Calculo Diferencial

Autorreflexiones Unidad 1

1. Escribe con tus palabras la definición de función y la descripción de cada una de sus partes.

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B, de manera que a cada elemento x que pertenezca al conjunto A, le corresponde un único elemento que pertenece al conjunto B. Se representa por un conjunto de pares ordenados (x,y), donde no hay dos pares ordenados distintos que tengan el mismo primer elemento.

Todos los valores posibles de x forman el dominio de una función y todos los valores posibles de y forman el contradominio o imagen de la misma función.

2. Escribe todos los tipos de funciones que conoces acompañados de un ejemplo.

Funciones algebraicas: Está formada por un número finito de operaciones algebraicas como son suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Funciones polinómicas:

Se forman por la suma y resta de polinomios de la variable independiente, son de la forma:

f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+an−2 xn−2+…+a1

x+a0 donde los an son constantes.

Ejemplo:

f(x) = 3x5 − x2 + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5.

Función Lineal:

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

Ejemplo:

f(x) = ax + bFunción Cuadratica:

Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.

Ejemplo:

f(x) = ax2 + bx + cFunción Racional:

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

Q(x) = f(x) / g(x)

se llama función racional.

Ejemplo:

f ( x )= x7−2 x4+3 xx6+x2+1

Función valor absoluto:

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos).

Ejemplo:

f ( x )=¿x−3∨¿

Funciones Trigonométricas:

Funciones Trascendentes (exponencial, logarítmica e hiperbólica):

Funciones trascendentes: Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, como puede ser en la trigonometría, entonces hablamos de funciones trascendentes.

Dentro de las funciones trascendentes están:

-Función exponencial: Como su nombre indica es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.

-Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente. (En este caso la variable independiente nos da el valor de la función exponencial)

-Funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas: y=senx, y=cosx, y=sec x, etc.

3. Describe un ejemplo de función aplicada a la vida cotidiana.

Trabajo como prefecto en una escuela secundaria del norte de la ciudad, a lo largo del ciclo lectivo hay cinco evaluaciones bimestrales para cada materia, a cada uno de los alumnos le corresponde una y sólo una calificación bimestral por materia. Las calificaciones fluctúan en un rango de 5 a 10 y aunque se repitan muchas veces, dependiendo del aprovechamiento de cada alumno, a cada uno de ellos le corresponde una única calificación.

4. ¿Cómo evalúas tú desempeño en la unidad (Malo, Regular, Bueno, Muy bueno)? Explica por qué.

En relación a los temas abordados en la Unidad siento que logré un buen nivel de asimilación, lo que para mí representó dificultades fue el problema de insertar imágenes en el editor de los foros y el aprender a utilizar Geogebra.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_Polinomiales

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Valor_absoluto_funcion.html

http://es.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_en_una_variable/Funciones/Funciones_Trigonom%C3%A9tricas

http://matematica.laguia2000.com/general/tipos-de-funciones

Autorreflexiones Unidad 2

Contesta con tus propias palabras

1. ¿Cuál es la importancia de la definición de límite en el estudio del cálculo?

Cuando hablamos de límites, nos referimos al entorno de una función en un punto determinado.

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Los límites son importantes porque nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado.cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podriamos conseguir con que podria ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0.como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solucion posible a una función.

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesiòn o unafunciòn, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En càlculo analisís real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales deconvergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

2. ¿Cuántos tipos de límites existen? Menciona un ejemplo de cada uno de ellos.

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda

determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como

las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver

cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación1. Infinito partido por infinito

Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:

1. Por comparación de infinitos.

El numerador tiene mayor grado que el denominador.

El denominador tiene mayor grado que el numerador.

Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de

mayor grado.

2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los

sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de

mayor base.

2. Infinito menos infinito

1. Por comparación de infinitos.

2. Con funciones racionales .

Ponemos a común denominador .

3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado .

3. Cero partido por cero

1. Función racional sin radicales:

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la

fracción.

No tiene límite en x = −1

2. Función racional con radicales:

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el

conjugado de la expresión irracional.

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

4. Cero por infinito

Se transforma a   ó a 

5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

1er  Método:

2º Método:

3. Si una función es discontinua en un valor ¿Puede existir el límite de la función cuando x se acerca a dicho valor? Explica tu respuesta

Una función es continua en un punto cuando en el limite de la función para x tendiendo a ese punto existe y es igual al valor de la función. - 

Para saber si la función es discontinua primero debes identificar los puntos singulares. Los puntos simulares son, este caso, los valores de x que hacen que el denominador se anule. Por ejemplo en la función (x3 - 1) / (x-1) el denominador es (x-1) que se anula para x=1. El punto singular es x=1 

En la función x2 - 9 / (x2 - 7x +12) El denominador es (x2 - 7x +12) que se anula para dos valores de x . Para averiguarlos debes resolver la ecuación x2 - 7x +12=0 que tiene dos raíces 

*************************** Una vez determinados los puntos simulares hay que calcular el límite de la función en esos puntos. Para la primer función debes determinar el valor del límite de (3 - 1) /(x-1) cuando x tiende a uno. Una vez que has hallado este límite pueden ocurrir tres cosas 1) Si el límite no existe o es infinito entonces la función es discontinua Si el límite existe hay que compararlo con el valor asignado a la función en ese punto.2) Si son iguales entonces la función es continua. 3) Si son distintos la función es discontinua En este caso se dice que es una discontinuidad evitable. Fíjate que la primer función para x=3 el valor asignado a la función es 3. Si el limite de la función para x=1 nos da 3 entonces la función será continua. Si el límite te da distinto entonces es discontinua. Para la segunda funcion debes hacer las comparaciones en dos valores de x que son las dos raíces de la ecuacion x2 - 7x +12 = 0

4. En porcentaje de aprovechamiento del 0 al 100% ¿En qué nivel consideras te encuentras en este momento? Explica tu respuesta.

Siendo honesto me considero en un porcentaje entre 70 y 80%. Los temas de la unidad han sido complicados pero son muy importantes, voy a tener que repasarlos continuamente para tener un manejo adecuado de los conceptos.

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

http://limitesdjdomatematicos.blogspot.mx/2009/08/limites-matematicos_11.html 

http://www.vitutor.com/fun/3/a_11.html

http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090412234319AAebHCs

Autorreflexiones Unidad 3

1. ¿Cuál es la importancia de la derivada en el análisis de funciones?

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando

tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. Un aspecto importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.El concepto de derivada segunda  de una función - derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda. Finalmente veremos la relación que tiene la derivada  con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.).

2. Que aplicaciones en la vida cotidiana tiene la derivada (escribe dos ejemplos y explícalos)

Un ejemplo: quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a 120 km/h, y el tiempo que necesitas para ello:

Entonces planteas a = 3 = d^2x /dt^2, lo que significa que dx /dt = 3 t (la operación es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo). Será pues

120 km/h = 120* 1000/3600 = 3* t ---> t = 400/36 = 11,11 segundos, y el espacio que hace falta recorrer será

x = 3/2 t^2 = (3/2) 11,11^2 = 185 metros. 

Yo lo explico así: se utilizan fórmulas de Física que se ocupan de la distancia, velocidad, aceleración en una dimensión. La fórmula es la siguiente para nuestro caso :1)V=Vo+ atDonde V es la velocidad final, ``Vo`` la velocidad inicial , ``a ``es la aceleración y ``t`` el tiempo, pero como no hay velocidad inicial, entonces la fórmula se reduce a:V= atahora V que es la velocidad final es la derivada dx/dt, es decir V=dx/dt y en el ejemplo es 120 km/h, mientras que ``a``es la aceleración y vale 3 metros por

segundo al cuadrado.

Pero al examinar el ejemplo nos damos cuenta que hay dos tipos de medida, es decir km/h y metros por segundo al cuadrado, entonces tenemos que utilizar una misma medida y el standard es el sistema internacional, en nuestro caso m/s, por lo tanto convertimos a una sola medida de km/h a metros por segundo (m/s) de la manera siguiente:

(120 km/h)=(120,000 m/h)(h/60 min)(min/60s) cancelando términos 120,000 m/3600 s)= 33.33 m/s.Es decir de que V=dx/dt=33.33.Reemplazando en la fórmula 1)

V=at, o usando derivadas:dx/dt=at (es equivalente)

33.33= at, pero ``a``es dado por el ejemplo igual a 3/s ^2, entonces:

33.33= 3t, por lo tantot=11.11s, este es el tiempo.Para la distancia aplicas la siguiente fórmula:

2)x=Vot+(1/2)at^2, pero como no hay velocidad inicial, se reduce a:

x= 1/2 at^2, reemplazando:x= 1/2(3)(11,11)^2

x=3/2(123.4321)x= 185 m.!!!Lo más importante es recordar de que se tienen que convertir a una sola medida standard!!!si no los resultados son INCORRECTOS.

Volviendo a las derivadas. La aceleración es la derivada de la V o sea:dV/dt, pero arriba hemos demostrado que V=dx/dt, sustituyendo en:x=1/2 at^2, produce x=1/2 ((dx/dt)/dt)t^2, pero ( dx/dt)dt=a y a=3 en el ejemplo y de esta manera venimos a lo mismo, pero utilizando derivadas, es decir:

x= 1/2(3)(11,11)^2 , donde a (aceleración)=3,y el tiempo: t^2 =(11.11)^2

Resumen .-x es la distancia, v es la derivada de la distancia o sea dx/dt y la aceleración es la derivada de la velocidad (dx/dt)/dt, quiere decir de que la aceleración es la segunda derivada de la distancia x.

Optimizar las dimensiones de un rectángulo. Área

3. Con tus propias palabras ¿Cómo definirías la derivada de una función?

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el

valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La

derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de

cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable

independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una

cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se

produce sobre una magnitud.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posiciónde un

objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un

vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a unavelocidad media de 750

km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de

la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese

tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es

necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta

hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se

corresponde con pendiente de larecta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta

tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho

punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una

variable con laderivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada

punto x es esta derivada es la llamadafunción derivada de f, denotada por f′. El proceso de

encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas

principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/contenido_Derivadas.html

http://www.forosperu.net/showthread.php?t=263132

http://www.vadenumeros.es/segundo/problemas-de-optimizacion.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

Autorreflexiones Unidad 4

1. Utilizando tus propias palabras ¿Cuál sería la definición de cálculo diferencial?

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo.

Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables

independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el

cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de

una función.

En el estudio del cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es

de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es

infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y

es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al

límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo

diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en

un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se

modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, unatasa de cambio. Una

derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de   en cada punto  . Esto se

corresponde a laspendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una

tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una

función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

2. ¿Cuál es la importancia del cálculo diferencial en tu carrera como matemático?

El Cálculo Diferencial es una asignatura completa que integra los contenidos de Álgebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica; el alumno debe de comprender que el estudio de ésta

permite modelar el mundo real e interpretar diversos fenómenos relacionados con el tiempo y la optimización, el uso de la tecnología facilitará el planteamiento de modelos y estudiar sus variaciones

de una forma dinámica, para el planteamiento de problemas, su resolución, análisis y toma de decisiones en situaciones de su vida familiar, social, escolar y laboral.

Desde el punto de vista curricular, cada materia de un plan de estudios mantiene una relación vertical y horizontal con el resto, el enfoque por competencias reitera la importancia de establecer este

tipo de relaciones al promover el trabajo disciplinario, en similitud a la forma como se presentan los hechos reales en la vida cotidiana. La asignatura de Cálculo Diferencial permite el trabajo

interdisciplinario con Matemáticas I, II, III y IV, Ciencias Sociales, Informática I y II, Física I y II, Química I y II, Biología I y II, Temas Selectos de Física I y II, Cálculo Integral, Ecología, Geografía,

Temas Selectos de Química I y I

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y

variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. X X X X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. X X X X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales. X X X X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje

verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. X X X X

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. X X X X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos

que lo rodean. X X X

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. X X X

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

3. Describe brevemente los conocimientos y habilidades que desarrollaste en este curso. 

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial

http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cf-propedeutico-5sem/calculo-diferencial.pdf