 0,580 -0,7731-61 60,0028210000000 0 -4 4,00014700,00918,750,000 0,000 -1,000

RESORTES.-

BARRA O Er Y Z L =1/(1/r1 + 1/r2)

t/m m m m m

2-32 3 2367,347-4 0 0 4,000 -1,000 0,000 0,000 =2367,347Ton/m3-43 4 5800,000-2,25 -3 0 3,750 -0,600 -0,800 0,000

1-51 5 -4 0 0 4,000 -1,000 0,000 0,000

2. DETERMINACION DE LAS MATRICES.-

MATRIZ DE ROTACION.-

0l u m u n u T 0 T

l u l v l w

R =l v m v n v

R =m u m v m w

( I )

0l w m w n w

0n u n v n w

MATRIZ DE RIGIDEZ.-

En Coordenadas Locales.

1 0 0 -10 0EA/L0 0 0 EA/L0 0 0

( II )0 0 0 0 0 0

Sub Matrices

T

En Coordenadas Globales. De ( I ) y ( II ) sea lo siguiente:

0 R 0 R 0

= * * = *0 0 R 0 R

l u l v l w 1 0 0 l u m u n u

=m u m v m w *EA/L0 0 0 * l v m v n vn u n v n w 0 0 0 l w m w n w

Analizamos una de las sub matrices.

X EA/L3 lu

mu

nut/m3

ara a arra prevamente se otene a rgez equvaente re

X lu

mu

nu

re

re

RGL

RGL

T

GL=

GL=

RGL

RGL

T

KiiKij

KL= ii

= =i=

i=

Kji

Kjj

KG= GL L GL

Kii

G Kij

GRT Kii Kij R

T*KiiRT*K

ij

KG=Kji

G Kjj

GRT Kji Kjj R

T*KjiRT*K

jj

RT*Kii*R RT*K

ij*R

KG= R

T*K*R

RT*Kji*R RT*K

jj*R


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finalmente:

l u 0 0 l u m u n u l u*m u l u*n u

=EA/L m u 0 0 * l v m v n v =EA/L l u*m u m u*n u

n u 0 0 l w m w n w l u*n u m u*n u

De igual manera las otras submatrices son:

l u*m u l u*n u - l u*m u - l u*n u

=EA/L l u*m u m u*n u ; EA/L - l u*m u - mu*n ul u*n u m u*n u - l u*n u - mu*n u

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA

l u*m u l u*n u - l u*m u - l u*n u

l u*m u m u*n u - l u*m u - mu*n u

EA/Ll u*n u m u*n u - l u*n u - mu*n u

= ( III )- l u*m u - l u*n u l u*m u l u*n u

- l u*m u - mu*n u l u*m u m u*n u

- l u*n u - mu*n u l u*n u m u*n u

CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS.- Usando ( III ) obtenemos

la matriz de rigidez enBARRA 1-2 coordenadas globales

G G 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00

K = K =11760,000,000 0,360 -0,480 =0,00 4233,60 -5644,8011 22 0,000 -0,480 0,640 0,00 -5644,80 7526,40

G G 0,00 0,00 0,00

K = K =0,00 -4233,60 5644,8012 21 0,00 5644,80 -7526,40

BARRA 1-3

G G 0,390 -0,293 0,390 4479,52 -3359,64 4479,52

K = K =11478,77-0,293 0,220 -0,293 =-3359,64 2519,73 -3359,6411 33 0,390 -0,293 0,390 4479,52 -3359,64 4479,52

G G -4479,52 3359,64 -4479,52

K = K =3359,64 -2519,73 3359,6413 31 -4479,52 3359,64 -4479,52

BARRA 2-3

G G 1,000 0,000 0,000 2367,35 0,00 0,00

K = K =2367,350,000 0,000 0,000 =0,00 0,00 0,0022 33 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00

G G -2367,35 0,00 0,00

K = K =0,00 0,00 0,0023 32 0,00 0,00 0,00

l u2

RT*Kii*R m u2

n u2

l u2 - l u2

R

T

*K*R m u2

R

T

*Ki*R =R

T

*Ki*R = - m u2

n u2 - n u2

l u2 - l u2

m u2 - m u2 Kii

G Kij

G

KG= n u

2 - n u2

- l u2 l u2 Kji

G Kjj

G

- m u2 m u2

- n u2 n u2


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BARRA 3-4

G G 0,360 0,480 0,000 2088,00 2784,00 0,00

K = K =5800,000,480 0,640 0,000 =2784,00 3712,00 0,0033 44 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00

G G -2088,00 -2784,00 0,00K = K =-2784,00 -3712,00 0,0034 43 0,00 0,00 0,00

BARRA 1-5

G G 1,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00

K = K =0,00 0,000 0,000 0,000 =0,00 0,00 0,0011 55 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00

G G 0,00 0,00 0,00

K = K =0,00 0,00 0,0015 51 0,00 0,00 0,00

CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL POR NUDO.-

NUDO 1

G 1 2 1 3 1 5

K = KG + KG + KG

11 11 11 11

G 0,00 0,00 0,00 4479,52 -3359,64 4479,52 0,00 0,00 0,00K =0,00 4233,60 -5644,80 +-3359,64 2519,73 -3359,64 +0,00 0,00 0,0011 0,00 -5644,80 7526,40 4479,52 -3359,64 4479,52 0,00 0,00 0,00

G 4479,52 -3359,64 4479,52

K =-3359,64 6753,33 -9004,4411 4479,52 -9004,44 12005,92


5/12

NUDO 2

G 1 2 2 3 1 3

K = KG + KG + KG

22 22 22 22

G 0,00 0,00 0,00 2367,35 0,00 0,00K =0,00 4233,60 -5644,80 +0,00 0,00 0,00 +22 0,00 -5644,80 7526,40 0,00 0,00 0,00

G 2367,35 0,00 0,00

K =0,00 4233,60 -5644,8022 0,00 -5644,80 7526,40

NUDO 3

G 1 3 2 3 3 4

K = KG + KG + KG33 33 33 33

G 4479,52 -3359,64 4479,52 2367,35 0,00 0,00 2088,00 2784,00 0,00

K =-3359,64 2519,73 -3359,64 +0,00 0,00 0,00 +2784,00 3712,00 0,0033 4479,52 -3359,64 4479,52 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

G 8934,87 -575,64 4479,52

K =-575,64 6231,73 -3359,6433 4479,52 -3359,64 4479,52

MATRIZ GENERAL DE RIGIDEZ.-

Definimos la matriz geneal de rigidez Algunas sub matrices son iguales a cero

K11K12K13K14K15 K11K12K13 0 K15Matriz de Resultantes

K21K22K23K24K25 K21K22K23 0 0 R1G F=R2

K =K31K32K33K34K35 = K31K32K33K34 0 R3

K41K42K43K44K45 0 0 K43K44 0

RixF=Riy

K51K52K53K54K55 K51 0 0 0 K55i Riz

El sistema general Matriz de cargas Materiz de desplazamientos

G 1 ix 1 ixF =K *+ =2 =iy = 2 = iy

3i iz 3 i iz


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Ensamblamos todas las sub matrices reemplazando los datos obtenidos anteriormente.

1 2 3 4 54480 -3360 4480 0 0 0 -4480 3360 -4480 0 0 0

1 -3360 6753 -9004 0 -4234 5645 3360 -2520 3360 0 0 0 1

4480 -900412006 0 5645 -7526-4480 3360 -4480 0 0 01

0 0 0 2367 0 0 -2367 0 0

2 0 -4234 5645 0 4234 -5645 0 0 0 2 0 5645 -7526 0 -5645 7526 0 0 0 2

-4480 3360 -4480-2367 0 0 8935 -576 4480 -2088-2784 0

3 =3360 -2520 3360 0 0 0 -576 6232 -3360-2784-3712 0 3 -4480 3360 -4480 0 0 0 4480 -3360 4480 0 0 0 3

-2088-2784 0 2088 2784 0

40 -2784-3712 0 2784 3712 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

50 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3. VECTOR DE CARGAS.-0 0 0 0

CARGAS DIRECTAS.- = P = = =0i k 1 2 3

NO existen cargas directas en ninguno de los nudos.

CARGAS INDIRECTAS.- n=L m

=1,25

3,75 5,00 n 3,75De Fig 1. CARGAS DE ESTADO FIJO.

L =6,403 n=6,403 m

=1,25

13 P1 q=4Ton/m 3,75 5,00 4,802 3,75P2= 6Ton

n =4,802 m =1,601

1En general para una vector carga puntual aplicado en una barra.

m P

4,00 h 3,00 O En

r s

L

6 3 = -sP ij ij L ji

1,25 3,75 = -rP

Fig 2 ji L


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BARRA 1-3

CARGA DISTRIBUIDA p1 ;q= 4Ton/m p1 = *q *b b= 3,75 m

Vectorializamos la resultante p1 de la carga distribuida en coordenadas globales.

Vector unitario de P1: u =0,00 0,00 -1,001

Resultante de la carga distribuida: p=43,75=7,500Ton1

Vector P1: P = p *u=7,500 *0,00 0,00 -1,00=0,00 0,00 -7,501 1 1

REACCIONES DE APOYO s=1,25 r = L -s

L 5,00

=-0,25 *0,00 0,00 -7,50=0,0000,0001,875 r =4,80213 s

=1,250

=-0,75 *0,00 0,00 -7,50=0,0000,0005,625 6,403 5,00Deducimos el punto de

31 aplicacin del Vector.CARGA PUNTUAL p2 = 6Ton s =1,601a un tercio de la carga

distribuida.

Vectorializamos la carga puntual p2 en coordenadas globales.

Vector unitario de P2: u =0,00 0,00 -1,002

Vector P2: P = p *u=6,00*0,00 0,00 -1,00=0,00 0,00 -6,002 2 2

REACCIONES DE APOYO De Fig 2. n =4,802 m =1,601

=-0,75 *0,00 0,00 -6,00=0,0000,0004,50013

=-0,25 *0,00 0,00 -6,00=0,0000,0001,50031

CARGA PUNTUAL p3 = 4Ton


Vector unitario de P3: u = 0,2580,580-0,773De la tabla u = u3 3 82

Vector P3: P = p *u=4,00*0,258 0,580-0,773= 1,0312,319-3,0923 3 3


=-0,75 * 1,031 2,319-3,092=-0,773-1,7392,31913

=-0,25 * 1,031 2,319-3,092=-0,258-0,5800,77331


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BARRA 1-2 No existe ninguna carga que actue sobre esta Barra.

CARGA PUNTUAL p4 = 0Ton


Vector unitario de P4: u =-1,0000,000 0,000De la tabla u = u4 4 15

Vector P4: P = p *u=0,00*-1,0000,0000,000 = 0,000 0,000 0,0004 4 4


=-0,75 * 0,000 0,000 0,000 = 0,0000,0000,00012

=-0,25 * 0,000 0,000 0,000 = 0,0000,0000,00021


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I P

CARGAS ACUMULADAS EN BARRAS.- = kij ij

BARRA 1-3 Escribimos los vectores reaccion en forma matricial.

I P P P 0,000 0,000 -0,773 -0,773 =1 +2 +3 =0,000 +0,000 +-1,739=-1,73913 13 13 13

1,875 4,500 2,319 8,694

I P P P 0,000 0,000 -0,258 -0,258 =1 +2 +3 =0,000 +0,000 +-0,580=-0,58031 31 31 31 5,625 1,500 0,773 7,898

BARRA 1-2

I P P P 0,000 0,000 =4 +0 +0 =0,000 + + =0,00012 12 12 12 0,000 0,000

I P P P 0,000 0,000 =4 +0 +0 =0,000 + + =0,00021 21 21 21 0,000 0,000

0 I

CARGAS ACUMULADAS EN NUDOS.- = + i i ij

NUDO 10 I I 0,000 0,000 -0,773 -0,773

= + + =0,000 +0,000 +-1,739=-1,7391 1 12 13 0,000 0,000 8,694 8,694

NUDO 40 I I 0,000 0,000 0,000

= + + =0,000 +0,000 + =0,0004 4 21 00 0,000 0,000 0,000

NUDO 30 I I 0,000 -0,258 -0,258

= + + =0,000 +-0,580+ =-0,5803 3 31 32 0,000 7,898 7,898

MATRIZ DE DESPLAZAMIENTOS.- Aplicamos condiciones de contorno

1x 0 3x= 0 = 0 = 3y1 1z 2 0 3 0

El nudo 2 no se desplaza y por definicion en el nudo 4 y 5 no existen desplazamiento


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4. DESPLAZAMIENTOS.-

Se eliminan las sub matrices (filas y columnas 4 y 5) de la matriz de rigidez general puestoque las cargas y desplazamientos en esos nudos son iguales a cero y nos queda la matriz.

F K 1 2 3

0 4480 -3360 4480 0 0 0 -4480 3360 -44801 1x -0,773R1y -3360 6753 -9004 0 -4234 5645 3360 -2520 3360 0 -1,7390 4480 -900412006 0 5645 -7526-4480 3360 -4480 1z 8,694R2x 0 0 0 2367 0 0 -2367 0 0

20 0,000

R2y=0 -4234 5645 0 4234 -5645 0 0 0 *0 +0,000R2z 0 5645 -7526 0 -5645 7526 0 0 0 0 0,0000 -4480 3360 -4480-2367 0 0 8935 -576 4480

33x -0,258

0 3360 -2520 3360 0 0 0 -576 6232 -3360 3y -0,580R3z -4480 3360 -4480 0 0 0 4480 -3360 4480 0 7,898

Procedemos a reordenar las filas y columnas de la matriz.a la parte final.

F K 0 4480 4480 -4480 3360 -3360 0 0 0 -4480 1x -0,7730 4480 12006-4480 3360 -9004 0 5645 -7526-4480 1z -1,7390 -4480-4480 8935 -576 3360 -2367 0 0 4480 3x 8,6940 3360 3360 -576 6232 -2520 0 0 0 -3360 3y 0,000R1y=-3360-9004 3360 -2520 6753 0 -4234 5645 3360 *0 +0,000R2x 0 0 -2367 0 0 2367 0 0 0 0 0,000R2y 0 5645 0 0 -4234 0 4234 -5645 0 0 -0,258R2z 0 -7526 0 0 5645 0 -5645 7526 0 0 -0,580R3z -4480-4480 4480 -3360 3360 0 0 0 4480 0 7,898

K 0,773 4480 4480 -4480 3360 1x 1x 0,001539 -0,000133 0,000660 -0,000697 0,773-8,694

=4480 12006-4480 3360 1z

1z=-0,000133 0,000133 0,000000 0,000000 *

-8,694

0,258 -4480-4480 8935 -576 3x 3x 0,000660 0,000000 0,000422 -0,000317 0,2580,580 3360 3360 -576 6232 3y 3y -0,000697 0,000000 -0,000317 0,000507 0,580

1x= 0,00211061z=-0,00125783x= 0,00043543y=-0,0003265

K-1


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5. REACCIONES FINALES.- 0

0 R2x 0F=R1y F=R2y F= 01 0 2 R2z 3 R3z

Con la matriz de desplazamientos reemplazamos los valores en la otra sub matriz

F K R1y -3360-9004 3360 -2520 0,0021106 -1,739 4,781250R2x 0 0 -2367 0 -0,0012578 0,000 -1,030651R2y=0 5645 0 0 *0,0004354+0,000 =-7,100214R2z 0 -7526 0 0 -0,0003265 0,000 9,466952R3z -4480-4480 4480 -3360 7,898 7,125000

0 -1,031 0R1 =4,781 R2 =-7,100 R3 =0

0 9,467 7,125


12/12

4480 4480 -4480 3360

4480 12006 -4480 3360

-4480 -4480 8935 -576

3360 3360 -576 6232

0,001539 -0,000133 0,000660 -0,000697 0,773 0,002111

-0,000133 0,000133 0,000000 0,000000 -8,694 -0,001258

0,000660 0,000000 0,000422 -0,000317 0,258 0,000435

-0,000697 0,000000 -0,000317 0,000507 0,580 -0,000327

-3360 -9004 3360 -2520 0,00211 6,52047

0 0 -2367 0 -0,00126 -1,03065

0 5645 0 0 0,00044 -7,10021

0 -7526 0 0 -0,00033 9,46695

-4480 -4480 4480 -3360 -0,77299

R1y 4,781250 1,031 -1,030651 0,00000

R2x -1,030651 2,318964 -2,318964 0,00000

R2y -7,100214 -16,591952 16,591952 0,00000

R2z 9,466952

R3z 7,125000

Armadura Espacial

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