CONTROL DE POSICION DE UN MOTOR DC

RESUMEN

El control automático hace parte importante de cualquier tipo de proceso industrial ya sea de manufactura, industrial naval, aeroespacial, aplicaciones robóticas, procesos económicos, biológicos, entre otros.

Debido a que el control automático va de la mano con prácticamente todas las ramas de la ingeniería (eléctrica, electrónica, mecánica, sistemas, industrial, química, etc.), este artículo no se centra en alguna en especial, así, el lector puede fácilmente construir un controlador PID análogo sin necesidad de haber adquirido conocimientos previos de electrónica, pero teniendo sí como base lo relacionado con teoría de control.

Una de las aplicaciones típicas de control análogo es el posicionamiento angular de motores de corriente directa. Implementar un control PID para este tipo de aplicación es lo más conveniente, puesto que puede hacerse mediante tecnología de fácil manejo y de bajo costo, referenciando como tal a los amplificadores operacionales.

Palabras Clave: teoría de control, PID análogo, amplificadores operacionales.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Inicialmente se deben esclarecer los elementos que intervienen en sistema: el motor, principalmente, el cual debe tener en su eje un acople a un potenciómetro lineal que juega el papel de sensor angular. El sistema motor/potenciómetro se define como la planta. La figura 1 muestra el acople motor dc – potenciómetro lineal.

Figura 1. Acople Motor DC – Potenciómetro Lineal

Con el fin de iniciar el diseño del controlador, en primera instancia deben tenerse en cuenta las diferentes señales que intervienen en el proceso. La señal de salida, o variable controlada, que como su nombre lo indica es la señal que se desea controlar; la señal de set point, que se define como la señal de entrada o el valor deseado; la señal de error, la cual arroja la diferencia entre la señal de entrada y la de salida y la señal de control, producida por el controlador para disminuir o eliminar el error. En la figura 2 se pueden observar dichas señales en el diagrama de bloques del sistema.

Figura 2. Diagrama de Bloques del sistema.

La señal de salida (y) es la que relaciona la salida del extremo móvil del potenciómetro lineal. El potenciómetro produce una tensión equivalente a su posición en el extremo móvil (c), cuando sus extremos fijos (a – b) están alimentados con una tensión de 5 Vdc. Así, cuando no hay tensión de alimentación, la posición es de 0 grados, con una tensión de 1.25 voltios se producen 90 grados, con una tensión de 2.5 voltios, se espera una posición de 180 grados, y así sucesivamente.

La señal de entrada (r), o set point, hace referencia a la posición que se desea. Es decir, si se quiere mover el motor a una posición angular de 180 grados, se debe alimentar con una tensión de 2.5 voltios, si se quiere que el motor alcance una posición angular de 270 grados, entonces se debe alimentar con una tensión de 3.75 voltios y así para cada una de las posiciones deseadas.

La señal de error (e), corresponde a la diferencia entre el set point y la señal de salida. Entonces, si lo que se quiere es que el motor se mueva a una posición angular de 90 grados, se debe introducir un set point de 1.25 voltios. A continuación se verifica la posición exacta en la cual se ubicó el motor. Si se posiciona, por ejemplo en 67.5 grados el potenciómetro debe arrojar una tensión de salida de 0.9375 voltios por lo cual, la señal de error (e), debe arrojar una tensión de 0.3125 voltios correspondientes a 22.5 grados.

+- PID MOTOR

REFERENCIA

SEÑAL RETROALIMENTADA

CONTROLADOR

POTENCIOMETRO

yuer

PROCESO

La señal de control (u), está definida como se dijo anteriormente, como el voltaje producido por el controlador para disminuir o anular el error. Si la señal de error es positiva quiere decir que la entrada o set point es mayor que la salida real, entonces el controlador debe arrojar un voltaje positivo al motor para que éste siga girando hasta reducir o cancelar el error. En el caso contrario, cuando la señal de error arrojada es negativa, se dice que la salida sobrepasa la entrada o set point entonces el controlador debe arrojar un voltaje negativo para que el motor gire en sentido contrario hasta reducir o cancelar el error.

MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL SISTEMA

El modelamiento matemático del sistema se puede obtener satisfactoriamente empleando programas computacionales como herramienta para tal fin (por ejemplo MATLAB), con los cuales se procesan señales de entrada y de salida hasta llegar al modelo que mejor pueda representar la dinámica del sistema, aunque, dado que no siempre se dispone de estas herramientas, se pueden usar métodos manuales que no son precisos pero que dan una buena aproximación del modelo que se busca.

La relación entre la entrada y la salida del sistema es la Función de Transferencia, si se toma esta relación en el dominio de la frecuencia (Transformada de Laplace), y teniendo condiciones iniciales iguales a cero. Teniendo en cuenta esta definición, se puede aplicar una señal de escalón unitario al sistema. De esta manera, se obtienen las ecuaciones para cada una de las variables en el dominio del tiempo, se transforman por Laplace al dominio de la frecuencia y se obtiene entonces la relación entrada/salida que para efectos del caso es el modelo matemático que se desea.

PROCEDIMIENTO

Cuando no se dispone de dispositivos de adquisición de datos para el análisis de los mismos, se puede proceder aplicando un voltaje al motor previamente acoplado con el potenciómetro (señal de escalón unitario), desenergizarlo antes de que complete el giro y tomar nota del tiempo y voltaje final en el potenciómetro, para posteriormente graficar dichos datos.

Se tiene entonces que la señal de salida es una señal de rampa con pendiente m: y=m×t y su

transformada de Laplace está dada de la siguiente forma: Y (s )=ms2

La señal de entrada es una señal escalón ampliada en la misma magnitud que la tensión aplicada.

u (t )=V y su correspondiente transformada de Laplace, es entonces U (s )=VS

.

La función de transferencia del sistema se describe de la siguiente forma: G (s )=Y (S )U (S )

=

mVs

de lo

cual se puede concluir que el sistema tiene un polo en 0, es decir, representa un sistema tipo 1.

En la figura 3 se observa el diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado sin controlador, donde G(s) es la función de trasferencia del conjunto motor-potenciómetro, como se vio anteriormente y H(s) es la función de transferencia del lazo cerrado, que para efectos de este caso es unitaria. La salida del sistema, y(t), es la señal de tensión del potenciómetro, entonces la señal de entrada o set point debe ser una señal de tensión entre los 0 y los 5 voltios dc.

Figura 3. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado sin controlador.

Por teoría de control, se tiene que el error para el diagrama de bloques de la figura 3, está dado

por la siguiente ecuación: E ( s)= 1

[1+G (s )H ( s) ]R ( s ), donde

G (s )=

mVs

y H (s )=1. Entonces,

reemplazando se tendría que:

E ( s)= 1

1+( mvs )(1 )

R (s ). Aplicando el procedimiento del Teorema

del Valor Final para resolver esta ecuación, se obtiene como resultado que el Error tiende a ser 0. Analizando, se puede decir entonces que para una entrada escalón unitario (voltaje para este caso) el error en estado estacionario es nulo. En la práctica no es así. Si se desea cambiar la

+ -

R(s) E(s)

G(s)

Y(s)

H(s)

1

m /Vs

posición del potenciómetro, el cual está en 0 grados, a una posición de 180 grados; se aplica una tensión de entrada o set point de 2.5 voltios. El término sumador le quita 2.5 voltios de la señal de entrada, la señal de tensión de salida que viene del potenciómetro, arroja la señal de error que a su vez, se define como el voltaje que se aplicará al motor. A medida que el potenciómetro se mueve para ubicarse en la posición de 180 grados, el error toma valores diferentes y por lo tanto lo hace también la tensión que se aplica al motor.

Con un voltaje muy pequeño el motor no se moverá, ya que no podrá superar su propia inercia, es decir que parará sin logar llegar al valor de referencia deseado, o sea, sin logar que el error sea cero. No puede decirse entonces que el sistema sea de tipo 1, sino más bien que es un sistema de tipo 0, ya que en este tipo de sistemas el error frente a una señal escalón se define como:

E ( s)= 11+K

R (s )

Siendo K la ganancia del sistema en lazo abierto. El error en estado estacionario es entonces un porcentaje constante de la señal de entrada o set point. En realidad, en este sistema esto no ocurre, pues cuando la el voltaje de entrada es alto, la señal inicial de error también lo es y por ende el motor generaría una velocidad inicial alta y no se detendría inmediatamente al alcanzar señales de error cercanas a cero, sino que se generarían valores de señal de error menores o negativos.

Por otro lado, se debe encontrar el Lugar de las Raíces del sistema en lazo cerrado para lo cual se usa frecuentemente el software MATLAB. Las instrucciones que corresponden para este proceso son las siguientes:

num = [m/V];

den = [1 0];

rlocus (num,den)

grid

Figura 4. Gráfica del Lugar de las Raíces del sistema retroalimentado

En la figura 4, se puede observar el Lugar de las Raíces, donde claramente se evidencia el polo del sistema en lazo cerrado el cual se ubica en el origen y se mueve hasta - α , sobre el eje real negativo, con el aumento de K (la ganancia) del sistema. Es decir, que el sistema arroja respuesta rápidamente si K es alta, lo cual puede probarse prácticamente, puesto que la velocidad del motor es proporcional a la tensión que se aplica.

CONTROLADOR PID

Como se sabe, un control PID es un control por realimentación que se utiliza mayormente en sistemas de control industriales. La función de este controlador es corregir el error entre un valor medido y el valor deseado, calculándolo y luego sacando una acción correctora. El cálculo del control PID se da en tres medidas distintas: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, lo cual asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. Estas tres constantes en el sistema de control del PID, hacen que el controlador pueda proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar. Según la anterior definición, la señal de control PID está dada entonces por la siguiente expresión:

u (s )=Kp [1+ 1sTi

+sTd ]e

EJE REAL

EJE

IMAG

INAR

IO

El diseño del controlador para el sistema en cuestión se estima iniciando con la implementación de con un control proporcional. El primer elemento que se debe tener en cuenta es el sumador, el cual se compone de un amplificador operacional (LM741) y resistencias, conectados como muestra la figura 5, donde se aprecian las tensiones de la referencia, r, y de la salida del potenciómetro y.

Figura 5. Sumador construido con Amplificador Operacional LM741

El circuito se alimenta con diferentes voltajes entre los 0 y los 5 voltios dc, en los terminales 2 y 3. El voltaje de salida en el terminal 6 debe ser igual a la diferencia de voltajes aplicados.

El circuito de control proporcional también se implementa con un amplificador operacional (LM741) conectado como amplificador inversor, tan como se muestra en la figura 6.

Figura 6. Amplificador inversor con el LM741

El voltaje de salida es igual al voltaje de entrada amplificado R2/R1 veces, pero con polaridad inversa. Para cambiar la polaridad se emplea otro amplificador inversor, en serie, con R2 = R1, como muestra la figura 7. Para R3 se usa un potenciómetro linealmente de 0 a 100 KW, con el fin de variar la ganancia del controlador desde 0 hasta 100.

Figura 7. Controlador proporcional análogo

Debido a que la señal de salida no es capaz de mover el motor, se debe implementar además un amplificador que permita aumentar la tensión tanto como para que el motor alcance a ser energizado. Esta etapa de amplificación de potencia se implementa con dos transistores NPN y PNP tal como se ve en la figura 8.

Figura 8. Controlador Proporcional Análogo con amplificador de potencia

Ahora se procede a interconectar cada uno de los circuitos implementados (sumador, controlador proporcional y sistema de posición). Es necesario emplear otro potenciómetro lineal para poder variar el set point o la tensión de referencia, el cual debe estar alimentado con 5 voltios dc en los terminales a y b. Así, el acople motor – potenciómetro seguirá el movimiento del potenciómetro de referencia.

A continuación se muestra en la figura 9 el circuito en conjunto implementado, en el orden que muestra el diagrama del sistema en lazo cerrado.

Figura 9. Control Proporcional Análogo para el posicionamiento del motor

El control integral y el control derivativo se implementan también de forma similar, y los valores de R (potenciómetro lineal) y C deben ser calculados dependiendo de los parámetros Ti y Td, respectivamente. Para el caso de este sistema, estos valores corresponden aproximadamente a R*C. A continuación se muestra en la figura 10 el circuito para estos dos controles.

Figura 10. Control integral (ui) y control derivativo (ud)

Este diseño de controlador PID análogo no solo aplica para sistemas de posicionamiento de un motor dc, también puede implementarse para aplicaciones como control de velocidad de un motor, control de nivel, control de temperatura, entre otras aplicaciones didácticas.

BIBLIOGRAFÍA

1. Balcells, Josep (1997). Autómatas Programables. Editorial Marcombo. Barcelona.2. Kuo, Benjamin C (1995). Sistemas de Control Automático. Editorial Prentice-Hall

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Prentice-Hall hispanoamericana, S.A.

4. Smith, Carlos A. Corripio (1996). Control Automático de Procesos. Teoría y Práctica. Editorial Limusa Noriega Editores.