Axiomas y Teoremas de ProbabilidadAxiomas de Probabilidad Teorema 1:Regla de Adicin Teorema 2:Regla de Complementacin Teorema 3:Regla de Diferenciacin Las Leyes de Morgan

Axiomas de Probabilidadarriba

Para el clculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuacin se enumeran.

Axioma 1La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 > P(A) > 1

Axioma 2La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1. P(S) = 1

Axioma 3Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen elementos en comn, entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces: P(A1A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

Teorema 1:Regla de Adicinarriba

Regla de AdicinLa probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuacin: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) P( A B ) Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Si el evento A es cae un nmero par A = { 2, 4, 6 } Si el evento B es cae un nmero menor de 3 B = { 1, 2 } Cul ser la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Primero identificamos que es lo que queremos, "la probabilidad de que sea par o menor de tres", es decir, P( A U B ) Ya que identificamos lo que queremos , ahora debemos saber lo que conocemos La probabilidad de A y la probabilidad de B es: 3 6 2 P(B) = = 0.33 6

P(A) =

= 0.50

Para aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la interseccin de estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de la unin, o de manera inversa, conocer la probabilidad de la unin para calcular la probabilidad de la interseccin.

En este caso queremos saber la unin, entonces es necesario conocer la interseccin, que es " nmero par y menor de 3". A B = { 2 } entonces P(A B) = Si aplicamos la regla de adicin: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) P( A B ) P( A U B ) = 0.50 + 0.33 0.16 = 0.67 2 = 0.33 6

Teorema 2:Regla de Complementacinarriba

Regla de ComplementacinLa probabilidad de que el complemento de un evento ocurra est dada por la siguiente ecuacin: P( A ) = 1 P ( A ) Ejemplo: En el experimento de "lanzar un dado y registrar que cara es la de arriba", si el suceso B = "es menor de tres", entonces la probabilidad de B = "no sea menor de tres" es: P(B) = 2/6 = 0.33 P( B ) = 1 0.33 = 0.67 En el mismo experimento, cual es la probabilidad de que no sea ni par ni menor de tres? En este caso estamos hablando del complemento de la unin de los sucesos A y B, es decir P(A U B) Sabemos por el jemplo anterior que P(A U B) = 0.67 Entonces P(A U B) = 1 0.67 = 0.33

Teorema 3:Regla de Diferenciacinarriba

Regla de DiferenciacinLa probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento dado pertenecientes al mismo espacio muestral est dada por P(A B) = P(A) P(A B) Ejemplo: Si el evento A = "cae un nmero par" y si el evento B = "cae un nmero menor de 3", entonces la probabilidad de que ocurra "par pero no menor de tres es: P(A B) = P(A) P(A B) P(A B) = 0.50 0.16 = 0.33 Y la probabilidad de que ocurra "menor de tres pero no par" es: P(B A) = P(B) P(A B) P(A B) = 0.33 0.16 = 0.17

Anlisis Combinatorio

Variaciones

Permutaciones

Combinaciones

Las Leyes de Morganarriba

Leyes de MorganLas leyes de De Morgan declaran que el complemento de la interseccin de dos sucesos es igual a la unin del complemento de cada suceso; y que el complemento de la unin de dos sucesos es igual a la interseccin del complemento de esos sucesos. AB=AUB

AUB=AB