Asimov pitágoras
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Grandes ideas de la cienciaIsaac Asimov
Alianza Editorial
Título original: Great Ideas of Science. Traductor: Miguel Paredes Larruca
© 1996 by Isaac Asimov© Ed. cast.: Alianza Editorial, S. A., Madrid
ISBN: 8420639818 Depósito Legal: M. 13.2682004Impreso en ClosasOrcoyen, S.L. Polígono Igarsa Paracuellos de Jarama (Madrid)Printed in Spain
Capítulo 2Pitágoras y el nú mero
Pitágoras y el nú meroNo mucho después de la época en que Talescavilaba sobre los misterios del universo, hace unos2.500 años, había otro sabio griego que jugaba concuerdas. Pitágoras, al igual que Tales, vivía en unaciudad costera, Crotona, en el sur de Italia; y lomismo que él, no era precisamente un hombre delmontón. Las cuerdas con las que jugaba Pitágoras no erancuerdas comunes y corrientes, sino recias, como lasque se utilizaban en los instrumentos musicales deltipo de la lira. Pitágoras se había procurado cuerdasde diferentes longitudes, las había tensado y laspulsaba ahora una a una para producir distintasnotas musicales.
Nú meros musicales
Finalmente halló dos cuerdas que daban notasseparadas por una octava; es decir, si una daba eldo bajo, la otra daba el do agudo. Lo que cautivó aPitágoras es que la cuerda que daba el do bajo eraexactamente dos veces más larga que la del doagudo. La razón de longitudes de las dos cuerdasera de 2 a 1. Volvió a experimentar y obtuvo otras dos cuerdascuyas notas diferían en una «quinta»; una de lasnotas era un do, por ejemplo, y la otra un sol. Lacuerda que producía la nota más baja era ahoraexactamente vez y media más larga que la otra. Larazón de las longitudes era de 3 a 2. Como es lógico, los músicos griegos y de otrospaíses sabían también fabricar cuerdas que diesenciertas notas y las utilizaban en instrumentosmusicales. Pero Pitágoras fue, que se sepa, elprimer hombre en estudiar, no la música, sino eljuego de longitudes que producía la música. ¿Por qué eran precisamente estas proporciones denúmeros sencillos —2 a 1, 3 a 2, 4 a 3— las queoriginaban sonidos especialmente agradables?Cuando se elegían cuerdas cuyas longitudes
guardaban proporciones menos simples —23 a 13,por ejemplo— la combinación de sonidos no eragrata al oído. Puede ser, quién sabe, que a Pitágoras se leocurriera aquí una idea luminosa: que los númerosno eran simples herramientas para contar y medir,sino que gobernaban la música y hasta el universoentero. Si los números eran tan importantes, valía la penaestudiarlos en sí mismos. Había que empezar apensar, por ejemplo, en el número 2 a secas, no endos hombres o dos manzanas. El número 2 eradivisible por 2; era un número par. El número 3 no sepodía dividir exactamente por 2; era un númeroimpar. ¿Qué propiedades compartían todos losnúmeros pares? ¿Y los impares? Cabía empezar porel hecho de que la suma de dos números pares o dedos impares es siempre un número par, y la de unpar y un impar es siempre impar. O imaginemos que dibujásemos cada númerocomo una colección de puntos. El 6 vendríarepresentado por seis puntos; el 23, por veintitrés,etc. Espaciando regularmente los puntos secomprueba que ciertos números, conocidos pornúmeros triangulares, se pueden representarmediante triángulos equiláteros. Otros, llamadoscuadrados, se pueden disponer en formacionescuadradas.
Nú meros triangulares
Pitágoras sabía que no todos los números depuntos se podían disponer en triángulo. De los quesí admitían esta formación, el más pequeño era elconjunto de un solo punto, equivalente al númerotriangular 1. Para construir triángulos más grandes bastaba conir añadiendo filas adicionales que corrieran paralelasa uno de los lados del triángulo. Colocando dospuntos más a un lado del triángulo de 1 punto se
obtenía el triángulo de tres puntos, que representa elnúmero 3. Y el triángulo de seis, que representa elnúmero 6, se obtiene al añadir tres puntos más altriángulo de tres. Los siguientes triángulos de la serie estabanconstituidos por diez puntos (el triángulo de seis,más cuatro puntos), quince puntos (diez más cinco),veintiuno (quince más seis), etc. La serie denúmeros triangulares era, por tanto, 1, 3, 6, 10, 15,21, ... Al formar la serie de triángulos a base de añadirpuntos, Pitágoras se percató de un hechointeresante, y es que para pasar de un triángulo alsiguiente había que añadir siempre un punto másque la vez anterior (la letra cursiva así lo indica enlos dos párrafos anteriores). Dicho con otras palabras, era posible construir lostriángulos, o los números triangulares, mediante unasucesión de sumas de números consecutivos: 1=1;3=1 +2; 6=1 + 2 + 3; 10 =1 + 2 + 3 +4; 15 = 1+2 +3+4 + 5; 21 = 1+2 + 3+4 + 5 + 6; etcétera.
Nú meros cuadrados
Si el triángulo tiene tres lados, el cuadrado tienecuatro (y cuatro ángulos rectos, de 90 grados), por locual era de esperar que la sucesión de los númeroscuadrados fuese muy distinta de la de lostriangulares. Ahora bien, un solo punto aisladoencajaba igual de bien en un cuadrado que en untriángulo, de manera que la sucesión de cuadradosempezaba también por el número 1. Los siguientes cuadrados se podían formarcolocando orlas de puntos adicionales a lo largo dedos lados adyacentes del cuadrado anterior.Añadiendo tres puntos al cuadrado de uno seformaba un cuadrado de cuatro puntos, querepresentaba el número 4. Y el de nueve se obteníade forma análoga, orlando con cinco puntos más elcuadrado de cuatro. La secuencia proseguía con cuadrados dedieciséis puntos (el cuadrado de nueve, más sietepuntos), veinticinco puntos (dieciséis más nueve),treinta y seis (veinticinco más once), etc. El resultadoera la sucesión de números cuadrados: 1, 4, 9, 16,
25, 36, ... Como los triángulos crecían de manera regular, nole cogió de sorpresa a Pitágoras el que loscuadrados hicieran lo propio. El número de puntosañadidos a cada nuevo cuadrado era siempre unnúmero impar, y siempre era dos puntos mayor queel número añadido la vez anterior. (Las cursivasvuelven a indicarlo.) Dicho de otro modo, los números cuadradospodían formarse mediante una sucesión de sumasde números impares consecutivos: 1 = 1; 4 = 1 + 3;9=1 + 3 + 5; 16 = 1 + 3 + 5 + 7; 25 = 1 + 3 + 5 + 7 +9; etcétera. Los cuadrados también se podían construir a basede sumar dos números triangulares consecutivos:4=1+3; 9 = 3 + 6; 16 = 6+10; 25=10+15; ... Omultiplicando un número por sí mismo: 1 = 1x1; 4 =2x2; 9 = 3x3; ... Este último método es una manera especialmenteimportante de formar cuadrados. Puesto que 9 =3x3, decimos que 9 es el cuadrado de 3; y lo mismopara 16, el cuadrado de 4, o para 25, el cuadrado de5, etc. Por otro lado, decimos que el número máspequeño —el que multiplicamos por sí mismo— es laraíz cuadrada de su producto: 3 es la raíz cuadradade 9, 4 la de 16, etcétera.
Triángulos rectángulos
El interés de Pitágoras por los números cuadradosle llevó a estudiar los triángulos rectángulos, esdecir, los triángulos que tienen un ángulo recto. Unángulo recto está formado por dos ladosperpendiculares, lo que quiere decir que sicolocamos uno de ellos en posición perfectamentehorizontal, el otro quedará perfectamente vertical. Eltriángulo rectángulo queda formado al añadir untercer lado que va desde el extremo de uno de loslados del ángulo recto hasta el extremo del otro. Estetercer lado, llamado «hipotenusa», es siempre máslargo que cualquiera de los otros dos, que se llaman«catetos». Imaginemos que Pitágoras trazase un triángulorectángulo al azar y midiese la longitud de los lados.Dividiendo uno de ellos en un número entero de
unidades, lo normal es que los otros dos nocontuvieran un número entero de las mismasunidades.Pero había excepciones. Volvamos a imaginarnos aPitágoras ante un triángulo cuyos catetos midiesenexactamente tres y cuatro unidades,respectivamente. La hipotenusa tendría entoncesexactamente cinco unidades. Los números 3, 4 y 5 ¿por qué formaban untriángulo rectángulo? Los números 1, 2 y 3 no loformaban, ni tampoco los números 2, 3 y 4; dehecho, casi ningún trío de números elegidos al azar. Supongamos ahora que Pitágoras se fijara en loscuadrados de los números: en lugar de 3, 4 y 5tendría ahora 9, 16 y 25. Pues bien, lo interesante esque 9+16=25. La suma de los cuadrados de loscatetos de este triángulo rectángulo resultaba serigual al cuadrado de la hipotenusa. Pitágoras fue más lejos y observó que la diferenciaentre dos números cuadrados sucesivos era siempreun número impar: 41 = 3; 94 = 5; 169 = 7; 25 16= 9; etc. Cada cierto tiempo, esta diferencia imparera a su vez un cuadrado, como en 25— 16 = 9 (quees lo mismo que 9 + 16 = 25). Cuando ocurría esto,volvía a ser posible construir un triángulo rectángulocon números enteros. Puede ser, por ejemplo, que Pitágoras restase 144de 169, que son dos cuadrados sucesivos: 169 —144 = 25. Las raíces cuadradas de estos númerosresultan ser 13, 12 y 5, porque 169 = 13 X 13; 144 =12 X 12 y 25 = 5 X 5. Por consiguiente, se podíaformar un triángulo rectángulo con catetos de cinco ydoce unidades, respectivamente, e hipotenusa detrece unidades.
El teorema de Pitágoras
Pitágoras tenía ahora gran número de triángulosrectángulos en los que el cuadrado de la hipotenusaera igual a la suma de los cuadrados de los catetos.No tardó en demostrar que esta propiedad era ciertapara todos los triángulos rectángulos. Los egipcios, los babilonios y los chinos sabían ya,cientos de años antes que Pitágoras, que esarelación se cumplía para el triángulo de 3, 4 y 5. Y es
incluso probable que los babilonios supiesen aciencia cierta que era válida para todos los triángulosrectángulos. Pero, que sepamos, fue Pitágoras elprimero que lo demostró. El enunciado que dio es: En cualquier triángulorectángulo la suma de los cuadrados de los catetoses igual al cuadrado de la hipotenusa. Como fue élquien primero lo demostró, se conoce con el nombrede «teorema de Pitágoras». Veamos cómo lo hizo.
Prueba de deducció n
Para ello tenemos que volver a Tales de Mileto, elpensador griego de que hablamos en el Capítulo 1.Dice la tradición que Pitágoras fue discípulo suyo. Tales había elaborado un pulcro sistema parademostrar razonadamente la verdad de enunciadoso teoremas matemáticos. El punto de arranque eranlos «axiomas» o enunciados cuya verdad no seponía en duda. A partir de los axiomas se llegaba auna determinada conclusión; aceptada ésta, sepodía obtener una segunda, y así sucesivamente.Pitágoras utilizó el sistema de Tales —llamado«deducción»—, para demostrar el teorema que llevasu nombre. Y es un método que se ha aplicadodesde entonces hasta nuestros días. Puede que no fuese realmente Tales quieninventara el sistema de demostración por deducción;es posible que lo aprendiera de los babilonios y queel nombre del verdadero inventor permanezca en lapenumbra. Pero aunque Tales fuese el inventor de ladeducción matemática, fue Pitágoras quien le diofama.
El nacimiento de la geometría
Las enseñanzas de Pitágoras, y sobre todo sugran éxito al hallar una prueba deductiva del famosoteorema, fueron fuente de inspiración para losgriegos, que prosiguieron trabajando en esta línea.En los 300 años siguientes erigieron una complejaestructura de pruebas matemáticas que se refierenprincipalmente a líneas y formas. Este sistema sellama «geometría» (véase el Capítulo 3). En los miles de años que han transcurrido desdelos griegos ha progresado mucho la ciencia. Pero,
por mucho que el hombre moderno haya logrado enel terreno de las matemáticas y penetrado en susmisterios, todo reposa sobre dos pilares: primero, elestudio de las propiedades de los números, ysegundo, el uso del método de deducción. Loprimero nació con Pitágoras y lo segundo lo divulgóél. Lo que Pitágoras había arrancado de sus cuerdas
no fueron sólo notas musicales: era también el vastomundo de las matemáticas.