1Las funciones de AiryRecordamos que la ecuaci6n de Bessel se puede escribir como

wll + (k2 +1− n2

z2)w = 0,

que tiene la formawll + g(z)w = 0. (1)

Si z → ∞, vemos que g(z) > 0y por lo tanto wll oscila. Por otra parte si

z es pequen0, de manera que k2 +1− n2

z2< 0, la soluci6nw(z) decae expo-

nencialmente. Es claro que cuando z2 =n2 − 1

k2= z20 , habra un cambio de

comportamiento. De aquı que resulta interesante estudiar lo que sucede a lassoluciones de (1) cuando g(z) cambia de signo en un cierto punto z0.

La funci6n mas sencilla que tenga un cambio de signo es la lineal, y tomare-mos z0 = 0. Tenemos pues que el problema tıpico de transici6n es

w′′(z)− zw(z) = 0. (2)

El comportamiento esperado para w(z) es entonces exponencial si z > 0y os-cilatorio si z < 0. La ecuaci6n(2) es la ecuaci6n de Airyl. Es de esperarseque aparezca en todos los problemas que presenten una transici6n no degener-ada en el comportamiento oscilatorio-exponencial. El caso para una transici6narbitraria sera

wll + zqw = 0,

donde q es el orden del cero.Mencionamos ademas que en la presente secci6n trabajaremos siempre con

las funciones de Airy de variable real, por lo que se considerara que z ∈ Ren todo momento. Es posible mostrar que la ecuaci6n admite soluciones del

estilo w(z) = z1/2Z1/3(i2

3z3/2) donde Z(z) es una funci6n cilındrica; es decir,

una soluci6n a la ecuaci6n de Bessel. Sin embargo, la ecuaci6n nos presentaun excelente ejemplo para resolverse con el metodo de integrales complejas.Este metodo se debe a Laplace y surge de la siguiente manera. Cuando unoresulve ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes, i.e. algodel tipo wll + awl + bw = 0, se propone una soluci6n del estilo w = eζz, laconstante ζ (que puede ser compleja) se determina resolviendo un polinomio yfinalmente la soluci6n se compone de la suma de las exponenciales con los dos2posibles valores de ζ.i Que’ podemos hacer si tenemos ahora una ecuaci6n delestilo wll + a(z)wl + b(z)w = 0? Laplace not6 que si las funciones a(z)yb(z)varıan poco, entonces para intervalos pequenos, la soluci6n a la ultima ecuaciondebe tambien ser del tipo w = eζz. Sin embargo, para intervalos arbitrarios ζno puede ahora ser solamente una constante, de manera que el metodo debemodificarse. Laplace tuvo la idea de permitir que ζ tome un numero infinito devalores complejos y propuso una soluci6n del estilo

w(z) =1

2πi

∫C

ezζW (ζ)dζ,

1

de manera que la soluci6n se compone de la superposici6n de exponenciales ezζ ,con ζ compleja. El problema tiene ahora otra perspectiva ya que el contorno deintegraci6n C es desconocido y la funci6nW (ζ) tambien lo es. Si resulta que elintegrando posee singularidades, la integral pordrıa calcularse sobre

lAdvertimos al lector que en muchos textos se escribe esta ecuacion con elsigno distinto, w′′ +zw = 0, debe tenerse cuidado con la definicion que use cadaautor.

2Siempre que las raıces del polinomio no coincidan.

2