Atomo Hidrogeno

1

Lic. Héctor Valdivia M. 1

ESTRUCTURAATÓMICA

ÁÁTOMO DE HIDRTOMO DE HIDRÓÓGENOGENO


Tabla 1: Observables Físicos y sus operadores cuánticos (single particle)

Observable Observable Operador OperadorNombre Símbolo Símbolo OperaciónPosición

Momentum

Energía Cinética T

Energía Potencial

Energía Total E

Momentum Angular lx

ly

lz


EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (3D)dinger (3D)

Solución General

Ecuación Independiente del tiempo

Ecuación en coordenadas cartesianas

2 2 2 2

2 2 22V E

m x y z

r

Dependiente del tiempo



Región Interna

2 2 2

2 22V E

m x y

r

Analizar el caso de una partícula libre en una caja 2D dedimensiones Lx y Ly

2 2 2

2 22E

m x y

Sea , x yx y x y

222 2

2 2

1 1

2 2yx

x y

ddE

m dx m dy

22

2

22

2

1

2

1

2

xx

x

yy

y

x y

dE

m dx

dE

m dy

E E E

con

2



22

Luego , con2 2

yy xxx y

x y

pn pnx y x y Asen x sen y E

L L m m

Eje x2

22

2

2

22

2

2

20

2xx

x xx x

x x

d m pkEk E

mk

dx m

Sol: 1,2,3...xx x x x x

x

nx A sen k x A sen x n

L

Análogamente en el Eje y

22 2

Sol: 1,2,3...

con2 2

yy y y

y

yyy

ny A se

p

n y

kE

m m

nL

222 2 2 22 2 2 2

x y 22 2si L =L

2Luego

2yx

x yx y

nnE

mL E n n n

mLLn

L


EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (2D)dinger (2D)Función de OndaEnergía nx ny n2 degeneración

1 1 2 No hay (estado base)

E12=E21= 5E0/2 2 1 5 Doble (1er estadoexcitado)

1 2 5E22= 8E0/2 2 2 8 No hay (2do estado exci)E13=E31= 10E0/2 1 3 10 Doble (3er estado

excitado)3 1 10

Use la normalización para hallar A del ejemplo anterior

Analizar el caso de una partícula libre en una caja 3D dedimensiones Lx Ly y Lz

Parte matemática

2 2

0 1 1 2

π hE = E =

m L

π πAsen x sen y

L L

x yψ x,y =ψ x ψ y

Asen 2πx L sen πy L

Asenπx L sen 2πy L

Asen 2πx L sen 2πy L

Asenπx L sen 3πy L

Asen 3πx L sen πy L



Ecuación en coordenadas esféricas

2 2

22 2 2 2 2

1 1 1

2r sen V E

m r r r r sen r sen

r

potencial esféricamentesimétri =Vc Vo rrcondición:ó fuerzas centrales conservativas

Como consecuencia de esta condición:

1. El Momentum Angular LL es constante.

2. Es imposible especificar simultáneamente dos de las trescomponentes del Momentum Angular LL

3. Una componente del Momentum Angular LL está cuantizada

4. La energía total E está cuantizada.

Debido alprincipio de

incertidumbre



La parte angular es:

La parte radial es:

2 2 2

2 22

r 1 d dR- r + V r -E r = - l l+12mR r dr dr 2m

Una Solución es: ψ = R r Y θ,φ

2 2 2 2 2

2 22 2 2

r 1 d dR 1 Y 1 Y- r + V-E r = + sen

θ = - l l+1

2mR r dr dr 2m Ysen

θ Ysenθ θ θ 2m

2 2 2

2 2

1 Y 1 Y+ sen

θ = - l l+1

2m Ysen

θ Ysenθ θ θ 2m

3


Y(θ,Φ) se conoce como ARMÓNICOS ESFÉRICOS: Yθ,φ =Θθ Φφ

lml

EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödingerdinger (3D)(3D)

±22-11

1

1

0

031

±120

020lml lm

lY lml lmlY

1

2

1 3c o s

2

1 3

2 2is e n e

21 53 c o s 1

4

1 3

2 2is e n e

1 1 5

2 2isen co s e

2 21 1 5

4 2is e n e

21 75 cos 3 cos

4



3

3

04±2

±33±1lml lm

lY lml lmlY

21 215 1

8isen cos e

2 21 1 0 5

4 2isen co s e

3 31 3 5

8is e n e

Gráficos de armónicos esféricos



0 0, 1, 2, 3,....limle m

Suponga una solución de la forma Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ), y obtengala forma explícita de Φ(φ). Use como constante paraseparar variables en la ecuación diferencial.

Sugerencia: use la condición de frontera Φ(φ)= Φ(φ+2π).

2lm

Compruebe que la condición de normalización de los armónicos es

2 2

0 0, 1lm

lY sen d d

Reemp. la solución propuesta en la parte angular de la ec. deschrödinger...

Parte matemática


CuantizaciCuantizacióón del Espacion del Espacio

Se llama así cuando se tiene que la componentede LL respecto de un eje arbitrario (eje Z) estácuantizada:

1 0,1, 2,...l l l L

zL 0, 1, 2,..,l lm m l

Se cumple que:

c o s1

lm

l l

|L| y Lz toman valores discretos

potencial esféricamentesimétri = Vc Vo rrcondición:

4


CuantizaciCuantizacióónn deldel EspacioEspacio

Halle y grafique |L|, y Lz en 2D y 3D, si l=2:

6

2 , , 0, , 2z

L

L

Precesión de L

alrededor del ejeZ


Nótese que la ecuación de autovalores permite hallar lafunción de onda


F f

Usualmente, con excepciones las constantes de movimientoclásicas son observables nítidas (satisfacen (*))

Particularmente el momentum angular L de una partícula encoordenadas cartesianas es:

x z y

y x z

z y x

L yp zp y zi z y

L r p L zp xp z xi x z

L xp yp x yi y x

v

xy

z

rθ

R

Parte matemática


Halle Lx, Ly y Lz en coordenadas esféricas


Sug: Recuerde que: cos

cos

z r

y rsen sen

x rsen

2 2 2

1/ 22 2 2cos

r x y z

zz x y z

ry

tgx

r

z z r z z

cot cosxL i sen

cos cotyL i sen

zL i

Parte matemática


Nótese que Lz es nítida, y reemplazando en (*), se halla la funciónde onda Ψ(r,θ,Φ) y Lz


,Lzi

zi L Ae donde A A r

Ψ satisface la condición de frontera Ψ(r,θ,Φ)= Ψ(r,θ,Φ+2π), luego

2 21L L Lz z zi i i

z lAe Ae e L m

Muestre que Lx y Lz NO pueden ser nítidas simultáneamente parael mismo estado . Para ello vale la forma de anterior y ademásdebe cumplirse que LLxΨ= LxΨ, lo que implica que Ψ=0 ó Lx=Lz=0

Sug: Reemp. Lx y elegir Φ=0 para simplificar; luego use el resultadoanterior

Parte matemática

5


|L| es nítida,

CuantizaciCuantizacióón del Espacion del Espacio2 2 2 2

x y zL L L L Reemp. por las ec. anteriores2 2

2 2 22 2

cot cosL ec

2 222 2 2

2 2cot cosL ec L

222

2 2z z z

l

L L Lm

i i

2

22 2 22

cot coslm ec L

La solución de esta ec. son los polinomios asociados de Legendre

cos 1lmlP l l con autovalores

Finalmente, el factor angular de la función de onda es:

0 cos ,l l lim m ml le P Y Armónicos Esféricos

Parte matemática


ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno

M m eM

rµ

Sistema real Sistema modelo


ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoEc. De Schrödinger en coordenadas esféricas

Ec. De Schrödinger radial

2 2 22

2 2 2 2 20

1ψ 1 ψ 1 ψ e

- r + sen

θ - ψ = Eψ

2 r r r r sen

θ r senθ θ θ 4π r

2 2 2

22 2

0

dR r1 d e- r + l l +1 - -E R r = 02

μ r dr dr 2μr 4π r


ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoSolución Radial

La energía está cuantizaday depende del númeroprincipal nn

2

20

0

4em

a

2 1n

0

2rL es el polinomio de Laguerrena

ll

6






La onda de materia radial efectiva es g r = rR rPues la ecuación de onda radial se convierte en:

2 2

22 e f f

d gU r g r E g r

d r

Con potencial efectivo Ueff:

2 2

2 2

1

2 2

L l lU r U r

r r

P(r)dr es la probabilidad de encontrar el electrón en cualquierparte de la capa esférica de radio r y grosor dr:

2 22P r g r r R r Densidad de Probabilidad

radial para cualquierestado


ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoLa condición de Normalización es:

0

1 P r dr

0

r r P r d r

Para el electrón en el estado base del hidrógeno Ψ100. Calcule :a) La probabilidad de que se encuentre mas allá del radio de

Bohrb) La distancia media del electrón al núcleoc) La distancia más probable del electrón al núcleo

0

0

2 /2 230

4) 5r a

aa P r e d r e

a

02 /33 00

4) r ab r r e d r

a

0

32 /2

1 30

4) zr a

s

d d zc P r r e

dr dr a

Parte matemática

Distancia media deun electrón al núcleo

7


NotaciNotacióón Espectroscn Espectroscóópicapica

n Símbolocapa l

ml Símbolosub-capa

Not.espectr

Degeneración

1 K 0 0 s 1s 12 L 0

10-1,0,1

Sp

2s2p

4

3 M 012

0-1,0,1-2,-1,0,1,2

SPd

3s3p3d

9



Reglas de SelecciReglas de SeleccióónnNo es posible todas las transiciones de un orbital a otro.Se debe conservar el momentum angular y la paridad delátomo.

l 1 l 1 lm 0, 1

E e V0

0 , 81, 5

3 , 4

1 3 , 6

2 s

1s

3 s4 s

2 p

3 p4 p

3 d4 d 4 f

permitidaprohibida




Orbitales S

nodos

Bolas con el 90% de laprobabilidad


ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoOrbitales p

Nodo en el núcleo

Bolas de orbitales 2p, con el 90% de probabilidadadentro

8



Orbitales 3d


ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoOrbitales 4f


EfectoEfecto ZeemanZeeman

Momento MagnMomento Magnééticotico AIμ

EnergEnergíía Potenciala Potencialde Interaccide Interaccióón Un U BμU

eμ L2 m

m2eμ B

BμmBm2

emBμU BllZ

Si BB coincide con el eje z y Z lL = m


De la Física clásica:


B AcciAccióón de B que obliga an de B que obliga a μμ

aa precesarprecesar alrededor dealrededor de ééll

B

μ

L

dL

L send

d L

d t

dL dt Lsen d B sen dt

2B

L

d B eBB

dt L m

ωL= Frecuencia de Larmor

l LU m La EnergLa Energíía Magna Magnééticaticaestestáá cuantizadacuantizada

9


La energía total es:


0 0 l LE E U E m E0 es la energía coulombiana

La función de onda NO CAMBIA!!

Halle la frecuencia de Larmor y la energía magnética máxima para unelectrón de hidrógeno en el estado n=3, suponiendo que el átomo estáen un campo magnético B= 1,5 T

2 41 1

3 4

9 , 2 7 4 1 01, 5 1, 3 2 1 0 /

1, 0 5 5 1 0B

L B ra d s

3 4 1 12 1, 0 5 5 1 0 1, 3 2 1 0l LU m

23 52,78 10 17,4 10U J eV

NOTA.NOTA.-- La energLa energííaamagnmagnéética puedetica puedeser:ser: ±±22ωωLLhh/(2/(2ππ),),±±ωωLLhh/(2/(2ππ) y 0) y 0


El EspEl Espíín del electrn del electróón (S)n (S)

Uhlenbeck y Goudsmidt, en 1925,postularon la existencia de unmomento angular intrínseco (espín)del electrón. (Estructura fina de H)

El espín está cuantizadocuantizado, s=1/2, s=1/2

43

121

21

S

21

sZ

En el modelo semiclásico ms=±1/2, es elnúmero cuántico de espín para el electrón.

Experimento deExperimento de SternStern yy GerlachGerlach (1922)(1922)

G.E. UHLENBECK -S.GOUDSMIT

EjemploEjemplo Calcule el ángulo entre el eje z y SS1

cos3

zs

S


El EspEl Espíín del electrn del electróónn

La razón giromagnética g=2,00232

2B

s

eg g

m

μ S S

En presencia de un campo magnéticoB,B, el momento magnético total μμ es

2

BL s

eg g

m

μ μ μ L S L S

2z z z B l s

eg m gm

m μ L S

z B l sU B B m gm μ B

La Energía Magnética U es:



Experimento deExperimento de PhippsPhipps y Taylor (1927)y Taylor (1927)

La fuerza media sobre μ en un campo magnético NONOhomoghomogééneoneo es::

zz z

BF

z

10



Experimento deExperimento de PhippsPhipps y Taylor (1927)y Taylor (1927)

Se hace pasar un haz de átomos de hidrógeno provenientes de un horno a 400 K, através de un imán Stern - Gerlach de x=1 m de longitud. Los átomos experimentanun campo B con un gradiente de 10 T/m. Calcule la deflexión transversal de unátomo típico en cada componente del haz, debida a la fuerza ejercida sobre sumomento magnético de espín, en el punto donde el haz abandona el imán

z

z zz S B S

B BUF g m

z z z

2 312 2

3x x

kTM kT

M v v

3

Mt x

k T

22

2 31 12 2 2 , 8 1 0

3 6

zB

zz

BxF x M zz a t m

M k T k T

MRU en x:

MRUV en :z

Equiparticiónde la Energía:

Fuerza media en z:


EfectoEfecto ZeemanZeeman ananóómalomalo

SodioSodio0, 1l sm m

Regla deRegla deSelecciSeleccióónn

1,0

1

j

l


Acoplamiento espAcoplamiento espíínn--óórbita (J)rbita (J)

SLJ

1jjJ 1 1 1,

2 2 2j l l l

jjjjmj ,1,..,1, jmzJ

12l = 1 s = + 1 5

j =2

Se genera un campo magnético B en la posición del electrón debido almovimiento orbital del núcleo. El efecto del campo B sobre el espín delelectrón es desdoblar los niveles de energía, denominado ESTRUCTURAHIPERFINA.


Estructurahiperfina deHidrógeno.

Acoplamiento espAcoplamiento espíínn--óórbitarbita

NO hay campomagnético BBexterno

11


ÁÁtomos con muchos electronestomos con muchos electrones

Dos electrones no pueden tener losmismos números cuánticos (n, l, ml, ms)

Principio de ExclusiPrincipio de Exclusióón den de PauliPauli (1925)(1925)

Ocho partículas que no interactúan entre sí se colocan en una caja cúbicade arista L=0,2 nm. Encuentre la energía mínima del sistema (en eV), si: a)Si son electrones; y b) Poseen la misma masa del electrón pero no cumplenel principio de exclusión

2

2 2 2x y z2

h= n +n +n

8mLx y zn n nSe sabe1p: E

0 111E E 3vecesdegenerado02E

3vecesdegenerado03E

EN

ER

GÍA

2

2 2 22

h= 1 +1 +1 =28,3eV

8mL111E

=2 +3·2 =396,2eV 111 211 121 112 0 0a E=2 E E E E E E

8 =226,4eV111 0b E=8E E



• Zeff es un número real

•n es entero

ApantallamientoApantallamiento

eV13,6nZE 2

effn



Modelo delModelo del áátomo (tomo (hidrogenoidehidrogenoide))

Zee-

r eV13,6nZ

n1

2eμZ

4π1E 2

2

22

42

0n

• No sirve para cálculos cuantitativos,•Ignora la interacción e-e

EjemploEjemplo

SoluciSolucióónn

• El problema más importante es la interacción electrón – electrón (e-e)


ÁÁtomos con muchos electronestomos con muchos electronesPotencial central efectivoPotencial central efectivo

• Mismos valores permitidos delos números cuánticos

•Los valores de la energíadependen de n y de l.

EjemploEjemplo

SoluciSolucióónn

12


Tabla periTabla perióódicadica

litioberilioborocarbononitrógenooxígenofluorneón

LiBeBCNOFNe


Tabla periTabla perióódicadicaRegla deRegla de HundHund


TablaTabla periperióódicadica2 He = 1s2

10 Ne = 1s22s22p6

18 Ar = 1s22s22p63s23p6



Ene

rgía

de

prim

era

ioni

zaci

ón (

kJ/m

ol)

500

1000

1500

2000

2500

8 8 18 18

EnergEnergíía de Ionizacia de Ionizacióónn

13




Bibliografía



)1(L ll lmLZ

1n0,1,2,...,l ll 2,...,1,0,m

Atomo Hidrogeno

Documents

Transcript of Atomo Hidrogeno