Asintotas
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Transcript of Asintotas
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SALINAS AQUIJE T.W.
ASÍNTOTAS
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Definición de una asíntota Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y
tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función. No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas
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Asíntotas curvilíneas
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Tipos de asíntotas
x = cy
x
Asíntotas Verticales
x = cy
x
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Tipos de asíntotas
y = L
y = f(x)
y
x
y = L
y = f(x)
y
x
Asíntotas Horizontales
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Tipos de asíntotas
Asíntotas Oblicuas
y
x
y = ax + b
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Asíntotas verticales
)(lim xfcx
)(lim xfcx
)(lim xfcx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
)(lim xfcx
Ejemplo:
2
1lim
2 xx
2
1lim
2 xx
2
1)(
xxf
La recta x = 2 es una asíntota vertical
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Asíntotas horizontales
Lxfx
)(lim Lxfx
)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2)(
x
xxf
21
2lim
x
xx
21
2lim
x
xx
La recta y = 2 es una asíntota horizontal
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Asíntotas oblicuas
ax
xfx
)(lim
ax
xfx
)(lim
baxxfx
))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxfx
))((lim
Ejemplo:
1
2)(
2
x
xxf
22
lim)(
lim2
2
xx
x
x
xfxx
2)21
2(lim))((lim
2
xx
xaxxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua
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Asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
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Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
x
xxf
22
52
Dada la función
Calculamos los valores de x que hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.
Asíntota verticalx = -1
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Primero simplicamos la función.
9
121022
2
x
xxxf
3
42
33
423
9
121023
2
x
x
xx
xx
x
xx
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el denominator (después de simplificar) es igual a 0.
x – 3 = 0 x = 3La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales
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6
52
xx
xxg
32
5
6
52
xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 x = -2o
x - 3 = 0 x = 3
Esta función tiene dos asíntotas verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales
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Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función no tiene asíntota horizontal.
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Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
027
53lim
3
2
x
xxx
27
533
2
x
xxxf
027
53lim
3
2
x
xxx
Tiene una asíntota horizontal en la recta y = 0 porque el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3).
La recta horizontal y = 0 es la asíntota horizontal.
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Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
5
6
975
536lim
2
2
xx
xxx
975
5362
2
xx
xxxg
El grado del numerador (2) es igual al grado del denominador (2), luego la recta y = 6/5 es una asíntota horizontal.
La recta y = 6/5 es la
asíntota horizontal.
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Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
1
9522
3
x
xxxf
No tiene asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
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Asíntotas oblicuas
Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador.
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Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
1
9522
23
xx
xxxxf
Tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador (3) es uno más que el grado del denominador (2).
1952
lim)(
lim23
23
xxx
xxx
x
xfxx
31
943lim))((lim
2
2
xx
xxxxf
xx
La recta y = x + 3 es asíntota oblicua
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Problemas
Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones:
2
2
2 15
7 10
x xf x
x x
Vertical: x = -2Horizontal : y = 1Oblicua: no tiene
22 5 7
3
x xg x
x
Vertical: x = 3Horizontal : no tieneOblicua: y = 2x +11
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