Asimetría estadística

Asimetria positivaAsimetria negativa

En punteado negro: la media, en punteado gris: la moda.

Ejemplo de datos experimentales con una asimetría positiva (res-puesta gravitrópica de los coleóptilos del trigo).

1 Definición

Las medidas de asimetría son indicadores que permitenestablecer el grado de simetría (o asimetría) que presentauna distribución de probabilidad de una variable aleatoriasin tener que hacer su representación gráfica.Como eje de simetría consideramos una recta paralela aleje de ordenadas que pasa por la media de la distribución.Si una distribución es simétrica, existe el mismo número

de valores a la derecha que a la izquierda de la media, portanto, el mismo número de desviaciones con signo posi-tivo que con signo negativo. Decimos que hay asimetríapositiva (o a la derecha) si la “cola” a la derecha de lamedia es más larga que la de la izquierda, es decir, si hayvalores más separados de la media a la derecha. Diremosque hay asimetría negativa (o a la izquierda) si la “cola”a la izquierda de la media es más larga que la de la dere-cha, es decir, si hay valores más separados de la media ala izquierda.

2 Medidas de asimetría

2.1 Coeficiente de asimetría de Fisher

En teoría de la probabilidad y estadística, la medida deasimetría más utilizada parte del uso del tercer momentoestándar. La razón de esto es que nos interesa mantenerel signo de las desviaciones con respecto a la media, paraobtener si son mayores las que ocurren a la derecha de lamedia que las de la izquierda. Sin embargo, no es buenaidea tomar el momento estándar con respecto a la mediade orden 1. Debido a que una simple suma de todas lasdesviaciones siempre es cero. En efecto, si por ejemplo,los datos están agrupados en k clases, se tiene que:

k∑i=1

fi(xi − µ) =

k∑i=1

fixi − µ

k∑i=1

fi = µ− µ = 0

en donde xi representa la marca de la clase i -ésima y fidenota la frecuencia relativa de dicha clase. Por ello, lomás sencillo es tomar las desviaciones al cubo.El coeficiente de asimetría de Fisher, representado porγ1 , se define como:

γ1 =µ3

σ3,

donde µ3 es el tercer momento en torno a la media y σ esla desviación estándar.Si γ1 > 0 , la distribución es asimétrica positiva o a laderecha.Si γ1 < 0 , la distribución es asimétrica negativa o a laizquierda.Si la distribución es simétrica, entonces sabemos queγ1 = 0 . El recíproco no es cierto: es un error común

1

2 5 ENLACES EXTERNOS

asegurar que si γ1 = 0 entonces la distribución es simé-trica (lo cual es falso).

2.2 Coeficiente de asimetría de Pearson

Sólo se puede utilizar en distribuciones uniformes, uni-modales y moderadamente asimétricas. Se basa en queen distribuciones simétricas la media de la distribuciónes igual a la moda.Ap = µ−moda

σ ,

Si la distribución es simétrica, µ = moda y Ap = 0 . Sila distribución es asimétrica positiva la media se sitúa porencima de la moda y, por tanto, Ap > 0 .

2.3 Coeficiente de asimetría de Bowley

Está basado en la posición de los cuartiles y la mediana,y utiliza la siguiente expresión:

AB =Q3/4+Q1/4−2Me

Q3/4−Q1/4

En una distribución simétrica el tercer cuartil estará a lamisma distancia de la mediana que el primer cuartil. Portanto AB = 0 .Si la distribución es positiva o a la derecha, AB > 0 .

3 Utilidad

La asimetría resulta útil en muchos campos. Muchos mo-delos simplistas asumen una distribución normal, esto es,simétrica en torno a la media. La distribución normal tie-ne una asimetría cero. Pero en realidad, los valores no sonnunca perfectamente simétricos y la asimetría de la dis-tribución proporciona una idea sobre si las desviacionesde la media son positivas o negativas. Una asimetría po-sitiva implica que hay más valores distintos a la derechade la media.Lasmedidas de asimetría, sobre todo el coeficiente de asi-metría de Fisher, junto con las medidas de apuntamientoo curtosis se utilizan para contrastar si se puede aceptarque una distribución estadística sigue la distribución nor-mal. Esto es necesario para realizar numerosos contrastesestadísticos en la teoría de inferencia estadística.

4 Referencias

• 'Introducción a la Estadística Económica y Empre-sarial. Teoría y Práctica.' de Fco. Javier Martín-Pliego López, Editorial Thomson, 2007 (Madrid).

• 'Manual de Estadística Empresarial con ejerciciosresueltos’ de Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana

Gava y Eva Romero. Editorial Delta Publicaciones.2008 (Madrid).

5 Enlaces externos• An Asymmetry Coefficient for Multivariate Distri-butions by Michel Petitjean

3

6 Text and image sources, contributors, and licenses

6.1 Text• Asimetría estadística Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Asimetr%C3%ADa%20estad%C3%ADstica?oldid=80773802 Colaborado-res: Jgalgarra, Vitamine, GermanX, Laura Fiorucci, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Dhidalgo, VolkovBot, Yuikmy, Muro Bot, BOTarate,BuenaGente, Leonpolanco, Petruss, Juan Mayordomo, VanBot, Diegusjaimes, Luckas-bot, Amirobot, MystBot, Eva R M, Yonidebot,Jmarchn, Nixón, ArthurBot, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, D'ohBot, Hprmedina, Halfdrag, Dinamik-bot, EmausBot, ZéroBot, Chuispas-tonBot, Abián, Monotrema, KLBot2, MaKiNeoH y Anónimos: 31

6.2 Images• Archivo:Negative_and_positive_skew_diagrams_(Catalan).svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Negative_and_positive_skew_diagrams_%28Catalan%29.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio; based onFile:Negative and positive skew diagrams (English).svg. Artista original: Jmarchn.

• Archivo:SkewedDistribution.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/SkewedDistribution.png Licencia:CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: own drawing, published in my doctoral thesis (“Gravitorpic reaction: the role of calcium and phytochrome”,defended in 1997, Vilnius State University, Lithuania) Artista original: Audrius Meskauskas

6.3 Content license• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0