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INGENIERADIDCTICAENEDUCACINMATEMTICA

Un esquema para la investigacin y la innovacin en laenseanza y el aprendizaje de las matemticas

MICHLE ARTIGUERGINE DOUADY

LUIS MORENOPEDRO GMEZ (EDITOR)

Bogot, 1995

una empresa docente

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Primera edicin, julio de 1995

INGENIERA DIDCTICA EN EDUCACIN MATEMTICAUn esquema para la investigacin y la innovacin en la enseanzay el aprendizaje de las matemticasAutores: Michle Artigue, Rgine Douady, Luis Moreno

Editor: Pedro GmezD. R. 1995 una empresa docente & Grupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V.Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma algu-na o mediante algn sistema, ya sea electrnico, mecnico, de fotorreproduccin, de almacena-miento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de "una empresadocente", del Grupo Editorial Iberoamrica y de los autores.

Diseo cartula: una empresa docente

Grupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V.Serapio Rendn 125. Col. San Rafael, 06470 Mxico, D.F.Apartado 5-192, C.P. 06500 Tel. 705-05-85Reg. CNIEM 1382

una empresa docenteUniversidad de los AndesCra. 1 Este # 18 A - 70Apartado Areo 4976 Tel. (57-1) 284-9911 ext. 2717. Fax: 284-1890Servidor WWW: http: //ued. uniandes. edu.coBogot. Colombia

ISBNImpreso en Mxico / Printed in Mexico

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El Segundo Simposio Internacional de EducacinMatemtica fue realizado gracias al patrocinio

de las siguientes entidades:

Avianca Fundacin para la Promocin de la Investiga-

cin y la Tecnologa Banco de la Repblica

Berol

CDM de Colombia

COLCIENCIAS(entidad que impulsa el desarrollo cientfico y tecnolgico de Colombia)

Fundacin Alejandro Angel Escobar

Fundacin Corona

Fundacin Mazda

Fundacin Santillana para Iberomerica

ICETEX

Industrial de Gaseosas -INDEGA-

Nestl

UNESCO Universidad de los Andes

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Contenido

Prefacio vii

1. Nacimiento y desarrollo de la didcticade las matemticas en Francia: rol delos IREM 1Rgine Douady

2. El lugar de la didctica en la formacinde profesores 7

Michle Artigue

3. La educacin matemtica en Mxico 25Luis Moreno

4. Ingeniera didctica 33Michle Artigue

5. La ingeniera didctica y la evolucinde su relacin con el conocimiento 61Rgine Douady

6. La enseanza de los principios del clculo:problemas epistemolgicos,cognitivos y didcticos 97

Michle Artigue

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Prefacio

En octubre de 1994, una empresa docente realiz en Bogot, Colom-bia el Segundo Simposio Internacional en Educacin Matemtica. Aeste evento fueron invitadas las profesoras Michle Artigue (Universi-dad Pars VI - IUFM Reims) y Rgine Douady (Universidad Pars VII)

de Francia y el profesor Luis Moreno (CINVESTAV) de Mxico. Estafue una oportunidad para que la comunidad colombiana de educacinmatemtica entrara en contacto con algunas de las teoras, de las meto-dologas y de las realizaciones de la Escuela Francesa de Didctica delas Matemticas. Este libro es producto de los aportes hechos por estosinvitados internacionales y del inters que investigadores y profesoresde matemticas colombianos manifestaron durante el evento.

En cambio de publicar unas memorias detalladas del Simposio,

hemos preferido identificar un conjunto de textos (la mayora relacio-nados con las actividades realizadas durante el evento) que fueran, almenos parcialmente, representativos de las ideas de la didctica de lasmatemticas en Francia y que pudieran aportar al desarrollo de la edu-cacin matemtica en Colombia.

La historia del desarrollo de la educacin matemtica en Mxico(Luis Moreno, captulo 3), desarrollo que ha estado en contacto directocon la escuela francesa, sirve de contexto para los dems textos quepermiten dar un vistazo general al desarrollo de la disciplina en Fran-cia. Rgine Douady (captulo 1) describe el surgimiento de la didcticade las matemticas francesa, haciendo nfasis en el papel que han juga-do los IREM en este proceso. Por su parte, Michle Artigue (captulo 2)

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presenta los esquemas de formacin de profesores de matemticas enFrancia resaltando el rol de la didctica en esta formacin.

Este volumen profundiza en uno de los aspectos caractersticos de

la Escuela Francesa de Didctica de las Matemticas: la ingeniera di-dctica. Se denomina con este trmino a una forma de trabajo didcti-co equiparable con el trabajo del ingeniero quien, para realizar unproyecto determinado, se basa en los conocimientos cientficos de sudominio y acepta someterse a un control cientfico. Sin embargo, al mis-mo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho mscomplejos que los objetos depurados de la ciencia y, por lo tanto, tieneque abordar prcticamente, con todos los medios disponibles, proble-mas de los que la ciencia no quiere o no puede hacerse cargo (Artigue,p. 34). La ingeniera didctica, desarrollada especficamente en el reade la educacin matemtica, tiene una doble funcin. Ella llega a sig-nificar tanto unas producciones para la enseanza, basadas en resulta-dos de investigaciones que han utilizado metodologas externas a laclase, como una metodologa de investigacin especfica (p. 36).

Michle Artigue (captulo 4) presenta el contexto de aparicin de

esta nocin y describe el papel que ella pude jugar como metodologade investigacin. Por su parte, Rgine Douady (captulo 5) se interesaen los diferentes factores que rigen la elaboracin de una ingeniera di-dctica y su interdependencia. Ella presenta dos ejemplos de propues-tas de enseanza que corresponden a selecciones didcticas analizadas,argumentadas y justificadas en investigaciones. En el ltimo captulo,Michle Artigue estudia en detalle un campo de investigacin especfi-co: la enseanza del clculo. All es posible percibir el papel de la inge-

niera didctica como metodologa de investigacin.

Pedro Gmez

Editor

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1Nacimiento y desarrollo de ladidctica de las matemticas en

Francia: rol de los IREM

Rgine Douady

INTRODUCCIN

Los IREM (Institutos de investigacin en enseanza de las matemti-cas) han jugado un papel importante en el desarrollo de la didctica delas matemticas en Francia. En este captulo presento el contexto den-tro del cual se originaron estos institutos, las causas que originaron sucreacin, las caractersticas del proyecto y la manera como han evolu-cionado hasta la actualidad. La historia comienza en los aos sesenta.

LOSAOSSESENTAYSETENTA

Durante los aos sesenta y setenta se dio una crisis social muy fuertealrededor de las matemticas en muchos pases incluida Francia. Loscurrculos de matemticas estaban bajo la responsabilidad de matem-ticos de renombre. Estos currculos tenan una aproximacin matem-tica y le daban prioridad a las estructuras. Era la poca de Bourbaki. Elobjetivo pedaggico era el de poner a disposicin de los alumnos unnmero reducido de herramientas matemticas potentes respetandoen todo momento el rigor matemtico. Esta aproximacin se basaba enuna hiptesis: si los alumnos tenan este nmero reducido de herra-mientas potentes y generales, entonces ellos podran aplicarlas en mu-

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chas situaciones diferentes. Por otra parte, se pensaba que si habamenos axiomas para enunciar, entonces era ms fcil comprender.

Se introdujo entonces una serie de nociones nuevas. Es el caso de lasrelaciones de equivalencia sobre conjuntos. Esta nocin es potente,puesto que si se hace el cociente de un conjunto por una relacin deequivalencia, entonces se pueden construir nuevos conjuntos con susrespectivas estructuras. De esta forma es posible producir, por ejemplo,los negativos o los racionales a partir de los enteros.

Esta nueva posicin gener la necesidad de dar una capacitacincomplementaria en matemticas a los profesores. Y, dado que ellos no

estaban acostumbrados a este tipo de matemticas, necesitaban tam-bin documentos pedaggicos en los que se insinuaran nuevas formasde presentacin, de trabajo y de evaluacin.

Desde el punto de vista del aprendizaje haba una influencia muyfuerte de los psiclogos de la escuela de Piaget y, por consiguiente, unagran difusin de sus teoras constructivistas.

LAINVESTIGACINSOBRELAENSEANZA

DELASMATEMTICAS

Desde el punto de vista de la investigacin en la enseanza de las ma-temticas y en la relacin entre la enseanza y el aprendizaje se hacacada vez ms evidente la necesidad de una aproximacin cientfica los

problemas generados por la comunicacin del saber matemtico. Estaaproximacin debera considerar la clase en su globalidad como un ob-jeto de estudio en el que se tuviera en cuenta la interaccin y la depen-dencia entre los tres polos profesor, estudiante y saber.

Se pensaba que era necesario disear proyectos de investigacin detipo experimental en los que se formularan hiptesis; se disearan ex-periencias que las pusieran en juego; se construyeran herramientas

para el tratamiento de los datos recogidos o se adaptaran herramientasexistentes en disciplinas cercanas como la estadstica y la psicologacognitiva; y se cruzaran mtodos para afinar los resultados. Todos estospropsitos hacan necesaria la existencia de espacios para la experimen-tacin.

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Nacimiento y desarrollo de la didctica de las matemticas en Francia

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Los IREM nacen entonces como producto de dos problemticas di-ferentes. Por una lado, y partiendo de la hiptesis implcita que era su-ficiente que los profesores aprendieran las nuevas matemticas para

que los estudiantes tuvieran una instruccin adecuada, el Ministeriode Educacin Nacional ve la necesidad de ayudar a los profesores a en-sear estas nuevas matemticas. Por otra parte, los investigadores ne-cesitan problematizar las relaciones entre la enseanza y el aprendizajey desarrollar mtodos de investigacin como condiciones necesariaspara mejorar la relacin didctica.

LOS IREM

Se crean entonces los IREM como proyecto del Ministerio de Educa-cin Nacional. Su primera caracterstica fue la de ofrecer a personascon formacin diferente la posibilidad de trabajar conjuntamente. Deesta forma, en los IREM trabajaban profesores de primaria, secundariay universidad, junto con inspectores, matemticos, fsicos, psiclogos,

socilogos, etctera. Por otra parte, estas personas intervienen con de-dicacin parcial y mantienen una parte de su carga en su funcin de ba-se.

La segunda caracterstica del proyecto fue la organizacin de unared nacional de tales instituciones con misiones especficas, tareas yfunciones en las que se buscaba participar en la formacin inicial y per-manente de los profesores; desarrollar investigaciones sobre la ense-anza de las matemticas; y producir y difundir documentos para losprofesores.

Se ofrecen descargas tanto para los profesores, como para quienesdisean y desarrollan su formacin. Hay gran cantidad de recursos fi-nancieros y las acciones pululan. Se ofrecen cursos de reciclaje comple-mentarios en matemticas y se producen y difunden numerososdocumentos producto de las innovaciones.

Desde el punto de vista de la investigacin, se hacen estudios de fe-

nmenos provocados y se comienza un proceso de bsqueda de expli-caciones. En 1972 se crea la escuela Michelet en Burdeos. Esta escuela,ingeniada por Guy Brousseau, es un lugar especial. Es un laboratoriodentro de la prctica misma, donde se encuentran gran cantidad demedios para el estudio de los fenmenos didcticos.

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Durante varios aos, hasta 1977, las dos lgicas, tanto la del Minis-terio de Educacin Nacional, como la de los investigadores evolucionanparalelamente.

1977: AODETRANSICIN

En 1977 estas dos lgicas se separan. El Ministerio considera que losprofesores ya saben muy bien cmo ensear los nuevos programas ydecide suprimir las descargas de los profesores que venan a tomar los

cursos, manteniendo nicamente las descargas de los animadores. Apartir de 1980, el dinero y el tiempo de descarga para los animadorestambin se reduce. Se genera, entonces, una gran decepcin.

Hay una gran incertidumbre por parte de los profesores porqueellos no saban qu deban ensear y tampoco saban qu tanta libertadde accin le deban dejar al alumno. Se encontraban bloqueados entrevarias alternativas. Se enfrentaban a la exigencia del rigor automtico yal temor de hacer afirmaciones que no fuesen correctas desde el punto

de vista matemtico. Por otra parte, no saban qu tanta distancia po-dan tomar con el texto que tenan. Esto generaba un esquema de ense-anza dogmtica en la que se segua estrictamente y se exiga de losalumnos lo que estaba escrito en el papel. Estos ltimos enfrentabantambin un conflicto. O respetaban la norma y decan exactamente loescrito en el papel sin intentar comprender; o si queran comprender,no podan respetar las exigencias del profesor. Muchos alumnos mira-ban las matemticas como algo puramente mecnico.

Del lado de los equipos IREM se reformula el trabajo y se generauna nueva problemtica. Con respecto al aprendizaje se hace nfasis enel significado y, por consiguiente, en los problemas fuente de aprendi-zaje y de desequilibro para los cuales los alumnos no tienen todos losconocimientos para su solucin.

Se producen entonces nuevas preguntas. Estas preguntas son pro-ducto de la reflexin fundamental de algunos investigadores en didc-

tica y son puestas de relieve a travs de una nueva gestin en IREM.Algunas de estas preguntas se refieren, por ejemplo, a los medios quees necesario darles a los alumnos para permitirles lograr un nuevo equi-librio a partir de los problemas que enfrentan, al papel del profesor den-tro de este nuevo esquema, a la creacin de un saber comn en la clase

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Nacimiento y desarrollo de la didctica de las matemticas en Francia

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que sea utilizable en otras situaciones y que pueda ser transformado enun saber cultural y a la explicacin tanto de los errores persistentes delos alumnos, como de la distancia entre las expectativas del profesor y

los hechos observados.Los profesores de los equipos IREM deciden preparar conjunta-

mente sus clases con una cierta intencin de aprendizaje; hacer obser-vaciones mutuas de clase; analizar las observaciones recogidas; ytomar nuevas decisiones. La didctica como campo cientfico entra enpleno auge. Se desarrollan metodologas de investigacin propias de latradicin francesa. Este es el caso de la ingeniera didctica que se en-cuentra particularmente en los trabajos de G. Brousseau, M. Artigue, R.Douady, M.R. Perrin y J. Robinet.

Por otra parte, tambin se desarrolla una aproximacin histrica ydidctica de las matemticas que da un carcter ms humano de lasmatemticas y hace nfasis en la evolucin de algunas nociones. Eneste aspecto, aparece la necesidad de tomar en cuenta diferentes esca-las del tiempo. En la escala histrica, la evolucin de un concepto esalgo que toma siglos. Desde el punto de vista de los alumnos, por fuera

de los momentos de crisis, como fue el caso de la revolucin de los pro-gramas con motivo de la introduccin de las matemticas modernas,se puede considerar que las matemticas ofrecen un dominio de saberestable durante la escolaridad del alumno. Esto no impide que, en unnivel dado y sobre varios aos de escolaridad, puedan existir ciertasvariaciones tanto en la seleccin de las nociones a ensear, como en lasformas de presentacin, en sus reparticiones y en sus articulaciones entrminos del programa.

Vemos entonces que existe una gran complejidad en el trabajo delprofesor y, por lo tanto, en los requisitos que esta complejidad imponesobre su formacin. Michle Artigue, en el captulo 2 de este volumenataca este problema.

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2El lugar de la didctica en laformacin de profesores

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INTRODUCCIN

Durante los ltimos veinte aos, la didctica de las matemticas se hadesarrollado en muchos pases. En particular, en Francia, ella se ha de-sarrollado como un rea de investigacin al:

Poner en primer plano la especificidad de las relacionesentre la enseanza y el aprendizaje ligadas a la especifici-dad del contenido a ensear: las matemticas

Imponerse la ambicin de comprender el funcionamien-to de estas relaciones entre la enseanza y el aprendizajey de poner en evidencia las leyes que las gobiernan, ha-ciendo explcita, al mismo tiempo, la necesidad de dis-tanciar la voluntad de accin inmediata sobre el sistemaeducativo

En el espacio de veinte aos, la didctica ha acumulado resultados y haconstruido teoras que permiten estructurarlos y pensar sobre ellos.Ella ha tenido efectos indirectos sobre la enseanza a travs de las mo-dificaciones que se han introducido en el currculo y que ella ha inspi-rado parcialmente. Habindose convertido, a nivel universitario, enuna disciplina reconocida por ella misma, su lugar en la formacin ini-cial de los profesores continua siendo tema de intensos debates. Es so-


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bre este punto que se har una reflexin a continuacin, rechazando laposibilidad de interpretar la resistencia del sistema educativo como lasimple marca de un obscurantismo retardado.

Por qu continua siendo problemtica la integracin de una com-ponente didctica en la formacin inicial de los profesores? Qu pre-guntas genera esta situacin? Cmo deben responderse?

Para efectos de claridad se presentar en primera instancia, y de ma-nera breve, el sistema francs actual de formacin de profesores de se-cundaria. En segundo lugar, se precisarn algunas de las caractersticasde la aproximacin didctica francesa y las consecuencias que se dedu-

cen al nivel de los resultados didcticos obtenidos, as como las concep-ciones que los investigadores involucrados se han hecho de laformacin didctica. En tercer lugar, se entrar en el fondo del asun-to: la integracin de la didctica en la formacin actual de los profesoresde secundaria. Se mencionarn los debates que surgen a su alrededor,las estrategias que se utilizan usualmente, sus potencialidades y sus l-mites, para terminar describiendo los problemas que este tipo de inte-gracin debe afrontar. Finalmente, antes de concluir, se describir

cmo, en el IUFM de Reims, se intenta navegar entre las diversas difi-cultades para construir una formacin que nos parece la ms satisfacto-ria posible, cuando se tienen en cuenta todas las restricciones que sedeben respetar.

LAFORMACINACTUALDELOSPROFESORESDE

MATEMTICASDESECUNDARIA

La educacin secundaria en Francia cubre dos perodos:

El colegio, con alumnos de 11 a 15 aos

El liceo, con alumnos de 15 a 18 aos

Los liceos pueden ser generales, tecnolgicos o profesionales. Para sim-

plificar, en lo que sigue se tendr en cuenta esencialmente los liceos deenseanza general o tecnolgica. Se mencionarn los liceos profesiona-les solamente en aquellos casos en los que el sistema de formacin deprofesores es sensiblemente diferente, dado que, en este caso, los profe-sores ensean ciencias, adems de matemticas.

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Lugar de la didctica de las matemticas en la formacin de profesores

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La creacin de los IUFM (que comenz en 1990 y se generaliz en1991) modific la seleccin y la formacin de los profesores. Actual-mente est organizada como sigue. Existen dos posibilidades de selec-

cin asociadas a dos concursos nacionales diferentes: el CAPES y laagrgation, siendo este ltimo de un nivel ms elevado. La mayorparte de la seleccin se hace a travs del CAPES.

Para preparar el CAPES, los estudiantes deben obtener primero unDEUG y una licencia de matemticas1 que corresponden a una serie decursos que duran tericamente tres aos. El CAPES que se prepara des-pus, durante un ao, es un examen que versa casi exclusivamente so-bre las matemticas (hay dos pruebas escritas: una de lgebra ygeometra y una de anlisis; y hay dos pruebas orales: una llamada deleccin sobre un tema de la educacin secundaria y otra en la que sedebe proponer y comentar una serie de ejercicios sobre un tema da-do)2. La preparacin se ofrece conjuntamente por parte de la universi-dad y el IUFM (donde los estudiantes se inscriben en primer ao). A lolargo de este primer ao, el IUFM organiza perodos de prcticas (entotal 15 das) en las escuelas e inicia la formacin profesional. Dadas las

caractersticas del examen y de su dificultad cada vez mayor debida alflujo de estudiantes, esta iniciacin profesional puede ser difcil de ne-gociar.

Si tienen xito en el CAPES, los estudiantes se convierten enprofeso-res en prctica y entran en el segundo ao del IUFM. Tienen entonces laresponsabilidad de dictar un curso de 4 a 6 horas semanales en la es-cuela con el apoyo de un consejero pedaggico que es profesor de plan-ta dentro del establecimiento. Paralelamente siguen una formacin

profesional organizada por el IUFM. Esta formacin, que vara de ins-tituto en instituto comprende:

Una formacin didctica (que se tratar ms adelante) Cursos complementarios en la disciplina a ensear (en

este caso las matemticas)

1. Aunque existen algunas excepciones al recorrido que se presenta aqu, stas no sernconsideradas en la exposicin.

2. Con la creacin de los IUFM se dise una prueba oral llamada profesional. Dosaos ms tarde se regres a una prueba ms clsica y ms adaptada a las competenciasde los jurados actuales. En la mayora de las otras disciplinas, la prueba basada en lostrabajos que reemplaz la prueba profesional ha mantenido su carcter profesionalpero se basa sobre trabajos ahora propuestos por el jurado.

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Mdulos de formacin comunes a las diferentes discipli-nas y, parcialmente, a diferentes niveles de enseanza(primaria, secundaria general y profesional) concernien-

tes a aproximaciones psicolgicas (cognitivas y relaciona-les), institucionales y sociolgicas de los problemas deenseanza

Un pequeo trabajo de investigacin sobre un tema pre-ciso (mmoire)

En numerosos IUFM, se incluye un trabajo prctico en un nivel diferen-te al que corresponde al curso dictado por el profesor en prctica. Al fi-

nal de este segundo ao, si las evaluaciones son satisfactorias, elprofesor en prctica obtiene su ttulo y es nombrado en propiedad.

Los profesores agregs, por su parte, despus de su licencia uni-versitaria, deben obtener una maestra para despus presentar al con-curso de agrgation en la universidad y, en caso de que tengan xito,se reunen como profesores en prctica de segundo ao del IUFM, conlos estudiantes que han tenido xito en el CAPES.

Por otra parte, los profesores de liceo profesional no tienen la res-ponsabilidad de dictar un curso durante el segundo ao, sino que alter-nan perodos de prctica con perodos de formacin en el IUFM. Sonasignados para los tres perodos de prctica (uno de 4 semanas y dos de6 semanas) a la misma escuela e intervienen en las clases de un mismoprofesor quien es, de hecho, su consejero pedaggico. Tienen, adems,un perodo de prctica de 6 semanas en una empresa.

ACERCADELADIDCTICADELAS

MATEMTICASEN FRANCIA

Esta didctica se ha desarrollado prioritariamente, como ya se mencio-n, como un campo de investigacin que ha tomado una cierta distan-cia con respecto al campo de accin sobre el sistema educativo3 (en

particular, no se trata de una didctica curricular o tecnolgica). Esta di-

3. El sector de la investigacin accin ha en todo caso existido, en particular en elINRP (Instituto Nacional de Investigacin Pedaggica), sin haber asumido, en el casode las matemticas, una posicin central.

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dctica se ha desarrollado concentrando su atencin en los contenidosa ensear y reafirmando su especificidad con respecto a la pedagogay de manera ms general a las ciencias de la educacin. Finalmente, se

ha desarrollado con el deseo de constituirse en una disciplina cientficaautnoma, ligada pero independiente de las disciplinas vecinas comolo son, por supuesto, las matemticas, pero tambin las ciencias de laeducacin, la psicologa, la sociologa, para citar solamente algunas deellas.

Si se compara, de hecho, la didctica que se ha desarrollado enFrancia con aquella que se ha desarrollado en numerosos pases, en

particular en los pases anglosajones, la didctica francesa aparece, sinduda, como ms unitaria y ms teorizada (Kilpatrick, 1994; Grouws,1992). Tambin se caracteriza por el hecho de que ella ha adoptado,desde sus comienzos, una aproximacin sistmica relativamente glo-bal a los fenmenos de enseanza, aproximacin centrada en la nocinde sistema didctico: sistemas abiertos al exterior en los que tienen lu-gar las relaciones entre los profesores, los estudiantes y el conocimien-to.

De hecho, y de manera muy esquemtica, hay tres aproximacionesprincipales, complementarias entre s y parcialmente articuladas queexisten en la actualidad (Artigue et. al., 1994):

Una aproximacin cognitiva que se ha desarrollado al-rededor de los trabajos de G. Vergnaud en el rea de lateora de los campos conceptuales

Una aproximacin a travs de los saberes que se ha de-sarrollado alrededor de lo trabajos de Y. Chevallard en elrea de la teora de la transposicin didctica, en un prin-cipio, antes de extenderse a una aproximacin antropol-gica ms global del campo didctico

Una aproximacin a travs de las situaciones que es fi-nalmente la que ha tenido, sin duda, la influencia ms de-terminante y cuyo padre fundador es G. Brousseau

Esta ltima aproximacin ha puesto a la situacin de enseanza en elcorazn de la didctica, como unidad de anlisis necesaria, minimal encierto sentido, para acceder a una comprensin del funcionamiento delalumno. G. Brousseau se sita claramente dentro de una perspectivaconstructivista con aprendizaje por adaptacin a un medio que apa-

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rece como problemtico. No obstante, l afirma que el anlisis del com-portamiento del alumno y de sus adaptaciones no puede tener sentidosino a travs de aquellas variables de la situacin dentro de las cuales

se produce ese comportamiento. Estas variables incluyen, por supues-to, aquellas que corresponden a la tarea propuesta al alumno, pero in-cluyen adems otras. Dentro de la teora de las situaciones didcticas,por ejemplo, un concepto central es el de contrato didctico4. El anlisisdel funcionamiento cognitivo del alumno no se puede llevar a cabo demanera independiente, sin tener en cuenta el contrato didctico que sepone en juego.

La teorizacin de las situaciones didcticas ha tenido tambin con-secuencias metodolgicas. Es as como ella ha conducido a desarrollar,en oposicin con las paradigmas comparativos clsicos de experimen-tacin en clase, una metodologa especfica: la ingeniera didctica5.

Esta metodologa de la ingeniera didctica se basa en un control apriori de las situaciones que se ponen en juego dentro del proceso expe-rimental. Este control se efecta a travs de un anlisisa priori que buscaprecisar las posibilidades que se han seleccionado, los valores de las va-

riables didcticas que se producen como consecuencia de esta selecciny el sentido que pueden tomar los comportamientos previstos teniendoen cuenta estos valores. En seguida, en el anlisis a posteriori, este anli-sis a priori se compara con la realizacin efectiva y se busca lo que recha-za o confirma las hiptesis sobre las cuales estaba basado.

Estas caractersticas de la didctica francesa se expresan tanto al ni-vel de los resultados obtenidos, como al nivel de lo que, de manera na-tural, se juzga como importante para ser transmitido en una formacin.

Es as como, al nivel de los resultados, la didctica francesa ha pro-ducido, de manera clsica, numerosos conocimientos sobre las concep-ciones de los alumnos, los obstculos y dificultades que intervienen enel aprendizaje de una nocin, de un dominio o de un modo de funcio-namiento matemtico dado (estructuras aditivas y multiplicativas, n-meros decimales y fracciones, lgebra, geometra, demostracin, para

4. El contrato didctico es aquello que rige de manera ms o menos explcita las expec-tativas respectivas del alumno y el profesor en relacin con el conocimiento.

5. La ingeniera didctica se opone igualmente, por su carcter de control, a las meto-dologas asociadas a las aproximaciones antropolgicas (ver el captulo sobre la inge-niera didctica en este volumen).

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citar solamente algunos ejemplos). Por otra parte, sus orientaciones es-pecficas tambin la han conducido a producir orientaciones ms glo-bales que analizan la ecologa de los saberes enseados y de sus

prcticas usuales, tratando de medir los mrgenes de maniobra de laenseanza y de producir ingenieras didcticas que, al jugar sobre elespacio de las restricciones reales o supuestas del sistema, deben per-mitir un funcionamiento ms adecuado de la enseanza.

En este punto es importante enfatizar que la posibilidad de trans-misin de los diferentes tipos de resultados, por fuera de la comunidadestricta de los investigadores, no implica los mismos problemas. Mien-

tras que es posible imaginar la transmisin relativamente eficaz de losresultados relacionados con las concepciones y los obstculos, no suce-de lo mismo con los resultados de la ingeniera. Diversos estudios hanmostrado los obstculos que se oponen a la transmisin correcta de lasingenieras (Artigue & Perrin, 1991). Estos obstculos estn ligados adiferentes factores:

La falta de adecuacin entre las concepciones sobre elaprendizaje de quienes reciben los resultados y aquellas

que subyacen a la teora de las situaciones didcticas so-bre las que se basan las ingenieras

La complejidad de los productos de la ingeniera y el ni-vel de conocimiento y experiencia que se requieren parasu gestin apropiada (tanto en el plano pedaggico,como en el plano matemtico)

La ruptura entre las caractersticas de estos productos yel funcionamiento usual de la enseanza (por ejemplo,actividades abiertas concebidas a lo largo de varias sesio-nes)

El nivel mismo de la descripcin de los productos quepone el nfasis sobre los puntos claves de la ingeniera ysobre las rupturas cognitivas y que tiende a dar menosimportancia a aquellos aspectos que corresponde al fun-cionamiento ms continuo y comn del aprendizaje

No obstante, resulta paradjico que sean los productos de ingenieralos que, para quienes no lo saben, aparezcan, dentro de los resultadosobtenidos, como aquellos que se encuentran ms prximos a la utiliza-cin directa.

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Se ha hecho nfasis en las implicaciones que, a nivel de los resulta-dos, tiene la orientacin de las investigaciones francesas. Esta orienta-cin tambin tiene implicaciones sobre la concepcin misma de lo que

es importante transmitir en una formacin. Esto se expresa, de maneraevidente, en la importancia que se le da a lo que proviene de la teorade las situaciones didcticas y, en particular, a las herramientas concep-tuales y a las tcnicas de anlisis a priori de las situaciones didcticas: no-ciones de variable didctica, de devolucin e institucionalizacin, decontrato didctico, la distincin entre situaciones a-didcticas y didc-ticas, entre status til y status objeto de los conceptos matemticos, en-tre los cuadros de funcionamiento de un mismo concepto, etctera.

LASFORMACIONESEFECTIVAS DEBATES

ESTRATEGIAS PROBLEMAS

Como se mencion al comienzo de este artculo, la integracin de una

componente didctica en la formacin inicial de los profesores, an sista ha sido institucionalizada con la creacin de los IUFM, continuaprovocando intensos debates. Estos debates son la expresin de unacierta desconfianza que se basa en argumentos muy diversos:

El rechazo de la didctica, que es percibida como una fal-sa ciencia que desea imponer su dogma en la enseanza yque va a contaminar a los profesores jvenes

El rechazo de una formacin profesional que est asocia-

do a una visin de la enseanza como un arte y, de mane-ra ms general, a la idea de que el profesor se formadentro de su propia prctica y que no hay saberes espec-ficos que puedan aportar a este aprendizaje

El temor de que la formacin didctica se haga en detri-mento de la formacin matemtica de los futuros profeso-res quienes saben muy pocas matemticas y quienestendrn muy pocas ocasiones de aprenderlas

La conviccin de que una reflexin didctica no puedeadquirir significado con profesores jvenes que acaban dedejar su status de estudiantes y que, por consiguiente,debe ser reservada para la formacin permanente

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No sera razonable poner todos estos argumentos en el mismo saco ycalificar a todos los oponentes de obscurantistas retardados. De hecho,estos debates, por ms virulentos y de mala fe que sean, nos enfrentan

a preguntas esenciales:

Por qu una formacin didctica dentro de la formacininicial? De qu manera puede ella ayudar a los futurosprofesores y cules son sus lmites?

Cules pueden ser la formas de una formacin eficaz sista se juzga como til y si se tiene en cuenta que la am-bicin no es formar especialistas en didctica, sino for-

mar profesores capaces de utilizar de manera pertinentelos aportes de la didctica?

Cmo controlar las transposiciones que se harn de lossaberes didcticos en la formacin y cmo asegurarseque ellos no sufrirn transformaciones peligrosas?

Antes de intentar responder a estas preguntas, quisiramos profundi-zar sobre un sector particular de la formacin de los profesores: aquella

de la formacin de los profesores de la escuela primaria. En efecto, den-tro de este sector particular, la formacin profesional tiene una historiaque se construy, antes de la creacin de los IUFM, en el seno de las Es-cuelas Normales. Y esta historia ha dejado huellas visibles, especial-mente travs de las actas de los coloquios anuales de los PEN(Profesores de Escuela Normal).

A. Kuzniak (Kuzniak, 1993) present recientemente una tesis dedi-cada al anlisis de estas prcticas de formacin profesional y a su evo-lucin. Su estudio lo ha llevado a distinguir cuatro tipos principales dedispositivos:

Las estrategias culturales. Que ponen el nfasis en el contenido de la dis-ciplina y se preocupan poco de sus aplicaciones pedaggicas (que sedejan al trabajo privado del profesor).

Las estrategias basadas sobre la mostracin. Que constituyen el modeloms arcaico de la formacin profesional puesto que estn basadas so-bre la simple imitacin, pero que pueden asumir formas ms elabora-das (integradas, por ejemplo, con una prctica de observacin apoyadaen una teora didctica).

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Las estrategias basadas en la homologa. Que proceden por analoga entrela formacin del adulto y aquella del nio. Sus defensores insistenacerca de la necesidad de hacer coincidir las metodologas utilizadas en

la formacin de profesores con aquellas que se ponen en prctica en lasclases.

Las estrategias basadas en la transposicin. Que se basan en un saber teri-co que organiza y estructura la prctica pedaggica y estn centradasen la transposicin de este saber con un propsito de enseanza expl-cita.

Hace unos veinte aos, la formacin ofrecida por los PEN de matem-ticas era de carcter esencialmente matemtico. Se trataba de reconciliara estos futuros maestros con las matemticas y de llenar sus vacos. Laformacin pedaggica, que era responsabilidad de los consejeros peda-ggicos, se hallaba separada de la formacin matemtica. Se encontrabaentonces una formacin de tipo cultural en matemticas con una forma-cin profesional basada en la ostensin.

Ante el fracaso e ineficacia de este tipo de estrategia, y teniendo en

cuenta el desarrollo de los trabajos didcticos, se busca entonces inte-grar las preocupaciones pedaggicas a la formacin matemtica, a tra-vs de estrategias que combinan la homologa y la mostracin. Nohay una didctica explcita; la didctica se utiliza para seleccionar situa-ciones interesantes y para, desde un punto de vista ideolgico, mante-ner el deseo de los formadores de modificar las representaciones de laenseanza y del aprendizaje que tienen los futuros maestros y que pa-recen estar lejos del constructivismo en el aire del tiempo.

De nuevo, los resultados son parcialmente decepcionantes. Las es-trategias de homologa, junto con las de mostracin tenan ciertamen-te un impacto sobre las prcticas efectivas de los profesores debutantes,pero aparecan deformaciones, particularmente en la forma de un pseu-do-constructivismo: el alumno era activo, pero matemticamente pocoactivo; las situaciones abiertas de investigacin se transformaban en si-tuaciones en las que el alumno era guiado paso a paso y se converta en

un simple ejecutor. Los nuevos profesores no eran conscientes de estasdeformaciones.As es como se percibe, al menos por algunos didactas, la necesidad

de hacer explcitas en la formacin las herramientas didcticas necesa-rias para analizar correctamente las situaciones propuestas a los alum-

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nos y los roles respectivos de los alumnos y del profesor; para preverlos comportamientos de los alumnos, teniendo en cuenta los conoci-mientos sobre el aprendizaje y las caractersticas de las situaciones; y

para preguntarse en qu medida los comportamientos deseados sernmuestra, si se producen, de la presencia de los conocimientos que la en-seanza quera producir.

Pero, al mismo tiempo que describe la imposibilidad de hacer unaeconoma de la explicitacin didctica necesaria para anlisis y cons-trucciones pertinentes, A. Kuzniak muestra que la elaboracin detransposiciones adaptadas y eficaces del saber didctico en la forma-

cin inicial de los profesores no es evidente, ms an dado que se tratade saberes nuevos, an poco estabilizados y fcilmente sensibles a de-formaciones ideolgicas.

De hecho, la integracin de una componente didctica en la forma-cin de los profesores de secundaria, se encuentra, al menos parcial-mente, con problemas similares. Antes de hacer la descripcin de lasprcticas establecidas en Reims, se presentarn algunas preguntas queparecen ser esenciales para las decisiones que se deben tomar en este

dominio.

LAFORMACINDIDCTICADELOS

PROFESORESDEMATEMTICASENEL IUFM DE

REIMS: PROBLEMASYPRINCIPIOS

Esta formacin ha evolucionado desde de la creacin del IUFM. Paula-tinamente, como la mayora de los formadores del IUFM, nosotros he-mos tomado conciencia de las restricciones que rigen esta nuevaformacin, de las dificultades que debe afrontar, de las posibilidadesque tenemos y de los riesgos que debemos evitar. En retrospectiva, nosparece esencial tener una sensibilidad particular hacia los siguientesproblemas.

En primera instancia, se trata de una formacin inicial. Se dirige aprofesores en prctica que, en la mayora de los casos, conocen el am-biente escolar nicamente a partir de su experiencia como estudiantes.Al darles la responsabilidad de dictar un curso, se les impone brutal-mente la responsabilidad de asumir una nueva posicin para la cual no

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estn preparados: aquella de profesores. Como consecuencia de esta si-tuacin, ellos sienten la necesidad de una ayuda inmediata que lesaporte a la gestin de su actividad cotidiana en la que los problemas de

disciplina y de administracin de la clase tienen una gran importancia.

La formacin didctica no aparece naturalmente como una respues-ta a esta necesidad y debe tenerla en cuenta.

En segundo lugar, los profesores en prctica no reconocen fcilmen-te el inters que pueda tener una formacin didctica. Por un lado, losproblemas que ellos tienen que enfrentar no pertenecen, en su gran ma-yora, al campo de la didctica. Por otra parte, an si ese fuera el caso,

los saberes didcticos no ofrecen un aporte inmediato. La visin didc-tica se vive frecuentemente al comienzo como una visin que desesta-biliza. Ciertamente ella ayuda a comprender el funcionamiento delalumno. Sin embargo, ella favorece ms la crtica de la enseanza tradi-cional que la oferta de soluciones inmediatas.

La formacin didctica debe, por un lado, privilegiar dentro de ladidctica aquellos aspectos que se pueden explotar ms fcilmente; y,por el otro, debe permitir sobrellevar este carcter desestabilizante, si-

tuacin que es an ms difcil de soportar en el caso de profesores enestado de inseguridad.

Tercero, las estrategias que promueve la didctica exigen frecuente-mente mucho conocimiento y experiencia por parte del profesor. Paraque la autonoma que se desea dar al alumno sea realmente eficaz, serequiere, por un lado, que l tenga un mejor manejo matemtico. Porotra parte, la gestin de un aprendizaje de tipo constructivista requiereque el profesor sea capaz, en tiempo real, de anticipar y de desarrollar

sistemas de recoleccin de informacin, de interpretacin y de toma dedecisiones que se encuentren adaptados a las nuevas situaciones. Estetipo de sistemas se encuentran en un estado incipiente de desarrollo enlos profesores debutantes. No se puede buscar, por lo tanto, que se uti-licen estrategias de expertos y resulta mejor poner el nfasis en la cons-truccin de sistemas de interpretacin y toma de decisiones dentro desituaciones comunes.

En cuarto lugar, dado que la bsqueda de un ambiente satisfactorioen el seno de la clase es un objetivo prioritario, es posible suponer que,si este objetivo parece haber sido logrado, entonces las decisiones quelo permitieron sern difcilmente cuestionadas. Manteniendo, enton-ces, este objetivo de comodidad, es importante lograr, a travs de un

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cuestionamiento didctico, que los profesores en prctica sean cadavez ms sensibles a las cuestiones relacionadas con la calidad de la vidamatemtica en la clase.

Finalmente, la formacin didctica puede caer fcilmente en uncierto nmero de trampas:

Imponer una didctica que busca responder a preguntasque el profesor en prctica no se hace y que no est en ab-soluto preparado para hacerse

Limitarse a una didctica que no puede constituirse enuna herramienta real, ya sea porque es completamenteimplcita, o porque se encuentra poco descontextualiza-da

Explicitar o institucionalizar el saber didctico a partir deactividades que el profesor en prctica ha vivido en unnivel completamente diferente, lo que correspondera aun cierto efecto didctico de tipo Jourdain (Brousseau,1986)

Dado que es un saber relativamente joven y poco estabilizado, dentrode un mundo en el que el discurso ideolgico es dominante, la didc-tica es particularmente propicia a las deformaciones.

Resulta, por tanto, particularmente importante dentro de este tipode formacin, poner en relevancia los resultados obtenidos, pero tam-bin los lmites de los saberes didcticos, de tal forma que se delimitenclaramente los diferentes niveles de discurso que se encuentran liga-dos a la profesionalizacin.

LAFORMACINDIDCTICAEN REIMS:

PRCTICASEFECTIVAS

Las reflexiones y los anlisis precedentes nos han llevado a concebir laformacin didctica como una espiral.

Al comienzo se favorece una formacin didctica en la que se buscaprincipalmente el buen vivir en el saln de clase. Se propende por unmayor conocimiento del funcionamiento del alumno; se desarrollanherramientas para analizar los libros de textos; para escoger en ellos ac-tividades adecuadas y transformarlas si es necessario; y para manejar

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situaciones de clase sencillas y bastante clsicas que no necesitan profe-sores verdaderamente expertos. Se enfatiza una didctica en accin, encontraposicin con una didctica presentada como objeto de saber aca-

dmico.Ms tarde, se profundiza la reflexin y se entra en una didctica ms

explcita. Unos temas tratados de modo emprico y pragmtico en laprimera fase se vuelven objetos de trabajo didctico. Se desarrollan he-rramientas ms complejas para el anlisis de situaciones didcticas y setrabaja, por ejemplo, la nocin de contrato didctico. A esta profundi-zacin, contribuye mucho el pequeo trabajo de investigacin llamado

"mmoire" que deben realizar los profesores, partiendo de preguntasplanteadas por su prctica. En particular, este trabajo requiere de la lec-tura y de la discusin de textos didcticos. Paralelamente se favorece eluso de estrategias de enseanza ms desarrolladas y, por ejemplo, losprofesores deben elaborar y experimentar situaciones de enseanzaque incluyen la resolucin de problemas abiertos, el uso de tcnicas detrabajo en grupos y la organizacin de debates cientficos dentro de laclase.

Cada da de formacin (17 das) comienza por un intercambio de ex-periencias del saln de clase. Este intercambio se hace en grupos y, enl, nosotros participamos con nuestras convicciones propias y nuestraexperiencia docente. Ayudamos a los profesores a analizar sus proble-mas y a buscar empricamente soluciones. Si nos parece interesante, da-mos algunas informaciones didcticas identificndolas como tales.Pero la mayor parte del tiempo de intercambio se utiliza en discusionesinformales basadas en una reflexin emprica sobre las cuestiones y los

datos que los profesores ponen sobre la mesa y se marca bien el statusemprico e incluso la subjetividad de este tipo de trabajo.

El trabajo llamado didctico, lo comenzamos con trabajos sobre te-mas matemticos (geometra del plano y del espacio, estadstica, lge-bra, etctera) que van a hacer parte de su prctica. Este trabajo incluyesiempre, con equilibrios diversos, las siguientes componentes:

Anlisis curricular

Anlisis de las concepciones de los alumnos y de sus pro-cesos de evolucin, de las principales dificultades y obst-culos que se pueden prever en el aprendizaje

Trabajo sobre los libros de textos que utilizan: anlisis cr-tico, seleccin de actividades sencillas que esperamos que

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los futuros profesores sean capaces utilizar en sus clases,con motivaciones explcitas de las selecciones

Presentacin de unas situaciones ms abiertas y ricas conestrategias que combinan homologa y transposicin.Buscamos que los futuros profesores reflexionen sobrelas variables didcticas; sobre el anlisis de la situacindesde el punto de vista del alumno y desde el punto devista del profesor; sobre las adaptaciones compatiblescon el significado de la situacin; y sobre las maneras deprolongar el trabajo en clase con trabajo privado o semi-

privado del alumno

Ms tarde en el ao, abordamos temas transversales como el papel delerror en el aprendizaje, la demostracin, los procesos de validacin (te-mas que muchas veces se han ya discutido de modo informal dentrode los grupos de intercambio), el uso de nuevas tecnologas (retro-pro-yector, calculadoras, computadores, etctera). Cuando se trabaja el

tema de la demostracin, se incluye una dimensin epistemolgica ehistrica explcita al trabajo didctico. Este enfoque epistemolgico nosparece un medio adecuado para que esos profesores salgan de su rela-cin escolar con la demostracin y tomen la medida de lo que separa lanocin de demostracin como vive en el mundo matemtico y la no-cin de demostracin como vive en las instituciones de enseanza me-dia.

Un punto esencial es el de la relacin entre lo que se hace dentro delIUFM (llamado teora) y lo que se hace en la clase (llamado prctica).Tratamos as de ligar teora y prctica por medios diversos. Los gruposde intercambio participan de esta dimensin. Participan tambin la co-elaboracin y luego co-experimentacin de situaciones de enseanzapor parte de pequeos grupos de profesores en prctica. Al inicio delao se trata de situaciones sencillas y clsicas como se ha sealado an-teriormente. Al final del ao se trata de situaciones abiertas. Participa

tambin en esta dimensin la tutora: cada profesor tiene su tutor quehace parte del equipo de formadores IUFM. El va a visitarlo en su clasey esas visitas son oportunidades para hacer funcionar los instrumentosdidcticos de anlisis introducidos en la formacin terica y marcar suutilidad.

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CONCLUSIN

He tratado en este captulo de discutir el lugar de la didctica de las ma-temticas en la formacin de profesores. Tengo la conviccin de que ladidctica tiene un papel importante que jugar, incluso en la formacininicial y que se debe presentar de modo explcito. Tengo tambin la con-viccin, dada la experiencia de estos ltimos aos, que esta didctica nopuede ser enseada como un objeto acadmico de saber que va a con-vertirse despus en conocimientos aplicables a situaciones diversas deenseanza. Los conocimientos didcticos se deben construir partiendo

de problemas que encuentran los profesores debutantes en la realidad,teniendo en cuenta su poca experiencia profesional y la relativa accesi-bilidad de las aproximaciones didcticas, con el objetivo de hacer de esadidctica un verdadero instrumento de desarrollo del profesor. Trata-mos de hacerlo en Reims mejorando poco a poco esa formacin didc-tica. Es un camino nuevo que se debe inventar.

BIBLIOGRAFA

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3La educacin matemticaen Mxico

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INTRODUCCIN

La educacin matemtica como disciplina profesional tiene en Mxicouna historia muy corta. Desde luego, no pueden desconocerse los es-fuerzos que desde siempre se han hecho a favor del mejoramiento dela educacin. Sin embargo, vamos a referirnos en este relato a la tomade conciencia por una comunidad de investigadores de aquellos pro-blemas que iban a marcar un rumbo distinto al desarrollo de una dis-ciplina nueva y de profundo carcter interdisciplinario. Debo aclararque centraremos nuestra descripcin en lo ocurrido en el seno del CIN-

VESTAV porque es la parte de la historia que conocemos mejor por ha-ber sido testigos privilegiados del proceso que condujo a la creacin dela Seccin de Matemtica Educativa, primero, y luego al Departamentode Matemtica Educativa. Adems, hay que decirlo, los esfuerzos de-sarrollados en nuestra institucin han sido los centrales en este campode la educacin en el pas.


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LOSCOMIENZOS

La Secretaria de Educacin Pblica, al comenzar la dcada de los 70, dioal Cinvestav, la tarea de escribir los textos gratuitos de matemtica paralas escuelas primarias del pas. Un grupo entusiasta de profesores in-vestigadores del departamento de matemtica hizo suya esta tarea.Quienes en aquel momento eramos recin llegados a la institucin fui-mos sorprendidos por la pasin pedaggica que el proyecto haba des-pertado en nuestros profesores. Adems de la estabilidad estructural,de los anillos de cohomologa, de procesos estocsticos y de los desarro-

llos de Taylor, las conversaciones estaban llenas de referencias al mejormtodo para introducir los nmeros negativos en la escuela primaria,las fracciones o la nocin de ngulo. Para muchos de nosotros no habaduda: all estaba un grupo destacado de matemticos profesionales po-niendo su talento y sus conocimientos al servicio de un proyecto edu-cativo: solo caba esperar lo mejor. Esta esperanza se vea fortalecida alver la actividad desplegada en la institucin y en los seminarios que en-tonces se organizaron en diferentes partes del pas con profesores

quienes seran los portadores del nuevo texto al saln de clases. Re-flexionando en todo este proceso, con la perspectiva que nos da el tiem-po, no es de extraar lo que entonces ocurri. Confrontados con losproblemas reales de la enseanza, fuera del mbito privilegiado de unCentro de Investigacin, este grupo de investigadores entendi que supreparacin acadmica anterior no era suficiente para capturar la com-plejidad de los fenmenos educativos que tenan frente a si. Habandescubierto una nueva problemtica que exiga, para ser comprendida,algo ms que sus esfuerzos entusiastas de los primeros tiempos. Paramuchos de ellos, esto implicaba una decisin de fondo: dedicarse detiempo completo a los problemas que planteaba la educacin matem-tica. Fue as como en septiembre de 1973 se prepar un anteproyectopara la creacin de la Seccin de Matemtica Educativa. Vale la penasubrayar que en ese momento an no se haba terminado la elaboracinde los libros de texto. Sin embargo, ya eran reconocidas la dispersin y

la falta de metodologa con que se abordaban los problemas educativos.En marzo de 1974, los mismos investigadores hicieron una solicitud for-mal ante la direccin de la institucin para que se creara la Seccin deMatemtica Educativa. En su exposicin de motivos se sealaba el inte-rs de estos investigadores en abordar el estudio de la nueva problem-

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La educacin matemtica en Mxico

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tica y su percepcin del estado de la educacin matemtica en el pas.Para referirse a su estado se acudi a un trmino: catico.

LA SECCINDEMATEMTICA EDUCATIVA

La Seccin fue creada, finalmente, en marzo de 1975. El segundo se-mestre de ese ao vio el inicio del programa de maestra en la especia-lidad. Originalmente, el programa de estudios estuvo articulado alre-dedor de los contenidos matemticos que se consideraban bsicos, en-

tre otras cosas porque constituan los ejes organizadores delcurrculum de matemticas a diferentes niveles. Nos referimos espec-ficamente al anlisis matemtico, al lgebra moderna y a la geometra.Adems, se intentaba dar a los estudiantes del programa profesoresen servicio una visin de la matemtica dentro de un contexto culturaly cientfico ms amplio. De all que existieran cursos de matemtica yconocimiento cientfico y fundamentos e historia de la matemtica.Las experiencias anteriores con la escritura de los textos y el trabajo conlos profesores haba dejado claro que la componente matemtica sibien era necesaria, no sera suficiente para estructurar un programa demaestra para los profesores, a los que se intentaba dar mejores ele-mentos tericos y prcticos para incidir mediante su trabajo docente,en una eventual mejora de la educacin del pas. De modo que las teo-ras del aprendizaje, la experimentacin educativa y el estudio del m-todo clnico se constituyeron en partes importantes del programa, que

buscaba as dar al egresado armas de diagnstico y diseo de solucio-nes en su trabajo.

PROFUNDIZACINDELAMAESTRA

El programa inicial de la maestra constituy, para quienes eramos in-

tegrantes del cuerpo docente, una oportunidad de profundizar ennuestras concepciones originales sobre la educacin matemtica. Estopermiti el rediseo permanente de los contenidos de los cursos, latoma de conciencia de la dimensin histrica del conocimiento mate-mtico, de la importancia del anlisis epistemolgico y la naturaleza de

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las rupturas conceptuales en el proceso de formacin del conocimiento.Al mismo tiempo, en el plano de la enseanza fue entendida, cada vezmejor, la diferencia esencial entre la enseanza y el aprendizaje; no era

suficiente considerar el proceso histrico de construccin del conoci-miento matemtico, haba tambin que volverse atentamente al procesocognitivo del alumno.

AMPLIACINDELPROGRAMA

El proceso que llev gradualmente a la identificacin de la dimensincognitiva de los problemas educativos nunca estuvo apartada del inte-rs por los problemas propios del sistema educativo nacional. El diag-nstico inicial haba llevado a la conclusin que su estado era catico.Qu poda ofrecer la Seccin como parte, al menos, de una solucin?Hacia 1977 se inicia el programa de maestra semi-abierta que con eltiempo se instalara en alrededor de 17 instituciones de educacin su-perior en el pas. Viendo el mapa de la repblica se observa que la co-bertura territorial ha sido extraordinariamente amplia. Iguales losesfuerzos fsicos e intelectuales desplegados. El programa de maestrano ha tenido slo el propsito de capacitar a los profesores para su tra-bajo en el aula. Tambin ha sido importante el propsito de formar per-sonal capacitado para disear, estructurar y coordinar sistemaseducativos. Con base en los recursos humanos formados mediante elprograma de maestra a lo largo y ancho del pas, se puso en marcha en

1984 el Programa Nacional de Formacin y Actualizacin de Profesoresde Matemticas (PNFAPM). El programa se ofrece a nivel regional enlos Centros de Investigacin y Docencia (CIDME) creados para este ob-jeto.

EL PROGRAMADEDOCTORADO

Para 1984 y 1985, el personal acadmico de la Seccin de MatemticaEducativa tena ya una idea muy clara de los alcances del proyecto demaestra en sus modalidades abierta y tradicional. Haba acumuladouna gran experiencia en su trabajo con profesores en todo el pas. Re-

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sultaba natural entonces la creacin de un programa acadmico me-diante el cual se pudiese articular y sistematizar toda esa experiencia.Haba adems una serie de antecedentes acadmicos para apoyar la

creacin de un proyecto propio de doctorado. Veamos: Desde tiempo atrs los profesores de la Seccin haban

estado participando activamente en congresos interna-cionales en donde haban presentado sus trabajos de in-vestigacin

Por otra parte ya desde 1978 se haba recibido la visita dedistinguidos investigadores en el campo de la educacin

matemtica proveniente de los IREM de Francia Se haba organizado en 1980 el XXXII encuentro interna-cional de la CIEAEM, con la participacin de investiga-dores venidos de diversos pases europeos y deNorteamrica

Desde 1985 se gener un convenio de colaboracin aca-dmica con el Instituto de Educacin de la Universidadde Londres, que inclua la puesta en marcha de un pro-

yecto conjunto de doctorado para estudiantes mexicanosen aquella institucin

Con estos antecedentes no es difcil comprender que la Seccin de Ma-temtica Educativa tena una idea clara sobre el trabajo de investiga-cin, a nivel internacional, que se realizaba en el campo. Se creentonces el programa de doctorado que a la fecha ha producido ya 10doctorados. A partir del convenio con la Universidad de Londres han

obtenido all su grado tres profesores. Vale la pena mencionar que delos intercambios con los IREM franceses obtuvieron su grado de doc-torado 5 profesores ms (antes de 1985). A la fecha, ms del 50% de losprofesores del ahora Departamento de Matemtica Educativa, son yaprofesores titulares y un nmero apreciable estn incorporados al Sis-tema Nacional de Investigadores.

AREASDEINVESTIGACINYPERSPECTIVAS

Durante muchos aos los mtodos de enseanza y el diseo de las es-tructuras curriculares han estado inspirados por las experiencias en el

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saln de clases y por las concepciones que sobre las matemticas po-sean los educadores. Casi siempre, estas concepciones vean a las ma-temticas como un cuerpo ya elaborado de conocimientos y por lo

tanto, el papel del profesor y de quienes elaboraban los planes de estu-dio consista en disear estrategias de lo simple a lo complejo quepermitieran a los estudiantes asimilar tales conocimientos. Lo que nose intent mediante estos acercamientos, fue organizar el proceso edu-cativo alrededor de los procesos de aprendizaje del estudiante. La edu-cacin matemtica ha estado, desde sus comienzos, en la interseccinde una ciencia: la matemtica, y de una prctica: la enseanza. Mlti-ples han sido las razones que han hecho necesaria una indagacin sobreesta actividad; de este modo se ha abierto un campo de investigacinnuevo que ya no trata slo de optimizar el proceso de enseanza sinode conocer la estructura, funcionamiento e interrelaciones de los proce-sos de enseanza y aprendizaje de la matemtica.

La disciplina que llamamos Matemtica Educativa tiene su origenen la necesidad de caracterizar con el mayor grado de rigor que nos seaposible, la actividad, tanto prctica como terica que aparece vinculada

a los procesos de enseanza y aprendizaje de la matemtica. Uno de lospuntos de partida de la Matemtica Educativa es la matemtica misma.El conocimiento matemtico es necesario pero no suficiente para la ca-racterizacin de la disciplina. La matemtica tiene una componenteheurstica y tambin un marco axiomtico como partes centrales de suactividad, y de la sistematizacin de sus resultados. La disciplina se or-ganiza alrededor de ncleos conceptuales denominados teoremas.Por otra parte, la forma de conocimiento que se genera en la Matemti-ca Educativa es diferente. Se construye mediante la interaccin conti-nua con un sistema educativo. Es una disciplina, ya lo hemosmencionado, que se encuentra en la interseccin de la matemtica como conocimiento socialmente generado y la prctica de la educa-cin. Es, en esencia, el resultado de una actividad de carcter interdis-ciplinario. Las formas de conocimiento que all se generan siempretienen caractersticas del sistema educativo que ha sido parte de la inte-

raccin. El desarrollo de la metodologa y de la normatividad de la dis-ciplina se debe proponer la ampliacin de la validez de los resultados,con el objetivo obvio de poder aplicarlos en mbitos diferentes a aquelen donde fueron obtenidos. En la actualidad, la investigacin que serealiza en el departamento de matemtica educativa comprende estu-

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dios cognitivos sobre la formacin del concepto de nmero; la consti-tucin del lenguaje algebraico; las teoras de la comunicacin, elestudio curricular del clculo y su desarrollo histrico y valor episte-

molgico y la intervencin y valor epistemolgico de las representacio-nes computacionales del conocimiento matemtico. Desde luego, decada una de estas reas puede decirse mucho ms que lo que aqu he-mos insinuado.

ELRETOACTUAL

La actividad que dio origen al departamento de matemtica educativaestaba anclada en la realidad profunda del sistema educativo. Ha sidolargo y sinuoso el camino que nos ha llevado hasta la investigacin. Esfundamental entender que el reto que siempre hemos tenido por de-lante es regresar todo este saber generado en la investigacin en laciencia bsica al sistema educativo, donde cobra su pleno sentido.

Y UNANOTAFINAL

Nuestra descripcin ha sido intencionalmente breve y con casi total au-sencia de nombres propios de personas y lugares. Hemos hecho estaeleccin para invitar al lector a reconocer en lo narrado sus propias cir-cunstancias: como es posible, en un contexto latinoamericano, con per-

sonas como las que l conoce y con quienes trabaja, desarrollarinvestigacin de relevancia internacional. No se vea en esto un gesto deautocomplacencia. Tan slo es una invitacin al desarrollo de los me-jores esfuerzos de todos nosotros.

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4Ingeniera didctica

Michle Artigue

RESUMEN

Este texto corresponde a un curso dado en Plestin les Grves, en Agos-

to de 1989, durante la quinta Escuela de Verano de Didctica de las Ma-temticas. En su primera parte, estudiamos el contexto de aparicin dela nocin de ingeniera didctica, al principio de los aos ochenta. Lasegunda parte se dedica a la ingeniera didctica vista como metodolo-ga de investigacin. En la tercera parte titulada La ingeniera didc-tica, un motor de progreso en la didctica investigamos los problemasde transmisin y de replicabilidad.

INTRODUCCIN

La nocin de ingeniera didctica surgi en la didctica de las matem-ticas a comienzos de los aos ochenta. Se denomin con este trmino auna forma de trabajo didctico equiparable con el trabajo del ingenieroquien, para realizar un proyecto determinado, se basa en los conoci-mientos cientficos de su dominio y acepta someterse a un control detipo cientfico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado atrabajar con objetos mucho ms complejos que los objetos depuradosde la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prcticamente, con todos


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los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o nopuede hacerse cargo.

En los aos ochenta esta visin se percibe como el medio de abordardos cuestiones cruciales, dado el estado de desarrollo de la didctica delas matemticas en la poca:

Las relaciones entre la investigacin y la accin en el sis-tema de enseanza

El papel que conviene hacerle tomar a las realizacionesdidcticas en clase, dentro de las metodologas de la in-vestigacin en didctica

Estas preocupaciones se manifestaron, por ejemplo, en el texto que pre-par Y. Chevallard para la Segunda Escuela de Verano en Didctica delas Matemticas que se celebr en Orlans en 1982 (Chevallard, 1982).All escribi, de forma notoria, con respecto al primer punto:

Definir el problema de la ingeniera didctica es definir, en surelacin con el desarrollo actual y el porvenir de la didcticade las matemticas, el problema de la accin y de los me-

dios para la accin, sobre el sistema de enseanza.(p. 28)

Y, a continuacin, critica con vigor la manera como estas relaciones seconciben tradicionalmente en trminos de innovacin o de investiga-cin-accin:

Se ve as dentro de una lgica terrible, dentro de un implacabledeterminismo, que la ideologa de la innovacin tiende a redu-

cir el acercamiento al sistema educativo. La innovacin comovalor ideolgico tan slo cobra impulso porque la ausencia deuna historia cientfica en el terreno de la educacin otorga li-bertad a todas las pretensiones (y dentro de ellas a algunas ca-rencias de posicin, como por ejemplo que el innovador seautoriza nicamente por s mismo). Junto a lo anterior, peroen un sentido contrario, el peso de la obsesin innovadora so-bre las conciencias y las prcticas impide el despegue de unahistoria en el campo en cuestin. Con esto no se fomenta que

los objetos se constituyan en parte de un saber progresivo.(p.13)

Lo esencial es que, al enlazar sin articular dos momentos delproceso cientfico-tcnico (investigacin y accin), se reduce

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el significado de cada uno. Uno se deshar de las restric-ciones que normalmente encuentra todo proceso de investiga-cin, al responder que la accin, entendida ante todo como

una buena accin, prima. La accin implementada se pre-sentar como investigacin y, por lo tanto, se escapar aljuicio de valor al que sometemos a la ms banal de nuestrasacciones. (p. 20)

En lo concerniente al segundo punto, el lugar de las realizaciones di-dcticas en clase dentro de la investigacin, l articula su argumentosobre dos puntos:

1. Las metodologas que en este artculo calificar como externas(en tanto son externas a la clase) como cuestionarios, entrevis-tas, tests, sobre las cuales se basa la mayor parte de las investi-gaciones publicadas en esa poca, son insuficientes paraatrapar la complejidad del sistema estudiado. Su xito se puedeexplicar, sin ninguna duda, por el hecho de que se pueden uti-lizar de una manera cmoda y se pueden hacer reconocer comoproductoras de resultados cientficos. Pero privilegiar estas me-

todologas sera un riesgo mayor para la didctica, dada su ju-ventud terica:

Lo que identifica hoy en da a la realizacin didctica en clase,de una forma actualmente necesaria, es el dbil desarrollo denuestra teora del sistema didctico. Esto implica un controlterico dbil de las operaciones de investigacin. Yno nos per-mite ponernos en contacto con nuestro objeto de conocimien-to, por fuera del control emprico del objeto real cuyaelaboracin terica nos ocupa. Abandonar el sistema didcti-co en su funcionamiento concreto por mucho tiempo, paraadoptar metodologas auxiliares, parciales, significa tomarel riesgo de desatenderaquello que de ninguna manera sepuede desatender, y que podra, por lo tanto, borrarse denuestro campo de consciencia por no estar presente en l, em-pricamente (p. 50)

2. La realizacin didctica en clase tiene otra funcin esencial, per-manente, en cuanto no se asocia con la juventud terica delcampo. Se trata de la puesta en prueba de las construccionestericas elaboradas en las investigaciones, a travs de involu-crar tales construcciones en un mecanismo de produccin:

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La realizacin didctica tambin es el lugar de esta etapa cru-cial de la actividad cientfica a la cual Bachelard da el nombrepardico defenomenotecnia. (p. 55)

En conclusin, se trata de: Por un lado desprenderse de relaciones entre investiga-

cin y accin, pensadas sea en trminos de innovacin,sea con la intermediacin de la nocin de investigacin-accin, para afirmar la posibilidad de una accin racionalsobre el sistema, con base en los conocimientos didcticospreestablecidos

Y del otro, resaltar la importancia de la realizacin di-dctica en clase como prctica investigativa, tanto por ra-zones vinculadas al estadio de juventud de lainvestigacin didctica, como para responder a necesida-des permanentes de poner en prctica las construccionestericas elaboradas

Y efectivamente, la nocin de ingeniera didctica traz su camino en el

edificio de la didctica con esta doble funcin. Ella llega a significar tan-to unas producciones para la enseanza, basadas en resultados de in-vestigaciones que han utilizado metodologas externas a la clase, comouna metodologa de investigacin especfica. En el apartado siguientenos centraremos en las caractersticas de esta ltima.

LAINGENIERADIDCTICACOMO

METODOLOGADEINVESTIGACIN

ALGUNASCARACTERSTICASGENERALES

Como metodologa de investigacin, la ingeniera didctica se caracte-riza en primer lugar por un esquema experimental basado en las rea-lizaciones didcticas en clase, es decir, sobre la concepcin,

realizacin, observacin y anlisis de secuencias de enseanza. All sedistinguen por lo general dos niveles: el de la micro-ingeniera y el de lamacro-ingeniera, dependiendo de la importancia de la realizacin di-dctica involucrada en la investigacin. Las investigaciones de micro-ingeniera son ms fciles de llevar a la prctica. Sin embargo, si bien

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ellas permiten tener en cuenta de manera local la complejidad de los fe-nmenos de clase, no la dejan unir con la complejidad esencial de losfenmenos asociados con la duracin de las relaciones entre enseanza

y aprendizaje. Tampoco permiten necesariamente distinguir de formacoherente los objetos de conocimiento. Las investigaciones de macro-ingeniera, a pesar de todas las dificultades metodolgicas e institucio-nales que imponen, se hacen indispensables.

La metodologa de la ingeniera didctica se caracteriza tambin, encomparacin con otros tipos de investigacin basados en la experimen-tacin en clase, por el registro en el cual se ubica y por las formas de

validacin a las que est asociada. De hecho, las investigaciones que re-curren a la experimentacin en clase se sitan por lo general dentro deun enfoque comparativo con validacin externa, basada en la compa-racin estadstica del rendimiento de grupos experimentales y gruposde control. Este no es el caso de la ingeniera didctica que se ubica, porel contrario, en el registro de los estudios de caso y cuya validacin esen esencia interna, basada en la confrontacin entre el anlisis a prioriy a posteriori.

Sin embargo, los objetivos de una investigacin de ingeniera di-dctica pueden ser diversos. R. Douady, en su conferencia del Congre-so PME 11, llamada La ingeniera didctica, un instrumentoprivilegiado para tener en cuenta la complejidad de la clase (Douady,1987), distingue por ejemplo las investigaciones que abordan el estudiode los procesos de aprendizaje de un concepto determinado y en par-ticular la elaboracin de gnesis artificiales para un concepto determi-nado, de aquellas que no se cien a los contenidos, as su sustento seala enseanza de un dominio preciso. Ella cita al respecto los trabajos deM.C. Marilier, A. Robert y I. Tenaud sobre el aprendizaje de mtodosy el trabajo en grupo (Marilier, Robert, Tenaud, 1987). Sin embargo, sepodra mencionar otros como los trabajos que apuntan al dominio pa-ramatemtico (Chevallard, 1985) es decir, aquel de las nociones que,como aquellas de parmetro, ecuacin, demostracin, guardan un es-

tatus de herramienta en la enseanza, al menos en un nivel determina-do, o incluso trabajos que abordan el estudio y la aplicacin deestrategias didcticas globales como por ejemplo el problema abierto(Arsac et al., 1988), o el debate cientfico (Legrand, 1986; Alibert,1989).

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Por lo tanto, la ingeniera didctica es singular no por los objetivos de las in-

vestigaciones que entran en sus lmites, sino por las caractersticas de su fun-

cionamiento metodolgico. En las pginas siguientes presentaremos los

rasgos caractersticos que en la actualidad posee esta metodologa. Ta-les caractersticas se desprenden de las investigaciones que se reivindi-can como ingenieras didcticas y cuyo nmero, valga la penaenfatizarlo, se ha multiplicado en los ltimos aos. En este punto de laexposicin, me limitar a mencionar los dos trabajos que constituyen,en mi opinin, los clsicos incuestionables en este dominio, a saber, lastesis de G. Brousseau (Brousseau, 1986) y de R. Douady (Douady, 1984).Estos trabajos son excepcionales tanto por la amplitud de las realizacio-nes didcticas involucradas, como por la importancia del aporte tericoal cual condujeron dichas realizaciones.

LASDIFERENTESFASESDELAMETODOLOGADELAINGENIERAContinuamos en este apartado con la descripcin de la metodologa dela ingeniera didctica, por medio de una distincin temporal de su pro-ceso experimental. Delimitaremos en este proceso cuatro fases: la fase 1de anlisis preliminar, la fase 2 de concepcin y anlisis a priori de lassituaciones didcticas de la ingeniera, la fase 3 de experimentacin y fi-nalmente la fase 4 de anlisis a posteriori y evaluacin.

Los anlisis preliminaresEn una investigacin de ingeniera didctica, la fase de concepcin sebasa no slo en un cuadro terico didctico general y en los conoci-

mientos didcticos previamente adquiridos en el campo de estudio,sino tambin en un determinado nmero de anlisis preliminares. Losms frecuentes tocan:

El anlisis epistemolgico de los contenidos contempla-dos en la enseanza

El anlisis de la enseanza tradicional y sus efectos

El anlisis de las concepciones de los estudiantes, de lasdificultades y obstculos que determinan su evolucin

El anlisis del campo de restricciones donde se va a situarla realizacin didctica efectiva

Y, por supuesto, todo lo anterior se realiza teniendo encuenta los objetivos especficos de la investigacin

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Esta presentacin merece algunos comentarios. Por lo general, a pesarde que esta serie de anlisis no se evidencia en las publicaciones, lostrabajos que el investigador ha realizado como pilares de su ingeniera

se retoman y profundizan en el transcurso de las diferentes fases de lamisma, en funcin de las necesidades sentidas. Por lo tanto, los estu-dios preliminares tan slo mantienen su calidad de preliminares enun primer nivel de elaboracin. Adems es claro que las exigencias deun anlisis preliminar no son las mismas para una investigacin cuyoobjetivo es la construccin de una gnesis artificial del conocimiento enun campo conceptual determinado, como por ejemplo la realizada porB. Parzysz (Parzysz, 1989), que para una investigacin que, por ejem-plo, pretenda implantar una estrategia global de enseanza comoaquella del debate cientfico citada con anterioridad.

En los trabajos que se han publicado antes, con frecuencia no inter-vienen de manera explcita todas las diferentes componentes de anli-sis mencionadas arriba. Un excelente ejercicio de didctica puede ser elidentificar, en un trabajo especfico, las dimensiones privilegiadas ytratar de buscarles su significacin didctica a posteriori.

Me limitar aqu a dar un ejemplo tomado de mis trabajos persona-les, tratando al mismo tiempo de precisar los puntos en que ste es ono particularmente representativo del funcionamiento metodolgicode la ingeniera. Se trata de un artculo sobre la investigacin que he ve-nido realizando hace tres aos en el tema de las ecuaciones diferencia-les en primer ao de universidad (Artigue, 1989). Con respecto a laspreocupaciones de este apartado, el texto tiene el inters de centrarsejustamente en las dos primeras fases de la ingeniera. La primera fase

se estructura en torno al anlisis del funcionamiento de un sistema, unequilibrio que por mucho tiempo fue estable pero que ahora se percibecomo obsoleto. El siguiente fragmento evidencia las selecciones hechasen este nivel y cmo tales selecciones se vinculan con la perspectiva sis-tmica que constituye el asidero terico del anlisis:

La investigacin aqu presentada se sita dentro de una pers-pectiva de ingeniera didctica clsica: se considera un punto

del sistema didctico cuyo funcionamiento parece, por razo-nes de diversa naturaleza, poco satisfactorio. Se analiza estepunto de funcionamiento y las restricciones que tienden a ha-cer de l un punto de equilibrio del sistema. Posteriormente,al jugar con estas restricciones, se busca determinar las con-

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diciones de existencia de un punto de funcionamiento ms sa-tisfactorio.

Este anlisis de restricciones se basa en la identificacin, en el campomatemtico en cuestin, de tres cuadros de desarrollo y de funciona-miento. Por lo tanto, la nocin de cuadro (Douady, 1984) juega aqu elpapel de base terica didctica general. Estos cuadros son los siguien-tes: el cuadro algebraico de la resolucin por frmulas, el cuadro num-rico de la resolucin numrica aproximada y el cuadro geomtrico delestudio global cualitativo de las curvas soluciones de la ecuacin.

Una vez introducidos estos cuadros, el anlisis de las restricciones

se efecta distinguiendo tres dimensiones: La dimensin epistemolgica asociada a las caractersticas

del saber en juego La dimensin cognitiva asociada a las caractersticas cog-

nitivas del pblico al cual se dirige la enseanza La dimensin didctica asociada a las caractersticas del

funcionamiento del sistema de enseanza

Hay que resaltar que esta clasificacin no tiene nada de original. Ella sederiva naturalmente de la perspectiva sistmica adoptada explcita-mente. Entonces, no es sorprendente constatar que nos encontramos denuevo con una clasificacin paralela a la propuesta por G. Brousseaupara el estudio de los obstculos (Brousseau, 1976).

La enseanza tradicional se centra en el funcionamiento dentro delcuadro algebraico. Por lo tanto, parece natural pretender, teniendo encuenta el objetivo preciso de la investigacin, estudiar la viabilidad deun enfoque epistemolgico ms satisfactorio y las restricciones que seoponen a la extensin de la enseanza a los otros cuadros. Esto fue loque se hizo efectivamente y, por ejemplo, se identificaron las siguientesrestricciones que se oponan a la extensin al cuadro geomtrico:

En el plano epistemolgico, la larga predominancia delcuadro lgebraico en el desarrollo histrico de la teora, ladificultad de los problemas ligados al surgimiento y desa-

rrollo de la teora geomtrica, y el desarrollo reciente delos procesos de transposicin didctica de aquella hastaun nivel de enseanza relativamente elemental

En el plano cognitivo, la exigencia de movilidad perma-nente entre los cuadros que se necesitan para el estudio

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cualitativo (la movilidad es aqu mucho ms delicada yaque se acompaa del desfase de niveles: el paso del nivelde las curvas en el cuadro grfico al de las derivadas en

el cuadro algebraico de la ecuacin), y el nivel de manejode los objetos elementales del anlisis requerido por lasjustificaciones

En el plano didctico, la fuerza de la enseanza basadaen algoritmos (tal recurso se encuentra bloqueado aqu,ya que el estudio cualitativo puede dar lugar al desarro-llo de mtodos pero no puede convertirse en algoritmos),

el status inframatemtico del cuadro grfico en la ense-anza, y el mito de la resolucin completa (el estudiocualitativo va a colocar la mayora del tiempo al profesoren la posicin de tener que detenerse en el camino y ad-mitir que no puede responder a todas las preguntas quese formulan de forma natural)

Hay que subrayar el hecho de que, contrariamente a lo que se puede

constatar en otros trabajos de ingeniera, y en particular en aquellos yamencionados de R. Douady y G. Brousseau, aqu no se enfatiza un cua-dro terico didctico general. Esto se explica ampliamente ya que, parael problema propuesto (un estudio de condiciones de viabilidad), lateora didctica constituye un apoyo que el investigador utiliza tal ycomo lo hara un ingeniero. El investigador no pondr en primer lugaresta faceta de su actividad en un artculo de investigacin dirigido a sucomunidad cientfica sino que, ms bien, consciente o inconsciente-mente, privilegiar aquello que l percibe como su obra de investiga-cin. Esto no impide que la investigacin realizada pueda tener comoconsecuencias profundizaciones tericas generales, sino que no se pue-den manifestar en esta fase, a menos de que se pretenda falsificar laproblemtica inicial. Entonces, estas consecuencias tericas generales,se encontrarn ms naturalmente en el nivel de las fases de anlisis aposteriori y evaluacin. La tesis de D. Grenier (Grenier, 1988) es un

buen ejemplo de esto. La tesis incluye una parte de ingeniera clsicaque explora la enseanza de la simetra ortogonal en sexto grado, y de-sarrolla en los ltimos captulos un estudio ms terico de las fases deevaluacin y de institucionalizacin. Tal estudio se hizo necesariocomo resultado del proceso de experimentacin.

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El anlisis detallado de este texto tambin evidencia la predominan-cia de las entradas epistemolgica y didctica con relacin a la dimen-sin cognitiva. No hay un estudio preliminar de las concepciones de los

estudiantes y las restricciones identificadas en este nivel se deducen deresultados ms globales concernientes a la didctica del anlisis en con-junto, o a partir de consideraciones generales como la complejidad cog-nitiva engendrada por la movilidad necesaria del enfoque. De otraparte, se insiste en la dificultad que se encontr para identificar las res-tricciones relevantes sin ambigedad del registro cognitivo, ya queaquellas que podran considerarse como tales siempre aparecan mez-cladas con, o reforzadas por, las restricciones didcticas (situacin quetal vez se presenta por las maniobras de evasin que elabora el sistemade enseanza frente a las restricciones cognitivas con que se topa). Lapoca importancia que se le otorga a lo cognitivo no es tpica de los an-lisis preliminares de la ingeniera. Por el contrario, a menudo uno de lospuntos de apoyo esenciales de la concepcin reside en el anlisis preli-minar detallado de las concepciones de los estudiantes, de las dificulta-des y de los errores ms frecuentes. As, la ingeniera se disea para

provocar, de manera controlada, la evolucin de las concepciones. Es elcaso, por ejemplo, de las tesis ya citadas de D. Grenier y B. Parzysz. Elpunto de vista sistmico adoptado al igual que el nivel de enseanza in-volucrado no dejan sin duda de influir en las dimensiones que aqu seprivilegiaron.

La concepcin y el anlisis a priori

En esta segunda fase, el investigador toma la decisin de actuar sobreun determinado nmero de variables del sistema no fijadas por las res-tricciones. Estas son las variables de comando que l percibe comoperti-nentes con relacin al problema estudiado. Nos parece til, para facilitarel anlisis de una ingeniera, distinguir dos tipos de variables de co-mando:

Las variables macro-didcticas oglobales, concernientes a la

organizacin global de la ingeniera

Y las variables micro-didcticas o locales, concernientes a laorganizacin local de la ingeniera, es decir, la organiza-cin de una secuencia o de una fase

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Tanto unas como otras pueden ser en s variables generales o depen-dientes del contenido didctico en el que se enfoca la enseanza. Sinembargo, en el nivel micro-didctico esta segunda distincin es clsica,

ya que se diferencian las variables asociadas con el problema de las va-riables asociadas con la organizacin y la gestin del "medio" (Brous-seau, 1986). Y entre estas, las variables didcticas son aquellas cuyoefecto didctico se ha corroborado.

Para no aumentar la cantidad de ejemplos, seguir con la investiga-cin sobre las ecuaciones diferenciales tal y como aparece en el texto ci-tado. Despus del anlisis de restricciones, las primeras seleccionesque se hacen son globales. Estas tienen que ver con decisiones como re-currir a las herramientas informticas, desarrollar los prerrequisitosadaptados al nivel de la funcin, limitar la complejidad al nivel de laresolucin algebraica, transformar el trabajo en actividades autnomasde la parte algoritmizada de esta resolucin, y ensear explcitamentemtodos para el estudio cualitativo. Estas selecciones preceden la des-cripcin fase a fase de la ingeniera donde van a intervenir las seleccio-nes locales.

Este tipo de dispositivo se encuentra por lo general en los textos demacro-ingeniera, pero con una terminologa eminentemente variable.En su artculo sobre la enseanza de los decimales, G. Brousseau

presenta desde un comienzo las selecciones macro-didcticas y las ca-lifica como selecciones

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