NOMBRE: Francisco Antonio Galmich Gonzalez GRUPO:1CV21. Sean ABCDEF los vrtices de un hexgono regular, hallar la resultante de las fuerzas representadas por los vectores AB, AC, AD, AE y AF. B

AC + AF = AD C

AE + AB = ADD

= ADA

3AD La resultante es 3ADEF

F

2. A) Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1,1,1) y (2,3,4). B) Encontrar un vector perpendicular a la recta que pase por el punto (3,5,7) y calcular la distancia entre este punto y la recta.

P1 (1,1,1) P2 (2,3,4) = P1 + (P2 P1)t = (1,1,1) + (1,2,3)t = 0

(5,-1,2) - (1,1,1) + (1,2,3)t= 0[(5,-1,2) - (1,1,1) + (1,2,3)t] (1,2,3) = 0[(4,-2,1) (1,2,3)t] (1,2,3) = 0(4,-4,3) t + 4t 9t = 03 = t - 4t 9t3 = -13t3 = -12tt = - =

=(1,1,1) + (4,-2,1) = (1,1,1) + (-1,)

d|| 3. A) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por los puntos (1,3,5), (-1,2,2) y (1,1,-1). B) Calcular la distancia del origen al plano y del plano al punto (3,5,7).a) P1 = (1,3,5) A= P1-P2 = (2,1,3)P2 = (-1,2,2) B = P3-P2 = (2,-1,-3)P3 = (1,1,-1) K AxB = 2 1 3 = (-3 + 3) (6+6) + (-2-2)K = 12 - 4K 2 -1 -3 b)[(x,y,z) (1,1,-1)] = 0(0,12,-4) (x,y,z) = (0,12,4)(1,1,-1)12y- 4z = 16 = 3y z = 4 = =

4. Mediante herramientas del anlisis vectorial, deducir las formulas sen(ab) = sen(a)cos(b) sen(b)cos(a)

K 1 x 2 cos(b) sen(b) 0 = 0, 0, sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) cos(a) sen(a) 0

1 x 2 = 11 sen(a+b) = 0 + 0 + sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

5. Demostrar que (AxB) (BxC)x(CxA) = (A BxC)

(AxB) [C [(BxC)A]] A[(BxC)C] [(AxB)C][(BxC)A][A(BxC)] [A(BxC)] = A(BxC)

6. Hallar las constantes a y b de forma que la superficie ax- byz = (a+2)x sea ortogonal a la superficie 4x+z = 4 en el punto (1,-1,2).

1 ax - byz = (a+2)x2 4x + z = 4P(1,-1,2)Sustituir punto 1 en 1a + 2b = a + 22b=2 b=b=1

1 = (2ax a - 2) + (-bz) + (-by)k2 = (8x) + 0 + (3z)k1 2 = (16ax - 8ax 16x) + 0 + (-3byz)k8a 16 + 12 = 08a = 16 -12 8a = 4 a = a =

7. Calcular: A) r B) (r) C) x(r)

a) r =

b) r + r + 3r

c) rx + r x r + r i j k dx dy dz = (0,0,0) x y z

8. Para qu valor de la constante a el rotacional del vector = (axy - z)i + x(a-2)j + xz(1-a)k es idnticamente nulo.

K xA ax ay az = (0 +0) - [(z- az)+ 3z] + [2(a-2)x - ax]k A1 A2 A3 z - az + 3z = 4z - az = z(4 - a) = 0 a = 4

9. Siendo f(r) derivable, demostrar que f(r) es irrotacional.

f(r)x f(r)y f(r)z K x (r) ax ay az f(r)x f(r)y f(r)z

() - () + (y)k () - () + (y)k = 0

10. Dado = r Calcular siendo C una curva simple cerrada. = r d es conservativoDado que = donde = r

11. Calcular d extendida a la superficies del cilindro x + y = 9;x=0; y=0; z=0 y y=8, siendo =6z + (2x + y) xk.

x + z = 0 x=0 y=0 z=0 y y=8 = x + y - 9

12. Calcular (x) d siendo =(x + y) 2x + 2yzk y S la superficie del plano x+y+z=4 situada en el primer octante.z = 4 - y

Z

y + z = 4z + x = 4

K x ax ay az X+y -2x 2yzx + y = 4Y

x=(2z-0) (0-0) + (-2-2y)kX

x= (2z,0,-2-2y) = x + y + z -4 = (1,1,1))dzdy = i =

13. Si = x + y + zk, aplique el teorema de la divergencia para calcular fd, donde S es la superficie de la esfera x + y + z 4Z

Teorema de la divergencia

x=rsencosy=rsensenz=rcos

Y

()(-cos(2)+cos(0)( 2)X

=

14. Determine cules de los siguientes son escalares y cules son vectores:a) Energa cintica, b) intensidad de campo elctrico, c) entropa, d)trabajo, e) fuerza centrfuga, f) temperatura, g) carga, h) esfuerzo cortante, i) frecuencia

a) escalar b) vector c) escalar d) escalar e) vector f) escalar g) escalar h) vector i) escalar

15. Un aeroplano viaja a 200 millas hacia el oeste, y luego 150 millas a 60 hacia el noroeste. Determine el desplazamiento resultante. N

150

=Tan O E=60

200

S

16. Encuentre la resultante de los siguiente desplazamiento A: 20 millas a 30 al sureste B: 50 millas hacia el oeste; C: 40 millas a 30 al noreste; D: 30 millas a 60 al suroeste.

Efx=-50+40cos30+20cos30-30cos60=-13.03Efy=40sen30-20sen30-30sen60=-15.98R=20.61 millas=5048

17. Evale a) k (i + j), b) (i - 2k) (j + 3k) y c) (2i j + 3k) (3i + 2j k)

a) k (i + j) = 0i+0j+0k = 0b) (i - 2k) (j + 3k) = 0i+0j-6k=-6c) (2i j + 3k) (3i + 2j k) = 6i-2j-3k=6-2-3 =6-5 =1

18. Suponga que A = i + 3j 2k y B = 4i 2j + 4k. Calcule a) AB, b)A, c)B, d) |3A + 2B| e) (2A + B) (A 2B)

a)(i+3j-2k)(4i-2j+4k)=4-6-8=-10b)A=c)B=d)3(i+3j-2k)+2(4i-2j+4k) = (3i+9j-6k)+(8i-4j+8k) |3A+2B|=11i+5j+2k=e)[2(i+3j-2k)+(4i-2j+4k)][( i+3j-2k)-2(4i-2j+4k)]=[(2i+6j-4k)+(4i-2j+4k)][(i+3j-2k)-(8i-4j+8k)]=(6i+4j)(-7i+7j-4k)=-42+28=-14

19. Suponga R(t) = (3t - t)i + (2 6t)j 4tk. Encuentre a) R(t) dt y b) de 2 a 4 R(t) dt

a)= =

b)] -

20. Evale de 0 a /2 (3sen ui+ 2cos uj) du