Aula-6

Teoria da Relatividade

Restrita - II

Fsica Geral F-428

1

Se, no referencial S, dois eventos esto separados

por uma diferena de coordenada ; e

ocorrem em dois instantes de tempo separados por

, no referencial teremos:

Vemos que as noes de espao e tempo, como entes

independentes, no tm mais sentido; o que temos um ente

nico: o espao-tempo.

Podemos tambm inverter as transformaes acima:

)( tvxx )( 2 xc

vtt

)( tvxx )(2

xc

vtt

As transformaes de Lorentz

H. A. Lorentz (1853 1928)

2

A relatividade das velocidades

Vimos que:

Logo:

Na transformao clssica

de Galileu teramos :

)( tvxx )(2

xc

vtt

Portanto: )( v d td xxd )( 2 dxc

vdttd

21

c

uv

vu

td

xdu

x

xx

vutd

xdu xx(v

Podemos ainda deduzir expresses para as relaes entre

as demais componentes nos outros eixos:

Portanto, a transformao est coerente com o fato da

velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e

nenhuma velocidade poder exced-la.

As transformaes podem ser invertidas, trocando os

ndices com linha sem linha e v por v :

2

2

1

)1(

c

uv

u

td

ydu

x

y

y

2

2

1

)1(

c

uv

u

td

zdu

x

z

z

c

c

uv

vuu

x

xx

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cu x teremos:

A relatividade das velocidades

Se:

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No efeito Doppler do som necessrio distinguir as situaes

em que ele causado pelo movimento da fonte ou do detector.

Isto, porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,

podem ter velocidades relativas a esse. J para a luz, que se

propaga no vcuo, importa apenas a velocidade relativa entre a

fonte e o detector.

O efeito Doppler da luz

Som

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No efeito Doppler do som necessrio distinguir as situaes em

que ele causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto

ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,

podem ter velocidades relativas a esse. J para a luz, que se propaga

no vcuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o

detector.

O efeito Doppler da luz

Fonte v Detector

v a

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No efeito Doppler do som necessrio distinguir as situaes em

que ele causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto

ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,

podem ter velocidades relativas a esse. J para a luz, que se propaga

no vcuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o

detector.

O efeito Doppler da luz

Fonte v Detector

v a

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Se o observador O, em S, descreve o campo

de uma onda eletromagntica, o observador em dever

observar . Pelo princpio da relatividade,

devemos ter invarincia de fase:

tk x txk

)( tvxx )(2

xc

vttEnto, usando que: e

podemos mostrar que:

2c

vkk vke

O efeito Doppler da luz

)s in (),( 0 tk xEtxE

)s in (),( 0 txkEtxE

8

Mas: c

fkk

c ;

1kk 1e

O efeito Doppler da luz

Esta expresso vlida no caso do observador ( f = fobs)

e a fonte ( f = f0) estarem se afastando ( > 0).

1

1ff

Fonte v , f

c

v;

9

Esta expresso vlida no caso do observador (f = fobs)

e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando ( < 0).

Mas: c

fkk

c ;

1kk 1e

1

1ff

O efeito Doppler da luz

Fonte v , f

c

v;

10

;k

Caso o movimento relativo no seja na direo de propagao:

c o s1

Se . Note que aqui a fonte em

movimento emite radiao com frequncia conhecida . 2

2

09 0 1

0

O efeito Doppler da luz

;k

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Fonte

Observador

Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma

velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos:

Em termos dos comprimentos de onda, temos:

Se a estrela estiver se afastando

( v > 0 ) temos 0

Deslocamento da luz

para o vermelho

Se a estrela estiver se aproximando

(v < 0) teremos < 0

O efeito Doppler na Astronomia

Deslocamento da

luz para o azul

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif

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Observaes experimentais

e suas implicaes para a Cosmologia:

Em 1929, Edwin Hubble props que o desvio para o vermelho

observado para as linhas espectrais originadas de tomos de clcio

de galxias distantes era devido ao efeito Doppler:

as galxias estariam se afastando de ns.

possvel medir a velocidade de recesso V de vrias galxias e

Hubble encontrou V = H0 r , com H0 a constante de Hubble =

= 71 4 km/s/Mpc.

Esta a primeira evidncia experimental

da expanso do Universo!