Ayudantía N_2 Con Pauta

7/24/2019 Ayudanta N_2 Con Pauta

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CII2753 Modelos EstocasticosSegundo Semestre 2015Ayudante: Rodrigo Caceres02 Septiembre/[email protected]

Ayudanta #2Repaso Probabilidades

1. Demuestre que la distribucion de probabilidad exponencial tiene perdida de memoria.

f(x) = ex, x0

2. Suponga que esta interesado en conocer el tiempo total operacion (de servicio) al da de una maquina deautoservicio. Es decir, la suma de los tiempos que esta siendo utilizada por los clientes. Con esto ustedpodra estimar el tiempo necesario para un recambio o para realizar la mantencion de la maquina.

El tiempo que cada cliente i utiliza la maquina (Xi) es aleatorio, as como el numero de clientes (N) quela utilizan cada da. Se ha determinado que la distribucion del tiempo de atencion de cada cliente esexponencial de parametro , es decir,

P{Xit}= 1 et, t0.Tambien se sabe que la distribucion del numero de clientes al da es geometrica, es decir,

P{N=n}= (1 )n, n= 1, 2, . . .

Para lograr su objetivo, determine la distribucion del tiempo total de operacion diario (Y= X1+ . . . +Xn)y su esperanza.

Indicacion: Para determinar la distribucion, primero determine el tiempo de operacion condicional en un nfijo y luego aplique el teorema de la probabilidad total. Una vez conocida la distribucion podra determinarla esperanza.

3. Suponga una variable aleatoria X que tiene una funcion de densidad

f(x) =

RxR1, 0x1

0, sino.

donde R es un parametro fijo. Determine:

a) La funcion de distribucion FX(x)

b

) La media E[X]c) La varianza Var[X]

4. La densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y esta dada por

fXY(x, y) =1

ye(x/y)y, x, y >0.

Determine la distribucion de probabilidad de X condicional en Y=y, y la esperanza de X condicional enY=y.

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5. Sea X una variable aleatoria uniforme en el intervalo [0; 1]. Se observa X y, sabiendo que X = x, seconsidera la variable aleatoria Y uniforme en el intervalo [0;

x].

a) Obtenga la densidad conjunta de (X; Y )

b) Demuestre que la densidad marginal Y es fY (y) = 2(1 .. y); 0y1.c) Calcule E(Y) y V ar(Y).

6. En un concurso de proyectos universitarios solo se le permite concursar a estudiantes que provengan dela UBB, la PUC, la UDD y la UDP. Cada casa de estudios le entrega una camiseta distintiva, todas del

mismo color, a cada uno de sus estudiantes. En el da de la premiacion se saca a un grupo de 20 alumnosal azar para un premio sorpresa, a estos estudiantes se les tomara una foto en el escenario del evento.

a) Calcule la probabilidad de que en la foto aparezca gente de al menos dos universidades distintas.

b) Calcule la probabilidad de que en la foto no haya ninguna persona de la UDP.

7. La probabilidad de que Felipillo, una prestigioso estudiante de ingeniera civil industrial, estudie para suexamen final de Dinamica es de 0,8. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el ramo es de 0,4; en tantoque si no estudia, la probabilidad de aprobar es de 0,15.

a) Cual es la probabilidad de que Felipillo apruebe Dinamica?

b

) Dado a que Felipillo aprobo su examen. Cual es la probabilidad de que haya estudiado?

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Pauta:

Problema 1Tenemos que demostrar que:

P(x > s + t|x > s) = P(x > t)

Entonces:

P(x > s + t|x > s) = P(x > s + t x > s)P(x > s)

= P(x > s + t)

P(x > s)

= 1 P(xs + t)

1 P(xs)

= 1 (1 e(s+t))

1 (1 e(s))

= e(s+t)

e(s)

= et

= P(xt)

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Problema 6

En este caso tenemos que una experiencia es = (x1;x2; x3;x4), donde estan representadas las can-tidades de personas de la UBB, la PUC, la UDD y la UDP que estan en el concurso respectivamente.El universo seran todas las experiencias posibles y el evento C ser a que en el grupo haya gente deal menos dos universidades distintas, es decir todas las experiencias menos las cuales donde las 20personas del grupo son de la misma universidad.

= {N40:

4i=0

xi = 20}

|| =

20 + 4 14 1

=

23!

20! 3! = 1771

Luego

C = \ {(20, 0, 0, 0);(0, 20, 0, 0);(0, 0, 20, 0);(0, 0, 0, 20)}C = { :xi= 20, i= 1, 2, 3, 4}

Finalmente

|C| = || 4 = 1767P(C) =

|C||| =

1767

1771

P(C) 99, 77 %

Aqu el evento C es que no haya personas de la UDP, es decir que las 20 personas del grupo perte-nezcan a alguna de las otras 3 universidades.

C = { :x4= 0} |C|=|{x N30 :3

i=1

xi= 20}|

=

20 + 3 1

3 1

= 231 P(C) =|C||| 13 %

Problema 7

Primero definimos las variables MUY IMPORTANTE!!

E = Felipillo estudia

Ec = Felipillo no estudia

A = Felipillo aprueba el ramo

Recordamos la probabilidad condicional:

P(A|B) = P(A B)P(B)

; con P(B)= 0

P(E) = 0, 8 P(Ec) = 0, 2 P(A|E) = 0, 4 P(A|Ec) = 0, 154


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a)

P(A) = P(A E) + P(A Ec)P(A) = P(A|E) P(E) + P(A|Ec) P(Ec)P(A) = 0, 4 0, 8 + 0, 15 0, 2P(A) = 0, 35

Respuesta: La probabilidad de que Felipillo apruebe Dinamica es de 0,35.

b)

P(E|A) = P(E A)P(A)

= P(A E)

P(A)

= P(A|E) P(E)

P(A)

= 0, 4 0, 8

0, 35= 0, 9142857

Respuesta: La probabilidad de que Felipillo haya estudiado Dinamica dado a que lo aprobo es de0,91 aprox.

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