Articulo Distribucion de Esfuerzos en El Suelo
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Universidad Nacional Autónoma de México
Posgrado de Ingeniería
Seminario de Investigación
México, D.F., a 25 de abril del 2011
1 INTRODUCCÍON
1.1 Antecedentes
La construcción de una estructura y su cimentación
causa cambios en el estado de esfuerzos en la masa de
suelo que la soporta. Estos incrementos en los esfuerzos
dependen de la magnitud de la carga, la forma del área
cargada, la geometría de la carga, la profundidad del
desplante, entre otros.
En este artículo se van a describir las distintas
soluciones para tratar con los problemas de ingeniería
civil en los cuales es necesario determinar el estado de
esfuerzos inducido en la masa de suelo. Estas soluciones
se basan en la Teoría de la elasticidad, desde luego que el
uso de esta teoría involucra grandes simplificaciones, que
pueden estar alejadas de las características de un suelo
real, sin embargo, se reconoce que las soluciones a las que
se llega, aunque aproximadas, son lo suficientemente
precisas para la práctica profesional.
Los suelos son materiales complejos que no pueden
modelarse matemáticamente sin introducir hipótesis que
simplifiquen su caracterización. Para el cálculo de
esfuerzos se hacen las siguientes hipótesis:
Es un medio continuo: el suelo en realidad es un me-
dio particulado, sin embargo esta hipótesis evita las
complicaciones de la distribución de esfuerzos deri-
vadas de las concentraciones de esfuerzos en los con-
tactos, las fisuras, las grietas y demás imperfeccio-
nes.
Es un medio homogéneo: esto significa que las pro-
piedades mecánicas son las mismas en todos los pun-
tos del medio. Es decir el medio no tiene vetas, man-
chas o puntos débiles, blandos o duros.
Es un medio isótropo: esto significa que sus
propiedades no son direccionales, es decir, no de-
penden de la dirección en que se mida.
Es un medio linealmente elástico: lo cual significa
que todo incremento de esfuerzos está asociado a un
incremento de deformación proporcional.
A pesar de numerosos estudios experimentales y
analíticos disponibles en la literatura técnica sobre
asentamientos y esfuerzos en suelos sometidos a cargas,
todavía existe la necesidad de modelos con la capacidad
de analizar el caso general de un área de forma arbitraria
sometida a cargas puntuales o uniformemente
distribuidas, como se explicó anteriormente. En base a
esto, se desarrollaron algoritmos basados en la ecuación
de Boussinesq capaces de predecir los esfuerzos y los
asentamientos en cualquier punto a profundidad
determinada en un medio o estrato, los cuales se
explicarán a continuación.
1.2 Objetivos
El artículo se propone describir algunas de las teorías
utilizadas en la actualidad para el cálculo de los esfuerzos
en el interior de un semi-espacio linealmente elástico
debido al efecto de una carga aplicada expuestas por
grandes investigadores como Boussinesq, Newmark,
Westergaard y Frohlich. Se presenta también el trabajo
realizado por el Ing. Julio Damy donde integra las
ecuaciones de dichas teorías, y las aplica para cualquier
polígono.
1.3 Alcances
El artículo comprende la descripción de diferentes
métodos propuestos por algunos autores para calcular el
incremento de esfuerzo vertical en la masa de suelo
debidos a cargas aplicadas; con la finalidad de establecer
comparaciones entre ellos que faciliten la selección del
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL SUELO
Stress distribution in the soil
Ing. Vanessa Mussio Arias, Alumno de Posgrado de Ingeniería, UNAM
RESUMEN: Este artículo describe los métodos utilizados para determinar la distribución de los esfuerzos verticales en
la masa de suelo debido a la aplicación de cargas. Esto es, naturalmente, de gran importancia en el análisis de
asentamientos, debido a que el mismo es proporcional al peso propio de la estructura y al incremento en los esfuerzos
verticales de la masa de suelo. En la mayoría de los casos, el incremento del esfuerzo vertical es el factor de mayor
importancia en el análisis de asentamientos.
ABSTRACT: This article describes commonly used methods to determine the increase in stress in the soil deposit due to
applied loads. This is naturally important in settlement analysis because the settlement of the structure is due directly to
its weight, which causes an increase in stress in the underlying soil. In most cases, it is the increase in vertical stress that
is of most importance in settlement analyses.
Distribución de esfuerzos en el suelo
procedimiento apropiado según el caso práctico al que
corresponda.
2 TEORÍA DE BOUSSINESQ
2.1 Discusión general
En 1885, Boussinesq publicó ecuaciones basadas en la
teoría de la elasticidad, para la determinación de los
esfuerzos normales y cortantes en un punto cualquiera,
causados por una carga puntual concentrada en la
superficie horizontal de un medio semi-infinito,
homogéneo, linealmente elástico e isotrópico.
Aunque las ecuaciones y los gráficos basados en la
teoría de elasticidad son de uso frecuente para determinar
el cambio de esfuerzos en el suelo, se conoce que el
mismo no es un material elástico. Por ejemplo, si una
carga pesada se aplica a un depósito de suelo, habrá
deformación vertical del suelo en respuesta a esta carga. Si
se quita esta carga pesada, el suelo rebotará pero no
volverá a su altura original, comprobando que el suelo no
se comporta como una material totalmente elástico.
Sin embargo, se ha indicado que mientras el valor
obtenido entre el factor de la seguridad y el esfuerzo de
falla sea mayor de 3, los esfuerzos impuestos por la carga
de la fundación son aproximados a los valores obtenidos
con la teoría de elasticidad. (NAVFAC DM-7.1 1982)
Por esto, al evaluar la cercanía que existe entre las
hipótesis en el desarrollo de la teoría y las condiciones
reales en campo, se puede llegar a la conclusión que no es
apropiada la Teoría de Boussinesq. Sin embargo, al
comparar los resultados de experimentos realizados tanto
en el laboratorio como en el campo se puede concluir que
guardan suficiente aproximación con las predicciones.
2.2 Carga aplicada
Para una carga puntual Q, aplicada en la superficie del
suelo tal como muestra en la Figura 1, el incremento del
esfuerzo vertical en cualquier profundidad, z, y a una
distancia, r, de la carga puntual puede ser calculada
usando la siguiente ecuación de Boussinesq:
( ) ⁄ ( )
Si en vez de ser una carga puntual, se trata de una carga
linealmente uniforme (fuerza por longitud de unidad), el
incremento del esfuerzo vertical en una profundidad, z, a
una distancia, r, de la carga linealmente uniforme sería:
( ) ( )
Par una misma carga Q, los resultados obtenidos con la
Ec. 2 serán mayores que los esfuerzos verticales obtenidos
con la Ec. 1.
Figura 1. Representación de los Términos de la
Ecuación de Boussinesq (Robert W. Day, 2000)
3 GRÁFICOS Y ECUACIONES BASADOS EN LA
TEORÍA DE BOUSSINESQ
3.1 Método aproximado
Uno de los primeros métodos utilizados para encontrar
el incremento de esfuerzo vertical en el suelo, a una
profundidad z cualquiera, debido a una carga
uniformemente distribuida P, colocada en una superficie
rectangular de ancho B y largo L.
Este método supone que la zona donde la P actúa, se va
distribuyendo en el suelo, ampliándose, desde la de
contacto, hasta una zona más grande que va a ser en
función de la profundidad, y que va a ir creciendo con una
pendiente 2:1 (V:H), tal como se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Método aproximado para la determinación del
incremento del esfuerzo vertical. (Robert W. Day, 2000)
Ing. Vanessa Mussio Arias
3.2 Bulbo de presiones
En la Figura 3 se observa la zona del suelo donde se
producen incrementos de carga vertical por efecto de una
carga aplicada del tipo que sea. Esta zona forma un bulbo
llamado presiones, y está conformada por isóbaras que son
curvas que unen puntos de un mismo valor de presión o de
esfuerzo.
Figura 3. Bulbos de presiones (Bowles 1982)
Se admitió la hipótesis de que la transmisión de las
presiones en la masa de suelo se difunde dentro de un
cierto ángulo y que éstas van decreciendo con
uniformidad hacia abajo por capas sucesivas, y con
repartición uniforme. La presión no es uniforme, sino que
es mayor en el centro, disminuyendo de intensidad hacia
los extremos. Esta particularidad, combinada con la
elasticidad que generalmente tiene el suelo, hace que la
resultante de las presiones esté aproximadamente, al
centro de la fundación. El bulbo de presiones, tiene gran
influencia en el diseño, cálculo y resultado de las
cimentaciones. Sin embargo, su efecto corresponde, no al
asentamiento inicial, sino al subsecuente.
3.3 Teoría de Westergaard
Casagrande observó que en los suelos compresibles con
finos estratos de arena o limo, alternados con otros de
arcilla (arcillas finamente estratificadas), las láminas de
arena y limo actúan como refuerzos del conjunto,
limitando o restringiendo la deformación horizontal de la
masa. Considerando esto, la utilización de la Teoría de
Boussinesq no es recomendable, pues la misma arroja
resultados poco aproximados, por la condición no
isotrópica del suelo.
Westergaard (1938) obtuvo una solución elástica lineal
particular para estos casos, donde se supone que el suelo
se encuentra reforzados lateralmente por numerosas
laminaciones horizontales de espesor sumamente pequeño
pero de rigidez infinita, como se muestra en la Figura 6.
O mediante la siguiente ecuación:
√( )( )
[( )( )
( )
]
⁄ ( )
Figura 4. Determinación del incremento del esfuerzo
vertical basado en la teoría de Wetergaard (Duncan y
Buchignani, 1976)
Esta figura arroja mejores resultados en la
determinación del incremento del esfuerzo vertical para un
suelo estratificado, cuando el suelo es una arcilla blanda
con numerosas laminaciones horizontales de arena.
3.4 Teoría de Newmark
En 1935, Newmark basándose en la ecuación y
solución de Boussinesq desarrolló una nueva ecuación
para determinar el incremento de esfuerzos en la esquina
de un área cargada uniformemente. La Figura 4 que se
muestra a continuación, permite calcular el valor de
influencia de manera sencilla. Entrando a la gráfica con el
Distribución de esfuerzos en el suelo
valor de n y, la intersección con la curva deseada de m, se
obtiene el valor Iw del coeficiente de influencia del eje
vertical. Con éste valor de Iw y el valor de la carga q0 se
obtendrá el incremento de esfuerzo a cualquier
profundidad.
Figura 5. Determinación del incremento del esfuerzo
vertical en la esquina de un área cargada (NAVFAC DM-
7.1, 1982)
Esta figura también puede ser utilizada para determinar
el incremento del esfuerzo vertical en el centro de un área
rectangular uniformemente cargada. Para este caso,
primero se divide el área rectangular en 4 parte, se
determina el valor del coeficiente de influencia en la
esquina de una de las partes y posteriormente se multiplica
el valor del incremento del esfuerzo vertical obtenido por
4, resultando así, el valor del incremento del esfuerzo
vertical al centro del rectángulo.
En 1942 Newmark ideó una solución gráfica para
encontrar de manera aproximada el incremento de
esfuerzo vertical debajo de cualquier punto de una
fundación, con cualquier tipo, forma de carga y en un
medio que cumple con las hipótesis de Boussinesq. A esta
solución se le llama Carta de Newmark, como se observa
en la Figura 5.
Posiblemente la máxima utilidad de la Carta de
Newmark aparezca cuando se tiene una zona con diversas
áreas cargadas uniformemente, pero con cargas de
distintas intensidades, pues es este caso los métodos antes
vistos requerirían muchos cálculos, mientras que la carta
de Newmark funciona sin mayor dificultad.
Figura 6. Carta de Newmark para determinación del
incremento del esfuerzo vertical (Newmark, 1942)
3.5 Teoría de Frohlich
Frohlich propuso una fórmula para calcular la
distribución de esfuerzos verticales en la masa de suelo
debido a cargas aplicadas en la superficie, la cual se puede
calcular por medio de la siguiente expresión para una
carga concentrada p;
[
( ) ]
( )
El valor X, es el factor de distribución de esfuerzos de
Frohlich, el cual depende de las condiciones estratigráficas
y mecánicas de compresibilidad del suelo:
X=1.5, aproximadamente la solución de
Westergaard para un suelo fuertemente
estratificado reforzado por estratos horizontales
múltiples e indeformables, ν= 0.
X=2, suelo estratificado, con estratos de
diferentes deformabilidades.
X=3, solución de Boussinesq, suelo homogéneo e
isotrópico.
X=4, suelo homogéneo en que la compresibilidad
se reduce en la profundidad, como en el caso de
las arenas
Ing. Vanessa Mussio Arias
3.6 Trabajo del Ing. Julio Damy
El ingeniero Julio Damy realiza una contribución muy
importante al estudio de la distribución de esfuerzos en la
masa de suelo al desarrollar con base en la geometría del
triangulo, una serie de fórmulas mediante las cuales se
puede calcular dicha influencia de las cargas en el suelo
para cualquier polígono. Desarrollando tres formulas
correspondientes a la teoría de Boussinesq, Westergaard y
Frohlich.
Además, aplicando de una manera muy simple las
formulas del triangulo, se llegan a obtener fórmulas para
rectángulos correspondientes a la teoría de los mismos
autores antes mencionados, como se muestra a
continuación:
Ecuación de Boussinesq:
,(
) (
)
( ) ⁄
( ) ⁄- ( )
Ecuación de Frolich:
,[(
)
( )]
* ( )
( ) ⁄ (
( ) ⁄)+
* ( )
( ) ⁄ (
( ) ⁄)+-
Ecuación de Westergard:
(
( ) ⁄) ( )
Donde:
√
( ) ( )
4 CONCLUSIONES
1. La fórmula de Boussinesq es utilizada para suelos
homogéneos e isotrópicos.
2. La fórmula de Westergaard aplica cuando el
suelo está fuertemente estratificado reforzado por
estratos horizontales múltiples e indeformables.
El resultado es 2/3 menor al de Boussinesq, a
causa que los estratos horizontales toman parte de
estos esfuerzos.
3. La máxima utilidad de la Carta de Newmark,
además de ser un método gráfico muy sencillo, es
cuando se tiene una zona con diversas áreas
cargadas uniformemente, perco con cargas de
distintas intensidades, pues es este caso los
métodos antes vistos requerirían muchos
cálculos, mientras que la carta de Newmark
funciona sin mayor dificultad
4. La fórmula de Frohlich aplica para superficie de
una medio semi–infinito, elástico y an-
isotrópico.
5. El ingeniero Julio Damy realiza una contribución
muy importante al estudio de la distribución de
esfuerzos en la masa de suelo al desarrollar con
base en la geometría del triangulo, una serie de
fórmulas mediante las cuales se puede calcular
dicha influencia de las cargas en el suelo para
cualquier polígono.
5 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bowles, J. E (1982). “Foundation Analysis and
Desing”. Estados Unidos, New York. Editorial Mc Graw
Hill. Second Edition: 816 pp.
Damy R. Julio, Integración de las superficies de
Boussinesq, Westergaard y Frölich sobre superficies
poligonales de cualquier forma cargadas por fuerzas
verticales uniformemente repartidas.
Day, R. (2000). “Geotechnical Engineer’s portable
handbook”. Estados Unidos, New York. Editorial Mc
Graw Hill. Second Edition: 6.2- 6.22 pp.
Juárez Badillo y Rico Rodríguez (2008). “Mecánica de
suelos, Tomo II, Teoria y aplicaciones de la mecánica de
suelos”. México. Editorial Limusa: 38-41 pp.
NAVFAC DM-7.1 (1982). “Soil Mechanics, Desing
Manual 7.1, Department of the Navy”. Naval Facilities
Engineering Command, Alexandria, Va., 364 pp.
Terzaghi, Peck and Mesri. (1996). “Soil Mechanics in
Engineering practice”. India, New Delhi. Editorial John
Wiley and Sons, Inc. Third Edition: 291-297 pp.
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