“AUTOMODULACIÓN ÓPTICA EN CRISTALES …
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CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR DE ENSENADA. DIVISIÓN DE FÍSICA APLICADA. DEPARTAMENTO DE ÓPTICA. “AUTOMODULACIÓN ÓPTICA EN CRISTALES FOTORREFRACTIVOS DE SILENITA” TESIS que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de DOCTOR EN CIENCIAS presenta: CARLOS ALBERTO FUENTES HERNÁNDEZ Ensenada, Baja California, México. Junio de 2002.
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CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR DE ENSENADA.
DIVISIÓN DE FÍSICA APLICADA. DEPARTAMENTO DE ÓPTICA.
“AUTOMODULACIÓN ÓPTICA EN CRISTALES FOTORREFRACTIVOS DE
SILENITA”
TESIS que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para
obtener el grado de DOCTOR EN CIENCIAS presenta:
CARLOS ALBERTO FUENTES HERNÁNDEZ
Ensenada, Baja California, México. Junio de 2002.
RESUMEN de la tesis de Carlos Alberto Fuentes Hernández, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de DOCTOR EN CIENCIAS en ÓPTICA. Ensenada, Baja California, México. Junio de 2002.
“AUTOMODULACIÓN ÓPTICA EN CRISTALES FOTORREFRACTIVOS DE SILENITA”
Resumen aprobado por:
_________________________ Dr. Anatolii V. Khomenko F.
Director de Tesis.
Es bien sabido que una iluminación no-uniforme sobre un cristal fotorrefractivo provoca un cambio espacialmente inhomogeneo de su birrefringencia. Esos cambios llevan a la modificación de las distribuciones tanto de intensidad como de polarización de la onda de luz. Debido a que existe modulación de amplitud y polarización simultáneamente provocado por iluminación, podemos decir que el efecto llamado automodulación óptica tiene una naturaleza vectorial. Dicho efecto es importante para muchas aplicaciones de cristales fotorrefractivos, tales como procesamiento de imágenes e interferometría adaptiva de tiempo real. La presente tesis está enfocada a un estudio detallado de este efecto.
La automodulación óptica ha sido estudiada experimental y numéricamente en cristales de la familia de los silenita de BSO y BTO. El estudio numérico se basó en el “Beam Propagation Method” (BPM), el cual se modificó en el presente trabajo para manejar no-linealidad fotorrefractiva, actividad óptica, y la birrefringencia inducida en el cristal por un campo eléctrico alternante externo. La validez de los cálculos numéricos fue verificada por una comparasión detallada entre los resultados de la simulación y los de cada experimento. La simulación numérica de la propagación de la luz en el interior del cristal fotorrefractivo se utilizó para el análisis y la interpretación de los datos experimentales.
Se investigó la automodulación de tres tipos de campos ópticos: haces gausianos, imágenes y patrones de motas. Se observaron tres formas principales para la evolución de los haces gausianos: autodoblamiento dependiente de la polarización, en el cual el cristal puede comportarse como un divisor de haz; automodulación del estado de polarización espacialmente no-uniforme; y un esparcimiento estimulado causado por fuertes gradientes del campo espacio-carga. Se ha demostrado que durante la propagación de una imagen se puede involucrar el enfatizamiento de bordes, lo que puede ser útil para el procesamiento de imágenes. Por otra parte, se ha demostrado que un patrón de motas experimenta la ampliación de su espectro espacial en el interior del cristal, lo cual lleva a la disminución en el tamaño promedio de las motas. Se observó la polarización no estacionaria de un patrón de motas y se propone la aplicación de este fenómeno para las mediciones altamente sensibles y sin contacto del movimiento de superficies rugosas.
Abstract of the thesis of Carlos Alberto Fuentes Hernández, presented as a partial requirement to obtain the DOCTOR in SCIENCE degree in OPTICS. Ensenada, Baja California, México. June 2002.
OPTICAL SELF-MODULATION IN SILLENITE PHOTOREFRACTIVE CRYSTALS
Abstract approved by:
____________________________ Dr. Anatoli V. Khomenko F.
Thesis Director
As it is well known, the non-uniform illumination of a photorefractive crystal provokes a spatially inhomogeneous changes of its birefringence. These changes in turn yield the modification of the polarization and the intensity distributions of the wave. In such a way, light experiences a self-modulation throughout the propagation in the crystal. The self-modulation has a vectorial nature since not only the amplitude but also the polarization of the wave is modulated. The self-modulation effect is important for many applications of photorefractive crystals, such as image amplification, image processing, and real-time adaptive interferometry. The present thesis project is focused on the detailed study of this effect.
The optical self-modulation was studied experimentally and numerically in BSO and BTO crystals of the sillenite family. The numerical study was based on the Beam Propagation Method (BPM), which was modified in the present work to handle the photorefractive nonlinearity, the optical activity, and the crystal birefringence induced by external alternating electric field. The validity of numerical analysis was verified by a detailed comparison between the numerical and experimental results. The numerical simulation of the light propagation in the photorefractive crystals was used for analysis and interpretation of the experimental data.
The self-modulation of three types of optical fields was investigated: The Gaussian beams, the images and the speckle patterns. Three main forms of the Gaussian beam evolution were observed: polarization-dependent self-bending, in which the crystal acts as a nonlinear beam splitter; spatially nonuniform self-modulation of the state of polarization; and a stimulated scattering caused by strong gradients of the space-charge filed. It has been shown that the image evolution involves the strong edge enhancement that can be useful in image processing. It has been shown that the speckle pattern suffers in the photorefractive crystal the widening of the spatial spectra, which leads to decreasing of the average speckle size. The nonstationary polarization of a vibrating speckle pattern was observed and an application of this phenomenon to noncontact and highly sensitive measurements of a rough surface movement is suggested.
DEDICATORIA
A mis padres, quienes han demostrado ser también mis mejores amigos apoyándome y dando ejemplos de
superación.
AGRADECIMIENTOS.
• Al Dr. Anatolii Khomenko, por su invaluable ayuda tanto en lo académico como en lo
personal. Por los conocimientos, atención, tiempo y paciencia dedicados durante la realización
de este proyecto de investigación.
• A los miembros del comité de tesis por las aportaciones dadas a este trabajo.
• A Israel Rocha, por su amistad y tiempo compartido en el grupo de trabajo, y a quien debo
reconocer su valiosa colaboración para obtener muchos de los resultados importantes en esta
tesis.
• A todos mis amigos, más allá del compañerismo que pueda haber, por el apoyo y el ánimo que
siempre supieron implantar en mí para seguir adelante en los momentos difíciles.
• Al Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada por la formación
académica que me ha otorgado.
• Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo económico brindado.
CONTENIDO
Página
I. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................................1 I. 1 Antecedentes .............................................................................................................................6
I. 2 Objetivo y metas ......................................................................................................................8
I. 3 Sinópsis ...................................................................................................................................... 8
II. LAS BASES DE LA AUTOMODULACIÓN FOTORREFRACTIVA .............. 10 II. 1 Los cristales de silenita y otros materiales fotorrefractivos ............................. ...10 II. 2 El efecto fotorrefractivo ................................................................................................... 13 II. 2.1 Formación del campo eléctrico espacio-carga. Modelo de Kuhktarev ... ...14 II. 2.2 Modulación del índice de refracción en un cristal de Silenita de BSO .......22 II. 2.3 Evolución de la amplitud en un medio birrefringente .................................. ..29 II. 2.4 Mezcla de ondas en un cristal fotorrefractivo ................................................. .....33 II. 3 Conclusión del capítulo II .......................................................................................... ....41
III. METODO DE PROPAGACIÓN DE HACES (BPM) ......................................... ...42 III. 1 El algoritmo del BPM .................................................................................................. ..45 III.2 Esc mediante la solución numérica de las ecuaciones constitutivas...............48 III.3 Esc mediante la función de tansferencia de modulación (MTF) .....................51 III.4 Resultados de simulación numérica para la propagación .................................55 III. 5 Conclusión del capítulo III ...........................................................................................57
CONTENIDO (Continuación)
Página
IV. EVOLUCIÓN DE PATRONES EN CRISTALES FOTORREFRACTIVOS (PRC’s) ...................................................................................................................... 58 IV. 1 Evolución de patrones de intensidad unidimensionales .............................. 59
IV. 1. 1. Haz gausiano ..................................................................................... 59 FORMACIÓN DE GRADIENTES DE CAMPO........................... 68 IV. 1. 2. Patrón de difracción de una ranura .................................................. 71
IV. 2. Evolución de patrones de intensidad inhomogenea .................................... 77 IV. 2. 1. Imágenes ............................................................................................ 77 IV. 2. 2. Patrones de motas ............................................................................. 80
IV.3 Conclusión del capítulo IV ............................................................................... 89
V. APLICACIONES ...................................................................................................... 90 V. 1 Procesamiento de imágenes –La función de transmitancia del PRC ............ 92 V. 2 Detección de vibraciones .................................................................................. 97
VI. CONCLUSIONES .................................................................................................. 107
LITERATURA CITADA ............................................................................................... 112
APENDICE A. Programas de Matlab ......................................................................... 123
LISTA DE TABLAS Y FIGURAS
Tabla Página
I Características electro-ópticas para muestras experimentales en donde la luz se propaga en la dirección [110]. 27
Figura Página
1 Niveles de energía y poblaciones para modelar el campo de difusión según Kukhtarev. 14
2 Respuesta de un cristal de silenita a un patrón de distribución de intensidad gausiana. Se ilustran los mecanismos que intervienen para la formación final del campo interno y las regiones de interés en el cristal. 19
3 Distribución de intensidad gausiana y el cambio en el índice de refracción provocado por el efecto fotorrefractivo. La constante a depende de la dirección de aplicación del campo alterno. 29
4 Dos ondas incidiendo y formando un patrón de interferencia en el interior de un medio fotorrefractivo. 33
5 Intensidades de dos haces mezclándose en el interior de un cristal fotorrefractivo, (a) Sin pérdidas α=0; y (b) con pérdidas, α=1 cm-1. 39
6 Ganancia de la señal, g, versus la longitud de interacción, L, para varias razones de intensidad, m. 40
7 Diagrama de flujo para BPM. 46
8 Algoritmo para obtener Esc utilizando la función de transferencia de modulación (MTF). 52
9 Formación de gradientes pronunciados en la zona de mayor intensidad. 54
10 Propagación de ondas superficiales simulada con el BPM. 56
LISTA DE FIGURAS (Continuación)
Figura Página
11 Arreglo experimental para el estudio de cambios en un patron de intensidad en PRC’s. 58
12 Esquema experimental para el estudio de la propagación de un solo haz gausiano. 61
13 Intensidad de la luz en campo lejano para diferentes campos eléctricos. (a) Imágenes experimentales; (b) Resultados de simulación numérica. 62
14 Imágenes del haz en el plano de salida del cristal fotorrefractivo. (a) y (b) son resultados experimentales para polarización paralela y ortogonal a la dirección del campo aplicado, respectivamente, (c) y (d) son los resultados correspondientes obtenidos con el cálculo por BPM. 63
15 Simulación numérica de la propagación de un haz gausiano en un cristal BSO con campo aplicado en los ejes cristalinos [001]. (a) – (d) muestran la intensidad de las dos componentes de polarización durante los semiciclos positivo y negativo, respectivamente; (e) la intensidad de la componente de polarización paralela a la dirección del campo eléctrico; (f) La intensidad total. La línea vertical blanca indica la dirección de propagación. 64
16 Imagen calculada con las mismas condiciones que en la figura 15, pero con el campo aplicado en [1 –1 0] y la cintura del haz de 100 µm. 67
17 Resultados para la evolución temporal de la distribución de intensidad, el campo interno en el SC positivo y la concentración total de cargas. 69
18 Condiciones para SC positivo y negativo. 70
19 Acumulación de carga. 70
20 Esquema experimental para el estudio de la evolución de un patrón de difracción en un cristal fotorrefractivo. 73
21 Distribuciones de intensidad en la cara de salida de un cristal BSO. (a) y (b) Patrones formados al aplicar Eo = 0 kV/cm y Eo = 25 kV/cm, respectivamente; (c) y (d) Promedio de intensidad en la dirección X para los casos en (a) y (b) respectivamente. 74
LISTA DE FIGURAS (Continuación)
Figura Página
22 Distribuciones de intensidad en la cara de entrada de un cristal BSO. (a) y (c) muestran el objeto visto a través del cristal, Eo = 0 kV/cm. (b) y (d) muestran la redistribución de la intensidad cuando Eo = 25 kV/cm. 75
23 Evolución de un patrón de difracción en un cristal fotorrefractivo. (a) Simulación numérica; (b) Ilustración. 76
24 Ilustración del método de estudio de la propagación de una imagen en un cristal fotorrefractivo, el cual incluye una parte experimental y cálculos por simulación numérica. 78
25 Objeto visto a través de un cristal de BTO cuando Eo=12.5 kV/cm. Respuesta con distribución de intensidad simétrica. 78
26 Objeto visto a través de un cristal de BTO cuando Eo=25 kV/cm. Respuesta con distribución de intensidad asimétrica. 79
27 Esquema del arreglo experimental para el estudio de un patrón de motas en un cristal fotorrefractivo. S es un difusor; D1 y D2 son diafragmas que permiten controlar el ancho de banda y tamaño de la imagen, respectivamente. 81
28 Patrón de motas unidimensional grabado en la cara de salida de un cristal de BSO. (a) E0 = 0; (b) E0 = 25 kV/cm; (c) y (d) distribución de intensidad en la horizontal para las imágenes mostradas en (a) y (b), respectivamente. 82
29 (a) Imagen calculada en la cara de salida del crystal; (b) Distribución de intensidad sobre la horizontal. 83
30 Distribución de intensidad simulada a lo largo del cristal. (a) La intensidad total; (b) la intensidad de la componente de amplitud con polarización vertical. 85
31 Gradiente normalizado del campo espacio-carga para diferentes amplitudes de campo externo. 86
32 Simulación numérica de la propagación de un patrón de motas con tamaño promedio de 50 µm. (a) Intensidad total; (b) Intensidad de componente con polarización horizontal; (c) Intensidad de componente con polarización vertical. 87
LISTA DE FIGURAS (Continuación)
Figura Página
33 Simulación numérica. Distribución de intensidad a la salida del cristal, campo interno para el semiciclo positivo, y distribución de cargas.. 88
34 Espectro espacial de un patrón de motas transmitido a través de un cristal de BTO. 93
35 Datos experimentales: Ganancia en función de la frecuencia espacial. 93
36 Distribución de intensidad en la cara de entrada del cristal. (a) En ausencia del campo externo; (b) En presencia del campo externo. 96
37 Imagen vista a través del cristal de BTO. (a) Simulada; (b) Experimental, E0 = 15 kV/cm. 96
38 Patrón de motas: (a) En la entrada de un cristal fotorrefractivo. (b) La propagación en el interior del cristal. 99
39 Variación del campo total interno considerando los valores positivo y negativo del campo de c.a. externo. 102
40 Longitud de batido en función del campo externo aplicado a un cristal de BSO. 102
41 Arreglo experimental para estudiar la luz de un haz vibrando en un cristal fotorrefractivo. 104
42 Copia de la pantalla del osciloscopio digital empleado en el experimento. Trazo 1 (Ch1), voltaje aplicado con amplitud de 1.25 kV y frecuencia de 53 Hz; trazo 2 (Ch2), señal eléctrica aplicada a la bocina con una frecuencia de 1.17 kHz; trazo 3 (Ch3), intensidad de luz medida en el fotodiodo. 104
43 Dependencia de la profundidad de modulación de la corriente en el fotodiodo con respecto a la amplitud de vibración obtenida para un patrón con motas de tamaño promedio de 30 µm. 105
“AUTOMODULACIÓN ÓPTICA EN CRISTALES FOTORREFRACTIVOS DE
SILENITA”
I. INTRODUCCIÓN
Si iniciamos una plática del comportamiento de la luz en algún medio, es inevitable tener que
hablar del índice de refracción del mismo. Denotado por n , éste es una propiedad del material que
nos relaciona la velocidad de la luz local, v, con la velocidad en el vacío, c, de manera que n = c/v.
Dicho de otra manera, la luz se propaga a diferentes velocidades en diferentes materiales, más aún,
en un mismo material ésta puede tener diferentes comportamientos si el índice de refracción no es
uniforme espacialmente. Los cambios que sufre una distribución de intensidad luminosa
inicialmente conocida, observados a la salida de cierto material, son consecuencia del caso en que el
índice de refracción n tuvo una dependencia de las coordenadas durante el experimento. En la
década de los sesentas se inició a experimentar con algunos cristales que causaban cierto daño a la
luz que se propagaba en ellos, por este motivo los primeros reportes en la literatura sobre este tema
(A. Ashkin et al, 1966) aparecen con términos como “daño óptico”. A lo largo de la historia
sabemos que nuestro comportamiento como humanos es tal que si sabemos que algo existe
entonces lo investigamos. Así, aunque inicialmente se le consideró como un efecto parásito a lo
largo del tiempo se ha ido desarrollando un gran interés en él y ahora se le conoce como efecto
2
fotorrefractivo. Por qué? Bien, la razón del nombre resulta relativamente fácil de comprender
cuando asociamos los términos luz e índice de refracción. Una distribución de intensidad no
uniforme en un medio fotorrefractivo afecta el índice de refracción local, produciendo nuevas
condiciones de propagación para la luz (Yeh, 1993), esto es en esencia la definición del efecto
fotorrefractivo, en él intervienen varios mecanismos para los cuales se tienen que cumplir, entre
otras cosas, que el medio sea fotoconductor, que tenga la capacidad de mantener una distribución
de cargas fijas en su interior y además que a partir del campo eléctrico formado por esa distribución
de cargas se produzca un cambio en el índice de refracción. Ahora, regresando un poco, si en
nuestra respuesta a la pregunta “por qué?” debemos referirnos al interés que ha tenido el efecto en
estos años, además de mencionar el descubrimiento de nuevos materiales tales como los polímeros
fotorrefractivos, de fácil fabricación y comportamiento eficiente, quizá también tengamos que
hablar de algunas aplicaciones que hasta ahora han habido.
Un cristal fotorrefractivo (conocido como “PRC” por sus siglas en inglés) es un medio versátil
desde el punto de vista de sus aplicaciones, entre ellas se han propuesto sistemas para el
procesamiento de imágenes en 2D, utilizados como memorias dinámicas para la operación
aritmética de imágenes (por ejemplo ver Denz et al., 1996), también como filtros dinámicos para el
énfasis de bordes, cambios de contraste y manejos de señales de baja intensidad (ver por ejemplo
Lasprilla et al., 1996). La cantidad de aplicaciones aumentó cuando se utilizó la conjugación de fase
para la corrección de frentes de onda en láseres de alta potencia. Por otra parte, aunque desde hace
tiempo se han propuesto para la detección de señales, por ejemplo de vibraciones (Yamaguchi,
1981) y en sensores acústicos (Hall et al., 1980), ahora este uso en la detección (principalmente en el
caso de vibraciones), el almacenamiento de información (por ejemplo en redes neuronales), y su
participación en sistemas de comunicación, representan en la actualidad sus mayores
3
potencialidades de aplicación. Por ejemplo, en configuraciones con fibra óptica para
comunicaciones coherentes (Celis et al., 1998), se han propuesto para el tratamiento de las señales
que se han propagado largas distancias en fibras que no preservan la polarización, resolviendo el
problema de cambios de fase que regularmente es uno de los más importantes en este tipo de
sistemas (Agrawal, 1992). Si bien la solución se puede dar con otras técnicas (Noe et al., 1991), éstas
resultan demasiado complicadas, reducen la tasa de transmisión de datos, y quizá sean hasta
irrealizables. Las técnicas fotorrefractivas en este caso son simples y no afectan el desempeño del
sistema, éstas pueden basarse en la detección adaptativa con hologramas dinámicos (Hall et al., 1980;
Davidson et al., 1994), o en la utilización del efecto foto-EMF (Petrov et al.., 1990). En general
podemos decir que estas bases no son exclusivas del caso de comunicaciones ópticas, y a lo largo de
toda una lista de aplicaciones (Günter et al., 1989; Petrov et al., 1991; Solymar et al., 1996), podemos
notar que los cambios de una señal son observables ya sea a partir de la señal óptica proveniente del
cristal (véase por ejemplo Yeh, 1993) o bien, mediante la utilización de dicho efecto foto-EMF, el
cual es una corriente eléctrica obtenida de la interacción de la luz con el medio (Trofimov et al.,
1986; Petrov et al., 1986).
En cada sistema propuesto es posible distinguir una característica común, ésta es que al paso de
la luz, el medio modifica recíprocamente tanto sus propiedades mismas como las propiedades de la
luz incidente. En otras palabras, la luz experimenta cambios a su paso por el medio que son
consecuencia de los cambios que ella provocó en las condiciones de propagación; a estos cambios
en la luz les llamamos automodulación óptica. La automodulación es la modulación que un haz hace
sobre sí mismo, un haz formado por una onda que no sea plana puede descomponerse en vaias
ondas planas con diferente amplitud y dirección de propagación, y la interacción entre estas ondas
es la que da lugar a la automodulación. Esto hace que el perfil de un patrón tenga una gran
4
importancia al momento de considerarla. Por simplicidad podríamos tomar casos en donde se
tengan perfiles suaves; ahí tendríamos pocas ondas diferentes interactuando, sin embargo como
resultado tendríamos un efecto menos pronunciado que en el caso en donde existan perfiles
abruptos, ahí habría muchas ondas diferentes. Esa interacción en el interior del medio determina los
cambios en el índice de refracción, por eso podemos decir que la automodulación óptica está
íntimamente relacionada con el efecto fotorrefractivo, el cual se da por la simple presencia de una
cierta distribución de intensidad luminosa (Yeh, 1993). Si profundizamos más, es importante indicar
que se puede dar dos tipos de no-linealidad fotorrefractiva, una producida principalmente por el
mecanismo de difusión de las cargas y la otra por el mecanismo de deriva debido a la presencia de
un campo eléctrico. Para ambos casos existe un buen número de aplicaciones y por lo tanto
cualquiera de ellos significa un buen argumento para su investigación. Si continuamos con el
argumento anterior y pensamos en el manejo de señales ópticas de baja intensidad, entonces
podemos justificar el uso de los cristales de la familia silenita (Bi12TiO20 o BTO, Bi12SiO20 o BSO y
Bi12GeO20 o BGO), ya que a pesar de tener un tiempo de respuesta relativamente largo en
comparación con otros materiales no-lineales, presentan no-linealidad fotorrefractiva con señales
ópticas de baja intensidad (del orden de 10-6 W/cm2). Los cristales de silenita logran el cambio de
índice de refracción valiéndose de un proceso en el cual finalmente se involucra un efecto electro-
óptico lineal, desencadenado por un campo interno espacio-carga; en cambio, para casos en donde
la no-linealidad no es fotorrefractiva el proceso es debido directamente al campo eléctrico de la luz,
el cual debe ser muy fuerte y entonces en esos experimentos es común trabajar con intensidades de
hasta 106 W/cm2, este último es un proceso no lineal clásico y regularmente se da mediante el
efecto Kerr, obteniendo tiempos de respuesta mucho más cortos.
5
La dependencia hacia la no-uniformidad espacial y el bajo consumo óptico para lograr la
modulación del índice de refracción son características que distinguen al efecto fotorrefractivo de
otros efectos no lineales comunes que ocurren bajo intensidades espacialmente uniformes
(Bloembergen N. 1965; ShenY. R. 1984). La respuesta a los gradientes de intensidad corresponde a
una respuesta no local del material tanto en tiempo como en espacio; el máximo cambio óptico
inducido en el material no ocurre instantaneamente y tampoco necesariamente se localiza donde el
estímulo de la luz es un máximo. La respuesta no local ocurre porque las cargas se mueven y son
almacenadas dentro del material fotorrefractivo, haciendo posible integrar y almacenar el estímulo
óptico sobre el tiempo. El tiempo de integración reduce significativamente la intensidad incidente
necesaria para producir los cambios ópticos en el material.
En este punto, una vez descritas brevemente algunas características del efecto y materiales
fotorrefractivos podemos decir el por qué en algunas de las aplicaciones ya mencionadas resulta
como mejor elección este tipo de materiales. Trabajar con irradiancias bajas es un pre-requisito para
aplicaciones en procesamiento óptico de imágenes y cálculos ópticos con consumos de baja
potencia. Sabemos que el precio que se paga por la operación a bajos niveles de luz es la
disminución en velocidad; sin embargo existen diferentes materiales fotorrefractivos y condiciones
de operación que pueden dar un rango de velocidad para las operaciones que se extiende por
muchos órdenes de magnitud desde los nanosegundos y picosegundos hasta horas o más (Valley G.
C et al. 1986; Chen C. T et al. 1980; Smirl A et al. 1989; PauliatG y Roosen G. 1990; Disdier L y
Roosen G. 1992). Los materiales más rápidos se emplean en procesamiento de información óptica
en tiempo real, mientras que los materiales más lentos se utilizan para las aplicaciones de memorias
ópticas (Chen F. S et al. 1968; Staebler D. L y Amodei J. J., 1972; Micheron F et al. 1974). El amplio
6
rango del efecto, materiales y aplicaciones ha sido descrito en muchas publicaciones (Günter P.
1982; Hall T. J et al. 1985; Feinberg J. 1988).
Una respuesta a los gradientes puede tener aplicaciones importantes, tal como detección de
bordes e imágenes. Sin embargo, uno de los usos primordiales de los materiales fotorrefracitivos se
encuentra en holografía (Hariharan P. 1984). En holografía, la imagen de un experimento puede ser
entendida como patrones de intensidad sinusoidales que tienen derivadas espaciales bien definidas.
Por tanto, un medio fotorrefractivo, el cual responde específicamente a las derivadas espaciales de la
intensidad de la luz, es un material perfecto para holografía dinámica y sus muchas aplicaciones. La
holografía dinámica involucra la formación de rejillas inducidas por luz en un material óptico no
lineal. Los haces difractados desde las rejillas actúan para regenerar la imagen arriba mencionada sin
necesidad de lentes, y bajo circunstancias especiales (llamada conjugación de fase) pueden remover
aberraciones en dicha imagen.
I.1 Antecedentes
El estudio de la propagación de luz en cristales de silenita con no-linealidad fotorrefractiva tipo
difusión presenta diversas dificultades, ya que además de tomar en cuenta las condiciones para
lograr dicho tipo de transporte de cargas, se tiene que tomar en cuenta la actividad óptica y el
tratamiento conjunto de formación del campo interno y propagación. Además, debido a las bajas
intensidades y muchas veces a la calidad de las muestras es difícil observar directamente la evolución
de la luz en su interior. En estas condiciones, paralelamente al avance obtenido en el estudio
fotorrefractivo analítico y experimental, también se ha ido desarrollando el campo de la simulación
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numérica, la cual además de proporcionar el resultado final de la propagación, permite ilustrar los
cambios de la luz en el interior del cristal. Desafortunadamente, como se mencionaba al inicio, el
caso es difícil y tanto el tratamiento analítico como la simulación numérica pueden llegar a contener
consideraciones que sobrecarguen el análisis, complicando el tratamiento físico y matemático asi
como también ocupando un mayor tiempo de cálculo.
Por otra parte, en la literatura existe el reporte de que una de las formas de enfatizar la no-
linealidad tipo difusión es con la aplicación de un campo eléctrico externo alternante (Stepanov y
Petrov, 1985), y entonces resulta interesante estudiar lo que sucede cuando éste es del orden de
decenas de kV/cm. Actualmente existen pocos trabajos en la literatura que se dan en estas
condiciones; entre otras causas esto lo podemos atribuir a que en el caso experimental se deben
tener muestras muy delgadas, con buena calidad óptica, y fuentes de alto voltaje a la vez.
Las condiciones de fuertes campos eléctricos externos (decenas de kV/cm), del efecto del
perfil de intensidad, y de las propiedades de los cristales de silenita, han producido resultados, como
se predijo, interesantes. Así, como un antecedente inmediato al presente trabajo de investigación se
puede mencionar el estudio de la propagación de un haz gausiano (Fuentes-Hernández y
Khomenko, 1999), en donde entre otras cosas se reporta por primera vez, la observación de
automodulación de la polarización de la luz, fenómeno utilizado principalmente en aplicaciones de
detección de vibraciones. En ese trabajo se aborda la existencia de dicha automodulación de
polarización, pero no se profundiza en su física. Por otra parte existen estudios numéricos de la
formación de los fuertes gradientes de índice de refracción que se dan en el interior del cristal (Calvo
et al., 2000), pero en pocos de ellos se trata este problema simultáneamente con la propagación de la
luz en estas condiciones.
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I.2 Objetivo y metas
El objetivo principal es el estudio de la automodulación óptica en cristales con no linealidad
fotorrefractiva tipo difusión sometidos a fuertes campos externos. Se incluyen los efectos de la
actividad óptica, la birrefringencia inducida por la aplicación del campo externo alternante y la
orientación del cristal. Se considera la propagación de patrones de luz con diversos espectros de
frecuencias espaciales y entonces se desea conocer claramente la evolución de las distribuciones de
intensidad y del estado de polarización dentro del cristal.
Una de las metas es establecer una metodología para la investigación de la automodulación de
la luz, formada principalmente por un proceso sistemático experimental y por una simulación
numérica; en esta última, involucrar los efectos de la formación del campo total interno
simultáneamente con los efectos de la propagación. Otra meta es sugerir las aplicaciones que
pueden tener los resultados de la investigación.
I.3 Sinópsis
Dividimos el texto de la tesis en cinco partes principales: bases teóricas, simulación numérica,
estudio experimental, aplicaciones y conclusiones generales. Estas cinco partes contenidas en cinco
capítulos. Después del primer capítulo como introducción general, iniciamos con una reseña de la
teoría relacionada con nuestro trabajo (capítulo II), en donde se describe el efecto fotorrefractivo y
la mezcla de ondas. Durante el capítulo II se analiza parte de lo existente acerca de la modulación
del índice de refracción en base al modelo de formación de un campo eléctrico interno y, por otro
9
lado, se analiza también la modulación de la birrefringencia basada en el modelo matricial propuesto
por Yariv. La parte original de nuestro trabajo y la aportación esperada al área inicia con el capítulo
III. Aquí es un buen punto para recordar que una de las metas de la Tesis es relacionar directamente
la propagación de la luz y el propio efecto fotorrefractivo. Con el capítulo III realizamos esto de
forma numérica, calculamos el campo interno espacio-carga y además la propagación, lo hacemos
basados en una extensión del método de propagación de haces (BPM) adecuado al caso
fotorrefractivo de los silenitas. De hecho, se proponen dos métodos para calcular el campo interno,
por medio de: a) la función de transferencia de modulación, y b) solución de las ecuaciones en el
modelo de Kuhktarev, obteniendo de esta última información de la evolución temporal del campo
eléctrico espacio-carga. En el capítulo IV, utilizamos algunas condiciones sugeridas tanto por la
parte teórica como por la parte numérica y analizamos, incluyendo su parte experimental, la
evolución de distribuciones de intensidad con diferente contenido espectral. Encontramos desde la
filamentación de un solo haz gausiano, pasando por la amplificación de patrones de difracción e
imágenes, hasta el enfatizamiento asimétrico del espectro espacial de un patrón de motas, de los
cuales algunos son fenómenos que sólo se pueden explicar considerando la formación del campo
total interno y a la propagación de la luz simultáneamente. Aprovechamos algunas de estos
resultados y en el capítulo V sugerimos dos aplicaciones: 1) procesamiento de imágenes, obteniendo
y utilizando la función de transmitancia del cristal fotorrefractivo; y 2) detección de vibraciones
utilizando la automodulación. Finalmente (capítulo VI), realizamos las conclusiones generales a la
automodulación óptica en cristales fotorrefractivos de silenita de acuerdo con las principales
aportaciones del presente trabajo.
10
II LAS BASES DE LA AUTOMODULACIÓN FOTORREFRACTIVA
La investigación llevada a cabo sobre el efecto fotorrefractivo durante más de 30 años ha dado
como resultado las bases del mismo. El propósito de este capítulo es dar a conocer algunas de esas
bases, las cuales han servido como principio para la investigación de la automodulación. Una vez
que en el capítulo de introducción ya dimos algunas características básicas de los materiales
fotorrefractivos, la siguiente sección concluye con la justificación del uso de los cristales de silenita
para nuestra investigación. Después de esto, se describirá la física y los modelos matemáticos
relacionados tanto con la formación del campo eléctrico interno como con la modulación del índice
de refracción; lo anterior equivale a dos secciones. Por último, pero no por menos importante,
tratamos el acoplamiento de energía entre dos haces en un material fotorrefractivo. La reseña teórica
en este capítulo debe dejar las condiciones necesarias para dejar en claro los razonamientos llevados
a cabo en los capítulos siguientes, a lo largo de los cuales se implica la parte original de nuestra
investigación y se obtienen las metas perseguidas.
II.1 Los cristales de silenita y otros materiales fotorrefractivos
El empleo de los materiales fotorrefractivos debe depender de las necesidades que el sistema
óptico demande. Una rica variedad de materiales fotorrefractivos y desarrollos fotorrefractivos, que
11
permiten diseñar materiales que satisfacen funciones específicas, hacen que la investigación en
materiales fotorrefractivos sea excitante y fructífera. Actualmente se investigan las propiedades
fotorrefractivas de nuevos materiales (sensibilidad, tiempo de grabación, tiempo de borrado,
operación a temperatura ambiente, etc). Estos materiales pueden ser compuestos inorgánicos
básicos dopados con diferentes impurezas (Kaczmarek M. y Eason R. W., 1995), o bien, nuevos
polímeros orgánicos complicados (Sutter K. y Gunter P. 1990; y Driemeier W. y Brockmeyer A.,
1986).
Los materiales fotorrefractivos deben presentar varias propiedades físicas simultáneamente; por
citar algo, los materiales fotorrefractivos deben tener una fotoconductividad apreciable para permitir
que las cargas se separen y formen campos eléctricos espacio-carga. Concentraciones suficientes de
estados asociados con defectos en la red son escenciales para el proceso fotorrefractivo porque ellos
dan los sitios para el atrapamiento de cargas. Cuando las trampas son insuficientes, los campos
espacio-carga y las rejillas ópticas están limitadas en magnitud. Al mismo tiempo, los materiales
fotorrefractivos deben ser aislantes o semiconductores semi-aislantes, de otra manera el exceso de
portadores libres apantallaría la carga espacial atrapada. El efecto electro-óptico determina por
último la magnitud de las rejillas inducidas por la iluminación. Oxidos ferroeléctricos, tales como el
BaTiO3, KNbO3 o SrBaNbO3, tienen un gran efecto electroóptico lineal que los hace atractivos para
aplicaciones fotorrefractivas (Nolte D. D. 1995).
En el caso de los ferroeléctricos (LiNbO3 , BaTiO3, SBN, etc.), los cuales se utilizan en la
actualidad, sabemos que presentan una alta no-linealidad fotorrefractiva y la posibilidad de producir
una fuerte interacción entre ondas. Desafortunadamente, los materiales ferroelectricos se ven
limitados para aplicaciones prácticas debido a su tiempo de respuesta largo, mientras que los
12
materiales semiconductores (GaP y CdTe) y la familia de los silenitas (BSO, BTO y BGO) se están
utilizando con mayor frecuencia, debido a que se aplican en campos que actualmente están teniendo
mayor atención (comunicaciones y detección de señales).
Los cristales de la familia silenita se pueden obtener mediante el crecimiento por la técnica de
Czochralski (BSO, BGO) y por medio de cristalización desde soluciones de alta-temperatura (BTO),
logrando muestras de buena calidad óptica y un buen contenido de defectos puntuales intrínsecos,
los cuales son importantes para el desempeño fotorrefractivo.
En este trabajo utilizaremos cristales de silenita, por lo cual es importante enmarcar algunos
detalles. Dichos cristales están contenidos en el grupo de simetría puntual 23, los silenitas son
ópticamente isotrópicos si no se aplica un campo eléctrico. Con un campo aplicado, existe una
birrefringencia inducida por el efecto Pockels. Estos cristales, además, son ópticamente activos. El
poder rotatorio depende de la longitud de onda de la luz incidente, por ejemplo, para el BSO se
tiene ρ = 22 °mm-1 en λ = 633 nm, y ρ = 40 °mm-1 en λ = 532 nm. El poder rotatorio del BTO es
significativamente menor, siendo ρ = 6.5 °mm-1 en λ = 633 nm.
Debido al efecto fotorrefractivo, en donde están involucrados el campo espacio-carga, la
birrefringencia inducida y la actividad óptica, los estados de polarización de la luz difractada,
incidente y esparcida son todos diferentes. Esto tiene la ventaja de que el ruido esparcido
coherentemente puede ser suprimido por un polarizador orientado apropiadamente en el plano
imágen difractado, mejorando la razón señal-ruido. Por ejemplo, en casos donde es importante la
actividad óptica, la difracción de Bragg de una rejilla de fase de volumen grabada en un cristal con
esa actividad puede ser menor que el indicado por la teoría clásica de Kogelnik para medios de
13
almacenamiento sin ella (Kogelnik H., 1969). Los silenitas tienen varios parámetros que se adecúan a
las necesidades de varias aplicaciones, por ejemplo, la fotoconductividad es extremadamente grande
y la conductividad en obscuro es bastante pequeña y permite mayor tiempo de almacenamiento. La
eficiencia cuántica puede ser tan alta como 0.7 para λ = 514 nm (Cheng 1993) y la longitud de
arrastre para campos relativamente pequeños está en el orden de micrómetros, ésta es la longitud
óptima para grabación holográfica.
II.2 El efecto fotorrefractivo
En escencia, podemos definir al efecto fotorrefractivo como aquel que lleva al cambio en el
índice de refracción local debido a la presencia de una distribución de intensidad no-homogénea en
el material. Siendo más específicos, para que el efecto se lleve a cabo debe existir la siguiente serie de
etapas: Fotogeneración, transporte de carga (redistribución espacial), atrapamiento, generación de un
campo eléctrico, y cambios en el índice de refracción dados por el efecto electro-óptico.
Vamos a describir la física del proceso fotorrefractivo. Para lograr el efecto es de suma
importancia contar con niveles de energía en la banda prohibida del material. En el caso de un cristal
de BSO esto se asocia con los defectos de la red, comunmente relacionados con la ausencia de
átomos de óxigeno en el silenita; la existencia de tales defectos tiene consecuencias similares a la
adición de átomos de impurezas en el caso de cristales ferroeléctricos. Ya sea por defectos en la red
o por cualquier otro mecanismo, en la banda prohibida deben aparecer los niveles de energía
correspondientes a los donadores y aceptores resultantes. Esta característica del material es
14
imprescindible para desencadenar el proceso a través de las etapas mencionadas en el párrafo
anterior.
II.2.1 Formación del campo eléctrico. Modelo de Kukhtarev
Ahora veremos el modelo físico que nos lleva a las expresiones que involucran a los parámetros
del medio fotorrefractivo. Con él describimos las primeras etapas en que podemos dividir al efecto
(fotogeneración, transporte de cargas, atrapamiento y formación del campo eléctrico interno). El
tratamiento del proceso se realiza en un modelo básico con dos niveles de energía y propone que el
campo interno es debido solamente a un tipo de portadores de carga, los cuales pueden suponerse
como electrones.
Figura 1. Niveles de energía y poblaciones para modelar el campo de difusión
según Kukhtarev.
El proceso lo podemos explicar con ayuda de la figura 1. Suponemos que el material contiene
un número de átomos o defectos relacionados con los niveles aceptores, N A , y un número total de
átomos o defectos relacionados con los niveles donadores, N D0 , por unidad de volumen, con
N NA D⟨⟨ 0 . Suponemos también que inicialmente N D0 es la cantidad total de electrones que se
15
encuantran en el nivel de energía de los donadores. La figura 1(a) muestra una aproximación del
diagrama de bandas de energía para el material; en ella se ilustran, además de las bandas de
conducción y de valencia, los niveles de energía de donadores y aceptores. Además, suponemos que
los niveles correspondientes a los aceptores se llenan completamente al ser ocupados por los
electrones propios de una parte de la cantidad total de los donadores, y que esos niveles de aceptores
no pueden ser ionizados por efectos térmicos u ópticos. Así, con una temperatura T = 0 y en
ausencia de un campo óptico, cada unidad de volumen del cristal contiene N A donadores
ionizados, N A electrones ligados a aceptores, y N ND A0 − electrones ligados a donadores que
pueden participar en una fotoexitación. Los electrones pueden ser excitados térmica u ópticamente
desde los niveles de donadores hacia la banda de conducción (figura 1(b)). Sea ne , N D+ , y N D la
densidad en número de electrones en la banda de conducción, número de electrones ligados a
aceptores y número de electrones ligados a donadores no ionizados, respectivamente.
Si el material fotorrefractivo es expuesto a luz con una cierta intensidad I x( ) que varía en la
dirección x , los portadores libres se generarán por excitación desde el nivel de donadores, esto en
una razón proporcional a la potencia óptica. La absorción de un fotón en la posición x da la energía
suficiente a uno de los electrones en el nivel de donadores para llevarlo hasta la banda de
conducción. La generación de cargas comunmente es asociada con la fotoionización de defectos
dentro del material, aunque materiales fotorrefractivos avanzados presentan la fotogeneración desde
moléculas orgánicas especiales incorporadas en polímeros (Nolte D. D., 1995). En el caso de
nuestro modelo, consideramos que la cantidad de fotoionización es proporcional tanto a la
intensidad óptica como al número de electrones en el nivel de donadores. Así, si además existe una
contribución térmica, la generación total de portadores libres G x( ) es
16
G x s I x N ND D( ) [ ( ) ( )= + − +β] 0 (1)
donde s es una constante conocida como la sección transversal del proceso de fotoionización y β
es la razón de generación térmica. De esta forma, puesto que la intensidad no es uniforme, la
densidad de electrones excitados también no es uniforme.
Enseguida los electrones tienden a difundirse desde las posiciones de alta concentración hacia
las de baja concentración. Después los electrones libres son “atrapados” por centros ionizados en
otras posiciones y relajan su energía hasta el nivel correspondiente a los donadores ionizados. En los
lugares donde son atrapados estos electrones ahora existe una carga negativa de acuerdo a una
cantidad que es proporcional a su densidad n xe ( ) , y a la densidad de donadores ionizados N D+
(trampas), así que la recombinación, la cual es proporcional a las cantidades anteriores, es
R x n x Ne D( ) ( )= +γ (2)
donde γ es la sección transversal del proceso de “atrapamiento”. El atrapamiento se da en sitios de
defectos que están disponibles (vacíos) para atrapar portadores de carga. Decimos entonces que la
variación de la población de electrones en cada nivel está dada por las ecuaciones (Boyd, 1992)
∂∂
γNt
s I N N n NDD D e D
++ += + − −[ ( )β] 0
(3)
y
∂∂
∂∂
nt
Nt e
e D= + ∇ ⋅+ 1
( )j(4)
donde − e es la carga del electrón y j es la densidad de corriente eléctrica total. Esta ecuación
indica que la concentración de electrones móviles puede incrementarse en cualquier región pequeña
17
ya sea por la ionización y atrapamiento de átomos donadores o por el flujo de electrones dentro de
la región. En condiciones de estado estacionario (∂ ∂t = 0 ) tenemos un balance entre la generación
de portadores libres y el atrapamiento, G x R x( ) ( )= , así que la ec. (3) queda como
[ ( ) ( ) ( )s I x N N n x ND D e D+ − =+ +β] 0 γ (5)
de donde
n xs I x N N
NeD D
D( )
[ ( ) ( )=
+ − +
+
β] 0
γ
(6)
Lo cual nos describe una distribución espacial de carga no uniforme, y que tiene que ver en la
formación de un campo eléctrico dependiente de la posición E x( ) . Este campo eléctrico espacio-
carga es una distribución no homogenea que puede permanecer por un periodo de tiempo aún
después de que la luz es removida.
El flujo total de corriente j se forma por el movimiento de los electrones que se encuentran
arrastrados o en deriva, los electrones en difusión y por la contribución fotovoltaica, entonces se
puede representar como:
phjEj +∇+= )()()( xneDxxne eeeµ (7)
donde µ e es la movilidad de los electrones, D es la constante de difusión (la cual por la relación de
Einstein es igual a k T eB eµ ), y jph es la contribución fotovoltaica que resulta de la tendencia, en el
proceso de fotoionización en cristales anisotrópicos, de llevar los electrones en una dirección
preferencial. Para algunos materiales, tales como el titanato de bario (BaTiO3) o el óxido de bismuto
18
y de silicio (Bi12SiO20 o BSO), esta contribución es despreciable, en cambio para otros, tal como el
niobato de litio (LiNbO3) es muy importante (Boyd, 1992). Para un cristal de silenita:
)()()( xneDxxne eee ∇+= Ej µ . (8)
Por último, el campo eléctrico E queda determinado a partir de la ecuación de Gauss:
)(0 eAD nNNe −−=∇ +Eεε . (9)
En resumen, el modelo propuesto para tratamiento fotorrefractivo se resume en el sistema de las ecs
(3), (4), (8) y (9). Recordemos que este es un modelo que considera sólo un tipo de portadores
(electrones) y de dos niveles de energía relacionados con los niveles de donadores y aceptores
respectivos. Por otra parte, algunos autores (Kamshilin A. A. y Petrov M. P., 1981; Stohkendl F. P. y
Hellwarth R. W., 1987; y Bashaw M. C et al. 1992) describen la formación simultanea de rejillas
dadas tanto por huecos como por electrones durante la grabación de un holograma. También la
existencia de tres rejillas simultaneas ha sido reportada (Kamshilin A. A., 1992). Dos de ellas tienen
naturaleza fotorrefractiva pero difieren, entre otras cosas, en sus características temporales, y son
construidas a partir de la redistribución de electrones y huecos en trampas profundas. La tercer rejilla
está relacionada con la absorción. En nuestro caso utilizamos el modelo de un solo tipo de
portadores debido a su simplicidad y la concordancia entre los resultados numéricos obtenidos al
emplearlo y los resultados obtenidos en el laboratorio, emplear otros modelos debe producir los
mismos resultados pero su empleo complicaría nuestros cálculos.
El campo que aparece en la ec. (9) es el campo eléctrico estático (o posiblemente de baja
frecuencia) que aparece dentro del cristal como la suma del campo formado por la distribución de
19
carga no uniforme más un posible campo aplicado externamente ( E x E x ESC( ) ( )= + 0 ). En
ausencia de cualquier campo externo ( E0 0= ), y suponiendo el estado estacionario, se ha
demostrado que el campo en el interior del cristal es proporcional al gradiente de la intensidad de la
luz que incide en ese punto (Saleh, B. E. A. y Teich M. C. 1991):
E x KdI x
dx( )
( )=
(10)
con K k T eIB= 0 , donde I0 es una intensidad constante alrededor de la cual varía la distribución en
función de la posición y con una pequeña modulación. La intensidad total es de la forma:
)(')( 0 xIIxI += . (11)
con I’(x) como una intensidad con promedio igual a cero. Así I(x) queda considarada como la suma
de dos componentes, una constante y una que depende de la posición.
Figura 2. Respuesta de un cristal de silenita a un patrón de distribución de intensidad gausiana. Se ilustran los mecanismos que intervienen para la formación final del campo interno y las regiones de interés en el cristal.
20
La figura 2 resume todo lo anteriormente expuesto, es decir, el proceso de formación del
campo eléctrico, tratando el caso de un haz de láser incidiendo sobre un cristal fotorrefractivo; aquí
la distribución I x( ) es gausiana. La primer columna de esta figura muestra como a partir de la
distribución de intensidad intervienen otros mecanismos para finalmente llegar a la formación del
campo interno, mientras que la segunda y tercer columna hacen respectivamente lo mismo pero
gráficamente, ilustrando cómo estos mecanismos actúan sobre ciertas regiones del cristal.
Hasta este momento hemos visto que el campo interno ha sido formado por el transporte de
cargas en el cristal, esto es, la difusión y el movimiento de deriva provocado por el propio campo en
formación, sin olvidar que el atrapamiento también juega un papel importante. Para incrementar el
efecto fotorrefractivo se puede manipular dicho flujo de cargas dentro del material. Una manera
eficaz de lograrlo es por medio de la aplicación de un campo eléctrico externo.
Si aplicamos un campo eléctrico constante de magnitud E0 , entonces en el estado estacionario
existirá un flujo de corriente diferente de cero, y de hecho, constante, digamos jC, con su
componente de movimiento de deriva mucho mayor que la de difusión, es por eso que en este caso
la no-linealidad fotorrefractiva se dice que es de tipo arrastre o deriva. La consecuencia directa es
que la magnitud del campo producido en un punto dependerá directamente de la intensidad en ese
lugar, a diferencia del caso donde no existía ningún campo externo y se tenía que el campo
producido dependía de la variación de la intensidad en ese punto (ec. (10)). Cuando el arrastre
domina el transporte bajo grandes campos eléctricos aplicados, el campo eléctrico es máximo en las
franjas obscuras, pero es apantallado en las franjas brillantes. El campo eléctrico es entonces
coincidente con el máximo y el mínimo de instensidad. Por otra parte, cuando la difusión domina el
transporte, el máximo del campo eléctrico se recorre en un cuarto del espaciamiento entre franjas.
21
La localización del campo eléctrico dentro del material, relativa a la localización de las franjas de
interferencia, juega un papel fundamental en el mezclado óptico no lineal fotorrefractivo (Markov V
et al 1979).
En realidad las circunstancias dadas sólo por difusión o sólo por arrastre o deriva, son
situaciones extremas. Anticipando un poco a lo que es el cambio producido en el índice de
refracción tratado en la siguiente sección, podemos decir que estas situaciones son tales que
mediante la existencia de alguna de ellas se gobierna la existencia o no de algunos efectos tales como
amplificación, desvío y difracción. En la práctica cualquier experimento con cristales de silenita se
encuentra entre los casos extremos dados por la no-linealidad tipo difusión y por la no-linealidad
debida al arrastre o deriva. Por ejemplo, si se está interesado en el caso que involucra una no-
linealidad tipo difusión, un cambio grande en el índice de refracción es tan necesario como el
corrimiento de fase de 90° entre el campo total interno y el patrón de intensidad luminosa
producido por un patrón de interferencia dado. Al aplicar un campo de c.a. (Stepanov et al, 1985),
con una forma de onda cuadrada oscilando entre + E0 y − E0 , las cargas son preferentemente
arrastradas en una dirección para el primer medio ciclo del campo aplicado y en la dirección opuesta
para el siguiente, en consecuencia el flujo promedio de cargas es cero y el proceso lleva a un campo
eléctrico total interno de mayor magnitud que el producido sólo por difusión pero con el mismo
corrimiento de fase, como si el campo formado no estuviera siendo alterado. Para el semiciclo
positivo
E x KdI x
dxE( )
( )= + 0
(12)
y para el semiciclo negativo
22
E x KdI x
dxE( )
( )= − 0 .
(13)
En la literatura no existe una expresión analítica para K en el caso general del campo interno
formado por cualquier patrón de iluminación y la aplicación externa de un campo eléctrico; sin
embargo, se debe entender que K siempre depende de la magnitud de este último pues ahora existe
un poco más de cargas moviéndose sobre un punto para cada semiciclo. Para que K tenga sentido,
en el cristal se toma en cuenta el promedio para el semiciclo positivo y el semiciclo negativo, esto es
justificado porque el tiempo de respuesta del cristal es mucho mayor que el periodo del campo
aplicado. En nuestro caso estamos interesados en la dependencia que el campo interno presenta de
la iluminación y entonces es posible considerar la forma dada en las ecs. (12) y (13) como suficiente
para ilustrar este hecho y más adelante (en el capítulo III) expresaremos la situación particular del
campo formado por un patrón de iluminación senoidal.
De las ecs. (12) y (13) notamos que para tiempos diferentes existirá una magnitud de campo
interno diferente sobre una misma coordenada, y como se ha anticipado y se verá con mayor detalle
en la siguiente sección esto afecta directamente al índice de refracción local, provocando las
condiciones necesarias para las aplicaciones donde se ocupe la transferencia no recíproca de energía.
II.2.2 Modulación del índice de refracción en un cristal de silenita de BSO
La permitividad εεεε de un medio dieléctrico es un parámetro que se relaciona con el índice de
refracción, en general es un tensor simétrico de rango 2. En las coordenadas principales, cada tensor
dieléctrico tiene la siguiente forma diagonalizada (Fowles, 1989):
23
�ε ε= 0
12
22
32
0 00 00 0
nn
n. (14)
donde ε 0 es la constante conocida como la permitividad dieléctrica del vacío, ε012885 10= ⋅ −.
F/m. Los valores de in en la ec.(14) corresponden a los valores de índice de refracción en las
diferentes direcciones adentro del material. El caso más general ocurre cuando los tres valores son
diferentes, entonces el material se dice completamente anisotrópico. En nuestro caso y en ausencia
de cualquier influencia externa, los tres son iguales y se dice que nuestros cristales son cúbicos. En
general, esta ecuación exhibe el hecho de que la permitividad depende de la anisotropía del material.
En esta sección mostraremos cómo interviene el efecto electro-óptico en el proceso
fotorrefractivo, es decir, cómo un campo eléctrico externo en dc o de baja frecuencia modifica el
tensor de permitividad dieléctrica, εεεε , y en consecuencia altera el índice de refracción, modulando
finalmente la anisotropía del material (birrefringencia inducida).
Consideremos el caso específico de un cristal de silenita. Recordemos que es un cristal cúbico,
que tiene un lugar en el grupo con simetría puntual 23, y que además exhibe un efecto electro-óptico
y una actividad óptica. La aplicación de un campo eléctrico resulta en un cambio en el tensor de
permitividad dieléctrica εεεε . En las coordenadas principales, en donde el tensor dieléctrico se puede
diagonalizar despreciando su actividad óptica, el cambio puede escribirse como
∆� ,ε εi j i j i j k kn n r E= − 02 2 . (15)
donde ni y n j son los índices de refracción principales y Ek es la componente del campo eléctrico.
Para un cristal cúbico n n n n1 2 3= = = y el campo eléctrico dc es la suma del campo producido
24
por los portadores de carga que son generados por fotoexitación debido a la presencia de rayos de
luz y el campo eléctrico externamente aplicado. Las constantes ri j k son llamadas coeficientes
lineales electro-ópticos y son los componentes de un tensor de rango 3. Generalmente este tensor se
emplea con la notación contraída r rI k i j k= definida como
r rr rr rr r rr r rr r r
k k
k k
k k
k k k
k k k
k k k
1 11
2 22
3 33
4 23 32
5 31 13
6 12 21
=
=
=
= =
= =
= =
con k = 1 2 3, , . Debido a que el BSO es un cristal cúbico y se sitúa en el grupo con simetría puntual
23, tiene sus coeficientes electro-ópticos en la siguiente forma (Narasimhamurty, 1981):
0 0 00 0 00 0 0
0 00 00 0
41
41
41
rr
r
en donde observamos que sólo 3 componentes son diferentes de cero, y además idénticos, es decir
r r r r41 52 63= = = . Entonces el cambio correspondiente en el tensor dieléctrico, obtenido a partir
de la ec.(15), es
25
∆�ε ε= − 04
3 2
3 1
2 1
00
0n r
E EE EE E
. (16)
Es conveniente para nosotros asociar los sistemas coordenados con los bordes de una muestra
de cristal en laboratorio. En experimentos con cristales de BSO estas coordenadas de laboratorio no
siempre coinciden con las coordenadas principales. La matriz de rotación, la cual convierte las
coordenadas principales a las del laboratorio puede ser escrita como:
R =− + −
− − − + −−
cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sincos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos
sin sin cos sin cos
ϕ ψ ϕ ϑ ψ ϕ ψ ϕ ϑ ψ ϑ ψϕ ψ ϕ ϑ ψ ϕ ψ ϕ ϑ ψ ϑ ψ
ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ(17)
donde ϕ ϑ ψ, , son los ángulos de Euler (Arfken, 1985). De este modo la relación entre el vector de
campo eléctrico escrito en las coordenadas de laboratorio E' y el mismo vector pero en
coordenadas principales es
E E= −R 1 ' . (18)
Usando las Ecs. (14), (16) - (18) podemos calcular el tensor dieléctrico para las coordenadas
principales como
� �ε ε+ ∆ . (19)
y entonces volver a calcularlas en las coordenadas del laboratorio como:
′ = + −< ( < <)ε ε εR R∆ 1 . (20)
26
Las tres orientaciones del cristal frecuentemente empleadas para la investigación con
cristales de silenita, importantes para el presente trabajo, son las siguientes:
• Propagación de la luz a lo largo de [110] y el campo eléctrico aplicado a lo largo de [001].
• Propagación de la luz a lo largo de [110] y el campo eléctrico aplicado a lo largo de [ ]1 10 ;
• Propagación de la luz a lo largo de [110] y el campo eléctrico aplicado a lo largo de ]111[ .
Para mostrar el cálculo de la birrefringencia inducida consideremos una configuración
experimental con luz propagándose sobre la dirección cristalográfica [110] y un campo eléctrico en
[111 ], suponemos además que estas direcciones corresponden, respectivamente, a los ejes z y x en
las coordenadas del laboratorio. Los tres ángulos de Euler que rotan las coordenadas principales a
las del laboratorio son ϕ ϑ ψ= = =135 270 1 30 , ,o sen . En coordenadas principales las tres
componentes del campo eléctrico son distintas de cero:
E =−
E0
3
111
,
donde E0=U/d, U es el voltaje aplicado y d es el espesor del cristal. El cambio del tensor dieléctrico
en las coordenadas del laboratorio es
∆ε'= −−
ε04
0
3
2 0 00 1 00 0 1
n rE. (21)
Por lo tanto, podemos decir que cuando el campo eléctrico es aplicado en la dirección
cristalográfica [1 11] la birrefringencia lineal inducida al cristal es
27
∆n nn rE
nn rE n rE
= − = − − + ≅ε ε112
222 2
40 2
40
302
3 33
2 3. (22)
y la dirección cristalográfica [1 11] es un eje de coordenadas donde el tensor dieléctrico es
diagonalizado.
La tabla I resume las principales características electro-ópticas para las 3 orientaciones
anteriormente mencionadas, cada una de las cuales representará, de acuerdo con los resultados
expuestos, diferentes condiciones para la propagación de la luz.
TABLA I. Características electro-ópticas para muestras experimentales en donde la luz se propaga en la dirección [110].
Dirección del campo eléctrico
Ángulos de Euler
Ejes principales de la indicatriz
óptica Birrefringencia
Modulación de los modos de
polarización.
111
ϕ = °135
ϑ = − °90
( )ψ = arcsin 1 3
111
112
32
30n rE
13
30n rE z∆
−1
2 33
0n rE z∆
110
ϕ = °135
ϑ = − °90
ψ = °0
45° a 110
45° a 001
n rE30
12
30n rE z∆
−12
30n rE z∆
001
ϕ = °135
ϑ = − °90
ψ = °90
001
110
12
30n rE
0 12
30n rE z∆
Finalmente, expresaremos el cambio en el índice de refracción en términos de la intensidad de
la luz incidente. Consideremos el caso en que la dirección del campo eléctrico aplicado coincide con
28
uno de los ejes cristalográficos, en tal caso la birrefringencia total inducida la podemos escribir en la
forma:
∆n x n rE x( ) ( )= −12
3 (23)
donde E x( ) es el campo total en el medio, el cual recordemos que lo definimos como la suma del
campo producido por los portadores de carga que son generados por fotoexitación y el campo
eléctrico externamente aplicado, si este último es de c.a. (tal como se supuso en la sección anterior)
entonces el campo total sigue siendo de la forma dada por las Ecs. (12) y (13). Consecuentemente, al
sustituirlas en la Ec. (23), se obtiene la expresión para el cambio de índice de refracción dependiente
de la posición y en términos de la intensidad como
∆n x n r KdI x
dxE( )
( )= − ±
12
30 ,
(24)
donde K k T eIB= 0 y se tiene que seguir cumpliendo la condición de pequeña modulación.
Entonces, el cambio en el índice de refracción local es proporcional tanto a la rapidez de cambio en
intensidad en ese punto como al campo externo. Así, para un haz de láser incidiendo en un cristal
fotorrefractivo de BSO sometido a un campo de c.a. externo, tenemos el cambio en índice de
refracción como se muestra en la figura 3.
Debido a que el campo es distinto en un mismo punto para tiempos diferentes, por ejemplo
para x3 en la figura 3, tenemos que para el semiciclo positivo la birrefringencia lineal inducida por el
efecto electro-óptico es máxima, mientras que para el semiciclo negativo es cero. Esto tiene
diferentes consecuencias en la distribución de intensidad a lo largo del cristal y entonces es necesario
29
tratar la propagación de la luz con mayor detalle, considerando los cambios que puede provocar
cada situación como ésta.
Figura 3. Distribución de intensidad gausiana y el cambio en el índice de
refracción provocado por el efecto fotorrefractivo para campos eléctricos externos positivos y negativos. La constante a depende de la dirección de aplicación del campo alterno sobre el cristal.
II.2.3 Evolución de la amplitud en medio birrefringente
Ahora sabemos que la magnitud de la birrefringencia lineal es diferente para cada orientación,
además cada modo linealmente polarizado se propagará bajo los efectos de un cambio en índice de
refracción propio (Tabla I), por ejemplo para el caso en que la dirección del campo es [ ]1 10 los
30
modos de polarización se propagan con los mismos cambios en índice de refracción cada uno, esto
quiere decir que ambos se propagarán simétricamente, con la misma distribución de intensidad,
hacia la salida del cristal.
Por otra parte, para incluir la contribución de la actividad óptica durante la propagación de la
luz a través de un cristal fotorrefractivo, usamos el formalismo del operador matricial empleado para
el análisis de la propagación de ondas planas (Yariv y Lotspeich, 1982). Éste ha demostrado que
cuando la luz se propaga a lo largo del eje z la evolución de la amplitud de la luz puede ser expresada
como
A z dzA z dz
Q QQ Q
A zA z
1
2
11 12
21 22
1
2
( )( )
( )( )
++
= . (25)
donde A1 y A2 son las amplitudes de las dos ondas con polarización lineal a lo largo de los ejes x y
y, respectivamente. En esta relación,
Q Sdz iS
Sdz QiS
Sdz11 1212= + =
+cos sin , sin
δ ρ Γ,
Q Sdz iS
Sdz Qi
SSdz22 21
21= − =− +
cos sin , sinδ ρ Γ
,
δ representa la birrefringencia lineal, y está dada por
δπ
λ εε ε= ″ − ″
022 11 ,
S , la birrefringencia total, con
31
S = + +ρ δ2 212 21Γ Γ (26)
donde ρ es la birrefringencia circular o actividad óptica, y los coeficientes de acoplamiento entre
modos, Γ12 y Γ21 , están dados como
Γ∆
Γ∆
1212
0
312 21
21
0
321= −
′′= = −
′′=
πλ
εε
πλ
πλ
εε
πλn
n r En
n r Ek k k k, .
Debido a que los coeficientes electro-ópticos que existen en el BSO son idénticos, tenemos que
Γ Γ Γ12 21= = . (27)
La birrefringencia total, S , entonces puede ser expresada como
S = + +ρ δ2 2 2Γ (28)
y determina el corrimiento de fase que existe entre las dos ondas que se están propagando en el
medio. Esto sugiere que al cabo de una distancia LB en el medio, el corrimiento de fase será de 2π .
Entonces el producto
S LB = 2π (29)
nos ayuda a definir a LB como la periodicidad espacial que tendrá la evolución de polarización a lo
largo del cristal. Conocida como la longitud de batido, LB , es por lo tanto uno de los parámetros más
importantes para el análisis de polarización y la cual, a partir de la Ec. (29), la podemos expresar
como
LSB =
2π (30)
32
Ahora, es muy importante notar que la birrefringencia total, S , depende del valor del campo
local, pues en la Ec. (28) los términos de birrefringencia lineal y acoplamiento dependen de él. Así,
S depende también de la coordenada en la dirección x. Por ejemplo, regresando al caso expresado
en la figura 3, en los puntos x2 y x3 en un mismo tiempo, tenemos diferentes magnitudes del
campo, diferente birrefringencia lineal, y como consecuencia una diferencia entre su birrefringencia
total, lo cual lleva a su vez a una diferencia en las longitudes de batido en uno y otro punto. De
hecho, para el caso del semiciclo positivo, LB es mayor en x2 que en x3. Si ahora comparamos las
longitudes de batido para tiempos diferentes en un mismo punto, por ejemplo x3, notamos que
ahora el campo tiene un valor máximo para el semiciclo positivo y para el semiciclo negativo es cero,
consecuentemente para este punto tenemos que LB es menor durante el semiciclo positivo.
Por lo tanto, la polarización inicial se repetirá con diferente periodo para puntos ubicados en la
dirección x, además, bajo la aplicación de un campo externo de c.a., para tiempos diferentes, es
posible tener diferentes longitudes de batido para una distancia dada en el cristal. Todo esto plantea
una modulación de polarización tanto en tiempo como en la dirección transversal a la de
propagación, que tendrá una consecuencia directa sobre la distribución final de intensidad y que
debe dar gran parte de la explicación a los resultados que se puedan obtener experimentalmente bajo
las mismas condiciones. La no uniformidad del campo total interno provoca una birrefringencia que
depende de la posición en x y esto a su vez puede provocar el desvío en la dirección de propagación
del haz o su difracción.
33
II.2.4 Mezcla de ondas en un cristal fotorrefractivo
Cuando dos haces de radiación electromagnética coherente se intersectan en el interior de un
medio fotorrefractivo, la variación periódica de la intensidad debida a la interferencia induce una
rejilla de índice en el volumen. El vector de onda de la rejilla está dado por K = ±(k2 - k1), donde k1
y k2 son los vectores de onda de los haces. La presencia de la rejilla de índice afecta la propagación
de los dos haces. De hecho, las ondas son fuertemente difractadas por la rejilla de índices debido a
que las condiciones de Bragg se dan con un perfecto empatamiento de fase. Así el haz A1 es
difractado por la rejilla y se propaga exactamente en la dirección de A2. Similarmente el segundo haz,
A2, también es difractado por la rejilla y se propaga a lo largo de la dirección de A1 (ver la figura 4).
Esto motiva un acoplamiento de energía y el fenómeno es conocido como auto-difracción. En esta
sección, trataremos el acoplamiento entre las ondas en el interior de un medio fotorrefractivo.
Figura 4. Dos ondas incidiendo y formando un patrón de interferencia en el interior de un medio fotorrefractivo.
z=0 z=L
A2
A1
z=0 z=L
A2
A1
34
Análisis general de la mezcla de dos ondas.
Primero consideraremos la interacción de dos haces de láser dentro de un medio
fotorrefractivo (figura 4). Tenemos que si los dos haces están a la misma frecuencia, se forma un
patrón de interferencia estacionario. El campo eléctrico de las dos ondas lo podemos escribir como
2,1)],(exp[ =•−= jtiAE jjj rkω . (31)
donde 1A y 2A son las amplitudes de las ondas, ω es la frecuencia angular, y 1k y 2k son los
vectores de onda. Por simplicidad, suponemos que el medio es isotrópico y ambos haces están
polarizados en forma perpendicular al plano de incidencia (i. e., polarización s).
La intensidad de la radiación electromagnética puede ser escrita como
221
2 EEE +==I . (32)
Usando la ec (31) para el campo eléctrico, la intensidad puede escribirse
rKrKI •−•− +++= ii eAAeAAAA *212
*1
22
21 . (33)
donde
12 kkK −= . (34)
La magnitud del vector K es Λ/2π , donde Λ es el periodo del patrón de franjas. La
intensidad (ec. (33)) representa una variación espacial de la energía óptica dentro del medio
fotorrefractivo. De acuerdo al modelo descrito en las secciones anteriores, tal patrón de intensidad
debe generar una redistribución de cargas en el medio. Como resultado, se crea un campo espacio-
35
carga en el medio. Este campo induce una rejilla de índice en el volumen por medio del efecto
Pockels. En general, la rejilla de índice tiene un corrimiento de fase de acuerdo a su posición relativa
al patrón de interferencia. El índice de refracción incluyendo la componente fundamental de la rejilla
inducida se puede escribir
+•−+= .c.c)exp()exp(
2 0
2*11
0 rKI
iAAinnn φ .(35)
donde c.c. representa la conjugación compleja y además
22
2121 AA +≡+= III (36)
0n es el índice de refracción en ausencia de luz, φ es real y 1n es un número positivo y real. Aquí
una vez más, por motivos de simplicidad, suponemos una rejilla escalar. La fase φ indica el grado en
que la rejilla de índice está recorrida espacialmente con respecto al patrón de interferencia de la luz.
En medios fotorrefractivos que operan únicamente por difusión (i.e., sin campo externo), por
ejemplo, BaTiO3, la magnitud de φ es 2/π con su signo dependiendo de la dirección del eje óptico
c. Aquí, el vector de onda de la rejilla es K y la suma de intensidades es I0. El parámetro 1n depende
del espaciamiento de la rejilla y de su dirección, así como del campo eléctrico aplicado y las
propiedades del cristal, por ejemplo, el coeficiente electro-óptico.
El corrimiento de fase entre el patrón de interferencia y la rejilla de índice inducida en el
volumen se ha estudiado desde hace tiempo. La presencia de tal corrimiento de fase permite la
posibilidad de la transferencia no recíproca de energía entre los dos haces en el estado estacionario.
Para investigar el acoplamiento, sustituimos la ecuación (35) para el índice de refracción y
21 EEE += para el campo eléctrico en la siguiente ecuación de onda:
36
022
2 =+∇ Enc
E ω (37)
donde c es la velocidad de la luz.
Suponemos que ambas ondas se propagan en el plano xz . Hablando en general, si los haces
tienen una extensión finita (i. e., comparable con el tamaño de la zona de intersección), las
amplitudes pueden llegar a depender tanto de x como de z. Aquí, supondremos que estamos
tratando con ondas de haces que tienen dimensiones transversales infinitas, de tal forma que las
amplitudes de las ondas A1 y A2 sean funciones de z solamente (ver figura 4). Luego, si resolvemos
en condiciones de estado estacionario, entonces A1 y A2 además son independientes del tiempo.
Usando la aproximación de pequeña variación
2,1,2
2
=<< jAdzdA
dzd
jjj β(38)
obtenemos
12*2
02
102
112 AAAec
nnAdzdi iφωβ −=
I.
(39)
y
21*1
02
102
222 AAAec
nnAdzdi iφωβ
I= .
(40)
donde 1β y 2β son las componentes longitudinales de los vectores de onda k1 y k2 adentro del
medio, respectivamente. El acoplamiento de la energía depende de los signos de 1β y 2β , esto es,
si las ondas entran o no por la misma cara del cristal.
37
Mezcla de dos ondas incidentes sobre la misma cara del cristal.
Con referencia a la figura 4, consideraremos el caso de dos ondas entrando al medio desde el
mismo lado, en z=0. Supongamos que
θλπθββ cos2cos 021 nk === . (41)
donde θ2 es el ángulo entre los haces adentro del medio, y 0n es el índice de refracción del medio.
Sustituyendo la ecuación (41) para 1β y 2β en las ecs. (39) y (40), y usando λπω 2)( =c ,
obtenemos
11
2
20
1 221 AAAA
dzd α−Γ−=
I. (42a)
y
22
2
1*
02 22
1 AAAAdzd α−Γ−=
I. (42b)
donde hemos considerado los términos que toman en cuenta la atenuación, con α como el
coeficiente de absorción, y Γ como la constante de acoplamiento compleja
φ
θλπ ieni −=Γcos
2 1 . (43)
En el evento de incidencia asimétrica (i. e., 21 ββ ≠ ), se puede encontrar un conjunto similar
de ecuaciones usando un cambio de variables.
Si ahora escribimos
38
)exp(),exp( 222111 ϕϕ iAiA −=−= II . (44)
donde 1ϕ y 2ϕ son las fases de las amplitudes complejas A1 y A2, respectivamente. Usando las ecs.
(44) y (36), las ecuaciones acopladas (42) pueden escribirse como
121
211 I
IIIII αγ −+
−=dzd . (45)
y
221
212 I
IIIII αγ −+
−=dzd . (46)
además
21
21 II
I+
= βϕdzd . (47)
y
21
12 II
I+
= βϕdzd . (48)
donde γ y β están relacionadas con Γ por
βγ i2+=Γ . (49)
con
φθλ
πβφθλ
πγ coscos
sincos
2 11 nyn== . (50)
Analizando las ecuaciones acopladas, notamos que en ausencia de la absorción del material
( 0=α ), I2 es una función creciente en z cuando γ es positiva. Esto indica que la energía está
39
fluyendo desde el haz 1 hacia el haz 2. La dirección en que fluye la energía es determinada por el
signo de γ , lo cual depende de la orientación de los ejes del cristal (Nolte D. D. 1995).
0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
z (cm)
Inte
nsid
ad
I1
I2
γα
m = I1(0)/I2(0) = 100 = 10 cm-1 = 0
0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z (cm)
Inte
nsid
ad
m = I1(0)/I2(0) = 100 γ = 10 cm-1 α = 1 cm-1
I1
I2
Figura 5. Intensidades de dos haces mezclándose en el interior de un cristal fotorrefractivo, (a) Sin pérdidas α=0; y (b) con
pérdidas, α=1 cm-1.
Las soluciones para las intensidades I1(z) e I2(z) son:
zz
eem
mz α
γ−
−
−
++
= 10
10
11 11
)0()( II .(51)
e
zz e
emm
z αγ
−−+
+=
0
022 1
1)0()( II . (52)
donde m0 es la razón de las intensidades de entrada
)0()0(
2
10 I
I=m . (53)
La figura 5 es una gráfica de las intensidades de los haces como función de z. Notamos que en
ausencia de absorción ( 0=α ),e I2(z) es una función creciente en z e I1(z) es una función
decreciente, con γ positivo. Notamos que el haz 2 toma energía desde el haz 1, en el cual existe un
(a) (b)
40
decaimiento exponencial. En presencia de absorción (i. e. 0>α ), el haz 2 tiene cierta ganancia de
energía debido al acoplamiento, sin embargo luego la pierde por la absorción. Para pequeñas señales
de entrada, con I2(0) << I1(0), la ec.(52) puede ser escrita como ])exp[()0()( 22 zz αγ −= II ,
dado que 1)exp(0 >>− Lm γ . Así que la amplificación de haces requiere que γα < . Además, la
ganancia óptima ocurre en cierta longitud apropiada para la interacción, como se muestra en la
figura 5b. Más allá de esta distancia, la intensidad I2(z) inicia su decrecimiento. Para
1)exp(0 <<− Lm γ , I2(L) llega a ser )exp()0()0( 21 Lα−+ II . Físicamente, el haz 2 toma toda la
energía y entonces decae exponencialmente debido a la absorción del material.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110 -1
10 0
10 1
10 2
10 3
10 4
L (cm)
g
mo = m = 1000
mo =100
mo= 10
mo = 1
mo = 0.1
inf
Figura 6. Ganancia de la señal, g, versus la longitud de interacción, L, para varias razones de intensidad, m0.
Si nos referimos a A2 como el haz señal, entonces un parámetro conveniente es la ganancia
LL e
emmLg α
γ−
−++
==0
0
2
2
11
)0()(
II
. (54)
donde debemos recordar que m0 es la razón de intensidades en la cara de entrada (z=0). La figura 6
grafica la ganancia como función de la longitud de interacción L para diferentes valores de m0.
41
Conclusión del capítulo II
El presente capítulo es una exposición de las bases necesarias para conseguir una buena
investigación sobre el efecto de automodulación de la luz en los cristales de silenita. En el inicio del
capítulo platicamos de las propiedades de los cristales de silenita utilizados en nuestro trabajo,
hablamos de que éstos son muy aceptados en el campo de las aplicaciones, entre otras cosas, por
su consumo de baja potencia óptica. A lo largo del capítulo se presenta la física del efecto
fotorrefractivo, se analiza el proceso por etapas. Lo presentado hasta aquí, es decir, la formación del
campo espacio-carga a través del modelo de Kuhktarev, así como la intervención del efecto electro-
óptico para la modulación de la birrefringencia lineal, el modelo matricial de Yariv para la evolución
de la amplitud, y también la mezcla de ondas para el intercambio de energía, son todos fenómenos
bien conocidos en su solución para ondas planas en el caso escalar.
En adelante presentamos lo que consideramos la serie de aportaciones de nuestra investigación.
Consideramos el tratamiento vectorial para la evolución de la luz en el medio, lo hacemos
investigando simultáneamente la nueva distribución de amplitud y polarización. Iniciamos con la
propuesta del método para calcular la no-linealidad fotorrefractiva. Es un algoritmo basado en el
Beam Propagation Method (BPM) y que básicamente, toma en cuenta las bases expuestas en este
capítulo para obtener la serie de modificaciones del campo espacio-carga y de la birrefringencia
inducida en el cristal durante la propagación, simultáneamente a cada paso se van considerando
tanto los cambios de fase debidos a la propagación como a la no linealidad fotorrefractiva. En los
capítulos posteriores se analiza la evolución de distribuciones de amplitud más complicadas,
analizamos la modulación en amplitud y fase para patrones de difracción, motas e imágenes.
42
III. MÉTODO DE PROPAGACIÓN DE HACES (BPM)
Debido a la inherente complejidad de algunos mecanismos involucrados en el efecto
fotorrefractivo, frecuentemente se recurre a los métodos numércos para describirlos con cierto
grado de realismo. Esto es especialmente cierto cuando consideramos el efecto fotorrefractivo en el
caso de distribuciones de luz complicadas, por ejemplo, amplificación fotorrefractiva de imágenes,
conjugación de fase, o formación de ondas superficiales fotorrefractivas (Günter P. y J. P. Huignard.
1989). En particular, la amplificación en cristales cúbicos ocurre en presencia de actividad óptica y
una birrefringencia lineal pulsante, la cual es causada mediante la aplicación de un campo eléctrico
de c.a. La amplificación involucra la interacción entre haces de luz con variaciones espaciales
complicadas de amplitud y frecuentemente es acompañada por una fuerte amplificación de luz
originalmente esparcida por defectos inherentes al cristal, a lo cual se le conoce como efecto abanico o
“fanning”. El modelo analítico puede ser muy complicado de desarrollar en este caso. En los
experimentos con algunos cristales fotorrefractivos, tal como BaTiO3 y SBN la evolución del haz
dentro del cristal puede ser trazada observando a través de la cara superior de la muestra (ver por
ejemplo Ewbank M. D et al. 1990). Sin embargo, para otros cristales esta técnica resulta inaceptable
debido a su alta calidad óptica y a las bajas intensidades de luz que en ellos se ocupa, entre esos
cristales podemos mencionar a la familia silenita. Estos cristales tienen un buen potencial para
aplicaciones, ya que presentan bajo ruido y rápida respuesta para su uso como amplificadores
43
fotorrefractivos y conjugadores. En esas condiciones, la simulación numérica es especialmente
importante para poder tener un análisis satisfactorio de los datos experimentales.
Se ha comprobado que el método de propagación de haces (“Beam Propagation Method”,
abreviado BPM) es una herramienta poderosa para analizar la propagación de la luz en un medio
no-uniforme, anisotrópico, y por si fuera poco, no-lineal. Este método surgió para su uso en
acústica subacuática y sismología, posteriormente se fué adaptando para resolver problemas en
óptica (Feit, M. D.y Fleck J. A., Jr., 1978). El BPM ha sido ampliamente utilizado en la investigación
de dispositivos optoelectrónicos a lo largo de varios años, sufriendo diversas modificaciones. En
publicaciones, como la de Yevick, D., de 1994, podemos encontrar una reseña bastante
comprendible que describe lo anterior. Así que debido a que la simulación de la luz por medio del
BPM ha mostrado su efectividad resultando siempre como una ayuda satisfactoria, y además para
ciertos casos, la única forma de obtener resultados, el BPM es el método más adecuado para simular
numéricamente el efecto fotorrefractivo en los casos más complicados. Sin embargo, el BPM es
raramente utilizado en la óptica fotorrefractiva, aunque se pueden encontrar algunos ejemplos
(Johnson R. V. y Tanguay, A. R., Jr. 1986; Cronin-Golomb, 1992; Cronin-Golomb, 1995). En
particular, en nuestro grupo de investigación se ha utilizado ampliamente, por ejemplo podemos ver
la publicación de Fuentes-Hernández C. A. et al. 2002, en la cual aparecen varios de los resultados
importantes también presentados en esta tesis. Uno de los principales inconvenientes del BPM en
su aplicación a óptica no lineal fotorrefractiva es el tiempo considerable de cálculos que se requiere,
a pesar del impresionante desarrollo de los recursos que en el campo de la computación se ha tenido
durante la última década. Consideramos que el método puede seguir teniendo el mismo potencial al
tomar todas las medidas prácticas necesarias y aproximar las situaciones físicas para conseguir la
reducción del esfuerzo en el procesamiento de los datos. El ahorro en el tiempo de cálculo ayuda a
44
obtener de mejor forma las metas del trabajo: 1) el análisis vectorial de la evolución de la luz; 2) la
descripción adecuada de la no-linealidad fotorrefractiva; 3) la metodología general de la
investigación con cristales de silenita; 4) la presentación acertada de los resultados relevantes, etc.
El BPM para un cristal fotorrefractivo no incluye solamente el cálculo de la propagación de la
luz por sí mismo, sino además el cálculo de la respuesta no lineal del cristal. Como una regla, esto
último requiere la mayor parte del tiempo total de cálculos. En este capítulo se presenta un método
simple para el cálculo de la respuesta fotorrefractiva para imágenes con contraste arbitrario que
permite una reducción significativa del tiempo de cálculos. Se estima una ganancia en ese tiempo
por la comparación con el tiempo necesario para resolver numéricamente las ecuaciones
constitutivas (modelo de dos bandas) por medio de la técnica de diferencias finitas. El método
propuesto se prueba por la comparación detallada con datos experimentales. La simulación
numérca con BPM ofrece una visualización de la propagación de la luz en un cristal fotorrefractivo
silenita, mostrando el beneficio que para el análisis de los datos experimentales puede representar.
Paralelamente a una evolución complicada de la amplitud del campo eléctrico de la luz involucrada
durante ciertos mecanismos del efecto fotorrefractivo, se pueden describir también los cambios en
polarización. En particular en este capítulo mostramos la propagación de un haz gausiano en un
cristal fotorrefractivo con reflexión total interna, con fines de probar la utilidad del método, dejando
el análisis de los mecanismos involucrados en el caso para un capítulo posterior, en donde ya
únicamente se emplearán los resultados numéricos precísamente como una herramienta para apoyar
los modelos propuestos.
45
III.1 El algoritmo del BPM
El BPM está basado en un algoritmo del tipo “paso a paso”, su escencia consiste en reemplazar
la propagación de un haz óptico en un medio no lineal y/o inhomogeneo por una secuencia de
pasos de propagación en espacio libre con correcciones de fase/polarización. Para calcular la
propagación en espacio libre, el campo eléctrico de la luz de entrada es transformado a su
distribución de espectro angular. Cada componente del espectro es considerada como una onda
plana viajando en alguna dirección. La amplitud del campo en el plano de salida se calcula mediante
la suma de cada una de las contribuciones de todas las ondas, tomando en cuenta el corrimiento de
fase que experimentan durante la propagación. La información completa acerca de las
inhomogeneidades ópticas en el intervalo de propagación se introduce al incluir una corrección
adicional de fase y polarización.
La figura 7 muestra el esquema propuesto para el cálculo de la propagación en el medio
fotorrefractivo, se puede observar que se basa en el algoritmo clásico del BPM pero que incluye las
modificaciones necesarias para el caso fotorrefractivo. El cálculo inicia con la definición de las
amplitudes de entrada para dos ondas polarizadas linealmete y ortogonales entre sí, A1(x,0) y
A2(x,0). Luego el bloque principal del BPM se ejecuta en la siguiente forma: (1), cada amplitud es
transformada en su espectro angular por medio de la transformada rápida de Fourier (FFT); (2), el
espectro angular es multiplicado por una función que representa el retardamiento en fase de la onda
durante la propagación, dicha función se denota como P̂ y recibel el nombre de “propagador”, con
lo cual se consiguen los resultados para la propagación en un medio lineal y uniforme para un
intervalo ∆z; (3), el espectro angular ahora es transformado de regreso al espacio de coordenadas
utilizando la transformada inversa rápida de Fourier (IFFT); (4), la respuesta no lineal fotorrefractiva
46
es calculada poniendo atención en el incremento fotoinducido de la birrefringencia del cristal; (5), la
fase y la polarización son corregidas multiplicando por una matriz M̂ cuyos valores dependen de
sus coordenadas. En este punto el ciclo se cierra y se repite para el siguiente intervalo ∆z.
Ahora veamos más en detalle cada uno de los pasos arriba mencionados. Primero, el
propagador que se utiliza es (März R. 1995)
−+
∆−=22
2exp
t
t
kkk
zkiP , ( 55 )
donde k n= 2πλ es la magnitud del vector de onda con longitud de onda λ en un medio con
índice de refracción n, tk es la componente transversal del vector de onda.
Figura 7. Diagrama de flujo para BPM.
Para las correcciones de fase y polarización se usa el formalismo del operador matricial
desarrollado para el análisis de la propagación de luz en cristales con actividad óptica y
Amplitud inic ial
Transformada rápida de Fourier
Propagador
Transformada inversa de Fourier
Verifica recorrido
Cálculo campo total interno
Correcc iones de polarizac ión y fase
Total
ParcialAmplitud final
47
birrefringencia lineal en presencia de efecto electro-óptico (Yariv A., Lotspeich J. F. 1982). Dicho
operador es:
�
cos sin sin
sin cos sinM
Sz iS
S zi
SS z
iS
S z Sz iS
S z=
++
−−
∆∆
Γ∆
Γ∆
∆∆
β α
α β2
2
, (56 )
donde ∆β es el desempatamiento de fase por unidad de longitud y Γ es el coeficiente de
acoplamiento entre los dos eigenmodos polarizados, ambos están relacionados con el efecto electro-
óptico y pueden ser calculados mediante las relaciones dadas en el capítulo anterior, α es la
actividad óptica, S es la birrefringencia elíptica del cristal, S =
+ +
∆ Γβ α2
22 2
12
. El campo
total interno en el cristal fotorrefractivo es la suma de un campo externo de c.a. y el campo espacio-
carga propio del efecto, el cual es dependiente de las coordenadas. El campo eléctrico total influye
sobre ∆β , Γ y S, al mismo tiempo que estas cantidades también dependen de las coordenadas
(Yariv A., Yeh P. 1998). En base a lo anterior, podemos concluir que la matriz M�
es la responsable
de la modulación de fase y el acoplamiento de energía entre las ondas propagándose en el medio,
pues los términos en la diagonal principal modulan el retardamiento de fase y los términos restantes
modulan el acoplamiento entre las componentes de polarización.
El propagador P describe la propagación de la luz en un medio uniforme, mientras que la
matriz M̂ permite tomar en cuenta la birrefringencia del cristal no uniforme en el espacio causada
por la luz incidente. Así M̂ describe la respuesta no lineal fotorrefractiva del cristal. Las
componentes de M̂ se calculan en cada paso del algoritmo del BPM usando la distribución de
48
intensidad calculada en el paso previo del programa. El único parámetro en la ecuación para M̂
que depende de la intensidad es el campo eléctrico, por lo cual éste modifica las componentes de la
matriz M̂ por los cambios debidos al efecto electro-óptico. Uno puede determinar el campo
eléctrico resolviendo las ecuaciones constitutivas conocidas como ecuaciones de Kukhtarev (Nolte
D. D. 1995 ). Así que la siguiente sección se dedica a una breve discusión de la solución de esas
ecuaciones, y después en otra, se describe otro método para calcular el mismo campo eléctrico
espacio-carga.
III.2 Esc mediante la solución numérica de las ecuaciones constitutivas
Los mecanismos básicos del efecto fotorrefractivo ya han sido descritos en el capítulo II. El
efecto involucra una redistribución espacial de los portadores de carga fotoexcitados, y entonces el
campo eléctrico resultante modula el índice de refracción a través del efecto foto-eléctrico. Sabemos
que la respuesta del cristal a cierta iluminación es bien descrita por el conjunto de ecuaciones de
Kuhktarev, las cuales ahora recordamos que están basadas en un modelo de un defecto-una banda y
suponiendo un solo nivel de donadores como encargado para el intercambio de electrones con una
banda de conducción debido tanto a la fotoionización electrónica y generación térmica, así como
también al atrapamiento. El nivel de donadores se supone con una concentración N en la banda
prohibida del cristal y está parcialmente compensado por átomos o defectos aceptores cuya
densidad se describe con NA. Este modelo produce resultados razonables para los cristales de
silenita (BTO y BSO) que se emplean en nuestros experimentos. Las ecuaciones antes mencionadas
49
comprenden al grupo de ecuaciones (3), (4), (8) y (9), las cuales por comodidad, se pueden escribir
como:
( )( ) +++
−−+=∂
∂ nNNNsIt
N γβ ( 57 )
jet
Ntn ∇−
∂∂=
∂∂ + 1 ( 58 )
nDnEej ∇+−= µ ( 59 )
( )ANnNeE −−−=∇ +
εε0 ( 60 )
donde n es la concentración de electrones en la banda de conducción, N+ es la densidad de
donadores ionizados, j es la densidad de corriente, E es el campo eléctrico total, s es la sección
transversal para la fotoexcitación, β es la razón de generación térmica, µ es la mobilidad
electrónica, ε y ε0 son las pemeabilidades relativa y del vacío, respectivamente, γ es la constante de
recombinación, y D es el coeficiente de difusión. El campo eléctrico E = ESC + E0 es la suma del
campo espacio-carga fotoinducido ESC y el campo aplicado E0 que es determinado a partir de la
siguiente condición de frontera correspondiente al voltaje V aplicado sobre los electrodos en las
caras laterales del cristal,
( )
−= ∫
L
SC dxtxEVL
E0
0 ,1 ( 61 )
donde L es el ancho del cristal.
Las ecuaciones arriba mencionadas en general no llevan por sí mismas a una solución analítica,
especialmente para los altos contrastes de algunas distribuciones de intensidad. Los patrones de alto
50
contraste son de gran interés puesto que entre ellos se incluyen los patrones de motas e imágenes.
Las soluciones analíticas se han encontrado sólo para algunos casos especiales, por ejemplo, para
patrones de intensidad de variación sinusoidal con pequeño índice de modulación. Los resultados
teóricos para patrones de alto contraste generalmente se obtienen a partir de métodos numéricos.
Para resolver numéricmente las ecuaciones de Kukhtarev se puede usar un esquema de
diferencias finitas dividiendo el cristal en un número determinado de celdas pequeñas (pequeñas en
relación al tamaño típico de las no-uniformidades o detalle del patrón de intensidad, así como
también a la longitud de arrastre de los electrones LE = µτE0) y calculando el incremento de los
parámetros involucrados en pequeños intervalos de tiempo ∆t.
En particular el caso que nos ocupa es el de cristales de silenita sometidos a campos de c.a. con
forma de onda cuadrada, pero puede ser diseñado de tal forma que mediante un ligero ajuste de
ciertos parámetros el programa de simulación desarrollado pueda llegar a calcular con condiciones
que correspondan a c.d. u otra forma de onda. En el caso original, la frecuencia del campo de c.a. se
supone de forma que sea lo suficientemente alta para que el campo espacio-carga experimente
durante dos semiciclos consecutivos del campo externo un efecto despreciable ante los incrementos
de otras cantidades, tales como la concentración de portadores libres y la densidad total de cargas.
Calculamos separadamente los incrementos en el campo espacio-carga para los semiciclos positivo y
negativo y entonces los sumamos para obtener el incremento total para un ciclo del voltaje de c.a.
Después completamos el cálculo de concentración de trampas y electrones libres, corrientes de
arrastre y difusión, llegando a cerrar el ciclo con la actualización del campo interno a partir de la ley
de Gauss (ec. 60) y de la condición en la frontera (ec. 61). Luego todo se repite a partir del nuevo
campo interno. El algoritmo se realiza en un programa de código para Matlab v5.3 que puede
51
ejecutarse en una computadora personal con recursos estándar (Apéndice A). Los cálculos con el
programa dan tanto la evolución temporal del campo espacio-carga, así como también otros
parámetros involucrados en el proceso fotorrefractivo.
Una vez calculado el campo interno en la condición de estado estable, se acompleta un ciclo
del cálculo de la propagación de la luz utilizando el BPM. El campo interno en estado estable se
calcula en aproximadamente diez segundos cuando se utiliza una PC con un microprocesador
Pentium III de 400 MHz. Una vez calculado el campo interno el ciclo se acompleta en menos de un
segundo. Por la no linealidad involucrada, se necesitan alrededor de 2 mil ciclos para simular 1 cm
de longitud de cristal de manera realista, así que es el cálculo del campo interno basado en la
solución a las ecuaciones de Kukhtarev el que consume la mayor parte del tiempo durante el
desempeño del algoritmo del BPM. Sin embargo esta forma de cálculo provee información valiosa
de las principales características del proceso y entonces vale la pena el gasto del recurso “tiempo-
máquina”. En la siguiente subsección discutiremos el uso de un método aproximado pero muy
rápido que llega a resultados muy similares.
III.3 Esc mediante la función de tansferencia de modulación (MTF)
El campo espacio carga Esc también puede ser estimado por medio de la aproximación de la
función de transferencia de modulación del cristal, MTF por sus siglas en inglés. Esta forma de
obtener el campo Esc aproximado tiene la ventaja de proporcionar resultados más rapidamente que
la expuesta en la sección anterior, sin embargo no da información alguna de la evolución temporal
52
para la formación. Lo anterior tiene una especial importancia para nuestro trabajo, ya que dicha
evolución temporal, como se verá en el siguiente capítulo, tiene la explicación a varios aspectos
involucrados en la automodulación óptica investigada. La ventaja de un cálculo rápido de Esc se
traduce en obtener rápidamente los cambios finales para la propagación, estos deben sugerir un
experimento más adecuado para la observación de los efectos buscados y por lo tanto esta forma de
cálculo tiene la misma importancia que la que se considera en la sección anterior.
El esquema de este método, el cual a su vez puede ser un paso en el algoritmo del BPM, se
muestra en la Fig. 8. Se usa un esquema similar, pero ahora modificado, al empleado en la
propagación de ondas superficiales (Khomenko et al, 1998). Las modificaciones a aquel esquema
permiten una mejor aproximación. Sabemos que la luz en el cristal se propaga de diferentes formas
para los semiciclos positivo y negativo del campo externo de c.a. aplicado, esto es debido a la
birrefringencia óptica inducida electro-ópticamente. Esto motiva una intensidad efectiva calculada
como un promedio para los semiciclos positivo y negativo del campo de c.a. con una frecuencia
Figura 8 Algoritmo para obtener Esc utilizando la función de transferencia de modulación (MTF).
Intensidad
Transformada rápida de Fourier
Saturación
Campo espacio-carga
Función de Transferencia de Modulación
Transformada inversa de Fourier
Intensidad
Transformada rápida de Fourier
Saturación
Campo espacio-carga
Función de Transferencia de Modulación
Transformada inversa de Fourier
53
suficientemente alta. Entonces la intensidad efectiva se presenta como una superposición de rejillas
de intensidad con distribución senoidal usando la transformada rápida de Fourier. Consideramos
separádamente la respuesta del cristal para cada componente de Fourier del patrón de intensidad
introduciendo una función de transferencia para el cristal. Confiando en la aproximación dada por
el tamaño del paso en nuestro algoritmo y en la comparación exitosa con los resultados
experimentales, empleamos la función de transferencia que regularmente se usa con buenos
resultados para el campo espacio-carga de una rejilla sinusoidal, aunque esta haya sido deducida para
el caso lineal de bajo índice de modulación (Stepanov S. I. y Petrov M. P. 1987),
( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]E k
imEk L
k L E E k L
k L L k L k LSC t
D
t S
t E D t D
t E T t D t S
( ) =−+
+ +
+ + +
1
1 1
1 1 12 2
02 2
2 2 2 2, ( 62 )
donde τDLD = es la longitud de difusión de los electrones, L K T e NS B A= ε ε02 es la
longitud de apantallamiento de Debye, AT eNEL 00εε= es la longitud de desplazamiento de los
electrones relacionada con el campo externo E0.. En nuestros calculos usamos las amplitudes
normalizadas de las componentes de Fourier del patrón de intensidad en lugar del índice de
modulación m. El campo espacio-carga total que incluye las contribuciones de todas las
componentes armónicas se calcula por medio de la transformada inversa de Fourier. Hasta este
punto el cristal es considerado como un medio lineal. Comparando los resultados de este cálculo
con las soluciones numéricas de las ecuaciones de Kukhtarev para patrones de intensidad típicos,
tales como patrones sinusoidales de alto contraste o haces gausianos, uno puede ver que la principal
manifestación de no linealidad de la respuesta fotorrefractiva es una saturación del campo en todas
las posiciones en donde el campo calculado es cercano o mayor que el campo aplicado externo E0.
Al mismo tiempo los cálculos realizados con el esquema mostrado en la Fig. 8. dan un resultado
54
cercano a la solución numérica de las ecuaciones de Kukhtarev para todas las zonas en donde Esc
<< E0. Así que basándonos en esta observación incluimos al campo espacio-carga saturado como
))(exp(1
))(2exp(1)(
0
00 b
SC
SC
SC
SCSSC
ExEa
ExEEEExE
−+
−−= . ( 63 )
donde a y b son parámetros de ajuste, los cuales fueron encontrados ajustando con los resultados
obtenidos para la solución numérica de un haz gausiano como a = 0.75 y b = 1.5. La figura 9
Figura 9 Campo interno calculado para un haz gausiano (a), utilizando la solución numérica del modelo de
dos bandas (b), y utilizando la función de transferencia de modulación MTF.
muestra los resultados de los cálculos del campo espacio-carga para un haz gausiano usando dos
métodos. Uno es la solución numérica de las ecuaciones de Kukhtarev por el método presentado en
la sección previa y el otro es el método presentado en la presente. La conformidad entre los
resultados también se ha corroborado para patrones sinusoidales de intensidad. La figura 9 muestra
algunas características importantes del campo espacio-carga: i) el campo tiene un fuerte gradiente en
el máximo de intensidad del haz original, esto ha sido reportado recientemente en las Ref. (Fuentes-
Inte
nsid
ad, u
n. ar
b.Es
c, k
V/m
mEs
c, k
V/m
m
Inte
nsid
ad, u
n. ar
b.Es
c, k
V/m
mEs
c, k
V/m
m
55
Hernández C. A. y A. V. Khomenko. 1999; Shandarov S. M et al., 1999; Calvo G. F et al. 2000); (ii)
en ambos lados de la región del gradiente la luz se propaga en lo que en primera aproximación sería
un campo eléctrico uniforme. Aplicar el método descrito para los cálculos de no linealidad
fotorrefractiva nos permite acelerar hasta en diez veces el algoritmo del BPM.
III.4 Resultados de simulación numérica para la propagación
La figura 10 muestra los resultados de la simulación numérica bidimensional de la propagación
de un haz gausiano dentro de una muestra “muy larga” (40 mm) y delgada (1 mm) de cristal
Bi12TiO20. Se usaron los siguientes parámetros del cristal: : ε = 47, no = 2.58, λ = 632.8 nm, r41 = 4.5
× 10-12 m/V, y ρ = 6.5 deg/mm. El producto µτ y la concentración de aceptores NA fueron
estimados experimentalmente para nuestra muestra como µτ = 1.7 × 10-11 m2/V y NA =1016 cm-3.
Note que las escalas vertical y horizontal en la figura 10 son muy diferentes. El haz es enfocado
cerca de la superficie de entrada de la muestra. La flecha negra muestra el lugar de entrada y la
dirección de propagación del haz incidente. Las lineas blancas segmentadas muestran la localización
de las caras laterales. Se puede observar que en la región marcada con (1) el haz incidente se confina
por sí mismo cerca de la cara lateral en la parte baja de la figura formando una onda superficial
fotorrefractiva. En esta región la luz acompleta un ciclo del flujo de energía desde el haz reflejado
desde la superficie del cristal hacia el haz incidente sobre éste (Garcia Guirino G. S. Et al. 1995).
Este flujo es unidireccional desde el haz reflejado hacia el haz incidente. Así el haz es confinado
cerca de la superficie del cristal debido a las reflexiones en la superficie lateral y la rejilla
56
fotorrefractiva grabada en esta vecindad. Se ha demostrado teórica y experimentalmente que la onda
superficial excitada por el haz de laser de diámetro limitado pierde energía debido a fugas dentro del
volúmen de cristal (Khomenko et al, 1998, Garcia Guirino G. S et al. 1996). En la Fig.10, uno puede
observar las fugas como haces formando una geometría de abanico saliendo desde la región de las
ondas superficiales.
Figura 10. Propagación de ondas superficiales simulada con el BPM.
En la región del cristal marcada con (2), las ondas de fuga llegan a la superficie lateral en la
parte superior de la figura. En esta región se puede notar otro efecto interesante: una reflexión
interna casi total por medio de la rejilla fotorrefractiva autoinducida. En constraste con la primer
región aquí la energía fluye desde las ondas incidentes hacia las ondas reflejadas. Así solamente una
mínima porción de la luz es reflejada por la superficie del cristal. Interfiriendo con la luz incidente
esta porción induce la rejilla fotorrefractiva que en respuesta refleja la mayor parte de la luz incidente
hacia la otra superficie lateral del cristal. Ambos efectos, ondas superficiales fotorrefractivas y
reflexión interna, conducen al incremento de intensidad de luz cerca de la superficie lateral en la
parte baja de la figura. La luz cercana a la superficie, auto-concentrada, acelera la respuesta
fotorrefractiva del cristal y puede ser útil para diferentes aplicaciones.
57
III. 5 Conclusión del capítulo III
Se presenta el método para el cálculo de la no-linealidad fotorrefractiva. Es un método basado
en el BPM modificado de acuerdo a las bases expuestas en el capítulo II, esto es, en cada paso se
considera el campo eléctrico espacio-carga y los cambios de polarización de la luz. El campo
espacio-carga, en este trabajo, se calcula de dos formas: a) Mediante la solución numérica de las
ecuaciones en el modelo de Kuhktarev; y b) mediante la función de transferencia de modulación.
Cada una de ellas ofrece ventajas que destacan sobre otros métodos reportados en la literatura, de
tal manera que aunque ambos resultan rápidos en esa comparación, entre ellos también hay una
diferencia importante en la velocidad del cálculo. El segundo es más rápido que el primero, pero no
da información explícita sobre la distribución de cargas y de la evolución temporal de la formación
del campo, lo cual es lo más destacado al emplear la solución numérica del modelo de Kuhktarev.
Lo expuesto durante este capítulo es parte de la publicación: “Beam Propagation Method for
Sillenite Photorefractive Crystals”. Por Fuentes-Hernández C. A., A. V. Khomenko, e I. Rocha-
Mendoza. Aceptada en Journal of Optical Technology, V. 69, n.8. 2002.
En adelante el método se convierte en una herramienta imprescindible para estudiar y analizar
la evolución de la luz con distribuciones diferentes a una sola onda plana. En estas condiciones, es
fácil imaginar que en cada caso se puede contar con suficiente información para determinar las
características relevantes en la evolución tanto temporal como espacial de la automodulación de la
luz.
58
IV EVOLUCIÓN DE PATRONES EN CRISTALES FOTORREFRACTIVOS (PRC’s)
Para el estudio de la evolución de los patrones de intensidad planteamos un método numérico-
experimental, esto quiere decir que el método está compuesto principalmente por esas dos partes,
las cuales siendo consistentes entre sí nos llevan a razonamientos que ayudan a explicar lo
observado y a dar las conclusiones necesarias acerca de la situación.
El capítulo IV consta de experimentos que registran los cambios sufridos por diversas
distribuciones de luz atravesando un cristal de Bi12SiO20 (BSO) o de Bi12TiO20 (BTO), todos
diferentes del caso de una sola onda plana. Cada uno será una variante del esquema que se muestra
en la figura 11. El cristal siempre es sometido en su parte más angosta a un voltaje de c.a. de forma
de onda cuadrada, lo cual produce el campo eléctrico necesario para causar los cambios en el patrón
de intensidad que a la salida se observa a través de un polarizador con una cámara CCD.
D1
D2
S L1
f f
L2VP
A
BTO o BSO L3 CCD
M1
M2BS1
OB1
Spkl
El diafragma D1 permite controlar el ancho de banda espectral de la imágen.El diafragma D2 controla el tamaño de la imágen.S es un difusor.
�
El campo eléctrico se aplica en [001] en la muestra de BSO, y en [110] en el BTO.La luz se propaga a lo largo del eje [110].
�
�
Figura 11. Arreglo experimental para el estudio de cambios en un patron de intensidad en PRC’s.
59
La figura 11 es un esquema útil para mostrar la metodología de nuestra investigación. Ésta se
conformó del estudio con un solo haz gausiano, con dos o más de ellos interfiriendo, con patrones
de motas y con imágenes distintas. Todos esos patrones controlados en intensidad y en
polarización, como se muestra en la misma figura. En las siguientes secciones se presenta cada caso.
IV.1 Evolución de patrones de intensidad unidimensionales
Entendemos a un patrón de intensidad unidimensional como aquel en el cual la distribución de
intensidad se repite a lo largo de una dirección. En esta sección estudiamos primero una línea
vertical con distribución gausiana y luego, el patrón de difracción que produce una ranura vertical.
Bien, el estudio de patrones unidimensionales puede ser el primer paso para dar ideas y
primeras aproximaciones a lo que puede suceder en patrones tan complicados como los de una
imagen. Así, es importante conocer la mayoría de los mecanismos que intervienen en los cambios
que sufren estos patrones durante su propagación en el medio fotorrefractivo. Esto ya es en sí
bastante complicado pues el cristal por sí mismo presenta algunas dificultades como efectos por
actividad óptica, volumen y por la birrefringencia inducida por la aplicación de un campo externo.
IV 1.1 Haz gausiano
A lo largo de unos cuantos años, la propagación no lineal de haces de láser en cristales
fotorrefractivos ha sido extensamente estudiada. En particular casos como el estado estable espacial
60
de solitones, solitones brillantes y vórtices, han atraido el reciente interés (Segev M. Et al. 1992;
Meng H. et al 1998; Chen Z. Et al 1997; García Quirino G. S., et al, 1997). La propagación estable de
solitones espaciales requiere un mecanismo de arrastre para la no linealidad fotorrefractiva. En otros
casos, un mecanismo de difusión para la no linealidad da otras posibilidades interesantes, tales como
el direccionamiento y confinamiento de haces, esto es, el autoenfocamiento y la propagación de
ondas superficiales (Zozulya A. A. Et al 1994; García Quirino G. S. Et al 1995; Cronin-Golomb M.
1995; Khomenko et al 1998). Muchas otras aplicaciones importantes de cristales fotorrefractivos
involucran la interacción de dos o más haces y requieren un cristal fotorrefractivo con el mecanismo
de tipo difusión para la formación del campo espacio carga (Stepanov, 1994). En este apartado
presentamos un estudio de la evolución de la forma y la polarización de un solo haz en un cristal
cúbico, y ópticamente activo, tal como los cristales de silenita (Bi12SiO20 y Bi12TiO20). Entre los
antecedentes a nuestro trabajo hemos podido notar que se tiende a ignorar ya sean los efectos del
perfil del haz, la actividad óptica, y/o la birrefringencia inducida por un campo externo (Zozulya et
al 1994; Henry M. Et al 1986; Brignon A. y Wagner K. H., 1993; Sheng Z. Et al 1996; Goff J. R.,
1995; Christodoulides D. N. y Carvalho M. I., 1994). En nuestro grupo, el estudio sobre la
evolución de un haz gausiano tiene como antecedentes inmediatos trabajos anteriores donde
habíamos predicho algunas cosas como la evolución de los modos de polarización y la difracción
del haz (Fuentes-Hernández C. A., 1998). Ahora, con resultados más recientes hemos podido
describir más detalladamente los mecanismos que intervienen y dar aplicación a la modulación de la
polarización. Aquí, presentamos el efecto conjunto de la formación del campo interno espacio-carga
y la propagación de un haz gausiano en un cristal de Bi12SiO20 (BSO) en presencia de un campo
eléctrico externo. Mostramos cómo evoluciona un haz de perfil gausiano inicialmente polarizado
linealmente, encontramos cambios tanto en el espacio como en el tiempo.
61
Figura 12. Esquema experimental para el estudio de la propagación de un solo haz gausiano.
El esquema para el arreglo del experimento se muestra en la figura 12. Se utilizó una muestra
de BSO de 1 x 6 x 8 mm3. En las caras laterales de la muestra se evaporó un par de películas
delgadas de oro (4 x 6 mm2), a fín de que éstas sirvieran como electrodos. Sobre estos electrodos se
aplicó un voltaje bipolar de forma de onda cuadrada a 43 Hz, para crear un campo eléctrico a lo
largo del eje cristalino [001]. El haz propagado fué de He-Ne y se hizo a lo largo del eje [110]. La
intensidad del láser se ajustó por medio de un filtro neutral variable, de tal manera que el tiempo de
respuesta del cristal fuera de aproximadamente 2 segundos, el cual es mucho mayor que el periodo
del campo alternante (23 milisegundos). Después del lente cilíndrico se coloca una placa retardadora
de un cuarto de onda, empleada para polarizar circularmente la luz y, en conjunto con el polarizador
lineal P, facilitar el control de la intensidad y el ángulo de polarización en la entrada del cristal. El
haz fué enfocado con el lente cilíndrico sobre la cara de entrada, así que el resultado fué una línea
vertical con distribución gausiana transversal, a esto le llamamos un haz gausiano unidimensional, ya
que esta distribución solo depende de la coordenada en uno de los ejes. Las imágenes provenientes
del cristal se graban en una cámara CCD ya sea a través de un analizador, A, o sin él. La cámara
CCD no fué sincronizada con la fuente de alto voltaje, así que se grabó una imagen promediada en
el tiempo empleando el modo de adquisición múltiple de la misma.
PCλ/4
P A Cristal CCD Filtro Lentes
He-Ne
62
La figura 13 muestra nueve distribuciones de intensidad grabadas sin el analizador de
polarización A. Las imágenes están grabadas para diferentes amplitudes del campo aplicado con
incrementos de 0.5 kV/mm. El haz es enfocado cerca de la superficie de entrada del cristal con una
cintura de aproximadamente 50 um. Bien, observamos que para campos inferiores a 2 kV/mm se
mantiene un único haz, notando solamente la existencia de un autodoblamiento débil y poco
apreciable porque no alcanza a superar el ángulo de divergencia propio del haz. Luego, cuando el
campo aplicado supera ese valor el haz se desintegra en dos o más rayos. Los rayos en campo lejano
tienen diferente polarización. Por ejemplo, para el caso de un campo aplicado de 4 kV/mm
(fig.13a), el rayo localizado a –1.5° está polarizado linealmente en la dirección del campo eléctrico
aplicado. Al mismo tiempo, el rayo localizado a la derecha de la imágen tiene una polarización
ortogonal.
Los resultados son los que se muestran en la figura 14a y 14b para luz polarizada
paralelamente y perpendicularmente a la dirección del campo aplicado. La amplitud del campo
eléctrico aplicado permanece en 4 kV/mm. Puede notarse que esta distribución equivale a la
desintegración del haz unidimensional original en varias estructuras observadas como franjas
también verticales y separadas una de la otra en forma desigual. Además se nota que el ancho de las
franjas es apreciablemente menor que la cintura inicial.
Figura 13. Intensidad de la luz en campo lejano para diferentes campos eléctricos. (a) Imágenes experimentales; (b) Resultados de simulación numérica.
0
2
4
E, k
V/m
m
0-1-2-3Ángulo de propagation, grados
a )
-4
b )( (
0-1-2-3-4
63
La figura 13b muestra los resultados de los cálculos de las distribuciones de intensidad en
campo lejano para condiciones muy similares a las establecidas en el experimento. Este cálculo se
basa en la modificación propuesta por nuestro grupo de trabajo al método de propagación de haces
(BPM) con la MTF (Fuentes-Hernández C. A et al, 2002). La figura 14c y 14d muestra también
resultados de la simulación numérica, pero ahora para el plano de salida del cristal y para una
polarización linealmente paralela y linealmente ortogonal a la dirección del campo aplicado,
respectivamente.
Ahora, la fig. 15 da las distribuciones bidimensionales simuladas de la intensidad en el plano xz.
Podemos notar: (i) cambios suaves de las componentes de polarización; lo cual aparece como un
“trenzado” de la intensidad en las Figs. 15a y 15c; (ii) autodesvío del haz; (iii) formación de rayos
muy delgados que parten desde el centro del haz original hacia la orilla (dos de estos rayos se
señalan con flechas punteadas en la Fig. 15b).
Figura 14. Imágenes del haz en el plano de salida del cristal fotorrefractivo. (a) y (b) son resultados experimentales para polarización paralela y ortogonal a la dirección del campo aplicado, respectivamente, (c) y (d) son los resultados
correspondientes obtenidos con el cálculo por BPM.
a )
(
500-50-100x, mµ
500-50-100x, mµ
b )( d )(
c )(
64
Figura 15. Simulación numérica de la propagación de un haz gausiano en un cristal BSO con campo aplicado en los ejes cristalinos [001]. (a) – (d) muestran la intensidad de las dos componentes de polarización durante los semiciclos positivo y negativo, respectivamente; (e) la intensidad de la componente de polarización paralela a la dirección del campo eléctrico;
(f) La intensidad total. La línea vertical blanca indica la dirección de propagación.
El primer tipo de evolución del haz puede ser explicado por el acoplamiento entre las dos
componentes linealmente polarizadas en el cristal ahora ópticamente activo debido a la
birrefringencia lineal inhomogenea fotoinducida. El periodo espacial de la evolución de la
polarización (longitud de batido de la polarización) en cristales birrefringentes ópticamente activos
está dado por
)( 22cl nn
b∆+∆
= λ (64)
donde ∆nl y ∆nc son la birrefringencia lineal y circular. De acuerdo a nuestros cálculos, durante el
semiciclo positivo del campo externo el campo total en el interior del cristal tiene un máximo hacia
el lado derecho del haz, y entonces la longitud de batido es más corta. La longitud de batido cambia
en la dirección transversal, lo cual produce la estructura de “trenzado” ilustrada en la figura 15.
z, m
m
50-50 0
x, µm50-50 0 50-50 0
0
2
4
6
0
2
4
6
( a )
( f )
( e )
( d )
( c )
( b )
65
Durante el semiciclo negativo del campo eléctrico externo, la longitud de batido es más corta hacia
el lado izquierdo del haz, lo cual lleva a otro patrón de evolución en el cristal.
Cuando el campo eléctrico está a lo largo del eje cristalino [001] y la luz se propaga a lo largo
del eje [110], los índices de refracción principales son n1=no y n2=no-no3rE(x,z)/2. De esta manera
se explica que solo una de las componentes de polarización sufra la modulación de fase que la lleva
a su separación de la otra. En la práctica observamos esta separación como una desintegración del
haz cuando éste es dividido en múltiples rayos (Fig. 13). Para estimar el campo eléctrico que causa
dicha separación, aproximamos el campo espacial de cargas en la parte central del haz como
002)( wxExE = (65)
donde w0 es la cintura del haz. Luego, despreciando la desviación dentro del cristal, calculamos el
corrimiento de fase como
00302)( wLxrEnx λφ = (66)
que corresponde al ángulo de deflexión
0030 2wLrEnd ≈θ (67)
Las dos componentes de polarización se separan cuando el ángulo de deflexión θd supera la
divergencia angular del haz gausiano θG = 2λ/πw0. Comparando θd y θG, encontramos que la
separación en múltiples rayos se da cuando el campo aplicado excede el valor
rLnEC 3
0
22π
λ=(68)
Para nuestra muestra, la ec. (68) da EC = 1.2 kV/mm. Este valor es cerca de la mitad del valor
que hemos medido experimentalmente. La diferencia es debida a la actividad óptica del cristal que
66
motiva el intercambio periódico de la intensidad de la luz entre las componentes de polarización, lo
cual reduce la longitud efectiva del cristal. Sin embargo, debido a la birrefringencia lineal inducida, el
acoplamiento decrece conforme el campo eléctrico se incrementa. Como resultado, el ángulo de
deflexión se acerca al valor estimado por la ec.(67) cuando el campo eléctrico se incrementa. Luego,
para campos eléctricos muy fuertes se tiene que otro factor que interviene en el efecto es el aumento
en la dimensión transversal debida a la separación de las componentes de polarización dentro del
cristal. Este factor produce la disminución del gradiente del campo eléctrico; de esta forma se
detiene el desvío del haz. Así, la dependencia del ángulo de desvío con respecto al campo aplicado
es el resultado conjunto de la actividad óptica y los cambios de dimensión del haz.
Por otra parte, pensamos que los rayos brillantes originados cerca del centro del haz están
asociados con una “auto-canalización” de la luz. Cada rayo mostrado como una linea brillante en la
figura 15b es acompañado por una línea obscura paralela, así el gradiente negativo de la intensidad
en ambos lados de la linea causa cambios positivos del índice de refracción y forma una guía de
onda. La luz es confinada dentro de esta guía si la luz reflejada interfiere constructivamente con el
haz incidente. Esta condición establece una relación entre el ancho de la línea brillante, d, y su
inclinación con respecto a la dirección de propagación del haz, θS=λ/2nod. El resultado de la
simulación numérica y los datos experimentales dan θS=0.7o y d ≈ 10 µm cuando la amplitud del
campo aplicado es de 4 kV/mm. El ángulo θS se incrementa con el campo aplicado. Creemos que
la formación de estas estructuras es provocada por los elevados gradientes de campo eléctrico en la
región cercana al centro del haz. Los rayos se desintegran cuando llegan a la orilla del haz. En ese
punto, la luz de la guía autoinducida es esparcida desde el haz principal al doble del ángulo de la
67
inclinación de la linea brillante (Fig. 15f, esquina inferior izquierda). Esto debe ser tomado como
una evidencia del guiado de la onda en la linea brillante.
( c )
z, m
m
50-50 0
x, µm50-50 0 50-50 0
0
2
4
6
0
2
4
6
( a ) ( e )
( f )( d )( b )
Figura 16. Imagen calculada con las mismas condiciones que en la figura 15, pero con el campo aplicado en [1 –1 0] y la
cintura del haz de 100 µm.
Ahora discutiremos el efecto de la orientación del cristal. La figura 16 muestra los resultados de
la simulación numérica de la propagación del haz gausiano en un cristal de BSO cuando el campo
eléctrico externo es aplicado a lo largo de la dirección ]011[ . En este caso el ángulo entre la
dirección del campo eléctrico y el eje principal del elipsoide de índices es 45o (Petrov. M. P. Et al
1991). La onda de luz polarizada en la dirección del campo eléctrico no es un modo de normal y de
esta manera experimenta una fuerte modulación debido a la birrefringencia lineal inducida. Los
índices de refracción principales son: n1,2 = no ± no3rE(x, z)/2. En términos de autodoblamiento
esto indica que las dos ondas con polarización ortogonal son deflectadas simétricamente por el
cristal en direcciones opuestas. En nuestra simulación numérica aparece una leve asimetría, la cual
atribuímos a la actividad óptica del cristal.
68
FORMACIÓN DE GRADIENTES DE CAMPO
Hemos llegado a uno de los puntos más importantes de nuestro estudio de la automodulación.
Esto es que ahora estamos en posición de poder explicar la formación de estructura nueva en un
patrón basados en la teoría de la formación de fuertes gradientes de camplo eléctrico en el interior
del cristal. En la literatura (véase por ejemplo, Shandarov S. M et al., 1999; Calvo G. F et al. 2000),
existe evidencia que corresponde con tales cambios abruptos en el campo y en el índice de
refracción a lo largo de la dirección del campo externo. Ahora nosotros explicaremos el mecanismo
mediante el cual la acumulación de cargas es responsable de tales gradientes.
A partir de nuestros calculos numéricos al resolver las Ecs. de Kuhktarev, podemos observar la
evolución temporal de parámetros tales como concentración de cargas, corrientes y campo total
interno. Durante la evolución temporal se pueden observar diferentes etapas: i) El estado lineal; ii)
El estado no lineal; y iii) El estado de saturación. El estado lineal corresponde a los sucesos en
donde los cambios en el índice de refracción son proporcionales a los cambios en el campo
eléctrico, el modelo matemático para el índice de refracción queda muy bien representado por la
derivada del campo eléctrico. En la segunda etapa, aparece la no-linealidad fotorrefractiva, es decir,
los cambios en el índice de refracción en la posición anterior afectan a la propagación misma, ésta al
campo eléctrico y entonces al índice de refracción en la nueva posición. Por último, en saturación se
tiene un estado cuasi-estacionario con respecto a la posición. La figura 17 muestra los resultados
finales, en saturación, para las mismas condiciones que dieron como resultado la segmentación del
haz durante la propagación mostrada en la figura 14. En la figura 17, el inciso (a) muestra la
distribución de intensidad, el inciso (b) el campo eléctrico interno para el semiciclo positivo, y (c) la
distribución total de carga también para el semiciclo positivo.
69
Figura 17. Resultados para la evolución temporal de la distribución de intensidad, el campo interno en el SC positivo y la concentración total de cargas.
Con referencia a la figura 17a, notamos que existen al menos dos fuertes picos de intensidad
bien definidos que se pueden asociar con las posiciones correspondientes a fuertes gradientes de
campo eléctrico en la fig. 17b, y su vez con las posiciones de fuerte acumulación de carga dadas en
17c. En intervalos de tiempo calculados de acuerdo a la velocidad de cambio del campo eléctrico,
nuestro programa de simulación numérica actualiza simultáneamente la distribución de intensidad,
campo eléctrico y distribución de carga en el semiciclo positivo, esto nos da la información sobre la
evolución temporal del proceso. De esta manera se pudo observar que el haz gausiano original, para
este caso con una cintura de 50 µm y con su máximo ubicado en x = 0, inicialmente experimenta
un primer pico de acumulación de cargas en la zona más intensa, lo cual motiva a su vez un primer
fuerte gradiente en el campo interno, en este momento el pico de intensidad se incrementa y
Gradientes de Campo
Picos de intensidad
Acumulación de cargas
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Distribución de Intensidad
Campo eléctrico
Distribución de cargas
70
desplaza hacia la izquierda, dando origen en la imagen a una nueva línea brillante. La distribución de
intensidad restante a la derecha del primer pico facilita la formación del segundo, dando lugar a una
nueva acumulación de cargas y gradiente de campo, por lo tanto también a una segunda línea
brillante. Así, de los picos en la figura 17a, el de la izquierda es el primero en aparecer. Fuera del
caso particular de este ejemplo, podemos decir que conforme aparece cada nueva línea brillante se
producirá un nuevo pico de densidad de carga durante la propagación y el proceso se repite de tal
forma que a partir del haz original se pueden formar varios haces, tal como lo hemos visto a lo largo
de esta sección.
A partir de este momento y hacia el final de este capítulo (sección IV.2.2), veremos que tanto el
tamaño del haz como el campo externo gobiernan la segmentación que puede tener el haz original.
Iniciemos por analizar la formación de los gradientes de campo interno por medio de la
acumulación de carga. Por la simplicidad en la distribución de intensidad original, consideremos la
formación del primer pico de densidad de cargas. En el esquema de la figura 18 ilustramos las
condiciones en saturación para el el semiciclo (SC) positivo y el semiciclo (SC) negativo que nos
ayudarán a explicar la acumulación de cargas.
Einterno
Einterno
Movimiento de electrones
Movimiento de electrones Distribución de cargas
x
ρ(x)Acumulación decarga positiva.
x
x
Semiciclo (+) Semiciclo (-)
Figura 18. Condiciones para SC positivo y negativo Fig. 19 Acumulación de carga.
71
En base a la figura 18, la distribución del campo interno no es uniforme ni en posición ni en
tiempo, pues es diferente para ambos semiciclos del campo externo, de tal forma que las
coordenadas en donde éste desaparece tienen una dependencia del tiempo. Luego, si hablamos del
movimiento de electrones también es diferente, éste se da hacia la izquierda para el SC positivo y
hacia la derecha para el SC negativo, sin embargo dicho movimiento es proporcional al campo y
entonces los puntos mencionados anteriormente, en donde E ≈ 0, actúan como puntos de
restricción para el paso de dichas cargas. Los electrones a la izquierda del punto de restricción del
SC positivo se mueven todavía más a la izquierda logrando llegar hasta una posición más allá de
donde aparecerá el punto de restricción para el SC negativo, durante el cual, en consecuencia, se
impedirá su regreso. Además, debido a que ahora el movimiento es hacia la derecha, los electrones
en este lado del punto tienen la oportunidad de llegar más allá de la posición en que aparecerá el
punto de estricción del SC positivo. El resultado neto es el desalojo de toda la carga negativa desde
la zona que se encuentra entre los dos puntos de estricción, lo cual se manifiesta como la
acumulación de carga positiva en la figura 19. Lo anterior indica que el arrastre y la difusión
determina las condiciones adecuadas para la acumulación de cargas, es decir, ésta depende tanto de
la magnitud del campo aplicado como del ancho del haz, recordemos que esto lo observamos para
Eo>2.2 kV/mm con cinturas del haz de 50 micras.
IV 1.2 Patrón de difracción de una ranura
Desde nuestro punto de vista el estudio de la evolución de un patrón de difracción puede
ser importante por que es una distribución de intensidad que tiene tanto su perfil como sus
componentes de frecuencia espacial bien definidos. Si el patrón de difracción corresponde a un
72
objeto sencillo (como el de una línea obscura) tenemos un patrón de intensidad inhomogénea
formado a partir de relativamente pocas ondas y que entonces nos sirve como primer paso para
estudiar la evolución de una imágen en el interior del cristal fotorrefractivo. El avance en el
conocimiento de estos efectos significa aplicarlos más eficientemente en fenómenos tales como
amplificación, conjugación de fase, detección y realce de bordes, etc.
Como antecedentes a esta investigación podemos decir que existen estudios recientes de la
evolución de la luz producida por difracción, manejada en términos de “ondas de choque” (Iturbe
Castillo M. D et al.. 1997), se experimenta con la obstrucción del haz incidente a la entrada de un
cristal fotorrefractivo causada por un objeto no transparente que actúa como borde, y como
resultado se obtiene una distribución de intensidad similar a las ondas de choque unidimensionales
pero con la particularidad de ser formadas de manera más notoria solo en cierta dirección. Ahora
nosotros profundizamos aun más en el estudio al tomar en cuenta la anisotropía del cristal,
experimentar con objetos de diferente perfil y plantear un modelo de la evolución.
El acoplamiento entre dos ondas en un cristal fotorrefractivo es la respuesta no lineal a la luz
de dos haces o más formando un patrón de interferencia al interceptarse dentro de él. Gracias a este
acoplamiento y a la aplicación de un campo eléctrico de c.a. sobre el cristal, éste presenta la
amplificación en intensidad de uno de los dos haces (Stepanov S. I.y Petrov M. P., 1985). En
particular, la amplificación en cristales fotorrefractivos de Bi12TiO20 y Bi12SiO20 (BTO y BSO,
respectivamente) ya ha sido estudiada, y en base a esto elegimos este tipo de cristales para investigar
ahora el caso de la amplificación de patrones de difracción. Así, presentamos el estudio de la
propagación de la luz que compone a una imagen sencilla que se forma en la vecindad de la cara de
entrada del cristal.
73
El estudio experimental se basa en un arreglo similar al que se emplea para la propagación de
un haz gausiano (Fig. 12), pero ahora modificado en tal forma que la distribución de intensidad en la
cara de entrada del cristal es la imagen del objeto que obstruye al haz. En este caso utilizamos una
línea obscura vertical, vease la figura 20. El haz inicial es linealmente polarizado en la dirección que
se obtiene la mayor amplificación. Debido a la transparencia del cristal la evolución del patrón
puede observarse en varios planos a través de todo el volúmen utilizando un microscopio y se
pueden grabar con una cámara CCD. Por otra parte, gracias a la gran calidad óptica del cristal
hemos podido aplicar hasta 20 kV/cm sin tener efectos nocivos para nuestras observaciones, tal
como el esparcimiento causado por defectos y que regularmente se manifiesta como el efecto
abanico.
Figura 20. Esquema experimental para el estudio de la evolución de un patrón de difracción en un cristal fotorrefractivo.
Las figuras 21a y 21b muestran las distribuciones de intensidad en el plano que corresponde a
la cara de salida del cristal en ausencia y presencia del campo eléctrico externo, respectivamente; en
las figs. 21c y 21d se muestra un promedio de la intensidad en función de la posición a lo largo de la
dirección del campo aplicado (eje x del laboratorio).
74
Si no existe campo externo aplicado, entonces la distribución de intensidad a la salida
corresponde únicamente al patrón de difracción (franjas verticales) provocado por los bordes del
objeto, en este caso existe una simetría entre la distribución de intensidad a ambos lados del objeto
(inciso a ó c). En cambio, cuando aumentamos la magnitud del campo externo existe una variación
en el patrón, encontrando que el contraste aumenta solo para las franjas debidas al borde derecho,
mientras las del borde izquierdo pierden contraste (inciso b ó d).
Figura 21. Distribuciones de intensidad en la cara de salida de un cristal BSO. (a) y (b) Patrones formados al aplicar Eo = 0 kV/cm y Eo = 25 kV/cm, respectivamente; (c) y (d) Promedio de intensidad en la dirección X para los casos en (a) y
(b) respectivamente.
La figura 22 muestra la imagen del objeto visto a través del cristal. En el inciso (a) el campo
aplicado es cero, y solo tenemos a nuestro objeto enfocado sobre la cara de entrada del cristal, su
gráfico se da en la figura 22c. Luego, la fig. 22b nos muestra el efecto de incrementar el campo a 25
kV/cm, es muy notoria, entre otras cosas, la existencia de una línea delgada y muy intensa en la
posición que corresponde al borde derecho del objeto, esto se verifica con el gráfico de la figura
(c) (d)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100Distancia (micrómetros)
Inte
nsid
ad (U
. Arb
itrar
ias)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100Distancia (micrómetros)
Inte
nsid
ad (U
. Arb
itrar
ias)
(b)(a)
75
22d. En consecuencia podemos afirmar que en este plano la redistribución de la energía es tal que el
perfil del borde derecho obtiene un realce y mayor definición.
Figura 22. Distribuciones de intensidad en la cara de entrada de un cristal BSO. (a) y (c) muestran el objeto visto a través del cristal, Eo = 0 kV/cm. (b) y (d) muestran la redistribución de la intensidad cuando Eo = 25 kV/cm.
Explicamos el realce ocurrido solo en el perfil del lado derecho como la amplificación de la
difracción causada por ese borde del objeto. Para ayudar en la explicación, utilizamos nuevamente
una simulación numérica de la propagación de la luz en BTO. En la figura 23a, tenemos la
simulación para un haz parcialmente bloqueado incidiendo la cara de entrada de un cristal de BTO.
Se observa que la luz que se difracta hacia la derecha se amplifica mientras que la que la del lado
izquierdo toma con una intensidad inferior. La figura 23b da la idea de nuestro modelo y resume lo
que podemos observar de la simulación y del experimento, el haz incide sobre el objeto y provoca
nuevas ondas que parten desde sus bordes hacia las caras laterales del cristal, estas ondas interfieren
con las ondas que se propagan en la dirección original. La no linealidad del efecto fotorrefractivo
provoca que el acoplamiento entre las dos ondas cause amplificación sólo en uno de los dos lados
del patrón, es decir se amplifica sólo la difracción causada por uno de los bordes del objeto.
0 100 200 300 400 500 600 700 800Distancia (micrómetros)
Inte
nsid
ad (U
. Arb
itrar
ias)
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Distancia (micrómetros)
Inte
nsid
ad (U
. Arb
itrar
ias)
(c)
(a) (b)
(d)
76
Figura 23. Evolución de un patrón de difracción en un cristal fotorrefractivo. (a) Simulación numérica; (b) Ilustración.
Las ondas de difracción amplificadas a lo largo del cristal, cuando se observan desde una
posición a la salida, son enfocadas sobre el plano en que se iniciaron, el cual es precísamente el
plano de formación de la imagen y por lo tanto el efecto se observa como el realce de uno de los
bordes.
En conclusión, hemos estudiado la evolución de la distribución de los patrones de difracción
en un cristal de Bi12TiO20 y mostramos que la respuesta no lineal del cristal está estrechamente
relacionada con el acoplamiento entre las ondas motivadas por difracción y el haz original, tiene
como consecuencia cierta amplificación de la luz que proviene, en este caso, de uno de los bordes
del objeto, ayudando así a que el patrón de difracción provocado por éste tenga un realce y se defina
mejor su perfil. En general, condiciones de entrada diferentes para el patrón, tales como distribución
de intensidad y polarización, pueden llegar a producir una mezcla de ondas múltiples que produce
un resultado interesante en la imagen de salida, tal como mostramos en la siguiente sección.
(a)
Haz incidenteObjeto
Cristal
DifraccionDifraccion
Luzamplificada
(b)
77
IV. 2 Evolución de patrones de intensidad inhomogenea
IV.2.1 Imágenes
El procesamiento de imágenes con cristales fotorrefractivos generalmente ha sido desarrollado
en configuraciones holográficas, en donde es necesario un haz de referencia. Hasta donde nosotros
sabemos, el único intento de procesamiento de imágenes en configuraciones no holográficas se dió
con los experimentos de moduladores espaciales de luz (SLMs) (Feinleib J. y Oliver D. S. 1972, y
además Petrov M. P. et al. 1981 ), en específico el PROM y el PRIZ. Ellos emplean las
características electroópticas del material empleado para modificar el contraste de la imagen.
En nuestra investigación resulta interesante determinar cómo evoluciona la imagen en un
cristal fotorrefractivo donde no existe un haz de referencia. Hemos observado que para
distribuciones no tan complicadas existen cambios en la distribución de la intensidad que favorecen
a algunos efectos tales como amplificación y realce de bordes (Capítulo III). A continuación se
presentan los resultados experimentales para imágenes cuyo contenido espectral es un poco más
amplio.
La figura 24 no es solo una ilustración de cómo se lleva a cabo el estudio de la evolución de
una imagen, es también una muestra de la capacidad de nuestro programa de simulación, ya que la
propagación que ahí aparece es el resultado simulado para el caso de un haz parcialmente
bloqueado por un objeto, se muestra la propagación en el vacío, así como también la influencia de
78
los lentes y del cristal fotorrefractivo. Utilizamos un cristal ya sea de BSO o de BTO, polarizamos
linealmente la luz que ilumina al objeto y enfocamos la imagen sobre un plano bien determinado
con respecto a la ubicación de la muestra. Aplicamos un voltaje de forma de onda cuadrada sobre el
cristal para enfatizar la no linealidad fotorrefractiva tipo difusión y analizamos la intensidad y
polarización a la salida del sistema.
L1 L2 Plano imágen
Plano Objeto
Dirección de propagación de la
luz.
cristal BSO
Figura 24. Ilustración del método de estudio de la propagación de una imagen en un cristal fotorrefractivo, el cual incluye
una parte experimental y cálculos por simulación numérica.
En el experimento las imágenes resultantes son grabadas en una cámara digital (CCD), el
objeto de entrada fué un patrón de pruebas de resolución, las figuras 25 y 26 muestran algunos
(a) (b)
Figura 25. Objeto visto a través de un cristal de BTO cuando Eo=12.5 kV/cm. Respuesta con distribución de intensidad simétrica.
79
resultados. Se puede apreciar que los cambios en la distribución de intensidad se dan principalmente
en dos formas: (i) un régimen donde existe una simetría; y (ii) un régimen donde se tiene una
dirección preferencial de distribución. En el caso simérico, por ejemplo en las figuras 25a y 25b, los
bordes del objeto cuyas normales se aproximan a la dirección del campo eléctrico aplicado se
realzan con una intensidad parecida independientemente de su posición relativa en la imagen. En
cambio, para el caso mostrado en la figura 26a y 26b existe una clara amplificación hacia la izquierda
de la imagen. Los elementos que aparecen a la izquierda experimentan una redistribución de
intensidad más fuerte que los que están a la derecha de la imagen. El efecto depende de la amplitud
del campo eléctrico aplicado y como primera observación notamos que tiene que ver con la
presencia o ausencia al mismo tiempo del efecto abanico. En ausencia de este último la respuesta es
simétrica, en presencia de él la respuesta es asimétrica.
Figura 26. Objeto visto a través de un cristal de BTO cuando Eo=25 kV/cm. Respuesta con distribución de intensidad asimétrica.
Cuando la imagen es enfocada en el interior del volúmen del cristal, las componentes de
frecuencias espaciales de la imagen interfieren adentro de él. El patrón de interferencia que se graba
motiva un intercambio de energía entre las componentes del espectro espacial. Dependiendo de las
direcciones mutuas de propagación, algunas componentes pueden ser amplificadas a expensas de
otras, las cuales son atenuadas. El resultado es que la imagen es transformada en el cristal
80
fotorrefractivo por el efecto de la mezcla de múltiples ondas. Las ondas amplificadas son enfocadas
en el punto de orígen, dando lugar a las líneas brillantes que observamos en ambos bordes del
objeto.
IV.2.2 Patrones de motas
Es bien sabido que la interacción no lineal de luz en un medio fotorrefractivo involucra dos
principales aspectos: La formación de un campo espacio-carga fotoinducido y la difracción de la luz
por las variaciones del índice de refracción del medio. En la actualidad vemos que un gran número
de trabajos han sido dedicados ya sea al primero o al segundo aspecto del problema. Notablemente
un menor número de trabajos ha tratado simultáneamente los efectos debidos a la formación del
campo espacio-carga y la propagación de la luz en el cristal fotorrefractivo (Andersen P E. Et al
1999). No obstante, los efectos transversales juegan un papel importante si el cristal es lo
suficientemente largo. A continuación tratamos este caso, mostrando la relevancia de los efectos
debidos a la modulación en la dirección del campo aplicado para la explicación de los posibles
cambios de un patrón de motas a través de un cristal fotorrefractivo. Estudiamos experimental y
numéricamente la evolución del patrón cuando la luz se propaga en un cristal cúbico fotorrefractivo
bajo un campo eléctrico externo alternante, y mostramos que el tamaño promedio de una mota
puede ser disminuido notablemente. Consideramos que lo anterior es debido a las
inhomogeneidades asociadas con los fuertes gradientes propios del campo espacio-carga. Las ondas
difractadas entonces sufren una amplificación debido a la mezcla múltiple de ondas y se redobla la
modificación al patrón de entrada. La reducción del tamaño promedio de las motas puede afectar
positivamente la detección de vibraciones o desplazamientos de los patrones.
81
El experimento consiste en la transmisión de un patrón de motas a lo largo de un cristal silenita
sometido a un alto voltaje alternante que enfatiza la formación del campo espacio-carga en el
interior de la muestra. El arreglo experimental se esquematiza en la figura 27. Para simplificar el
análisis de los resultados experimentales usamos un patrón de motas con espectro espacial
controlado y con una distribución de intensidad que se repite a lo largo de un eje (al cual llamaremos
patrón de motas unidimensional de aquí en adelante). Un haz de láser He-Ne expandido y de
aproximadamente 15 mW ilumina un difusor a través de una abertura. La máxima frecuencia
espacial y la forma del espectro espacial del patrón de motas es determinada por la distribución de
luz en el plano del difusor. Después del difusor el patrón de motas es desenfocado en una dirección
por un lente cilíndrico. La intensidad de luz incidente sobre el cristal se ajusta con un atenuador de
tal manera que se tenga el tiempo de respuesta del cristal de aproximadamente 2 segundos, el cual
tiene que ser mucho mayor que el periodo del voltaje alternante aplicado. La placa de un cuarto de
onda, λ/4, y el polarizador se utilizan para controlar la polarización de la luz de entrada. Las
imágenes del patrón de motas en el plano de salida del cristal fotorrefractivo se graban con una
cámara CCD a través de un analizador de polarización.
Figura 27. Esquema del arreglo experimental para el estudio de un patrón de motas en un cristal fotorrefractivo. S es un difusor; D1 y D2 son diafragmas que permiten controlar el ancho de banda y tamaño de la imagen, respectivamente.
Laser He-Ne Diafragma
Difusor
LentePolarizador Cristal BSO Lente Analizador
CCD
Fuente HV
x yz
λ /4
82
En este experimento se utilizó un cristal de BSO de tamaño 1 x 8 x 9 mm3. La muestra es
relativamente delgada, por lo que permitió aplicar un campo eléctrico alternante de hasta 40 kV/cm.
El campo eléctrico se aplicó en la dirección [ ]011 mientras que la luz se propagó a lo largo del eje
[ ]110 .
La figura 28 muestra uno de los patrones unidimensionales típicos grabados en el plano de
salida del cristal sin y con el voltaje de c.a. aplicado. Cuando el campo externo es E0 = 0, los
cambios del patrón de salida causados por el efecto fotorrefractivo asociado con un campo espacio-
carga por difusión es despreciable. Es este caso, usamos el patrón grabado con E0 = 0 como
referencia para el análisis del patrón resultante a cuando existe un campo de c.a. aplicado. En la
figura 28b y 28d se muestra el resultado de aplicar el campo de c.a., podemos ver claramente que en
el patrón de salida existe un tamaño promedio menor para las inhomegeneidades de intensidad.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 10.8x, mm
y, mm
0 0.2 0.4 0.6 10.8x, mm
y, mm
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x, mm
Inte
nsity
, arb
. uni
t.
(c)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x, mm
Inte
nsity
, arb
. uni
t.
(d)
Fig. 28. Patrón de motas unidimensional grabado en la cara de salida de un cristal de BSO. (a) E0 = 0; (b) E0 = 25 kV/cm; (c) y (d) distribución de intensidad en la horizontal para las imágenes mostradas en (a) y (b), respectivamente.
83
El resultado final es evidente, sin embargo, para explicarlos necesitamos conocer la evolución
en el interior del cristal, aquí es de gran ayuda nuestro método de cálculos numéricos (BPM). El
mismo que se describió en el capítulo III y que utiliza una solución aproximada a las ecuaciones de
Kuhktarev. El resultado de la simulación numérica de la propagación de la luz se muestra en la
figura 29. Para el cálculo, usamos como una amplitud inicial la que corresponde a la distribución de
intensidad del patrón mostrado en la figura 28a. El campo alternante fue de 25 kV/cm, como en el
experimento. Los parámetros del cristal empleados fueron: ε = 47, no = 2.58, λ = 632.8 nm, r41 =
4.5 × 10-12 m/V, y ρ = 6.5 deg/mm. El producto µτ y la concentración de aceptores NA fueron
estimadas experimentalmente para nuestra muestra en uno de los trabajos previos como µτ = 1.7 ×
10-11 m2/V and NA =1016 cm-3.
0 0.2 0.4 0.6 10.8x, mm
y, m
m
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
x, mm
Inte
nsity
, arb
. uni
t.
Fig. 29.(a) Imagen calculada en la cara de salida del crystal; (b) Distribución de intensidad sobre la horizontal.
Aunque la imagen calculada mostrada en la figura 29 no es idéntica con la imagen experimental
de la figura 28, uno puede ver una similitud cualitativa entre ellas. Ambas imágenes contienen más
estructura fina que la imagen de entrada. El ancho promedio de las motas ha sido notablemente
disminuido debido a la interacción de la luz en el cristal. Las diferencias entre los resultados
84
experimentales y las imágenes calculadas se pueden atribuir a la pérdida de ciertas partes en la
amplitud y de toda la información de fase contenida en el patrón original experimental
Los resultados de los cálculos de BPM nos permiten un análisis detallado de la evolución tanto
de la amplitud del campo de motas como del estado de polarización a lo largo del cristal. La figura
30 muestra la evolución de la distribución de intensidad con el patrón inicial dado como el que
produce la figura 28a y el patrón final que corresponde con el de la figura 29a. Note que hay una
escala diferente en los ejes horizontal y vertical de la figura 30. El campo de motas de entrada tiene
una polarización lineal horizontal. La figura 30b es la evolución de la componente vertical, y
muestra que no solo hay cambios en intensidad, sino también en polarización cuando la luz se
propaga en el cristal. El análisis detallado de los datos numéricos muestra que el campo de motas
sufre tres formas de cambios de perfil y polarización. El primero es la automodulación de
polarización causado por la no-uniformidad del campo espacio-carga inducida en el cristal por las
motas. El segundo es el autodoblamiento del patrón. El último en la lista pero igual de importante
es la formación de las líneas brillantes, las cuales se originan en la parte central de cada mota, pero
sin que todas las motas participen en esto. Los nuevos haces generados son amplificados por la
mezcla de ondas múltiple. Y notamos que esto tiene similitud con el caso de un solo haz que
analizamos en el inicio del presente capítulo. La forma en que evoluciona el patrón en el interior del
cristal tiene una fuerte dependencia de la longitud del cristal. En un cristal corto la automodulación
de polarización es el efecto dominante, mientras que en un cristal largo la formación de los nuevos
haces con la posterior amplificación vía mezcla de ondas da la contribución principal en los cambios
del espectro espacial del patrón de motas.
85
0.75
0.25 0 2 4 6 8 , mmz
x, m
m0.75
0.25 0 2 4 6 8 , mmz
x, m
m
(a) (b)
Fig. 30. Distribución de intensidad simulada a lo largo del cristal. (a) La intensidad total; (b) la intensidad de la
componente de amplitud con polarización vertical.
El decrecimiento del tamaño promedio de las inhomogeneidades es un efecto positivo para
aplicaciones tales como sensores de desplazamiento o vibración. En el capítulo V presentaremos un
sensor de este tipo con muy alta sensibilidad (reportado también en Kamshilin et al, 1999), dicha
sensibilidad está relacionada con la inestabilidad del patrón de motas discutida hasta este momento.
La causa de esta inestabilidad son los fuertes gradientes en el índice de refracción fotoinducidos en
la dirección transversal cerca da cada región de intensidad máxima en el patrón de motas. Esos
gradientes, como hemos dicho a lo largo de este capítulo de la tesis, son producidos por
singularidades espacio-carga. Nuestros cálculos muestran que incluso tratándose de patrones de
motas, esas singularidades siguen manifestándose, esas singularidades por sí mismas no pueden
afectar notablemente la sensibilidad de un sensor, sin embargo, provocan una inestabilidad en la
propagación que incrementa el número de máximos de intensidad, lo cual es la causa directa del
incremento en sensibilidad. Por medio de esta vía indirecta la formación del campo espacio-carga
afecta la sensibilidad del sensor de vibración.
El análisis detallado de la figura 30 muestra que no todas las inhomogeneidades del patrón
producen inestabilidad, solo lo hacen las inhomeneidades de cierto rango de tamaño. Esta
observación está de acuerdo con nuestros cálculos acerca del la dependencia del campo espacio-
86
carga con el tamaño de la mota. Para este cálculo consideramos cada área iluminada del patrón
como un canal separado en el cual cada mota se propaga sin interactuar con otra en su vecindad. Si
aproximamos a cada mota como un haz gausiano podemos calcular el gradiente del campo espacio-
carga en estado estacionario en el centro del haz como una función de la dimensión de esta
gausiana. Utilizamos nuestro algoritmo basado en la solución de las ecs. de Kuhktarev.
Fig. 31. Gradiente normalizado del campo espacio-carga para diferentes amplitudes de campo externo.
La figura 31 muestra la dependencia del gradiente del campo espacio-carga con la dimensión
del haz. Para tener una aproximación lineal del campo espacio-carga utilizamos como factor de
normalización al valor de gradiente de campo, wEdxdE 02= , donde E0 es la amplitud del
campo externo y w es la cintura del haz. La posición del máximo de cada curva en la figura 31
corresponde con el tamaño de la cintura del haz, el cual a su vez es aproximadamente igual a la
longitud de arrastre de los portadores de carga, 0ELD µτ= . El rango de tamaño del haz, que
permite el énfasis de los gradientes del campo, además depende de la amplitud del campo de c.a.
0 100 200 300 4000
5
10
15 Eo = 1 kV/mm
Eo = 2 kV/mm
Eo = 4 kV/mm
Dimensión del haz, µm
Grad
ient
e de
cam
po n
orm
aliz
ado
0 100 200 300 4000
5
10
15 Eo = 1 kV/mm
Eo = 2 kV/mm
Eo = 4 kV/mm
Dimensión del haz, µm
Grad
ient
e de
cam
po n
orm
aliz
ado
Dimensión del haz, µm
Grad
ient
e de
cam
po n
orm
aliz
ado
87
aplicado. Para un campo externo elevado este rango es amplio, sin embargo éste incluye
principalmente a haces de gran dimensión, los cuales quedan fuera del interés práctico para el caso
de sensores basados en patrones de motas. De esta manera, si se espera trabajar con patrones de
motas en este tipo de sensores, se tiene que poner especial atención en el tamaño promedio de las
inhomogeneidades.
Figura 32. Simulación numérica de la propagación de un patrón de motas con tamaño promedio de 50 µm. (a) Intensidad total; (b) Intensidad de componente con polarización horizontal; (c) Intensidad de componente con polarización vertical.
Siendo consistentes con lo expuesto a lo largo de la tesis, podemos decir que el
comportamiento de un patrón de motas también obedece a la contribución conjunta del campo
eléctrico interno y de la mezcla de ondas múltiple dada durante la propagación. La figura 32 muestra
un nuevo cálculo de la distribución a lo largo del cristal para un tamaño promedio en el patrón de
aproximadamente 50 µm, el cual según la gráfica en la figura 31 debe dar un efecto más enfatizado
cuando apliquemos 2 kV/mm. En la misma figura mostramos la intensidad total y las intensidades
de las componentes de amplitud con polarización horizontal y vertical. Notamos que ahora es más
evidente la filamentación de cada mota y que cada filamento se desvía a un ángulo mayor, también
notamos que la propagación insinúa la misma “imagen de trenzado” observada en el caso de un
solo haz, recordemos que ésta es provocada por el batido de cada componente de polarización.
z,m
m
200-200 0x, µm
200-200 0 200-200 0
0
2
4
6
( a ) ( c )( b )
z,m
m
200-200 0x, µm
200-200 0 200-200 0
0
2
4
6
( a ) ( c )( b )
z,m
m
200-200 0x, µm
200-200 0 200-200 0
0
2
4
6
( a ) ( c )( b )
z,m
m
200-200 0x, µm
200-200 0 200-200 0
0
2
4
6
( a ) ( c )( b )
88
En resumen, en la simulación de la propagación observamos que inicialmente cada haz se
desvía y segmenta, luego estos haces desviados pueden llegar hasta zonas iluminadas por otro haz,
acoplar su energía, amplificarse y entonces tener la posibilidad de llegar hasta el plano de salida. La
distribución final de intensidad sugiere la presencia de estos nuevos haces, mucho más delgados, tal
como en el caso de un solo haz gausiano.
Figura 33. Simulación numérica. Distribución de intensidad a la salida del cristal, campo interno para el semiciclo positivo, y distribución de cargas.
La figura 33 confirma el párrafo anterior; aquí tenemos la muestra del comportamiento del
campo total interno y de la distribución de cargas para el semiciclo positivo. Notamos,
consistentemente, que la ubicación de las motas de mayor intensidad corresponde nuevamente con
la ubicación de los mayores gradientes en el campo eléctrico y con las posiciones en donde se
encuentra mayor densidad de carga.
En conclusión, hemos mostrado tanto experimental como numéricamente que un patrón de
motas sufre una fuerte modificación cuando la luz se propaga en un cristal fotorrefractivo con un
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
(a)
(b)
(c)
x, µm0 100-100-200
Intensidad
Campo eléctrico
Densidad de cargas
-300
89
campo eléctrico alternante aplicado. El tamaño promedio de las inhomogeneidades decrece como
resultado del esparcimiento de la luz sobre los fuertes gradientes de índice de refracción dados por
los máximos con propiedades adecuadas en la distribución de intensidad, dichas propiedades
dependen tanto del campo aplicado como del tamaño promedio original en el patrón.
IV. 3 Conclusión del capítulo IV
Mostramos que los cambios de un patrón de intensidad a su paso por un cristal fotorrefractivo
de silenita relacionan muy estrechamente al campo eléctrico total interno y a la propagación en el
cristal. Explicamos el proceso de formación de gradientes de campo total interno como
consecuencia de una fuerte acumulación de cargas en las zonas de máximos de intensidad en la
dirección del campo aplicado externamente. Por otro lado, uno de los mecanismos más importantes
durante la propagación es la mezcla de ondas múltiple, lo cual permite el acoplamiento de energía
entre la luz difractada en el interior de la muestra y la luz viajando en dirección original. La
metodología de investigación es consistente con lo expuesto en los capítulos anteriores y utilizamos
fuertemente la simulación numérica para analizar los resultados experimentales en los casos de un
solo haz gausiano, un patrón de difracción, imágenes y patrones de motas.
La automodulación óptica en la dirección transversal a la propagación provoca cambios
significativos tanto en la intensidad como en la polarización de la luz viajando en el cristal. En el
capítulo siguiente veremos que la automodulación de polarización puede tener algunas aplicaciones.
90
V. APLICACIONES
Introducción
Durante los años de investigación relacionada en esta línea hemos constatado la aportación de
ideas y trabajos en el campo de las aplicaciones. Hablando en nombre propio, debido a su claridad e
intención, me permito traducir cuasi-literalmente una pequeña parte de la introducción dada en un
texto muy interesante escrito por una de las personas más reconocidas en tan mencionado campo
(Stepanov, 2001): “Después de la primera observación experimental de “daño óptico” en algunos
cristales ferroeléctricos electro-ópticos (Ashkin A. et al 1966) y enseguida de la demostración de la
posibilidad de su uso en una eficiente grabación holográfica de volumen (Chen F. S. et al 1968), el
efecto fotorrefractivo (como ahora se le conoce) atrajo la atención de muchos investigadores en el
mundo. El número total de publicaciones originales en la física y aplicaciones de los cristales
fotorrefractivos (PRCs) ha alcanzado el orden de miles, sumando todavía a algunos libros y
volúmenes de tópicos; ver, por ejemplo, (Günter P. y Huignard J.P. 1989; Petrov M. P. et al 1991;
Yeh P. 1993; Solymar L. et al 1996). Entre las aplicaciones de mayor importancia del efecto
fotorrefractivo están la caracterización de los propios cristales, las memorias holográficas,
conjugación de fase, interferometría holográfica dinámica, y el reconocimiento de patrones. En
general, todas esas aplicaciones utilizan la difracción de la luz desde el holograma de fase grabado en
el volumen, el cual puede ser observado en tiempo real, debido a que el desarrollo del holograma no
91
es necesario. Este holograma de fase en el volumen [i.e., variaciones periódicas espacialmente del
índice de refracción ∆n (x) ] es una visualización simple de un patrón del campo espacio-carga Esc
por medio del efecto electro-óptico. Este último es desempeñado en el cristal fotorrefractivo como
un resultado de la iluminación dada por un patrón de luz no uniforme espacialmente (por ejemplo,
el patrón de interferencia en un experimento no holográfico)”. El Dr. Stepanov ha contribuido
notablemente con el estudio y la aplicación del efecto de fuerza foto-electromotriz (Photo-EMF), el
cual considera básicamente una corriente eléctrica como producto de la interacción de la luz con el
medio fotorrefractivo.
En particular, volviendo a nuestro propio texto, los antecedentes mencionados nos motivan a
proponer el uso de los efectos estudiados en nuestra investigación para el campo de las aplicaciones.
Elegimos dos de nuestros resultados principales: 1) la modulación de la difracción para aplicarlo
básicamente en un método de procesamiento de imágenes y; 2) la automodulación de la
polarización para emplearla en la detección de desplazamientos de superficies rugosas.
En la sección V.1 damos un método que finalmente propone una función de transmitancia que
caracteriza al cristal. Con el conocimiento de dicha función es posible establecer los cambios que
sufre una imagen al pasar por un cristal fotorrefractivo, logrando predecir fenómenos tales como el
enfatizamiento de bordes y la amplificación de intensidad en una imagen.
En la sección V.2 presentamos un método simple para la detección de desplazamientos de
superficies basado en la automodulación de polarización observada en cristales fotorrefractivos. El
modelo expuesto permite que las principales características puedan ser explicadas, entre ellas,
mostramos cómo el desplazamiento lateral de luz es linealmente transferido a una variación de la
intensidad transmitida a través del cristal. La explicación más profunda de la física en el efecto de
92
automodulación de polarización dada en esta Tesis, es el resultado de continuar su investigación
desde la primera vez de su reporte (Fuentes-Hernández C. A., 1998), por otra parte, su aplicación en
detectores de desplazamientos inició por la colaboración del Dr. Alexei Kamshilin de la Universidad
de Joensu, en Finlandia, algunos de los resultados más relevantes del trabajo conjunto ya fueron
publicados (Kamshilin A. et al. 1999).
V.1 Procesamiento de imágenes. La función de transmitancia del PRC
En base a las observaciones hechas con imágenes y con patrones de motas en el plano de
Fourier para analizar su comportamiento en frecuencia podemos llegar al caso particular de
describir al cristal como una función de transmitancia y entonces poder tener una idea de los
cambios que puede sufrir una imágen al propagarse en él. Una primera aproximación a lo que serán
los cambios en la imagen resulta interesante desde nuestro punto de vista.
La figura 34 muestra el espectro espacial de un patrón de motas al aplicar un campo de 7.5
kV/cm sobre un cristal de BTO. Notamos que efectivamente en este plano no existen cambios ni
en la distribución de las motas ni en su tamaño, solamente en la intensidad de algunas de sus
componentes.
93
Figura 34. Espectro espacial de un patrón de motas transmitido a través de un cristal de BTO.
Si analizamos gráficamente estos datos notamos que existe una indiscutible amplificación de
algunas componentes y la atenuación de otras, la ganancia está en función de la frecuencia espacial y
del campo eléctrico aplicado (ver figura 35).
Figura 35. Datos experimentales: Ganancia en función de la frecuencia espacial.
Como primera aproximación podemos considerar la conservación de la energía en el sistema y
despreciar el efecto fotorrefractivo en nuestros cristales en ausencia de un campo externo, así
proponemos a la ganancia Γ(ξ, ν) medida en el dominio de las frecuencias como:
0
1
2
-1
-2
0-50 100-100 50ξ , lp/mm
2ln(
Τ (ξ
) )
(1) E = 5.0 kV/cm
(2) E = 7.5 kV/cm
(3) E = 10 kV/cm
(1)
(2)
(3)
0
1
2
-1
-2
0-50 100-100 50ξ , lp/mm
2ln(
Τ (ξ
) )
(1) E = 5.0 kV/cm
(2) E = 7.5 kV/cm
(3) E = 10 kV/cm
(1)
(2)
(3)
E = 0 E = 7.5 kV/cm
-100 10000
0
-100
100
-100
100
0
100 -100
ξ, lp/mm
ν , l
p /m
m
94
=Γ
),(),(ln1),(
0 υξυξυξ
II
LE
(69)
donde ),(0 υξI e ),( υξEI son las intensidades en el plano de Fourier más allá del cristal sin y con
el campo eléctrico externo, L es la longitud del cristal. Aunque en nuestro caso de mezcla de las
múltiples ondas que componen a la imagen la ganancia es mucho menor que la reportada para
cristales de BTO en una configuración holografica (Khomenko A. V. et al. 1996A), notamos que
aquí existe una fuerte redistribución de la energía entre las componentes espaciales que provoca
cambios drásticos en la imagen, especialmente en las altas frecuencias.
Podemos decir que la ganancia Γ(ξ, ν), de la cual hablamos en los párrafos anteriores, es
directamente proporcional a la transmitancia del cristal T(ξ, ν), así en estos términos podemos
iniciar nuestro planteamiento como:
=
),(),(),(
0 υξυξυξ
IIT E
(70)
donde ),( υξEI e ),(0 υξI , al igual que en la ec.(69), son las intensidades en el plano espectral en
presencia y en ausencia del campo externo, respectivamente. Luego, en base a los datos mostrados
en la figura 35, podemos aproximar un comportamiento exponencial para la ganancia y entonces
para la transmitancia, lo cual podemos expresar como
95
><Γ
=m
mAT
ξξξξξ
υξ,0
),exp(),(
(71)
donde mξ es la máxima frecuencia espacial para el patrón de speckle (por ejemplo 100 mm-1 para el
caso de la figura 34), y A es la amplitud, la cual dada también bajo la suposición de conservación de
la energía la podemos escribir como
∫∫−−
Γ=m
m
m
m
dIdIAξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξξ )2exp()()(2(72)
de donde, si 0)( II =ξ , tenemos que
)2(2
ξξΓ
Γ=sinh
A(73)
y por lo tanto la función de transmitancia espectral, T (ξ, ν), queda determinada. Así mismo,
podemos hablar en el espacio de coordenadas como la función de respuesta al impulso del cristal,
h(x), obtenida como la transformada inversa de Fourier de T (ξ, ν) y que resulta en
[ ])cos()()()()cosh()()(
2)( 22 xsinhxixsinxix
Axh mmmm ξξξξξ
Γ−Γ+Γ+Γ+Γ
=(74)
96
El cálculo de los cambios en la imagen de entrada lo podemos obtener como la convolución
entre la amplitud de entrada y la función de respuesta al impulso del cristal: h(x), obtenida como
la transformada inversa de Fourier de T (ξ, ν) y que resulta en
∫ −= ')'()()( dxxxhxAxA entradasalida . (75)
La figura 36 muestra los cambios calculados a partir de esta ecuación. La distribución inicial
podría corresponder al caso de bloquear con tres líneas la luz en la cara de entrada del cristal.
Figura 36. Distribución de intensidad en la cara de entrada del cristal. (a) En ausencia del campo externo; (b) En presencia del campo externo.
Si el patrón de la figura 36 se repite sobre el eje vertical podemos simular una imagen
bidimensional, la figura 37 muestra esta simulación y además una imagen experimental.
Figura 37. Imagen vista a través del cristal de BTO. (a) Simulada; (b) Experimental, E0 = 15 kV/cm.
(a)
0 0.1 0.2-0.1-0.2x, mm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2-0.1-0.2x, mm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2-0.1-0.2x, mm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2-0.1-0.2x, mm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
(a) (b)
97
De las imágenes mostradas podemos notar que los bordes en ambos lados de las lineas son
resaltados. La semejanza entre la imagen calculada y la imagen experimental es indiscutible, lo cual
pruba la validez de nuestro método.
En conclusión, proponemos un método simple que puede facilitar una primera aproximación
de la imagen resultante a la salida del cristal fotorrefractivo. Proponemos la función de transmitancia
que nos ayuda a calcular los cambios en el patrón de intensidad final. Mostramos que el cristal tiene
un comportamiento análogo a un filtro activo, es decir, no elimina componentes, sino redistribuye
el espectro de frecuencias espaciales administrando la energía entre éstas.
V.2 Detección de vibraciones
El análisis del movimiento de patrones de motas (o “de speckle” como son conocidos en
inglés) es un método óptico simple sin contacto físico, que permite que los desplazamientos,
deformaciones, inclinaciones, y vibraciones de una superficie rugosa sean medidos. La grabación en
tiempo real en cristales fotorrefractivos de los patrones de motas para medidas de desplazamientos,
inclinaciones y vibraciones ya ha sido reportada (Tiziani H. J. et al 1980; Tiziani H. J. et al 1981).
También se ha reportado el uso de la autodifracción dinámica y el flujo de señales
fotoelectromagnéticas en estado no estacionario para medidas de vibraciones (Huignard J. P., y
Marrakchi A., 1981; Stepanov S. I et al 1990; Korneev N. A., y Stepanov S. I. 1992). Ambas
posibilidades fueron inicialmente demostradas con patrones de interferencia sinusoidales (Huignard
J. P., y Marrakchi A., 1981; Stepanov S. I et al 1990) y además con patrones de motas (Korneev N.
A., y Stepanov S. I. 1992 ). Recientemente una modificación del método de autodifracción con
98
eficiencia enfatizada también fue demostrado (Kamshilin A. A et al 1998). Este nuevo esquema
involucra una redistribución periódica de la energía de la luz entre una onda de motas transmitida a
través del cristal y la luz que es esparcida por el efecto abanico fotorrefractivo. La vibración de una
superficie rugosa resulta en un movimiento periódico del patrón de intensidad. En el caso de señales
de campo fotoelectromagnético en estado no estacionario, este movimiento lleva a la generación de
una corriente eléctrica en el cristal. La autodifracción causa un intercambio periódico entre las
componentes del patrón de luz que es transformado en una señal eléctrica de c.a. por medio de un
fotodiodo convencional a la salida.
En este apartado tratamos al efecto de la automodulación de polarización, descrito como
resultado de nuestra investigación reportada en el capítulo IV, como la base de un método
novedoso para la detección de movimientos de superficies rugosas. Hemos demostrado que el
estado de polarización de una onda de luz inhomogénea espacialmente llega a tener una
dependencia de la coordenada transversal durante la propagación de un cristal con un mecanismo
de no linealidad fotorrefractiva tipo difusión. Esta modulación de polarización no se relaciona con
la autodifracción pero es consecuencia de la propagación de la luz a través de un cristal electro-
óptico sometido a un campo eléctrico no uniforme causado por una redistribución espacio-carga
fotorrefractiva.
Consideremos un haz de láser de diámetro d esparcido desde una superficie rugosa generando
un patrón de motas bien definido. La onda del moteado entra al cristal fotorrefractivo que está
situado a una distancia L desde la superficie rugosa. La fotografía del patrón de motas en el plano de
entrada del cristal se muestra en la Fig. 38a. Este plano es transversal a la dirección de propagación
99
de la luz. El tamaño transversal promedio de las inhomegeneidades de intensidad se estima como
(Zel’dovich B. Ya. et al. 1995):
dLx
πλ2
≈∆ ,(76)
donde λ es la longitud de onda en el espacio libre. Las variaciones de intensidad a lo largo de la
dirección de propagación adentro del cristal se muestran en la Fig. 38b. El tamaño promedio de la
inhomogeneidad de intensidad a lo largo de la dirección de propagación es:
ndxLz ∆≈∆ ,
(77)
donde n es el índice de refracción del cristal.
Figura 38. Patrón de motas: (a) En la entrada de un cristal fotorrefractivo. (b) La propagación en el interior del cristal.
Podemos ver desde las ecs. (76) y (77) y casi en la totalidad de los casos prácticos, que el
tamaño longitudinal de las inhomogeneidades de intensidad es mucho mayor que el tamaño
transversal. Por ejemplo, si L = 1 m, d = 5 mm, λ =633 µm, n = 2.54, entonces mx µ20≈∆ y
mmy 10≈∆ . En nuestros experimentos, usamos un cristal de BSO que tiene una longitud de 8
mm, lo cual es más corto que el tamaño longitudinal promedio en la onda de motas. La
profundidad relativa de la modulación de intensidad del patrón de motas es aproximadamente la
(a) (b)
10 mm0.5 mm
0.5
mm
0.5
mm
Direction of light propagationDirección de propagación de la
100
unidad, entonces en un cristal tendremos áreas de cero intensidad separando a las áreas iluminadas
(Zel’dovich B. Ya. et al. 1995). En primera aproximación, podemos considerar cada área iluminada
como un canal separado en el cual la luz se propagará independientemente (vease la Fig. 38b). Este
razonamiento nos conduce a analizar el caso de un solo haz gausiano vibrando en el cristal y
además a justificar la similitud esperada en los resultados para un experimento con un patrón de
motas. Se realizaron ambos experimentos (Kamshilin Alexei A. et al. 1999) y los resultados se
resumen a continuación.
Cuando un patrón de distribución de intensidad de luz inhomogeneo se mueve periodicamente
dentro de un cristal fotorrefractivo, una réplica del promedio en el tiempo se almacena en el
volumen del cristal y forma un campo espacial de cargas. En todos nuestros experimentos la
amplitud del desplazamiento fué mucho menor que el tamaño promedio de la inhomegeneidad
transversal de la intensidad de luz. Por lo tanto el campo espacial de cargas no es afectado por estos
pequeños desplazamientos al suponer que el tiempo de desplazamiento es más corto que el tiempo
de respuesta del cristal, τ. En el capítulo IV mostramos que este campo es proporcional al gradiente
de intensidad incidente si el mecanismo tipo difusión de la no linealidad fotorrefractiva está
involucrado (ver también Feinberg J. 1982). En cristales fotorrefractivos rápidos, tales como los
silenitas y semiconductores de amplia gap, la eficiencia de la respuesta tipo gradiente puede ser
significativamente enfatizada por medio de la aplicación de un campo eléctrico alternante de forma
de onda cuadrada con la frecuencia de repetición f >> τ-1, donde τ, como antes, es el tiempo de
respuesta del cristal (Stepanov, S. I. y Petrov, M. P.1985). El campo total en el interior del cristal es
la suma del campo aplicado y el campo espacial de cargas. Luego, el campo total es diferente para el
semiciclo positivo y para el semiciclo negativo del campo aplicado. Con esto, luz en diferentes
101
posiciones en la dirección transversal a la propagación tendrá diferentes longitudes de batido y por
lo tanto diferentes estados de polarización. Entonces podemos colocar un analizador a la salida del
cristal y estudiar la luz a la salida en función del tiempo, decimos que el analizador convierte la
modulación de polarización en una modulación de intensidad. Si el haz no se mueve la polarización
no cambia, en caso contrario el cambio en polarización se observará como un cambio en
intensidad.
Podemos hacer el análisis del principio en que se basa nuestro método considerando el caso de
un solo haz gausiano propagándose en el interior de un cristal. La figura 39 muestra la relación entre
el patrón de intensidad gausiano del haz y el campo total interno considerando los valores positivo y
negativo de un campo externo alternante. Así, en el recuadro inferior de dicha figura se trata una
ilustración del campo para el semiciclo positivo y para el semiciclo negativo, lo cual nos puede
ayudar a explicar muchas cosas. En las posiciones que corresponden a las orillas del haz y al centro
(x2), el campo total es igual al campo aplicado, ya sea para el semiciclo positivo o negativo. Sin
embargo, para los puntos x1 y x3 tenemos una diferencia de acuerdo a la polaridad instantánea del
campo externo. Para el semiciclo positivo, el campo total interno en x1 es cero y en x3 es el doble
del campo aplicado; para E0 negativo en x1 es el doble y en x3 es cero. Debido a que la longitud de
batido es inversamente proporcional al campo local (como vimos en el capítulo II), como resultado
tenemos una dependencia longitud de batido – posición, y entonces cambiamos las condiciones de
polarización para cualquiera de los puntos en la dirección de x, excepto, en principio, en el centro y
las orillas del haz. Por ejemplo, para x3 en el semiciclo positivo la longitud de batido en esta línea
será menor pues la birrefringencia inducida por la magnitud del campo total es mayor; en cambio,
para la línea en x1, el campo es menor y la longitud de batido entonces es mayor.
102
La figura 40 es una gráfica obtenida a partir de la ec.(30), en donde tenemos la longitud de
batido en función del campo externo, verificamos que la longitud de nuestro cristal (6mm en la
zona de los electrodos) y los valores de campo (0 a 39 kV/cm) son apropiados para una buena
observación de los efectos de la longitud de batido sobre la polarización.
Figura 40. Longitud de batido en función del campo externo aplicado a un cristal de BSO.
Figura 39 Variación del campo total interno considerando los valores positivo y negativo del campo de c.a. externo.
103
La verificación experimental del modelo propuesto para la automodulación de ondas de luz no
estacionarias en cristales fotorrefractivos fue llevada a cabo tanto con un solo haz gausiano como
con un patrón de motas. En los experimentos con el haz gausiano usamos un cristal de Bi12SiO20 de
1 mm X 6 mm X 8 mm. El arreglo experimental es mostrado esquemáticamente en la figura 41. Un
haz enfocado desde un láser de He-Ne (λ = 632.8 nm) se propaga a lo largo de la muestra, paralelo
a la dirección [110] del cristal. El alto voltaje alternante de forma de onda cuadrada, U(t) , fue
aplicado en la dirección [001] sobre el par de electrodos de oro evaporado en las caras laterales del
cristal. El diámetro del haz incidente fue de 50 µm, y su intensidad fue de alrededor de ~10
mW/cm2 para asegurar que el tiempo de respuesta del cristal (τ = 2 seg) fuera más grande que el
periodo del campo alternante (Tac = 40 mseg). La posición del haz incidente fue periódicamente
variada en la dirección del campo eléctrico por medio de un espejo fijo sobre la membrana de la
bocina. El desplazamiento tenía una amplitud de ~1 µm, de forma sinusoidal y a una frecuencia f =
1.17 KHz (f >> τ-1), lo anterior se determinó utilizando un método interferométrico. Toda la luz
transmitida fue colectada por un fotodiodo y monitoreada en un osciloscopio. Observamos que no
había modulación de intensidad si no estaba colocado el analizador de polarización. Sin embargo,
una fuerte modulación de intensidad se observaba cuando se colocaba con una orientación
apropiada dicho analizador. La figura 42 muestra uno de los trazos típicos observados en el
osciloscopio para la intensidad total de luz, la señal eléctrica para la excitación de la bocina y el
monitoreo del alto voltaje alternante aplicado al cristal. Podemos ver que la intensidad del haz
transmitido es modulada a la misma frecuencia que el desplazamiento del haz a la entrada que
además ocurre un corrimiento de fase de 180o cuando cambia la polaridad del alto voltaje.
104
Figura 41. Arreglo experimental para estudiar la luz de un haz vibrando en un cristal fotorrefractivo.
Podemos subrayar que ni el campo espacio-carga ni la transmitancia cristal-analizador
dependen de la intensidad del haz gausiano si la conductividad en obscuro es mucho menor que la
fotoconductividad. Por tanto la razón de la modulación de intensidad a la intensidad promedio
transmitida (la profundidad de modulación) no depende de la intensidad en la entrada.
Figura 42. Copia de la pantalla del osciloscopio digital empleado en el experimento. Trazo 1 (Ch1), voltaje aplicado con amplitud de 1.25 kV y frecuencia de 53 Hz; trazo 2 (Ch2), señal eléctrica aplicada a la bocina con una frecuencia de 1.17
kHz; trazo 3 (Ch3), intensidad de luz medida en el fotodiodo.
Hablando de un patrón de motas, aunque sabemos que en él cada mota tiene una intensidad
diferente, la profundidad de modulación será aproximadamente la misma para todas las motas
si el desplazamiento del patrón es homogeneo. Esta última condición se satisface cuando el patrón
de speckle es creado por un haz de láser que es reflejado o refractado desde un objeto difusor
105
vibrando (Asakura y N. Takai. 1981). Entonces uno puede medir la intensidad total de las motas
colectando toda la luz transmitida, y la profundidad de modulación resultante será la misma que
para una sola mota. En efecto, la formación del campo espacio-carga para cada mota implica la
grabación de un filtro espacial, el cual se correlaciona con la distribución de intensidad del patrón de
motas. Este filtro posee la propiedad de ser adaptable a cualquier cambio de baja frecuencia del
patrón de motas debido a que un nuevo campo espacio-carga debe ser creado si el tiempo
característico de este cambio es menor que el tiempo de respuesta del cristal τ. Los desplazamientos
rápidos serán linealmente transformados en una modulación de intensidad de la luz transmitida. Por
tanto, podemos decir que lo anterior representa las bases para el diseño de un sensor óptico lineal
que utiliza el efecto de automodulación de polarización.
Figura 43. Dependencia de la profundidad de modulación de la corriente en el fotodiodo con respecto a la amplitud de
vibración obtenida para un patrón con motas de tamaño promedio de 30 µm.
El experimento con un patrón de motas fue realizado en un cristal de Bi12TiO20 de 3.3 mm X
4.3 mm X 9.9 mm. El haz de luz (λ =632.8 nm) se propagó a lo largo del eje [110], y el campo
eléctrico fue aplicado paralelo al eje [-1 1 1]. El arreglo del experimento fue muy similar al que se
106
muestra en la figura 41. La diferencia estriba en que, en lugar del espejo y la bocina, se empleó una
placa piezo-cerámica con una superficie rugosa. Nuevamente, toda la luz transmitida fue colectada
por un fotodiodo, y el analizador de polarización fue colocado más allá del cristal. La conformidad
lineal entre el desplazamiento del patrón de speckle y la modulación de intensidad total fué
observada experimentalmente y está de acuerdo con el modelo propuesto. Todas las características
de la modulación discutidas antes para el haz gausiano fueron observadas.
La figura 43 muestra la dependencia de la profundidad de modulación hacia la amplitud del
desplazamiento del patrón de speckle. Y por último, se debe notar que la sensibilidad del esquema
propuesto que usa un patrón de speckle simple y un arreglo óptico modesto se puede comparar con
la de métodos interferométricos.
107
VI. CONCLUSIONES
• Estudiamos la evolución tanto especial como temporal de la distribución de intensidad y
del estado de polarización de la luz a través de un cristal fotorrefractivo. Utilizamos
métodos numéricos y calculamos el campo total interno a través de la MTF y por la
solución de las ecuaciones de Kuhktarev. Nuestros resultados experimentales concuerdan
con los numéricos.
• En el caso de un haz gausiano a través del cristal, observamos y explicamos la
automodulación transversal, la dependencia de la polarización para la difracción del haz, y
la formación de estrechas guías de onda autoinducidas durante la propagación.
• Utilizamos la solución de las ecuaciones del modelo propuesto por Kukhtarev para
determinar la formación del campo total interno en un cristal fotorrefractivo tipo BSO o
BTO y aplicamos el BPM para estudiar la propagacion de la luz.
• Encontramos que el mecanismo que determina los cambios en un haz gausiano durante la
propagación es la formación de pronunciados gradientes de campo interno en la zona más
intensa del haz. Explicamos ese mecanismo en base a la fuerte acumulación de cargas
favorecida por la aplicación del campo externo de c.a.
108
• Consideramos que el efecto de automodulación de la polarización puede ser empleado
para desarrollar elementos altamente sensibles para la detección de movimientos y
vibraciones de superficies rugosas.
• Hemos estudiado la evolución de la distribución de los patrones de difracción en un cristal
fotorrefractivo. Mostramos que la respuesta no lineal del cristal, dada como un
acoplamiento entre las ondas motivadas por difracción y el haz original, tiene como
consecuencia la amplificación de la luz que viaja en cierta dirección desde el objeto,
ayudando así a que el patrón de difracción provocado por éste tenga un realce y se defina
mejor su perfil.
• Presentamos un método para el procesamiento de imágenes basado en una configuración
no interferométrica.
• Notamos que la mezcla de ondas múltiples en el interior de un cristal con no linealidad
fotorrefractiva tipo difusión provoca cambios significativos en las componentes espectrales
que constituyen una imagen.
• Mostramos que un cristal fotorrefractivo de BSO o BTO puede comportarse como un
filtro activo, en el cual no existe la eliminación de frecuencias, sino la atenuación y la
redistribución de la energía hacia otras, las cuales son amplificadas.
109
• Los resultados de mayor relevancia en esta Tesis también han sido reportados a lo largo de
la investigación, principalmente, en:
a) PUBLICACIONES:
- “Polarization self-modulation of the non-stationary speckle field in a
photorefractive crystal”. A. A. Kamshilin, Kimmo Paivasaari, A. V. Khomenko y C.
Fuentes Hernández. Optics Letters. Vol. 24, Num. 12, P832-834. June 15, 1999.
- “Beam collapse and polarization self-modulation in optically active
photorefractive crystal in the alternating electric field”. C. A. Fuentes-Hernández
and A. V. Khomenko. Physical Review Letters. Vol. 83, Num. 6, P1143-1146, 9 august
1999.
- “Image evolution in photorefractive sillenites under alternating electric field”.
C. A. Fuentes-Hernández, A. V. Khomenko, I. Rocha-Mendoza, and A. García-
Weidner. Trends in Optics and Photonics. Vol. 27, Advances in photorefractive
Materials, Effects, and Devices. (Optical Society of America, Washington, DC 1999).
P458-462.
- “Beam evolution in sillenite crystals under alternating electric field”. A. V.
Khomenko, C. A. Fuentes-Hernández. Trends in Optics and Photonics. Vol. 27,
Advances in photorefractive Materials, Effects, and Devices. (Optical Society of
America, Washington, DC 1999). P463-470.
- “Beam Propagation Method in Photorefractive Crystals”. C. A. Fuentes-
Hernández, A. V. Khomenko, I. Rocha-Mendoza. Aceptado en Journal of Optical
Technology, V. 69, n.8.
110
- “Self-modulation of speckle patterns in cubic photorefractive crystals”. C. A.
Fuentes-Hernández, A. V. Khomenko, I. Rocha-Mendoza. Trends in Optics and
Photonics. Vol. 62, Photorefractive Effects, Materials, and Devices, David Nolte,
Gregory J. Salamo, Azad Siahmakoun, and Serguei Stepanov, eds. (Optical Society of
America, Washington, DC 2001). P350-355.
b) PRESENTACIONES EN CONGRESOS:
- “Propagación de un haz gausiano en cristales BTO y BSO con campos
eléctricos alternos elevados”. C. A. Fuentes Hernández, A. V. Khomenko y A.
Zúñiga Segundo. Octubre de 1997. Sesión simultánea. XL Congreso Nacional de
Física. Monterrey N. L. México.
- “Evolución no lineal de los patrones de difracción en cristales fotorrefractivos
Bi12TiO20.” C. A. Fuentes Hernández, A. V. Khomenko, y A. García-Weidner.
Septiembre de 1998. Sesión simultánea. III Reunión Iberoamericana de Optica.
Cartagena de Indias, Colombia.
- “Image evolution in photorefractive sillenites under alternating electric field”.
C. A. Fuentes-Hernández, A. V. Khomenko, I. Rocha-Mendoza, and A. García-
Weidner. Junio de 1999. Sesión mural. Topical Meeting on Photorefractive Materials,
Effects and Devices. Elsinore, Dinamarca.
- “Respuesta a la función impulso de un cristal fotorrefractivo de silenita con no
linealidad tipo difusión”. C. A. Fuentes-Hernández, A. V. Khomenko, I. Rocha-
Mendoza, and A. García-Weidner. Noviembre de 1999. Sesión simultánea. XII
Reunión de la Academia Mexicana de Óptica. Villa Hermosa, Tab. México.
111
- “Evolución de patrones moteados en cristales fotorrefractivos de Bi12SiO20 y
Bi12TiO20”. C. A. Fuentes-Hernández, A. V. Khomenko, I. Rocha-Mendoza. Sesión
simultánea del XLIII Congreso Nacional de Física. Octubre del 2000, Puebla, Pue.
México.
- “Self-modulation of speckle patterns in cubic photorefractive crystals”. C. A.
Fuentes-Hernández, A. V. Khomenko, I. Rocha-Mendoza. Sesión mural. 8th
International Conference on Photorefractive Effects, Materials and Devices. Julio 8-12,
2001. Lake Lawn Lodge, Wisconsin, USA.
112
LITERATURA CITADA.
Agrawal G. P. 1992. “Fiber-optic communication systems”. John Wiley & Sons, Inc., New
York. Cap 6.
Andersen P E., Johansen P. M.,. Pedersen H. C,. Petersen P. M, y Saffman M., 1999.
“Advances in photorefractive Materials, Effects, and Devices”,. OSA Trends in Optics
and Photonics. Vol. 27, eds. (Optical Society of America, Washington, DC).
Arfken, George. 1985. “Mathematical Methods for Physicists”. Academic Press, Inc. Tercera
Edición. San Diego, Ca. 985 pp.
Ashkin A., Boyd G.D., Dziedzic J.M., Smith R. G., Ballman A. A., Levinstein J. J., y Nassau K.,
1966. “Optically induced refractive index inhomogeneities in LiNbO3 and LiTaO3”
Appl. Phys. Lett. 9, 72.
Asakura y N. Takai. 1981 Appl. Phys. 25, p179.
Bashaw M. C., Ma T. P., Barker R. C., Mroczkowski S., y Dube R. R., 1992. “Introduction
revelation, and evolution of complementary gratings in photorefractive bismuth silicon
oxide”. Phys. Rev. B. 42, 5641-5648 p.
Bloembergen N. 1965. “Nonlinear optics” New York, W. A. Bengamin.
113
Boyd, Robert W. 1992. “Nonlinear Optics”. Academic Press. Primera edición. San Diego, CA.
439 pp.
Brignon A., y Wagner K. H., 1993. “Polarization state evolution and eigenmode switching in
photorefractive BSO,” Opt. Commun. 101, 239-246.
Calvo G. F., B. Sturman, F. Agulló-López y M. Carrascosa. 2000. “Singular behavior of light-
induced space-charge in photorefractive media under an ac field” Phys. Rev. Lett.. Vol.
84, No. 17. P. 3839-3842.
Celis Flores M. A., P. Rodríguez Montero y S. Stepanov. 1998. “Polarisation-independent linear
homodyne detection of of optical phase modulation with adaptive photodetectors”.
Electronics Lett. 34(8). 797-799 p.
Chen C. T., Kim D. M., y Von Der Linde D. 1980. IEEE J. Quant. Electron., vol QE-16,
p.126.
Chen F. S., LaMacchia J. T., y Fraser D. F., 1968. Appl. Phys. Lett. 13, 223 p.
Chen Z., Shih M., Wilson D. W., Muller R. E., y Maker P., 1997. Opt. Lett. 22, 1751p.
Cheng L. J., y Luke K. L., 1993. “Photorefractive semiconductors and applications”, JPL
Technical Reports San Diego, Ca., USA, july 11.
Christodoulides D. N. y Carvalho M. I., 1994. “Compression, self-bending, and collapse of
Gaussian beams in photorefractive crystals,” Opt. Lett. 19, 1714-1716 p.
114
Cronin-Golomb, 1992. “Whole beam method for photorefractive nonlinear optics”
Opt.Commun. Vol. 89, No. 2-4. P. 276-282
Cronin-Golomb, 1995. “Photorefractive surface waves”. Opt.Lett.. Vol. 20, No. 20. P. 2075-
2077.
Davidson F. M., y Field CH. T. 1994. Coherent homodyne optical communication receivers
whith photorefractive optical beam combiners”. ”. J. Lightwave Technol. LT-12. 1207-
1223 p.
Denz Cornelia, Thilo Dellwig, Jan Lembcke, y Theo Tschudi. 1996. “Parallel optical image
addition and subtraction in a dynamic photorefractive memory by phase-code
multiplexing”. Optics Lett. 21(4). 278-280 p.
Disdier L., y Roosen G. 1992. Opt. Commun., vol. 88. p559.
Driemeier W. y Brockmeyer A., 1986. “High-resolution photorefractive polymer for optical
recording of waveguide gratings”. Appl. Opt. 25, 2960-2966.
Ewbank M. D, Vazquez R. A., Neurgaonkar R. R., Feinberg, J., 1990. “Mutually pumped phase
conjugation in photorefractive strontium barium niobate: theory and experiment”. J.
Opt. Soc .Am. B Vol. 7, No. 12. P. 2306-2316.
Feinberg J. 1982. J. Opt. Soc. Am. 72, 46p.
Feinberg J. 1988. “Photorefractive Nonlinear Optics”, Phys. Today, vol. 41, p46.
115
Feinleib J. y Oliver D. S. 1972. “Reversible optical image storage and processing device.” Appl.
Opt. 11. 2752.
Feit, M. D.y Fleck J. A., Jr., 1978. “Light propagation in graded-index optical fibers”. Appl.
Optics . Vol. 17. P. 3990-3998.
Fowles, Grant R. 1989. “Introduction to modern optics”. Dover Publications, Inc. Segunda
Edición. New York. 328 pp.
Fuentes-Hernández C. A., 1998. “Estudio de la propagación de un haz en un cristal
fotorrefractivo de BSO sometido a campos eléctricos alternos elevados.”. Tesis de
Maestría. CICESE.
Fuentes-Hernández C. A. y A. V. Khomenko. 1999. “Beam collapse and polarization self-
modulation in an optically active photorefractive crystal in an alternating electric field”.
Physical Rev. Lett. 83(6). 1143-1146 p.
Fuentes-Hernández C. A., A. V. Khomenko, e I. Rocha-Mendoza, 2002. “Beam Propagation
Method for Sillenite Photorefractive Crystals”. Aceptado en Journal of Optical
Technology, V. 69, n.8.
García Quirino G. S., Iturbe Castillo M. D., Vysloukh A. A., Sanchez Mondragon J. J., y
Stepanov S. I.., 1997. Opt. Lett. 22, 154 p.
Garcia Quirino G. S., Sanchez Mondragon J. J., Stepanov S. I. 1995. “Nonlinear surface optical
waves in photorefractive crystals with a diffusion mechanism of nonlinearity”. Phys.
Rew. A Vol. 51, No. 2. P. 1571-1577.
116
Garcia Quirino G. S., Sanchez Mondragon J. J., Stepanov S. I., Visloukh V. A., 1996. “Guided
modes in a dielectric slab with diffusion-type photorefractive nonlinearity”. J. Opt. Soc.
Am. B Vol. 13, No. 11. P. 2530-2535.
Goff J. R., 1995. “Polarization properties of transmission and diffraction in BSO - a unified
analysis,” J. Opt. Soc. Am. B 12, 99-116 p.
Günter P. y J. P. Huignard. 1989. “Photorefractive materials and their applications”. Vols I y II.
Springer-Verlag, Berlin.
Günter P. 1982. “Holography, coherent light amplification and optical phase conjugation with
photorefractive materials”, Phys. Rep., vol. 93, p 199-299.
Hall T. J., Fiddy M. A., y Ner. M. S. 1980. “Detector for an optical-fiber acoustic sensor using
dynamic holographic interferometry”. Optical Lett. 5. 485-487 p.
Hall T. J., Jaura R., Conners L. M y Foote P. D. 1985. “The photorefractive Effect-A Review”,
Prog. Quant. Electron., vol. 10, p77-146.
Hariharan P., 1984. “Optical Holography”. Cambridge, Cambridge University Press.
Henry M., S. Mallick, D. Rouede, L. E. Celaya, and A. García Weidner, “Propagation of light in
an optically active electrooptic crystal of Bi12SiO20: measurement of the electrooptic
coefficient,” J. Appl. Phys. 59, 2650-2654 (1986).
Herriau J.P., Huignard J. P. y Aubourg P., 1978. “Some polarization properties of volume
holograms in Bi12SiO20 crystals and applications (BSO)”. Appl. Opt. 17, 1851 p.
117
Huignard J. P., y Marrakchi A., 1981. Opt. Lett. 6, 622.
Iturbe Castillo M. D., Andrade Lucio J. A., Vysloukh V. A. y Torres-Cisneros G. E. 1997.
“Formación de ondas de choque en un material fotorrefractivo”. Memorias del XL
Congreso Nacional de Física, México. P. 52.
Johnson R. V.y Tanguay, A. R., Jr. 1986. “Optical beam propagation method for birefringent
phase grating diffraction”. Opt. Eng.. Vol. 25, No. 2. P. 235-249
Kaczmarek M. Y Eason R. W., 1995. “Very-high-gain single pass two-beam coupling in blue
Rh:BaTiO3”. Opt. Lett. 20, 1850-1852 p.
Kamshilin A. A., 1992. “Simultaneous recording of absorption and photorefractive gratings in
photorefractive crystals”. Opt. Común. 93, 350-358p.
Kamshilin A. A., Jaaskelainen T., y Kulchin Y. N., 1998. Appl. Phys. Lett. 73, 1466 p.
Kamshilin Alexei A., Kimmo Paivasaari, A. V. Khomenko y C. Fuentes-Hernández. 1999.
“Polarization self-modulation of the nonstationary speckle field in a photorefractive
crystal”. Optics Lett. 24(12). 832-834 p.
Kamshilin A. A. y Petrov M. P., 1981. “Infrared quencjing of photoconductivity and
holographic data storage in bismuth silicate”. Sov. Phys. Solid State 23 1811-1814 p.
Khomenko A. V., García-Weidner A. y Kamshilin A. A. 1996A. “Amplification of optical
signals in Bi12TiO20 crystals by the photorefractive surface waves.” Opt. Lett. 21.
1014.
118
Khomenko A. V., García-Weidner A. y Tentori D. 1996B. “Enhanced beam amplification in a
photorefractive Bi12TiO20 crystal by internal reflections” Opt. Lett. 21(11) p 776-778.
Khomenko A. V., Nippolainen E., Kamshilin A. A., Zuniga Segundo A., Jaaskelainen T., 1998.
“Leaky photorefractive surface waves in Bi12TiO20 and Bi12SiO20 crystals”. Opt.
Commun. Vol. 150, No. 1-6. P. 175-179.
Kogelnik H., 1969. “Coupled wave theory for thick hologram gratings”. Bell Sist.. Tech. J. 48,
2909 p.
Korneev N. A., y Stepanov S. I. 1992. Optik 91, 61.
Lasprilla María del Carmen A., Lía M. Zerbino, Néstor A. Bolognini. 1996. “Optical processing
by birefringence modulation”. Opt. Eng. 35(1). 40-46 p.
Markov V., Odulov S., y Soskin M., 1979. Opt. Laser Technol., vol. 95.
März R. 1995. “Integrated Optics. Design and modeling”. Boston: Artech House,. 386 p.
Meng H., Salamo H., y Segev M., 1998. Opt. Lett. 23, 897p.
Micheron`F. Mayeux C y Trotier J. C. 1974. Appl. Opt. Vol 13, p784.
Narasimhamurty, T. S. 1981. “Photoelastic and electro-optic properties of crystals”. Plenum
Publishing Corporation. Primera edición. New York. 514 pp.
Noe R., Rodler H. J., Ebberg A., Gaukel G., Noll B., Wittmann J., y Auracher F. 1991.
“Comparision of polarization handling methods in coherent optical systems”. J.
Lightwave Technol. LT-9. 1353-1366 p.
119
Nolte D. D. 1995. “Photorefractive transport and multi-wave mixing”. Photorefractive Effect
and Material, ed. by Nolte D. D. Boston: Kluwer Academic Publishers, 489 pp.
Pauliat G., y Roosen G., 1990. J. Opt. Soc. Am., vol. B7, p2259.
Petrov M. P., Khomenko A. V., Krasin’kova, Marakhonov V. I. y Shlyagin M. G. 1981.
Application of the PRIZ spatial light modulator for information processing.” Sov.
Phys.-Tech. Phys. 26. 816.
Petrov M. P., Sokolov L. A., Stepanov S. I., y Trofimov G. S. 1990. “Non-steady-state photo-
electromotive-force induced by dynamic gratings in partially compensated
photoconductors”. J. Appl. Phys. 68. 2216-2225 p.
Petrov M. P., Stepanov S. I., y. Khomenko A. V. 1991. “Photorefractive Crystals in Coherent
Optical Systems”. Springer-Verlag, Berlin.
Petrov M. P., Stepanov S. I., y. Trofimov G. S.1986. Sov. Tech. Phys. Lett. 12, 379 p.
Saleh, B. E. A. y Teich M. C. 1991. “Fundamentals of photonics”. Wiley-Interscience. Primera
edición. New York. 966 pp.
Segev M., Crosignani B., Yariv A., y Fischer B., 1992. Phys. Rev. Lett. 68. 923 p.
Shandarov S. M., Nazhestkina N. I., Kobozev O. V., Kamshilin A. A. 1999. “Nonlinearity of a
response in photorefractive crystal with a square-wave applied field”. Appl. Phys. B
Vol. 68, No. 5. P. 1007-1012.
Shen Y. R. 1984. “The principles of Nonlinear Optics”. New York, Willey.
120
Sheng Z., Cui Y., Cheng N., y Wei Y., 1996. “Photorefractive self-trapping and deflection of
optical beams,” J. Opt. Soc. Am. B 13, 584-589.
Smirl A., Bohnert K., Valley G. C., Mullen R. A., y Boggers T. F. 1989. J. Opt. Soc. Am., vol.
B6, p. 606.
Solymar L., D. J. Webb, y A. Grunnet-Jepsen. 1996. “The physics and applications of
photorefractive materials”. Clarendon, Oxford.
Staebler D. L., y Amodei J. J 1972. Ferroelectrics, vol. 3. p107.
Stepanov S. I., 1994. “Applications of photorefractive crystals,” Rep. Prog. Phys. 57 39-116.
Stepanov S. I. 2001. “Handbook of advanced Electronic and Photonic Materials and Devices”,
edited by H.S. Nalwa Vol. 2: Semiconductor Devices. Cap. 6 p 205-272.
Stepanov, S. I. y Petrov, M. P.1985. “Efficient unstationary holographic recording in
photorefractive crystals under an external alternating electric field”. Opt. Commun.
53(5). 292-295 p.
Stepanov S. I. y Petrov M. P. 1987. “Nonstationary holographic recording for efficient
amplification and phase conjugation”. Photorefractive Materials and Applications I, ed.
by Günter P. and Huignard J. P. Berlin: Springer, P. 263-289.
Stepanov S. I.., Sokolov I. A., Trofimov G. S., Vlad V. I., Popa D., y Apostol I., 1990. Opt.
Lett. 5, 1239 p.
121
Stohkendl F. P. y Hellwarth R. W., 1987. “Contribution of holes to the photorefractive effect in
n-type Bi12SiO20”. J. Appl. Phys. 62, 2450-2455 p.
Sutter K. y Gunter P. 1990. “Photorefractive gratings in the organic cristal 2-cyclooctylamino-
5-nitropyridine doped with 7,7,8,8- tetracyanoquinodimethane”, J. Opt. Soc. Am. B. 7,
2274-2278 p.
Tiziani H. J., Leonardt K., y Klenk J., 1980. Opt. Comm. 34, 327 p.
Tiziani H. J., y Klenk J., 1981. Appl. Opt. 20, 1467 p.
Trofimov G. S. y S. I. Stepanov. 1986. Sov. Phys. Solid State 28, 1559.
Valley G. C., Smirl A. L., Klein M. B., Bohnert K., y Boggess F. 1986. “Picosecond
photorefractive beam coupling in GaAs”, Opt. Lett. Vol. 11, p647-649.
Vinetskii V. L. y N. Kukhtarev. 1975. Sov. Tech. Phys. Lett. 1. 84 p.
Yamaguchi I., 1981. Opt. Acta 28, 1359p.
Yariv A., Lotspeich J. F. 1982. “Coupled-mode analysis of light propagation in optically active
crystals”. J. Opt. Soc. Am., Vol. 72, No. 2. P. 273-277.
Yariv A., Yeh P. 1998. “Optical waves in crystals: propagation and control of laser radiation”.
New York: Willey, 589 p.
Yeh, Pochi. 1993. “Introduction to Photorefractive Nonlinear Optics”. Wiley-Interscience.
Primera edición. New York. 410 pp.
122
Yevick, D., 1994. “A guide to electric field propagation technique for guided-wave optics” Opt.
Quantum Electron.” Vol. 26, No. 3. P. S185-197.
Zozulya A. A., M. Saffman, and D. Z. Anderson, 1994. “Propagation of light beams in
photorefractive media: Fanning, self-bending, and formation of self-pumped four-
wave-mixing phase conjugation geometries,” Phys. Rev. Lett. 73, 818-821.
123
APÉNDICE A.
PROGRAMAS DE MATLAB
124
function bpm(subdir,filename,Nx,x0,dz,cristal,longc,psiE,U,tetain,mod)
% BPM Es la simulación numérica de la propagación de luz en un cristal fotorrefractivo% tipo BSO o BTO. Utiliza el Beam Propagation Method (BPM).% La sintaxis es la siguiente:%% >>bpm('C:\','ls',1024,1024,50,'BSO',8,13.84,2000,90,'modmtf')%% Ubicados en C:\, en los archivos de nombre genérico lsxx, simula con 1024 puntos, 1024% micras de ancho y un paso de cálculo de 50 um en z la propagación para un cristal de% BSO, de 8 mm, sometido a un campo aplicado a 13.84 grados con respecto a [-1 1 1] con% 2000 volts, y utilizando en la entrada luz con polarización lineal a 90 grados.% El cálculo se puede efectuar en el modo de MTF o por el modelo de Kuhktarev (modkuhk).% Modificado del bso_bpm.m%% C.A. Fuentes-Hernández & A.V. Khomenko. 09/feb/2001%clc
eval(['load ' num2str(subdir) num2str('A_ini')]); % Carga la distribución inicial.dx=x0/Nx; nx=Nx/512; % dx, para bpm y para imágenes.nz=50/dz; % Graba cada 50 um.Nz1=10*nz; % 10 px/arch, graba 500 um/arch.
l1=0.6328; % Longitud de onda, en micras.teta=tetain*pi/180; % Polarización inicial, rad.
hn=32;nv=1; Tem=300; % Condiciones físicas.
kB=1.3806*10^(-23); el=1.6029*10^(-19); % Constantes físicas.ep0=8.854*10^(-12); ko=2*pi/l1;a1=0.75; b=1.5;
if cristal=='BSO',n=2.54; oa=21; r=5*10^(-6); % Parámetros del BSO.mt=4*10^(-11); Na=1*10^22; epc=56;fa=135; va=-90; ka=asin(1/sqrt(3))*180/pi; % Eje x de lab. en [-1 1 1].if strcmp(mod,'modkuhk'), % Parámetros para modelo...s=2e+7; be=0.05; ga=1.6e1; NA=1e+4; No=1e+7; %...de las ecs. de Kuhktarev.mu=8e+6; kTe=0.0259; eepo=0.018071;
endelseif cristal=='BTO',
n=2.58; oa=6.5; r=4.5*10^(-6); % Parámetros del BTO.mt=1.7*10^(-11); Na=1*10^22; epc=47;fa=-45; va=270; ka=0; % Eje x de lab. en [1 -1 0].
end
D=(x0/512)*500; % Ancho del cristal, 1 mm.K=oa*pi/180000;longc=longc*10^3;Eo=U/D;
xPs=-x0/2:dx:(x0/2)-dx; % Espacio de coordenadas.qPs=-pi/dx:pi/(x0/2):(1-dx/(x0/2))*pi/dx; % Espacio de frecuencias.q=2*pi*n/l1; % Vector de onda.
if strcmp(mod,'modmtf'),Ld=sqrt(mt*kB*Tem/el)*10^(6); % Longitud de difusión.Ls=sqrt(epc*ep0*kB*Tem/((el^2)*Na))*10^(6);LE=mt*Eo*10^(12); % Longitud de arrastre.Le=ep0*epc*Eo/(el*Na)*10^(12); % Longitud de saturacion.ED=q*kB*Tem/el;
125
H=(hanning(hn))';MTF=ones(1,Nx-hn-2); MTF=[0,H(1:hn/2),MTF,H(hn/2+1:hn),0];% Func. de transferencia ...MTF=-i*MTF*ED./(1+Ls^2*qPs.^2).*... % ... de modulación, para E...(1+(qPs.*LE*Eo)./(ED.*(1+Ld^2*qPs.^2)))./... % ... fotorrefractivo.(1+(qPs.^2*LE*Le)./((1+qPs.^2*Ld.^2).*(1+qPs.^2*Ls^2)));
clear H; clear Tem; clear Ld; clear Ls; clear kB; clear el;
H=hanning(round(1+4*LE/dx)); % Fotoconductividad producida
elseif strcmp(mod,'modkuhk'), % Condiciones para modelo...Vp=U; Vn=-1*U; %...de ec. de Kuhktarev.dt=1e-9;texp=1e-9;tdrk=2.5e-6;
Ep=Vp/x0; En=Vn/x0;end
fr=fa*pi/180; vr=va*pi/180; kr=(ka+psiE)*pi/180; % Angulos de Euler.R=[cos(fr)*cos(kr)-sin(fr)*cos(vr)*sin(kr),.... % Matriz de rotación.
sin(fr)*cos(kr)+cos(fr)*cos(vr)*sin(kr),....-sin(vr)*sin(kr);....-cos(fr)*sin(kr)-sin(fr)*cos(vr)*cos(kr),....-sin(fr)*sin(kr)+cos(fr)*cos(vr)*cos(kr),....-sin(vr)*cos(kr);....-sin(fr)*sin(vr),cos(fr)*sin(vr),cos(vr)];
E=[Eo;0;0]; % Campo en coord. lab.E=R^(-1)*E; % Campo en coord. princ.
Prop=exp(-i*(q-(qPs.^2)./(q+sqrt(q^2-qPs.^2)))*dz/2); % Propagador para el BPM.
m=Nx-D/dx-2; HH=(hanning(m))';adjph=exp(-i*dz*2*pi*(nv-n)/l1); % Aplica dif. de fase ...M=[0,HH(1:m/2).*adjph,ones(1,D/dx),HH(m/2+1:m).*adjph,0]; % ... afuera del cristal.
subplot('position',[0.0830 0.7061 0.6260 0.2237]) % Grafica amplitud de entradaplot(xPs/10^3,A.*conj(A),'k');axis([-0.5*x0/10^3 0.5*x0/10^3 0 max(A.*conj(A))]);title('Amplitud inicial'); drawnow;
A1=A*(cos(teta))/sqrt(2); A2=A*(sin(teta))/sqrt(2); % Modos hor. y vert. en SC +.A3=A1; A4=A2; clear A; % Modos hor. y vert. en SC -.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
disp('Parte principal iniciada')firstfile=1; % Archivos para datos.lastfile=longc/(dz*Nz1);
A1=fftshift(fft(A1)); A2=fftshift(fft(A2)); % Componentes hacia el ...A3=fftshift(fft(A3)); A4=fftshift(fft(A4)); % ... espacio de frecuencias.
JJ=1;for file=firstfile:lastfile, % Inicio de la propagación.
if file~=1, % Inicia escritura de archs.loadfile=file-1; % Carga último arch. escrito.newfile=[filename,num2str(loadfile)];clcdisp(['Cargando ',newfile])eval(['load ' num2str(subdir) num2str(newfile)]);
end
126
clear SD1; clear SD2; clear SD3; clear SD4; % Matrices para imágenes de ...SD1=[]; SD2=[]; SD3=[]; SD4=[]; % ... cada componente.
Z=(file-1)*dz*Nz1; % Relación archivo-posición Z.
for z=Z+dz:dz:Nz1*dz+Z, % Segmento de cálculo para BPM.A1=A1.*Prop; A2=A2.*Prop; A3=A3.*Prop; A4=A4.*Prop; % Aplica el propagador.A1=ifft(A1); A2=ifft(A2); A3=ifft(A3); A4=ifft(A4); % Esp. de coordenadas.IT=(A1.*conj(A1)+A2.*conj(A2)+A3.*conj(A3)+A4.*conj(A4)); % Intensidad total.
if strcmp(mod,'modmtf'),Io=conv(IT,H)/sum(H)/2; % Modula intensidad ...Io=Io(round(length(H)/2):(round(length(H)/2)+length(IT)-1)); % ... debido al Ef. ...IT=fftshift(fft(IT)); IT=IT.*MTF; % ... fotorrefractivo.IT=real(ifft(fftshift(IT)))./(Io+10^(-6));IT=0.75*sign(IT).*(1-exp(-2*abs(IT/Eo)))./...
(1+exp(-a1*abs(IT/Eo).^b));elseif strcmp(mod,'modkuhk'),Io=1*10^-2;Esc=zeros(1,Nx);J=zeros(1,Nx);Ni=((NA-be/ga+sqrt((NA-be/ga)^2+4*be/ga*No))/2);Ni=repmat(Ni,[1 Nx]);nep=(Ni-NA)/2; nen=(Ni-NA)/2;jjj=1;pexp=texp/dt;
for jj=1:pexp,dNip=(((s*Io*IT+be).*(No-Ni)-2*ga*NA*nep)*dt);dNin=(((s*Io*IT+be).*(No-Ni)-2*ga*NA*nen)*dt);Ni=Ni+dNip+dNin;Eop=Ep+mean(Esc); Eon=En+mean(Esc);Jp=mu*(nep.*(Eop-Esc)-kTe*gradient(2*nep,dx));Jn=mu*(nen.*(Eon-Esc)-kTe*gradient(2*nen,dx));nep=nep+dNip-gradient(Jp,dx)*dt;nen=nen+dNin-gradient(Jn,dx)*dt;Esc=eepo/epc*dx*cumsum(Ni-nep-nen-NA);if isnan(Esc), disp('ERROR!'); break; end
endIo=0;pdrk=tdrk/dt;
for jj=1:pdrk,dNip=(((s*Io*IT+be).*(No-Ni)-2*ga*NA*nep)*dt);dNin=(((s*Io*IT+be).*(No-Ni)-2*ga*NA*nen)*dt);Ni=Ni+dNip+dNin;Eop=Ep+mean(Esc); Eon=En+mean(Esc);Jp=mu*(nep.*(Eop-Esc)-kTe*gradient(2*nep,dx));Jn=mu*(nen.*(Eon-Esc)-kTe*gradient(2*nen,dx));nep=nep+dNip-gradient(Jp,dx)*dt;nen=nen+dNin-gradient(Jn,dx)*dt;Esc=eepo/epc*dx*cumsum(Ni-nep-nen-NA);if isnan(Esc), disp('ERROR!'); break; end
if jjj==100,subplot('position',[0.0830 0.4061 0.6260 0.2237])plot(xPs,Eop+Esc);axis([-x0/2 x0/2 -0.5 2.5*Ep]); drawnow;inf=['Tiempo = ',num2str(dt*jj)];
text(-0.95*x0/2,2*Ep,inf);subplot('position',[0.0830 0.1061 0.6260 0.2237])plot(xPs,Ni-nep-nen-NA);axis([-x0/2 x0/2 min(Ni-nep-nen-NA) 1.1*max(Ni-nep-nen-NA)]); drawnow;
jjj=1;else jjj=jjj+1;
127
endend
end
for I=1:Nx, % Inicia cálculos de ...if abs(Nx/2-I)<(D/2+dx)/dx, % ... electro-óptica.
dI=IT(I);if strcmp(mod,'modmtf'), E1=(1+dI)*E; % Campo total en SC +.elseif strcmp(mod,'modkuhk'), E1=(Eop-Esc(I))*E; end
ep=-r*n^4*[0,E1(3),E1(2);E1(3),0,E1(1);E1(2),E1(1),0]; % Deltaeps. en c. princ.dep=R*ep*R^(-1); % Deltaeps. en c. lab.ep=dep+n^2*[1,0,0;0,1,0;0,0,1]; % T. dieléctrico, eps.F12=ko*dep(1,2)/n/2; F21=ko*dep(2,1)/n/2; % Coefs. acoplamiento.ro=ko*(sqrt(ep(2,2))-sqrt(ep(1,1)))/2; % Birrefringencia linealbs=ko*(sqrt(ep(2,2))+sqrt(ep(1,1))-2*n)/2;S=sqrt(K^2+F12*F21+ro^2); % Birrefringencia total.G=[cos(S*dz)+i*ro*sin(S*dz)/S,(i*F12+K)*sin(S*dz)/S; ...
(i*F21-K)*sin(S*dz)/S,cos(S*dz)-i*ro*sin(S*dz)/S]; % Matriz Electro-óptica.
A=G*[A1(I);A2(I)]; % P. Hor y vert. en SC+.A1(I)=A(1)*exp(-i*bs*dz);A2(I)=A(2)*exp(-i*bs*dz);
if strcmp(mod,'modmtf'), E1=(-1+dI)*E; % Campo total en SC -.elseif strcmp(mod,'modkuhk'), E1=(Eon-Esc(I))*E; end
ep=-r*n^4*[0,E1(3),E1(2);E1(3),0,E1(1);E1(2),E1(1),0];dep=R*ep*R^(-1);ep=dep+n^2*[1,0,0;0,1,0;0,0,1];F12=ko*dep(1,2)/n/2; F21=ko*dep(2,1)/n/2;ro=ko*(sqrt(ep(2,2))-sqrt(ep(1,1)))/2;bs=ko*(sqrt(ep(2,2))+sqrt(ep(1,1))-2*n)/2;S=sqrt(K^2+F12*F21+ro^2);G=[cos(S*dz)+i*ro*sin(S*dz)/S,(i*F12+K)*sin(S*dz)/S; ....
(i*F21-K)*sin(S*dz)/S,cos(S*dz)-i*ro*sin(S*dz)/S];
A=G*[A3(I);A4(I)]; % P. Hor y vert. en SC-.A3(I)=A(1)*exp(-i*bs*dz);A4(I)=A(2)*exp(-i*bs*dz);
endendclcdisp(['Escribiendo ',num2str(subdir),num2str(filename),num2str(file)])
A1=A1.*M; A2=A2.*M; A3=A3.*M; A4=A4.*M; % Lim. espacio de calc.
if JJ==nz, % Inicia despliegue ...m=1:nx:Nx; % ... de datos y ...SA1((m+nx-1)/nx)=abs(A1(m)); SA2((m+nx-1)/nx)=abs(A2(m)); % ... escritura de ...SA3((m+nx-1)/nx)=abs(A3(m)); SA4((m+nx-1)/nx)=abs(A4(m)); % ... imágenes.SD1=[SD1;SA1]; SD2=[SD2;SA2]; SD3=[SD3;SA3]; SD4=[SD4;SA4];subplot('position',[0.0830 0.7061 0.6260 0.2237])plot(xPs/10^3,(A1.*conj(A1)+A3.*conj(A3)+A2.*conj(A2)+A4.*conj(A4)),'r',...xPs/10^3,(A1.*conj(A1)+A3.*conj(A3)),'b',...xPs/10^3,(A2.*conj(A2)+A4.*conj(A4)),'g');
axis([-0.5*x0/10^3 0.5*x0/10^3 0 max(A1.*conj(A1)+A3.*conj(A3)+...A2.*conj(A2)+A4.*conj(A4))]); drawnow;
tit=['z = ',num2str(z),' Eo = ',num2str(U/D),' kV/mm.'];title(tit);inf=['Intensidad en el cristal.'];text(-0.95*0.5*x0/10^3,0.9*max(A1.*conj(A1)+A3.*conj(A3)+...
A2.*conj(A2)+A4.*conj(A4)),inf);
128
if strcmp(mod,'modmtf'),int_lej(subdir,filename,0.2,A1,A2,A3,A4,xPs); %Despl. Pol. en C. lejano.
endJJ=1;
elseJJ=JJ+1; % Indicador de segmento.
endif (file==lastfile) & (z==Z+Nz1*dz), % Intensidades finales.Iout=A1.*conj(A1)+A3.*conj(A3)+A2.*conj(A2)+A4.*conj(A4);Ioh=A1.*conj(A1)+A3.*conj(A3);Iov=A2.*conj(A2)+A4.*conj(A4);
endA1=fft(A1); A2=fft(A2); A3=fft(A3); A4=fft(A4); % Comp. en Esp. de frec.A1=A1.*Prop; A2=A2.*Prop; A3=A3.*Prop; A4=A4.*Prop; % Aplición de propagador.
endclcdisp(['Salvando ',num2str(subdir),num2str(filename),num2str(file)])eval(['save ' num2str(subdir) num2str(filename) num2str(file)...
' SD1 SD2 SD3 SD4 A1 A2 A3 A4 cristal longc dz tetain U x0 Nx dx nx']);end
%% Intensidad en la cara de salida del cristal. %%subplot('position',[0.0830 0.7061 0.6260 0.2237])plot(xPs/10^3,Iout,'r',xPs/10^3,Ioh,'b',xPs/10^3,Iov,'g'); % Despliega intensidadesaxis([-0.6 0.6 0 max(Iout)]); % ... finales.infp1=['Intensidad a la salida.'];text(-.48,0.9*max(Iout),infp1);infp1=['z = ', num2str(longc/1000), ' mm.'];text(0.25,0.75*max(Iout),infp1);
clcdisp(' ');disp('FIN')%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End
129
function IM=img_cris(subdir,filename,ventana,distr)
% IMG_CRIS Despliega la evolución de la luz en el cristal fotorrefractivo. Diseñado% como complemento para desplegar los resultados obtenidos con BPM.m. Su sintaxis es%% >>> img_cris('C:\','ls',0.2,'hor')%% Utiliza el contenido del archivo lsxx.mat, ubicado en C:\. Da en una ventana% de 0.2 mm y despliega el modo con polarización horizontal.%% C. A. Fuentes-Hernández & A.V. Khomenko.
eval(['load ' num2str(subdir) num2str(filename) num2str(1)]);
nz=50/dz; % nz*Nz1 = px/archivo.Nz1=10*nz; % 10 px/archivo, 500 um/archivo.
Npix=Nx/nx;V1=ventana*10^3/nx;Vinf=round((Npix-V1)/2);Vsup=round((Npix+V1)/2);N1=Vinf:Vsup;
Im1=[];filefin=longc/(dz*Nz1);for file=1:filefin,
clc; homenewfile=[filename,num2str(file)];disp(['Cargando ',newfile])eval(['load ' num2str(subdir) num2str(filename) num2str(file)]);N=size(SD1,1);if distr=='tot',
for k=1:N,I1=SD1(k,N1).*conj(SD1(k,N1))+SD2(k,N1).*conj(SD2(k,N1))+...
SD3(k,N1).*conj(SD3(k,N1))+SD4(k,N1).*conj(SD4(k,N1));Im1=[Im1;I1];tit='I. Total';
endelseif distr=='hor',
for k=1:N,I1=SD1(k,N1).*conj(SD1(k,N1))+SD3(k,N1).*conj(SD3(k,N1));Im1=[Im1;I1];tit='P. Horizontal';
endelseif distr=='ver',
for k=1:N,I1=SD2(k,N1).*conj(SD2(k,N1))+SD4(k,N1).*conj(SD4(k,N1));Im1=[Im1;I1];tit='P. Vertical';
endend
endIm=Im1;X=-nx*(Vsup-Vinf)/2:nx:nx*(Vsup-Vinf)/2-nx;Y=1:N*longc/10^3;
130
colormap(gray(256)); map=colormap;immax=max(max(Im)); immin=min(min(Im));clear m; m=size(map,1);IM=min(m,round((m-1)*(Im-immin)/(immax-immin))+1);newfile=[filename,num2str(1)];image(X/10^3,Y/10,IM); xlabel('X, mm'); ylabel('Z, mm');title(tit)
% brighten(0.60); drawnow;
imwrite(IM,map,newfile,'jpg');
clc; homedisp(' ');disp('FIN')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
131
function int_lej(subdir,filename,ventana,A1,A2,A3,A4,xPs)
% INT_LEJ Está diseñada para funcionar adentro de BPM.m. Despliega las% distribuciones de intensidad en campo lejano.%% Su sintaxis es%% >>> int_lej('C:\','ls',0.2,A1,A2,A3,A4,xPs)%% Utiliza el contenido del archivo lsxx.mat, ubicado en C:\. Da en una ventana% de 0.2 mm y despliega la intensidad total y los modos en campo lejano a partir% de las amplitudes instantaneas A1, A2, A3, A4 en el espacio de coordenadas xPs.%% C. A. Fuentes-Hernández%
%% Intensidad en campo lejano. %%Ilt=fft(A1).*conj(fft(A1))+fft(A3).*conj(fft(A3))+...
fft(A2).*conj(fft(A2))+fft(A4).*conj(fft(A4));Ilh=fft(A1).*conj(fft(A1))+fft(A3).*conj(fft(A3));Ilv=fft(A2).*conj(fft(A2))+fft(A4).*conj(fft(A4));
subplot('position',[0.0830 0.4061 0.6260 0.2237])plot(2*pi*xPs/10^3,Ilt/max(Ilt),'r');axis([-20*ventana/2 20*ventana/2 0 1]);inf=['Intensidad total en campo lejano.'];text(-0.95*5*ventana/2,0.9,inf);
subplot('position',[0.0830 0.1100 0.6260 0.2237])plot(2*pi*xPs/10^3,Ilh/max(Ilt),'b');axis([-20*ventana/2 20*ventana/2 0 1]);inf=['Modos en campo lejano.'];text(-0.95*5*ventana/2,0.9,inf);
hold onplot(2*pi*xPs/10^3,Ilv/max(Ilt),'g');axis([-20*ventana/2 20*ventana/2 0 1]);hold off
drawnow
132
function presenta(subdir,filename,ventana)
% PRESENTA Da los resultados obtenidos de la simulación numérica en BPM.m.%% >>> presenta('C:\','ls',0.2)%% Despliega el contenido del archivo lsxx.mat, ubicado en C:\. Finalmente,% 0.2 es la ventana de observación, mm.%% C. A. Fuentes-Hernández & A.V. Khomenko.
% figurepasoz=50;eval(['load ' num2str(subdir) num2str(filename) num2str(1)]);
nz=50/dz; % nz*Nz1 = px/archivo.Nz1=10*nz; % 10 px/archivo, 500 um/archivo.
xPs=-x0/2:dx:(x0/2)-dx;
V1=ventana*10^3/dx; % Ventana en pixeles.Npix=Nx;%/dx;Vinf=round((Npix-V1)/2); % Pixel inicial de ventana.Vsup=round((Npix+V1)/2); % Pixel final de ventana.N1=Vinf:Vsup;
lastfile=longc/(dz*Nz1);eval(['load ' num2str(subdir) num2str(filename) num2str(lastfile)]);Iout=ifft(A1).*conj(ifft(A1))+ifft(A3).*conj(ifft(A3))+...
ifft(A2).*conj(ifft(A2))+ifft(A4).*conj(ifft(A4));Ioh=ifft(A1).*conj(ifft(A1))+ifft(A3).*conj(ifft(A3));Iov=ifft(A2).*conj(ifft(A2))+ifft(A4).*conj(ifft(A4));
%% Intensidad en la cara de salida del cristal. %%subplot(3,1,1);plot(xPs(N1)/10^3,Iout(N1),'r');axis([-1.2*ventana/2 1.2*ventana/2 0 max(Iout)]);infp1=['Intensidad total a la salida.'];text(-0.95*1.2*ventana/2,0.9*max(Iout),infp1);infp1=['z = ', num2str(longc/1000), ' mm.'];text(0.6*1.2*ventana/2,0.75*max(Iout),infp1);
%% Imagen de la intensidad total en el cristal.subplot(3,3,4);img_cris(subdir,filename,ventana,'tot')
%% Imagen de la intensidad del modo horizontal en el cristal.subplot(3,3,5);img_cris(subdir,filename,ventana,'hor')
%% Imagen de la intensidad del modo vertical en el cristal.subplot(3,3,6);img_cris(subdir,filename,ventana,'ver')
%% Imagen de la intensidad total en campo lejano.subplot(5,3,13);
133
img_lej(subdir,filename,ventana,'tot')
%% Imagen de la intensidad del modo horizontal en campo lejano.subplot(5,3,14);img_lej(subdir,filename,ventana,'hor')
%% Imagen de la intensidad del modo vertical en campo lejano.subplot(5,3,15);img_lej(subdir,filename,ventana,'ver')
134
function capris(action)
% Computer Assist Photorefractive Simulation es una interface para usuario% que facilita el manejo de la simulación para la propagación de luz en% cristales fotorrefractivos de BSO y BTO.%% La mayoría de las variables deben ser claras para el usuario. Sin embargo% existen parámetros tales como el ajuste del ángulo (Angle's Adjust), el% el cual especifica el posible ángulo de error entre el eje de los% electrodos y el eje cristalográfico supuesto.%% La simulación se ejecuta a través de la función "bpm.m", la cual debe% ubicarse en la trayectoria de Matlab. Es posible correr dicha función sin% necesidad de utilizar CAPRIS, para lo cual puede consultar su recurso de% ayuda.%% CAPRIS hace uso de las funciones: setuser.m, getuser.m, las cuales% deben ser ubicadas en el mismo subdirectorio de la interface. Así mismo% se debe incluir el subdirectorio de amplitudes iniciales, el cual contiene% a las funciones: HeNe.m, motaswin.m, ssbbwin.m y custmwin.m.%% Carlos A. Fuentes-Hernández
% 'Position', [0.865 0.90 0.060 0.035 ],...
global hxr hdz hcrystal hD hlongc ha hb hc hpsiE hAin hPin hVolt hfile hdirglobal subdir filename Nx x0 dz cristal longc psiE U tetainglobal Wo Wz1 Dsep angglobal ImSz mdl FtSzglobal Wo1 Wo2 Wz2 Dsep1 Dsep2 rbsglobal hvent ventana
if nargin<1,action='initialize';
end;
if strcmp(action,'initialize'),scrsz = get(0,'ScreenSize');figure('Position',[1 0.05*scrsz(4) scrsz(3) 0.89*scrsz(4)],...
'Name','Computer Assist Photorrefractive Simulation (CAPRIS).',...'NumberTitle','off',...'MenuBar', 'figure')
D=1024; a=-1; b=1; c=1; longc=8; psiE=0; tetain=0; U=2000;filename='Test'; subdir='D:\Numerico\Temporal\';Wo=51; Wz1=52; Dsep=0; ang=0;ImSz=500; mdl=2; FtSz=100;Wz2=Wz1; Wo1=Wo; Wo2=Wo; Dsep1=100; Dsep2=-100; rbs=10;
if nargin>0, h = gcf, end
uicontrol('Style', 'frame','Units','normalized',...'Position', [0.730 0.033 0.240 0.94 ],...'BackgroundColor', [ 0.5 0.5 0.5 ]);
uicontrol('Style', 'pushbutton', 'String', 'Info',...'Units','normalized',...'Position', [0.810 0.060 0.060 0.035 ],...
135
'Callback', 'helpwin capris.m');uicontrol('Style', 'pushbutton', 'String', 'Finish',...
'Units','normalized',...'Position', [0.880 0.060 0.060 0.035 ],...'Callback', 'close(gcf),return');
%uicontrol('Style', 'text', 'String', 'PR SIMULATION',...% 'Units','normalized',...% 'Position', [0.75 0.90 0.110 0.023 ],...% 'BackgroundColor',[ 0.5 0.5 0.5 ]);uicontrol('Style', 'pushbutton', 'String', 'By MTF !',...
'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.92 0.189 0.035 ],...'Callback', [...
'global subdir filename Nx x0 dz cristal longc psiE U tetain,',...'getuser;'...'bpm(subdir,filename,Nx,x0,dz,cristal,longc,psiE,U,tetain,''modmtf'');']);
uicontrol('Style', 'pushbutton', 'String', 'By Kuhktarev !',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.88 0.189 0.035 ],...'Callback', [...
'global subdir filename Nx x0 dz cristal longc psiE U tetain,',...'getuser;'...'bpm(subdir,filename,Nx,x0,dz,cristal,longc,psiE,U,tetain,''modkuhk'');']);
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Computing Parameters:',...'Units','normalized',...'Position', [0.75 0.84 0.110 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.5 0.5 0.5 ]);
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'x Resolution, (px)',...'Units','normalized',...'Position', [0.751 0.81 0.086 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hxr = uicontrol('Style', 'popup',...'String', '512|1024|2048|4096',...'Units','normalized',...'Position', [0.75 0.735 0.086 0.080 ],...'BackgroundColor',[ 1 1 1 ],'Callback', 'setuser(''hxr'')',...'Enable','on');
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'dz Step, (um)',...'Units','normalized',...'Position', [0.872 0.81 0.068 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hdz = uicontrol('Style', 'popup',...'String', '5|10|50|100',...'Units','normalized',...'Position', [0.871 0.735 0.068 0.080 ],...'BackgroundColor',[ 1 1 1 ],'Callback', 'setuser(''hdz'')');
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Crystal Parameters:',...'Units','normalized',...'Position', [0.74 0.72 0.110 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.5 0.5 0.5 ]);
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Type',...'Units','normalized',...'Position', [0.751 0.69 0.068 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hcrystal = uicontrol('Style', 'popup',...
136
'String', 'BSO|BTO',...'Units','normalized',...'Position', [0.75 0.615 0.068 0.080 ],...'BackgroundColor',[ 1 1 1 ],'Callback', 'setuser(''hcrystal'')');
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Width, (um):',...'Units','normalized',...'Position', [0.84 0.69 0.068 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hD = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.905 0.69 0.04 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'String', num2str(D),...'Callback','setuser(''hD'')',...'Enable','on');
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Length, (mm)',...'Units','normalized',...'Position', [0.84 0.667 0.068 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hlongc = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.905 0.667 0.04 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','setuser(''hlongc'')',...'String', num2str(longc));
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Electrode''s direction [ a b c ]:',...'Units','normalized',...'Position', [0.751 0.62 0.21 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
uicontrol('Style', 'text', 'String', '[ ]',...'Units','normalized',...'Position', [0.845 0.590 0.116 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.5 0.5 0.5 ]);
ha = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.857 0.590 0.03 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','setuser(''ha'')',...'String', num2str(a),...'Enable','off');
hb = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.887 0.590 0.03 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','setuser(''hb'')',...'String', num2str(b),...'Enable','off');
hc = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.917 0.590 0.03 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','setuser(''hc'')',...'String', num2str(c),...'Enable','off');
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Angle''s adjust, (gra):',...'Units','normalized',...'Position', [0.751 0.56 0.1 0.023 ],...
137
'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);hpsiE = uicontrol('Style', 'edit',...
'Units','normalized',...'Position', [0.857 0.560 0.045 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','Setuser(''hpsiE'')',...'String', num2str(psiE));
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Light Parameters:',...'Units','normalized',...'Position', [0.74 0.49 0.110 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.5 0.5 0.5 ]);
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Input Amplitude',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.46 0.110 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hAin = uicontrol('Style', 'popup',...'String', 'He-Ne Laser|Speckle Pattern|Signal and Pump|Other',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.382 0.110 0.080 ],...'BackgroundColor',[ 1 1 1 ],'Callback', 'Setuser(''hAin'')',...'Enable','on');
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Polarization, (gra):',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.395 0.110 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hPin = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.857 0.395 0.045 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','Setuser(''hPin'')',...'String', num2str(tetain));
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'AC Field''s Amplitude (V):',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.32 0.115 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.5 0.5 0.5 ]);
hVolt = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.872 0.32 0.045 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','Setuser(''hVolt'')',...'String', num2str(U));
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'File direction:',...'Units','normalized',...'Position', [0.74 0.26 0.090 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.5 0.5 0.5 ]);
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Comun Name:',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.23 0.080 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hfile = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.836 0.23 0.075 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','Setuser(''hfile'')',...
138
'String', filename );uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Path:',...
'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.20 0.04 0.023 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hdir = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.17 0.189 0.026 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback','Setuser(''hdir'')',...'String', subdir );
set(hxr,'Value',2);set(hdz,'Value',3);
uicontrol('Style', 'pushbutton', 'String', 'IMAGES',...'Units','normalized',...'Position', [0.755 0.12 0.060 0.030 ],...'Callback', [...
'global subdir filename,',...'capris(''images'');']);
uicontrol('Style', 'pushbutton', 'String', 'STEPS',...'Units','normalized',...'Position', [0.82 0.12 0.060 0.030 ],...'Callback', [...
'global subdir filename,',...'capris(''steps'');']);
end
if strcmp(action,'images'),figure('Name','Images','NumberTitle','off',...
'Units','normalized','Position',[0.005 0.0807 0.721 0.733]);
ventana=0.2;
uicontrol('Style', 'text', 'String', 'Size of observation''s window, (mm):',...'HorizontalAlignment','left',...'Units','normalized',...'Position', [0.56 0.945 0.260 0.03 ],...'BackgroundColor',[ 0.57 0.60 0.63 ]);
hvent = uicontrol('Style', 'edit',...'Units','normalized',...'Position', [0.793 0.945 0.0759 0.03 ],...'BackgroundColor', [1 1 1],...'Callback',[...
'global subdir filename ventana,',...'Setuser(''hvent''),',...'presenta(subdir,filename,ventana)'],...
'String', ventana );presenta(subdir,filename,ventana);end
139
if strcmp(action,'steps'),figure('Name','Step-Step Propagation.','NumberTitle','off',...
'Units','normalized','Position',[0.005 0.0807 0.721 0.733]);
getuser;
% DDir = dir ('C:\nosotros\Carlos\Numerico\Temp\objeto*.*');dzdx=x0/Nx; nx=Nx/512; % dx, para bpm y para imágenes.nz=1; Nz1=10;Zini=input('Z inicial, valor entero, en mm: ');Zfin=input('Z final, valor entero, en mm: ');
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if fini==0, fini=1, endfor fnum=fini:ffin,
nfile=[filename,num2str(fnum)]eval(['load 'num2str(subdir) num2str(nfile)]);
n = size(SD1,1);
if fnum==fini,Ifcr=SD1(n,:).*conj(SD1(n,:))+...SD2(n,:).*conj(SD2(n,:)) + SD3(n,:).*conj(SD3(n,:))+...SD4(n,:).*conj(SD4(n,:));subplot(2,1,1);plot(xP/10^3,Ifcr);txt=['z = ', num2str((fnum-1)/2+n*(dz*nz)/10^3), ' mm'];text (0.25,0.75*max(Ifcr),txt);axis([-0.5 0.5 0 max(Ifcr)]);
N=1;
ventana=1;V1=ventana*10^3/(nx*dx);Npix=Nx/(nx*dx);Vinf=round((Npix-V1)/2);Vsup=round((Npix+V1)/2);N1=Vinf:Vsup;
It=Ifcr;It=It(N1);Imt=repmat(It,N,1);Im=It;
colormap(gray(256)); map=colormap;immax=max(max(Imt)); immin=min(min(Imt));clear m; m=size(map,1);IM=min(m,round((m-1)*(Im-immin)/(immax-immin))+1);subplot(2,1,2);image(IM);axis off
140
pause;elsefor m=1:n,
Ilcr=SD1(m,:).*conj(SD1(m,:))+...SD2(m,:).*conj(SD2(m,:)) + SD3(m,:).*conj(SD3(m,:))+...SD4(m,:).*conj(SD4(m,:));subplot(2,1,1);plot(xP/10^3,Ilcr);
% txt=['z = ', num2str(fnum-2+(m*dz*nz)/10^3), ' mm'];txt=['z = ', num2str((fnum-1)/2+m*(dz*nz)/10^3), ' mm'];text (0.25,0.75*max(Ilcr),txt);axis([-0.5 0.5 0 max(Ilcr)]);pause;
It=Ilcr;It=It(N1);Imt=repmat(It,N,1);Im=It;
colormap(gray(256)); map=colormap;immax=max(max(Imt)); immin=min(min(Imt));clear m; m=size(map,1);IM=min(m,round((m-1)*(Im-immin)/(immax-immin))+1);subplot(2,1,2);image(IM);axis off
endend
endend
